О математическом моделировании трехмерного поля поперечных динамических смещений толстых упругих плит

Досліджено динаміку пружної плити скінченних розмірів і товщини. Тривимірне поле поперечних динамічних зміщень плити будується як розв’язок двовимірних диференціальних рівнянь, параметрично залежних від поперечної координати. Розглянуто випадки дискретно- та неперервно-визначених початково-крайових...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2013
Main Authors:	Стоян, В.А., Двирничук, К.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Series:	Кибернетика и системный анализ
Subjects:	Системный анализ
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86291
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	О математическом моделировании трехмерного поля поперечных динамических смещений толстых упругих плит / В.А. Стоян, К.В. Двирничук // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 58-72. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86291
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-862912025-02-23T17:18:05Z О математическом моделировании трехмерного поля поперечных динамических смещений толстых упругих плит Про математичне моделювання трьохвимірного поля поперечних динамічних зміщень товстих пружних плит Mathematical modeling of three-dimensional fields of dynamic transverse displacements of thick elastic plates Стоян, В.А. Двирничук, К.В. Системный анализ Досліджено динаміку пружної плити скінченних розмірів і товщини. Тривимірне поле поперечних динамічних зміщень плити будується як розв’язок двовимірних диференціальних рівнянь, параметрично залежних від поперечної координати. Розглянуто випадки дискретно- та неперервно-визначених початково-крайових умов, які задовольняються за середньоквадратичним критерієм. Описано особливості розв’язання поставлених задач в необмежених просторово-часових областях. We investigate the dynamics of an elastic plate of finite dimensions. The three-dimensional field of dynamic transverse displacements of the plate is constructed as a solution of two-dimensional differential equations parametrically dependent on the transverse coordinate. We consider the cases of discrete and continuous sets of the initial and boundary conditions that are satisfied by the mean square criterion. We describe the features of the solution of the problems in unbounded space–time domains. R 2013 Article О математическом моделировании трехмерного поля поперечных динамических смещений толстых упругих плит / В.А. Стоян, К.В. Двирничук // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 58-72. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86291 517.95:519.86:539.3 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Стоян, В.А. Двирничук, К.В. О математическом моделировании трехмерного поля поперечных динамических смещений толстых упругих плит Кибернетика и системный анализ
description	Досліджено динаміку пружної плити скінченних розмірів і товщини. Тривимірне поле поперечних динамічних зміщень плити будується як розв’язок двовимірних диференціальних рівнянь, параметрично залежних від поперечної координати. Розглянуто випадки дискретно- та неперервно-визначених початково-крайових умов, які задовольняються за середньоквадратичним критерієм. Описано особливості розв’язання поставлених задач в необмежених просторово-часових областях.
format	Article
author	Стоян, В.А. Двирничук, К.В.
author_facet	Стоян, В.А. Двирничук, К.В.
author_sort	Стоян, В.А.
title	О математическом моделировании трехмерного поля поперечных динамических смещений толстых упругих плит
title_short	О математическом моделировании трехмерного поля поперечных динамических смещений толстых упругих плит
title_full	О математическом моделировании трехмерного поля поперечных динамических смещений толстых упругих плит
title_fullStr	О математическом моделировании трехмерного поля поперечных динамических смещений толстых упругих плит
title_full_unstemmed	О математическом моделировании трехмерного поля поперечных динамических смещений толстых упругих плит
title_sort	о математическом моделировании трехмерного поля поперечных динамических смещений толстых упругих плит
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Системный анализ
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86291
citation_txt	О математическом моделировании трехмерного поля поперечных динамических смещений толстых упругих плит / В.А. Стоян, К.В. Двирничук // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 58-72. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT stoânva omatematičeskommodelirovaniitrehmernogopolâpoperečnyhdinamičeskihsmeŝenijtolstyhuprugihplit AT dvirničukkv omatematičeskommodelirovaniitrehmernogopolâpoperečnyhdinamičeskihsmeŝenijtolstyhuprugihplit AT stoânva promatematičnemodelûvannâtrʹohvimírnogopolâpoperečnihdinamíčnihzmíŝenʹtovstihpružnihplit AT dvirničukkv promatematičnemodelûvannâtrʹohvimírnogopolâpoperečnihdinamíčnihzmíŝenʹtovstihpružnihplit AT stoânva mathematicalmodelingofthreedimensionalfieldsofdynamictransversedisplacementsofthickelasticplates AT dvirničukkv mathematicalmodelingofthreedimensionalfieldsofdynamictransversedisplacementsofthickelasticplates
first_indexed	2025-11-24T03:49:41Z
last_indexed	2025-11-24T03:49:41Z
_version_	1849642117459083264
fulltext	ÓÄÊ 517.95:519.86:539.3 Â.À. ÑÒÎßÍ, Ê.Â. ÄÂÈÐÍÈ×ÓÊ Î ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÈ ÒÐÅÕÌÅÐÍÎÃÎ ÏÎËß ÏÎÏÅÐÅ×ÍÛÕ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÌÅÙÅÍÈÉ ÒÎËÑÒÛÕ ÓÏÐÓÃÈÕ ÏËÈÒ Êëþ÷åâûå ñëîâà: òîëñòûå óïðóãèå ïëèòû, äèíàìèêà ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåí- íûìè ïàðàìåòðàìè, ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè óïðóãèõ êîíñòðóêöèé òèïà ïëàñòèíà è îáîëî÷êà, ïîëó÷èâøèå ðàçâèòèå âî âòîðîé ïîëîâèíå ïðîøëîãî âåêà, ñòðîèëèñü [1–3] â ïðåäïîëîæåíèè ìàëîñòè òîëùèíû ïîñëåäíèõ â ñðàâíå- íèè ñ èõ îñíîâíûìè ãåîìåòðè÷åñêèìè ðàçìåðàìè. Ðàçðåøàþùèå äèôôåðåíöè- àëüíûå óðàâíåíèÿ òàêèõ êîíñòðóêöèé, êàê ïðàâèëî, äâóõìåðíûå, ðàññìîòðåíû òîëüêî äëÿ ÷àñòíûõ [4–6] êëàññè÷åñêè îïðåäåëåííûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ óñëî- âèé. Èññëåäîâàíèå äèíàìèêè ïëàñòèí è îáîëî÷åê êîíå÷íîé òîëùèíû âñåãäà ñîïðÿæåíî [7–9] ñ îïðåäåëåííûìè ÷èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèìè ïðîáëåìàìè, êî- òîðûå âîçíèêàþò êàê ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè îáúåêòà è ôîð- ìèðîâàíèè íà÷àëüíî-êðàåâûõ íàáëþäåíèé çà íèì, òàê è ïðè ðåøåíèè çàäà÷è, ñâÿçàííîé êàê ñ ìàòåìàòè÷åñêîé, òàê è âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòüþ. Ñóùåñòâó- åò ìíîãî [9, 10] ïîäõîäîâ ê ïîñòðîåíèþ óòî÷íåííûõ óðàâíåíèé äèíàìèêè ïëàñòèí êîíå÷íîé òîëùèíû, êîòîðûå, îäíàêî, íå áûëè ëèøåíû îïðåäåëåííûõ ìåõàíè÷åñêèõ ìîäåëåé. Áåçãèïîòåçíîå ðåøåíèå ïðîáëåìû, ïðåäëîæåííîå À.È. Ëóðüå [11], îãðàíè÷èâàëîñü òîëüêî ñòàòè÷åñêèì ñëó÷àåì. Îáîáùåíèå ïîëó÷åííûõ â [11] ðåçóëüòàòîâ ïîçâîëèëî ðàçâèòü [12] ïîëóòðåõìåðíóþ ìà- òåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, êîòîðûå èìåþò ìåñòî â îñå- ñèììåòðè÷åñêè çàãðóæåííîì óïðóãîì ñëîå. Çäåñü äâóõìåðíûå äèôôåðåíöè- àëüíûå óðàâíåíèÿ, ïàðàìåòðè÷åñêè çàâèñÿùèå îò âûðîæäåííîé êîîðäèíàòû ñëîÿ, ïîëíîñòüþ îïèñûâàþò òðåõìåðíîå ïîëå åãî óïðóãèõ äèíàìè÷åñêèõ äå- ôîðìàöèé. Ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ ðåçóëüòàòû ðàáîòû [12] áûëè ðàñ- ïðîñòðàíåíû [13, 14] è íà äèíàìèêó óïðóãîãî ñëîÿ, îòíåñåííîãî ê äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Íåðåøåííûìè ïðè ýòîì îñòàëèñü âîïðîñû ïðèìåíåíèÿ ìî- äåëåé ê èññëåäîâàíèþ äèíàìèêè òîëñòûõ óïðóãèõ ïëèò êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ. Ðåøåíèþ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äèíàìèêè îãðàíè÷åííûõ â ïëàíå óïðóãèõ ïëèò ïîñâÿùåíà íàñòîÿùàÿ ñòàòüÿ. Ïðèìåíåíèå ìåòîäèêè [15, 16] ìàòåìàòè- ÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâûõ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçäåéñòâèé ïðî- ñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ê ìåõàíè÷åñêèì îáúåê- òàì, îïèñàííûì ìîäåëÿìè [13, 14], ïîçâîëèëî ðåøèòü ýòè çàäà÷è áåç îãðàíè- ÷åíèé íà ôîðìó îáúåêòà, à òàêæå îáúåì è êà÷åñòâî èíôîðìàöèè î åãî íà÷àëüíî-êðàåâîì ñîñòîÿíèè. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå ïîñòðîåíî ïîëå äèíàìè÷åñ- êèõ ïðîãèáîâ óïðóãîé ïëèòû, êîòîðîå, òî÷íî óäîâëåòâîðÿÿ åå äèôôåðåíöèàëü- íîé ìîäåëè, çà ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì êðèòåðèåì ñîãëàñóåòñÿ ñ äèñêðåòíî- è íåïðåðûâíî-çàäàííûìè íàáëþäåíèÿìè çà íåé. Óñòàíîâëåíû óñëîâèÿ òî÷íîñòè è îäíîçíà÷íîñòè ïîëó÷åííîãî òàêèì îáðàçîì ðåøåíèÿ çàäà÷è. 58 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 � Â.À. Ñòîÿí, Ê.Â. Äâèðíè÷óê, 2013 ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Ðàññìîòðèì äèíàìèêó ïëèòû, âûðåçàííîé öèëèíäðîì �( , )x y � 0 èç óïðóãîãî ñëîÿ, îãðàíè÷åííîãî ïëîñêîñòÿìè z h� � äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò x, y, z. Îáîçíà÷èì S 0 ïðîñòðàíñòâåííóþ îáëàñòü ïëèòû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîâåðõ- íîñòè åå íàõîäÿòñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé q x y t k � ( , , ) (çäåñü t T�[ , ]0 — âðåìåííàÿ êîîðäèíàòà, k �1 2, ) òàêèõ, ÷òî q x y t x y tz z h1 � ��( , , ) ( , , ) \|� , q x y t x y t x y tzx z h zy z h2 � �� ( , , ) ( , , ) ( , , )\| \|� � , (1) ãäå �z , �zx , �zy — îáùåïðèíÿòûå [1, 2] îáîçíà÷åíèÿ íîðìàëüíûõ è êàñàòåëü- íûõ (â íàïðàâëåíèÿõ îñåé Ox, Oy) íàïðÿæåíèé òî÷êè ( , , )x y z ïëèòû. Ïîñòðîèì ôóíêöèþ w x y z t( , , , ) ñìåùåíèé, ïîïåðå÷íûõ ê ñðåäèííîé ïëîñêîñ- òè z � 0 ïëèòû, â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî L w s Yr t t S r 0 0 0 0 ( ) ( ) ( )\| ,� �� ( , )r R�1 0 , (2) L w s Y st T S � � � � � � � � � ( ) ( ) ( )\| [ , ] \| � �� 0 ( , )� �1 R� . (3) Çäåñü S x y h h� �� ( , ) [ , ]; � � ( , , )x y z ; s t� ( , )� ; � t è � � � � �� ( , , )x y z — ïðîèç- âîäíûå ïî âðåìåííîé êîîðäèíàòå t è ïðîñòðàíñòâåííûì êîîðäèíàòàì x, y, z; Lr t 0 ( )� ( , )r R�1 0 è L� � � ( )� ( , )� �1 R� — ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðà- òîðû. Íà êîëè÷åñòâî íà÷àëüíûõ R0 è êðàåâûõ R� íàáëþäåíèé çà ñìåùåíèÿìè w s( ) îñîáûõ îãðàíè÷åíèé íàêëàäûâàòü íå áóäåì. Áóäåì äîïóñêàòü òàêæå, ÷òî íàáëþäåíèÿ (2), (3) çà íà÷àëüíî-êðàåâûì ñîñòî- ÿíèåì ïëèòû ìîãóò âûïîëíÿòüñÿ è â äèñêðåòíîì ðåæèìå, ò.å. êîãäà L w s Yr t t S rj j 0 0 0 0 0 ( ) ( ) \| \| � �� (r R�1 0, , j J�1 0, ), (4) L w s Yt t T S jj j � � � � � � � � � ( ) ( ) \| [ , ] \| � �� 0 (� �1, R� , j J�1, � ). (5) Ïðè ïîñòðîåíèè ôóíêöèè w s( ) ïîïåðå÷íûõ äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé òî÷åê ðàññìàòðèâàåìîé ïëèòû áóäåì èñõîäèòü èç òîãî, ÷òî [13] w s w s w s( ) ( ) ( )( ) ( )� �1 2 , (6) ãäå Q w sl x y t l( ) ( )( , , ) ( )� � � � � � � � � � � �d z q x y t d z ql x y t l l x y t1 1 2 2 ( ) ( ) ( )( , , , ) ( , , ) ( , , , ) ( ) ( , , ) ( , )l x y t l �1 2 (7) ïðè Q x y t ( ) ( , , )1 � � � � � � � ( )(( ) )cos ( ) sin ( ) sin � � �D D hD hD D D 2 2 1 2 1 2 2 1 22 4� � � � ( ) cos ( ) hD D hD1 1 2 , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 59 Q x y t ( ) ( , , )2 � � � � � � � �( )( ( ) ) sin ( ) cos ( ) cos� � �D D hD D hD D 2 2 1 2 1 1 2 2 22 4� � � � ( ) sin ( ) ,hD hD D 1 2 2 (8) d z D D zD D hD D x y t1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2( ) ( , , , ) ( ) sin ( ) sin ( ) � � � � � � � sin ( ) sin ( )hD D zD D 1 1 2 2 � � � � � , d zx y t2 1( ) ( , , , )� � � � � � 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1d D hD zD D D zD � � � �(( ) )cos ( ) sin ( ) sin ( ) � D hD 1 2cos ( ) � � � � � , d z D zD hD hDx y t1 2 2 2 1 2 2( ) ( , , , ) ( )cos ( )cos ( ) cos (� � � � � � � 1 2)cos ( ),zD (9) d zx y t2 2( ) ( , , , )� � � � � � �2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1d D zD hD D D hD cos ( ) sin ( ) ( ( ) ) sin ( ) � � � �� D zD 1 2cos ( ) � � � � � , q x y t q x y t q x y t 1 1 1 1 1 2 ( ) ( , , ) ( ( , , ) ( , , ))� �� , q x y t q x y t q x y t 2 1 2 2 1 2 ( ) ( , , ) ( ( , , ) ( , , ))� � , q x y t q x y t q x y t 1 2 1 1 1 2 ( ) ( , , ) ( ( , , ) ( , , ))� � , q x y t q x y t q x y t 2 2 2 2 1 2 ( ) ( , , ) ( ( , , ) ( , , ))� �� . (10) Çäåñü è äàëåå � � � ��d x y( ) , D c t1 2 1 1 2 21 � �� , � � �1 2 2 2 � � � � � � � � � � � � , D c t2 2 2 2 2 21 � �� , � 2 2 2� � ��x y , � è � — ìîäóëè óïðóãîñòè ìàòåðèàëà ïëèòû, c1 2 � �� , c2 � � � — ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ óïðóãèõ âîëí ðàñøèðåíèÿ è ñäâèãà â áåñêîíå÷íîé óïðóãîé ñðåäå, à îïåðàòîð d óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøå- íèþ � �� x yu v d u v( ) . Çäåñü è äàëåå sin ( )zD D m m è cos ( )zDm ( , )m �1 2 — äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòî- ðû, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ ïîëó÷èì ïîñëå ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèé sin ( )zDm è cos ( )zDm â ðÿäû ïî ñòåïåíÿì zDm è âîçâðàùåíèÿ îïåðàòîðíîãî çíà÷åíèÿ ñèìâîëàì D 1 2 , D 2 2 . Óäåðæàíèå ðàçëè÷íîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ â ýòèõ ðàçëîæåíèÿõ ïîçâîëÿåò ïîëó- ÷èòü îïðåäåëåííîé òî÷íîñòè ìîäåëü äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé w s( ) òî÷åê ðàññìàòðèâàåìîé ïëèòû. 60 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 ÊÐÈÒÅÐÈÉ È ÎÑÎÁÅÍÍÎÑÒÈ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×È Ñòðóêòóðà äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (7), êîòîðûì îïðåäåëÿåòñÿ çàâèñè- ìîñòü ñìåùåíèé w sl( ) ( ) ( , )l �1 2 îò âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçìóùàþùèõ ôàêòî- ðîâ q x y t 1 � ( , , ) è q x y t 2 � ( , , ), à òàêæå óíèâåðñàëüíîñòü çàäàíèÿ íà÷àëüíî-êðàå- âûõ óñëîâèé (2), (3) è (4), (5) äåëàþò çàäà÷ó ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè w s( ) òðóäíî ðàçðåøèìîé êàê àíàëèòè÷åñêè, òàê è ÷èñëåííî. Ïðîáëåìà çàêëþ÷àåòñÿ â íå- êîððåêòíîñòè (ïî êîëè÷åñòâó è êà÷åñòâó) íà÷àëüíî-êðàåâûõ íàáëþäåíèé çà äè- íàìèêîé ðàññìàòðèâàåìîé ïëèòû ïðè òî÷íî ñôîðìóëèðîâàííîé ìàòåìàòè÷åñ- êîé ìîäåëè ïîñëåäíåé. Èñõîäÿ èç ýòîãî ôóíêöèþ w s( ), îïðåäåëåííóþ ñîãëàñ- íî (6), ïîñòðîèì òàê, ÷òîáû: 1) ñîñòàâëÿþùèå w sl( ) ( ) ( , )l �1 2 ýòîé ôóíêöèè òî÷íî óäîâëåòâîðÿëè äèôôå- ðåíöèàëüíîìó ñîîòíîøåíèþ (7); 2) ñóììà (6) ñîñòàâëÿþùèõ w sl( ) ( ) ( , )l �1 2 (ò.å. ôóíêöèÿ ñìåùåíèé w s( )) çà ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì êðèòåðèåì óäîâëåòâîðÿëà íà÷àëüíî-êðàåâûì íàáëþäåíè- ÿì (2), (3) èëè (4), (5), ÷òî ýêâèâàëåíòíî �1 0 0 0 2 1 0 0 � � � � �� ( ( ) ( ) ( ))\|L w s Y dr t t r Sr R � � � � � � � � ( ( ) ( ) ( )) min [ , ] ( ) L w s Y s ds S T R w s � � � � � � � �� 2 01 , (11) �2 0 0 0 2 1 0 0 0 � � � � � �� L w s Yr t t S rj j J r j ( ) ( ) \| \|� �� 1 0R � � � � � � � �� L w s Y s s S T j j JR j � � � � � � � � �� ( ) ( ) \| [ , ]0 2 11 � � min ( )w s (12) ïðè íåïðåðûâíî- (ñîãëàñíî (2), (3)) è äèñêðåòíî-îïðåäåëåííûõ (ñîãëàñíî (4), (5)) íà÷àëüíî-êðàåâûõ óñëîâèÿõ ïëèòû. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ óäîâëåòâîðÿþùåé ýòèì óñëîâèÿì ôóíêöèè w s( ) âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäèêîé ðåøåíèÿ ïîäîáíûõ çàäà÷, ïðåäëîæåííîé â [12] è ðàçâèòîé â [15, 16]. Ñîãëàñíî [15, 16] ôóíêöèþ w s( ) ïðåäñòàâèì ñóììîé w s w s w s w s w s w sl l l l ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ))( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � �� 1 2 0 � � � 1 2 , (13) ñîñòàâëÿþùèå w sl � ( ) ( ), w sl 0 ( ) ( ) è w sl � ( ) ( ) ( , )l �1 2 êîòîðîé îïðåäåëÿþòñÿ ôóíêöè- ÿìè G z( ) ( ' , )1 � � è G z( ) ( ' , )2 � � àðãóìåíòà � � ( , , )x y t òàêèìè, ÷òî Q G z d zl x y t l k l x y t ( ) ( ) ( )( , , ) ( , ) ( , , , ) (� � � � � � � � �� ) k� � 1 2 ( , )l �1 2 (14) (çäåñü � �( ' ) — -ôóíêöèÿ Äèðàêà). Íå îñòàíàâëèâàÿñü äåòàëüíî íà îñîáåí- íîñòÿõ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (14), çàìåòèì, ÷òî îïðåäåëåííàÿ ñîãëàñíî ýòîìó óðàâíåíèþ ôóíêöèÿ ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 61 G z d i i z i Q i i l k l k l ( ) ( ) ( ) ( ' , ) ( ) ( , , , ) ( , � � � � � � � � � 1 2 3 1 2 � � � � �� , ) ( ') ( ') ( ') i e d d di x x i y y i t t � � � �� (15) (çäåñü i — ìíèìàÿ åäèíèöà). Èç (15) ñ ó÷åòîì (8), (9) çàêëþ÷àåì, ÷òî G zl( ) ( , )� � � � � � � 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( , , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( ' i d p p z q Q p p q e k l k l p x x ) ( ) ( )� � � � � � � � p y y q t t i i dp dp dq2 1 2 . (16) Çàìåòèì, ÷òî ñîîòíîøåíèå (16), êîòîðîå îïðåäåëÿåò àíàëèòè÷åñêèå âûðàæå- íèÿ ôóíêöèé G z( ) ( ' , )1 � � è G z( ) ( ' , )2 � � , óïðîùàåòñÿ, åñëè ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìî- äåëü (7) ðàññìàòðèâàåòñÿ ñ îïðåäåëåííîé òî÷íîñòüþ. Òàê, ïðè òî÷íîñòè h3 äëÿ îñåñèììåòðè÷åñêîé çàäà÷è [12, 13] äèíàìèêè ïëèòû, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò íåêëàññè- ÷åñêèì óòî÷íåííûì ìàòåìàòè÷åñêèì ìîäåëÿì [10], êîìïîíåíòû Q p p ql( ) ( , , )1 2 , d p p z q k l( ) ( , , , )1 2 èìåþò âèä Q p p q h p p q( ) ( , , ) ( ) ( )1 1 2 1 2 2 2 24 2 � � � � � � � � � � � { } � � � � � � � � � � � � �� h p p p 3 1 2 2 2 2 2 2 23 8 2 4 2 8 7 2! ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 2 2 2 2 5 2 � � � � � � �� ! " # $ p q q) , � � � � � � � � Q p p q h q h( ) ( , , ) ! 2 1 2 2 3 3 � � � � � � � � � � � 8 2 4 3 4 2 3 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � p p p p q � � � � �� ! " # $ 7 2 2 2 � � � � � q , (17) d p p z q zh p p q 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 ( ) ( , , , ) � � � � � ! " # $ � � � , d p p z q z p p h p p q 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 21 2 ( ) ( , , , ) ( )� � � � � � �� ! " # $ � � � �1 3 3 2 43 1 2 1 2 2 2 2 ! ( ) ( ) ( z p p p p � � � �� q 2 � � ! " # $ , d p p z q h p p q 1 2 1 2 2 1 2 2 2 21 1 2 3 4 2 ( ) ( , , , ) ( )� � � � � � ! "� � � � � � # $ � � � � � � � � ! " # $ 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2z p p q � � � � � � ( ) , d p p z q z p p h p p 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 21 1 3 3 4( ) ( , , , ) ( ) ! ( )� � � � � � � �� ! " # $ � 2 2� �� q � � � � � �� ! " # $ 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2z h p p p p q( ) � � �� . (18) 62 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 Ìåòîäèêà âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ (16), çàïèñàííûõ ñ ó÷åòîì (17), (18), äåòàëü- íî ðàññìîòðåíà â [17]. Îòêðûòûì ïðè ýòîì îñòàåòñÿ âîïðîñ ïîñòðîåíèÿ ñî- ñòàâëÿþùèõ w sl � ( ) ( ), w sl 0 ( ) ( ), w sl � ( ) ( ), ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ñîãëàñíî (13) îïðåäå- ëÿåòñÿ ôóíêöèÿ w s( ). Âûðàæåíèÿ äëÿ w sl 0 ( ) ( ) è w sl � ( ) ( ) ïîñòðîèì íèæå äëÿ êàæ- äîé çàäà÷è (1), (2), (3) è (1), (4), (5). Ñîñòàâëÿþùèå w sl � ( ) ( ), êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ îáùèìè äëÿ îáåèõ çàäà÷, ïðåäñòàâèì [15, 16] ñîîòíîøåíèÿìè w s G z q dl l l S � � � � �� ( ) ( ) ( )( ) ( , ) ( )� � � � ( , )l �1 2 , (19) ãäå q ql k l k ( ) ( )( ) ( )� � � � �� 1 2 ( , )l �1 2 , S S z h z h� % � & � ( ( )) [ , ]0 0{ } { } T , s S T� � 0 � � � �{ T }s t S t( , ): ; [ , ]� � 0 0 . ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÏÎËß ÏÎÏÅÐÅ×ÍÛÕ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÌÅÙÅÍÈÉ ÏËÈÒÛ, ÄÈÑÊÐÅÒÍÎ ÍÀÁËÞÄÀÅÌÎÉ ÇÀ ÍÀ×ÀËÜÍÎ-ÊÐÀÅÂÛÌ ÑÎÑÒÎßÍÈÅÌ Ðàññìîòðèì îñîáåííîñòè ïîñòðîåíèÿ îïðåäåëåííîé ñîîòíîøåíèåì (13) ôóíê- öèè w s( ), êîòîðàÿ ïðè óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ (7) ñîñòàâëÿþùèõ w sl( ) ( ) ( , )l �1 2 çà ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì êðèòåðèåì (12) ñîãëàñóåòñÿ ñ íàáëþäåíèÿìè (4), (5) çà íà÷àëüíî-êðàåâûì ñîñòîÿíèåì ðàññìàòðèâàåìîé ïëèòû. Ïðåäñòàâëåííàÿ ñîãëàñíî (13) ôóíêöèÿ w s( ) áóäåò òî÷íî óäîâëåòâîðÿòü [15, 16] äèôôåðåíöèàëüíîé ìîäåëè (7), åñëè ïðè îïðåäåëåííûõ ñîãëàñíî (16) ôóíêöèÿõ G z( ) ( ' , )1 � � è G z( ) ( ' , )2 � � â äîïîëíåíèå ê (19) ñîñòàâëÿþùèå w sl 0 ( ) è w sl � ( ) ( ) ( , )l �1 2 , ôèãóðèðóþùèå â (13), ïðåäñòàâèòü ñîîòíîøåíèÿìè w s G z u dl l l S 0 0 0 ( ) ( ) ( )( ) ( , ) ( )� � � �� , (20) w s G z u dl l l S � � � ( ) ( ) ( )( ) ( , ) ( )� � � �� ( , )l �1 2 . (21) Ôóíêöèè u l 0 ( ) ( ' )� ( ' )� �S 0 è u l � ( ) ( ' )� ( ' )� �S � ýòèõ ñîîòíîøåíèé ïðè S S z h z h0 0 0� % � & � �( ( )) ( , ]{ } { } , S R S z h z h� � % � & � (( \ ) ( )) [ , ]3 0 0{ } { } T îïðåäåëèì ñîãëàñíî (12) èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, � � 2 1 2 0 � � min ( ) ( ) ( ') ( ') ( , ) u u l l l � � . (22) Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (22) âûðàæåíèå (13), çàïèñàííîå ñ ó÷åòîì (19)–(21), ïîäñòàâèì â (4), (5). Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñèñòåìó èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé A u d Y( ) ( ' )� � �� (23) äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåêòîð-ôóíêöèè ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 63 u u S u S l l l ( ) ( ), ( ), , , ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � col 0 0 1 2 � � � � � � � � ïðè èçâåñòíîì âåêòîðå Y Y Y � � � � � � � � � 0 � è ìàòðè÷íîé ôóíêöèè A A S A S A S l l l ( ) ( ), ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � str 11 0 12 21 0 � A S l l 22 1 2 ( ) ( ), , , � �� , â êîòîðûõ Y Y j J r Rrj 0 0 0 01 1� � �col (( , , ), , ), Y Y j J Rj � � � �� col (( , , ), , )� �1 1 , Y Y L w srj rj r t t Sj 0 0 0 0 0 0 � � � � � � ( ) ( ) � � ( j J r R� �1 10 0, , , ), Y Y L w sj j s s S Tj � � � � � � � � � � � � � � ( ) ( ) \| [ , ]0 ( j J�1, � , � �1, R� ), A L G z j J i l r t l t Sj 1 0 0 0 0 1( ) ( )( ' ) ( ) ( ' , ) , ,� � � � � � � �� col 0 01 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , ,r R , A L G z j i l l s s S Tj2 0 ( ) ( ) \| [ , ] ( ) ( ) ( , ) ,� � � � � � � � �� col � � � �� 1 1, , ,J R� �� ( , , )l i �1 2 . Çàìåòèì, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå â (23) ïðîâîäèòñÿ ïî îáëàñòè èçìåíåíèÿ àðãó- ìåíòà � âåêòîðíîé u ( )� è ìàòðè÷íîé A( )� ôóíêöèé. Ðåçóëüòàòîì ïñåâäîîáðàùåíèÿ ñèñòåìû (23) òàêîãî, ÷òîáû A u d Y u ( ) ( ) min ( ) � � � � �� 2 , (24) áóäåò [16] âåêòîð-ôóíêöèÿ u A P Y v A P AT T v( ) ( ) ( ) ( )� � � �� 1 1 (25) ïðè ëþáîé èíòåãðèðóåìîé â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ âåêòîð-ôóíêöèè v v S v S ll l( ) ( (( ( ), ), ( ( ), )), ,( ) ( )� � � � �� col col 0 0 1 � � 2) , ìàòðèöå è âåêòîðå P P P P P 1 11 12 21 22 � � � �� , A A A v v v � � � �� 1 2 , â êîòîðûõ P A A d A Aij l i l j l T i l j l� � � � 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( )( ( )) ( )( (� � � � � �))T SS d � �� 0 , A A v d A v dvi i l l i l l SS � � � �� 1 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � �� l i j 1 2 1 2( , , ) . 64 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 Èç (25) íàõîäèì u A A P Y vl l T l T l 0 11 21 1 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) (( ( )) , ( ( )) ) ( )� � � �� (( ( )) , ( ( )) )( ) ( )A A P Al T l T v11 21 1 � � � ( )��S 0 , u A A P Y vl l T l T l � � ( ) ( ) ( ) ( )( ) (( ( )) , ( ( )) ) ( )� � � �� 12 22 1 (( ( )) , ( ( )) )( ) ( )A A P Al T l T v12 22 1 � � � ( )��S � ( , )l �1 2 . Èñõîäÿ èç ýòîãî ñ ó÷åòîì (19)–(21) ïîëó÷àåì ðåøåíèå çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè w s( ), îïðåäåëåííîé ñîãëàñíî (12). Òî÷íîñòü, ñ êîòîðîé ïîñòðîåííàÿ òàêèì îáðàçîì ôóíêöèÿ w s( ) áóäåò ñîãëà- ñîâûâàòüñÿ ñ íàáëþäåíèÿìè (4), (5) çà íà÷àëüíî-êðàåâûì ñîñòîÿíèåì ïëèòû, îïðåäåëÿåòñÿ òî÷íîñòüþ ðåøåíèÿ çàäà÷è (12) èëè (÷òî ýêâèâàëåíòíî) çàäà÷è (22). Ïîñëåäíåå îïðåäåëÿåòñÿ [16] ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîé òî÷íîñòüþ � � � � � 2 2 1 1 � � � �min ( ) ( ) ( )u T TA u d Y Y Y Y P P Y , (26) ñ êîòîðîé ðåøåíà ñèñòåìà (23). Ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è áóäåò îäíîçíà÷íûì (v ( )� ' 0), åñëè [16] lim det N T i j i j NA A �� ([ ( ) ( )] , � � 1 0. (27) Çàäà÷à (12) ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè w s( ) ìîæåò áûòü óñïåøíî ðåøåíà, åñëè ìî- äåëèðóþùèå ôóíêöèè u 0 1( ) ( )� , u � ( ) ( )1 � , u 0 2( ) ( )� è u � ( ) ( )2 � îïðåäåëÿòü âåêòîðàìè u u u m Ml m l l m l l 0 0 0 0 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ), , )� � �col � , (28) u u u m Ml m l l m l l � � � � � ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ), , )� � �col � 1 ( , )l �1 2 (29) èõ çíà÷åíèé u m l 0 ( ) ( , )( )m M l�1 0 è u m l � ( ) ( , )( )m M l�1 � ( , )l �1 2 â òî÷êàõ �m l S0 0( ) � ( , )( )m M l�1 0 è �m l S� �( ) � ( , )( )m M l�1 � ñîîòâåòñòâåííî. Â ýòîì ñëó÷àå ñ ó÷åòîì ôóíêöèé w sl � ( ) ( ) ( , )l �1 2 ñîñòàâëÿþùèå w sl 0 ( ) ( ) è w sl � ( ) ( ) ( , )l �1 2 â (13) ïðåäñòàâèì ñîîòíîøåíèÿìè w s G z ul l m l m l m M l 0 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( , ) ( ) � � � � � , (30) w s G z ul l m l m M m l l � � � � ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( , ) ( ) � � � � � 1 ( , )l �1 2 . (31) Â ðåçóëüòàòå çàäà÷à (12) ñâåäåòñÿ ê ïîñòðîåíèþ âåêòîðà u u u ll l u R u l M l � � � � col col arg( ( , ), , ) min( ) ( ) , ( ) ( )0 1 2 0 0 � � � � ( ) ( ) ( , ) l M l R l� �1 2 2 , (32) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 65 66 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 ÷òî ýêâèâàëåíòíî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó îáðàùåíèþ ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåá- ðàè÷íûõ óðàâíåíèé Au Y� . (33) Âåêòîðû u è Y îïðåäåëåíû âûøå è A A A A A l l l l l � � � � � � � � � � � � � � � � � � str 11 12 21 22 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , , ïðè A L G z ml r t l m l t Sj 11 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( )( ) ( , ) ,� � �� col str � � � � 1 1 1 0 0 0, , , , ,( )M j J r Rl � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , A L G z ml r t l m l t Sj 12 0 0 0 0 ( ) ( ) ( )( ) ( , ) ,� � �� col str � � � � � 1 1 10 0, , , , ,( )M j J r Rl � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , A l 21 ( ) � � � � � � col str L G z ml m l s s S Tj � � � �� ( ) ( , ) , ,( ) ( ) \| [ , ] 0 0 1 M j J Rl 0 1 1( ) , , , , ,� � � � � � �� A l 22 ( ) � � � � � � col str L G z ml m l s s S Tj � � � �� ( ) ( , ) , ,( ) ( ) \| [ , ]0 1 M j J Rl � � � ( ) , , , , .� � � � � � �� 1 1� Ðåøåíèå (ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå ê íåìó) ñèñòåìû (33) îïðåäå- ëÿåòñÿ êàê [16] u A P Y v A P AvT T� � � � 1 1 , (34) ãäå v v v ll l� �col col( ( , ), , )( ) ( ) 0 1 2 � ïðè ïðîèçâîëüíûõ v Rl M l 0 0( ) ( ) � , v Rl M l � �( ) ( ) � ( , )l �1 2 è P AAT 1 � . Ñîãëàñíî (34) íàõîäèì u A A P Y v Al l T l T l l T 0 11 21 1 0 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(( ) , ( ) ) (( ) , (� � � A P Avl T 21 1 ( ) ) ) � , u A A P Y v Al l T l T l l T � � ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(( ) , ( ) ) (( ) , (� � � 12 22 1 12 A P Avl T 22 1 ( ) ) ) � ( , )l �1 2 , à ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ (28), (29) âåêòîðîâ u l 0 ( ) , u l � ( ) ( , )l �1 2 è ñîñòàâëÿþùèõ w sl 0 ( ) ( ), w sl � ( ) ( ) ( , )l �1 2 èç (13) ïîñòðîèì ôóíêöèþ w s( ). Òî÷íîñòü è îäíîçíà÷íîñòü (v ' 0) ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ïðè ýòîì áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ [16] òî÷íîñòüþ è îäíîçíà÷íîñòüþ ïñåâäîîáðàùåíèÿ ñèñòåìû (33), ò.å. âåëè÷èíîé �2 2 1 1 � � �min \| \| \| \| u T TAu Y Y Y Y P P Y è óñëîâèÿìè det( )A AT ( 0 (ðåøåíèå îäíîçíà÷íîå è v vl l 0 0( ) ( )� � � ( , )l �1 2 ), det( )A AT � 0 (ðåøå- íèå íåîäíîçíà÷íîå è v vl l 0 0( ) ( ), � ) ( , )l �1 2 ) ñîîòâåòñòâåííî. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÏÎËß ÏÎÏÅÐÅ×ÍÛÕ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÌÅÙÅÍÈÉ ÏËÈÒÛ, ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÎ ÍÀÁËÞÄÀÅÌÎÉ ÇÀ ÍÀ×ÀËÜÍÎ-ÊÐÀÅÂÛÌ ÑÎÑÒÎßÍÈÅÌ Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè (6) ïîïåðå÷íûõ äèíàìè÷åñêèõ ñìåùå- íèé w s( ), êîòîðàÿ áû ïðè óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ (7) ñîñòàâëÿþùèõ w sl( ) ( ) ( , )l �1 2 ñîãëàñíî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó êðèòåðèþ (11) ñîãëàñîâàëàñü ñ íåïðåðûâíûìè íàáëþäåíèÿìè (2), (3) çà íà÷àëüíî-êðàåâûì ñîñòîÿíèåì ðàñ- ñìàòðèâàåìîé ïëèòû. Êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ôóíêöèè w sl( ) ( ) ( , )l �1 2 ïðåäñòàâèì ñîîòíîøå- íèÿìè (13), (19), (30), (31). Îïðåäåëåííûå â (28), (29) âåêòîðû u l 0 ( ) , u l � ( ) ( , )l �1 2 çíà÷åíèé u m l 0 ( ) ( , )( )m M l�1 0 è u m l � ( ) ( , )( )m M l�1 � ìîäåëèðóþùèõ ôóíêöèé u l 0 ( ) ( )� è u l � ( ) ( )� íàéäåì ñîãëàñíî êðèòåðèþ (11), ò.å. ÷òîáû � � 1 1 2 0 � � min ( ) ( ) , ( , )u u l l l . (35) Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ñîîòíîøåíèé (13), (19), (30), (31) â íà÷àëüíî-êðàåâûå óñëîâèÿ (2), (3) ïîëó÷èì ñèñòåìó ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé A s u Y s( ) ( )� (36) äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåêòîðà u u u ll l� �col col( ( , ), , )( ) ( ) 0 1 2 � . Çäåñü Y s Y S Y s s S T ( ) ( ), ( ), � � � � � � � � � � � 0 0� � � � , S S TT � �� [ , ]0 , A s A S A S A s s S l l l ( ) ( ), ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) � � � � str 11 0 12 0 21 � � � � � T l TA s s S l 22 1 2 ( ) ( ), , , � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ïðè Y Y r Rr 0 0 01( ) (( ( ), , )� �� col , Y s Y s R� � �( ) (( ( ), , )� �col � � 1 , Y Y L w sr r r t t 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) \|� �� , r R�1 0, , Y s Y s L w s� � � � � � �( ) ( ) ( ) ( )� � � , � �1, R� , A L G z ml r t l m l t11 0 0 0 1( ) ( ) ( ) \|( ) ( ( ( ) ( , ) , ,� � �� col str M r Rl 0 01( ) ), , )� , A L G z ml r t l m l t12 0 0 1( ) ( ) ( ) \|( ) ( ( ( ) ( , ) , ,� � �� col str � M r Rl � ( ) ), , )�1 0 , A s L G z m Ml l m l l 21 0 0 1( ) ( ) ( ) (( ) ( ( ( ) ( , ), ,� � �col str � � � �� ) ), , )� �1 R� , A s L G z m Ml l m l l 22 1( ) ( ) ( ) (( ) ( ( ( ) ( , ), ,� � �col str � � � �� ) ), , )� �1 R� ( , )l �1 2 , �m l S0 0( ) � ( , )( )m M l�1 0 , �m l S� �( ) � ( , )( )m M l�1 � ( , )l �1 2 . Ðåøåíèå çàäà÷è (35) â ýòîì ñëó÷àå ýêâèâàëåíòíî ðåøåíèþ çàäà÷è ñðåäíåêâàä- ðàòè÷åñêîãî îáðàùåíèÿ ñèñòåìû (36) èëè ïîñòðîåíèþ âåêòîðà u òàêîãî, ÷òîáû u A s u Y s ds u u l l l � � �arg min \| \| ( ) ( )\| \| ( ) ( ) , ( , ) 0 1 2 2 � (37) (êàê è âûøå, çäåñü è äàëåå èíòåãðèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ â îáëàñòè èçìåíåíèÿ ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 67 àðãóìåíòà s). Ðåøåíèå (37) ïðåäñòàâëÿåòñÿ âåêòîðîì u u u P A v P P v v Ru y M M M M � � � � * �� + � �{ : ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 0 1 1 0 2 2) } (38) ïðè ïðîèçâîëüíîì v v v ll l� �col col( ( , ), , )( ) ( ) 0 1 2 � , â êîòîðîì v l 0 ( ) � R M l 0 ( ) , v l � ( ) � �R M l � ( ) ( , )l �1 2 , P A s A s ds PT ij i j i j 2 1 4� �� ( ) ( ) [ ] , , , A A s Y s ds A iy T yi� � �� ( ) ( ) ( , , )col 1 4 , P A A d A s A s dij i T j i T j � �( ( )) ( ) ( ( )) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 2 1� � � s SS T � �� 0 , P A A d A s Ai j i T j i T j( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( )) ( ) ( ( ))� � �2 1 1 1 2 2 1 2 2� � � ( )s ds SS T � �� 0 , P A A d A s Ai j i T j i T j( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( )) ( ) ( ( ))� � �2 1 2 1 1 2 2 2 1� � � ( )s ds SS T � �� 0 , P A A d A s Ai j i T j i T ( )( ) ( ) ( ) ( )( ( )) ( ) ( ( ))� � � �2 2 1 2 1 2 2 2 2 � � � j SS s ds T ( ) ( )2 0 � �� , A A Y d A s Y s dsyi i T i T SS T � � �� ( ( )) ( ) ( ( )) ( )( ) ( ) 1 1 0 2 1 0 � � � � � , A A Y d A s Y s dsy i i T i T S T ( ) ( ) ( )( ( )) ( ) ( ( )) ( )� � �2 1 2 0 2 2� � � � � �� S 0 ( , , )i j �1 2 . Îáîçíà÷àÿ Q Q i li l� � �col col( ( , , ), , )( ) 1 2 1 2 ìàòðèöó, ïñåâäîîáðàòíóþ ê P2 , èç (38) íàõîäèì u u R u Q A v Q P v vl l M l y l l l 0 0 1 0 1 2 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) :� � � � � + { l M R l ) ( ) � 0 }, (39) u u R u Q A v Q P v vl l M l y l l l � � � � + �( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) :� � � � � { 2 2 2 l M R l ) ( ) � � }. (40) Íàéäåííûå ñîãëàñíî (39), (40) âåêòîðû u l 0 ( ) , u l � ( ) ( , )l �1 2 ñ ó÷åòîì (13), (19), (30), (31) ïîçâîëÿþò íàéòè ôóíêöèþ w s( ), êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøå- íèþ (7) [16] òî÷íî, à íà÷àëüíî-êðàåâûì óñëîâèÿì (2), (3) — ñ òî÷íîñòüþ � � � �2 0 0 2 0 � � � � �( ( )) ( ) ( ( )) ( )Y Y d Y s Y s ds A P AT S T S y T y T � � � . Çàìåòèì, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è îäíîçíà÷íî ( )v ' 0 , åñëè det P2 0( . ÎÑÎÁÅÍÍÎÑÒÈ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×È Â ÍÅÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÛÕ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÎ-ÂÐÅÌÅÍÍÛÕ ÎÁËÀÑÒßÕ Îñòàíîâèìñÿ íà îñîáåííîñòÿõ ðåøåíèÿ ðàññìîòðåííûõ âûøå çàäà÷ äëÿ ñëó÷à- åâ, êîãäà âëèÿíèåì íà÷àëüíûõ èëè êðàåâûõ óñëîâèé íà ïðîöåññ äèíàìèêè èñ- ñëåäóåìîé ïëèòû ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ïðè ýòîì áóäåì èñõîäèòü èç òîãî, ÷òî: 68 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 1) äëÿ ïëèò, äèíàìèêà êîòîðûõ èññëåäóåòñÿ â íåîãðàíè÷åííîé ïðîñòðàíñòâåí- íîé îáëàñòè, îòñóòñòâóþò êðàåâûå óñëîâèÿ (3), (5) è ôóíêöèè u l � ( ) ( )� ( , )l �1 2 , èõ ìîäåëèðóþùèå, à êðèòåðèè ðåøåíèÿ çàäà÷è áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ ñîîòíîøåíèÿìè � 1 0 0 0 0 2 1 0 0 � � �� ( ( ) ( ) ( )) min\| ( ) L w s Y dr t t r Sr R w s � � , (41) � 2 0 0 0 0 2 11 0 0 00 � � � � � � �� ( ( ) ( ) ) m \| , L w s Yr t t S rj j J r R j� � in ( )w s ; (42) 2) äëÿ ïëèò, äèíàìèêà êîòîðûõ èññëåäóåòñÿ áåç ó÷åòà äåéñòâèÿ íà÷àëüíûõ âíåøíå-äèíàìè÷åñêèõ âîçìóùåíèé, îòñóòñòâóþùèìè áóäóò íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (2), (4) è ôóíêöèè u l 0 ( ) ( )� ( , )l �1 2 , èõ ìîäåëèðóþùèå, à ðåøåíèå ïîñòàâëåííîé çàäà÷è îïðåäåëÿåòñÿ êðèòåðèÿìè �� 1 2 1 � � �� ( ( ) ( ) ( )) min ( ) L w s Y s ds S R w s T � � � � , (43) �� 2 2 11 � � � � � �� ( ( ) ( ) ) min \| L w s Y s s S j j JR wj T� � � � ( )s . (44) Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå (íåîãðàíè÷åííàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ îáëàñòü) w s w s w sl l l ( ) ( ( ) ( ))( ) ( )� �� 0 1 2 , (45) ãäå w sl � ( ) ( ) îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (19), à w sl 0 ( ) ( ) — ñîîòíîøåíèÿìè (20), (30), â êîòîðûõ u A P Y v A Pl l T l l T 0 11 1 0 0 11 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( )) ( ) ( ( ))� � � �� Av0 ( )��S 0 * �v Sl 0 0( ) ( ) ( )� � , (46) P A A dl l T Sl 1 11 11 1 2 0 � � � � � � � � �� ( ) ( )( )( ( ))� � � , A A v dv l l Sl 0 11 0 1 2 0 � � � � � � � � �� ( ) ( )( ) ( )� � � è u A P Y v A P A vl l T l l T l 0 11 1 0 0 11 1 11 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )� � � � * � � �v v R ll M l 0 0 0 1 2col ( , , )( ) ( ) , (47) P A Al l T l 1 11 11 1 2 � � � ( ) ( )( ) â ñëó÷àå äèñêðåòíûõ íàáëþäåíèé (4) çà íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì ïëèòû. Ïðè íåïðåðûâíûõ íàáëþäåíèÿõ (2) çà íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì ïëèòû ñîñòàâëÿþùàÿ w sl 0 ( ) ( ) îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (30), â êîòîðîì u Q A v Q P vl l y l l 0 1 0 0 1 2 0 ( ) ( ) ( ) ( )� � * � � �v v R ll M l 0 0 0 1 2col( , , )( ) ( ) , (48) P A A di T j S i j 2 11 11 1 2 0 � � � � � � � �� ( ) ( ) , ( ) ( )� � � , P Q ll 2 1 1 2� � �col ( , , )( ) , A A Y d ly l T S 0 11 0 0 1 2� � � � � �� col ( ( )) ( ) , ,( ) � � � . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 69 Âî âòîðîì ñëó÷àå (íåîãðàíè÷åííûé âðåìåííîé èíòåðâàë) w s w s w sl l l ( ) ( ( ) ( ))( ) ( )� �� 1 2 , (49) ãäå w sl � ( ) ( ), êàê è â ïåðâîì ñëó÷àå, îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (19), à w sl � ( ) ( ) äëÿ äèñêðåòíûõ íàáëþäåíèé (5) çà êðàåâûì ñîñòîÿíèåì — ñîîòíîøåíèÿìè (21), (31), â êîòîðûõ u A P Y v A Pl l T l l T � � � ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( )) ( ) ( ( ))� � � �� 22 1 22 1 � Av� ( )��S � (50) ïðè * �v Sl � �( ) ( ) ( )� � , P A A dl l T Sl 1 22 22 1 2 � � � � � � � � �� ( ) ( )( )( ( ))� � � � , A A v dv l l Sl � � � � � � � � � � � �� 22 1 2 ( ) ( )( ) ( )� � � è u A P Y v A P A vl l T l l T l � � � � ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )� � � � 22 1 22 1 22 (51) * � � �v v R ll M l � � �col( , , )( ) ( ) 1 2 , P A Al l T l 1 22 22 1 2 � � � ( ) ( )( ) . Äëÿ ñëó÷àÿ íåïðåðûâíûõ íàáëþäåíèé (3) çà êðàåâûì ñîñòîÿíèåì ïëèòû ñî- ñòàâëÿþùàÿ w sl � ( ) ( ) îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (31), â êîòîðîì u Q A v Q P vl l y l l � � � � ( ) ( ) ( ) ( )� � � 2 2 2 * � � �v v R ll M l � � �col( , , )( ) ( ) 1 2 , (52) P A s A s dsi T j S i j T 2 22 22 1 2 � � � � � � � �� ( ) ( ) , ( ) ( ) � , P Q ll 2 2 1 2� � �col( , , )( ) , A A s Y s ds ly l T S T � � � � � � � � � � � � � � � �col ( ( )) ( ) , ,( ) 22 1 2 . Òî÷íîñòü, ñ êîòîðîé ðåøåíèÿ (45)–(52) ñîãëàñóþòñÿ ñ íà÷àëüíûìè è êðàåâû- ìè íàáëþäåíèÿìè (2)–(5), â ðàìêàõ ïðèíÿòûõ âûøå îáîçíà÷åíèé îïðåäåëÿåòñÿ [16] âåëè÷èíàìè � � � � 0 2 2 0 11 10 1 0 2 0 � � � � min min ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )w s u u l Sl A� 2 0 0 2 � �u d Yl( ) ( )� � � �( ) ( )Y Y Y P P YT T0 0 0 1 1 0 (ðåøåíèå (45), (46)), � � � � � �� 2 2 22 1 2 1 2 � � � � min min ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )w s u u l Sl A� �u d Yl � �( ) ( )� � 2 � �( ) ( )Y Y Y P P YT T� � � � 1 1 70 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 (ðåøåíèå (49), (50)), � 0 2 2 0 11 0 1 2 0 2 0 1 0 2 � � � � �min min ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )w s u u l l l A u Y� ( ) ( )Y Y Y P P YT T0 0 0 1 1 0 � (ðåøåíèå (45), (47)), � � � � �� 2 2 22 1 2 2 1 2 � � � � �min min ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )w s u u l l l A u Y ( ) ( )Y Y Y P P YT T� � � � � 1 1 (ðåøåíèå (49), (51)), � � 0 2 1 0 11 1 2 0 0 1 0 2 � � � �min min ( ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )w s u u l l lA u� Y d S 0 2 0 ( ))� �� ( ( )) ( )Y Y d A P AT S y T y 0 0 0 2 0 0 � � � (ðåøåíèå (45), (48)), � � � � � � � 2 1 22 1 2 1 2 � � � �min min ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )w s u u l l lA s u Y � � ( )s ds S T � � � � � � � � �� 2 � � �( ( )) ( )Y s Y s ds A P AT S y T y T � � � � � 2 (ðåøåíèå (49), (52)). Îäíîçíà÷íîñòü ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè óñëîâèÿìè: lim det N i n T j m i j n m NA A �� ([[( ( )) ( )] ]( ) ( ) , ,11 11 1 2 1 0� � ( ,� �n m S� 0), det [( ) ]( ) ( ) , A Ai T j i j11 11 1 2 0 � ( (äëÿ çàäà÷è (42)), lim det N i n T j m i j n m NA A �� ([[( ( )) ( )] ]( ) ( ) , ,22 22 1 2 1 0� � (� �n m S, � � ), det[( ) ]( ) ( ) , A Ai T j i j22 22 1 2 0 � ( (äëÿ çàäà÷è (44)) det P2 0( (äëÿ çàäà÷ (41) è (43)). ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â íàñòîÿùåé ñòàòüå ðåøåíà ñëîæíàÿ çàäà÷à èññëåäîâàíèÿ òðåõìåðíîãî ïîëÿ ïîïåðå÷íûõ äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé òîëñòîé óïðóãîé ïëèòû êîíå÷íûõ ðàçìå- ðîâ. Çàäà÷à ðåøåíà áåç îãðàíè÷åíèé íà âèä, êîëè÷åñòâî è êà÷åñòâî äèñêðåò- íûõ èëè íåïðåðûâíûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ íàáëþäåíèé çà ñîñòîÿíèåì ïëèòû. Èñõîäíûìè äëÿ ýòîãî âûáðàíû ïîñòðîåííûå ðàíåå ïàðàìåòðè÷åñêè çàâèñèìûå îò ïîïåðå÷íîé êîîðäèíàòû äâóõìåðíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ áåñêî- íå÷íî âûñîêîãî ïîðÿäêà. Ñâåðíóòîå ñèìâîëè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ýòèõ óðàâ- íåíèé ïîçâîëèëî ïîñòðîèòü èõ èíòåãðàëüíûé ýêâèâàëåíò — îñíîâó äëÿ ìàòå- ìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ðåàëüíûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ âîçìóùàþùèõ ôàêòî- ðîâ ôèêòèâíûìè âíåøíåäèíàìè÷åñêèìè âîçìóùåíèÿìè, îïðåäåëåííûìè âíå ðàññìàòðèâàåìîé ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé îáëàñòè. Ïîñòðîåíî àíàëèòè÷åñ- êèå ðåøåíèå çàäà÷è, êîòîðîå, òî÷íî óäîâëåòâîðÿÿ äèôôåðåíöèàëüíîé ìîäåëè ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 71 äèíàìèêè ïëèòû, çà ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì êðèòåðèåì ñîãëàñóåòñÿ ñ íà÷àëü- íî-êðàåâûìè íàáëþäåíèÿìè çà íåé. Â ðàáîòå ðàññìîòðåíû îñîáåííîñòè ðåøå- íèÿ çàäà÷è äëÿ ïëèò, äèíàìèêà êîòîðûõ ìàëî çàâèñèìà îò íà÷àëüíûõ è êðàå- âûõ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçìóùàþùèõ ôàêòîðîâ. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ò è ì î ø å í ê î Ñ . Ï . , Â î é í î â ñ ê è é - Ê ð è ã å ð Ñ . Ïëàñòèíû è îáîëî÷êè. — Ì.: Ôèçìàòëèò, 1966. — 635 ñ. 2. Ë ó ð ü å À . È . Òåîðèÿ óïðóãîñòè. — Ì.: Íàóêà, 1970. — 940 ñ. 3. Ä î í í å ë ë Ë . Ã . Áàëêè, ïëàñòèíû è îáîëî÷êè. — Ì.: Íàóêà, 1982. — 568 ñ. 4. Í å ì è ø Þ . Í . , Õ î ì à È . Þ . Íàïðÿæåííî-äåôîðìèðóåìîå ñîñòîÿíèå íåòîíêèõ îáîëî÷åê è ïëàñòèí. Îáîáùåííàÿ òåîðèÿ (Îáçîð) // Ïðèêëàä. ìåõàíèêà. — 1993. — 29, ¹ 11. — Ñ. 3–34. 5. Ã î ë î â ÷ à í Â . Ò . , Ê ó á å í ê î Â . Ä . , Ø ó ë ü ã à Í . À , Ã ó ç ü À . Í . , Ã ð è í ÷ å í ê î Â . Ò . Ïðîñòðàíñòâåííûå çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè è ïëàñòè÷íîñòè. Ò. 5: Äèíàìèêà óïðóãèõ òåë. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1986. — 288 ñ. 6. Ã î ð ø ê î â À . Ã . , Ñ ò à ð î â î é ò î â Ý . È . , Ò à ð ë à ê î â ñ ê è é Ä . Â . Òåîðèÿ óïðóãîñòè è ïëàñòè÷íîñòè. — Ì.: Ôèçìàòëèò, 2002. — 416 ñ. 7. Ê è ë ü ÷ å â ñ ê è é Í . À . Îñíîâû àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêè îáîëî÷åê. — Ê.: Èçä-âî ÀÍ ÓÑÑÐ, 1963. — 353 ñ. 8. Ã ð è ã î ð å í ê î ß . Ì . , Ñ à â ó ë à ß . Ã . , Ì ó õ à È . Ñ . Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå çàäà÷è óïðóãîãî äåôîðìèðîâàíèÿ îáîëî÷åê ñëîæíîé ôîðìû è ìåòîäû èõ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ // Ïðèêëàä. ìåõàíèêà. — 2000. — 36, ¹ 8. — Ñ. 3–27. 9. Ã ð è ã î ð å í ê î ß . Ì . , Â ë à é ê î â Ã . Ã . , Ã ð è ã î ð å í ê î À . ß . ×èñëåííî-àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷ ìåõàíèêè îáîëî÷åê íà îñíîâå ðàçëè÷íûõ ìîäåëåé. — Ê.: Àêàäåìïåðèîäèêà, 2006. — 472 ñ. 10. Ã ð è ã î ë þ ê Ý . È . , Ñ å ë å ç î â È . Ò . Ìåõàíèêà òâåðäûõ äåôîðìèðóåìûõ òåë. Ò. 5: Íåêëàññè÷åñêèå òåîðèè êîëåáàíèé ñòåðæíåé, ïëàñòèí è îáîëî÷åê. — Ì.: ÂÈÍÈÒÈ, 1973. — 272 ñ. 11. Ë ó ð ü å À . È . Ïðîñòðàíñòâåííûå çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè. — Ì.: Ãîñòåõèçäàò, 1955. — 370 ñ. 12. Ñ ê î ï å ö ü ê è é Â . Â . , Ñ ò î ÿ í Â . À . , Ê ð è â î í î ñ Þ . Ã . Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ ïðÿìèõ òà îáåðíåíèõ çàäà÷ äèíàì³êè ñèñòåì ç ðîçïîä³ëåíèìè ïàðàìåòðàìè. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2002. — 361 ñ. 13. Ñ ò î ÿ í Â . À . , Ä â è ð í è ÷ ó ê Ê . Â . Ê ïîñòðîåíèþ äèôôåðåíöèàëüíîé ìîäåëè ïîïåðå÷íûõ äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé òîëñòîãî óïðóãîãî ñëîÿ // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2012. — ¹ 4. — Ñ. 74–83. 14. Ñ ò î ÿ í Â . À . , Ä â è ð í è ÷ ó ê Ê . Â . Îá èíòåãðàëüíîé ìîäåëè ïîïåðå÷íûõ äèíàìè÷åñêèõ ñìåùåíèé òîëñòîãî óïðóãîãî ñëîÿ // Òàì æå. — 2013. — ¹ 1. — Ñ. 70–82. 15. Ñ ê î ï å ö ü ê è é Â . Â . , Ñ ò î ÿ í Â . À . , Ç â à ð è ä ÷ ó ê Â . Á . Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ äèíàì³êè ðîçïîä³ëåíèõ ïðîñòîðîâî-÷àñîâèõ ïðîöåñ³â. — Ê.: Ñòàëü, 2008. — 316 ñ. 16. Ñ ò î ÿ í Â . À . Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ ë³í³éíèõ, êâàç³ë³í³éíèõ ³ íåë³í³éíèõ äèíàì³÷íèõ ñèñòåì. — Ê.: ÂÏÖ «Êè¿âñüêèé óí³âåðñèòåò», 2011. — 310 ñ. 17. Ñ ò î ÿ í Â . À . , Ä â ³ ð í è ÷ ó ê Ê . Â . Äî ïîáóäîâè ³íòåãðàëüíîãî åêâ³âàëåíòó ë³í³éíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ìîäåëåé // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2012. — ¹ 9. — Ñ. 36–43. Ïîñòóïèëà 19.09.2012 72 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6

О математическом моделировании трехмерного поля поперечных динамических смещений толстых упругих плит

Institution

Similar Items