Оценивание вектора состояния динамической системы в условиях неопределенности

Розглянуто задачу оцінювання стану дискретної системи керування при обмежених збуреннях. Запропоновано процедуру побудови інформаційних множин у вигляді багатогранників, що базується на застосуванні математичних засобів теорії R-функцій. З метою наближення роботи системи до оптимального режиму руху...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Кибернетика и системный анализ
Дата:	2013
Автори:	Гурко, А.Г., Колодяжный, В.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Теми:	Кибернетика
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86287
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Оценивание вектора состояния динамической системы в условиях неопределенности / А.Г. Гурко, В.М. Колодяжный // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 23-31. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86287
record_format	dspace
spelling	Гурко, А.Г. Колодяжный, В.М. 2015-09-12T17:35:48Z 2015-09-12T17:35:48Z 2013 Оценивание вектора состояния динамической системы в условиях неопределенности / А.Г. Гурко, В.М. Колодяжный // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 23-31. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86287 681.514 Розглянуто задачу оцінювання стану дискретної системи керування при обмежених збуреннях. Запропоновано процедуру побудови інформаційних множин у вигляді багатогранників, що базується на застосуванні математичних засобів теорії R-функцій. З метою наближення роботи системи до оптимального режиму руху запропоновано побудову множини найбільш ймовірних значень координат стану системи як сукупності точок, які геометрично рівновіддалені від границі вихідної інформаційної множини. We consider the problem of estimating the state of a discrete-time control system with bounded perturbations. The procedure of constructing the information sets in the form of polyhedra based on the mathematical theory of R-functions is proposed. To optimize the operation of the system, we propose to construct the set of the most probable values of coordinates of a system state as the set of points equidistant from the geometric boundary of the original information set. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Кибернетика Оценивание вектора состояния динамической системы в условиях неопределенности Оцінювання вектора стану динамічної системи в умовах невизначеності Estimating the state vector of dynamic system under uncertainty Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Оценивание вектора состояния динамической системы в условиях неопределенности
spellingShingle	Оценивание вектора состояния динамической системы в условиях неопределенности Гурко, А.Г. Колодяжный, В.М. Кибернетика
title_short	Оценивание вектора состояния динамической системы в условиях неопределенности
title_full	Оценивание вектора состояния динамической системы в условиях неопределенности
title_fullStr	Оценивание вектора состояния динамической системы в условиях неопределенности
title_full_unstemmed	Оценивание вектора состояния динамической системы в условиях неопределенности
title_sort	оценивание вектора состояния динамической системы в условиях неопределенности
author	Гурко, А.Г. Колодяжный, В.М.
author_facet	Гурко, А.Г. Колодяжный, В.М.
topic	Кибернетика
topic_facet	Кибернетика
publishDate	2013
language	Russian
container_title	Кибернетика и системный анализ
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
title_alt	Оцінювання вектора стану динамічної системи в умовах невизначеності Estimating the state vector of dynamic system under uncertainty
description	Розглянуто задачу оцінювання стану дискретної системи керування при обмежених збуреннях. Запропоновано процедуру побудови інформаційних множин у вигляді багатогранників, що базується на застосуванні математичних засобів теорії R-функцій. З метою наближення роботи системи до оптимального режиму руху запропоновано побудову множини найбільш ймовірних значень координат стану системи як сукупності точок, які геометрично рівновіддалені від границі вихідної інформаційної множини. We consider the problem of estimating the state of a discrete-time control system with bounded perturbations. The procedure of constructing the information sets in the form of polyhedra based on the mathematical theory of R-functions is proposed. To optimize the operation of the system, we propose to construct the set of the most probable values of coordinates of a system state as the set of points equidistant from the geometric boundary of the original information set.
issn	0023-1274
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86287
citation_txt	Оценивание вектора состояния динамической системы в условиях неопределенности / А.Г. Гурко, В.М. Колодяжный // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 23-31. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT gurkoag ocenivanievektorasostoâniâdinamičeskoisistemyvusloviâhneopredelennosti AT kolodâžnyivm ocenivanievektorasostoâniâdinamičeskoisistemyvusloviâhneopredelennosti AT gurkoag ocínûvannâvektorastanudinamíčnoísistemivumovahneviznačeností AT kolodâžnyivm ocínûvannâvektorastanudinamíčnoísistemivumovahneviznačeností AT gurkoag estimatingthestatevectorofdynamicsystemunderuncertainty AT kolodâžnyivm estimatingthestatevectorofdynamicsystemunderuncertainty
first_indexed	2025-11-27T02:12:30Z
last_indexed	2025-11-27T02:12:30Z
_version_	1850793203712655360
fulltext	ÓÄÊ 681.514 À.Ã. ÃÓÐÊÎ, Â.Ì. ÊÎËÎÄßÆÍÛÉ ÎÖÅÍÈÂÀÍÈÅ ÂÅÊÒÎÐÀ ÑÎÑÒÎßÍÈß ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ Â ÓÑËÎÂÈßÕ ÍÅÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÎÑÒÈ Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñèñòåìà óïðàâëåíèÿ, îãðàíè÷åííûå âîçìóùåíèÿ, èíôîðìà- öèîííîå ìíîæåñòâî, R-ôóíêöèè. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ïðîåêòèðîâàíèå ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ìíîãèìè òåõíè÷åñêèìè îáúåêòàìè îñóùå- ñòâëÿåòñÿ â óñëîâèÿõ îòñóòñòâèÿ ïîëíîé èíôîðìàöèè (íåîïðåäåëåííîñòè) î òå- êóùåì ñîñòîÿíèè ñèñòåìû è/èëè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ åå ìàòåìàòè÷åñêîé ìî- äåëè. Ýòà íåîïðåäåëåííîñòü ñâÿçàíà ñ äîïóñêàåìûìè óïðîùåíèÿìè ïðè ïîñòðî- åíèè ìîäåëåé èññëåäóåìûõ îáúåêòîâ, à òàêæå íåïîëíîòîé èíôîðìàöèè î òàêèõ ôàêòîðàõ, êàê âîçìîæíûå âîçìóùåíèÿ è ïîìåõè (øóìû) èçìåðåíèé âûõîäíûõ êîîðäèíàò ñèñòåìû. Â ýòèõ óñëîâèÿõ âîçíèêàåò çàäà÷à èäåíòèôèêàöèè óïîìÿ- íóòûõ âûøå ôàêòîðîâ è îöåíèâàíèÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ è/èëè ïàðàìåòðîâ ìà- òåìàòè÷åñêîé ìîäåëè îáúåêòà. Åñëè êàêîé-ëèáî íåîïðåäåëåííûé ôàêòîð (øóìû èçìåðåíèé, âîçìóùåíèÿ è ò.ä.) � � � �� ( ),1 2 � m T èìååò ñëó÷àéíûé õàðàêòåð, òî åãî èñ÷åðïûâàþùåé õàðàêòåðèñ- òèêîé áóäåò ïëîòíîñòü � �( ) ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè. Íàèáîëåå èññëåäîâàííûì ïðèìåðîì òàêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé íîðìàëüíîãî (ãàóññîâà) ðàñïðåäåëå- íèÿ [1–3]. Ïîñêîëüêó â ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ íå âñåãäà èìååòñÿ âîçìîæíîñòü ìíîãîêðàò- íîãî ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà íà èññëåäóåìîì îáúåêòå äëÿ ñáîðà ñòàòèñòè÷åñ- êîé èíôîðìàöèè ïðè íåèçìåííîì äåéñòâèè íåîïðåäåëåííûõ è íåóïðàâëÿåìûõ ôàêòîðîâ, íàèáîëåå îáùåé è åñòåñòâåííîé ìîäåëüþ îïèñàíèÿ óêàçàííûõ ôàêòîðîâ ìîæåò áûòü èõ ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ìíîæåñòâà � � èõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé � i . Ýòî ìíîæåñòâî ìîæíî îïðåäåëèòü, íàïðèìåð, â èíòåðâàëüíîé ôîðìå � � �i i i � �� , ãäå � i � è � i � — íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû çíà÷åíèé ïàðàìåòðà i-ãî íåîïðåäåëåííîãî ôàêòîðà. Êàæäàÿ ðåàëèçàöèÿ � i ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ ìîæåò ïðè- íèìàòü ëþáîå çíà÷åíèå èç ñîîòâåòñòâóþùåãî äîâåðèòåëüíîãî ìíîæåñòâà � � . Òàêèì îáðàçîì, ðåçóëüòàòîì èäåíòèôèêàöèè ÿâëÿåòñÿ íå êîíêðåòíîå (òî÷å÷íîå) çíà÷åíèå èñêîìîãî ôàêòîðà, à ìíîæåñòâî åãî âîçìîæíûõ çíà÷åíèé [4–14]. Ïîñêîëüêó çíà÷åíèÿ óêàçàííûõ ôàêòîðîâ íåèçâåñòíû è ìîãóò ñ ðàâíîé âåðî- ÿòíîñòüþ ïðèíèìàòü ëþáóþ âåëè÷èíó èç çàäàííîãî ìíîæåñòâà � � , âîçíèêàåò ïðîáëåìà ïîèñêà ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷å÷íûõ çíà÷åíèé ñîñòîÿíèÿ, íà êîòîðûå ïðîåêòèðîâùèê áóäåò îðèåíòèðîâàòüñÿ ïðè ðàñ÷åòå óïðàâëåíèÿ. Ïðè ýòîì ïðèõî- äèòñÿ ðàññìàòðèâàòü çíà÷åíèÿ ôàêòîðîâ, êîòîðûå ìàêñèìèçèðóþò êðèòåðèé êà- ÷åñòâà ðàáîòû ñèñòåìû, â òî âðåìÿ êàê ðàçðàáîò÷èê ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ ñòðå- ìèòñÿ ýòîò êðèòåðèé ìèíèìèçèðîâàòü. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñèíòåçà ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ ñâîäèòñÿ ê èçâåñòíîé èç òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ èãð ìèíèìàê- ñíîé çàäà÷å [5, 6]. Íåäîñòàòêîì òàêîãî ïîäõîäà, ïîìèìî àëãîðèòìè÷åñêîé ñëîæ- íîñòè è âû÷èñëèòåëüíîé òðóäîåìêîñòè, ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî äåéñòâóþùèå íà ñèñòå- ìó ôàêòîðû íå âñåãäà áóäóò ñòðåìèòüñÿ îáåñïå÷èòü ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå êðè- òåðèÿ êà÷åñòâà, ïîýòîìó âîçìîæíî ïîëó÷åíèå ëèøü ñóáîïòèìàëüíûõ çàêîíîâ ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 23 © À.Ã. Ãóðêî, Â.Ì. Êîëîäÿæíûé, 2013 óïðàâëåíèÿ. ×àñòî â êà÷åñòâå îöåíêè ñîñòîÿíèÿ ïðèíèìàåòñÿ ÷åáûøåâñêèé öåíòð èíôîðìàöèîííîãî ìíîæåñòâà � � [14], êîòîðûé òàêæå íàõîäèòñÿ ïóòåì ðåøåíèÿ çàäà÷è íà ìèíèìàêñ. Â ðàìêàõ ìíîæåñòâåííîãî ïîäõîäà âåäóòñÿ èññëåäîâàíèÿ ïî îöåíèâàíèþ ïà- ðàìåòðîâ ñèñòåì ñî ñëó÷àéíûìè âîçìóùåíèÿìè, ñòàòèñòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè êîòîðûõ íå èçâåñòíû, à çàäàíû ëèøü ïðåäåëû, â êîòîðûõ ýòè õàðàêòåðèñòèêè ìî- ãóò èçìåíÿòüñÿ [15–19]. Äàííîå íàïðàâëåíèå ðàçâèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ òåîðèè ñòà- òèñòè÷åñêè íåîïðåäåëåííûõ ñèñòåì [19]. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìîòðåíà ïðîöåäóðà îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ äèñêðåòíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, â êîòîðîé äëÿ ïîñòðîåíèÿ ýâîëþ- öèîíèðóþùèõ âî âðåìåíè ìíîæåñòâ âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé èñïîëüçîâàíû ìàòå- ìàòè÷åñêèå ñðåäñòâà òåîðèè R-ôóíêöèé [20]. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Ðàññìîòðèì äèñêðåòíóþ ñèñòåìó óïðàâëåíèÿ, äèíàìèêà êîòîðîé îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèìè ðàçíîñòíûìè óðàâíåíèÿìè: x f x u w k Nk k k k k� � � �1 0 1 1( , , ), , , ..., ; (1) y g x k Nk k k k� � �( , ), , , ...,� 1 2 1, (2) ãäå x u yk k k, , — ñîîòâåòñòâåííî âåêòîðû ñîñòîÿíèÿ, óïðàâëåíèÿ è èçìåðåíèÿ, xk n� , uk m� , yk q� ; wk , � k — âåêòîðû âîçìóùåíèé è ïîìåõ (øóìîâ) èçìåðåíèé, îãðàíè÷åííûå èçâåñòíûìè ìíîæåñòâàìè � k w è � k � ; f k è gk — ôóíê- öèè, îïðåäåëÿåìûå äëÿ êàæäîãî k-ãî ìîìåíòà êâàíòîâàíèÿ, k N� �0 1 1, , ..., . Äëÿ îïèñàíèÿ ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ äèíà- ìè÷åñêèì îáúåêòîì âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì àëãîðèòìîì [11]. 1. Ïóñòü ñîñòîÿíèå ñèñòåìû â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò êâàíòîâàíèÿ k çàäàåòñÿ âåêòîðîì x x x xk k k n k� � �{ }1 2, , ,, � . Óïðàâëÿþùåå óñòðîéñòâî ïîëó÷àåò èíôîðìà- öèþ î ñîñòîÿíèè xk ñèñòåìû â âèäå ðåçóëüòàòà èçìåðåíèÿ äàííîãî ñîñòîÿíèÿ, ò.å. âåêòîðà yk . Êàæäàÿ êîîðäèíàòà xi k, ñîñòîÿíèÿ èçìåðÿåòñÿ ñ èíäèâèäóàëüíîé ïî- ãðåøíîñòüþ � � i k i k, , �� , i n�1, , ãäå � i k, � — èíôîðìàöèîííîå ìíîæåñòâî âîçìîæ- íûõ çíà÷åíèé i-é êîîðäèíàòû ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû. Ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ � i k, � : � � k i i k � �� , , (3) ïðèâîäèò ê ìíîæåñòâó � k � âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû ñ ó÷åòîì äåéñòâèÿ íåîïðåäåëåííûõ ïîìåõ èçìåðåíèé. 2. Îïðåäåëÿåòñÿ óòî÷íåííîå ìíîæåñòâî � k r âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû â ìîìåíò êâàíòîâàíèÿ k ïóòåì ïåðåñå÷åíèÿ � � � k r k u k � � � , (4) ãäå � k u — ìíîæåñòâî ïðîãíîçèðóåìûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû ïîñëå ïðèìåíåíèÿ ðàññ÷èòàííîãî â ïðåäûäóùèé [ ]k �1 -é ìîìåíò êâàíòîâàíèÿ óïðàâëÿþùåãî âîç- äåéñòâèÿ uk�1. Åñëè k � 0 (ò.å. óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå uk�1 íå ðàññ÷èòûâàëîñü è, çíà÷èò, ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà � k u íå âûïîëíÿëîñü), òî � � k r k � . 24 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 3. Ñòðîèòñÿ ìíîæåñòâî � k k f , �1 , ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé ïðîãíîç âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé x k f k k f � �� 1 1 � , ñèñòåìû â [ ]k �1 -é ìîìåíò, â êîòîðûå îíà äîëæíà ïåðåé- òè â ñâîáîäíîì äâèæåíèè âî âðåìåííîì èíòåðâàëå [ , ]k k �1 èç ñîñòîÿíèÿ xk k r�� . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýòîãî ìíîæåñòâà � k k f , �1 ñîñòîÿíèé íåîáõîäèìî ðåà- ëèçîâàòü îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà � k r íà ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé xk�1 ñ ïî- ìîùüþ ñëåäóþùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ: x f x k f k k� � 1 ( ) . (5) 4. Ñòðîèòñÿ íîâîå ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû ñ ó÷åòîì âëèÿ- íèÿ âíåøíèõ âîçìóùåíèé wk k, �1 íà çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ âåêòîðà x k f �1 . Ïîñêîëü- êó î êîîðäèíàòàõ x k f �1 èçâåñòåí ëèøü ôàêò èõ ïðèíàäëåæíîñòè ìíîæåñòâó � k k f , �1 , ó÷åò âîçìóùåíèé ïðèâîäèò ê òðàíñôîðìàöèè (ðàçìûâàíèþ) ìíîæåñòâà ñîñòîÿíèé � k k f , �1 [11]. Åñëè íàïðàâëåíèÿ äåéñòâèé âîçìóùåíèé wk k, �1 èçâåñòíû, òî òðàíñôîðìàöèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ ëèøü â äàííûõ íàïðàâëåíèÿõ. Â îáùåì ñëó- ÷àå, êîãäà íàïðàâëåíèÿ äåéñòâèé âîçìóùåíèé çàðàíåå íåèçâåñòíû, òðàíñôîðìà- öèÿ ïðîâîäèòñÿ ïî âñåì âîçìîæíûì íàïðàâëåíèÿì. Òðàíñôîðìàöèÿ ìíîæåñòâà çíà÷åíèé êîìïîíåíòîâ âåêòîðà j k fx �1 ïðèâîäèò ê ñîîòâåòñòâóþùèì ìíîæåñòâàì îïèñàíèé âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû j k k w� , �1 â ìîìåíò êâàíòîâàíèÿ [ ]k �1 , êîòîðûå ôîðìèðóþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè âåêòîðàìè j k f j k f k k j k f k k j n x x w x w x� � � � �� 1 1 1 1 2 1 1{ , , , , , ( ), ( ), ..., k f k k j k k ww� � �� 1 1 1 ( ), , } � , ãäå j �1 2, , ... — êîëè÷åñòâî «òî÷å÷íûõ» çíà÷åíèé âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû. Îáúåäèíåíèå ïîëó÷åííûõ ìíîæåñòâ j k k w� , �1 ïðèâîäèò ê ðåçóëüòèðóþùåìó ìíîæåñòâó � k k w , �1 âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû â [ ]k �1 -é ìîìåíò ïðè äåéñò- âèè ïîìåõ èçìåðåíèé � k è âíåøíèõ âîçìóùåíèé wk k, �1: � � k k w j j k k w , ,� �� 1 1� . (6) 5. Íàõîäèòñÿ çíà÷åíèå x k u k k w � �� 1 1 � , ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, êîòîðîå èñïîëüçó- åòñÿ äëÿ ðàñ÷åòà óïðàâëÿþùåãî âîçäåéñòâèÿ uk , ìèíèìèçèðóþùåãî çàäàííûé ôóíêöèîíàë êà÷åñòâà. 6. Ïðîâîäèòñÿ ïåðåìåùåíèå ìíîæåñòâà � k k w , �1 íàéäåííûì óïðàâëåíèåì uk . Ïðè ýòîì ôîðìèðóåòñÿ íîâîå èíôîðìàöèîííîå ìíîæåñòâî � k u �1 , ïðåäñòàâëÿþ- ùåå ñîáîé ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû, â êîòîðûå îíà ïåðåéäåò ê ìîìåíòó [ ]k �1 ïîñëå ïðèìåíåíèÿ óïðàâëåíèÿ uk è ñ ó÷åòîì äåéñòâèÿ âîçìóùåíèé wk k, �1. 7. Îñóùåñòâëÿåòñÿ íîâîå èçìåðåíèå âûõîäíûõ êîîðäèíàò ñèñòåìû ñ öåëüþ óòî÷íåíèÿ åå ñîñòîÿíèÿ â ìîìåíò êâàíòîâàíèÿ [ ]k �1 , è ñòðîèòñÿ íîâîå óòî÷íåí- íîå ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé � k r �1 : � � � k r k u k� � � � 1 1 1� � . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 25 Ïðîâîäèòñÿ îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà � k r �1 íà ïðîñòðàíñòâî xk� 2 ñîñòîÿíèé, òåì ñàìûì ôîðìèðóåòñÿ ìíîæåñòâî � k k f � �1 2, âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé â ìîìåíò êâàíòîâàíèÿ [ ]k �2 , â êîòîðûå ñèñòåìà ìîæåò ïðèéòè â ñâîáîäíîì äâèæåíèè, è ïðèâåäåííàÿ âûøå ïðîöåäóðà èòåðàöèîííî ïîâòîðÿåòñÿ: îñóùåñòâëÿåòñÿ òðàíñ- ôîðìàöèÿ ìíîæåñòâà � k k f � �1 2, âîçìóùåíèåì wk k� �1 2, è ò.ä. Ïðè èçìåíåíèè ìîìåíòîâ êâàíòîâàíèÿ k îò 0 äî N �1 ñîâîêóïíîñòü ìíî- æåñòâ � k r ôîðìèðóåò àíñàìáëü òðàåêòîðèé ñèñòåìû � �r k r k N � � � � 0 1 . Ñòðóêòóðíàÿ ñõåìà óïðàâëåíèÿ äèñêðåòíîé ñèñòåìîé íà îñíîâå îïèñàííîé ïðîöåäóðû ïðèâåäåíà íà ðèñ. 1, ãäå rx — âõîä ñèñòåìû, yk — åå âûõîä. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ ñîãëàñíî ïðèâåäåííîìó âûøå àëãîðèò- ìó íåîáõîäèìî ðàçðàáîòàòü ýôôåêòèâíóþ ïðîöåäóðó îñóùåñòâëåíèÿ îïåðàöèé (3)–(6), ò.å. îïðåäåëåíèÿ ýâîëþöèîíèðóþùèõ âî âðåìåíè ìíîæåñòâ âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé, à òàêæå óñòàíîâèòü íàèáîëåå âåðîÿòíîå ôèêñèðîâàííîå çíà÷åíèå x k u k k w � �� 1 1 � , , âûáèðàåìîå äëÿ ðàñ÷åòà óïðàâëåíèÿ uk . ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÂÎÇÌÎÆÍÛÕ ÑÎÑÒÎßÍÈÉ Êàê ïðàâèëî, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâ âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû óïðàâ- ëåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ àïïàðàò ëèíåéíûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ, â òî âðåìÿ êàê ãåîìåòðè÷åñêèå îáúåêòû, õàðàêòåðèçóþùèå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû, óäîáíåå îïè- ñûâàòü âåùåñòâåííûìè ôóíêöèÿìè. Äàííûé ïîäõîä ðåàëèçóåòñÿ ìàòåìàòè÷åñ- êèìè ñðåäñòâàìè òåîðèè R-ôóíêöèé [20]. Îïèñàíèå ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ ñî- 26 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 Ðèñ. 1. Ñõåìà óïðàâëåíèÿ äèñêðåòíîé ñèñòåìîé Âíåøíèå âîçìóùåíèÿ w Ïîìåõè èçìåðåíèé � uk xkÎáúåêò óïðàâëåíèÿ yk Èçìåðèòåëüíûé êîìïëåêñ Ðåãèñòð ïàìÿòè uk �1 uk �1 Îöåíêà ëîãè÷íîñòè íàáëþäàåìîãî îòëè÷èÿ Êðèòåðèé îïòèìàëüíîñòè óïðàâëåíèÿ Îöåíêà îòëè÷èÿ îò êðèòåðèÿ xk u �1 rx �k k w , �1 Âûáîð ñîñòîÿíèÿ xk u �1 äëÿ ïîèñêà óïðàâëåíèÿ uk È í ô î ð ì àö è ÿ î w Ï î è ñê ó ï ð àâ ë åí è ÿ u k Òðàíñôîðìàöèÿ � k k f , �1 è ïîñòðî- åíèå �k k w , �1 � k k f , �1 Ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà � k k f , �1 �k r �k u � � �k r k u k� � � �k � È í ô î ð ì àö è ÿ î � Ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà �k � ïðè äåéñòâèè �k Ïðîãíîç �k u ñîñòîÿíèÿ ïîñëå óïðàâëåíèÿ �k k w , �1 ñòîÿíèé ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ ñ ïîìîùüþ R-ôóíêöèé ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî óìåíüøèòü êîëè÷åñòâî äàííûõ, íåîáõîäèìûõ äëÿ îöåíèâàíèÿ ñîñòîÿíèÿ äèíà- ìè÷åñêîé ñèñòåìû. Ïóñòü ýëåìåíòû, îïðåäåëÿþùèå âîçìîæíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû, ôîðìèðóþò ìíîæåñòâî (ãåîìåòðè÷åñêèé îáúåêò) � k , êîòîðîå îãðàíè÷åíî ñîâîêóïíîñòüþ ñî- îòâåòñòâóþùèõ ãðàíè÷íûõ ýëåìåíòîâ �� k . Îïèñàíèå äàííîãî ãåîìåòðè÷åñêîãî îáúåêòà âûïîëíèì ñ ïîìîùüþ R-ôóíêöèè �( , ), , ,x x xk k n k1 2 � �� , èìåþùåé ñëå- äóþùèå ñâîéñòâà: �( , , ..., ), , ,x x xk k n k1 2 0 ïðè ( , ), , ,x x xk k n k k1 2 � � �� , �( , ), , ,x x xk k n k1 2 0� � �� ïðè ( , ), , ,x x xk k n k k1 2 � � �� , �( , ), , ,x x xk k n k1 2 0� � �� ïðè ( , ), , ,x x xk k n k k k1 2 � � � �� . Îáîçíà÷èì R-ôóíêöèè, îïèñûâàþùèå ìíîæåñòâà � k � , � k u , � k r , � k k f , �1 è � k k w , �1 âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé äèñêðåòíîé ñèñòåìû, ñîîòâåòñòâåííî � � ( )xk , � u kx( ) , � r kx( ), � f kx( ) è � w kx( ) . Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî � k k w , �1 , êîòîðîå îáðàçóåòñÿ êàê ðåçóëüòàò îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé j k k w� , �1 (6), îïè- ñûâàåòñÿ R-ôóíêöèåé ñ èñïîëüçîâàíèåì R-îïåðàöèè äèçúþíêöèè: � � w k R j k w kx x( ) ( ) , �� , (7) ãäå � � � � � �j w R j w j w j w j w j w� � � �� 1 1 2 1 2( ) ( ) . (8) Îïèñàíèå ãåîìåòðè÷åñêîãî îáúåêòà, îïðåäåëÿåìîãî ìíîæåñòâîì � k r , ðåàëè- çóåòñÿ ñ ïîìîùüþ R-ôóíêöèè, èìåþùåé âèä � � � �r k u k R kx x x( ) ( ) ( )� � , (9) ãäå � R — R-îïåðàöèÿ êîíúþíêöèè � � � � � � � � �u R u u� � � � �( ) ( )2 2 . (10) Íà ðèñ. 2 ïðèâåäåíû ïîñòðîåííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì R-ôóíêöèé ýâîëþöèî- íèðóþùèå âî âðåìåíè ìíîæåñòâà � k r , � k k f , �1 è � k k w , �1 âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ, óðàâíåíèÿ (1), (2) äèíàìèêè êîòîðîé ïðèâåäåíû ê âèäó x Ax B u wk k k k� � � �1 ( ) , (11) y Cxk k k� � � , (12) ãäå A � � � � � � � � 0 9882 0 2125 0 0893 0 7120 , , , , ; B � � � � � � � 0 0281 0 2125 , , ; C � [ ]1 0 . Äåéñòâóþùèå íà ñèñòåìó âíåøíèå âîçìóùåíèÿ îãðàíè÷èâàþòñÿ óñëîâèåì \| \| ,wk � 0 3, à ïîìåõà èçìåðåíèÿ — óñëîâèåì \| \| ,� k � 0 025. Ïåðèîä äèñêðåòíîñòè ðàáîòû ñèñòåìû T � 0 25, ñ. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 27 Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâ (ñì. ðèñ. 2) èñïîëüçîâàëèñü çàâèñèìîñòè (7)–(10), ïðè ýòîì äîñòàòî÷íî èìåòü èíôîðìàöèþ î êîîðäèíàòàõ âåðøèí ìíîæåñòâ â âèäå ñîîòâåòñòâóþùåé ìàòðèöû âåðøèí V i n j Mij� � �[ ], [ , ], [ , ]� 1 1 , ãäå M — îáùåå ÷èñëî âåðøèí ìíîæåñòâà. Â j -ì ñòîëáöå ìàòðè- öû V ðàñïîëîæåíû êîîðäèíàòû j-é âåðøèíû. Äëÿ îïèñàíèÿ ïîäîáíûõ ìíî- æåñòâ ñ ïîìîùüþ àïïàðàòà ëèíåé- íûõ ìàòðè÷íûõ íåðàâåíñòâ, íàïðè- ìåð, â ðàáîòàõ [7, 11] èñïîëüçîâà- ëàñü ãîðàçäî áîëåå ãðîìîçäêàÿ ñòðóêòóðà. Íà ðèñ. 2 ïðèâåäåí äâóìåð- íûé ñëó÷àé, îäíàêî ïðåäëîæåííûé ïîäõîä áåç óñëîæíåíèé ïðèìåíèì äëÿ îïèñàíèÿ ìíîæåñòâ, â òîì ÷èñ- ëå è íåâûïóêëûõ, áîëüøèõ ðàçìåð- íîñòåé. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÒÎ×Å×ÍÎÃÎ ÇÍÀ×ÅÍÈß ÑÎÑÒÎßÍÈß Äëÿ ïîëó÷åíèÿ òî÷å÷íîé îöåíêè x k u k k w � �� 1 1 � , ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû èç èíôîðìà- öèîííîãî ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé � k k w , �1 èñïîëüçóþò òî÷êó, ëèáî îáåñ- ïå÷èâàþùóþ ìàêñèìóì çàäàííîãî ôóíêöèîíàëà êà÷åñòâà [5], ëèáî óäîâëåòâî- ðÿþùóþ óñëîâèþ ìèíèìóìà îøèáêè â íàèõóäøåì ñëó÷àå, ò.å. ÷åáûøåâñêèé öåíòð [14], êîòîðûé íàõîäèòñÿ êàê òî÷êà x u , ìàêñèìàëüíîå óäàëåíèå îò êîòî- ðîé äî ëþáîé äðóãîé òî÷êè ýòîãî ìíîæåñòâà � k k w , �1 ìèíèìàëüíî, ò.å. x x y yu x w w � � � � min max \|\| \|\| \| � �{ }, ãäå \| \| \| \|� — åâêëèäîâà íîðìà. Âûáîð çíà÷åíèÿ x u , ìàêñèìèçèðóþùåãî çàäàííûé ôóíêöèîíàë êà÷åñòâà, ïðåäïî÷òèòåëüíåå, òàê êàê ôóíêöèîíàë ìîæåò ó÷èòûâàòü íå òîëüêî ìèíèìóì îøèáêè, íî è çàòðàòû ðåñóðñîâ íà ðåàëèçàöèþ óïðàâëåíèÿ, à òàêæå îãðàíè÷åíèÿ íà èõ âåëè÷èíó [5]. Â òî æå âðåìÿ, ÷åì ìåíüøå îáúåì èñõîäíîé èíôîðìàöèè î äåéñòâóþùèõ íà ñèñòåìó íåîïðåäåëåííûõ ôàêòîðàõ, òåì áîëüøèå ìîùíîñòè èìåþò ñîîòâåòñòâóþùèå èíôîðìàöèîííûå ìíîæåñòâà � k k w , �1 , ÷òî ìîæåò ïîòðå- áîâàòü á�ëüøèõ óñèëèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. Òàêèì îáðà- çîì, íåîáõîäèìî ðåøåíèå çàäà÷è îáîñíîâàííîãî óìåíüøåíèÿ ìîùíîñòè ìíîæåñ- òâà � k k w , �1 , ò.å. ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâà � �k k k k w , * ,� ��1 1 ñ öåëüþ ïîèñêà áîëåå âå- ðîÿòíîãî çíà÷åíèÿ x k u k k� �� 1 1� , * . Â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà � k k, * �1 íàèáîëåå âåðîÿòíûõ çíà÷åíèé êîîðäèíàò ñî- ñòîÿíèÿ ñèñòåìû ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü ìíîæåñòâî, ïðåäñòàâëÿþùåå ñîâî- êóïíîñòü òî÷åê, ãåîìåòðè÷åñêè ðàâíîóäàëåííûõ îò ãðàíèöû � �� k k w , 1 ìíîæåñòâà � k k w , �1 . Ïðîöåäóðà ïîñòðîåíèÿ òàêîãî ìíîæåñòâà îïèñàíà â [21] è îñíîâàíà íà 28 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 Ðèñ. 2. Ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû, ïîñòðîåííûå ñ ïîìîùüþ R-ôóíêöèé �k r �k k w , �1 � k k f , �1 x1 x2 0,8 0,90,85 1 1,050,95 1,151,1 0,1 0,2 0,4 0,3 0,7 0,8 0,6 0,5 ïîñòðîåíèè íîðìàëüíîé â îáëàñòè � k k w , �1 ôóíêöèè � * ( )xk ïóòåì óñòàíîâ- ëåíèÿ ïîëîæåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè ìíîæåñòâà ïî îòíîøåíèþ ê áëèæàéøåé (ïî íàïðàâëåíèþ ê íîðìàëè) ê íåé òî÷êè ãðàíèöû � �� k k w , 1 . Íà ðèñ. 3 èçîáðàæåíû ëèíèè óðîâíÿ ôóíêöèè � * ( )xk è ìíîæåñ- òâî � k k, * �1, ñîîòâåòñòâóþùèå ïðèâåäåí- íîìó íà ðèñ. 2 èíôîðìàöèîííîìó ìíî- æåñòâó � k k w , �1 . ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈß Ýôôåêòèâíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ìíîæåñò- âà � k k, * �1 íàèáîëåå âåðîÿòíûõ çíà÷åíèé êîîðäèíàò ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ðàññìîò- ðèì íà ïðèìåðå óïðàâëåíèÿ îáúåêòîì, îïèñûâàåìîì óðàâíåíèÿìè (11), (12) ñ óêàçàííûìè âûøå çíà÷åíèÿìè ñîîòâåò- ñòâóþùèõ ïàðàìåòðîâ. Ïîìåõà èçìåðå- íèÿ ëåæèò â èíòåðâàëå \| \| ,� k � 0 025 è ïîä÷èíÿåòñÿ ðàâíîìåðíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿ ñðàâíåíèÿ ðàññìîòðèì òàêæå ðåçóëüòàòû ðàáîòû ñèñòåìû ñ àíàëîãè÷íûìè ïàðàìåòðàìè, îäíàêî áåç ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâà � k k, * �1 [11]. Íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå ñèñòåìû îò æåëàå- ìîãî ðåæèìà x 0 0 5 0 7� ( , ; , ) . Öåëüþ óïðàâëåíèÿ áóäåì ñ÷èòàòü ìèíèìèçàöèþ ôóíêöèè J V x uk k k � � ��max ( ) , min1 20 5 , ãäå V xkmax ( )�1 — ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè Ëÿïóíîâà íà ìíîæåñòâå âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé â ìîìåíò [ ]k �1 . Íà ðèñ. 4 ïðåäñòàâëåíû èí- ôîðìàöèîííûå ìíîæåñòâà � 25 r è ~ � 25 r ïðè k � 25, à òàêæå ñîîòâåò- ñòâóþùèå èñòèííûå ñîñòîÿíèÿ x25 è ~x25 , ãäå âåðõíèé ñèìâîë ~ ñîîò- âåòñòâóåò ñëó÷àþ, êîãäà èíôîðìà- öèîííûå ìíîæåñòâà � k k, * �1 íå ñòðîèëèñü. Õàðàêòåð äåéñòâèÿ âíåøíèõ âîçìóùåíèé wk è óïðàâ- ëÿþùèõ âîçäåéñòâèé uk ïîêàçàí íà ðèñ. 5. Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ñëó÷àé, êîãäà íà ñèñòåìó äåéñòâóþò ìàê- ñèìàëüíî âîçìîæíûå âîçìóùåíèÿ (ñì. ðèñ. 5, ìîìåíòû êâàíòîâàíèÿ k � 5 9, ). Òîãäà èñòèííîå çíà÷åíèå ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 29 Ðèñ. 4. Èíôîðìàöèîííûå ìíîæåñòâà è èñòèííûå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ïðè èñïîëüçîâàíèè (�25 r , x25) è áåç èñïîëüçîâàíèÿ ( ~ �25 r , ~x25) èíôîðìàöèîííûõ ìíîæåñòâ �k k, * �1 x1 ~ �25 r �25 r ~x25 x25 x2 � 0,08 � 0,15 � 0,1 � 0,05 0 0,05 0,1 0,15 0 0,04� 0,04� 0,1 Ðèñ. 3. Ìíîæåñòâî íàèáîëåå âåðîÿòíûõ çíà- ÷åíèé êîîðäèíàò ñîñòîÿíèÿ 0,9 0,95 1,051 1,1 1,15 x1 0,1 x2 0,15 0,2 0,35 0,3 0,25 0,4 0,45 0,5 0,55 �k k, � � 1 �k k w , �1 Ëèíèè óðîâíÿ ôóíêöèè � � ( )xk ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ìîæåò è íå ïðèíàäëåæàòü èíôîðìàöèîííîìó ìíîæåñòâó � k k, * �1. Ïîâåäåíèå âû- õîäíîãî ñèãíàëà ñèñòåìû â ýòîì ñëó÷àå ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. 6, ãäå õîðîøî âèäíî, ÷òî âûõîä yk ñèñòå- ìû, â êîòîðîé èñïîëüçóþòñÿ èí- ôîðìàöèîííûå ìíîæåñòâà � k k, * �1, îòêëîíÿåòñÿ îò æåëàåìîãî ðåæèìà áîëüøå, ÷åì âûõîä ~yk ñèñòåìû, â êîòîðîé èñïîëüçóþòñÿ èíôîðìà- öèîííûå ìíîæåñòâà � k k, * �1, îäíà- êî ýòî îòêëîíåíèå äîñòàòî÷íî áûñòðî ëèêâèäèðóåòñÿ. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â ðàáîòå ïðåäëîæåíà ïðîöåäóðà îöåíèâàíèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ â óñëîâèÿõ äåéñòâèÿ íåêîíòðîëèðîâàííûõ îãðàíè÷åí- íûõ âîçìóùåíèé, îñíîâàííàÿ íà ìàòåìàòè÷åñêèõ ñðåäñòâàõ òåîðèè R-ôóíêöèé êàê àëüòåðíàòèâû ëè- íåéíûì ìàòðè÷íûì íåðàâåíñòâàì äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâà âîç- ìîæíûõ ñîñòîÿíèé. Ïðèìåíåíèå R-ôóíêöèé, îñî- áåííîñòüþ êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ îòíî- ñèòåëüíàÿ ïðîñòîòà è ãèáêîñòü ñ òî÷êè çðåíèÿ àâòîìàòèçàöèè ïðî- ãðàììèðîâàíèÿ, ïîçâîëÿåò îïèñû- âàòü ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ ñîñòîÿ- íèé ñèñòåìû ïðàêòè÷åñêè ëþáîé ñëîæíîñòè è ðàçìåðíîñòè. Äëÿ ïðèáëèæåíèÿ ðàáîòû ñèñòåìû ê îïòèìàëüíîìó ðåæèìó äâèæåíèÿ ïðåä- ëîæåíî ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà íàèáîëåå âåðîÿòíûõ çíà÷åíèé êîîðäèíàò ñîñòîÿ- íèÿ ñèñòåìû êàê ñîâîêóïíîñòè òî÷åê, ãåîìåòðè÷åñêè ðàâíîóäàëåííûõ îò ãðàíè- öû èñõîäíîãî èíôîðìàöèîííîãî ìíîæåñòâà. Ïîëó÷åííûå â äàííîé ñòàòüå ðåçóëüòàòû ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè îïðåäåëå- íèè îïòèìàëüíîãî (ñóáîïòèìàëüíîãî) óïðàâëåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåîïðåäåëåííû- ìè ñèñòåìàìè. Â äàëüíåéøåì ïðåäïîëàãàåòñÿ èññëåäîâàòü ïðàêòè÷åñêóþ ýôôåêòèâíîñòü äàííîé ïðîöåäóðû ïðè îöåíèâàíèè ñîñòîÿíèÿ è ïîèñêà ðîáàñòíîãî óïðàâëåíèÿ ñèñòåì ñ íåëèíåéíûìè îáúåêòàìè è, ñëåäîâàòåëüíî, íåâûïóêëûìè èíôîðìàöè- îííûìè ìíîæåñòâàìè. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. A t h a n s M . The role and use of the stochastic linear-quadratic-Gaussian problem in control system design // IEEE Trans. Automat. Control. — 1971. — 16, N 1. — P. 529–552. 30 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 Ðèñ. 6. Ãðàôèêè çàâèñèìîñòè âûõîäíîãî ñèãíàëà ñèñòåìû ïðè wk � 0 3, ( yk — ñèñòåìà, â êîòîðîé ìíîæåñòâà �k k, * �1 èñïîëüçóþòñÿ, ~yk — ýòè ìíî- æåñòâà íå èñïîëüçóþòñÿ) îò âðåìåííîãî øàãà k Âðåìåííîé øàã, k À ì ï ë è òó ä à yk ~yk 4 6 108 16 181412 � 0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Ðèñ. 5. Ãðàôèêè çàâèñèìîñòè âíåøíèõ âîçìóùåíèé wk è óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé uk â ïðîöåññå ìîäåëèðîâàíèÿ îò âðåìåííîãî øàãà k 0 � 0,6 5 1510 2520 uk Âðåìåííîé øàã, k wk � 0,4 0,6 � 0,2 0 0,4 0,2 À ì ï ë è òó ä à 2. Ê à ç à ê î â È . Å . Ñòàòèñòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé. — Ì.: Íàóêà, 1975. — 432 ñ. 3. G r e w a l M . S . , A n d r e w s A . P . Kalman filtering: theory and practice using MATLAB. — Wiley-IEEE press, 2008 — 592 p. 4. B e r t s e k a s D . P . , R h o d e s I . B . Recursive state estimation for a set-membership description of uncertainty // IEEE Trans. Automat. Control. — 1971. — 16, N 2. — P. 117–128. 5. Ê ó í ö å â è ÷ Â . Ì . , Ë û ÷ à ê Ì . Ì . Ñèíòåç îïòèìàëüíûõ è àäàïòèâíûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ. Èãðîâîé ïîäõîä. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1985. — 248 ñ. 6. Ê å é í Â . Ì . Îïòèìèçàöèÿ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ïî ìèíèìàêñíîìó êðèòåðèþ. — Ì.: Íàóêà, 1985. — 248 ñ. 7. Ë û ÷ à ê Ì . Ì . Èäåíòèôèêàöèÿ è îöåíèâàíèå ñîñòîÿíèÿ îáúåêòîâ óïðàâëåíèÿ íà îñíîâå ìíî- æåñòâåííîãî ïîäõîäà // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 1999. — ¹ 5. — Ñ. 34–41. 8. L i Y u , Q i n g - L o n g H a n , M i n g - X u a n S u n . Optimal guaranteed cost control of linear uncertain systems with input constraints // Intern. J. Control, Automat., and Syst. — 2005. — 3, N 3. — P. 397–402. 9. F o g e l E . , H u a n g F . On the value of information in system identification bounded noise case // Automatica. — 1982. — 18, N 2. — P. 229–238. 10. N o r t o n J . P . Identification and application of bounded-parameter models // Ibid. — 1987. — 23, N 4. — P. 497–507. 11. E r y e m e n k o I . F . , G u r k o A . G . Realization of the game approach to control of second order linear objects // J. Automat. and Inform. Sci. — 2009. — 41, N 10. — P. 10–22. 12. G u r k o A . G . , E r y e m e n k o I . F . Control of discrete system under bounded disturbances // Ibid. — 2011. — 43, N 11. — P. 18–29. 13. Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . Óïðàâëåíèå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé. — Ì.: Íàóêà, 1985. — 518 ñ. 14. Ê ó ð æ à í ñ ê è é À . Á . Óïðàâëåíèå è íàáëþäåíèå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè. — Ì.: Íàóêà, 1977. — 392 ñ. 15. × å ð í î ó ñ ü ê î Ô . Ë . , Ê î ë ì à í î â ñ ê è é Â . Á . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ïðè ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèÿõ. — Ì.: Ôèçìàòëèò, 1978. — 352 ñ. 16. Á à õ ø è ÿ í Á . Ö . , Í à ç è ð î â Ð . Ð . , Ý ë ü ÿ ñ á å ð ã Ï . Å . Îïðåäåëåíèå è êîððåêöèÿ äâè- æåíèÿ: Ãàðàíòèðóþùèé ïîäõîä. — Ì.: Íàóêà, 1980. — 360 ñ. 17. À í à í ü å â Á . È . Îá èíôîðìàöèîííûõ ìíîæåñòâàõ äëÿ ìíîãîøàãîâûõ ñòàòèñòè÷åñêè íåîïðå- äåëåííûõ ñèñòåì // Òð. Èí-òà ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÓðÎ ÐÀÍ. — 2000. — 6, ¹ 2. — Ñ. 290–306. 18. Ì è ë ë å ð Ã . Á . , Ï à í ê î â À . Ð . Îïòèìèçàöèÿ óïðàâëåíèÿ â ëèíåéíûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ äèô- ôåðåíöèàëüíûõ ñèñòåìàõ ñ íåîïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè âîçìóùåíèé // Èíôîðì. ïðîöåññû. — 2006. — 6, ¹ 2. — Ñ. 131–143. 19. Ò è ì î ô å å â à Ã . À . Îïòèìàëüíûå äîâåðèòåëüíûå ìíîæåñòâà äëÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåîïðåäå- ëåííûõ ñèñòåì // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 2003. — ¹ 11. — Ñ. 84–95. 20. Ð â à ÷ å â Â . Ë . Òåîðèÿ R-ôóíêöèé è íåêîòîðûå åå ïðèëîæåíèÿ. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1982. — 551 ñ. 21. Ç à ñ ë à â ñ ê è é Â . À . , Ê î ë î ä ÿ æ í û é Â . Ì . Ôóíêöèîíàëüíîå è àëãîðèòìè÷åñêîå îïèñà- íèå ãåîìåòðè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé ôàñîííûõ îòëèâîê ïðè ìîäåëèðîâàíèè ëèòåéíûõ ïðî- öåññîâ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2004. — ¹ 2. — Ñ. 161–169. Ïîñòóïèëà 28.11.2011 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 31

Оценивание вектора состояния динамической системы в условиях неопределенности

Репозитарії

Схожі ресурси