Чебышевское приближение экспоненциально-степенным выражением
Досліджено властивості чебишовського наближення експоненціально-степеневим виразом з чотирма параметрами. Встановлено умову, за якої чебишовське наближення експоненціально-степеневим виразом з найменшою відносною похибкою існує і воно єдине. Запропоновано й обґрунтовано метод визначення параметрів т...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86293 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Чебышевское приближение экспоненциально-степенным выражением / П.С. Малачивский, Я.В. Пизюр, Н.В. Данчак, Э.Б. Оразов // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 87-91. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86293 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Малачивский, П.С. Пизюр, Я.В. Данчак, Н.В. Оразов, Э.Б. 2015-09-12T17:52:44Z 2015-09-12T17:52:44Z 2013 Чебышевское приближение экспоненциально-степенным выражением / П.С. Малачивский, Я.В. Пизюр, Н.В. Данчак, Э.Б. Оразов // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 87-91. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86293 519.6 Досліджено властивості чебишовського наближення експоненціально-степеневим виразом з чотирма параметрами. Встановлено умову, за якої чебишовське наближення експоненціально-степеневим виразом з найменшою відносною похибкою існує і воно єдине. Запропоновано й обґрунтовано метод визначення параметрів такого чебишовського наближення. Отримано оцінку похибки чебишовського наближення експоненціально-степеневим виразом. The properties of the Chebyshev approximation by exponential-power expressions with four unknown parameters are investigated. The condition for the existence and uniqueness of such approximation with the smallest relative error is established. The method to determine the parameters of the Chebyshev approximation is proposed and justified. The error of the Chebyshev approximation by the exponential–power expression is estimated. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Чебышевское приближение экспоненциально-степенным выражением Чебишовське наближення експоненціально-степеневим виразом Chebyshev approximation by exponential-power expressions Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Чебышевское приближение экспоненциально-степенным выражением |
| spellingShingle |
Чебышевское приближение экспоненциально-степенным выражением Малачивский, П.С. Пизюр, Я.В. Данчак, Н.В. Оразов, Э.Б. Системный анализ |
| title_short |
Чебышевское приближение экспоненциально-степенным выражением |
| title_full |
Чебышевское приближение экспоненциально-степенным выражением |
| title_fullStr |
Чебышевское приближение экспоненциально-степенным выражением |
| title_full_unstemmed |
Чебышевское приближение экспоненциально-степенным выражением |
| title_sort |
чебышевское приближение экспоненциально-степенным выражением |
| author |
Малачивский, П.С. Пизюр, Я.В. Данчак, Н.В. Оразов, Э.Б. |
| author_facet |
Малачивский, П.С. Пизюр, Я.В. Данчак, Н.В. Оразов, Э.Б. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Чебишовське наближення експоненціально-степеневим виразом Chebyshev approximation by exponential-power expressions |
| description |
Досліджено властивості чебишовського наближення експоненціально-степеневим виразом з чотирма параметрами. Встановлено умову, за якої чебишовське наближення експоненціально-степеневим виразом з найменшою відносною похибкою існує і воно єдине. Запропоновано й обґрунтовано метод визначення параметрів такого чебишовського наближення. Отримано оцінку похибки чебишовського наближення експоненціально-степеневим виразом.
The properties of the Chebyshev approximation by exponential-power expressions with four unknown parameters are investigated. The condition for the existence and uniqueness of such approximation with the smallest relative error is established. The method to determine the parameters of the Chebyshev approximation is proposed and justified. The error of the Chebyshev approximation by the exponential–power expression is estimated.
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86293 |
| citation_txt |
Чебышевское приближение экспоненциально-степенным выражением / П.С. Малачивский, Я.В. Пизюр, Н.В. Данчак, Э.Б. Оразов // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 87-91. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT malačivskiips čebyševskoepribliženieéksponencialʹnostepennymvyraženiem AT pizûrâv čebyševskoepribliženieéksponencialʹnostepennymvyraženiem AT dančaknv čebyševskoepribliženieéksponencialʹnostepennymvyraženiem AT orazovéb čebyševskoepribliženieéksponencialʹnostepennymvyraženiem AT malačivskiips čebišovsʹkenabližennâeksponencíalʹnostepenevimvirazom AT pizûrâv čebišovsʹkenabližennâeksponencíalʹnostepenevimvirazom AT dančaknv čebišovsʹkenabližennâeksponencíalʹnostepenevimvirazom AT orazovéb čebišovsʹkenabližennâeksponencíalʹnostepenevimvirazom AT malačivskiips chebyshevapproximationbyexponentialpowerexpressions AT pizûrâv chebyshevapproximationbyexponentialpowerexpressions AT dančaknv chebyshevapproximationbyexponentialpowerexpressions AT orazovéb chebyshevapproximationbyexponentialpowerexpressions |
| first_indexed |
2025-11-27T08:22:50Z |
| last_indexed |
2025-11-27T08:22:50Z |
| _version_ |
1850808123117273088 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
Ï.Ñ. ÌÀËÀ×ÈÂÑÊÈÉ, ß.Â. ÏÈÇÞÐ, Í.Â. ÄÀÍ×ÀÊ, Ý.Á. ÎÐÀÇÎÂ
×ÅÁÛØÅÂÑÊÎÅ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÅ
ÝÊÑÏÎÍÅÍÖÈÀËÜÍÎ-ÑÒÅÏÅÍÍÛÌ ÂÛÐÀÆÅÍÈÅÌ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ÷åáûøåâñêîå (ðàâíîìåðíîå) ïðèáëèæåíèå, òî÷êè àëüòåð-
íàíñà, ñõåìà Ðåìåçà, ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
×åáûøåâñêîå ïðèáëèæåíèå ýêñïîíåíöèàëüíî-ñòåïåííûì âûðàæåíèåì
S a x Ax eb cx
p
( ; ) � , x � 0, p � 0, (1)
îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ A, b, c, p èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ
òåðìîìåòðè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ãåðìàíèåâîãî ñåíñîðà [1]. Èññëåäîâàíèþ
ñâîéñòâ ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíî-ñòåïåííûì âûðàæåíèåì
ïîñâÿùåíû ðàáîòû [2, 3].  íèõ îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ ÷åáûøåâñêîãî ïðè-
áëèæåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíî-ñòåïåííûì âûðàæåíèåì ñ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåø-
íîñòüþ ñâåäåíî ê ëèíåéíîé çàäà÷å ÷åáûøåâñêîé èíòåðïîëÿöèè. ×åáûøåâñêîå
ïðèáëèæåíèå âûðàæåíèåì (1) ïðåäñòàâëÿåò íåëèíåéíóþ çàäà÷ó. Ââèäó íàëè-
÷èÿ ïàðàìåòðà p âûðàæåíèå (1) íåëüçÿ ñâåñòè ê ëèíåéíîé çàäà÷å. Âûðàæå-
íèå (1) íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Õààðà [3], ïîýòîìó âîçíèêàåò âîïðîñ ñóùåñò-
âîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ òàêèì âûðàæåíèåì.
 ñâÿçè ñ ýòèì íåîáõîäèìî èññëåäîâàòü ñâîéñòâà ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ
âûðàæåíèåì (1) è îïðåäåëèòü êëàññ ôóíêöèé, äëÿ êîòîðîãî òàêîå ÷åáûøåâñêîå
ïðèáëèæåíèÿ ñóùåñòâóåò.
ÑÓÙÅÑÒÂÎÂÀÍÈÅ ×ÅÁÛØÅÂÑÊÎÃÎ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈß
ÝÊÑÏÎÍÅÍÖÈÀËÜÍÎ-ÑÒÅÏÅÍÍÛÌ ÂÛÐÀÆÅÍÈÅÌ
Êëàññ ôóíêöèé f x( ) , äëÿ êîòîðîãî ñóùåñòâóåò ÷åáûøåâñêîå ïðèáëèæåíèå âûðà-
æåíèåì (1) ñ íàèìåíüøåé îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ, óñòàíàâëèâàåò òåîðåìà.
Òåîðåìà. Äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæå-
íèÿ âûðàæåíèåì (1) äëÿ íåïðåðûâíîé ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèè f x( )
( ( ) [ , ], ( ) )f x C f x� �� � 0 ñ íàèìåíüøåé îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ íà îòðåçêå
[ , ]� � , � � 0 , ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå ñîîòíîøåíèé
W � 0 è W W� 0 , (2)
ãäå
W
f z f z
z z
f z f
�
�
�
�
�ln( ( )) ln( ( ))
ln( ) ln( )
ln( ( )) ln( (5 3
5 3
4 z
z z
f z f z
z z
2
4 2
4 2
4 2
))
ln( ) ln( )
ln( ( )) ln( ( ))
ln( ) ln( )
�
�
�
�
ln( ( )) ln( ( ))
ln( ) ln( )
f z f z
z z
3 1
3 1
�
�
, (3)
W
z z
z z
z z
z z
0
5 3
4 2
4 2
3 1
�
�
�
�
��
�
�
�
��ln ln/ ,
z ii ( , )�1 5 — ëþáûå óïîðÿäî÷åííûå ïî âîçðàñòàíèþ òî÷êè íà îòðåçêå [ , ]� � .
Äîêàçàòåëüñòâî.  ñîîòâåòñòâèè ñ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ñâîéñòâîì [3] äëÿ
ñóùåñòâîâàíèÿ ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè f x( ) âûðàæåíèåì (1) ñ íàè-
ìåíüøåé îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ íà îòðåçêå [ , ]� � äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñèñ-
òåìà óðàâíåíèé
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 87
© Ï.Ñ. Ìàëà÷èâñêèé, ß.Â. Ïèçþð, Í.Â. Äàí÷àê, Ý.Á. Îðàçîâ, 2013
f z Az e
f z
j j
b cz
j
j
j
p
( )
( )
( )
�
� �1 �, j �1 5, , (4)
èìåëà åäèíñòâåííîå ðåøåíèå îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ A, b, c , p
è ïîãðåøíîñòè �, ãäå zi ( , )i �1 5 — ëþáûå óïîðÿäî÷åííûå ïî âîçðàñòàíèþ
òî÷êè íà îòðåçêå [ , ]� � . Ïîêàæåì, ÷òî â ñëó÷àå âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ (2) ñèñòå-
ìà óðàâíåíèé (4) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
Èñêëþ÷èâ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé (4) íåèçâåñòíûå A è �, ïîëó÷èì îòíîñè-
òåëüíî b, c è p ñèñòåìó óðàâíåíèé
z e
f z
z e
f z
j
j
b cz
j
j
b cz
j
j
p
j
p
� �
2
2
2
1 2 3
( ) ( )
, , , . (5)
Òàê êàê ïî óñëîâèþ òåîðåìû ôóíêöèÿ f x( ) ïîëîæèòåëüíàÿ, òî ñèñòåìà (5) ýê-
âèâàëåíòíà ñëåäóþùåé ñèñòåìå:
b z z c z z f z f zj j j
p
j
p
j(ln( ) ln( )) ( ) ln( ( )) ln( (
�
� � �2 2 2 j j)), , ,�1 2 3. (6)
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (6) ëèíåéíà îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðîâ b è c è íåëèíåéíà
îòíîñèòåëüíî p . Èñêëþ÷èâ íåèçâåñòíûå b è c, ïîëó÷èì òðàíñöåíäåíòíîå óðàâ-
íåíèå îòíîñèòåëüíî p
G p W( ) � , (7)
ãäå
G p
z z
z z
z z
z z
z
p p p p
p
( )
ln( ) ln( ) ln( ) ln( )
�
�
�
�
�
�
�
5 3
5 3
4 2
4 2
4
z
z z
z z
z z
p p p
2
4 2
3 1
3 1ln( ) ln( ) ln( ) ln( )�
�
�
�
,
à W îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (3). Òàêîå èñêëþ÷åíèå èç ñèñòåìû (6) íåèçâåñò-
íûõ b è c äîïóñòèìî, òàê êàê òî÷êè zi ( , )i �1 5 óïîðÿäî÷åíû ïî âîçðàñòàíèþ è
ñîîòâåòñòâåííî êîýôôèöèåíòû ïðè íèõ ïîëîæèòåëüíû.
Ïî òåîðåìå Êîøè [4] îá îòíîøåíèè ïðèðàùåíèé ôóíêöèé ëåâóþ ÷àñòü óðàâ-
íåíèÿ (7) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
G p
p p
p p
( ) �
�
�
� �
� �
3 2
2 1
, (8)
ãäå � j ( , )j � 1 3 — íåêîòîðûå ñðåäíèå òî÷êè íà îòðåçêå [ , ]z zj j
2
( [ , ])� j j jz z�
2 .
Ïðèìåíèâ ê (8) òåîðåìó Ëàãðàíæà [4] î êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèÿõ, ïîëó÷èì
G p K p( ) ( / )� �
� �2 1
1, (9)
ãäå �1 1 4�[ , ]z z , �2 2 5�[ , ]z z , K � � �( ) / ( )� � � �2 1 3 2 .
Ïîñêîëüêó ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ ñòðîãî ìîíîòîííàÿ, òî â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîé-
ñòâîì ìîíîòîííîñòè ñðåäíèõ çíà÷åíèé [5] èìååì � �j j�
1 ( , )j �1 2 . Îòñþäà ñëå-
äóåò, ÷òî êîýôôèöèåíò K áîëüøå íóëÿ. Èòàê, äëÿ ëþáûõ óïîðÿäî÷åííûõ ïî âîç-
ðàñòàíèþ ÷èñåë z ii ( , )�1 5 íà îòðåçêå [ , ]� � ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (7) ïðèíèìàåò
ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå.
 òî÷êå p � 0 ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (7) èìååò ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà. Ïîñêîëüêó
lim ( )
p
G p
���
� 0, lim ( ) lim ( )
p p
G p G p W
�� �
� �
0 0
0 è lim ( )
p
G p
��
� �,
88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6
äëÿ p � ��( , )0 ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (7) ïðèíèìàåò çíà÷åíèå G p W( ) ( , )� 0 0 íà
èíòåðâàëå ( , )0 0W , à äëÿ p � �( , )0 — íà èíòåðâàëå G p W( ) ( , )� �0 . Ïîýòîìó
ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (2) óðàâíåíèå (7) è ñîîòâåòñòâåííî ñèñòåìà óðàâíå-
íèé (4) èìåþò åäèíñòâåííîå äåéñòâèòåëüíîå ðåøåíèå. Ñõîäèìîñòü èòåðàöèîí-
íîé ñõåìû Ðåìåçà [3] óêàçûâàåò íà ñóùåñòâîâàíèå ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæå-
íèÿ äëÿ íåïðåðûâíûõ è ïîëîæèòåëüíûõ ôóíêöèé f x( ) âûðàæåíèåì (1) íà îò-
ðåçêå [ , ]� � , � � 0, â ñëó÷àå âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ (2).
Èòàê, äëÿ íåïðåðûâíûõ è ïîëîæèòåëüíûõ ôóíêöèé f x( ), êîòîðûå óäîâëåòâî-
ðÿþò óñëîâèþ (2), ñóùåñòâóåò ÷åáûøåâñêîå ïðèáëèæåíèå âûðàæåíèåì (1) ñ íàè-
ìåíüøåé îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ íà îòðåçêå [ , ]� � , � � 0. Òåîðåìà äîêàçàíà.
Èññëåäóåì äîñòàòî÷íîå óñëîâèå (2) ñóùåñòâîâàíèÿ ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëè-
æåíèÿ âûðàæåíèåì (1). Ïî òåîðåìå Êîøè [4] îá îòíîøåíèè ïðèðàùåíèé ôóíê-
öèé çíà÷åíèå âåëè÷èíû W (3) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
W
f f f f
f f f
�
� � �
� � �
� � � � � �
� � � �
3 3 3 2 2 2
2 2 2 1
( ) / ( ) ( ) / ( )
( ) / ( ) ( ) / ( )� �1 1f
, (10)
ãäå � j ( , )j �1 3 — íåêîòîðûå ñðåäíèå òî÷êè íà îòðåçêå [ , ]z zj j
2
( [ , ])� j j jz z�
2 .
Èç (10) ñëåäóåò, ÷òî âåëè÷èíà W ïðèíèìàåò ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ íà îò-
ðåçêå [ , ]� � , åñëè ôóíêöèÿ �( ) ( ) / ( )x x f x f x� � íà íåì ñòðîãî ìîíîòîííàÿ. Çíà÷å-
íèå âûðàæåíèÿ W ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì W0 äëÿ ôóíêöèé f x( ), êîòîðûå ñîâïà-
äàþò ñ ôóíêöèÿìè âèäà
Ax b èëè A xln , (11)
ãäå A è b — ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
Èòàê, äîñòàòî÷íîìó óñëîâèþ (2) ñóùåñòâîâàíèÿ ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæå-
íèÿ âûðàæåíèåì (1) ñ íàèìåíüøåé îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ íà îòðåçêå
[ , ]� � óäîâëåòâîðÿþò, â ÷àñòíîñòè, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûå âûïóêëûå
èëè âîãíóòûå íà [ , ]� � ôóíêöèè f x( ), çà èñêëþ÷åíèåì ôóíêöèé (11).
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî óñëîâèå (2) íå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì äëÿ ñóùåñòâî-
âàíèÿ ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè f x( ) ñ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ
âûðàæåíèåì (1). Åãî âûïîëíåíèå íåîáõîäèìî ëèøü â òî÷êàõ ÷åáûøåâñêîãî àëü-
òåðíàíñà. Îäíàêî ïðè èñïîëüçîâàíèè àëãîðèòìà Ðåìåçà äëÿ íàõîæäåíèÿ ïàðàìåò-
ðîâ ÷åáûøåâñêîé àïïðîêñèìàöèè âûðàæåíèåì (1) óñëîâèå (2) äîëæíî âûïîë-
íÿòüñÿ âî âñåõ òî÷êàõ ïðîìåæóòî÷íûõ ïðèáëèæåíèé ê òî÷êàì àëüòåðíàíñà.
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÏÀÐÀÌÅÒÐΠ×ÅÁÛØÅÂÑÊÎÃÎ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈß
ÝÊÑÏÎÍÅÍÖÈÀËÜÍÎ-ÑÒÅÏÅÍÍÛÌ ÂÛÐÀÆÅÍÈÅÌ
Åñëè ôóíêöèÿ f x( ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ òåîðåìû, à z ii ( , )�1 5 — òî÷êè
àëüòåðíàíñà, òî ïàðàìåòðû A, b è c ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè f x( )
âûðàæåíèåì (1) ñ íàèìåíüøåé îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ îïðåäåëÿþòñÿ ïî
ôîðìóëàì
c
f z f z
z z
f z f
�
�
�
�
�ln( ( )) ln( ( ))
ln( ) ln( )
ln( ( )) ln( (4 2
4 2
3 z
z z
z z
z z
z z
z
p p p p
1
3 1
4 2
4 2
3 1
3
))
ln( ) ln( )
ln( ) ln( ) ln(
�
�
�
�
�
) ln( )� z1
; (12)
b
f z f z c z z
z z
p p
�
� � �
�
ln( ( )) ln( ( )) ( )
ln( ) ln( )
3 1 3 1
3 1
; (13)
A
f z f z
f z z e f z z eb cz b cz
p p
�
2 1 2
2 1 1 2
1 2
( ) ( )
( ) ( )
. (14)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 89
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òî÷åê àëüòåðíàíñà ìîæíî èñïîëüçîâàòü èòåðàöèîííóþ ñõåìó
Ðåìåçà ñ óòî÷íåíèåì òî÷åê àëüòåðíàíñà ïî àëãîðèòìó Âàëëå–Ïóññåíà [3]. Çíà÷åíèå
ïàðàìåòðà p ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (7). Ó÷èòûâàÿ ñòåïåííîé õàðàêòåð çàâè-
ñèìîñòè (9) îò p, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7) öåëåñîîáðàçíî èñêàòü êàê êîðåíü óðàâíåíèÿ
g p V( ) � , (15)
ãäå g p G p( ) ln ( ( ))� , V W� ln( ).
Çíà÷åíèå ðåøåíèÿ p óðàâíåíèÿ (15) ìîæíî íàéòè èòåðàöèîííûì ìåòîäîì
Íüþòîíà
p p g p V g pi i i i
� � � �1 ( ( ) ) / ( ), i � 0 1, ,� , (16)
ãäå
� �
�
�
�
�
g p
z z z z
z z
z zp p p
( )
ln( ) ln( )
ln( ) ln( )
ln( ) l5 5 3 3
5 3
4 4
n( )
ln( ) ln( )
ln( ) ln( ) l
z z
z z
z z
z z
z z
p
p p p p
2 2
4 2
5 3
5 3
4 2
�
�
�
�
�
n( ) ln( )z z4 2�
�
�
�
�
�
�ln( ) ln( )
ln( ) ln( )
ln( ) ln( )z z z z
z z
z z zp p p
4 4 2 2
4 2
3 3 1 z
z z
z z
z z
z z
z
p
p p p p
1
3 1
4 2
4 2
3 1
3
ln( ) ln( )
ln( ) ln( ) ln( )
�
�
�
�
�
� ln( )z1
;
p W W
V
z z
0 0
4 2
1� �
�
sign ( ) . (17)
Âûáîð íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ p0 ïî ôîðìóëå (17) ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî áëèç-
êèì ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ (7) è îáåñïå÷èâàåò ñîâïàäåíèå èõ çíàêîâ, ÷òî íåîáõî-
äèìî äëÿ ñîáëþäåíèÿ óñòîé÷èâîñòè èòåðàöèîííîãî ìåòîäà (16). Ôóíêöèÿ g p( )
èìååò ðàçðûâ â òî÷êå p � 0, è ïåðåõîä ïðîìåæóòî÷íûõ çíà÷åíèé pi ÷åðåç ýòó
òî÷êó ìîæåò íàðóøèòü ñõîäèìîñòü ìåòîäà (16). Âûáîð íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ p0
ïî ôîðìóëå (17) îáåñïå÷èâàåò îáõîä òî÷êè ðàçðûâà p � 0 ôóíêöèè g p( ) ïðè óòî÷-
íåíèè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ïî èòåðàöèîííîé ñõåìå (16).
Ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðîãðàììû, êîòîðàÿ îñóùåñòâëÿåò èòåðàöèîííûé ïðî-
öåññ (16), åãî ñõîäèìîñòü äîñòèãàëàñü çà òðè–÷åòûðå èòåðàöèè.
ÎÖÅÍÊÀ ÏÎÃÐÅØÍÎÑÒÈ ×ÅÁÛØÅÂÑÊÎÃÎ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈß
ÝÊÑÏÎÍÅÍÖÈÀËÜÍÎ-ÑÒÅÏÅÍÍÛÌ ÂÛÐÀÆÅÍÈÅÌ
Èçâåñòíî [2], ÷òî âçâåøåííàÿ ïîãðåøíîñòü ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíê-
öèè f x( ) íåëèíåéíûì îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðîâ âûðàæåíèåì F a x( ; ) âû÷èñëÿ-
åòñÿ ïî ôîðìóëå
�
�
�
( , )
( )! ( )
f F
m w x
x
m
m
2 12 1
1� , (18)
ãäå �x � �� �, à m
1 — êîëè÷åñòâî ïàðàìåòðîâ. Ôóíêöèþ �( , )f F íàçûâàþò
ÿäðîì ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè f x( ) âûðàæåíèåì F a x( ; ). Äëÿ òîãî
÷òîáû ïðèìåíèòü ôîðìóëó (18), íóæíî çíàòü àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ ÿäðà
ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ êîíêðåòíûì íåëèíåéíûì âûðàæåíèåì F a x( ; ).
Äëÿ îöåíêè ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíî-ñòåïåííûì âûðà-
æåíèåì (1) ïðîëîãàðèôìèðóåì åãî: U a x A b x Cx p( ; ) ln ln�
è ôóíêöèþ x p çà-
ìåíèì åå ðàçëîæåíèåì â ðÿä Òåéëîðà
U a x A a a x b xi
i
i
m
( ; ) ln ln�
�
�
�0
1
1
. (19)
Ïåðâûå äâà ñëàãàåìûõ â (19) îáðàçóþò ñâîáîäíûé ÷ëåí ïîëèíîìà ñòåïåíè
m �1.  ðàáîòå [3] ïîëó÷åíî àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ ÿäðà ïîãðåøíîñòè
ïðèáëèæåíèÿ íåëèíåéíûì âûðàæåíèåì � m x( ) â âèäå ñóììû ïîëèíîìà è îä-
90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6
íîïàðàìåòðè÷åñêîé íåëèíåéíîé ôóíêöèè:
� �m i
i
i
m
x a x b x( ) ( )�
�
�
� 1
1
, m �12, ,� ,
(20)
ãäå � � �( ) [ , ]x C m�
1 , � ( ) ( )m x � 0 ïðè x �[ , ]� � . ßäðî ïîãðåøíîñòè ïðèáëè-
æåíèÿ ôóíêöèè f x( ) âûðàæåíèåì (20) èìååò âèä
� � � �( , ) ( ) ( ) ( ) / ( )( ) ( ) ( ) ( )f f x x f x xm
m m m m� �
1 1 .
 äàííîì ñëó÷àå �( ) lnx x� è ôîðìóëà äëÿ ÿäðà ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ
âûðàæåíèåì U a x( ; ) (19) îïðåäåëÿåòñÿ êàê
�( , ) ( ) ( )( ) ( )f U f x
m
x
f xm m� �
1 .
(21)
 ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâîì 4 ÿäåð ïîãðåøíîñòåé èç ðàáîòû [3] ÿäðî ïîãðåø-
íîñòè ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè f x( ) ýêñïîíåíòîé îò âûðàæåíèÿ F a x( ; ) èìååò âèä
� �( , exp ) ( ) (ln , )f F f x f F� ,
ãäå f x C m( ) [ , ]�
1 � � , f x( ) � 0, x �[ , ]� � . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ÿäðà ïîãðåøíî-
ñòè ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè f x C m( ) [ , ]�
1 � � ýêñïîíåíöèàëüíî-ñòåïåííûì âû-
ðàæåíèåì (1) ïîëó÷èì îöåíêó
� � �( , ) ( , exp ) ( ) (ln , )f S f U f x f U� � �
�
�
��
�
��
f x f x
m
x
f xm m( ) (ln ( )) (ln ( ))( ) ( )1 . (22)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â âûðàæåíèè (1) êîëè÷åñòâî ïàðàìåòðîâ ðàâíî m
�1 4, äëÿ
ÿäðà ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè f x( ) ýêñïîíåíöèàëüíî-ñòåïåííûì
âûðàæåíèåì (1) ïîëó÷èì
�( , ) ( ) (ln ( )) (ln ( )) ( )( ) ( ) ( )f S f x f x
x
f x f x�
�
��
�
��
�4 3 43
�
��
� ��
3 42( ( )) ( ) ( )
( )
f x f x f x
f x
� ��
�
�
�� �
�
12 6
3
3
2
2
4
3
( ( )) ( )
( )
( ( ))
( )
( )
f x f x
f x
f x
f x x
f x
f ( ) ( )
( )
( ( ))
( )
x f x
f x
f x
f x
��
��
�
�
�
�
2
3
2
. (23)
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ýêñïî-
íåíöèàëüíî-ñòåïåííûì âûðàæåíèåì (1) ñ íàèìåíüøåé îòíîñèòåëüíîé ïî-
ãðåøíîñòüþ ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà (2). Òîãäà ïàðàìåòðû ÷åáû-
øåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíî-ñòåïåííûì âûðàæåíèåì (1) îïðåäå-
ëÿþò ïî ôîðìóëàì (12)–(14). Çíà÷åíèå ïàðàìåòðà p íàõîäÿò ðåøåíèåì
òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ (7) ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà Íüþòîíà (16).
Îöåíêà ïîãðåøíîñòè ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
(18), à åå ÿäðî — ïî ôîðìóëå (23).
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. M i t i n V . F . , K h o l e v c h u k V . V . , K o l o d y c h B . P . Ge-on-GaAs film resistance thermometers:
Low-temperature conduction and magnetoresistance // Cryogenics. — 2011. — 51, N 1. — P. 68–73.
2. Ï î ï î â Á . À . , Ò å ñ ë å ð à . Ñ . Ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé äëÿ òåõíè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé. — Êèåâ:
Íàóê. äóìêà, 1980. — 352 ñ.
3. Ï î ï î â Á . À . Pàâíîìåðíîå ïðèáëèæåíèå ñïëàéíàìè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1989. — 272 ñ.
4. Ê î ð í à . , Ê î ð í Ò . Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ. — Ì.: Ìèð, 1977. —
831 ñ.
5. Ì à ë à ÷ ³ â ñ ü ê è é Ï . ×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ñóìîþ ìíîãî÷ëåíà ³ ôóíêö³¿ ç îäíèì íåë³í³éíèì
ïàðàìåòðîì // Ô³ç.-ìàò. ìîäåëþâàííÿ òà ³íôîðì. òåõíîëî㳿. — 2005. — Âèï. 1. — C. 134–145.
Ïîñòóïèëà 18.12.2012
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 91
|