Хаусдорфова фрактальна апроксимація функцій
Встановлено достатнi умови збiжностi iтерацiй оператора фрактального перетворення в просторi функцiй з хаусдорфовою метрикою. Наведено оцiнку похибки хаусдорфового фрактального наближення. Sufficient conditions for the convergence of fractal transform operator iterations in the space of functions wi...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8638 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Хаусдорфова фрактальна апроксимація функцій / Д.Ю. Мiтiн // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 26-28. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859688417578713088 |
|---|---|
| author | Мітін, Д.Ю. |
| author_facet | Мітін, Д.Ю. |
| citation_txt | Хаусдорфова фрактальна апроксимація функцій / Д.Ю. Мiтiн // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 26-28. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Встановлено достатнi умови збiжностi iтерацiй оператора фрактального перетворення в просторi функцiй з хаусдорфовою метрикою. Наведено оцiнку похибки хаусдорфового фрактального наближення.
Sufficient conditions for the convergence of fractal transform operator iterations in the space of functions with the Hausdorff metric are stated. An estimate for the error of the Hausdorff fractal approximation is given.
|
| first_indexed | 2025-11-30T23:41:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.518.845
© 2009
Д.Ю. Мiтiн
Хаусдорфова фрактальна апроксимацiя функцiй
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Ю.Ю. Трохимчуком)
Встановлено достатнi умови збiжностi iтерацiй оператора фрактального перетворен-
ня в просторi функцiй з хаусдорфовою метрикою. Наведено оцiнку похибки хаусдорфового
фрактального наближення.
Питання збiжностi iтерацiй фрактального оператора дослiджувалося в просторi обмежених
функцiй [1], неперервних [2], m разiв неперервно диференцiйовних [2], iнтегровних у степенi
1 6 p < +∞ [1] та 0 < p < 1 [3], а також в сенсi поточкової збiжностi та збiжностi майже
скрiзь [4]. У даному повiдомленнi дослiджується збiжнiсть iтерацiй фрактального оператора
в просторi функцiй з хаусдорфовою метрикою.
Нагадаємо деякi означення [5, 6]. Для функцiї f : I → R, обмеженої на вiдрiзку I =
= [a, b] ⊂ R (f ∈ B(I)), позначимо через G(f) ⊂ R
2 ї ї розширений графiк, тобто найменшу
замкнену опуклу за другою координатою множину, що мiстить графiк f . Еквiвалентним
чином можна визначати G(f) = {(x, y) : y ∈ [I(f, x),S(f, x)], x ∈ I}, де нижня та верхня
функцiї Бера I(f, x) = lim
δ→+0
I(f, x, δ), S(f, x) = lim
δ→+0
S(f, x, δ) визначаються через розшире-
нi нижню та верхню функцiї Бера I(f, x, δ) = inf
|y−x|<δ
f(y), S(f, x, δ) = sup
|y−x|<δ
f(y) вiдповiдно.
Ототожнюватимемо функцiї з однаковими розширеними графiками.
Хаусдорфовою вiдстанню мiж функцiями f та g, що породжена метрикою на площинi
ρα((u1, u2), (v1, v2)) = max(α−1|u1 − v1|, |u2 − v2|), α > 0, називається
hα(f, g) = max
(
sup
u∈G(f)
inf
v∈G(g)
ρα(u,v), sup
v∈G(g)
inf
u∈G(f)
ρα(u,v)
)
.
Зазначимо, що при α → 0+ хаусдорфова вiдстань переходить у рiвномiрну.
Простий приклад фундаментальної послiдовностi
fn(x) = nx1I[−1/n,1/n](x), x ∈ I = [−1, 1], n > 1,
показує, що якщо накласти умову повноти на метричний простiр функцiй, то це призве-
де до необхiдностi розглядати сегментозначнi функцiї. Тут i далi 1IA(x) — iндикаторна
функцiя множини A. Функцiя f : I → [R], де [R] = {[y1, y2] : −∞ < y1 6 y2 < +∞},
називається сегментно-неперервною (f ∈ SC(I)), якщо G(f) = f . Мотивацiєю такої назви
є те, що еквiвалентним чином сегментно-неперервнi функцiї визначаються спiввiдношенням
S− lim
x→x0
f(x) ⊂ f(x0), де S−lim — сегментна границя (детальний виклад сегментного аналiзу
див. у [5]). Маємо G(f) ∈ SC(I) для f ∈ SC(I) та SC(I) — поповнення B(I) за метрикою hα.
Для вiдрiзка (чи напiвiнтервалу) J ⊂ I введемо позначення G(f, J) = {(x, y) ∈ G(f) : x ∈
∈ J},
hα,J(f, g) = max
(
sup
u∈G(f,J)
inf
v∈G(g,J)
ρα(u,v), sup
v∈G(g,J)
inf
u∈G(f,J)
ρα(u,v)
)
.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
Нехай дано вiдрiзки (чи напiвiнтервали) I1, . . . , In, I ′1, . . . , I
′
n такi, що
n
⋃
i=1
Ii = I, Ii
⋂
Ij =
= ∅ (i 6= j), I ′i ⊂ I, та гомеоморфiзми Φi(x, y) = (ϕi(x), ψi(x, y)), x ∈ I ′i, y ∈ R, ϕi(I
′
i) = Ii,
i = 1, . . . , n, причому виконано умови Лiпшiца: |ϕi(x1) − ϕi(x2)| 6 d′i|x1 − x2|, |ψi(x1, y1) −
− ψi(x2, y2)| 6 d′′i ρα((x1, y1), (x2, y2)), x1, x2 ∈ I ′i, y1, y2 ∈ R, max(d′i, d
′′
i ) =: di.
Iснують рiзнi конструкцiї фрактальних перетворень. У данiй роботi розглянемо такий
оператор фрактального вiдображення [6–8]:
(T (f))(x) =
n
∑
i=1
ψi(ϕ
−1
i (x), f(ϕ−1
i (x)))1IIi
(x), x ∈ I, f ∈ B(I).
Розглянемо множину F ⊂ B(I) таку, що T (F) ⊂ F. Позначимо
γi(F) = sup
f,g∈F
f 6=g
hα,I′i
(f, g)
hα(f, g)
, i = 1, . . . , n.
Твердження 1. Нехай γi(F) < +∞ для всiх i = 1, . . . , n. Тодi оператор T : F → F
є неперервним вiдносно метрики hα. За неперервнiстю оператор T продовжується єдиним
чином на F ⊂ SC(I). Оператор T визначений коректно на фактормножинi за введеним
вiдношенням еквiвалентностi, тобто якщо G(f) = G(g), то G(T (f)) = G(T (g)).
Евентуально стискуючим оператором називається такий оператор, що задовольняє умо-
ву Лiпшiца i у якого iснує його степiнь, що є оператором стиску. Найменший показник такого
степеня називається порядком евентуально стискуючого оператора.
Умови стиску фрактального оператора було встановлено в [6] (для випадку простору
хаусдорфово-неперервних функцiй та оператора дещо бiльш спецiального вигляду). Зна-
йдемо умови евентуального стиску.
Розглянемо тепер множину F ⊂ SC(I) таку, що T (F) ⊂ F.
Позначимо Lk(T,F) = max
16i1,...,ik6n
di1 · · · dikγi1,...,ik(F), де
γi1,...,ik(F) = sup
f,g∈F
f 6=g
[hα,ϕ−1
i1
(Ii1
∩ϕ−1
i2
(Ii2
∩···ϕ−1
ik
(Iik
)··· ))(f, g) · (hα(f, g))−1].
Твердження 2. Нехай inf
k>1
Lk(T,F) < 1. Тодi оператор T — евентуально стискуючий
на F.
Нехай тепер множина F замкнена у SC(I).
Наслiдок 1. За умови, що оператор T евентуально стискуючий на F, у нього iснує
єдина нерухома точка f∗T ∈ F, причому для довiльної f ∈ F маємо T ◦k(f) → f∗T , k → ∞,
у SC(I).
Часто ця нерухома точка є функцiєю, графiк якої має дробову розмiрнiсть (наприклад,
за Хаусдорфом–Безiковичем) або графiку якої притаманна певна властивiсть типу самопо-
дiбностi. Це пояснює використання термiна “фрактальна апроксимацiя”.
Наведемо оцiнку похибки хаусдорфового фрактального наближення, що є аналогом те-
ореми про колаж [7, 8].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 27
Твердження 3. За умови, що оператор T евентуально стискуючий на F порядку m,
мають мiсце нерiвностi (Lk(T,F) = Lk)
hα(f, f∗T ) 6
1 + L1 + · · · + Lm−1
1 − Lm
hα(f, T (f)) 6
Lm
1 − 1
L1 − 1
1
1 − Lm
hα(f, T (f)), L1 6= 1,
m
1
1 − Lm
hα(f, T (f)), L1 = 1.
Аналогiчнi до наведених твердження встановлюються у випадку хаусдорфової апрокси-
мацiї у просторi хаусдорфово-неперервних функцiй HC(I) ⊂ SC(I). Проте через його непов-
ноту виникає необхiднiсть накладати додатковi обмеження на множину F типу одностайної
хаусдорфової неперервностi [6].
Також аналогiчнi твердження справджуються у багатовимiрному випадку. Особливо
цiкавим є двовимiрний випадок у зв’язку з його застосуванням у задачах стиску та коду-
вання зображень [8].
1. Мiтiн Д.Ю., Назаренко М.О. Фрактальна апроксимацiя в просторах C i Lp та її застосування в
задачах кодування зображень // Проблеми теорiї наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць
Iн-ту математики НАН України. – 2005. – 2, № 2. – С. 161–175.
2. Мiтiн Д.Ю., Назаренко М.О. Iнварiантнiсть пiдпросторiв неперервних та гладких функцiй вiдносно
фрактальних перетворень // Вiсн. Київ. ун-ту. Мат. Мех. – 2007. – Вип. 18. – С. 91–96.
3. Мiтiн Д.Ю., Назаренко М.О. Фрактальна апроксимацiя у просторах Lp, 0 < p < 1 // Там само. –
2008. – Вип. 19. – С. 4–17.
4. Мiтiн Д.Ю., Назаренко М.О. Поточкова фрактальна апроксимацiя функцiй // Проблеми теорiї
наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2007. – 4,
№ 1. – С. 200–211.
5. Сендов Бл. Хаусдорфовые приближения. – София: Болг. АН, 1979. – 372 с.
6. Sendov Bl. Mathematical modeling of real-world images // Constructive Approximation. – 1996. – 12,
No 1. – P. 31–65.
7. Barnsley M. F. Fractals everywhere. – Boston: Academic Press, 1993. – 533 p.
8. Barnsley M. F., Hurd L. P. Fractal image compression. – Wellesley: A.K. Peters, 1993. – 244 p.
Надiйшло до редакцiї 30.09.2008Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
D.Yu. Mitin
Hausdorff fractal approximation of functions
Sufficient conditions for the convergence of fractal transform operator iterations in the space of
functions with the Hausdorff metric are stated. An estimate for the error of the Hausdorff fractal
approximation is given.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8638 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T23:41:50Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мітін, Д.Ю. 2010-06-14T08:37:49Z 2010-06-14T08:37:49Z 2009 Хаусдорфова фрактальна апроксимація функцій / Д.Ю. Мiтiн // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 26-28. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8638 517.518.845 Встановлено достатнi умови збiжностi iтерацiй оператора фрактального перетворення в просторi функцiй з хаусдорфовою метрикою. Наведено оцiнку похибки хаусдорфового фрактального наближення. Sufficient conditions for the convergence of fractal transform operator iterations in the space of functions with the Hausdorff metric are stated. An estimate for the error of the Hausdorff fractal approximation is given. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Хаусдорфова фрактальна апроксимація функцій Hausdorff fractal approximation of functions Article published earlier |
| spellingShingle | Хаусдорфова фрактальна апроксимація функцій Мітін, Д.Ю. Математика |
| title | Хаусдорфова фрактальна апроксимація функцій |
| title_alt | Hausdorff fractal approximation of functions |
| title_full | Хаусдорфова фрактальна апроксимація функцій |
| title_fullStr | Хаусдорфова фрактальна апроксимація функцій |
| title_full_unstemmed | Хаусдорфова фрактальна апроксимація функцій |
| title_short | Хаусдорфова фрактальна апроксимація функцій |
| title_sort | хаусдорфова фрактальна апроксимація функцій |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8638 |
| work_keys_str_mv | AT mítíndû hausdorfovafraktalʹnaaproksimacíâfunkcíi AT mítíndû hausdorfffractalapproximationoffunctions |