Многоточечные необходимые условия оптимальности особых управлений в процессах, описываемых системой интегральных уравнений типа Вольтерры
Розглянуто задачу оптимального керування, що описана системою нелінійних інтегральних рівнянь типу Вольтерри. Доведено необхідні умови оптимальності особливих, в сенсі принципу максимуму Понтрягіна, керувань. We consider an optimal control problem described by a system of Volterra nonlinear integral...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86290 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Многоточечные необходимые условия оптимальности особых управлений в процессах, описываемых системой интегральных уравнений типа Вольтерры / А.А. Абдуллаев, К.Б. Мансимов // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 50-57. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860251939015491584 |
|---|---|
| author | Абдуллаев, А.А. Мансимов, К.Б. |
| author_facet | Абдуллаев, А.А. Мансимов, К.Б. |
| citation_txt | Многоточечные необходимые условия оптимальности особых управлений в процессах, описываемых системой интегральных уравнений типа Вольтерры / А.А. Абдуллаев, К.Б. Мансимов // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 50-57. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розглянуто задачу оптимального керування, що описана системою нелінійних інтегральних рівнянь типу Вольтерри. Доведено необхідні умови оптимальності особливих, в сенсі принципу максимуму Понтрягіна, керувань.
We consider an optimal control problem described by a system of Volterra nonlinear integral equations. The multipoint necessary optimality conditions for controls that are singular in the sense of the Pontryagin maximum principle are obtained. R
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:44:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.977
À.À. ÀÁÄÓËËÀÅÂ, Ê.Á. ÌÀÍÑÈÌÎÂ
ÌÍÎÃÎÒÎ×Å×ÍÛÅ ÍÅÎÁÕÎÄÈÌÛÅ ÓÑËÎÂÈß ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÑÒÈ
ÎÑÎÁÛÕ ÓÏÐÀÂËÅÍÈÉ Â ÏÐÎÖÅÑÑÀÕ, ÎÏÈÑÛÂÀÅÌÛÕ
ÑÈÑÒÅÌÎÉ ÈÍÒÅÃÐÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÒÈÏÀ ÂÎËÜÒÅÐÐÛ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Âîëüòåððû, íåîáõîäèìîå óñëîâèå
îïòèìàëüíîñòè, îñîáûå óïðàâëåíèÿ.
Äëÿ ðàçëè÷íûõ êëàññîâ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, îïèñûâàåìûõ ñèñòå-
ìîé èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, â ðàáîòàõ [1–5] è äðóãèõ óñòàíîâëåíû íåîáõî-
äèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè òèïà ïðèíöèïà ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà [6].
Îäíàêî íåðåäêè ñèòóàöèè, êîãäà óñëîâèå ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà âäîëü èññëå-
äóåìîãî íà îïòèìàëüíîñòü óïðàâëåíèÿ âûðîæäàåòñÿ [7].  òàêîì ñëó÷àå íóæ-
íî ñôîðìóëèðîâàòü íîâûå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè (íåîáõîäèìûå
óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè îñîáûõ [7] óïðàâëåíèé). Ðàññìîòðåíèþ îñîáûõ óïðàâ-
ëåíèé â ïðîöåññàõ, îïèñûâàåìûõ ðàçëè÷íûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè è ðàç-
íîñòíûìè óðàâíåíèÿìè, ïîñâÿùåíû ðàáîòû ìíîãèõ àâòîðîâ; íàèáîëåå ïîëíûé
îáçîð ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåçóëüòàòîâ ïðèâåäåí â [7–13].
Íàñêîëüêî èçâåñòíî, îñîáûå óïðàâëåíèÿ â ïðîöåññàõ, îïèñûâàåìûõ èíòåã-
ðàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, íå èññëåäîâàëèñü. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ
ñëó÷àé âûðîæäåíèÿ óñëîâèÿ ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà â îäíîé çàäà÷å óïðàâëåíèÿ
èíòåãðàëüíûìè óðàâíåíèÿìè òèïà Âîëüòåððû.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Äîïóñòèì, ÷òî óïðàâëÿåìûé îáúåêò íà ôèêñèðîâàííîì îòðåçêå âðåìåíè
Ò t t� [ , ]0 1 îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé íåëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé òèïà
Âîëüòåððû âòîðîãî ðîäà
z t K t s f s z s u s ds t T
t
t
( ) ( , ) ( , ( ), ( )) ,� ��
0
. (1)
Çäåñü z t( ) — n-ìåðíûé âåêòîð ôàçîâûõ ïåðåìåííûõ, Ê t s( , ) — çàäàííàÿ íåïðå-
ðûâíàÿ íà T T� ( )n n� -ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ, f s z u( , , ) — çàäàííàÿ n-ìåðíàÿ
âåêòîð-ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ â T R Rn r� � âìåñòå ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè
ïî z äî âòîðîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî, u t( ) — r-ìåðíûé êóñî÷íî-íåïðåðûâ-
íûé (ñ êîíå÷íûìè ÷èñëàìè òî÷åê ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà) âåêòîð óïðàâëÿþ-
ùèõ âîçäåéñòâèé ñî çíà÷åíèÿìè èç çàäàííîãî íåïóñòîãî è îãðàíè÷åííîãî ìíî-
æåñòâà U R r� , ò.å.
u t U R t Tr( ) ,� � � . (2)
Òàêèå óïðàâëÿþùèå ôóíêöèè íàçîâåì äîïóñòèìûìè óïðàâëåíèÿìè.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî êàæäîìó äîïóñòèìîìó óïðàâëåíèþ u t( ) ñîîòâåòñòâóåò
åäèíñòâåííîå íåïðåðûâíîå íà âñåì îòðåçêå T ðåøåíèå x t( ) óðàâíåíèÿ (1).
Íà ðåøåíèÿõ ñèñòåìû èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (1), ïîðîæäåííûõ âñåâîç-
ìîæíûìè äîïóñòèìûìè óïðàâëåíèÿìè, îïðåäåëèì ôóíêöèîíàë
S u z t( ) ( ( ))� � 1 . (3)
50 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6
© À.À. Àáäóëëàåâ, Ê.Á. Ìàíñèìîâ, 2013
Çäåñü �( )z — çàäàííàÿ äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ñêàëÿðíàÿ
ôóíêöèÿ.
Çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà (3) ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (1), (2).
Åñëè ðåøåíèå z t( ) ñèñòåìû (1), ñîîòâåòñòâóþùåå äîïóñòèìîìó óïðàâëåíèþ
u t( ), ìèíèìèçèðóåò ôóíêöèîíàë (3), òî òàêîå óïðàâëåíèå íàçîâåì îïòèìàëüíûì
óïðàâëåíèåì, à ñîîòâåòñòâóþùèé ïðîöåññ ( ( ), ( ))u t z t — îïòèìàëüíûì
ïðîöåññîì.
ÔÎÐÌÓËÀ ÏÐÈÐÀÙÅÍÈß ÊÐÈÒÅÐÈß ÊÀ×ÅÑÒÂÀ
Ïóñòü ( ( ), ( ))u t z t — ôèêñèðîâàííûé, à ( ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ))u t u t u t z t z t z t� � � �� � —
ïðîèçâîëüíûé äîïóñòèìûå ïðîöåññû. Äàëåå èñïîëüçóþòñÿ îáîçíà÷åíèÿ ñëåäó-
þùåãî âèäà:
� u s z zf s f s z s u s f s z s u s f s f s( ) [ ] ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )), [ ] (� � , ( ), ( ))z s u s ,
H t z t u t t z t K t t f t z t u tz( , ( ), ( ), ( )) ( ( )) ( , ) ( , ( ), (� ��
1 1 )) �
�� �' ( ) ( , ) ( , ( ), ( )) ,s K s t f t z t u t ds
t
t1
H t H t z t u t tz z[ ] ( , ( ), ( ), ( ))� � ,
� u t H t H t z t u t t H t z t u t t( ) [ ] ( , ( ), ( ), ( )) ( , ( ), ( ), ( ))� � � ,
� u t z z zH t H t z t u t t H t z t u t t( ) [ ] ( , ( ), ( ), ( )) ( , ( ), ( ), (� � � )),
H t H t z t u t tzz zz[ ] [ , ( ), ( ), ( )]� � .
Çäåñü � �� ( )t — n-ìåðíàÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ
ðåøåíèåì ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ òèïà Âîëüòåððû
(ñîïðÿæåííàÿ ñèñòåìà)
� � �( ) ( ) ( , ) [ ] ( ( )) ( , ) [ ]t s K s t f t ds z t K t t f tz
t
t
z z�
�
1
1 1 . (4)
Î÷åâèäíî, ÷òî � z t( ) — ðåøåíèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ
�z t K t s f s z s u s f s z s u s ds
t
t
( ) ( , )[ ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( ))]� �
0
. (5)
Ñ ó÷åòîì ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèé è (5) ïðèðàùåíèå ôóíêöèîíàëà (3) ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå
� � � �S u z t z t z t z t z tz zz( ) ( ( )) ( ) ' ( ) ( ( )) ( )�
� �
� �1 1 1 1 1
1
2
� ( ) ( )t z t dt
t
t
�
0
1
�
�
� � ( ) ( , )[ ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( ))]s K s t f t z t u t f t z t u t ds
t
t1
�
�
�
�
�
��
t
t
dt o z t
0
1
1 1
2(| | ( )| |� . (6)
Çäåñü | | | |� — åâêëèäîâà íîðìà âåêòîðà â R n , à âåëè÷èíà o z t1 1
2(| | ( )| | )� îïðå-
äåëÿåòñÿ èç ðàçëîæåíèÿ
� � � �( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( (z t z t z t z t z t zz zz1 1 1 1 1
1
2
�
�
� � t z t o z t1 1 1 1
2)) ( ) (| | ( )| | )� �� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 51
C ó÷åòîì âèäa ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà–Ïîíòðÿãèíà H t z u( , , , )� ôîðìóëà ïðè-
ðàùåíèÿ (6) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
� � � �S u z t z t z t z t z tz zz( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( )�
�
� �1 1 1 1 1
1
2
� ( ) ( )t z t dt
t
t
� �
0
1
�� [ ( , ( ), ( ), ( )) ( , ( ), ( ), ( ))]H t z t u t t H t z t u t t dt
t
t
� �
0
1
o z t1 1
2(| | ( )| | )� . (7)
Îòñþäà, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Òåéëîðà è ó÷èòûâàÿ, ÷òî �( )t — ðåøåíèå óðàâíå-
íèÿ (4), èìååì
� � � � �S u H t dt H t z t dt z tu t
t
t
u t z( ) [ ] [ ] ( ) (( ) ( )�
�
�
0
1 1
2
1 1 1
0
1
) ( ( )) ( )� zz
t
t
z t z t� �
��
1
2
1
0
1
� � �z t H t z t dt uzz
t
t
( ) [ ] ( ) ( )� , (8)
ãäå ïî îïðåäåëåíèþ
�1 1 1
2
2
2
0
1 1
2
( ) (| | ( )| | ) (| | ( )| | )� � � �u o z t o z t dt z
t
t
�
� ( ) [ ] ( ) .( )t H t z t dtu t zz
t
t
� �
0
1
� (9)
Çäåñü âåëè÷èíà o z t2 (| | ( )| | )� îïðåäåëÿåòñÿ èç ðàçëîæåíèÿ
H t z t u t t H t z t u t t H t z tz( , ( ), ( ), ( )) ( , ( ), ( ), ( )) ( , ( )� � �
, ( ), ( )) ( )u t t z t� � �
�
�
1
2
2
2� � �z t H t z t u t t z t o z tzz( ) ( , ( ), ( ), ( )) ( ) (| | ( )| | )� .
Äàëåå, èç (5) ñëåäóåò, ÷òî �z t( ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû
� � �z t K t s f s z s ds K t s f s dsz
t
t
u s
t
t
( ) ( , ) [ ] ( ) ( , ) [ ]( )� � ��
0 0
� � 2 ( ; )t u� , (10)
ãäå ïî îïðåäåëåíèþ
� 2 3
0
( ; ) ( , ) [ ] ( ) ( , ) (| |( )t u K t s f s z s ds K t s o zu s z
t
t
� � � �� �� ( )| | )s ds
t
t
0
� .
Çäåñü âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà o z t3 (| | ( )| | )� îïðåäåëÿåòñÿ èç ðàçëîæåíèÿ
f s z s u s f s z s u s f s z s u s oz( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )) (| � � 3 | ( )| | )�z s .
Èíòåðïðåòèðóÿ óðàâíåíèå (10) êàê ëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå èíòåãðàëüíîå
óðàâíåíèå òèïà Âîëüòåððû îòíîñèòåëüíî �z t( ), åãî ðåøåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â ñëåäóþùåì âèäå [14, 15]:
� � �z t N t s f s ds t uu s
t
t
( ) ( , ) [ ] ( ; )( )� �� � 3
0
, (11)
ãäå ïî îïðåäåëåíèþ
52 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6
N t s K t s R t K s d
s
t
( , ) ( , ) ( , ) ( , )� � � � � �,
� � �3 2 2
0
( ; ) ( ; ) ( , ) ( , )t u t u R t s s u ds
t
t
� � �� � � .
Çäåñü R t( , )� — ðåçîëüâåíòà ìàòðèöû K t s f sz( , ) [ ], ÿâëÿþùàÿñÿ ðåøåíèåì èíòåã-
ðàëüíîãî óðàâíåíèÿ òèïà Âîëüòåððû
R t K t s f s R s ds K t fz z
t
( , ) ( , ) [ ] ( , ) ( , ) [ ]� � � �
�
� �� . (12)
Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå (11), ïðåîáðàçóåì ôîðìóëó ïðèðàùåíèÿ (8).
Î÷åâèäíî, ÷òî
� � �
�
z t z t z t N t f z tzz u zz( ) ( ( )) ( ) ( ( , ) [ ]) ( (( )1 1 1 1� � � �� 1 3 1
0
1
)) ( , )� �t u d
t
t
� ��
�
�� �u zz u sf N t z t N t s f s dsd( ) ( )[ ] ( , ) ( ( )) ( , ) [ ]� � � � �1 1 1
t
t
t
t
0
1
0
1
��
�
� �3 1 1 1( ; ) ( ( )) ( )t u z t z tzz� � . (13)
Äàëåå, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Äèðèõëå [16, ñ. 136], ïîëó÷àåì
� � � �u t
t
t
z u t
t
t
zH t z t dt H t t u dt( ) ( )[ ] ( ) [ ] ( ; )
0
1
0
1
3� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�� � �u s
t
t
z u t
t
t
H s N s t ds f t dt( ) ( )[ ] ( , ) [ ]
1
0
1
. (14)
Íàêîíåö, èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå òîæäåñòâî èç [17, ñ. 204], ïî ñõåìå ðàáîò
[11, 12] èìååì
� � �
�
�
�
� �z t H t z t dt f s N t s ds
t
t
zz u s
t
t
( ) [ ] ( ) ' [ ] ( , )( )
0
1
0
�
��
�
�
�
��
��
t
t
zzH t t u dt
0
1
3[ ] ( ; )� �
�
�� � 3
0
1
( ; ) [ ] ( ))t u H t z t dtzz
t
t
� �
�
�� � u
t
t
t
t
zz
s
f N t H t N t s dt( )
max ( , )
[ ] ( , ) [ ] ( , )�
�
� �
0
1
0
1 t
u s f s dsd
1
�
�
�
�
��
�
�
�
��
� ( ) [ ] �. (15)
Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèÿ (13)–(15) è ïîëàãàÿ
M s N t z t N t s N t H t N tzz zz( , ) ' ( , ) ( ( )) ( , ) ' ( , ) [ ] (� � � �� �1 1 1 , )
max ( , )
s dt
s
t
�
1
� , (16)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 53
ôîðìóëó ïðèðàùåíèÿ (8) ôóíêöèîíàëà êà÷åñòâà (3) çàïèøåì â âèäå
� � �S u H t dt H s N s t dsu t u s
t
t
z( ) [ ] [ ] ( , )( ) ( )�
�
�
�
�
�
�
�
1
� u t
t
t
t
t
f t dt( ) [ ] ��
0
1
0
1
���
1
2
0
1
0
1
� � �u
t
t
t
t
u sf M s f s dsd u( ) ( )[ ] ( , ) [ ] ( )� � � � � . (17)
Çäåñü ïî îïðåäåëåíèþ
� � � �( ) ( ) [ ] ( ; ) ( ;( )� � � � �u u H t t u dt tu t z
t
t
�
�1 3 3 1
0
1 1
2
u z t z tzz) ( ( )) ( )� 1 1�
�
1
2
1 1 3 1
0
1
( ( , ) [ ]) ( ( )) ( ; )( )N t f z t t u du zz
t
t
� � � � ��� �
�
�
�
��
�
�
�
���
1
2
0
3� �u s
t
t
zzf s N t s ds H t t u( ) [ ] ( , ) [ ] ( ; )� dt t u H t z t dt
t
t
zz
t
t
0
1
0
11
2
3� �
� ( ; ) [ ] ( )� � .
Äàëåå íåîáõîäèìà îöåíêà äëÿ | | ( )| |�z t . Ñ ïîìîùüþ îäíîìåðíîé ëåììû Ãðî-
íóîëëà [18] äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî
| | ( )| | | | [ ]| | ,( )� �z t L f d t Tu
t
t
� ��1
0
1
� � � ( )L1 0� �const . (18)
ÍÅÎÁÕÎÄÈÌÛÅ ÓÑËÎÂÈß ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÑÒÈ
Ôîðìóëà ïðèðàùåíèÿ (17) ôóíêöèîíàëà êà÷åñòâà (3) ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ
îò àíàëîãè÷íîé ôîðìóëû ïðèðàùåíèÿ èç [7] äëÿ ñëó÷àÿ ñèñòåìû îáûêíîâåí-
íûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Â ôîðìóëå (3) íåò ÿâíîé çàâèñèìîñòè îò
ïðèðàùåíèÿ òðàåêòîðèè, ÷òî ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ðàçíîîáðàçíûå íåîáõîäèìûå
óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêà ñ åäèíûõ ïîçèöèé.
Ñ÷èòàÿ u t( ) îïòèìàëüíûì óïðàâëåíèåì, åãî ñïåöèàëüíîå ïðèðàùåíèå îïðå-
äåëèì ïî ôîðìóëå
�u t
v u t t
t T
�
� � �
� � �
( )
( ), [ , ),
, \ [ , ).
�
� �
� �
�
�
� 0 (19)
Çäåñü ��[ , )t t0 1 — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íåïðåðûâíîñòè îïòèìàëüíîãî óïðàâëå-
íèÿ u t v U( ), � — ïðîèçâîëüíûé âåêòîð, �� 0 — ïðîèçâîëüíîå, äîñòàòî÷íî ìà-
ëîå ÷èñëî, òàêîå, ÷òî � �� t1.
Îáîçíà÷èì �z t� ( ) ñïåöèàëüíîå ïðèðàùåíèå òðàåêòîðèè z t( ), ñîîòâåòñòâó-
þùåå ïðèðàùåíèþ (19) óïðàâëåíèÿ.
Èç (18) ñðàçó ñëåäóåò
| | ( )| | , ,�z t L t T L� �� � � �2 2 0const . (20)
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå îöåíêó (20) è ôîðìóëó (19), â (17) ïðèõîäèì ê ðàçëî-
æåíèþ
� � �S u S u u S u H ov� � � � �( ) ( ) ( ) [ ] ( )� � � � .
54 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6
Îòñþäà ñëåäóåò óñëîâèå ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà [1–4] äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé
çàäà÷è: äëÿ îïòèìàëüíîñòè äîïóñòèìîãî óïðàâëåíèÿ u t( ) â çàäà÷å (1)–(3) íåîá-
õîäèìî, ÷òîáû íåðàâåíñòâî
� vH[ ]� � 0 (21)
âûïîëíÿëîñü äëÿ âñåõ v U� è ��[ , )t t0 1 .
Íåðàâåíñòâî (21) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì îïòèìàëüíîñòè ïåðâîãî
ïîðÿäêà. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé âûðîæäåíèÿ óñëîâèÿ (21).
Ïî àíàëîãèè ñ [7] ââåäåì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.
Îïðåäåëåíèå 1. Äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå u t( ) íàçîâåì îñîáûì, â ñìûñëå ïðèíöè-
ïà ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà, â çàäà÷å (1)–(3), åñëè äëÿ âñåõ v U� è ��[ , )t t0 1 èìååì
� vH[ ]� � 0 . (22)
Èç îïðåäåëåíèÿ ÿñíî, ÷òî äëÿ îñîáûõ óïðàâëåíèé óñëîâèå ìàêñèìóìà
Ïîíòðÿãèíà, âûðîæäàÿñü, âûïîëíÿåòñÿ òðèâèàëüíûì îáðàçîì è ïîýòîìó òåðÿåò
ñîäåðæàòåëüíûå çíà÷åíèå. Ïîýòîìó íóæíî ñôîðìóëèðîâàòü íîâûå íåîáõîäèìûå
óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè, ïîçâîëÿþùèå âûÿâëÿòü (õîòÿ áû â ïðèíöèïå) íåîïòè-
ìàëüíîñòü îñîáûõ óïðàâëåíèé.
Ôîðìóëà ïðèðàùåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà (17) êðèòåðèÿ êà÷åñòâà (3) ïîçâîëÿåò
ïîëó÷èòü ðàçëè÷íûå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè îñîáûõ óïðàâëåíèé.
Ïóñòü u t( ) — îñîáîå, â ñìûñëå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà, óïðàâëå-
íèå. Åãî ñïåöèàëüíîå ïðèðàùåíèå îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå
�u t u t l vi i i
i
m
� � �( ) ( , ; , , )�
�
!
1
. (23)
Çäåñü m — ïðîèçâîëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, � i t t�[ , )0 1 , i m�1, (t0 1� ��
� � � � �2 1� m t ) — ïðîèçâîëüíûå òî÷êè íåïðåðûâíîñòè óïðàâëåíèÿ u t( ),
v Ui � , i m�1, , — ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû, li " 0, i m�1, , — ïðîèçâîëüíûå äåé-
ñòâèòåëüíûå ÷èñëà, �� 0 — ïðîèçâîëüíîå äîñòàòî÷íî ìàëîå ÷èñëî, òàêîå, ÷òî
� �m ml t� 1, à � �u t l vi i i( , ; , , ) — èãîëü÷àòàÿ âàðèàöèÿ óïðàâëåíèÿ, îïðåäåëÿå-
ìàÿ ôîðìóëîé
� �
� � �
� �
u t l v
v u t t l
t T
i i i
i i i i
i
( , ; , , )
( ), [ , ),
, \ [ ,
�
� �
�0 i il�
�
�
� �). (24)
Ñóììèðîâàíèå èãîëü÷àòûõ âàðèàöèé (24) ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå [19, 20].
À èìåííî: åñëè � �1 2# , òî ñóììîé èãîëü÷àòûõ âàðèàöèé � �u t l v( , ; , , )1 1 1 ,
� �u t l v( , ; , , )2 2 2 ñ÷èòàåòñÿ âàðèàöèÿ âèäà
�u t u t l v
v u t t l
i i i
i
i i i i
� � �
� � �
( ) ( , ; , , )
( ), [ , )
� �
� �
�
!
1
2
,
, \ [ , ).0
1
2
t T li i i
i
� �
�
�
�
�
�
�
� � ��
Åñëè � �1 2� , òî ñóììîé èãîëü÷àòûõ âàðèàöèé � �u t l vi i i( , ; , , ), i �1 2, , ñ÷èòàåò-
ñÿ âàðèàöèÿ âèäà
�u t u t l v
v u t t l
i i i
i
� � �
� � �
( ) ( , ; , , )
( ), [ , )
� �
� �
�
!
1
2 1 1 1 1 ,
( ), [ , ( ) ),
, \ [ , (
v u t t l l l
t T l l
2 1 1 1 1 2
1 1 10
� � � �
� � �
� � � �
� � 2 ) ).�
�
�
�
�
�
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 55
Îáîçíà÷èì �z t l vi i i i� �( , , , ) ñïåöèàëüíîå ïðèðàùåíèå òðàåêòîðèè z t( ), ñîîò-
âåòñòâóþùåå ïðèðàùåíèþ (23) óïðàâëåíèÿ u t( ).
Èç îöåíêè (18) ñëåäóåò
| | ( ; , , )| | ,�z t l v L Li i i� � �� � �3 3 0const . (25)
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (22), (23), (25) â (17), ïîñëå íåêîòîðûõ ïðåîáðàçîâà-
íèé ïðèõîäèì ê ðàçëîæåíèþ
� � � �S u S u u S u l l f M fi j v i i j vi j� �
�
� � �( ) ( ) ( ) [ ] ( , )� � �
2
2
[ ]
,
� j
i j
m
�
�
�
�
�� �
!
1
�
�l H l N f l N fi v z i i i i v i j i j v ji i j
� � �[ ] ( , ) [ ] ( , ) [� � � � � � �2 ] ( )
j
i
i
m
o
�
�
!!
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
1
1
1
2� .
Îòñþäà â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè �� 0 ïîëó÷àåì, ÷òî âäîëü îñîáîãî, â ñìûñëå
ïðèíöèïà ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà, îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ u t( ) âûïîëíÿåòñÿ
íåðàâåíñòâî
l l f M fi j v i i j v j
i j
m
i j
� �
�
�
! [ ] ( , ) [ ]
,
� � � �
1
�
�l H l N f l N fi v z i i i i v i j i j v ji i i
� � �[ ] ( , ) [ ] ( , ) [� � � � � � �2 ] .
j
i
i
m
�
�
!!
�
�
�
�
�
�
�
1
1
1
0 (26)
Ñôîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò.
Òåîðåìà 1. Äëÿ îïòèìàëüíîñòè îñîáîãî, â ñìûñëå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà
Ïîíòðÿãèíà, óïðàâëåíèÿ u t( ) â çàäà÷å (1)–(3) íåîáõîäèìî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî íà-
òóðàëüíîãî ÷èñëà m íåðàâåíñòâî (26) âûïîëíÿëîñü äëÿ âñåõ v Ui � , li " 0,
� � � �i mt t i m t t� � � � � � [ , ), , ( )0 1 0 1 2 11 � .
Íåîáõîäèìîå óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè (26) îòíîñèòñÿ ê êëàññó ìíîãîòî÷å÷-
íûõ íåîáõîäèìûõ óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè. Çàìåòèì, ÷òî ìíîãîòî÷å÷íûå íåîáõî-
äèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè îñîáûõ óïðàâëåíèé ïîçâîëÿþò ñóùåñòâåííî ñó-
çèòü [8–10] ìíîæåñòâî îñîáûõ óïðàâëåíèé, ïîäîçðèòåëüíûõ íà îïòèìàëüíîñòü.
Îáçîð ðàáîò, ïîñâÿùåííûõ ïîëó÷åíèþ ìíîãîòî÷å÷íûõ íåîáõîäèìûõ óñëîâèé
îïòèìàëüíîñòè îñîáûõ óïðàâëåíèé äëÿ ðàçëè÷íûõ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëå-
íèÿ, îïèñûâàåìûõ îáûêíîâåííûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè è
óðàâíåíèÿìè ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, ïðèâåäåí â [8–13].
Ïðè m �1 èç òåîðåìû 1 âûòåêàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 2. Âäîëü îñîáîãî, â ñìûñëå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà,
îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ u t( ) íåðàâåíñòâî
� � � �v v z z vf M f H N f
�
�[ ] [ , ] [ ] [ ] [ , ] [ ]� � � � � � � � 0 (27)
âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ v U� è ��[ , )t t0 1 .
Íåðàâåíñòâî (27) — àíàëîã íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè Ð. Ãàáàñî-
âà [7], ïîëó÷åííûé äëÿ çàäà÷è óïðàâëåíèÿ, îïèñûâàåìîé ñèñòåìîé îáûêíîâåí-
íûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ìåòîäîì ìàòðè÷íûõ èìïóëüñîâ.
 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè (26) îñòàåòñÿ â ñèëå òàê-
æå ïðè âûðîæäåíèè íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè (27).
 çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, îïèñûâàåìîé ñèñòåìîé èíòåãðàëüíûõ
óðàâíåíèé òèïà Âîëüòåððû, óñòàíîâëåíû ìíîãîòî÷å÷íûå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ
îïòèìàëüíîñòè îñîáûõ óïðàâëåíèé.
56 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Á ó ò ê î â ñ ê è é À . Ã . Òåîðèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñèñòåìàìè ñ ðàñïðåäåëåííûìè
ïàðàìåòðàìè. — Ì.: Íàóêà, 1965. — 628 c.
2. Â è í î ê ó ð î â Â . Ð . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ñèñòåìàìè, îïèñûâàåìûìè èíòåãðàëüíûìè
óðàâíåíèÿìè // Èçâ. âóçîâ. Ñåð. ìàò. — 1967. — ¹ 7. — Ñ. 21–33
3. S h e n g - C h a o H u a n g . Optimal control problems with a system of integral equations and re-
stricted phase coordinates // Siam J. Control. — 1972. — 10, N 2. — P. 14–36.
4. C a r l s o n D . A . An elementary proof of maximum principle for optimal problems governed by
Volterra integral equations // J. Optim. Theory and Appl. — 1987. — 54, N 1. — P. 113–124.
5. Ì î í à ñ ò û ð ñ ê è é Ì . À . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ñèñòåìàìè, îïèñûâàåìûìè èíòåãðàëü-
íûìè óðàâíåíèÿìè Âîëüòåððà // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1975. — ¹ 1. — C. 29–36.
6. Ï î í ò ð ÿ ã è í Ë . Ñ . , Á î ë ò ÿ í ñ ê è é Â . Ã . , Ã à ì ê ð å ë è ä ç å Ð . Â . , Ì è ù å í ê î Å . Ô .
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ îïòèìàëüíûõ ïðîöåññîâ. — Ì.: Íàóêà, 1969. — 391 c.
7. Ã à á à ñ î â Ð . , Ê è ð è ë ë î â à Ô . Ì . Îñîáûå îïòèìàëüíûå óïðàâëåíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1973.
— 256 ñ.
8. Ã à á à ñ î â Ð . , Ê è ð è ë ë î â à Ô . Ì . , Ì à í ñ è ì î â Ê . Á . Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ
îïòèìàëüíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà (îáçîð). — Ìèíñê, 1982. — 48 ñ. — (Ïðåïð. / ÈÌ ÀÍ ÁÑÑÐ;
¹ 30 (155)).
9. Ã à á à ñ î â Ð . , Ê è ð è ë ë î â à Ô . Ì . , Ì à í ñ è ì î â Ê . Á . Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ
îïòèìàëüíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. — Ìèíñê,
1982. — 31 ñ. — (Ïðåïð. / ÈÌ ÀÍ ÁÑÑÐ; ¹ 31 (156)).
10. Ì à í ñ è ì î â Ê . Á . , Ì à ð ä à í î â Ì . Ä æ . Îñîáûå óïðàâëåíèÿ â ñèñòåìàõ ñ ðàñïðå-
äåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. — Áàêó, 2004. — 48 ñ. — (Ïðåïð. / ÈÊ ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà).
11. Ì à í ñ è ì î â Ê . Á . Ê òåîðèè íåîáõîäèìûõ óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè â çàäà÷å ñ ðàñïðåäå-
ëåííûìè ïàðàìåòðàìè // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 2001. — 41, ¹ 10. —
C. 1505–1520.
12. Ì à í ñ è ì î â Ê . Á . Îñîáûå óïðàâëåíèÿ â ñèñòåìàõ ñ çàïàçäûâàíèåì. — Áàêó: ÝËÌ, 1999. —
174 ñ.
13. Ì å ë è ê î â Ò . Ê . Îñîáûå óïðàâëåíèÿ â ñèñòåìàõ ñ ïîñëåäåéñòâèåì. — Áàêó: ÝËÌ, 2002. —
188 ñ.
14. Ñ ì è ð í î â Â . È . Êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè. — Ì.: Íàóêà, 1974. — 4, ÷. I. — 336 ñ.
15. × è ê ð è é À . À . , × è ê ð è é Ã . Ö . , Â î ë ÿ í ñ ê è é Ê . Þ . Êâàçèëèíåéíûå ïîçèöèîííûå
èíòåãðàëüíûå èãðû ñáëèæåíèÿ // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2001. — ¹ 6. —
Ñ. 5–28.
16. À ë å ê ñ å å â Â . Ì . , Ò è õ î ì è ð î â Â . Ì . , Ô î ì è í Ñ . Â . Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå. —
Ì.: Íàóêà, 1979. — 432 ñ.
17. Ô å ä î ð å í ê î Ð . Ï . Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. — Ì.: Íàóêà,
1978. — 498 ñ.
18.  à ñ è ë ü å â Ô . Ï . ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1988. —
580 ñ.
19. Ã à á à ñ î â Ð . , Ê è ð è ë ë î â à Ô . Ì . Ìåòîäû îïòèìèçàöèè. — Ìèíñê: ÁÃÓ, 1981. — 400 ñ.
20. à î ð î õ î â è ê Ñ . ß . Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè â çàäà÷å ñ ïîäâèæíûì ïðàâûì
êîíöîì òðàåêòîðèè // Äèôôåðåíö. óðàâíåíèÿ. — 1975. — ¹ 10. — Ñ. 1765–1773.
Ïîñòóïèëà 19.09.2012
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 57
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86290 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:44:29Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Абдуллаев, А.А. Мансимов, К.Б. 2015-09-12T17:42:45Z 2015-09-12T17:42:45Z 2013 Многоточечные необходимые условия оптимальности особых управлений в процессах, описываемых системой интегральных уравнений типа Вольтерры / А.А. Абдуллаев, К.Б. Мансимов // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 50-57. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86290 517.977 Розглянуто задачу оптимального керування, що описана системою нелінійних інтегральних рівнянь типу Вольтерри. Доведено необхідні умови оптимальності особливих, в сенсі принципу максимуму Понтрягіна, керувань. We consider an optimal control problem described by a system of Volterra nonlinear integral equations. The multipoint necessary optimality conditions for controls that are singular in the sense of the Pontryagin maximum principle are obtained. R ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Многоточечные необходимые условия оптимальности особых управлений в процессах, описываемых системой интегральных уравнений типа Вольтерры Багатоточкові необхідні умови оптимальності особливих керувань у процесах, що описуються системою інтегральних рівнянь типу Вольтерри Multipoint necessary optimality conditions for singular controls in processes described by Volterra system of integral equations Article published earlier |
| spellingShingle | Многоточечные необходимые условия оптимальности особых управлений в процессах, описываемых системой интегральных уравнений типа Вольтерры Абдуллаев, А.А. Мансимов, К.Б. Системный анализ |
| title | Многоточечные необходимые условия оптимальности особых управлений в процессах, описываемых системой интегральных уравнений типа Вольтерры |
| title_alt | Багатоточкові необхідні умови оптимальності особливих керувань у процесах, що описуються системою інтегральних рівнянь типу Вольтерри Multipoint necessary optimality conditions for singular controls in processes described by Volterra system of integral equations |
| title_full | Многоточечные необходимые условия оптимальности особых управлений в процессах, описываемых системой интегральных уравнений типа Вольтерры |
| title_fullStr | Многоточечные необходимые условия оптимальности особых управлений в процессах, описываемых системой интегральных уравнений типа Вольтерры |
| title_full_unstemmed | Многоточечные необходимые условия оптимальности особых управлений в процессах, описываемых системой интегральных уравнений типа Вольтерры |
| title_short | Многоточечные необходимые условия оптимальности особых управлений в процессах, описываемых системой интегральных уравнений типа Вольтерры |
| title_sort | многоточечные необходимые условия оптимальности особых управлений в процессах, описываемых системой интегральных уравнений типа вольтерры |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86290 |
| work_keys_str_mv | AT abdullaevaa mnogotočečnyeneobhodimyeusloviâoptimalʹnostiosobyhupravleniivprocessahopisyvaemyhsistemoiintegralʹnyhuravneniitipavolʹterry AT mansimovkb mnogotočečnyeneobhodimyeusloviâoptimalʹnostiosobyhupravleniivprocessahopisyvaemyhsistemoiintegralʹnyhuravneniitipavolʹterry AT abdullaevaa bagatotočkovíneobhídníumovioptimalʹnostíosoblivihkeruvanʹuprocesahŝoopisuûtʹsâsistemoûíntegralʹnihrívnânʹtipuvolʹterri AT mansimovkb bagatotočkovíneobhídníumovioptimalʹnostíosoblivihkeruvanʹuprocesahŝoopisuûtʹsâsistemoûíntegralʹnihrívnânʹtipuvolʹterri AT abdullaevaa multipointnecessaryoptimalityconditionsforsingularcontrolsinprocessesdescribedbyvolterrasystemofintegralequations AT mansimovkb multipointnecessaryoptimalityconditionsforsingularcontrolsinprocessesdescribedbyvolterrasystemofintegralequations |