Слабка збіжність стохастичних еволюційних систем у схемі усереднення
Доведено слабку збiжнiсть стохастичної еволюцiйної системи до усередненої еволюцiйної системи. Використано метод, запропонований Р. Лiпцером для семiмартингалiв, але замiсть ергодичної теореми при доведеннi збiжностi використовується розв’язок задачi сингулярного збурення. Weak convergence of the st...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8639 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Слабка збіжність стохастичних еволюційних систем у схемі усереднення / I.В. Самойленко // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 29-33. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860004954385678336 |
|---|---|
| author | Самойленко, І.В. |
| author_facet | Самойленко, І.В. |
| citation_txt | Слабка збіжність стохастичних еволюційних систем у схемі усереднення / I.В. Самойленко // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 29-33. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Доведено слабку збiжнiсть стохастичної еволюцiйної системи до усередненої еволюцiйної системи. Використано метод, запропонований Р. Лiпцером для семiмартингалiв, але замiсть ергодичної теореми при доведеннi збiжностi використовується розв’язок задачi сингулярного збурення.
Weak convergence of the stochastic evolutionary system to an average evolutionary system is proved. The method proposed by R. Liptser for semimartingales is used, but we apply a solution of the singular perturbation problem instead of the ergodic theorem.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:38:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.24
© 2009
I. В. Самойленко
Слабка збiжнiсть стохастичних еволюцiйних систем
у схемi усереднення
(Представлено академiком НАН України В. С. Королюком)
Доведено слабку збiжнiсть стохастичної еволюцiйної системи до усередненої еволюцiй-
ної системи. Використано метод, запропонований Р. Лiпцером для семiмартингалiв,
але замiсть ергодичної теореми при доведеннi збiжностi використовується розв’язок
задачi сингулярного збурення.
При розв’язаннi задач про слабку збiжнiсть рiзних класiв випадкових процесiв зазвичай
використовуються рiзнi методи доведення: ергодичнi теореми, вiдносна компактнiсть, мар-
тингали i т. iн., залежно вiд дослiджуваних процесiв (див., напр., [1–7]).
Ми пропонуємо дослiджувати стохастичну еволюцiйну систему за допомогою комбiнацiї
двох методiв: методу, запропонованого Р. Лiпцером в [4] для семiмартингалiв у поєднаннi
з розв’язанням задачi про сингулярне збурення, замiсть використання ергодичної теореми.
Таким чином, ми використовуємо таку теорему.
Теорема 1 [1, теорема 6.3]. Нехай для сiмейства марковських процесiв ξε(t), t > 0,
ε > 0, мають мiсце такi умови:
C1: iснує сiмейсво тест-функцiй ϕε(u, x) в C2
0
(Rd × E) таких, що
lim
ε→0
ϕε(u, x) = ϕ(u),
рiвномiрно за u, x;
C2: має мiсце збiжнiсть
lim
ε→0
L
εϕε(u, x) = Lϕ(u),
рiвномiрно за u, x. Сiмейство функцiй L
εϕε, ε > 0, рiвномiрно обмежено та Lϕ(u) i L
εϕε
належать C(Rd × E);
C3: квадратичнi характеристики мартингалiв, що описують марковський процес, ви-
значений парою ξε(t), xε(t), t > 0, ε > 0, мають вигляд 〈µε〉t =
t∫
0
ζε(s) ds, де випадковi
функцiї ζε, ε > 0, задовольняють умову
sup
06s6T
E|ζε(s)| 6 c < +∞;
C4: початковi значення збiгаються та
sup
ε>0
E|ζε(0)| 6 C < +∞.
Тодi має мiсце слабка збiжнiсть
ξε(t) ⇒ ξ(t), ε → 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 29
Еволюцiйна система, яку ми будемо дослiджувати, побудована таким чином, що умови
C1, C2 задовольняються як результат розв’язання задачi про сингулярне збурення системи.
Для перевiрки умов C3, C4 ми використовуємо метод, запропонований в [4] для узагальнен-
ня принципу усереднення Боголюбова на розривнi семiмартингали.
Розглянемо стохастичну еволюцiйну систему з перемикаючим ергодичним процесом
Маркова
duε
t
dt
= b
(
uε
t ; æ
(
t
ε
))
, uε
0 = u. (1)
Перемикаючий марковський процес æ(t), t > 0, який визначається на стандартному
(польському) фазовому просторi (E, E), задано генератором
Qϕ(x) =
∫
E
Q(x, dy)[ϕ(y) − ϕ(x)],
де Q(x, dy) = q(x)P (x, dy).
Стацiонарний розподiл π(dx) ергодичного процесу визначає проектор
Πϕ(x) = ϕ̂1(x), ϕ̂ :=
∫
E
π(dx)ϕ(x), 1(x) ≡ 1.
Ми також означаємо потенцiал R0, який для ергодичного марковського процесу з гене-
ратором Q та напiвгрупою Pt, t > 0, є обмеженим оператором
R0 =
∞∫
0
(Pt − Π)dt, QR0 = R0Q = Π − I.
Функцiя швидкостi b(u;x), u ∈ R
d, x ∈ E задає загальний розв’язок детермiнованого
рiвняння
dux(t)
dt
= b(ux(t);x), ux(0) = u, x ∈ E.
Марковський процес uε
t , æε(t) := æ(t/ε), t > 0, можна охарактеризувати за допомогою
генератора [1, твердження 3.3]
L
εϕ(u;x) = [ε−1Q + B(x)]ϕ(u;x), (2)
де оператор B(x)ϕ(u) = b(u;x)ϕ′(u).
З твердження 5.6 [1] випливає, що розв’язок задачi сингулярного збурення для генера-
тора (2) задається спiввiдношенням
L
εϕε(u;x) = B̂ϕ(u) + εθε(x)ϕ(u) (3)
на функцiях ϕε(u;x) = ϕ(u) + εϕ1(u;x), де ϕ(u) ∈ C2
0
(Rd).
Таким чином, з (3) бачимо що розв’язок задачi сингулярного збурення для L
ε, ϕε(u;x)
задовольняє умови C1, C2.
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
Тут оператор
B̂ϕ(u) = b̂(u)ϕ′(u), b̂(u) =
∫
E
π(dx)b(u;x),
а член θε(x) = B(x)R0B̃(x), B̃(x) := B(x) − B̂, задовольняє умову |θεϕ(u)| 6 C < ∞.
Зауваження 1. Означення оператора B̃(x) залежить вiд означення потенцiалу R0. А са-
ме, якщо QR0 = Π − I, як ми i означили, то B̃(x) := B(x) − B̂. Якби ми дали означення
QR0 = I − Π, то мали б B̃(x) := B̂ − B(x).
Розглянемо тепер усереднену еволюцiйну систему
dût
dt
= b̂(ût), û0 = u. (4)
Наша мета — довести слабку збiжнiсть стохастичної еволюцiйної системи (1) до усере-
дненої еволюцiйної системи (4). Для цього ми маємо показати, що умови C1–C4 теореми 1
задовольняються. Як вже було показано, умови C1, C2 виконуються завдяки розв’язанню
задачi сингулярного збурення для еволюцiйної системи. Таким чином, залишається пере-
вiрити умови C3, C4.
Наслiдуючи [4], будемо вимагати вiд функцiї b(u;x) вiдповiдностi таким умовам:
I (лiнiйне зростання) — |b(u;x)| 6 L(1 + |u|),
II (умова Лiпшiца) — |b(u;x) − b(u′;x)| 6 C|u − u′|.
Для доведення основного результату необхiдна така лема.
Лема 1. За умови I iснує стала kT > 0, незалежна вiд ε, але залежна вiд T :
E sup
t6T
|uε
t |
2
6 kT .
Доведення (за методом з [4]). Перепишемо рiвняння (1) у виглядi
uε
t = u +
t∫
0
b
(
uε
s; æ
(
s
ε
))
ds =: u + Aε
t .
Якщо покласти u∗
t = sup
s6t
|ut|, то
((uε
t )
∗)2 6 2[u2 + ((Aε
t )
∗)2]. (5)
З умови I маємо (Aε
t )
∗
6 L
t∫
0
(1 + (uε
s)
∗)ds.
Остання нерiвнiсть разом з нерiвнiстю (5) та нерiвнiстю Кошi–Буняковського
([ t∫
0
ϕ(s)ds
]2
6 t
t∫
0
ϕ2(s)ds
)
означають, що
E((uε
t )
∗)2 6 k1 + k2
t∫
0
E((uε
s)
∗)2ds
для t 6 T та деяких сталих k1 та k2, незалежних вiд ε.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 31
Згiдно з нерiвнiстю Гронуола–Беллмана отримаємо
E((uε
t )
∗)2 6 k1 exp(k2T ).
Лему доведено.
Наслiдок (випливає з нерiвностi Чебишова). За умови I має мiсце умова компактно-
стi:
lim
c→∞
sup
ε6ε0
P
{
sup
t6T
|uε
t | > c
}
= 0.
Лема 2. За умов I, II iснує стала k > 0, незалежна вiд ε:
E|uε
t − uε
s| 6 k|t − s|.
Доведення. Аналогiчно (5) запишемо
|uε
t − uε
s|
2
6 |Aε
t + Aε
s|
2.
За припущеннями I, II зi сталою k3, незалежною вiд ε, маємо
|Aε
t + Aε
s|
2
6 k3[1 + ((uε
T )∗)2]|t − s|.
Твердження леми є наслiдком останньої нерiвностi та леми 1.
Лему доведено.
Основним результатом роботи є така теорема.
Теорема 2. За умов I, II
P− lim
ε→0
sup
t6T
|uε
t − ût| = 0. (6)
Доведення. Як було зазначено, для доведення теореми 2 необхiдно перевiрити вико-
нання умов C3, C4 теореми 1.
Умова C3 теореми 1 означає, що квадратична характеристика мартингала, що вiдповiдає
дослiджуваному марковському процесу, вiдносно компактна. Це твердження, згiдно з [6],
є наслiдком умови компактностi з наслiдку та леми 2.
Оскiльки uε
0
= û0 = u, то умова C4 випливає з леми 1.
Таким чином, усi умови теореми 6.3 [1] задоволенi i (6) дiйсно має мiсце.
Теорему доведено.
Зауваження 2. Порiвнюючи отриманi у роботi результати з вiдповiдними результатами
роботи [4], зауважимо, що Р. Лiпцер використовує таку схему: спочатку застосовує умови
I, II для доведення лем 1 та 2, а умова компактностi є наслiдком цих лем. Ми також дiємо
за цим методом.
Далi, в [4] слабка збiжнiсть доводиться iз застосуванням ергодичної теореми. Ми на-
томiсть використовуємо задачу сингулярного збурення i, таким чином, слабка збiжнiсть
випливає з умов C1, C2.
Подiбний пiдхiд застосовується в [7, 8]. Але в цих роботах умовою слабкої збiжностi
є iснування генератора, еквiвалентного нашому B̂, що вiдповiдає функцiоналу вiд процесу.
Цей генератор має апроксимувати залишок функцiонала.
Iнший метод використовується в [2]. Тут вiдомi умови компактностi застосовуються до
сiмейства процесiв. Як наслiдок, слабка збiжнiсть випливає з компактностi та збiжностi
“гарного” класу тест-функцiй.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
1. Koroliuk V. S., Limnios N. Stochastic systems in merging phase space. – Hackensack: World Scientific,
2005. – 331 p.
2. Ethier S.N., Kurtz T.G. Markov processes: characterization and convergence. – New York: Wiley, 1986. –
529 p.
3. Свириденко М.Н. Мартингальный подход к получению предельных теорем для марковских процес-
сов. – Москва: ВИНИТИ, 1986. – № 37. – 30 с.
4. Liptser R. Sh. The Bogolubov averaging principle for semi-martingales // Proc. of the Steklov Institute of
Mathematics. – 1994. – N 4. – 12 p.
5. Stroock D.W., Varadhan S. R. S. Multidimensional diffusion processes. – Berlin: Springer, 1979. – 339 p.
6. Jacod J., Shiryaev A.N. Limit theorems for stochastic processes. – Berlin: Springer, 1987. – 325 p.
7. Скороход А. В. Асимптотические методы теории стохастических дифференциальных уравнений. –
Киев: Наук. думка, 1987. – 328 с.
8. Skorokhod A.V., Hoppensteadt F.C., Salehi H. Random perturbation methods with applications in science
and engineering. – New York: Springer, 2002. – 488 p.
Надiйшло до редакцiї 09.10.2008Iнститут математики НАН України, Київ
I. V. Samoilenko
On the weak convergence for stochastic evolutionary systems in an
averaging scheme
Weak convergence of the stochastic evolutionary system to an average evolutionary system is proved.
The method proposed by R. Liptser for semimartingales is used, but we apply a solution of the
singular perturbation problem instead of the ergodic theorem.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 33
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8639 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:38:26Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Самойленко, І.В. 2010-06-14T08:39:53Z 2010-06-14T08:39:53Z 2009 Слабка збіжність стохастичних еволюційних систем у схемі усереднення / I.В. Самойленко // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 29-33. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8639 519.24 Доведено слабку збiжнiсть стохастичної еволюцiйної системи до усередненої еволюцiйної системи. Використано метод, запропонований Р. Лiпцером для семiмартингалiв, але замiсть ергодичної теореми при доведеннi збiжностi використовується розв’язок задачi сингулярного збурення. Weak convergence of the stochastic evolutionary system to an average evolutionary system is proved. The method proposed by R. Liptser for semimartingales is used, but we apply a solution of the singular perturbation problem instead of the ergodic theorem. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Слабка збіжність стохастичних еволюційних систем у схемі усереднення On the weak convergence for stochastic evolutionary systems in an averaging scheme Article published earlier |
| spellingShingle | Слабка збіжність стохастичних еволюційних систем у схемі усереднення Самойленко, І.В. Математика |
| title | Слабка збіжність стохастичних еволюційних систем у схемі усереднення |
| title_alt | On the weak convergence for stochastic evolutionary systems in an averaging scheme |
| title_full | Слабка збіжність стохастичних еволюційних систем у схемі усереднення |
| title_fullStr | Слабка збіжність стохастичних еволюційних систем у схемі усереднення |
| title_full_unstemmed | Слабка збіжність стохастичних еволюційних систем у схемі усереднення |
| title_short | Слабка збіжність стохастичних еволюційних систем у схемі усереднення |
| title_sort | слабка збіжність стохастичних еволюційних систем у схемі усереднення |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8639 |
| work_keys_str_mv | AT samoilenkoív slabkazbížnístʹstohastičnihevolûcíinihsistemushemíuserednennâ AT samoilenkoív ontheweakconvergenceforstochasticevolutionarysystemsinanaveragingscheme |