Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде

Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде

Побудовано математичну модель сполучених систем масового обслуговування за допомогою кібернетичного підходу. Конфліктні вхідні потоки першої системи та один із вхідних потоків другої системи формуються в синхронному марковському випадковому середовищі з кінцевою кількістю станів. Інший вхідний потік...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2013
Автор: Зорин, А.В.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Назва видання:Кибернетика и системный анализ
Теми:
Системный анализ
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86295
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде / А.В. Зорин // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 100-109. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86295
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-862952025-02-23T19:47:21Z Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде Стохастична модель сполучених систем масового обслуговування з повторними вимогами і циклічним керуванням у випадковому середовищі Stochastic model for communicating queuing systems with retrial customers and cyclic control in random environment Зорин, А.В. Системный анализ Побудовано математичну модель сполучених систем масового обслуговування за допомогою кібернетичного підходу. Конфліктні вхідні потоки першої системи та один із вхідних потоків другої системи формуються в синхронному марковському випадковому середовищі з кінцевою кількістю станів. Інший вхідний потік у другу систему утворений повторними вимогами, що поступають з першої системи. Переміщення вимоги з першої у другу систему вимагає випадкового часу. Обслуговування здійснюється в класі циклічних алгоритмів з фіксованим ритмом. With the use of cybernetic approach, a mathematical model is constructed for communicating queuing systems. Conflicting input flows of the first queuing system and one of the input flows of the second queuing system are formed in a synchronous Markov random environment with a finite number of states. The other input flow of the second queuing system consists of retrial customers arriving from the first queuing system. The transition of a customer from the first queuing system to the second queuing system takes a random amount of time. Service is performed by a cyclic algorithm with fixed durations. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 12-01-90409. 2013 Article Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде / А.В. Зорин // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 100-109. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86295 519.21 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Системный анализ
Системный анализ
spellingShingle Системный анализ
Системный анализ
Зорин, А.В.
Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде
Кибернетика и системный анализ
description Побудовано математичну модель сполучених систем масового обслуговування за допомогою кібернетичного підходу. Конфліктні вхідні потоки першої системи та один із вхідних потоків другої системи формуються в синхронному марковському випадковому середовищі з кінцевою кількістю станів. Інший вхідний потік у другу систему утворений повторними вимогами, що поступають з першої системи. Переміщення вимоги з першої у другу систему вимагає випадкового часу. Обслуговування здійснюється в класі циклічних алгоритмів з фіксованим ритмом.
format Article
author Зорин, А.В.
author_facet Зорин, А.В.
author_sort Зорин, А.В.
title Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде
title_short Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде
title_full Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде
title_fullStr Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде
title_full_unstemmed Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде
title_sort стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2013
topic_facet Системный анализ
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86295
citation_txt Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде / А.В. Зорин // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 100-109. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv AT zorinav stohastičeskaâmodelʹsoobŝaûŝihsâsistemmassovogoobsluživaniâspovtornymivyzovamiicikličeskimupravleniemvslučajnojsrede
AT zorinav stohastičnamodelʹspolučenihsistemmasovogoobslugovuvannâzpovtornimivimogamiíciklíčnimkeruvannâmuvipadkovomuseredoviŝí
AT zorinav stochasticmodelforcommunicatingqueuingsystemswithretrialcustomersandcycliccontrolinrandomenvironment
first_indexed 2025-11-24T20:01:53Z
last_indexed 2025-11-24T20:01:53Z
_version_ 1849703282812911616
fulltext ÓÄÊ 519.21 À.Â. ÇÎÐÈÍ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ ÑÎÎÁÙÀÞÙÈÕÑß ÑÈÑÒÅÌ ÌÀÑÑÎÂÎÃÎ ÎÁÑËÓÆÈÂÀÍÈß Ñ ÏÎÂÒÎÐÍÛÌÈ ÂÛÇÎÂÀÌÈ È ÖÈÊËÈ×ÅÑÊÈÌ ÓÏÐÀÂËÅÍÈÅÌ Â ÑËÓ×ÀÉÍÎÉ ÑÐÅÄÅ1 Êëþ÷åâûå ñëîâà: óïðàâëÿþùàÿ êèáåðíåòè÷åñêàÿ ñèñòåìà, êîíôëèêòíûå ïî- òîêè, ñëó÷àéíàÿ ñðåäà, ïîâòîðíûå âûçîâû, öèêëè÷åñêèé àëãîðèòì, ìàòåìàòè- ÷åñêàÿ ìîäåëü. Ñóùåñòâóþùèå êëàññè÷åñêèå ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ è àíàëèçà ìàòåìàòè÷åñêèõ ìî- äåëåé ñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ îõâàòûâàþò øèðîêèé ñïåêòð ðåàëüíûõ ñèñòåì [1–3]. Äëÿ ïðèìåíåíèÿ òàêèõ ìåòîäîâ òðåáóåòñÿ íåçàâèñèìîå îïèñàíèå è çàäàíèå âåðîÿòíîñòíûõ ñâîéñòâ ðàçíûõ ÷àñòåé ñèñòåìû: âõîäíûõ ïîòîêîâ, äëè- òåëüíîñòåé îáñëóæèâàíèÿ ïðîèçâîëüíîãî òðåáîâàíèÿ è ò.ä.  òî æå âðåìÿ ñî- âðåìåííûå ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ äåòåðìèíèðîâàííûìè è ñòîõàñòè÷åñêèìè îáúåê- òàìè äîëæíû ó÷èòûâàòü èçìåí÷èâîñòü êàê â ñòðóêòóðå, òàê è â õàðàêòåðèñòèêàõ îáúåêòà óïðàâëåíèÿ. Ïðèìåðîì ñëîæíîé óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ñèñòå- ìà óïðàâëåíèÿ êîíôëèêòíûìè òðàíñïîðòíûìè ïîòîêàìè íà ïåðåêðåñòêàõ òðàíñ- ïîðòíûõ ìàãèñòðàëåé. Èçâåñòíî, ÷òî ñòðóêòóðà òðàíñïîðòíûõ ïîòîêîâ ñóùåñò- âåííî çàâèñèò îò ïîãîäíûõ óñëîâèé. Ïðè õîðîøåé ïîãîäå àâòîìîáèëè ñâîáîäíî ìàíåâðèðóþò è äâèæóòñÿ íåçàâèñèìî îäèí îò äðóãîãî, à ïðè ïëîõîé îáðàçóþò- ñÿ òðàíñïîðòíûå «ïà÷êè», ïðè÷åì ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ìàøèíàìè íà òðàññå ÿâëÿ- þòñÿ çàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ñ òðóäíî îïðåäåëèìûì çàêîíîì ðàñ- ïðåäåëåíèÿ.  ïðîöåññå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ òðàíñïîðòíûõ ñåòåé âîçíèêàåò ïðîáëåìà ýôôåêòèâíîãî çàäàíèÿ âûõîäíîãî ïîòîêà ñ êàæäîãî óçëà ñåòè. Ïîñêîëüêó âûõîäíîé ïîòîê îïðåäåëÿåòñÿ ðåàëèçóåìûì àëãîðèòìîì óïðàâ- ëåíèÿ è ðàçðåøåíèÿ êîíôëèêòíîñòè, äëÿ áîëüøèíñòâà ñëîæíûõ ñèñòåì íàéòè çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîìåæóòêîâ ìåæäó òðåáîâàíèÿìè ïðàêòè÷åñêè íå óäàåò- ñÿ.  ñâÿçè ñ ýòèì â [4–9] ïðåäëàãàåòñÿ íîâûé ïîäõîä, ðàññìàòðèâàþùèé ñèñòå- ìó ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ êàê êèáåðíåòè÷åñêóþ óïðàâëÿþùóþ ñèñòåìó [10]. Òàêîé ïîäõîä ïðèìåíÿåòñÿ â íàñòîÿùåé ðàáîòå äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìî- äåëè òàíäåìà èç äâóõ ïåðåêðåñòêîâ ñ ó÷åòîì íåíóëåâîãî ñëó÷àéíîãî âðåìåíè äâè- æåíèÿ òðàíñïîðòíûõ ñðåäñòâ ìåæäó ïåðåêðåñòêàìè. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Ðàññìàòðèâàþòñÿ äâå ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ.  ïåðâóþ ïîñòóïàþò êîíôëèêòíûå âõîäíûå ïîòîêè òðåáîâàíèé �1, �2 , âî âòîðóþ — êîíôëèêòíûå âõîäíûå ïî- òîêè �3 , �4 . Íà ñîäåðæàòåëüíîì óðîâíå êîíôëèêòíîñòü ïîòîêîâ îçíà÷àåò, ÷òî çàïðåùåíî îäíîâðåìåííîå îáñëóæèâàíèå òðåáîâàíèé ðàçíûõ ïîòîêîâ, èõ íåëüçÿ ñóììèðîâàòü è ñâåñòè èññëåäîâàíèå ê çàäà÷å ñ ìåíüøèì ÷èñëîì ïîòî- êîâ. Âõîäíûå ïîòîêè �1, �2 , �4 ôîðìèðóþòñÿ âî âíåøíåé ñëó÷àéíîé ñðåäå ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì d ñîñòîÿíèé e e e d( ) ( ) ( ), , ,1 2 � . Ñìåíà ñîñòîÿíèÿ ñëó÷àéíîé ñðåäû ìîæåò ïðîèçîéòè òîëüêî â ìîìåíòû ñìåíû ñîñòîÿíèÿ ëþáîãî èç îáñëó- æèâàþùèõ óñòðîéñòâ. Âåðîÿòíîñòü ñìåíû ñîñòîÿíèÿ e k( ) íà e l( ) ðàâíà ak l, . 100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 1 Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé, ãðàíò ¹ 12-01-90409. � À.Â. Çîðèí, 2013 Ïðè ñîñòîÿíèè ñðåäû e k( ) , k d�1, ,� , òðåáîâàíèÿ ïî ïîòîêó � j , j �1 2 4, , , ïî- ñòóïàþò ãðóïïàìè, òàê ÷òî ïîòîê ãðóïï ïðîñòåéøèé ñ ïàðàìåòðîì � j k( ) , à ðàç- ìåð ãðóïïû ðàâåí b ñ âåðîÿòíîñòüþ �( ; , )b j k . Âõîäíîé ïîòîê �3 îáðàçóåòñÿ èç ïîâòîðíûõ òðåáîâàíèé ïîòîêîâ �1, �2 . À èìåííî, òðåáîâàíèÿ ïîòîêà �1 ïîñëå îáñëóæèâàíèÿ íàïðàâëÿþòñÿ íà îáñëóæèâàíèå âî âòîðóþ ñèñòåìó; ñîâî- êóïíîñòü ýòèõ òðåáîâàíèé ñîñòàâëÿåò âõîäíîé ïîòîê �5 òðåáîâàíèé, îáñëóæè- âàíèå êîòîðûõ áóäåò çàêëþ÷àòüñÿ â ïåðåìåùåíèè èç ïåðâîé âî âòîðóþ ñèñòå- ìó îáñëóæèâàíèÿ. Êàæäîå òðåáîâàíèå ïîòîêà �2 ïîñëå îáñëóæèâàíèÿ è íåçà- âèñèìî îò äðóãèõ òðåáîâàíèé ëèáî ìãíîâåííî ñ âåðîÿòíîñòüþ � íà÷èíàåò ïåðåìåùåíèå âî âòîðóþ ñèñòåìó îáñëóæèâàíèÿ è äîáàâëÿåòñÿ ê ïîòîêó �5 , ëèáî ñ âåðîÿòíîñòüþ 1�� ïîêèäàåò ñîîáùàþùèåñÿ ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ è äîáàâëÿåòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùåìó âûõîäíîìó ïîòîêó. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íå- îáõîäèìî âðåìÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû çàÿâêà èç ïåðâîé ñèñòåìû äîñòèãëà âòîðîé ñèñòåìû. Ïåðåìåùåíèå çàÿâêè èç ïåðâîé âî âòîðóþ ñèñòåìó îñóùåñòâëÿåòñÿ ñî ñëó÷àéíîé ñêîðîñòüþ, ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîé íåèçâåñòíî. Áîëåå òîãî, ñêî- ðîñòè ïåðåìåùåíèÿ ðàçíûõ çàÿâîê ðàçëè÷íû è èìåþò ðàçíîå ðàñïðåäåëåíèå.  ñèëó ýòîãî ïðåäïîëàãàåì, ÷òî çà àêò îáñëóæèâàíèÿ èëè ïåðåíàëàäêè êàæäàÿ ïåðåìåùàþùàÿñÿ çàÿâêà ëèáî äîñòèãàåò âòîðîé ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ ñ èç- âåñòíîé âåðîÿòíîñòüþ, ëèáî íå äîñòèãàåò åå. Âûõîäíîé ïîòîê çàÿâîê, îáñëó- æèâàíèå êîòîðûõ çàêëþ÷àëîñü â ïåðåìåùåíèè èç ïåðâîé ñèñòåìû âî âòîðóþ, è ÿâëÿåòñÿ âõîäíûì ïîòîêîì �3 âòîðîé ñèñòåìû. Òàêèì îáðàçîì, èç äâóõ êîíôëèêòíûõ ïîòîêîâ, ïîñòóïàþùèõ âî âòîðóþ ñèñòåìó îáñëóæèâàíèÿ, îäèí îáðàçóåòñÿ èç ïîòîêà ïîâòîðíûõ âûçîâîâ èç ïåðâîé ñèñòåìû. Òðåáîâàíèÿ ïî- òîêà � j , j � �1 2 5, , , , ïîñòóïàþò â î÷åðåäü O j íåîãðàíè÷åííîãî îáúåìà. Îáñëóæèâàíèå êîíôëèêòíûõ ïîòîêîâ â êàæäîé ñèñòåìå îñóùåñòâëÿåòñÿ â êëàñ- ñå öèêëè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ c ôèêñèðîâàííûì ðèòìîì ïåðåêëþ÷åíèÿ. Äëÿ ðàçðåøå- íèÿ êîíôëèêòíîñòè ïîòîêîâ ïîñëå êàæäîãî àêòà îáñëóæèâàíèÿ òðåáóåòñÿ àêò ïå- ðåíàëàäêè. Çà ïåðèîä ïåðåíàëàäêè îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèé íå ïðîèñõîäèò. Îáñëó- æèâàþùåå óñòðîéñòâî â ïåðâîé ñèñòåìå èìååò ÷åòûðå ñîñòîÿíèÿ: � ( , )1 1 , � ( , )2 1 , � ( , )3 1 , � ( , )4 1 , äëèòåëüíîñòü Ts,1 ïðåáûâàíèÿ ïðèáîðà â ñîñòîÿíèè � ( , )s 1 íå ñëó÷àéíà.  ñîñòîÿíèè � ( , )1 1 îáñëóæèâàþòñÿ òîëüêî òðåáîâàíèÿ ïîòîêà �1, â ñîñòîÿíèè � ( , )3 1 — òðåáîâàíèÿ ïîòîêà �2 , à â ñîñòîÿíèÿõ � ( , )2 1 è � ( , )4 1 îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåíàëàäêà è òðåáîâàíèÿ íå îáñëóæèâàþòñÿ. Ñìåíà ñîñòîÿíèé îñóùåñòâëÿåòñÿ â ïîðÿäêå � �� � � � � �� � � � �( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )1 1 2 1 3 1 4 1 1 1 Îáñëóæèâàþùåå óñòðîéñòâî âòîðîé ñèñòåìû èìååò òàêæå ÷åòûðå ñîñòîÿíèÿ: � ( , )1 2 , � ( , )2 2 , � ( , )3 2 , � ( , )4 2 , äëè- òåëüíîñòü Ts,2 ïðåáûâàíèÿ ïðèáîðà â ñîñòîÿíèè � ( , )s 2 òàêæå íå ñëó÷àéíà.  ñîñòîÿ- íèè � ( , )1 2 îáñëóæèâàþòñÿ òîëüêî òðåáîâàíèÿ ïîòîêà �3 , â ñîñòîÿíèè � ( , )3 2 — òðå- áîâàíèÿ ïîòîêà �4 , à â ñîñòîÿíèÿõ � ( , )2 2 è � ( , )4 2 îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåíàëàäêà è òðåáîâàíèÿ íå îáñëóæèâàþòñÿ. Ñìåíà ñîñòîÿíèé îñóùåñòâëÿåòñÿ â ïîðÿäêå � � � � � �� � � �( , ) ( , ) ( , ) ( , )1 2 2 2 3 2 4 2 � ( , )1 2 �� Âåëè÷èíû T T1 1 4 2, ,, ,� , ïðåäïîëàãàþòñÿ ñîèçìåðèìûìè.  äàëüíåéøåì óäîáíî äâà îáñëóæèâàþùèõ óñòðîé- ñòâà ðàññìàòðèâàòü êàê îäíî íîâîå îáñëóæèâàþùåå óñòðîéñòâî. Ïóñòü ñìåíà ñîñòîÿíèÿ íîâîãî îáñëóæèâàþùåãî óñòðîéñòâà ïðîèñõîäèò â ìîìåíòû, êîãäà ìåíÿåòñÿ ñîñòîÿíèå õîòÿ áû îäíîãî èç èñõîäíûõ ïðèáîðîâ. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 101 Ïðè ýòîì êîíå÷íîå ÷èñëî n öèêëè÷åñêè ñìåíÿåìûõ ñîñòîÿíèé � � �( ) ( ) ( ), , ,1 2 � n è ôèêñèðîâàííûå âðåìåíà Tr , r n� �1 2, , , , ïðåáûâàíèÿ â ñîîòâåòñòâóþùèõ ñî- ñòîÿíèÿõ � ( )r îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ïî íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèÿì � ( ', )r 1 , � ( '', )r 2 â ìîìåíò âðåìåíè 0 è äëèòåëüíîñòÿì T T1 1 4 2, ,, ,� . Íàïðèìåð, ïóñòü T T1 1 3 1 10, ,� � , T1 2 8, � , T3 2 12, � , T2 1, � T T T4 1 2 2 4 2 2, , ,� � � è â ìîìåíò âðåìåíè 0 âêëþ÷àþòñÿ ñîñòîÿíèÿ � ( , )1 1 , � ( , )1 2 . Òîãäà ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî n � 5, T1 8� , T T2 3 2� � , T4 10� , T5 2� . Íàïîìíèì, ÷òî íàðÿäó ñ òðàäèöèîííûìè ôóíêöèÿìè ïî îáñëóæèâàíèþ êîíôëèêòíûõ ïîòîêîâ �1, �2 , �3 , �4 íîâîå îáñëóæèâàþùåå óñòðîéñòâî òàêæå ñîâåðøàåò îáñëóæèâàíèå òðåáîâàíèé ïîòîêà �5 . Èòàê, ñîñòîÿ- íèå � ( )r ìîæåò ïðèíàäëåæàòü îäíîìó èç äåâÿòè êëàññîâ � � �I II IX, , ,� . Ïðè � �( )r I îáñëóæèâàþòñÿ òîëüêî òðåáîâàíèÿ èç î÷åðåäè O5 ; ïðè � �( )r II — èç î÷åðåäåé O1 è O5 ; ïðè � �( )r III — èç î÷åðåäåé O2 è O5 ; ïðè � �( )r IV — èç î÷åðåäåé O3 è O5 ; ïðè � �( )r V — èç î÷åðåäåé O4 è O5 ; ïðè � �( )r VI — èç î÷åðåäåé O1, O3 è O5 ; ïðè � �( )r VII — èç î÷åðåäåé O2 , O3 è O5 ; ïðè � �( )r VIII — èç î÷åðåäåé O1, O4 è O5 ; íàêîíåö, ïðè � �( )r IX îáñëóæèâàþòñÿ òîëüêî òðåáîâàíèÿ èç î÷åðåäåé O2 , O4 è O5 . Ïðè ñîñòîÿíèè � ( )r îáñëóæèâàþùå- ãî óñòðîéñòâà çà âðåìÿ Tr êàæäîå òðåáîâàíèå â î÷åðåäè O5 ñ âåðîÿòíîñòüþ pr çà- âåðøàåò îáñëóæèâàíèå, ïîêèäàåò î÷åðåäü O5 è ïîñòóïàåò â ïîòîê �3 , à ñ âåðîÿò- íîñòüþ 1� pr îñòàåòñÿ â î÷åðåäè äî ñëåäóþùåãî òàêòà. Òàê, â ðàññìîòðåííîì âûøå ïðèìåðå � �I { }� ( )5 , � �II { }� ( )2 , � �V { }� ( )3 , � �VI { }� ( )1 , � �IX { }� ( )4 , � � � �III IV VII VIII� � � � .  ïåðâîé è âòîðîé ñèñòåìå îäíî òðåáîâàíèå îáñëóæèâàåòñÿ ñëó÷àéíîå âðåìÿ, äëèòåëüíîñòè îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèé çàâèñèìû è èìåþò ðàçíûå íåèçâåñòíûå çà- êîíû ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîýòîìó äëÿ çàäàíèÿ ïðîöåññà îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèé íå- âîçìîæíî îïðåäåëèòü çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ äëèòåëüíîñòè îáñëóæèâàíèÿ ïðîèç- âîëüíîãî òðåáîâàíèÿ, êàê ýòî ïðåäïîëàãàåòñÿ â êëàññè÷åñêîé òåîðèè ìàññîâîãî îá- ñëóæèâàíèÿ [1]. Íà ïðàêòèêå èñïîëüçóåòñÿ ñïåöèàëüíàÿ èíòåãðàëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ïðîöåññà îáñëóæèâàíèÿ, íàáëþäàåìàÿ ïî âûõîäíûì ïîòîêàì ñèñ- òåìû [4, 5]. Ïîòîêè íàñûùåíèÿ � j íàñ, j � �1 2 5, , , , îïðåäåëÿþòñÿ êàê âèðòóàëüíûå âûõîäíûå ïîòîêè ñèñòåìû ïðè íàèâûñøåé çàãðóæåííîñòè î÷åðåäåé è íàèáîëü- øåì èñïîëüçîâàíèè ðåñóðñîâ îáñëóæèâàþùåãî óñòðîéñòâà. Ââåäåì ïðè j �1ìíî- æåñòâî j � � � �� � �II VI VIII , ïðè j � 2 — ìíîæåñòâî j � �� �III � �� �VII IX, ïðè j � 3 — ìíîæåñòâî j � � � �� � �IV VI VII , à ïðè j � 4 — ìíî- æåñòâî j � �� �V � �� �VIII IX. Ïóñòü ïîòîê íàñûùåíèÿ � j íàñ ñîäåðæèò íåñëó- ÷àéíîå ÷èñëî � r j, � 1 òðåáîâàíèé ïðè � �( )r j è 0 òðåáîâàíèé ïðè � �( )r j , j �1 2 3 4, , , . Âîçìîæíîé ôèçè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèåé ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ òàíäåì èç äâóõ ïåðåêðåñòêîâ (ðèñ. 1), íà êîòîðûé ïîñòóïàþò òðàíñïîðòíûå ïîòî- êè � �1 7� . Ïðè ýòîì ïîòîêè �6 , �7 ìàëîèíòåíñèâíû. Ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî òðàíñïîðòíûé ïîòîê �6 ïðîïóñêàåòñÿ îäíîâðåìåííî ñ ïîòîêîì �3 âòîðîãî ïåðåêðåñòêà è ñ ïîòîêîì �1 ïåðâîãî, à òðàíñïîðòíûé ïîòîê �7 ïðîïóñêàåòñÿ îä- íîâðåìåííî ñ ïîòîêîì �4 âòîðîãî ïåðåêðåñòêà. Ïîòîê �5 — ñóììàðíûé ïîòîê îáñëóæåííûõ òðåáîâàíèé ïîòîêà �1 è îáñëóæåííûõ òðåáîâàíèé ïîòîêà �2 , ïðî- ðåæåííûõ ñ íåêîòîðîé âåðîÿòíîñòüþ. 102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 Öåëü íàñòîÿùåé ðàáîòû ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè äëÿ ýâîëþöèè îñíîâíîé õàðàêòåðèñòèêè òàíäåìà èç ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ — ñëó÷àé- íûõ äëèí î÷åðåäåé ïî ïîòîêàì � �1 5� . Ýòî ïîçâîëèò â äàëüíåéøåì èçó÷èòü ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå ÷èñëà òðåáîâàíèé â òàíäåìå è ðåøàòü ðàçëè÷íûå îïòèìè- çàöèîííûå çàäà÷è. ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÌÎÄÅËÈ ÄËß ÒÀÍÄÅÌÀ ÈÇ Î×ÅÐÅÄÅÉ Ñ ÏÐÈÌÅÍÅÍÈÅÌ ÊÈÁÅÐÍÅÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÎÄÕÎÄÀ Êèáåðíåòè÷åñêèé ïîäõîä ïîçâîëÿåò ðåøàòü âîïðîñû ýôôåêòèâíîãî ñïîñîáà çà- äàíèÿ è èçó÷åíèÿ ñëó÷àéíûõ ýâîëþöèîííûõ ñèñòåì ñ óïðàâëåíèåì â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè ñ ó÷åòîì èõ êîíêðåòíîé ïðèðîäû è öåëåé ôóíêöèîíèðîâà- íèÿ.  ýòîì ïîäõîäå èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå èäåè: 1) ïðèíöèï äèñêðåòíîñòè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ, êîòîðûé «íàâÿçûâà- åò» ïðîáëåìó âûáîðà äèñêðåòíîé âðåìåííîé øêàëû ìîìåíòîâ íàáëþäåíèÿ çà ñèñòåìîé; 2) ïðèíöèï íåëîêàëüíîñòè ïðè îïèñàíèè áëîêîâ óïðàâëÿþùåé ñèñ- òåìû (ôóíêöèîíàëüíî-ñòàòèñòè÷åñêîå îïèñàíèå ñîñòîÿíèÿ áëîêîâ â âûáðàííûå ìîìåíòû âðåìåíè, äîñòàòî÷íîå äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, íî íå îáÿçàòåëüíî îïèñûâàþùåå ïîäðîáíî ñîñòîÿíèå áëîêà íà âñåì ïðîìåæóòêå ìåæäó íàáëþäåíèÿìè); 3) ïðèíöèï ñîâìåñòíîãî ðàññìîòðåíèÿ ñâÿçåé ìåæäó áëîêàìè óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ ïðè åå ôóíêöèîíèðîâàíèè âî âðåìåíè â öåëÿõ ýôôåêòèâíîãî ïîñòðîåíèÿ è èçó÷åíèÿ ìîäåëè. Äëÿ ëþáîé óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ñõåìó, èíôîðìàöèþ, êîîðäèíàòû è ôóíêöèþ. Ñõåìà óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû âêëþ÷àåò ñëåäóþùèå áëîêè: âíåøíþþ ñðåäó, âõîäíûå è âûõîäíûå ïîëþñû, âíåøíþþ è âíóòðåííþþ ïàìÿòü, óñòðîéñòâî ïî ïåðåðàáîòêå èíôîðìàöèè âíåøíåé ïàìÿòè, óñòðîéñòâî ïî ïåðåðàáîòêå èíôîðìàöèè âíóòðåííåé ïàìÿòè. Èíôîðìàöèÿ êàæäîãî áëîêà ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé áëîêà. Ñ êàæäûì áëîêîì ñâÿçûâàåòñÿ îäíà êîîðäèíàòà, êîòîðàÿ â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ïðèíèìàåò ÷èñëîâîå çíà÷åíèå ñîñòîÿíèÿ áëîêà. Ñîâîêóïíîñòü êîîðäèíàò âñåõ áëîêîâ — êîîðäèíàòû äàííîé óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû. Ôóíêöèÿ ñèñòåìû óêàçûâàåò òî äåéñòâèå, êîòîðîå ìîæåò ñîâåðøèòü óïðàâëÿþùàÿ ñèñòåìà â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè ïðè ïåðåõîäå ê ñëåäóþùåìó äèñêðåòíîìó ìîìåíòó âðåìåíè.  êà÷åñòâå óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû ðàññìàòðèâàåòñÿ òàíäåì èç ñèñòåì îáñëó- æèâàíèÿ. Íà ðèñ. 2 ïðèâåäåíà îáùàÿ ñõåìà êîíôëèêòíûõ ñîîáùàþùèõñÿ ñèñòåì ñ ïîâòîðíûìè âûçîâàìè. Ñõåìà óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû ñîäåðæèò ñëåäóþùèå ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 103 Ðèñ. 1. Òàíäåì èç ïåðåêðåñòêîâ �1 �2 �5 �3 �6 �7 �4 áëîêè: âíåøíþþ ñðåäó; âõîäíûå ïîëþñû � �1 5� ïåðâîãî òèïà è âõîäíûå ïîëþ- ñû � � 1 5 íàñ íàñ� âòîðîãî òèïà; âíåøíþþ ïàìÿòü O O1 5� ; óñòðîéñòâà � �1 5� ïî ïåðåðàáîòêå èíôîðìàöèè âíåøíåé ïàìÿòè; âíóòðåííþþ ïàìÿòü (îáñëóæèâàþùåå óñòðîéñòâî); óñòðîéñòâî ïî ïåðåðàáîòêå èíôîðìàöèè âî âíóòðåííåé ïàìÿòè (ãðàô ñìåíû ñîñòîÿíèé îáñëóæèâàþùåãî óñòðîéñòâà); âûõîäíûå ïîëþñû � � 1 5 âûõ âûõ� . Âñå ðàññìàòðèâàåìûå â ðàáîòå ñëó÷àéíûå îáúåêòû îïðåäåëÿþòñÿ èëè çàäà- þòñÿ êîíñòðóêòèâíî íà íåêîòîðîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ( , , )� F P . Çäåñü � — ïðîñòðàíñòâî îïèñàíèé � ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, F — �-àëãåáðà ñîáûòèé A � �, P( )� — âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íà F.  êà÷åñòâå äèñêðåòíîé âðåìåííîé øêà- ëû íàáëþäåíèÿ çà ñèñòåìîé âûáåðåì ìîìåíòû �0 0� , � �1 2, , � ñìåíû ñîñòîÿíèÿ îáñëóæèâàþùåãî óñòðîéñòâà. Èíôîðìàöèÿ âíåøíåé ñðåäû ñîñòàâëÿåò ìíîæåñ- òâî E e e e d� { }( ) ( ) ( ), , ,1 2 � ñîñòîÿíèé ñðåäû. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà i E çàäàåò êîîðäèíàòó, îïèñûâàþùóþ ñîñòîÿíèå ñëó÷àéíîé ñðåäû íà ïðîìåæóòêå ( , ]� �i i�1 . Èíôîðìàöèÿ î ñîñòîÿíèè áëîêà O j êîäèðóåòñÿ öåëûì íåîòðèöàòåëüíûì ÷èñëîì, è êîîðäèíàòà j i, çàäàåò ÷èñëî òðåáîâàíèé â î÷åðåäè O j â ìîìåíò � i . Èíôîðìà- öèÿ îáñëóæèâàþùåãî óñòðîéñòâà îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì � � �� { ( ) ( ), ,1 2 � � , ( )� n } âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé îáñëóæèâàþùåãî óñòðîéñòâà. Îáîçíà÷èì � �i êîîðäèíàòó, îïèñûâàþùóþ ñîñòîÿíèå îáñëóæèâàþùåãî óñòðîéñòâà â ìîìåíò � i . Êîîðäèíàòà � j i, çàäàåò ÷èñëî òðåáîâàíèé ïîòîêà � j , ïîñòóïèâøèõ çà ïðîìåæó- òîê âðåìåíè ( , ]� �i i�1 , � j i, — ÷èñëî òðåáîâàíèé ïîòîêà íàñûùåíèÿ � j íàñ çà ïðîìåæóòîê ( , ]� �i i�1 , � j i, — ÷èñëî òðåáîâàíèé âûõîäíîãî ïîòîêà � j âûõ çà ïðîìå- æóòîê ( , ]� �i i�1 . Ïóñòü �' ,5 i îáîçíà÷àåò ÷èñëî ïîâòîðíûõ òðåáîâàíèé èç î÷åðåäè O2 , ïîñòóïèâøèõ ïîñëå îáñëóæèâàíèÿ â ïîòîê �5 . Ïóñòü r r� � �1 1äëÿ r n� , n� �1 1. Íåëîêàëüíîå îïèñàíèå âõîäíûõ ïîëþñîâ �1, �2 , �4 èìååò âèä ìàðêèðî- âàííîãî òî÷å÷íîãî ïðîöåññà { }( , , , , ); , ,, , ,� � � � i i i i i i1 2 4 0 1� � ñ ìåòêîé i i i� ( , )� òðåáîâàíèé, ïîñòóïèâøèõ çà ïðîìåæóòîê ( , ]� �i i�1 , è ñîñòîèò â çà- 104 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 Ðèñ. 2. Ñõåìà óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû Âíåøíÿÿ ñðåäà Îáñëóæèâàþùåå óñòðîéñòâî äàíèè ñâîéñòâ óñëîâíûõ ðàñïðåäåëåíèé äèñêðåòíîé êîìïîíåíòû {( , ,, ,� �1 2i i � 4 0 1, , ); , ,i i i � � }. Îïðåäåëèì âåëè÷èíû �( ; , , )x j k t , t � 0, j �1 2 4, , , k d� �1 2, , , , ðàçëîæåíèÿìè z x j k t t z b j kx x j k b b � � �( ; , , ) exp ( ; , )( ) � � � � � �� � � � � � � �0 1 1� � � � � � ! " � #� . Çäåñü �( ; , , )x j k t — âåðîÿòíîñòü ïîñòóïëåíèÿ ðîâíî x � 0, 1, … òðåáîâàíèé ïî- òîêà � j ïðè ñîñòîÿíèè ñðåäû e k( ) çà âðåìÿ t. Òîãäà ïðè b � �0 1, , èìååì P( : | :,{ } {� � �j i ib� �� � ( ) ( ), ) ( ; , , )r i k re b j k T �� � �} 1 . Ïîòîêè íàñûùåíèÿ � 1 íàñ, � 2 íàñ, � 3 íàñ, � 4 íàñ îïèñûâàþòñÿ íåëîêàëüíî ìàð- êèðîâàííûì òî÷å÷íûì ïðîöåññîì { }( , , , , , ); , ,, , , ,� � � � � i i i i i i i1 2 3 4 0 1� � . Ñâîéñòâà óñëîâíûõ ðàñïðåäåëåíèé âûäåëåííîé äèñêðåòíîé êîìïîíåíòû { }( , , , , ); , ,, , , ,� � � � 1 2 3 4 0 1i i i i i i � � ïðè � �( )r j� 1 çàäàþòñÿ ðàâåíñòâîì P( : | : ), ( ){ } { }� � �j i i r� � �0 1� � , à ïðè � �( )r j� 1 — ðàâåíñòâîì P( : ,{� � j i � � r j i r � � �1 1, ( )| : )} { }� � � . Íåëîêàëüíîå îïèñàíèå âõîäíîãî ïîëþñà �5 çàäàäèì â âèäå ìàðêèðîâàí- íîãî òî÷å÷íîãî ïðîöåññà { }( , , ); , ,,� � i i i i$ $ �5 0 1 � ñ ìåòêîé $ � i � ( , , ), , , � �2 2 2i i i . Ïóñòü ïðè 0 1� %u è 0 % %k x ïîëîæåíî �( ; , )k x u � � � �C u ux k k x k( )1 . Òîãäà ïðè 0 % % �b y x umin ,{ } P( : | : , , ) ( ; min ,, , , ,{ } { } {� � � � � �$ � � � � �5 2 2 2i i i ib x u y b y x u� }, )� . Âûõîäíîé ïîëþñ � 5 âûõ çàäàåòñÿ íåëîêàëüíî ìàðêèðîâàííûì òî÷å÷íûì ïðîöåññîì { }( , , ); , ,,� � i i i i5 0 1$$ � � ñ ìåòêîé $$ � i i i( , ),� 5 è óñëîâíûìè âåðîÿò- íîñòÿìè P( : | : , ) ( ; , ), ( ) ,{ } { }� � � �5 5 1i i r i rb x b x p� � � � �� � ïðè 0 % %b x. Äëÿ öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë i, x1, x2 , x3 , x4 , x5 , b1, b2 , b3 , b4 , y1, y2 , y3 , y4 , y5 , r n� �1 2, , , , k d� �1 2, , , , ââåäåì ñîáûòèÿ C k ei i k( ) : ( )� �{ }� , A r k x x x x x ei i r i k( , , , , , , ) : ,( ) ( ) 1 2 3 4 5 � � � &{ }� � � & � � � � �{ }� : , , , ,, , , , ,1 1 2 2 3 3 4 4 5 5i i i i ix x x x x , B b b b b y y y y y b bi i i( , , , , , , , , ) : ,, ,1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 1 2 2� � �{ }� � � & & � � � � � �{� � � � � � �: , , , ' , ,, , , , , ,4 4 1 1 2 2 5 3 3 3 4i i i i i ib y y b y � �4 5 5, ,i y� }. Ïî ïîñòàíîâêå çàäà÷è äëÿ óñëîâíûõ âåðîÿòíîñòåé èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî P C k B b b b b y y y y yi i i� � & � � � � 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4 5( ) ( , , , , , , , , A r k x x x x x i � � � � � � � � � ( , , , , , , ), , , , ,1 2 3 4 5 0� � � � � �� = b e bi i r i k i i iP P( : | : , ) ( :, ( ) ( ) ,{ } { } { }� � � � �1 1 2 2� � � �� � | : , ) ( ) ( ) { }� � �i r i ki ie� � ' ' � � � 'P( : | : , ), ( ) ( ) { } { }� � � 4 4i i r i k b ei i� � ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 105 ' � � � 'P( : | : , ), ( ) , ,{ } { }� � � 5 5 5 5i i r i iy x� � ' � � � �P P( : | : ) ( : | :, ( ) , ( { } { } { } {� � � � � �1 1 2 2i i r i iy yi� � � � ri ) )} ' ' � � � �P P( : | : ) ( : | :, ( ) , ( { } { } { } {� � � � � �3 3 4 4i i r i iy yi� � � � ri ) )} ' ' $ � � � � 'P( : | : , , ), , , , ,{ } { }� � � � �5 3 2 2 2 2 2 2i i i i ib x b y ' � �� �P( : | : ) ( ) ( ) { } { }� � i k i k e ei i 1 1 . Êðîìå ñâîéñòâ óñëîâíûõ ðàñïðåäåëåíèé, ñîâìåñòíîå ðàññìîòðåíèå ïîáëî÷- íîãî ñòðîåíèÿ èçó÷àåìîé óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû è åå ôóíêöèîíèðîâàíèÿ âî âðå- ìåíè ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü ôóíêöèîíàëüíûå ñâÿçè ìåæäó áëîêàìè. Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå u( ) :� �� � ðàâåíñòâîì u r r( )( ) ( )� �� �1 , òîãäà � � �j i j i j i j i, , , ,min ,� �{ }, � �j i j i j i j i, , , ,max ,� � � �1 0{ }, j �1 2 3 4, , , ; � �i iu� �1 ( ), � �3 5, ,i i� , � � �5 1 5, , ,i i i� � $ , � � �5 1 5 1 5 5, , , , ,i i i i i� � � � $ � . Ôóíêöèÿ èçó÷àåìîé óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû çàêëþ÷àåòñÿ â îáñëóæèâàíèè òðåáîâàíèé â òàíäåìå ñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ â êëàññå öèêëè÷åñêèõ àë- ãîðèòìîâ ñ ôèêñèðîâàííûì ðèòìîì. ÀÍÀËÈÇ ÌÎÄÅËÈ Äëÿ àíàëèçà ïîñòðîåííîé ìîäåëè âûáèðàåòñÿ õàðàêòåðèñòèêà íåêîòîðûõ áëî- êîâ ñèñòåìû.  êà÷åñòâå îñíîâíîé õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû âûáèðàþòñÿ ñîñòî- ÿíèÿ îáñëóæèâàþùåãî óñòðîéñòâà (âíóòðåííÿÿ ïàìÿòü), âíåøíåé ñðåäû è î÷å- ðåäåé (âíåøíÿÿ ïàìÿòü) ïî ïîòîêàì. Òåîðåìà 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }( , , , , , , ); , ,, , , , ,�i i i i i i i i 1 2 3 4 5 0 1� � (1) ïðè çàäàííîì ðàñïðåäåëåíèè âåêòîðà ( , , , , , , ), , , , ,�0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 ÿâëÿ- åòñÿ îäíîðîäíîé ìàðêîâñêîé öåïüþ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü P A r k x x x x x i � � � � � � � � � ( , , , , , , ), , , , ,1 2 3 4 5 0 0 � � � � � � � � � �� . Âîñïîëü- çîâàâøèñü ôîðìóëîé ïîëíîé âåðîÿòíîñòè, íàõîäèì P A r l w w w w w A r k x x xi i� �1 1 2 3 4 5 1 2 31( , , , , , , ) ( , , , ,, , ,� � � � � � � � � , , ), ,x x i 4 5 0� � � � � � � � � �� � P B b b b b y y y y y A r k x xi ( , , , , , , , , ) ( , , ,, ,1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2� � � � �, , , ), , ,x x x i 3 4 5 0 � � � �� � � � � � � � � '� � ' � � & � � � P A r l w w A r k x xi i i 1 1 5 1 5 0 1( , , , , ) ( , , , , ), ,� � � � � � � �� � � & � � � � �B b b b b y yi ( , , , , , , )1 2 3 4 1 5� P( : | : ) ( ) ( ) { } { }� � i k i k e ei i � � � '�� 1 1 106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 ' � � � 'P( : | : , ), ( ) ( ) { } { }� � � 1 1i i r i k b ei i� � ' � � � 'P( : | : , ), ( ) ( ) { } { }� � � 2 2i i r i k b ei i� � ' � � � 'P( : | : , ), ( ) ( ) { } { }� � � 4 4i i r i k b ei i� � ' � � � �P P( : | : ) ( : | :, ( ) , ( { } { } { } {� � � � � �1 1 2 2i i r i iy yi� � � � ri ) )} ' ' � � � �P P( : | : ) ( : | :, ( ) , ( { } { } { } {� � � � � �3 3 4 4i i r i iy yi� � � � ri ) )} ' ' � � � � 'P( : ' | : , , ), , , , ,{ } { }� � � � �5 3 2 2 2 2 2 2i i i i ib x b y ' � � � 'P( : | : , ), ( ) , ,{ } { }� � � 5 5 5 5i i r i iy x� � ' � � � �P( : max , ,,{ { }� w x b y wi1 1 1 1 20 � � � � � � 'max , , max , ), ,{ } { }0 02 2 2 3 3 3 3x b y w x b yi i ' � � � � � �P( : max , , min ,, , ,{ { } { }� w x b y w x x b yi i i4 4 4 4 5 5 1 1 10 � �b y3 5 }). Çäåñü ñóììèðîâàíèå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå b1, b2 , b3 , b4 , y1, y2 , y3 , y4 , y5 . Âû÷èñëåíèå óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè P( ( , , , , , , )| ( , , , ,, ,A r l w w w w w A r k x x xi i i i i i i� �1 1 2 3 4 5 1 21 3 4 5, , ,, , ))i i ix x ïðèâîäèò ê òîé æå ïðàâîé ÷àñòè. Ñ ó÷åòîì âèäà óñëîâíûõ ðàñïðåäåëåíèé î÷åâèäíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1) ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé ìàðêîâñêîé öåïüþ. Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî. Îáîçíà÷èì Q r k x x x x xi ( , ; , , , , )1 2 3 4 5 âåðîÿòíîñòü P( ( , , , ,A r k x xi 1 2 x x x3 4 5, , )). Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1 ôàêòè÷åñêè óñòàíîâëåíî ðàâåíñòâî Q r l w w w w wi� � �1 1 2 3 4 51( , ; , , , , ) � '� � �� a Q r k x x x x x b k Tk l i r k d , ( , ; , , , , ) ( ; , , )1 2 3 4 5 1 1 1 1� ' �� �� � � �( ; , , ) ( ; , , ) ( ; min , , )b k T b k T b y x br r2 1 4 1 3 2 2 22 4 { } �( ; , ),y x pr5 5 1� (2) ãäå âíóòðåííåå ñóììèðîâàíèå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ðå- øåíèÿ x1, x2 , x3 , x4 , x5 , b1, b2 , b3 , b4 , y5 ñèñòåìû w x b y1 1 1 10� � �max ,{ }, w x b y2 2 2 20� � �max ,{ }, w x b y3 3 3 30� � �max ,{ }, w x b yi4 4 4 40� � �max , ,{ }, w x x b y b yi i5 5 1 1 1 3 5� � � � �, ,min ,{ } , 0 3 2 2 2% % �b y x bmin ,{ }, à y j ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 0, åñëè â ñîñòîÿíèè � ( )r�1 òðåáîâàíèÿ èç î÷åðåäè O j íå îáñëóæèâàþòñÿ, è çíà÷åíèå � r j�1, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, j �1 2 3 4, , , .  ÷àñòíîñòè, ïðè � �( )r� 1 I èìååì Q r l w w w w wi� � �1 1 2 3 4 51( , ; , , , , ) � ' ��� ��� Q r k x x x x x ai k l x w x w x w x ( , ; , , , , ) ,1 2 3 4 5 000 4 4 3 3 2 2 1 1 01 �� �� w k d ' � � �� � �� � �( ; , , ) ( ; , , ) ( ; , ,w x k T w x k T w x k Tr r r1 1 1 2 2 1 4 41 2 4 1 )' ' � � � ��( ; , )w x w w x pr3 3 5 3 3 1 , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 107 à ïðè � �( )r� 1 IX èìååì Q r l w w w ai k l x bx w r � � �� � � ' � �1 1 3 5 00 1 0 0 4 4 1 4 3 3 ( , ; , , , , ) , ,� ���� � ��� � x bx w k d r 2 2 1 2 1 1 001 � , ' � '� � �� � �( ; , , ) ( ; , , ) ( ; , , )w x k T b k T b k Tr r r1 1 1 2 1 4 11 2 4 ' � � � � � � � � b w w x x b b x b w x w w 3 3 5 3 2 2 0 3 2 2 3 3 5 min , ( ; , ) ( ; { } � � � 3 3 3 1� � '�x b pr, ) ' � � �Q r k x x x x w w x bi ( , ; , , , , )1 2 3 4 3 5 3 3 , Q r l w w w w ai k l x bx w r � � �� � � ' � �1 1 2 3 5 00 1 0 4 4 1 4 3 ( , ; , , , , ) , ,�3 2 1 2 2 1 1 001 ���� � � �� � x w x w k d r� , ' � � �� � �� � �( ; , , ) ( ; , , ) ( ; ,,w x k T w x k T b kr r r1 1 1 1 2 2 2 1 41 2 4� , )Tr� '1 ' � � � �� � � � � �( ; , ) ( ; , ), min b w x w w x b pr r b w 3 1 2 3 3 5 3 3 3 1 03 3 � { � � � � ' w x r5 3 1 2, ,� } ' � � �Q r k x x x x w w x bi ( , ; , , , , )1 2 3 4 3 5 3 3 , w2 1� , Q r l w w w w ai k l x w x w r � � � � � � ' � �1 1 3 4 5 00 1 0 4 1 4 4 3 ( , ; , , , , ) , ,�3 2 2 1 2 1 1 001 ���� � ��� � x bx w k d r� , ' � � �� � �� � �( ; , , ) ( ; , , ) ( ; ,,w x k T b k T w x kr r r1 1 1 2 1 1 4 4 41 2 4� , )Tr� '1 ' � � � � � � � � � � �( ; , ) ( ; , ) min b x b w x w w x b pr b w 3 2 2 3 3 5 3 3 3 1 03 3{ w x x b5 3 2 2� � � ' , } ' � � �Q r k x x x x w w x bi ( , ; , , , , )1 2 3 4 3 5 3 3 , w4 1� , Q r l w w w w w ai k l x w x r � � � � � � ' � �1 1 2 3 4 5 00 1 4 1 4 4 3 ( , ; , , , , ) , ,�w x w x w k d r 3 2 1 2 2 1 1 001 ���� � � �� �� , ' � � � '� � �� �( ; , , ) ( ; , , ),w x k T w x k Tr r r1 1 1 1 2 2 2 11 2� ' � � '� ��( ; , , ),� r rw x k T1 4 4 4 14 ' � � � �� � � � � �( ; , ) ( ; , ), min b w x w w x b pr r b w 3 1 2 3 3 5 3 3 3 1 03 3 � { � � � � ' w x r5 3 1 2, ,� } ' � � �Q r k x x x x w w x bi ( , ; , , , , )1 2 3 4 3 5 3 3 , w w2 4 1, � . Îáîçíà÷èì w w w w w w� ( , , , , )1 2 3 4 5 ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ïÿòèìåðíîé öå- ëî÷èñëåííîé íåîòðèöàòåëüíîé ðåøåòêè X � ' '{ } { }0 1 0 1, , , ,� � � è ââåäåì ñëå- äóþùèå ìíîæåñòâà ñîñòîÿíèé öåïè (1): $ � � �S e w e E w X w wr k r k r1 1 1 5 10{( , , ) : , , , ,( ) ( ) ( ) ( ) ,� � � � }, S e w e E w Xk k 1 1� { }( , , ) : , ,( ) ( )� � � , S e w e E w X wr k r k 2 1 1 0� �{ }( , , ): , , ,( ) ( ) ( ) ( )� � � , S e w e E w X w wr k r k r3 1 1 5 10� � �{ }( , , ) : , , , ,( ) ( ) ( ) ( ) ,� � � � . 108 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 Âèä ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé (2) ïîçâîëÿåò ïðîâåñòè êëàññèôèêàöèþ ñî- ñòîÿíèé öåïè Ìàðêîâà (1) ïî àëãåáðàè÷åñêèì è àñèìïòîòè÷åñêèì ñâîéñòâàì ïå- ðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé.  äàëüíåéøåì ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñîñòîÿíèÿ ñëó÷àéíîé ñðåäû îáðàçóåò åäèíñòâåííûé àïåðèîäè÷åñêèé íåðàçëîæèìûé êëàññ. Òåîðåìà 2. Ìíîæåñòâî �' 'E X ñîñòîÿíèé ìàðêîâñêîé öåïè (1) åñòü îáúå- äèíåíèå íåçàìêíóòîãî ìíîæåñòâà $S1 íåñóùåñòâåííûõ ñîñòîÿíèé è çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà S S S1 2 3� � ñóùåñòâåííûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé ñ ïåðèîäîì n. Îáîçíà÷èì � � �j k j k b b b j k( ) ( ) ( ; , )� � � � 1 ñðåäíåå ÷èñëî òðåáîâàíèé ïîòîêà � j ïðè ñîñòîÿíèè ñðåäû e k( ) â åäèíèöó âðåìåíè, Ak — ñòàöèîíàðíóþ âåðîÿòíîñòü ñîñòîÿíèÿ ñðåäû e k( ) , k d� �1 2, , , , T T T Tn� � � �1 2 � — äëèòåëüíîñòü ïîëíîãî öèêëà ðàáîòû ïðèáîðà è ïîëîæèì � �j r j r j � � , � . Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà 3. Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìàðêîâñêîé öåïè (1) íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå äëÿ j �1 2 4, , íåðàâåíñòâ T Ak j k k d j�( ) � � � % 1 0� . Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3 ïðîâîäèòñÿ èòåðàòèâíî-ìàæîðàíòíûì ìåòîäîì [4–9]. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. à í å ä å í ê î Á .  . , Ê î â à ë å í ê î È . Í . Ââåäåíèå â òåîðèþ ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ. — 4-å èçä., èñïð. — Ì.: ËÊÈ, 2007. — 400 ñ. 2. Á î ð î â ê î â À . À . Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû â òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1980. — 384 ñ. 3. Á î ÷ à ð î â Ï . Ï . , Ï å ÷ è í ê è í À .  . Òåîðèÿ ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ. — Ì.: ÐÓÄÍ, 1995. — 529 ñ. 4. Ô å ä î ò ê è í Ì . À . Ïðîöåññû îáñëóæèâàíèÿ è óïðàâëÿþùèå ñèñòåìû // Ìàòåìàòè÷åñêèå âîïðîñû êèáåðíåòèêè. — Ì.: Íàóêà, 1996. — Ñ. 51–70. 5. Ô å ä î ò ê è í Ì . À . Íåëîêàëüíûé ñïîñîá çàäàíèÿ óïðàâëÿåìûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ // Òàì æå. — Ì.: Íàóêà, 1998. — Ñ. 333–344. 6. Ç î ð è í À .  . , Ô å ä î ò ê è í Ì . À . Îïòèìèçàöèÿ óïðàâëåíèÿ äâàæäû ñòîõàñòè÷åñêèìè íåîðäèíàðíûìè ïîòîêàìè â ñèñòåìàõ ñ ðàçäåëåíèåì âðåìåíè // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 2005. — ¹ 7. — Ñ. 102–111. 7. Ï ð î é ä à ê î â à Å .  . , Ô å ä î ò ê è í Ì . À . Óïðàâëåíèå âûõîäíûìè ïîòîêàìè â ñèñòåìå ñ öèêëè÷åñêèì îáñëóæèâàíèåì è ïåðåíàëàäêàìè // Òàì æå. — 2008. — Âûï. 6. — Ñ. 96–106. 8. Ô å ä î ò ê è í Ì . À . , Ô å ä î ò ê è í À . Ì . Àíàëèç è îïòèìèçàöèÿ âûõîäíûõ ïðîöåññîâ ïðè öèêëè÷åñêîì óïðàâëåíèè êîíôëèêòíûìè òðàíñïîðòíûìè ïîòîêàìè Ãíåäåíêî–Êîâàëåíêî // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 2009. — Âûï. 12. — Ñ. 92–108. 9. Z o r i n A . V . Stability of a tandem of queueing systems with Bernoulli noninstantaneous transfer of customers // Theory of Probab. and Math. Statistat. — 2012. — P. 173–188. 10. Ë ÿ ï ó í î â À . À . , ß á ë î í ñ ê è é Ñ .  . Òåîðåòè÷åñêèå ïðîáëåìû êèáåðíåòèêè // Ïðîáëåìû êèáåðíåòèêè. — Ì.: Ôèçìàòãèç, 1963. — Ñ. 5–22. Ïîñòóïèëà 15.11.2012 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 109

Схожі ресурси