Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии
Дослiджено початково-крайову задачу Неймана для рiвняння ut = div(u^(m−1)|Du|^(λ−1)Du), де 0 < m + λ ≤ 2. Встановлено двостороннi оцiнки L∞ норми розв’язку задачi, що залежать вiд геометрiї необмеженої областi (з некомпактною границею), в якiй розглядається задача. An initial boundary-value Neu...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8636 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии / О.М. Болдовская, А.Ф. Тедеев // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 14-20. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859931629601947648 |
|---|---|
| author | Болдовская, О.М. Тедеев, А.Ф. |
| author_facet | Болдовская, О.М. Тедеев, А.Ф. |
| citation_txt | Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии / О.М. Болдовская, А.Ф. Тедеев // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 14-20. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Дослiджено початково-крайову задачу Неймана для рiвняння
ut = div(u^(m−1)|Du|^(λ−1)Du),
де 0 < m + λ ≤ 2. Встановлено двостороннi оцiнки L∞ норми розв’язку задачi, що залежать вiд геометрiї необмеженої областi (з некомпактною границею), в якiй розглядається задача.
An initial boundary-value Neumann problem for the equation
ut = div(u^(m−1)|Du|^(λ−1)Du)
is considered, where 0 < m + λ ≤ 2. Two-sided estimates of the L∞ norm of the problem’s solution depending on the geometry of a domain (with noncompact boundary), where the problem is considered, are established.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:08:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.946
© 2009
О.М. Болдовская, А.Ф. Тедеев
Оценки максимума решения задачи Неймана
для квазилинейных параболических уравнений
в неограниченных областях, сужающихся
на бесконечности. Случай быстрой диффузии
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.М. Ковалевым)
Дослiджено початково-крайову задачу Неймана для рiвняння
ut = div(um−1|Du|λ−1Du),
де 0 < m + λ 6 2. Встановлено двостороннi оцiнки L∞ норми розв’язку задачi, що
залежать вiд геометрiї необмеженої областi (з некомпактною границею), в якiй роз-
глядається задача.
Рассматривается следующая вторая смешанная задача:
ut − div(um−1|Du|λ−1Du) = 0 в QT = Ω × (0, T ), (1)
um−1|Du|λ−1 ∂u
∂−→n = 0 на ∂Ω × (0, T ), (2)
u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω, (3)
где Ω ⊂ R
N , N > 2, — неограниченная область, mesN Ω = |Ω|N = ∞; ∂Ω-некомпактная
достаточно гладкая граница Ω; −→n — внешняя единичная нормаль к ∂Ω × (0, T ), T > 0.
Предполагаем, что m + λ − 2 < 0, λ > 0, m + λ − 1 > max{0,1 − (λ + 1)/N}; u0(x) > 0 п. в.
x ∈ Ω и u0 ∈ L1,loc(Ω). Известно [1], что при m + λ − 2 < 0 (1) относится к уравнениям,
описывающим процесс с быстрой диффузией.
Опишем класс областей, в котором рассматривается задача (1)–(3). Определим функцию
l(v, ρ) = inf{|∂Q
⋂
Ωρ|N−1 : Q ⊂ Ωρ, |Q|N = v, ∂Q — липшицева}
для всех ρ > 0 и 0 < v 6 |Ωρ|N/2, где Ωρ = {x ∈ Ω: |x| < ρ}, предполагаем что Ωρ непусто.
Пусть V (ρ) = |Ωρ|N такое, что для всех δ > 0 выполнено неравенство
ν0(δ)V (ρ) 6 V (δρ) 6 ν1(δ)V (ρ) для всех ρ > max
(
1,
1
δ
)
, (4)
где ν0, ν1 — две заданные неубывающие положительные функции такие, что ν1(δ) < 1 для
δ < 1. Также требуем, чтобы
l(v, ρ) > c0 min
(
v(N−1)/N ,
V (ρ)
ρ
)
:= g(v, ρ), (5)
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
для всех ρ > 1, 0 < v 6 V (ρ)/2, и константа c0 > 0, не зависящая от v. И
ρ 7→ ρ1−β
V (ρ)
не убывает для ρ > 1, (6)
β >
2 − m − λ
λ + 1
.
Определение 1. Будем говорить, что неограниченная область Ω ⊂ R
N , N > 2, при-
надлежит классу N0(g), если ее граница ∂Ω локально непрерывна по Липшицу и выпол-
няются (4)–(6).
Отметим, что (5) — условие типа регулярности области, первая компонента, v(N−1)/N ,
при v < 1 появляется благодаря классическому изопериметрическому неравенству в ограни-
ченных областях с липшицевой границей, вторая компонента, V (ρ)/ρ, имеет смысл площади
Ω
⋂
∂Ωρ при достаточно больших ρ. Из (4) следует, что |Ω|N = ∞. Класс N0(g) описывает
“сужающиеся на бесконечности” области, т. е. [2] такие, что lim
ρ→∞
V (ρ)/ρ = 0; для этих обла-
стей lim
v→∞
l(v, ρ) = 0. Классы областей типа N0(g) были введены в работах [3, 4] (см. также
близкие к ним в работах [2, 5, 6].)
Типичным представителем класса N0(g) является область [4]
Ωǫ = {x = (x′, xN ) ∈ R
N : |x′| < x−ǫ
N , xN > d} ⊂ R
N , d > 0,
для 0 < ǫ < 1/(N − 1). Здесь V (ρ) = cρ1−ǫ(N−1), ρ = xN > 2d. Очевидно, что |Ωǫ|N = ∞
и для всех v > 0 l(v,∞) = 0. Различные примеры можно найти в работах [3, 4].
Наша цель — исследовать поведение решения задачи (1)–(3) в QT в зависимости от
геометрии области Ω, а именно получить точные оценки сверху и снизу максимума решения
u(x, t).
В работах [7, 8], в которых изучалась вторая смешанная задача для линейных дивер-
гентных равномерно параболических уравнений с измеримыми коэффициентами, для “не
сужающихся на бесконечности” областей, удовлетворяющих глобальному условию изопери-
метрического типа, получены двусторонние оценки
‖u(·, t)‖L∞ ,Ω ∼ ‖u0‖L1,ΩV (
√
t)
−1
(7)
для всех t > 1. Для получения этих оценок требовалась только конечность массы началь-
ной функции. В работах [2, 5], в которых рассматривались “сужающиеся на бесконечности”
области, точная оценка ‖u(·, t)‖L∞ ,Ω дается также (7), но помимо конечности ‖u0‖L1,Ω требу-
ется дополнительно предположить конечность момента начальной функции, т. е. u0(x)|x| ∈
∈ L1(Ω). Касаясь исследования начально-краевых задач в областях с некомпактными гра-
ницами, отметим также работы [9] (случай третьей краевой задачи) и [10] (случай задачи
Дирихле). В работе [11] получены оценки типа (7) для решения задачи (1)–(3) при m = 1
в случае “не сужающихся” областей. Оказалось, что геометрической характеристикой, да-
ющей точную оценку ‖u(·, t)‖L∞ ,Ω, также является V (ρ). При этом имеет место оценка
‖u(·, t)‖L∞ ,Ω ∼ ‖u0‖L1,ΩV (R(t))−1, (8)
где R(t) — обратная к sλ+1V (s)λ−1 функция. В работах [3, 4, 12] для решения задачи (1)–
(3) в случае медленной диффузии, т. е. при m + λ − 2 > 0, в узких и широких областях
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 15
были получены аналогичные (8) оценки. Данная работа продолжает исследования, начатые
в работах [4, 12].
Определение 2. Будем говорить, что u(x, t) — решение задачи (1)–(3), если u(x, t) > 0
такое, что
u(x, t) ∈ C(0, T ;L2,loc(Ω))
⋂
L∞,loc(Ω × (0, T )), um−1|Du|λ+1 ∈ L1,loc(Ω × (0, T ))
и, что
T∫
0
∫
Ω
(−uξt + um−1|Du|λ−1DuDξ) dxdt = −
∫
Ω
u0(x)ξ(x, 0) dx,
∀ξ ∈ C0
1 (RN × [0, T ]).
Основным результатом данной работы является
Теорема. Пусть Ω ∈ N0(g), u0 > 0, u0 ∈ L1(Ω), µ(0) < ∞. Тогда задача (1)–(3) имеет
глобальное решение, определенное для всех t > 0 и удовлетворяющее оценкам
‖u(·, t)‖∞,Ω 6 γ max
(
t−
N
k ‖u0‖
λ+1
k
1,Ω , t−
1
2λ+m−1 µ(0)
λ+1
2λ+m−1 , t−
1
2λ+m−1 ‖u0‖
λ+1
2λ+m−1
1,Ω ×
×
[
P (τ)
V (P (τ))
] λ+1
2λ+m−1
)
(9)
для всех t > 0, где k = N(m+λ− 2)+λ+1. Здесь P (τ) > 1 (τ = t‖u0‖m+λ−2
1,Ω ) определяется
как наибольшее решение ρ такое, что
ρ
[
ρ
V (ρ)
]− m+λ−2
2λ+m−1
= max
(
τ
1
2λ+m−1 , 1
)
. (10)
Также для достаточно больших t имеет место двусторонняя оценка
γ1
‖u0‖1,Ω
V (P (τ))
6 ‖u(·, t)‖∞,Ω 6 γ2
‖u0‖1,Ω
V (P (τ))
. (11)
Основным инструментом доказательства являются комбинации локальных подходов ра-
бот [3, 4, 13].
Всюду в дальнейшем через γ, γi будем обозначать различные положительные постоян-
ные, зависящие только от известных параметров задачи.
Замечание 1. Отметим, что для достаточно больших t третья компонента в (9) является
наибольшей. Следовательно, из (10) получаем
t−
1
2λ+m−1‖u0‖
λ+1
2λ+m−1
1,Ω
[
P (τ)
V (P (τ))
] λ+1
2λ+m−1
=
‖u0‖1,Ω
V (P (τ))
.
Кроме того, очевидно, что P (τ) — обратная к V (R)m+λ−2Rλ+1 функция. Первая компонента
в функции максимума оценки (9) будет наибольшей при t → 0, это ожидаемый результат,
так как такая оценка имеет место для задачи Коши и имеет локальный характер.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
Замечание 2. Результаты, изложенные в работе, остаются справедливыми и для случая
m+λ−2 = 0, а следовательно, и в линейном случае (m = 1, λ = 1), при этом доказательство
проводится аналогично. (В последнем случае наши результаты следуют из работ [2, 5].)
Не уменьшая общности, положим
ρ
V (ρ)
= 1, 0 6 ρ 6 1.
Одними из ключевых моментов в доказательстве теоремы являются нижеприведенные
утверждения.
Локальная оценка максимума решения. Для простоты будем полагать, что реше-
ние задачи (1)–(3) достаточно гладкое.
Предложение 1. Пусть u — ограниченное решение задачи (1)–(3) в Ω2ρ × (0, t). Тогда
для любого θ > 0 справедлива оценка
‖u‖∞,Ωρ×(t/2,t) 6
6 γ max
(
t
− N
kθ Gθ(t, ρ(1+ σ))
λ+1
kθ , t
− 1
Hθ Gθ(t, ρ(1+ σ))
λ+1
Hθ
[
ρ
V (ρ)
]λ+1
Hθ
,
[
t
ρλ+1
] 1
2−m−λ
)
,
где
Gθ(t, ρ) = sup
0<τ<t
∫
Ωρ
u(x, τ)θdx, t > 0, ρ > 1,
0 < σ < 1, kθ = N(m + λ − 2) + θ(λ + 1), Hθ = m + λ − 2 + θ(λ + 1).
Замечание 3. Утверждение предложения остается справедливым, если формально за-
менить Ωρ на Aρ = Ω2ρ \ Ωρ, а Ωρ(1+σ) — на Ãρ = Ω4ρ \ Ωρ/2.
Локальная оценка L1 нормы решения.
Предложение 2. Пусть u0 > 0, u0 ∈ L1,loc(Ω). Тогда
sup
0<τ<t
∫
Ωρ
u(x, τ) dx 6 γ
([
t
ρλ+1
] 1
2−m−λ
|Ω2ρ|N +
∫
Ω2ρ
u0dx
)
, t > 0, ρ > 1.
Оценка момента. Для t > 0 определим
µ(t) =
∫
Ω
u(x, t)
|x|
V (|x|)dx.
Предложение 3. Имеет место следующая оценка:
sup
0<τ<t
∫
Ω\Ωρ
u(x, t)
|x|
V (|x|)dx 6 γµ(0) + γ
(
t
ρ2λ+m−1
) 1
2−m−λ
. (12)
Набросок доказательства теоремы. Будем искать решение нашей задачи как предел
последовательности решений аппроксимирующих задач
unt − div(um−1
n |Dun|λ−1Dun) = 0 в Ωn × (0,∞),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 17
un(x, t) = 0 на (∂Ωn
⋂
Ω) × (0,∞),
um−1
n |Dun|λ−1 ∂un
∂−→n = 0 на (∂Ωn
⋂
∂Ω) × (0,∞),
un(x, 0) = u0n(x) > 0 в Ωn.
Здесь un > 0, n > 1; u0n ∈ C∞(Ωn), u0n сходится к u0 в L1(Ω); и можно предполагать
‖u0n‖1,Ω 6 γ‖u0‖1,Ω,
∫
Ω
|x|
V (|x|)u0n(x) dx 6 γµ(0).
Заметим, что мы всегда понимаем un определенными на Ω, полагая un ≡ 0 вне Ωn.
Благодаря стандартным аргументам компактности и гладкости начальных данных
из [14] следует, что вышеописанная задача глобально разрешима. В дальнейшем для удоб-
ства обозначим un = u.
Нам понадобится очевидная оценка
‖u(·, t)‖1,Ω 6 ‖u0‖1,Ω, t > 0. (13)
Воспользуемся результатом предложения 1 с θ = 1, учитывая (13), получаем
‖u(x, τ)‖∞,Ωρ 6
6 γ max
(
τ−N
k ‖u0‖
λ+1
k
1,Ω , τ− 1
2λ+m−1 ‖u0‖
λ+1
2λ+m−1
1,Ω
[
ρ
V (ρ)
] λ+1
2λ+m−1
,
[
t
ρλ+1
] 1
2−m−λ
)
. (14)
Воспользуемся замечанием 3, и для ρ > γP (τ) имеем
‖u(·, t)‖∞,Aρ 6 γ max
(
t−
N
k ‖u0‖
λ+1
k
1,Ω , t−
1
2λ+m−1
(
ρ
V (ρ)
sup
0<τ<t
∫
Ãρ
u(x, t) dx
) λ+1
2λ+m−1
)
. (15)
Оценим следующее выражение, содержащееся в (15):
ρ
V (ρ)
sup
0<τ<t
∫
Ãρ
u(x, t) dx 6 γ sup
0<τ<t
∫
Ãρ
|x|
V (|x|)u(x, t) dx. (16)
Соединяя оценки (15), (16), а также (14) с ρ = P (τ), получаем
‖u(·, t)‖∞,Ω 6 γ max
(
t−
N
k ‖u0‖
λ+1
k
1,Ω , t−
1
2λ+m−1
[
sup
0<τ<t
∫
Ω\Ωρ
|x|
V (|x|)u(x, t) dx
] λ+1
2λ+m−1
,
t−
1
2λ+m−1 ‖u0‖
λ+1
2λ+m−1
1,Ω
[
P (τ)
V (P (τ))
] λ+1
2λ+m−1
)
.
Принимая во внимание оценку (12) с ρ = P (τ), а также само определение P (τ), получаем
нужную оценку (9). Правая часть оценки (11) следует из замечания 1. Осталось доказать
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
левую часть (11), т. е. оценку снизу. В силу закона сохранения массы, для любого t > 0
имеем
∫
Ω
u0dx =
∫
ΩR
u(x, t) dx +
∫
Ω\ΩR
u(x, t) dx. (17)
С учетом (12) из (17) имеем
∫
Ω
u0dx 6 ‖u(·, t)‖∞,ΩV (R) +
V (R)
R
∫
Ω\ΩR
|x|
V (|x|)udx 6
6 ‖u(·, t)‖∞,ΩV (R) + γ
[
µ(0) +
(
t
R2λ+m−1
) 1
2−m−λ
]
V (R)
R
. (18)
Возьмем в (18) R = CP (τ) = CP (t‖u0‖m+λ−2
1,Ω ), с учетом определения P (τ), т. е. (10), вычи-
слим
(
t
P (τ)2λ+m−1
) 1
2−m−λ V (P (τ))
P (τ)
= ‖u0‖1,Ω,
откуда при достаточно больших t и будет следовать левая часть оценки (11). Теорема до-
казана.
1. Калашников А.С. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболи-
ческих уравнений второго порядка // Успехи мат. наук. – 1987. – 42, № 2. – С. 135–176.
2. Гущин А.К. Стабилизация решений второй краевой задачи для параболического уравнения второго
порядка // Мат. сб. – 1976. – 101(143), № 4(12). – С. 459–499.
3. Andreucci D., Tedeev A. F. Optimal bounds and blow up phenomena for parabolic problems in narrowing
domains // Proc. Roy. Soс. Edinburgh. – 1998. – 128A. – P. 1163–1180.
4. Andreucci D., Tedeev A.F. Sharp estimates and finite speed of propagation for a Neumann problem in
domains narrowing at infinity // Adv. Different. Equat. – 2000. – 5. – P. 833–860.
5. Лежнев А.В. О поведении при больших значениях времени неотрицательных решений второй сме-
шанной задачи для параболического уравнения // Мат. сб. – 1986. – 129(171), № 2. – С. 186–200.
6. Гущин А.К., Михайлов В.П., Михайлов Ю.А. О равномерной стабилизации решения второй сме-
шанной задачи для параболического уравнения второго порядка // Там же. – 1985. – 128(170),
№ 2(10). – С. 147–168.
7. Гущин А.К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка //
Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1973. – 126. – С. 5–45.
8. Гущин А.К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического
уравнения // Мат. сб. – 1982. – 119(161). – С. 451–508.
9. Ушаков В.И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения вто-
рого порядка в нецилиндрической области // Там же. – 1980. – 111(153). – С. 95–115.
10. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения
второго порядка // Там же. – 1980. – 111(153). – С. 503–521.
11. Тедеев А.Ф. Оценки скорости стабилизации при t → ∞ решения второй смешанной задачи для
квазилинейного параболического уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. – 1991. –
27, № 10. – С. 1795–1806.
12. Andreucci D., Tedeev A.F. A Fujita type result for degenerate Neumann problem in domains with non-
compact boundary // J. Math. Anal. and Appl. – 1999. – 231. – P. 543–567.
13. Di Benedetto E., Herrero M.A. Non-negative solutions of the evolution p-Laplacian equation. Initial traces
and Cauchy problem when 1 < p < 2 // Arch. Ration. Mech. and Anal. – 1990. – 111. – P. 225–290.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 19
14. Tsutsumi M. On solutions of some doubly nonlinear parabolic equations with absorbtion // J. Math. Anal.
and Appl. – 1988. – 132. – P. 187–212.
Поступило в редакцию 03.11.2008Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
O.M. Boldovskaya, A. F. Tedeev
Maximum estimates of a Neumann problem’s solution for quasilinear
parabolic equations in unbounded domains narrowing at infinity. A fast
diffusion case
An initial boundary-value Neumann problem for the equation
ut = div(um−1|Du|λ−1Du)
is considered, where 0 < m + λ 6 2. Two-sided estimates of the L∞ norm of the problem’s
solution depending on the geometry of a domain (with noncompact boundary), where the problem
is considered, are established.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8636 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:08:23Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Болдовская, О.М. Тедеев, А.Ф. 2010-06-14T08:33:37Z 2010-06-14T08:33:37Z 2009 Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии / О.М. Болдовская, А.Ф. Тедеев // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 14-20. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8636 517.946 Дослiджено початково-крайову задачу Неймана для рiвняння ut = div(u^(m−1)|Du|^(λ−1)Du), де 0 < m + λ ≤ 2. Встановлено двостороннi оцiнки L∞ норми розв’язку задачi, що залежать вiд геометрiї необмеженої областi (з некомпактною границею), в якiй розглядається задача. An initial boundary-value Neumann problem for the equation ut = div(u^(m−1)|Du|^(λ−1)Du) is considered, where 0 < m + λ ≤ 2. Two-sided estimates of the L∞ norm of the problem’s solution depending on the geometry of a domain (with noncompact boundary), where the problem is considered, are established. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии Maximum estimates of a Neumann problem’s solution for quasilinear parabolic equations in unbounded domains narrowing at infinity. A fast diffusion case Article published earlier |
| spellingShingle | Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии Болдовская, О.М. Тедеев, А.Ф. Математика |
| title | Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии |
| title_alt | Maximum estimates of a Neumann problem’s solution for quasilinear parabolic equations in unbounded domains narrowing at infinity. A fast diffusion case |
| title_full | Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии |
| title_fullStr | Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии |
| title_full_unstemmed | Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии |
| title_short | Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии |
| title_sort | оценки максимума решения задачи неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. случай быстрой диффузии |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8636 |
| work_keys_str_mv | AT boldovskaâom ocenkimaksimumarešeniâzadačineimanadlâkvazilineinyhparaboličeskihuravneniivneograničennyhoblastâhsužaûŝihsânabeskonečnostislučaibystroidiffuzii AT tedeevaf ocenkimaksimumarešeniâzadačineimanadlâkvazilineinyhparaboličeskihuravneniivneograničennyhoblastâhsužaûŝihsânabeskonečnostislučaibystroidiffuzii AT boldovskaâom maximumestimatesofaneumannproblemssolutionforquasilinearparabolicequationsinunboundeddomainsnarrowingatinfinityafastdiffusioncase AT tedeevaf maximumestimatesofaneumannproblemssolutionforquasilinearparabolicequationsinunboundeddomainsnarrowingatinfinityafastdiffusioncase |