Моделирование конфликтных транспортных потоков
Запропоновано модель мережі, в яку надходять конфліктні транспортні потоки. Сформульовано алгоритм статистичного моделювання, який дозволяє у режимі реального часу оцінити кількість вимог, що знаходяться у черзі біля кожного світлофора. Запропоновано алгоритм, що дозволяє визначити режим роботи світ...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86288 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделирование конфликтных транспортных потоков / Н.Ю. Кузнецов, М.А. Федоткин // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 32-39. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859770521330122752 |
|---|---|
| author | Кузнецов, Н.Ю. Федоткин, М.А. |
| author_facet | Кузнецов, Н.Ю. Федоткин, М.А. |
| citation_txt | Моделирование конфликтных транспортных потоков / Н.Ю. Кузнецов, М.А. Федоткин // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 32-39. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Запропоновано модель мережі, в яку надходять конфліктні транспортні потоки. Сформульовано алгоритм статистичного моделювання, який дозволяє у режимі реального часу оцінити кількість вимог, що знаходяться у черзі біля кожного світлофора. Запропоновано алгоритм, що дозволяє визначити режим роботи світлофорів, який забезпечує стійкість роботи мережі (якщо такий режим взагалі існує). Розглянуто чисельний приклад.
A model of a network with conflicting input transport flows is proposed. A Monte Carlo algorithm to evaluate the number of customers in queues by every light signal in real time is formulated. An algorithm is proposed that makes it possible to identify the traffic light mode (if exists) ensuring the stability of the network. A numerical example is considered. F
|
| first_indexed | 2025-12-02T06:38:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
Í.Þ. ÊÓÇÍÅÖÎÂ, Ì.À. ÔÅÄÎÒÊÈÍ
ÓÄÊ 519.873 ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÊÎÍÔËÈÊÒÍÛÕ
ÒÐÀÍÑÏÎÐÒÍÛÕ ÏÎÒÎÊÎÂ1
Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîíôëèêòíûå òðàíñïîðòíûå ïîòîêè, ìåòîä ñòàòèñòè÷åñ-
êîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, óïðàâëåíèå ïîòîêàìè.
Òåîðèÿ ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ êàê íàóêà îòìåòèëà ñòîëåòíèé þáèëåé. Åñëè
ïåðâûå çíà÷èìûå ðàáîòû îòíîñèëèñü ê òåëåôîíèè, òî â äàëüíåéøåì êðóã ïðè-
ëîæåíèé òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ çíà÷èòåëüíî ðàñøèðèëñÿ. Ñèñòåìû
è ñåòè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ êàê àäåêâàòíûå ìîäåëè äëÿ
îïèñàíèÿ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ðåàëüíûõ ñèñòåì. Çàäà÷à èññëåäîâàíèÿ è óïðàâëå-
íèÿ êîíôëèêòíûìè òðàíñïîðòíûìè ïîòîêàìè õîðîøî îïèñûâàåòñÿ ñåòüþ ñèñòåì
ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ. Ñóùåñòâåííûé âêëàä â ñîçäàíèå ìîäåëåé è ìåòîäîâ
èññëåäîâàíèÿ êîíôëèêòíûõ òðàíñïîðòíûõ ïîòîêîâ âíåñëà Íèæåãîðîäñêàÿ ìàòå-
ìàòè÷åñêàÿ øêîëà [1–7]. Ðàçðàáîòàí ðÿä ìîäåëåé, îïèñûâàþùèõ âçàèìîäåéñòâèå
êîíôëèêòíûõ òðàíñïîðòíûõ ïîòîêîâ, ïîñòóïàþùèõ íà ïåðåêðåñòîê àâòîìîáèëü-
íûõ ìàãèñòðàëåé. Ìîäåëè ñòðîÿòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîâåäåíèå ñèñòåìû
îïèñûâàëîñü öåïüþ Ìàðêîâà, õîòÿ è äîñòàòî÷íî ñëîæíîé ñòðóêòóðû. Äàëåå
ïðèìåíÿëàñü ýðãîäè÷åñêàÿ òåîðèÿ ìàðêîâñêèõ öåïåé. Áûë ïðåäëîæåí èòåðàòèâ-
íî-ìàæîðèòàðíûé ìåòîä (ñì., íàïðèìåð, [1, 4, 6]), ïîçâîëÿþùèé óñòàíàâëèâàòü
íåîáõîäèìûå è/èëè äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýðãîäè÷íîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ öåïè
Ìàðêîâà. Èç ïîñëåäíèõ ðàáîò â ýòîì íàïðàâëåíèè îòìåòèì [7], â êîòîðîé ïî-
ëó÷åíî íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
öåïè Ìàðêîâà, îïèñûâàþùåé ôóíêöèîíèðîâàíèå òàíäåìà èç äâóõ ïåðåêðåñ-
òêîâ.  òî æå âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ íà áîëüøåå êî-
ëè÷åñòâî ïåðåêðåñòêîâ ñòàëêèâàåòñÿ ñ ñåðüåçíûìè ïðîáëåìàìè, âûçâàííûìè
íåîáîçðèìûì ðàñøèðåíèåì ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé öåïè Ìàðêîâà.
Ìåòîä ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ (ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî), âîçíèêøèé îêî-
ëî 70 ëåò òîìó íàçàä, ñ ðàçâèòèåì âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè ïîëó÷èë øèðîêîå ðàñ-
ïðîñòðàíåíèå â èíæåíåðíûõ ðàñ÷åòàõ è ïðè ìîäåëèðîâàíèè ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿ-
ùèõ â ðåàëüíûõ ñèñòåìàõ. Èñõîäÿ èç ñëîæíîñòè âçàèìîçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ ïðî-
öåññîâ, èñïîëüçóåìûõ äëÿ îïèñàíèÿ êîíôëèêòíûõ ïîòîêîâ â ñåòè èç n ïåðåêðåñòêîâ,
ïî-âèäèìîìó, ìåòîä ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ åäâà ëè íå åäèíñòâåí-
íûì èíñòðóìåíòîì ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ ïàðàìåòðîâ ñåòè.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðåäëîæåíà ìîäåëü ñåòè èç n îäíîëèíåéíûõ ñèñòåì ìàñ-
ñîâîãî îáñëóæèâàíèÿ. Ñôîðìóëèðîâàí àëãîðèòì ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâà-
íèÿ, ïîçâîëÿþùèé â ðåæèìå ðåàëüíîãî âðåìåíè ïðîñëåäèòü çà êîëè÷åñòâîì òðå-
áîâàíèé, íàõîäÿùèõñÿ â î÷åðåäè ó êàæäîãî ñâåòîôîðà, à òàêæå îöåíèòü ñêîëü-
32 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6
1 Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ÍÀÍ Óêðàèíû (ÍÄÐ îò 29.03.2012 ã., äîãîâîð ¹ ÂÊ.125.15.12)
è Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé (ãðàíò ¹ 12-01-90409_Óêð_à, äîãîâîð
¹ ÍÊ-12-01-90409.13).
© Í.Þ. Êóçíåöîâ, Ì.À. Ôåäîòêèí, 2013
çÿùèå ñðåäíèå âåëè÷èíû ñîîòâåòñòâóþùèõ î÷åðåäåé. Êðîìå òîãî, ïðåäëîæåí
àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé óñòàíîâèòü ðåæèìû ðàáîòû ñâåòîôîðîâ, îáåñïå÷èâàþùèå
óñòîé÷èâîñòü ðàáîòû ñåòè (åñëè âîîáùå òàêèå ðåæèìû ñóùåñòâóþò). Äàííûå ðå-
çóëüòàòû ïðîèëëþñòðèðîâàíû íà ÷èñëåííîì ïðèìåðå ñåòè èç n � 20 ñâåòîôîðîâ.
ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÌÎÄÅËÈ
Ïðåäëàãàåìàÿ ìîäåëü íå ïðåòåíäóåò íà îïèñàíèå âñåõ âîçìîæíûõ ñèòóàöèé (÷òî
âðÿä ëè âîçìîæíî). Âñå ñâåòîôîðû ïðåäïîëàãàþòñÿ îäíîãî òèïà (íåêîòîðîãî
ðàçíîîáðàçèÿ ìîæíî äîáèòüñÿ èçìåíåíèåì ïàðàìåòðîâ). Åñëè âîçíèêíåò íåîáõî-
äèìîñòü ó÷åñòü ñâåòîôîðû äðóãîãî òèïà, òî ýòî ëåãêî ñäåëàòü â ðàìêàõ äàííîé
ìîäåëè. Îáîñíîâàíèåì âûáîðà ýòîé ìîäåëè ñëóæèò äîñòóïíîñòü ñòàòèñòè÷åñêèõ
äàííûõ îòíîñèòåëüíî âñåõ ïàðàìåòðîâ, âõîäÿùèõ â èñõîäíûå äàííûå. Èñïîëü-
çîâàíèå èìèòàöèîííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïîçâîëÿåò îòêàçàòüñÿ îò ïðåäïîëîæåíèÿ
îá ýêñïîíåíöèàëüíîñòè âðåìåíè ïåðåäâèæåíèÿ ìàøèí ìåæäó ïåðåêðåñòêàìè
(äàæå ñìåùåííîå ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå íå âïîëíå îòâå÷àåò ðåàëü-
íîñòè). Ïîòîêè ìàøèí, âõîäÿùèå â ðàçëè÷íûå óçëû ñåòè, ïðåäïîëàãàþòñÿ ñòà-
öèîíàðíûìè ïóàññîíîâñêèìè. Âîçìîæíî ìîäåëèðîâàíèå ñåòè è â ñëó÷àå ïîòî-
êîâ áîëåå ñëîæíîé ñòðóêòóðû (íåñòàöèîíàðíûå, íåîðäèíàðíûå), íî âîçíèêàåò
ïðîáëåìà äîñòóïíîñòè ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ. Ïðåäëàãàåìàÿ ìîäåëü ñåòè îá-
ñëóæèâàíèÿ îñíîâûâàåòñÿ íà ñëåäóþùèõ ïîñòóëàòàõ.
1. Çàäàåòñÿ ñòðóêòóðà ñåòè ïåðåêðåñòêîâ (îäíîëèíåéíûå ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ):
� èìååòñÿ n âçàèìîñâÿçàííûõ ïåðåêðåñòêîâ (i n�1, ..., ), íà êàæäîì èç êîòî-
ðûõ ðàñïîëîæåí ñâåòîôîð;
� êàæäûé ïåðåêðåñòîê ñîäåðæèò ïî ÷åòûðå âõîäà/âûõîäà ( j �1 2 3 4, , , ); èõ íóìå-
ðàöèÿ ïðîâîäèòñÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå; ñâåòîôîðû íà ïåðåêðåñòêàõ ðàáîòàþò â öèêëè-
÷åñêîì ðåæèìå: 1 3� (çåëåíûé ñâåò), ïåðåêëþ÷åíèå (æåëòûé ñâåò), 2 4� (çåëåíûé
ñâåò), ïåðåêëþ÷åíèå (æåëòûé ñâåò), 1 3� (çåëåíûé ñâåò) è ò.ä.; â äàëüíåéøåì çàïèñü
«ïåðåêðåñòîê ( , )i j » îçíà÷àåò, ÷òî ðå÷ü èäåò î âõîäå/âûõîäå j ïåðåêðåñòêà i;
� çàäàåòñÿ êîììóòàöèÿ ïåðåêðåñòêîâ: ( , ) ( , )i j k l� ; ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîòîê
òðåáîâàíèé ñ j-ãî âûõîäà ïåðåêðåñòêà i ïîñòóïàåò íà l-é âõîä ïåðåêðåñòêà k; àíà-
ëîãè÷íî ïîòîê òðåáîâàíèé ñ l-ãî âûõîäà ïåðåêðåñòêà k ïîñòóïàåò íà j-é âõîä ïå-
ðåêðåñòêà i; èíà÷å ãîâîðÿ, çàäàíî îòîáðàæåíèå íà ïðîñòðàíñòâå ïàð:
h i j k l h k l i j( , ) ( , ), ( , ) ( , )� � ;
� çàäàåòñÿ ìíîæåñòâî I i j� { }( , ) âõîäîâ ïåðåêðåñòêîâ, íà êîòîðûå èçâíå
ñåòè ïîñòóïàþò ïóàññîíîâñêèå ïîòîêè òðåáîâàíèé;
� çàäàåòñÿ ìíîæåñòâî O i j� { }( , ) âûõîäîâ ïåðåêðåñòêîâ, êîòîðûå îäíîâðå-
ìåííî ÿâëÿþòñÿ âûõîäàìè èç ñåòè (ïîñòóïèâøåå íà äàííûé âûõîä òðåáîâàíèå
ïîêèäàåò ñåòü);
� â íà÷àëüíûé ìîìåíò â ñåòè íåò òðåáîâàíèé.
2. Çàäàþòñÿ ÷èñëåííûå õàðàêòåðèñòèêè ñåòè:
� äëÿ êàæäîãî ( , )i j I� çàäàåòñÿ èíòåíñèâíîñòü �( , )i j âõîäÿùåãî ïîòîêà òðå-
áîâàíèé;
� äëÿ êàæäîãî i n�1, ..., çàäàþòñÿ � �
1 2
( ) ( ),i i è �
0
( )i — ñîîòâåòñòâåííî ïðîäîë-
æèòåëüíîñòè ðàáîòû i-ãî ñâåòîôîðà â ðåæèìàõ ïðîïóñêà (çåëåíûé ñâåò) ïîòîêîâ
1 3 2 4� �, è ïåðåêëþ÷åíèÿ ìåæäó äàííûìè ðåæèìàìè (æåëòûé ñâåò); âåëè÷è-
íû � �
1 2
( ) ( ),i i è �
0
( )i ïðåäïîëàãàþòñÿ äåòåðìèíèðîâàííûìè;
� íà êàæäîì âõîäå ( , )i j ïîòîê ðàçäåëÿåòñÿ íà òðè ïîòîêà: ëåâûé, ïðàâûé
è öåíòðàëüíûé ñîîòâåòñòâåííî ñ âåðîÿòíîñòÿìè p i j p i jl r( , ), ( , ) è p i jc ( , ), ïðè-
÷åì p i j p i j p i jl r c( , ) ( , ) ( , )� � �1;
� òðåáîâàíèÿ ïðàâîãî ïîòîêà ïðîõîäÿò â ðåæèìå «çåëåíàÿ ñòðåëêà», ò.å. áåç
îæèäàíèÿ ðàçðåøàþùåãî ñèãíàëà ñâåòîôîðà; âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ (ïðîõîæäåíèÿ
ïåðåêðåñòêà ( , )i j ) òðåáîâàíèé äàííîãî ïîòîêà èìååò ðàñïðåäåëåíèå F xij
r( ) ( ) , x � 0 ;
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 33
� òðåáîâàíèÿ öåíòðàëüíîãî ïîòîêà îáñëóæèâàþòñÿ òîëüêî ïðè ðàçðåøàþùåì
ñèãíàëå ñâåòîôîðà; âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ èìååò ðàñïðåäåëåíèå F x xij
c( ) ( ), � 0 ;
� òðåáîâàíèÿ ëåâîãî ïîòîêà îáñëóæèâàþòñÿ òîëüêî ïðè ðàçðåøàþùåì ñèã-
íàëå ñâåòîôîðà; âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ èìååò ðàñïðåäåëåíèå F x xij
l( ) ( ), � 0 ;
� äëÿ êàæäîé ïàðû ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé ïåðåêðåñòêîâ (( , ) ( , )i j k l� ) çà-
äàåòñÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F x xij kl( ),( ) ( ), � 0 , âðåìåíè ïðîõîæäåíèÿ òðåáîâà-
íèÿ îò âûõîäà îäíîãî èç íèõ äî âõîäà äðóãîãî.
Îïèñàííàÿ ìîäåëü èìååò äîñòàòî÷íî ñëîæíóþ ñòðóêòóðó, çàäàâàåìóþ ìíîãî-
÷èñëåííûìè ïàðàìåòðàìè. Äëÿ òîãî ÷òîáû ñäåëàòü ìîäåëü áîëåå óäîáíîé äëÿ ìî-
äåëèðîâàíèÿ, ïðîâåäåì åå äèñêðåòèçàöèþ.  êà÷åñòâå åäèíèöû èçìåðåíèÿ âûáå-
ðåì îäíó ñåêóíäó. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå âåëè÷èíû, îòíîñÿùèåñÿ êî âðåìåíè âû-
ïîëíåíèÿ òîé èëè èíîé îïåðàöèè, ÿâëÿþòñÿ êðàòíûìè 1 ñ. Èíà÷å ãîâîðÿ, âñå
íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû îêðóãëÿåì äî áëèæàéøåãî öåëîãî.  òåîðèè
ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ äâà ïîäõîäà: ìåòîä óçëîâûõ
ìîìåíòîâ è t-ìåòîä. Ïåðâûé ìåòîä áîëåå ïîïóëÿðåí. Îí îñíîâàí íà ìîäåëèðîâà-
íèè èçìåíåíèé ñîñòîÿíèé ñèñòåìû, ïðîèñõîäÿùèõ â ìîìåíòû îêîí÷àíèÿ òåõ èëè
èíûõ îïåðàöèé (îáñëóæèâàíèå è ïîñòóïëåíèå òðåáîâàíèÿ, ïðîôèëàêòèêà è ò.ï.).
Ýòîò ïîäõîä ýôôåêòèâíåå, êîãäà ÷àñòîòà óçëîâûõ ìîìåíòîâ íå î÷åíü âåëèêà. Âòî-
ðîé ìåòîä ìîäåëèðóåò èçìåíåíèå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû çà ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìå-
íè t. Äàííûì ïîäõîäîì âîñïîëüçóåìñÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïîñòóïëåíèÿ òðåáîâà-
íèé â ñåòü è ïåðåäâèæåíèÿ èõ ìåæäó óçëàìè. Ïîëîæèì t �1ñ.
Öåëüþ èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ðàçðàáîòêà àëãîðèòìà ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäå-
ëèðîâàíèÿ â ðåæèìå ðåàëüíîãî âðåìåíè äëèí î÷åðåäåé { }w i j kk( ) ( , ), , ,�1 2 � íà
êàæäîì ïåðåêðåñòêå, à òàêæå ñóììàðíîãî êîëè÷åñòâà z k( ) òðåáîâàíèé, íàõîäÿ-
ùèõñÿ â ñåòè (â î÷åðåäÿõ, íà îáñëóæèâàíèè, â äâèæåíèè ìåæäó óçëàìè ñåòè). Ïà-
ðàìåòð k îçíà÷àåò k-þ ñåêóíäó ñ ìîìåíòà íà÷àëà ðàáîòû ñåòè. Ïðè ýòîì
âû÷èñëÿþòñÿ ñêîëüçÿùèå ñðåäíèå
W i j
L
w i j Z
L
zk m
m k L
k
k m
m k L
k
( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( , ),� �
�
� �
�
�
1 1
1 1
� � �, , , ...k L L 1 , (1)
ãäå L — çàäàííûé ïåðèîä óñðåäíåíèÿ. Ïðè âûñîêèõ èíòåíñèâíîñòÿõ âõîäÿùèõ
ïîòîêîâ è íåóäà÷íîì âûáîðå { }� �1 2( ), ( )i i çàãðóæåííîñòü ñåòè áóäåò íåîãðàíè-
÷åííî âîçðàñòàòü. Íåòðóäíî ñôîðìóëèðîâàòü óñëîâèÿ, ãàðàíòèðóþùèå ñóùåñ-
òâîâàíèå ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà òðåáîâàíèé â î÷åðåäè ê ïåðå-
êðåñòêó ( , )i j I� .  òî æå âðåìÿ âûïîëíåíèå ýòèõ óñëîâèé íå îçíà÷àåò ñóùåñ-
òâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ âíóòðåííèõ ïåðåêðåñòêîâ ( , )i j I� .
Ñëîæíîñòü è âçàèìîçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, îïèñûâàþùèõ èçìåíå-
íèå î÷åðåäåé âíóòðè ñåòè, íå ïîçâîëÿþò èñïîëüçîâàòü àíàëèòè÷åñêèé àïïàðàò
äëÿ ïîëó÷åíèÿ óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ðàñïðåäåëåíèé äëÿ âñåõ
ïåðåêðåñòêîâ ( , )i j . Ïîýòîìó ïðè ôèêñèðîâàííûõ èíòåíñèâíîñòÿõ âõîäÿùèõ ïî-
òîêîâ áóäåì äîáèâàòüñÿ óñòîé÷èâîãî ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñåòè çà ñ÷åò ðàöèî-
íàëüíîãî âûáîðà äëèòåëüíîñòåé ðàáîòû ñâåòîôîðîâ { }� �1 2( ), ( )i i (óïðàâëåíèå
ñåòüþ). Óñòîé÷èâîñòü îçíà÷àåò, ÷òî sup ( )
k
kz
� ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà.
ÓÑËÎÂÈß ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈß ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÎÃÎ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß
ÄËß ÏÅÐÅÊÐÅÑÒÊÎÂ ( , )i j I�
Ðàññìîòðèì ïåðåêðåñòîê ( , )i j I� . Ïî ñóòè, ýòî òðè íåçàâèñèìî ôóíêöèîíèðó-
þùèå îäíîëèíåéíûå ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ, â êîòîðûå ïîñòóïàþò ïóàññîíîâ-
ñêèå ïîòîêè òðåáîâàíèé ñ èíòåíñèâíîñòÿìè �( , ) ( , )i j p i jl , �( , ) ( , )i j p i jc è
�( , ) ( , )i j p i jr . Ïóñòü j �1 èëè j � 3 .  ñëó÷àå ïåðâûõ äâóõ ñèñòåì îáñëóæèâà-
íèå ïðîâîäèòñÿ öèêëè÷åñêè: öèêë ñîñòîèò èç ñîáñòâåííî âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ
34 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6
�
1
( )i è âðåìåíè ïðîñòîÿ � �
2 0
2( ) ( )i i� . Ïðè ýòîì íà îáñëóæèâàíèå ïðèíèìàþòñÿ
ëèøü òå òðåáîâàíèÿ, ñóììàðíàÿ äëèòåëüíîñòü îáñëóæèâàíèÿ êîòîðûõ íå ïðåâîñ-
õîäèò �
1
( )i . Ñðåäíåå êîëè÷åñòâî òðåáîâàíèé, ïîñòóïàþùèõ çà îäèí öèêë îáñëóæè-
âàíèÿ, ðàâíî � � � �( , ) ( , ) ( )( ) ( ) ( )i j p i jl
i i i
1 2 0
2� � (äëÿ ïåðâîé ñèñòåìû), à ñðåäíåå
÷èñëî îáñëóæåííûõ òðåáîâàíèé — H l
i( )( )�
1
, ãäå H tl ( ) — ôóíêöèÿ âîññòàíîâëå-
íèÿ ïðîñòîãî ïðîöåññà âîññòàíîâëåíèÿ, çàäàâàåìîãî ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ
F xij
l( ) ( ) ïðîìåæóòêîâ ìåæäó âîññòàíîâëåíèÿìè. Ïîýòîìó óñëîâèå ñóùåñòâîâà-
íèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
� � � � �( , ) ( , ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )i j p i j Hl
i i i
l
i
1 2 0 1
2� �
, (2)
� � � � �( , ) ( , ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )i j p i j Hc
i i i
c
i
1 2 0 1
2� �
, (3)
�( , ) ( , ) ( )i j p i j ar ij
r
1 (4)
(äëÿ òðåòüåé ñèñòåìû äåéñòâóåò ðåæèì «çåëåíàÿ ñòðåëêà», ò.å. ïðîâîäèòñÿ îá-
ñëóæèâàíèå áåç ïðåðûâàíèÿ; ïîýòîìó ñèñòåìà ïðåâðàùàåòñÿ â îáû÷íóþ ñèñòå-
ìó M G/ / /1 �; aij
r( ) îáîçíà÷àåò ñðåäíåå âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ ïðàâîãî ïîòîêà).
Åñëè j � 2 èëè j � 4, òî íåðàâåíñòâà (2) è (3) ïåðåïèñûâàþòñÿ â âèäå
� � � � �( , ) ( , )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )i j p i j Hl
i i i
l
i
1 2 0 2
2� �
, (5)
� � � � �( , ) ( , ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )i j p i j Hc
i i i
c
i
1 2 0 2
2� �
. (6)
Åñëè õîòÿ áû îäíî èç ñîîòíîøåíèé (2)–(6) íå âûïîëíåíî, òî W i j
k k
( , ) � �
� �
è
Z
k k
� �
� �
ïî âåðîÿòíîñòè, ò.å. êîëè÷åñòâî òðåáîâàíèé â ñåòè íåîãðàíè÷åííî âîç-
ðàñòàåò è òîãäà îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü èññëåäîâàíèÿ î÷åðåäåé íà âíóòðåííèõ
ïåðåêðåñòêàõ. Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ïàðàìåòðû ñåòè ïîäî-
áðàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ (2)–(6) âûïîëíÿþòñÿ.
ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÖÅÏÈ ÌÀÐÊÎÂÀ, ÎÏÈÑÛÂÀÞÙÅÉ ÈÇÌÅÍÅÍÈÅ ÑÎÑÒÎßÍÈÉ ÑÅÒÈ
Ââåäåì öåïü Ìàðêîâà, îïèñûâàþùóþ ïîñåêóíäíîå èçìåíåíèå ñîñòîÿíèÿ ñåòè
èç n ïåðåêðåñòêîâ.  êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè k � 0 ñîñòîÿíèå ñåòè îäíîçíà÷íî
îïðåäåëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ ïåðåìåííûõ:
� i
k
i
( )
,
�
1 åñëè íà -ì ïåðåêðåñòêå ãîðèò çåëåíûé ñâåò â íàïðàâëåíèè1 3,
åñëè ãîðèò æåëòûé ñâåò, ïîñëå êîòîðîãî
�
2, çàãîðàåòñÿ çåëåíûé
â íàïðàâëåíèè 2 4,
åñëè ãîðèò çåëå
�
3, íûé ñâåò â íàïðàâëåíèè 2 4,
åñëè ãîðèò æåëòûé ñâåò, ïîñ
�
4, ëå êîòîðîãî çàãîðàåòñÿ çåëåíûé
â íàïðàâëåíèè 1 3,�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
— äèñêðåòíàÿ ïåðåìåííàÿ, õàðàêòåðèçóþùàÿ ñîñòîÿíèå ñâåòîôîðà íà i-ì ïåðå-
êðåñòêå (i n�1, ,� );
� i
k( ) — âðåìÿ, îñòàâøååñÿ äî ïåðåêëþ÷åíèÿ i-ãî ñâåòîôîðà;
w i j w i j w i j
l
k
c
k
r
k( ) ( ) ( )( , ), ( , ), ( , ) — âåëè÷èíû, îïðåäåëÿþùèå êîëè÷åñòâà òðå-
áîâàíèé, îáñëóæèâàåìûõ èëè íàõîäÿùèõñÿ â î÷åðåäÿõ íà ïåðåêðåñòêå ( , )i j (ïî-
âîðîò íàëåâî, ïðÿìîëèíåéíîå äâèæåíèå, ïîâîðîò íàïðàâî);
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 35
s i j m m w i j
l
k
l
k( ) ( )( , , ), , , ( , )�1 � , s i j m m w i jc
k
c
k( ) ( )( , , ), , , ( , )�1 � , s i j mr
k( ) ( , , ),
m w i jr
k�1, , ( , ),( )
� — äëèòåëüíîñòè, òðåáóåìûå íà îáñëóæèâàíèå (èëè äëÿ çàâåð-
øåíèÿ îáñëóæèâàíèÿ) m-ãî òðåáîâàíèÿ, íàõîäÿùåãîñÿ â ñîîòâåòñòâóþùåé î÷åðå-
äè (èëè íà îáñëóæèâàíèè) íà ïåðåêðåñòêå ( , )i j ;
w i jk
0
( ) ( , ) — êîëè÷åñòâî òðåáîâàíèé, äâèæóùèõñÿ ïî íàïðàâëåíèþ ê ïåðå-
êðåñòêó ( , )i j ;
s i j m m w i jk k
0 0
1( ) ( )( , , ), , , ( , )� � , — âðåìÿ, îñòàâøååñÿ m-ìó òðåáîâàíèþ äî äîñ-
òèæåíèÿ ïåðåêðåñòêà ( , )i j (ïîñëå ÷åãî òðåáîâàíèå ïîñòóïàåò â îäíó èç òðåõ î÷åðåäåé).
Ââåäåííûå ïåðåìåííûå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò òåêóùåå ñîñòîÿíèå ñåòè
è äàëüíåéøåå åå ôóíêöèîíèðîâàíèå. Ïîýòîìó
� � �( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( , , ( , ), ( , ), ( , )k
i
k
i
k
l
k
c
k
r
kw i j w i j w i j� , ( , , ), , , ( , ),( ) ( )s i j m m w i j
l
k
l
k�1 �
s i j m m w i j s i j m m wc
k
c
k
r
k( ) ( ) ( )( , , ), , , ( , ), ( , , ), , ,� �1 1� � r
k ki j w i j( ) ( )( , ), ( , ),
0
s i j m m w i j i n j kk k
0 0
1 1 1 4 0( ) ( )( , , ), , , ( , ), , , , , , ),� � � �� � � , (7)
ÿâëÿåòñÿ öåïüþ Ìàðêîâà. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå çàäàäèì
â âèäå
� � �i i
i
l c rw i j w i j w( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, , ( , ) , ( , ) ,0 0
1
0 0 01 0 0� � � � ) ( )( , ) , ( , )i j w i j� �0 0
0
0 ,
i n j� �1 1 4, , , , ,� � .
Íàèáîëüøèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò èññëåäîâàíèå äëèí î÷åðåäåé íà êàæäîì
ïåðåêðåñòêå, w i j w i j w i j w i jk
l
k
c
k
r
k( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , ) ( , )� � � , ñóììàðíîãî êîëè÷åñòâà
z k( ) òðåáîâàíèé, íàõîäÿùèõñÿ â ñåòè, z w i j w i jk
i
n
j
k k( ) ( ) ( )[ ( , ) ( , )]� �
� �
� �
1 1
4
0
, à òàê-
æå ñêîëüçÿùèõ ñðåäíèõ, îïðåäåëÿåìûõ ñîãëàñíî (1).
ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÖÅÏÈ ÌÀÐÊÎÂÀ { }� ( ),k
k � 0
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñîñòîÿíèå � ( )k ñåòè â ìîìåíò k îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (7).
Àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ ñîñòîÿíèÿ � ( )k�1 ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
1. Ïîëîæèì �( , , ) , , , ( , ), , , , , ,( )i j m m w i j i n jk� � � �0 1 1 1 4
0
� � � , — íà-
÷àëüíîå çíà÷åíèå èíäèêàòîðà òîãî, ÷òî â ìîìåíò k �1 çàêîí÷èòñÿ îáñëóæèâàíèå
íà îäíîì èç ñâåòîôîðîâ è òðåáîâàíèå ñ íîìåðîì m íà÷íåò äâèæåíèå ïî íàïðàâ-
ëåíèþ ê ïåðåêðåñòêó ( , )i j .
2. Èçìåíÿåì î÷åðåäè íà âñåõ ïåðåêðåñòêàõ i n�1, ,� . Åñëè � i
k( ) �1, òî:
� åñëè w i
l
k( ) ( , )1 0� è s i
l
k
i
k( ) ( )( , , )1 1 � � , òî ïîëàãàåì s i
l
k( ) ( , , )� �1 1 1
�
s i
l
k( ) ( , , )1 1 1;
� åñëè, êðîìå òîãî, s i
l
k( ) ( , , )� �1 1 1 0 è ( , )i O2 � , òî ïîëàãàåì ( , ) ( , )i j h i1 1 2� ,
m w i jk
1 0 1 1 1� �( ) ( , ) , �( , , ) , ( , )( )i j m w i j mk
1 1 1 0
1
1 1 11� �� ; â êà÷åñòâå s i j mk
0
1
1 1 1
( ) ( , , )�
âûáèðàåì ðåàëèçàöèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ
F xi i j( ),( ) ( )2 1 1
.
Àíàëîãè÷íûå îïåðàöèè ïðîâîäèì:
— åñëè íèæíèé èíäåêñ l çàìåíèòü íà èíäåêñ c è ïàðó ( , )i 2 — íà ( , )i 3 ;
— åñëè ïàðó ( , )i 1 çàìåíèòü íà ( , )i 3 è ïàðó ( , )i 2 — íà ( , )i 4 ;
— åñëè íèæíèé èíäåêñ l çàìåíèòü íà èíäåêñ c, ïàðó ( , )i 1 — íà ( , )i 3 è ïàðó
( , )i 2 — íà ( , )i 1 .
36 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6
Åñëè � i
k( ) � 3, òî:
� åñëè w i
l
k( ) ( , )2 0� è s i
l
k
i
k( ) ( )( , , )2 1 � � , òî ïîëàãàåì s i
l
k( ) ( , , )� �1 2 1
�
s i
l
k( ) ( , , )2 1 1;
� åñëè, êðîìå òîãî, s i
l
k( ) ( , , )� �1 2 1 0 è ( , )i O3 � , òî ïîëàãàåì ( , ) ( , )i j h i1 1 3� ,
m w i jk
1 0 1 1 1� �( ) ( , ) , �( , , ) , ( , )( )i j m w i j mk
1 1 1 0
1
1 1 11� �� ; â êà÷åñòâå s i j mk
0
1
1 1 1
( ) ( , , )�
âûáèðàåì ðåàëèçàöèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ
F xi i j( ), ( ) ( )3 1 1
.
Àíàëîãè÷íûå îïåðàöèè ïðîâîäèì:
— åñëè íèæíèé èíäåêñ l çàìåíèòü íà èíäåêñ c è ïàðó ( , )i 3 — íà ( , )i 4 ;
— åñëè ïàðó ( , )i 2 çàìåíèòü íà ( , )i 4 è ïàðó ( , )i 3 — íà ( , )i 1 ;
— åñëè íèæíèé èíäåêñ l çàìåíèòü íà èíäåêñ c, ïàðó ( , )i 2 — íà ( , )i 4
è ïàðó ( , )i 3 — íà ( , )i 2 .
3. Òðåáîâàíèÿ ïðàâîãî ïîòîêà ïðîõîäÿò â ðåæèìå «çåëåíàÿ ñòðåëêà», ò.å. íå
çàâèñÿò îò ðàçðåøàþùåãî ñèãíàëà ñâåòîôîðà:
� åñëè w ir
k( ) ( , )1 0� , òî ïîëàãàåì s i s ir
k
r
k( ) ( )( , , ) ( , , )� �
1 1 1 1 1 1;
� åñëè, êðîìå òîãî, s ir
k( ) ( , , )� �1 1 1 0 è ( , )i O4 � , òî ïîëàãàåì ( , ) ( , )i j h i1 1 4� ,
m w i jk
1 0 1 1 1� �( ) ( , ) , �( , , ) , ( , )( )i j m w i j mk
1 1 1 0
1
1 1 11� �� ; â êà÷åñòâå s i j mk
0
1
1 1 1
( ) ( , , )�
âûáèðàåì ðåàëèçàöèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ
F xi i j( ),( ) ( )4 1 1
.
Àíàëîãè÷íûå îïåðàöèè ïðîâîäèì:
— åñëè ïàðó ( , )i 1 çàìåíèòü íà ( , )i 2 è ïàðó ( , )i 4 — íà ( , )i 1 ;
— åñëè ïàðó ( , )i 1 çàìåíèòü íà ( , )i 3 è ïàðó ( , )i 4 — íà ( , )i 2 ;
— åñëè ïàðó ( , )i 1 çàìåíèòü íà ( , )i 4 è ïàðó ( , )i 4 — íà ( , )i 3 .
4. Ïîëàãàåì � �i
k
i
k( ) ( )� �
1 1. Åñëè � i
k( )� �1 0, òî èçìåíÿåì ñîñòîÿíèå i-ãî ñâå-
òîôîðà: � �i
k
i
k( ) ( )� � �1 1, åñëè � i
k( ) � 3, è � i
k( )� �1 1, åñëè � i
k( ) � 4. Êðîìå òîãî, ïî-
ëàãàåì: � �i
k i( ) ( )� �1
1
, åñëè � i
k( )� �1 1; � �i
k i( ) ( )� �1
2
, åñëè � i
k( )� �1 3; � �i
k i( ) ( )� �1
0
,
åñëè � i
k( )� �1 2 èëè � i
k( )� �1 4.
5. Èçìåíÿåì âðåìÿ, íåîáõîäèìîå òðåáîâàíèþ äëÿ äîñòèæåíèÿ ïåðåêðåñòêà:
åñëè ( , )i j I� è �( , , ) , , , ( , ),( )i j m m w i jk� � �0 1
0
1
� òî ïîëàãàåì s i j mk
0
1( ) ( , , )� �
�
s i j mk
0
1( ) ( , , ) (åñëè �( , , )i j m �1, òî s i j mk
0
1( ) ( , , )� óæå îïðåäåëåíî).
6. Îïðåäåëÿåì, ê êàêîé î÷åðåäè ïðèñîåäèíÿþòñÿ òðåáîâàíèÿ, ïîñòóïèâøèå íà
ïåðåêðåñòîê. Ïóñòü ( , )i j I� è s i j mk
0
1 0( ) ( , , )� � . Òîãäà ðåàëèçóåì ñëó÷àéíóþ âåëè-
÷èíó �, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííóþ íà [0, 1]. Åñëè �
p i jl ( , ), òî ïîëàãàåì
m w i j w i j
l
k
l
k� � ��( ) ( )( , ) ( , )1 1 è â êà÷åñòâå s i j m
l
k( ) ( , , )�1 âûáèðàåì ðåàëèçàöèþ ñëó-
÷àéíîé âåëè÷èíû ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F xij
l( ) ( ) . Åñëè p i jl ( , )
� p i jl ( , ) �
� p i jc ( , ) , òî ïîëàãàåì m w i j w i jc
k
c
k� � ��( ) ( )( , ) ( , )1 1 è â êà÷åñòâå s i j mc
k( ) ( , , )�1
âûáèðàåì ðåàëèçàöèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F xij
c( ) ( ). Â ïðî-
òèâíîì ñëó÷àå ïîëàãàåì m w i j w i jr
k
r
k� � ��( ) ( )( , ) ( , )1 1 è â êà÷åñòâå s i j mr
k( ) ( , , )�1
âûáèðàåì ðåàëèçàöèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F xij
r( ) ( ).
7. Ïðîâîäèì ïåðåíóìåðàöèþ âñåõ òðåáîâàíèé ñ íåíóëåâûìè { }s i j mk
0
1( ) ( , , )� .
Ïðè ýòîì îïðåäåëÿåì íîâîå çíà÷åíèå w i jk
0
1( ) ( , )� è ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ
{ }s i j m i w i jk k
0
1
0
11( ) ( )( , , ), , , ( , )� �� � .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 37
8. Ïðîâîäèì ïåðåíóìåðàöèþ âñåõ òðåáîâàíèé ñ íåíóëåâûìè { }s i j m
l
k( )( , , )�1 ,
{ }s i j mc
k( ) ( , , )�1 è { }s i j mr
k( ) ( , , )�1 . Ïðè ýòîì îïðåäåëÿåì íîâûå çíà÷åíèÿ
w i j
l
k( ) ( , )�1 , w i jc
k( ) ( , )�1 è w i jr
k( ) ( , )�1 , à òàêæå çíà÷åíèÿ äëèòåëüíîñòåé îáñëóæè-
âàíèÿ òðåáîâàíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîòîêîâ.
9. Ìîäåëèðóåì êîëè÷åñòâî òðåáîâàíèé, ïîñòóïèâøèõ íà êàæäûé âõîä ñåòè
( , )i j I� . Äëÿ ýòîãî ìîäåëèðóåì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ( , )i j , èìåþùóþ ðàñïðåäå-
ëåíèå Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì �( , )i j . Àíàëîãè÷íî øàãó 6 àëãîðèòìà êàæäîå ïî-
ñòóïèâøåå òðåáîâàíèå ñ çàäàííîé âåðîÿòíîñòüþ íàïðàâëÿåòñÿ â ñîîòâåòñòâóþ-
ùóþ î÷åðåäü è ìîäåëèðóåòñÿ âðåìÿ åãî îáñëóæèâàíèÿ. Çàòåì óâåëè÷èâàåì k íà
åäèíèöó è âîçâðàùàåìñÿ íà øàã 1 àëãîðèòìà.
Îöåíèâàåìûå õàðàêòåðèñòèêè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îò òðàåêòîðèé öåïè
Ìàðêîâà { }� ( ),k k � 0 , ìîäåëèðîâàíèå êîòîðîé ïðîâîäèòñÿ â òå÷åíèå K øàãîâ.
Óïðàâëåíèå ñåòüþ îñóùåñòâëÿåòñÿ çà ñ÷åò âûáîðà ïðîäîëæèòåëüíîñòåé ðàáîòû
ñâåòîôîðîâ { }� �
1 2
( ) ( ),i i . Ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðîñòîé êðèòåðèé: åñëè
w i w i Nk k( ) ( )( , ) ( , )1 3� � , (8)
òî óâåëè÷èâàåì �
1
( )i íà r ñåêóíä. Àíàëîãè÷íî, åñëè
w i w i Nk k( ) ( )( , ) ( , )2 4� � , (9)
òî óâåëè÷èâàåì �
2
( )i íà r ñåêóíä. Ïðè ýòîì íàêëàäûâàåòñÿ åñòåñòâåííîå îãðàíè-
÷åíèå: � �m
i
m
i( ) ( )*� — íàïåðåä çàäàííûå çíà÷åíèÿ (m �1 2, ).
×ÈÑËÅÍÍÛÉ ÏÐÈÌÅÐ
Ðàññìîòðèì ñåòü, ñîñòîÿùóþ èç n � 20 ïåðåêðåñòêîâ. Ïåðåêðåñòêè ðàñïîëîæåíû
â âèäå ìàòðèöû ðàçìåðîì 4 5� (íóìåðàöèÿ ïðîèçâîäèòñÿ ïî ñòðî÷êàì, íàïðè-
ìåð, â òðåòüåé ñòðî÷êå ðàñïîëîæåíû ïåðåêðåñòêè ñ íîìåðàìè îò 11 äî 15). Êàê
îãîâîðåíî âûøå, íóìåðàöèÿ âõîäîâ/âûõîäîâ ïðîâîäèòñÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå.
Íîìåð «1» ïðèñâîèì çàïàäíîìó íàïðàâëåíèþ. Òåì ñàìûì áóäóò îïðåäåëåíû
ìíîæåñòâà âõîäîâ I è âûõîäîâ O : I O� � {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ),1 1 1 2 2 2 3 2 4 2 ( , ),5 2
( , ), ( , ),5 3 6 1 ( , ), ( , ),10 3 111 ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), (15 3 161 16 4 17 4 18 4 19 4 20 3 20 4, )}. Êðî-
ìå òîãî, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ êîììóòàöèÿ ïåðåêðåñòêîâ, íàïðèìåð, h( , )7 2 �
� ( , ),2 4 h( , ) ( , )14 3 15 1� . Òàêèì îáðàçîì, ñòðóêòóðà ñåòè ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíà.
Çàäàäèì ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè, îäèíàêîâûå äëÿ êàæäîãî ïåðåêðåñòêà.
Ïóñòü �( , ) , ,i j j� �0 08 0 01 , åñëè ( , )i j I� . Ïîëîæèì �
0
3( )i � è çàäàäèì íà÷àëüíûå
(èçìåíÿåìûå â äàëüíåéøåì) çíà÷åíèÿ � �
1 2
20 20( ) ( ),i i� � . Âåðîÿòíîñòè ðàñùåïëå-
íèÿ âõîäÿùåãî íà ïåðåêðåñòîê ( , )i j ïîòîêà çàäàäèì òàê: p i jl ( , ) ,� 0 2, p i jc ( , ) ,� 0 6
è p i jr ( , ) ,� 0 2.  êà÷åñòâå ðàñïðåäåëåíèé F xij
l( ) ( ) , F xij
c( ) ( ), F xij
r( ) ( ) è F xij kl( ),( ) ( )
âûáåðåì óñå÷åííûå íîðìàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî ñ ïàðàìåòðàìè
a i j i jl l
( , ) , ( , ) ,� �8 0 642
, a i jc ( , ) � 6,
c i j2 0 36( , ) ,� , a i j i jr r( , ) , ( , ) ,� �4 0162
è
b i j k l( , ; , ) � 60, d i j k l2 36( , ; , ) � (óñëîâèåì óñå÷åíèÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ÿâëÿåòñÿ èõ ïîëîæèòåëüíîñòü).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çåëåíûé (ñîîòâåòñòâåííî êðàñíûé) öâåò ñâåòîôîðà íå ìîæåò ãî-
ðåòü äîëüøå 60 ñ, ò.å. � �
1 2
60( ) ( )* *
.i i� � Ïóñòü N r� �50 5, (èçìåíåíèå çíà÷åíèé
� �
1 2
( ) ( ),i i ïðîèñõîäèò â ñëó÷àå, êîãäà êîëè÷åñòâî òðåáîâàíèé â ñîîòâåòñòâóþùèõ î÷åðå-
äÿõ ïðåâûñèëî 50; ñîîòíîøåíèÿ (8) è (9) èñïîëüçóåì â ñëó÷àå, êîãäà k êðàòíî 1000).
 êà÷åñòâå îñíîâíîé èññëåäóåìîé õàðàêòåðèñòèêè âûáåðåì Z k( ) — ñêîëüçÿ-
ùåå ñðåäíåå êîëè÷åñòâî òðåáîâàíèé â ñèñòåìå (ñì. (1)), ïðè ïàðàìåòðå óñðåäíå-
38 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6
íèÿ L �1000. Íà ðèñ. 1 ïðèâåäåí ãðàôèê èçìåíåíèÿ Z k mk( ) , ,� 4000 m �1 20, , ,�
ïîä âîçäåéñòâèåì èçìåíåíèÿ { }� �
1 2
( ) ( ),i i ñîãëàñíî ïðàâèëàì (8), (9).
Âíà÷àëå íàáëþäàåòñÿ ðîñò êîëè÷åñòâà òðåáîâàíèé â ñèñòåìå (äî Z k( ) �1562
ïðè k � 24 000 ), çàòåì óâåëè÷åíèå çíà÷åíèé { }� �
1 2
( ) ( ),i i ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ
Z k( ) è ñòàáèëèçàöèè èõ çíà÷åíèé ïðè k � 56 000 (ò.å. îáîñíîâàííî ìîæíî ãîâî-
ðèòü î ñóùåñòâîâàíèè ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ). Ïðè ýòîì áûëè ïîëó÷åíû
çíà÷åíèÿ { }� �
1 2
( ) ( ),i i , ïðåäñòàâëåííûå â òàáë. 1. Åñëè ïðèíÿòü äàííûå çíà÷åíèÿ
â êà÷åñòâå íà÷àëüíûõ (è â äàëüíåéøåì èõ íå ìåíÿòü), òî ïîëó÷èì ãðàôèê èçìåíå-
íèÿ Z k( ) , ïðåäñòàâëåííûé íà ðèñ. 2.
Ïðèâåäåííûé ãðàôèê ïîêàçûâàåò, ÷òî ðàöèîíàëüíûé âûáîð { }� �
1 2
( ) ( ),i i ïî-
çâîëèë äîáèòüñÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåæèìà ðàáîòû ñåòè, ò.å. ìåòîä ñòàòèñòè÷åñêîãî
ìîäåëèðîâàíèÿ ìîæåò áûòü ýôôåêòèâíî èñïîëüçîâàí äëÿ âûÿâëåíèÿ íàèáîëåå
«óçêèõ» ìåñò ñåòè è íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ (åñëè òàêîâûå ñóùåñòâó-
þò), îáåñïå÷èâàþùèõ âõîæäåíèå ñåòè â ñòàöèîíàðíûé ðåæèì.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ô å ä î ò ê è í Ì . À . Ïðîöåññû îáñëóæèâàíèÿ è óïðàâëÿþùèå ñèñòåìû // Ìàòåìàòè÷åñêèå âîïðîñû
êèáåðíåòèêè. — Ì.: Íàóêà, 1996. — Ñ. 51–70.
2. Ë è ò â à ê Í . Â . , Ô å ä î ò ê è í Ì . À . Âåðîÿòíîñòíàÿ ìîäåëü àäàïòèâíîãî óïðàâëåíèÿ êîíôëèêò-
íûìè ïîòîêàìè // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 2000. — ¹ 5. — Ñ. 67–76.
3. Ñ å ì å í î â  .  . Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå òðàíñïîðòíîãî ïîòîêà íà íåðåãóëèðóåìîì ïåðå-
ñå÷åíèè // Ìàò. ìîäåëèðîâàíèå. — 2008. — 20, ¹ 10. — Ñ. 14–22.
4. Ô å ä î ò ê è í Ì . À . , Ô å ä î ò ê è í À . Ì . Àíàëèç è îïòèìèçàöèÿ âûõîäíûõ ïðîöåññîâ ïðè öèêëè-
÷åñêîì óïðàâëåíèè êîíôëèêòíûìè òðàíñïîðòíûìè ïîòîêàìè Ãíåäåíêî–Êîâàëåíêî // Àâòîìàòèêà
è òåëåìåõàíèêà. — 2009. — ¹ 12. — Ñ. 92–108.
5. Ô å ä î ò ê è í Ì . À . , Ô å ä î ò ê è í À . Ì . Èçó÷åíèå ñâîéñòâ ïîòîêà Ãíåäåíêî–Êîâàëåíêî // Âåñòí.
Íèæåãîðîä. óí-òà èì. Í.È. Ëîáà÷åâñêîãî. — 2008. — ¹ 6. — Ñ. 156–160.
6. Z o r i n A . V . Stability of a tandem of queueing systems with Bernoulli noninstantaneous transfer of cus-
tomers // Theory of Probab. and Math. Statist. — 2012. — P. 173–188.
7. Ç î ð è í À .  . Ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñîîáùàþùèõñÿ ñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ ïîâòîð-
íûìè âûçîâàìè è öèêëè÷åñêèì óïðàâëåíèåì â ñëó÷àéíîé ñðåäå // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç.
— 2013. — ¹ 6. — Ñ. 100–109.
Ïîñòóïèëà 28.03.2012
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 39
500
1000
1500
40 00020 000 80 00060 000
k
Z
(k)
Ðèñ. 1
Ò à á ë è ö à 1
Äëèòåëüíîñòü
ðåæèìîâ
Ïðîäîëæèòåëüíîñòü ðàáîòû ñâåòîôîðîâ (ñ) ïðè i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
�
1
( )i
30 25 35 40 45 25 30 35 55 35 50 40 45 60 50 60 55 45 55 45
�
2
( )i
25 25 35 45 45 25 30 35 55 35 60 40 45 60 55 60 60 50 60 45
40 00020 000 80 00060 000
k
Z
(k)
200
1000
800
600
400
Ðèñ. 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86288 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T06:38:11Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кузнецов, Н.Ю. Федоткин, М.А. 2015-09-12T17:38:05Z 2015-09-12T17:38:05Z 2013 Моделирование конфликтных транспортных потоков / Н.Ю. Кузнецов, М.А. Федоткин // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 32-39. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86288 519.873 Запропоновано модель мережі, в яку надходять конфліктні транспортні потоки. Сформульовано алгоритм статистичного моделювання, який дозволяє у режимі реального часу оцінити кількість вимог, що знаходяться у черзі біля кожного світлофора. Запропоновано алгоритм, що дозволяє визначити режим роботи світлофорів, який забезпечує стійкість роботи мережі (якщо такий режим взагалі існує). Розглянуто чисельний приклад. A model of a network with conflicting input transport flows is proposed. A Monte Carlo algorithm to evaluate the number of customers in queues by every light signal in real time is formulated. An algorithm is proposed that makes it possible to identify the traffic light mode (if exists) ensuring the stability of the network. A numerical example is considered. F Работа выполнена при поддержке НАН Украины (НДР от 29.03.2012 г., договор №ВК.125.15.12) и Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 12-01-90409_Укр_а, договор № НК-12-01-90409.13). ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Моделирование конфликтных транспортных потоков Моделювання конфліктних транспортних потоків Simulation of conflicting transport flows Article published earlier |
| spellingShingle | Моделирование конфликтных транспортных потоков Кузнецов, Н.Ю. Федоткин, М.А. Системный анализ |
| title | Моделирование конфликтных транспортных потоков |
| title_alt | Моделювання конфліктних транспортних потоків Simulation of conflicting transport flows |
| title_full | Моделирование конфликтных транспортных потоков |
| title_fullStr | Моделирование конфликтных транспортных потоков |
| title_full_unstemmed | Моделирование конфликтных транспортных потоков |
| title_short | Моделирование конфликтных транспортных потоков |
| title_sort | моделирование конфликтных транспортных потоков |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86288 |
| work_keys_str_mv | AT kuznecovnû modelirovaniekonfliktnyhtransportnyhpotokov AT fedotkinma modelirovaniekonfliktnyhtransportnyhpotokov AT kuznecovnû modelûvannâkonflíktnihtransportnihpotokív AT fedotkinma modelûvannâkonflíktnihtransportnihpotokív AT kuznecovnû simulationofconflictingtransportflows AT fedotkinma simulationofconflictingtransportflows |