Інтегральні макромоделі динамічних об’єктів

У статті розглядаються питання науково-технічної задачі розвитку методу моделювання динамічних об’єктів на основі інтегральних макромоделей.

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
Hauptverfasser:	Ситник, О.О., Протасов, С.Ю., Федорчук, В.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Schriftenreihe:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86389
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Інтегральні макромоделі динамічних об’єктів / О.О. Ситник, С.Ю. Протасов, В.А. Федорчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2013. — Вип. 8. — С. 98-109. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86389
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-863892025-02-23T17:46:39Z Інтегральні макромоделі динамічних об’єктів Ситник, О.О. Протасов, С.Ю. Федорчук, В.А. У статті розглядаються питання науково-технічної задачі розвитку методу моделювання динамічних об’єктів на основі інтегральних макромоделей. The article the questions an scientific and technical problem of the modeling method dynamic objects on the basis of integral macromodels. 2013 Article Інтегральні макромоделі динамічних об’єктів / О.О. Ситник, С.Ю. Протасов, В.А. Федорчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2013. — Вип. 8. — С. 98-109. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 2308-5916 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86389 519.6 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	У статті розглядаються питання науково-технічної задачі розвитку методу моделювання динамічних об’єктів на основі інтегральних макромоделей.
format	Article
author	Ситник, О.О. Протасов, С.Ю. Федорчук, В.А.
spellingShingle	Ситник, О.О. Протасов, С.Ю. Федорчук, В.А. Інтегральні макромоделі динамічних об’єктів Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
author_facet	Ситник, О.О. Протасов, С.Ю. Федорчук, В.А.
author_sort	Ситник, О.О.
title	Інтегральні макромоделі динамічних об’єктів
title_short	Інтегральні макромоделі динамічних об’єктів
title_full	Інтегральні макромоделі динамічних об’єктів
title_fullStr	Інтегральні макромоделі динамічних об’єктів
title_full_unstemmed	Інтегральні макромоделі динамічних об’єктів
title_sort	інтегральні макромоделі динамічних об’єктів
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2013
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86389
citation_txt	Інтегральні макромоделі динамічних об’єктів / О.О. Ситник, С.Ю. Протасов, В.А. Федорчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2013. — Вип. 8. — С. 98-109. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
work_keys_str_mv	AT sitnikoo íntegralʹnímakromodelídinamíčnihobêktív AT protasovsû íntegralʹnímakromodelídinamíčnihobêktív AT fedorčukva íntegralʹnímakromodelídinamíčnihobêktív
first_indexed	2025-11-24T05:55:37Z
last_indexed	2025-11-24T05:55:37Z
_version_	1849650040134434816
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 98 The worked out algorithm of forming of voltage allows to get the tran- sient of starting on condition of support of permanent value of current of anchor of motor. Key words: motor of direct current, start, elektric voltage of excitation winding, controlled voltage start, voltage control, field current regulation. Отримано: 27.03.2013 УДК 519.6 О. О. Ситник, канд. техн. наук, С. Ю. Протасов, канд. техн. наук, В. А. Федорчук*, д-р техн. наук Черкаський державний технологічний університет, м. Черкаси, ** Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський ІНТЕГРАЛЬНІ МАКРОМОДЕЛІ ДИНАМІЧНИХ ОБ’ЄКТІВ У статті розглядаються питання науково-технічної задачі розвитку методу моделювання динамічних об’єктів на основі інтегральних макромоделей. Ключові слова: інтегральна макромодель, диференціаль- не рівняння, динамічні характеристики. Вступ та постановка задачі. Дослідження багатьох явищ і об’єктів шляхом побудови і вивчення їх математичних моделей набу- ло все більшого розповсюдження, охоплюючи різноманітні напрямки в технічних науках таких, як електротехніка, зв'язок, будівельна ме- ханіка, акустика, гідравліка, пневматика, пневмоніка, автоматика, теплотехніка тощо. Характерною особливістю сучасних динамічних об'єктів у техніці є висока складність, внаслідок чого їх математичні моделі, як правило, мають високу розмірність, що в багатьох випад- ках розв’язування практичних задач призводить до труднощів отри- мання якісних і кількісних результатів [1]. Ці труднощі найбільш притаманні задачам моделювання об’єктів з розподіленими парамет- рами, для математичного опису яких застосовуються диференціальні рівняння з частинними похідними, які відносяться до найбільш скла- дних видів математичних моделей [2]. Задача побудови та числової реалізації ефективних динамічних моделей об’єктів з розподіленими параметрами додатково ускладнюється в тих розповсюджених випад- ках, коли модель «вбудовується» в діючі системи керування, контро- лю або діагностування і повинна враховувати необхідність функціо- нування в реальному часі. © О. О. Ситник, С. Ю. Протасов, В. А. Федорчук, 2013 Серія: Технічні науки. Випуск 8 99 Ефективним підходом для подолання вказаних ускладнень є вико- ристання макромоделей об’єктів, що досліджуються. При цьому перед- бачається, що макромоделі задовольняють вимогам адекватності і, разом з тим, мають більш зручну форму чи структуру, або спрощують процес числової (комп’ютерної) реалізації з досягненням необхідної точності результатів [3]. Цей підхід є особливо важливим стосовно до розробки і функціонування автоматизованих та автоматичних систем управління технологічними процесами, об’єктами машинобудування, електронними системами, рухомими об’єктами тощо. Сучасні засоби керування, діаг- ностики, спостереження та інші створюються на основі використання відповідних математичних моделей. Програмне забезпечення в сучасних розробках систем комп’ютерного керування несе в собі основну складо- ву вартості — близько 80%, залишаючи лише 20% сумарного кошторису на інші витрати, що також підкреслює важливість отримання більш ефе- ктивних математичних моделей [4]. Ґрунтовною основою для побудови макромоделей об’єктів з ро- зподіленими параметрами є аналітичні методи інтегральних предста- влень розв’язків низки класів диференціальних рівнянь з частинними похідними, які можуть бути доповнені використанням досягнень в галузі числових методів із застосуванням сучасних комп’ютерних засобів [5]. Разом з тим практика свідчить про те, що застосуванню комп’ютера передують трудомісткі етапи дослідження методів мате- матичного опису конкретної задачі, пошуку вдалої математичної мо- делі, яка достатньо якісно відображає об’єкт моделювання і є доступ- ною для дослідження та отримання кількісних результатів [1—5]. Інтегральні макромоделі є самостійним і своєрідним видом мате- матичного опису задач динаміки [3]. На відміну від параметричних моделей, для формування яких в якості вихідних даних використову- ються задані параметри (постійні або змінні) структурованого об’єкта, динамічні макромоделі формуються на основі заданих динамічних ха- рактеристик об’єкта, його ланок або елементів. Динамічні характерис- тики являють собою функціональні залежності (функції), які можуть бути отримані у вигляді експериментальних даних або в аналітичному вигляді, якщо існує розвинена теорія досліджуваного об’єкта. Клас динамічних макромоделей складають різноманітні типи ін- тегральних рівнянь та їх систем, властивості яких визначаються стру- ктурою рівнянь ядер, що входять у рівняння інтегральних операторів. Ядра інтегральних операторів представляють собою функції двох (і більше) змінних, сформовані за заданими динамічними характерис- тиками об’єкта [6]. Один і той же реальний динамічний об’єкт може бути описаний різними як еквівалентними так і нееквівалентними моделями. З однієї сторони модель повинна бути адекватною, тобто із заданою точністю Математичне та комп’ютерне моделювання 100 відповідати даним спостерігача, апріорній інформації про систему, фізичним законам і поставленій прикладній меті [3]. З іншого боку, складність моделі мусить вирішувати питання про можливість її по- дальшого використання, лише відтворюючи ті властивості об’єкт чи системи, які мають сенс, виходячи з мети та задач конкретного дослі- дження, а не явища взагалі. Останнє положення може бути викорис- тане для суттєвого спрощення математичних моделей, тобто для по- будови математичних та комп’ютерних макромоделей. Інтегральні макромоделі. Під макромоделлю в даній роботі розуміється математичний опис процесів у динамічному об’єкті (сис- темі), що представлений у загальному випадку в довільній математи- чній формі, має необхідний рівень адекватності, мінімальну склад- ність серед можливих альтернативних варіантів та забезпечує завдяки цьому ефективну числову (комп’ютерну) реалізацію [3]. Виходячи з такого визначення, можна вважати, що макромодель динаміки деяко- го об’єкта може відображати його поведінку як реакцію певної прос- торової частини об’єкта чи певного місця в його структурі, не торка- ючись в цьому відображенні (повністю або частково) поведінки ін- шого зовнішнього чи внутрішнього «змісту» об’єкта. Крім того, мак- ромодель може відображати (безпосередньо аналізувати) лише час- тину властивостей чи характеристик об’єкта, тобто ту їх частину, яка відповідає реальній, обмеженій за своїм обсягом, меті дослідження. Клас об’єктів, що розглядаються, володіють властивістю непе- рервної функціональної залежності вихідних сигналів від вхідних [3] (рис. 1), яку математично в загальному випадку можна представити у вигляді операторної моделі явного або неявного виду відповідно [ ] [ ] ( , ) ( , ); ( , ) , ( , ); ( , ); ( , ) 0, Y x t A Q x t F x t A Y x t F x t Q x t = = (1) де А — довільний (в загальному випадку невідомий) оператор, F — вектор вхідних і Y — вихідних координат (сигналів) динамічного об’єкта, Q — вектор параметрів, x i t — просторова та часова незале- жні змінні. Рис. 1. Об’єкт з одним входом і виходом При побудові макромоделей динамічних об’єктів за експеримен- тальними даними враховується, що значення вхідного f(t) і вихідного y(t) сигналів вимірюються в моменти часу 0 ≤ t1 ≤ t2…≤ tN ≤ T з деяки- ми похибками. Серія: Технічні науки. Випуск 8 101 На відміну від традиційних методів класифікації об’єктів моделю- вання (за фізичною природою, призначенням, конструктивним виконан- ням тощо) динамічні об’єкти класифікуються за показниками, безпосе- редньо зв’язаними із задачами їх математичного моделювання [7]. Як стаціонарні, так і нестаціонарні об’єкти можна розподілити на дві підгрупи: об’єкти із зосередженими і розподіленими парамет- рами. Для стаціонарних об’єктів із зосередженими параметрами ( , )Q x t const= в (1), тобто не залежить від х та t. Для стаціонарних об’єктів із розподіленими параметрами ( , ) ( )Q x t Q x= , тобто зале- жить від просторової координати х. Відмітимо основні задачі побудови макромоделей динамічних об’єктів вигляду (1): 1) задача знаходження структури оператора А (для динамічних об’єктів з невизначеною і квазівизначеною структурою) такого, щоб в (1) ви- конувалися умови існування неявної функції Y(x, t) = Y(x, t, F, 0) тоді модель визначається рівністю ( ) [ ], ( , ), ( , )Y x t F x t Q x t= Φ ; (2) 2) задача знаходження з рівняння (1) вектора ( , )Q x t при відомій структурі оператора А, що задовольняє достатнім умовам існуван- ня в (1) неявної функції ( , )Q x t у вигляді [ ]( , ) ( , ); ( , ) ,Q x t Y x t F x tψ= де [ , ]ψ • • — довільний оператор з відповідними областями визна- чення і значень. Традиційний підхід до побудови динамічної макромоделі базу- ється, як правило, на застосуванні звичайних диференціальних рів- нянь вигляду [ ]( ) 0 ( ) ( ), 0, , r i i i a y t f t t T = = ∈∑ (3) де ia — коефіцієнти, що підлягають визначенню. Модель (3) є пара- метричною і її застосування може бути ускладненим, якщо вихідни- ми даними для побудови моделі є динамічні характеристики, тобто функції, а не параметри. Дослідження останніх років показують, що в багатьох випадках доцільно разом із моделями (3) розглядати більш загальні інтегральні динамічні моделі вигляду ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ), , , G t A t y t K t y d F t t Gτ τ τ τ+ = ∈∫ (4) де ( )A t і ( , )K t τ — задані або експериментально отримані функції, ( )y t – вихідний сигнал, ( )F t — функція зовнішнього впливу вхідно- Математичне та комп’ютерне моделювання 102 го сигналу ,f G — деяка скінчена або нескінченна множина. Моделі (3) і (4) в загальному випадку можуть доповнювати одна одну і, при необхідності здійснювати взаємоконтроль в сенсі точності моделю- вання. Разом з тим, для достатньо широких класів динамічних об’єктів застосування інтегральних динамічних макромоделей дозво- ляє отримати основу для побудови високостійких числових алгорит- мів розрахунку із забезпеченням високого рівня адекватності. Розглянемо лінійні моделі об'єктів з одним входом і виходом. Рів- няння динаміки (в явному вигляді) в разі довільної лінійної моделі об'єкта має вигляд: ( ) ( ) ( ), , t y t k t x dτ τ τ −∞ = ∫ (5) де ( ),k t τ — імпульсна перехідна функція (ІПФ), яка і являє собою динамічну характеристику [8]. З (5) випливає, що імпульсна перехід- на функція є реакцією лінійної моделі об'єкта на збурення у вигляді δ-функції Дірака в момент t τ= (при нульових початкових умовах). З (5) випливає також, що на значення у(t) в момент часу t впливають значення х(t) в усі попередні моменти часу. ІПФ відіграє роль вагової функції і характеризує степінь впливу вхідного сигналу х(t), поданого в момент τ, на формування у(t) в даний момент t. Об'єкт, для якого ( ), 0k t τ ≠ при деяких скільки завгодно вели- ких t , є об'єктом з нескінченною пам'яттю. Для таких об'єктів спра- ведливе співвідношення (5). Прикладом об'єктів, для яких вплив по- передніх вхідних сигналів зменшується, але не зникає, є: ( ) ( ), tk t e δ ττ − −= , ( ) ( ), costk t e δ ττ ωτ− −= (δ≥0) тощо. Об'єктом з кінцевою пам'яттю є такий об'єкт, ІПФ якого перет- ворюється в нуль через кінцевий проміжок часу Т після подачі сигна- лу у вигляді δ-функції в момент τ, тобто k(t, τ) = 0 при t Tτ− > . У цьому випадку ( ) ( ) ( ), . t t T y t k t x dτ τ τ − = ∫ (6) У загальному випадку тип реакції на сигнал у вигляді δ-функції залежить від моменту його подачі τ та від моменту його спостере- ження t, тобто k(t,τ) є функцією двох аргументів. Для об'єктів з пос- тійними параметрами (стаціонарних) тип реакції залежить тільки від часу з моменту подачі сигналу збурення, а саме від різниці t τ− . То- му для стаціонарних об'єктів ( ) ( ),k t k tτ τ= − і співвідношення (5) набуває вигляду Серія: Технічні науки. Випуск 8 103 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 t y t x k t d k u x t u duτ τ τ ∞ −∞ = − = −∫ ∫ , .u t τ= − (7) Для лінійних моделей об'єктів з m входами і n виходами рівнян- ня динаміки має вигляд ( ) ( ) ( ) 1 , tm i js s s y t k t x dτ τ τ = −∞ = ∑ ∫ , 1, ,j n= (8) де ( ),jsk t τ — ІПФ по js-му каналу, яка визначається як реакція на j- му виході на збурення ( ) ( )sx u uδ τ= − при 0px ≡ (для всіх р ≠ s). Якщо внутрішня структура об'єкта з часом не змінюється, то (8) на- буде вигляду ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 , , 1, . tm m j js s s js s s y t k t x d x t u k u du u t j n τ τ τ τ ∞ = =−∞ = − = − = − = ∑ ∑∫ ∫ (9) Таким чином, ІПФ багатовимірного об'єкта задається матрицею К, елементи якої jsk є ІПФ по js-му каналу. У випадку, коли модель об'єкта складається із l послідовно з'єд- наних лінійних моделей об'єктів з ІПФ ( ),ik t τ , 1,i l= , ІПФ ( ),k t τ об'єкта в цілому, згідно (7), буде мати вигляд ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2, 1 1 1 , , , , . l ut l l t u l l l l k t du k t u du k u u du k u u k u τ τ − − −∞ −∞ − − − − −∞ = ∫ ∫ ∫ … … (10) Для l паралельно з'єднаних лінійних моделей об'єктів з ІПФ ( ),ik t τ , 1,i l= , ІПФ ( ),k t τ має вигляд ( ) ( ) 1 , . t i i k t k tτ τ = = −∑ Зауважимо, що ІПФ, яка обумовлена співвідношенням (10), за- лежить від порядку з'єднання лінійних моделей об'єктів. Тому для повного опису лінійної моделі об'єкта досить знати йо- го реакцію на будь-який один із типів елементарних сигналів збурен- ня. У залежності від вигляду обраного сигналу збурення можна отримувати різні характеристики моделі. Якщо подати на вхід моделі об'єкта одиничну ступінчасту функцію Математичне та комп’ютерне моделювання 104 ( ) 0, , , 1, . t x t t τ τ τ < =  ≥ (11) Тоді на виході моделі об'єкта, відповідно до (5), отримаємо ( ) ( ) ( ) 0, , , , , . t t y t h t k t u du t τ τ τ τ <  = =  ≥  ∫ (12) Функція h(t, τ) описує перехідний процес при нульових початкових умовах і сигналі збурення вигляду (11), є перехідною характеристикою лінійного динамічного об’єкта. Про якість моделі об’єкта судять з вигля- ду перехідного процесу, який описує перехідна характеристика. Оскільки, кожна характеристика однозначно описує модель об’єкта, то такі характеристики повинні бути між собою зв’язані і виражатися одна через іншу. З (12) випливає, що ( ) ( ), , . h t k t τ τ τ ∂ = ∂ Перехідна характеристика стаціонарної лінійної моделі об'єкта ( ),h t τ буде залежати від t τ ζ− = : ( ) ( ) 0 0, 0, , 0, h k u du ζ ζ ζ ζ <  =  ≥  ∫ та зв'язок ( )h ζ з ІПФ буде мати вигляд ( ) ( ) ( ) 0 , .hh k u du k ζ ζ ζ ζ ∂ = = ∂∫ Часто зручно в якості елементарних збурень брати гармонійні коливання всіх можливих частот. При досить загальних обмеженнях будь-яку функцію ƒ(х) можна представити інтегралом Фур’є. Тому, знаючи реакцію лінійної моделі об’єкта на гармонійні коливання всіх можливих частот і користуючись принципом суперпозиції, можна визначити реакцію на довільне збурення. У випадку лінійної стаціонарної моделі об'єкта візьмемо перет- ворення Фур'є від обох частин співвідношення (7). У силу теореми про згортку двох функцій отримаємо Y(iω) = Ф(іω)*Х(іω) де Х(іω), Y(iω), Ф(іω) — відповідно перетворення Фур'є від х(t), у(t) і k(t – τ). Частотна характеристика і ІПФ зв'язані між собою за допомогою прямого і зворотного перетворень Фур'є ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1, 2 i u i uФ i k u e du k u Ф i e duω ωω ω π ∞ ∞ − −∞ = =∫ ∫ . Серія: Технічні науки. Випуск 8 105 Перетворення Фур'є можна застосовувати лише для абсолютно інтегрованих функцій [8]. Однак, слід відзначити, що умова абсолют- ного інтегрування не виконується для багатьох функцій, що викорис- товуються при аналізі динамічних об'єктів. Наприклад, цій умові не задовольняє одинична функція, синусоїда sin ωt, функція, зростаюча як степінь t, показникова функція вигляду еδt, δ > 0 тощо. У разі нездійс- ненності умови абсолютного інтегрування використаємо перетворення Лапласа для функцій f(t), що задовольняють умову ( ) 0, 0f t t= < (13) не тільки, коли f(t) абсолютно інтегровна, але і тоді, коли можна виб- рати таке позитивне число с, що ( ) 0 ctf t e dt ∞ − < ∞∫ . (14) При виконанні (13), (14) перетворення Лапласа задається виразом [9] ( ) 0 ( ) [ ( )] , ReptF p L f t f t e dt p c ∞ −= = ≥∫ . Нехай для х(t), у(t) існують зображення в просторі Лапласа. Тоді, застосувавши перетворення Лапласа до двох частин співвідношення (7), отримаємо ( ) ( ) ( )Y p X p W p= ⋅ , де X(p), Y(p), W(p) — зображення функцій х(t), у(t), k(u) відповідно. Відношення зображення вихідної величини Y(p) до зображення вхід- ної величини X(p) (при нульових початкових умовах), як відомо, є передатною функцією лінійного об'єкта Передатна функція і ІПФ зв'язані за допомогою прямого та зво- ротного перетворення Лапласа ( ) 0 ( ) ,puW p k u e du ∞ −= ∫ ( ) ( )1 , 0. 2 c i pu c i k u W p e dp u iπ + ∞ − ∞ = ≥∫ Частотна характеристика є окремим випадком передатної функ- ції W(р) при р =iω: ( ) ( )lim , 0, 0.W i W c i c cω ω= + → > Передатна функція для лінійних моделей об'єктів зі змінними параметрами залежить від двох змінних: частоти ω і моменту подачі збурення і зв'язана з ІПФ співвідношенням Математичне та комп’ютерне моделювання 106 ( ) ( ) ( ), , . t p tW p t k t e dtττ − − −∞ = ∫ Подамо на вхід лінійного стаціонарного об'єкта сигнал х(t) = а sin ωt. Тоді на підставі співвідношення (7) ( ) ( ) ( )sin ,y t a W i t aω ω= + (15) де ( ) ( ) , B a arctg A ω ω = А(ω) і В(ω) — відповідно дійсна і уявна частини W(іω). З (15) випливає, що вимушені коливання, викликані в лінійно- му об'єкті гармонійним впливом, є також гармонійною функцією ча- су, що має ту ж частоту ω, що і вплив, але відрізняється від останньо- го за амплітудою та фазою, причому W(іω) вказує у скільки разів змі- нилася вихідна амплітуда щодо а (зсув по фазі для вихідного сигна- лу). Величини W(іω) та а залежать від частоти ω. Існує певна частота ω = ωo така, що об'єкт не пропускає сигнали з частотою ω ≥ωo. Часто- та ωo є частотою зрізу. Аналогічно можна показати, що знаючи W(р) можна визначити, яким чином перетвориться сигнал типу еpt, який поданий на вхід об'є- кта. Застосовуючи до Y(іω) та Y(р) відповідно зворотні перетворення Фур’є або Лапласа, отримаємо ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 i t i ty t Y i e d X i W i e dω ωω ω ω ω ω π π ∞ ∞ −∞ −∞ = =∫ ∫ , (16) ( ) ( ) ( )1 2 c i itp c i y t X p W p e dp π + ∞ − ∞ = ∫ . (17) Із співвідношень (16), (17) випливає, що якщо відома W(іω) або W(р), то є можливість обчислити не лише параметри вимушених ко- ливань на виході об'єкта, але і перехідний процес, який виникає в ньому при будь-якому впливі х(t) на його вході. Тому передатні фун- кції можуть розглядатися як повноцінні моделі лінійного об'єкта. Структурний підхід дає можливість представляти реальні динамічні моделі об'єктів як кінцеву комбінацію простих моделей і, крім того, визначати динамічні характеристики реальних об'єктів [8]. Традиційними моделями об’єктів із розподіленими параметрами (ОРП) є диференціальні рівняння з частинними похідними, розв’язок яких є складною обчислювальною задачею, особливо в тих випадках, коли необхідно визначати реакцію об’єкта при зміні впливу зовніш- нього середовища [3; 8]. Тому ефективною в даному випадку є мак- ромодель у вигляді інтегрального оператора, який визначає однозна- Серія: Технічні науки. Випуск 8 107 чну залежність між вхідним сигналом 1( , )x tω , 1 1x D∈ , 0t t≥ і вихід- ним сигналом 2( , )Q x t , 2 2x D∈ , 0t t≥ : 0 1 2 2 2 0 0( , ) ( , , , ) ( , ) , , . t t D Q x t G x t d d x D t tξ τ ω ξ τ ξ τ= ∈ ≥∫ ∫ (18) Дана інтегральна модель визначається ядром ( , , , )G x t ξ τ , яке є фун- кцією чотирьох аргументів: двох просторових 2x D∈ , 1Dξ ∈ і двох часових 0t t≥ , 0tτ ≥ . Ядро ( , , , )G x t ξ τ є імпульсною перехідною функцією ОРП і показує реакцію ланки в точці 2 2x D∈ в момент 0t t≥ за умови одиничного імпульсного збурення, на її вході прикла- деного в просторовій точці 1x ξ= в момент часу t τ= . Слід зазначити, що вихідний сигнал 2( , )Q x t , 2 2x D∈ , t ∈ Ω , лі- нійної розподіленої ланки практично є розв’язком деякої лінійної задачі: задачі Коші, крайової задачі, лінійного інтегрального рівняння тощо. Символічно зв'язок між вхідним сигналом 1( , )x tω , 1 1x D∈ , t ∈ Ω , лі- нійного ОРП і вихідним сигналом 2( , )Q x t задається рівнянням ( )2 2 1, , ( , ) ( , ),l x t Q x t x tω= 1 1x D∈ , 2 2x D∈ , t ∈ Ω , (19) де l — деякий лінійний оператор. Тут вхідний сигнал 1( , )x tω опи- сує всі зовнішні вхідні сигнали (параметри), включаючи початкові і граничні функції. Задання функції 1( , )x tω однозначно визначає розв’язок рівняння (19), тобто існує лінійний оператор, 1l− такий, що ( )1 2 2 1( , ) , , ( , ) .Q x t l x t x tω−= Якщо параметри ОРП не залежать від часу, то він є стаціонар- ним і характеризується тим, що його імпульсна перехідна функція залежить не від чотирьох, а вже тільки від трьох незалежних змінних (аргументів), і має вигляд ( , , , ) ( , , ),G x t G x tξ τ ξ τ= − тобто функція G залежить вже не від часових аргументів t і τ , а тільки від їх різниці t τ− . Поведінка такої ланки інваріантна щодо зсувів за часом. Тому за початок відліку часу без обмеження спільно- сті можна прийняти нульовий момент часу, тобто вважати 0t ≥ . Та- ким чином, інтегральний оператор, який описує ОРП в такому випад- ку матиме вигляд 0 1 2 2( , ) ( , , ) ( , ) . t t D Q x t G x t d dξ τ ω ξ τ ξ τ= −∫ ∫ (20) Математичне та комп’ютерне моделювання 108 Принципово для отримання моделі у вигляді інтегрального опе- ратора можуть застосовуватись два методи: операційний, тобто ана- літичний, на основі перетворення Лапласа (або Карсона-Лапласа), або експериментальний — на основі обробки результатів натурного екс- перименту [8]. Застосування операційного методу припускає отримання зобра- ження функції G інтегрального оператора (20) та наступне визначен- ня відповідного оригінала будь-яким із доступних способів. Такий підхід означає використання відомого апарату передатних функцій як проміжного кроку для отримання моделі вигляду (20) у дійсній (ча- совій) області. Зворотне перетворення Лапласа [9] 1( ) ( ) , 2 c j pt c j k t W p e dp jπ + ∞ − ∞ = ∫ для передатної функції ( )W p дозволяє отримати оригінал-функцію ( )k t , яка не залежить від вхідних дій і називається імпульсною пере- хідною характеристикою або імпульсною перехідною функцією об’єкта з передатною функцією ( )W p . Якщо зображення вхідного сигналу ( )X p , а вихідного — ( )Y p , то ( ) ( ) ( )Y p W p X p= і при вхід- ному сигналі ( ) 1X p = маємо ( ) ( ).Y p W p= Звідси видно, що імпульс- на перехідна характеристика системи ( )k t є реакцією об’єкта на вхідний сигнал, перетворення за Лапласом якого дорівнює одиниці, тобто дельта- функції ( )tδ , яка дорівнює нулю при всіх значеннях, окрім t = 0, де вона перетворюється в нескінченність. Імпульсна перехідна характеристика ( )k t будь-якого стаціонар- ного динамічного об’єкта задовольняє двом умовам: 0 ( )k t dt ∞ < ∞∫ ; ( ) 0k t = при 0.t < Перша з них є умовою стійкості системи, а друга характеризує неможливість появи реакції системи, що фізично реалізовується, до початку дії вхідного сигналу. Якщо застосувати до ( )W p зворотне перетворення Карсона- Лапласа, отримаємо функцію 1 ( )( ) , 2 c j pt c j W pf t e dp j pπ + ∞ − ∞ = ∫ яка також не залежить від вхідної дії і називається перехідною характеристикою системи з передатною функцією ( )W p . Серія: Технічні науки. Випуск 8 109 При ( ) 1X p = маємо ( ) ( ),Y p W p= тобто перехідна характерис- тика є реакцією системи на вхідну дію, перетворення якої по Кар- сону-Лапласу дорівнює одиниці. Такою дією є одинична ступінчаста функція. Отже, перехідна характеристика може бути отримана екс- периментально, як реакція системи на одиничну ступінчасту дію. Висновки. Таким чином, складність задач математичного моде- лювання динамічних об’єктів призводить до необхідності застосу- вання розвитку методу макромоделювання. Разом з цим запропоно- вано застосування інтегральних динамічних макромоделей, що до- зволяють отримати основу для побудови високостійких числових алгоритмів розрахунку із забезпеченням високого рівня адекватності. Список використаних джерел: 1. Васильєв В. В. Моделирование динамических систем: Аспекты монито- ринга и обработки сигналов / В. В. Васильев, Г. И. Грездов, Л. А. Симак и др. — К. : НАН Украины, 2002. — 344 с. 2. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными па- раметрами / А. Г. Бутковский. — М. : Наука, 1975. — 568 с. 3. Протасов С. Ю. Методи та засоби формування і комп’ютерної реалізації інтегральних макромоделей стаціонарних динамічних об’єктів з розподі- леними параметрами : автореф. дис. ... канд. техн. наук : 01.05.02 / С. Ю. Протасов. — Черкаси, 2012. — 20 с. 4. Матвійчук, Я.М. Математичне макромоделювання динамічних систем: теорія і практика / Я.М. Матвійчук. — Львів : Видавничий центр ЛНУ ім. І. Франка, 2000. — 215 с. 5. Иванов В. В. Методы вычислений на ЭВМ : справочное пособие / В. В. Иванов. — К. : Наук. думка, 1986. — 584 с. 6. Верлань А. Ф. Интегральное уравнение: Методы, алгоритмы, программы / А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. — К. : Наукова думка, 1986. — 542 с. 7. Сытник А. А. О реализации интегральных моделей в задаче динамиче- ской коррекции измерительного преобразователя / А. А. Сытник, К. Н. Ключка, С. Ю. Протасов // Интегральные уравнения — 2009 : сб. те- зисов конф., 26–29 января 2009. — К. : ИПМЭ им. Г. Е. Пухова НАН Ук- раины, 2009. — С. 131-133. 8. Протасов С. Ю. Динамические характеристики линейных объектов с пе- ременными параметрами / С. Ю. Протасов // Зб. наук. пр. ІПМЕ ім. Г. Є. Пухова НАН України «Моделювання та інформаційні техноло- гії». — К., 2010. — №56. — С. 64–71. 9. Мартыненко В.С. Операционное исчесление / В. С. Мартыненко. — К. : Выща школа, 1990. — 359 с. The article the questions an scientific and technical problem of the modeling method dynamic objects on the basis of integral macromodels. Key words: integral macromodel, differential equation, dynamical characteristics. Отримано: 18.04.2013 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <FEFF03a703c103b703c303b903bc03bf03c003bf03b903ae03c303c403b5002003b103c503c403ad03c2002003c403b903c2002003c103c503b803bc03af03c303b503b903c2002003b303b903b1002003bd03b1002003b403b703bc03b903bf03c503c103b303ae03c303b503c403b5002003ad03b303b303c103b103c603b1002000410064006f006200650020005000440046002003ba03b103c403ac03bb03bb03b703bb03b1002003b303b903b1002003b103be03b903cc03c003b903c303c403b7002003c003c103bf03b203bf03bb03ae002003ba03b103b9002003b503ba03c403cd03c003c903c303b7002003b503c003b903c703b503b903c103b703bc03b103c403b903ba03ce03bd002003b503b303b303c103ac03c603c903bd002e0020002003a403b10020005000440046002003ad03b303b303c103b103c603b1002003c003bf03c5002003ad03c703b503c403b5002003b403b703bc03b903bf03c503c103b303ae03c303b503b9002003bc03c003bf03c103bf03cd03bd002003bd03b1002003b103bd03bf03b903c703c403bf03cd03bd002003bc03b5002003c403bf0020004100630072006f006200610074002c002003c403bf002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002003ba03b103b9002003bc03b503c403b103b303b503bd03ad03c303c403b503c103b503c2002003b503ba03b403cc03c303b503b903c2002e> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Інтегральні макромоделі динамічних об’єктів

Institution

Ähnliche Einträge