Побудова оптимального керування біфуркацією в моделі Ходжкіна-Хакслі на основі принципу максимуму
Метою цієї роботи є побудувати та обґрунтувати метод керування біфуркацією в електрофізіологічній моделі Ходжкіна-Хакслі на основі принципу максимуму. Стабілізаційне керування біфуркацією в моделі Ходжкіна-Хакслі може мати важливе клінічне застосування для пацієнтів, які хворіють на хворобу Альцгейм...
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86402 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Побудова оптимального керування біфуркацією в моделі Ходжкіна-Хакслі на основі принципу максимуму / В.П. Марценюк, З.В. Майхрук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2013. — Вип. 9. — С. 78-90. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86402 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Марценюк, В.П. Майхрук, З.В. 2015-09-16T17:54:19Z 2015-09-16T17:54:19Z 2013 Побудова оптимального керування біфуркацією в моделі Ходжкіна-Хакслі на основі принципу максимуму / В.П. Марценюк, З.В. Майхрук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2013. — Вип. 9. — С. 78-90. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 2308-5916 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86402 519.876.2:611.018.4 Метою цієї роботи є побудувати та обґрунтувати метод керування біфуркацією в електрофізіологічній моделі Ходжкіна-Хакслі на основі принципу максимуму. Стабілізаційне керування біфуркацією в моделі Ходжкіна-Хакслі може мати важливе клінічне застосування для пацієнтів, які хворіють на хворобу Альцгеймера, епілепсію або аритмію. The purpose of this paper is to construct and justify the method of control bifurcation in electrophysiological models of Hodgkin- Huxley based on the maximum principle. Stabilization control bifurcation in the Hodgkin-Huxley model may have important clinical applications for patients suffering from Alzheimer's disease, epilepsy, or arrhythmia. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки Побудова оптимального керування біфуркацією в моделі Ходжкіна-Хакслі на основі принципу максимуму Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Побудова оптимального керування біфуркацією в моделі Ходжкіна-Хакслі на основі принципу максимуму |
| spellingShingle |
Побудова оптимального керування біфуркацією в моделі Ходжкіна-Хакслі на основі принципу максимуму Марценюк, В.П. Майхрук, З.В. |
| title_short |
Побудова оптимального керування біфуркацією в моделі Ходжкіна-Хакслі на основі принципу максимуму |
| title_full |
Побудова оптимального керування біфуркацією в моделі Ходжкіна-Хакслі на основі принципу максимуму |
| title_fullStr |
Побудова оптимального керування біфуркацією в моделі Ходжкіна-Хакслі на основі принципу максимуму |
| title_full_unstemmed |
Побудова оптимального керування біфуркацією в моделі Ходжкіна-Хакслі на основі принципу максимуму |
| title_sort |
побудова оптимального керування біфуркацією в моделі ходжкіна-хакслі на основі принципу максимуму |
| author |
Марценюк, В.П. Майхрук, З.В. |
| author_facet |
Марценюк, В.П. Майхрук, З.В. |
| publishDate |
2013 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| description |
Метою цієї роботи є побудувати та обґрунтувати метод керування біфуркацією в електрофізіологічній моделі Ходжкіна-Хакслі на основі принципу максимуму. Стабілізаційне керування біфуркацією в моделі Ходжкіна-Хакслі може мати важливе клінічне застосування для пацієнтів, які хворіють на хворобу Альцгеймера, епілепсію або аритмію.
The purpose of this paper is to construct and justify the method of control bifurcation in electrophysiological models of Hodgkin- Huxley based on the maximum principle. Stabilization control bifurcation in the Hodgkin-Huxley model may have important clinical applications for patients suffering from Alzheimer's disease, epilepsy, or arrhythmia.
|
| issn |
2308-5916 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86402 |
| citation_txt |
Побудова оптимального керування біфуркацією в моделі Ходжкіна-Хакслі на основі принципу максимуму / В.П. Марценюк, З.В. Майхрук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2013. — Вип. 9. — С. 78-90. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT marcenûkvp pobudovaoptimalʹnogokeruvannâbífurkacíêûvmodelíhodžkínahakslínaosnovíprincipumaksimumu AT maihrukzv pobudovaoptimalʹnogokeruvannâbífurkacíêûvmodelíhodžkínahakslínaosnovíprincipumaksimumu |
| first_indexed |
2025-11-24T15:58:15Z |
| last_indexed |
2025-11-24T15:58:15Z |
| _version_ |
1850850152176156672 |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
78
УДК 519.876.2:611.018.4
В. П. Марценюк, д-р техн. наук, професор,
З. В. Майхрук, асистент
Тернопільський державний медичний університет
імені Івана Яковича Горбачевського, м. Тернопіль
ПОБУДОВА ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ
БІФУРКАЦІЄЮ В МОДЕЛІ ХОДЖКІНА-ХАКСЛІ
НА ОСНОВІ ПРИНЦИПУ МАКСИМУМУ
Метою цієї роботи є побудувати та обґрунтувати метод ке-
рування біфуркацією в електрофізіологічній моделі Ходжкіна-
Хакслі на основі принципу максимуму. Стабілізаційне керу-
вання біфуркацією в моделі Ходжкіна-Хакслі може мати важ-
ливе клінічне застосування для пацієнтів, які хворіють на хво-
робу Альцгеймера, епілепсію або аритмію.
Ключові слова: модель Ходжкіна-Хакслі, оптимальне ке-
рування, принцип максимуму.
Вступ. У фізіологічних дослідженнях встановлено, що більшість
якісних динамічних характеристик нейрона пов’язані з нормальним
функціонуванням певних нервових систем а також з певними анома-
льними нервовими порушеннями. Ці нервові порушення в клінічній
медицині представлені такими захворюваннями, як хвороба Альц-
геймера, епілепсія, аритмія. Розуміння механізму виникнення таких
захворювань є важливою медичною проблемою.
Впродовж останніх років було встановлено, що з такими захво-
рюваннями тісно пов’язані виникнення біфуркацій в динамічних сис-
темах [1]. Отже, методики лікування можуть бути пов’язаними з ефе-
ктивним керуванням такими біфуркаціями.
Метою даної роботи є розробити та обгрунтувати метод керу-
вання біфуркацією в електрофізіологічній моделі Ходжкіна-Хакслі на
основі принципу максимуму.
Модель електричної активності мембрани клітини Ходжкі-
на-Хакслі. Розглядається модель електричної активності гігантсько-
го аксона кальмара, запропонована в роботі [2]. У моделі кожен ком-
понент збудливої клітини розглядається як електричний елемент.
Ліпідний шар представляється як ємність mC . Іонні канали представ-
лені електричною провідністю ig , де i — специфічний іонний ка-
нал, яка залежить як від напруги, так і часу. Іонні насоси представле-
© В. П. Марценюк, З. В. Майхрук, 2013
Серія: Технічні науки. Випуск 9
79
ні джерелом струму appI . Позначимо через V різницю між мембран-
ним потенціалом та залишковим потенціалом.
Струм через біліпідний шар становитиме:
c m
dV
I C
dt
.
Струм через заданий іонний канал буде:
( )i i iI g V V ,
де iV — рівноважний потенціал i -го іонного каналу.
Для клітини з калієвими, натрієвими та хлорними каналами за-
гальний струм через мембрану I становитиме:
c K Na LI I I I I .
Остаточно типова модель Ходжкіна-Хакслі має вигляд:
4 3( ) ( ) ( )K K Na Na L L app
dV
g n V V g m h V V g V V I
dt
, (1)
18
25
10
25
(1 )*0.1* *4*exp
exp 1
V
V
dm V
m m
dt
, (2)
80
10
10
10
10(1 )*0.1* *0.125*exp
exp 1
V
V
V
dn
n n
dt
, (3)
20
30
10
0.07*exp *(1 )
1 exp
V
V
dh h
h
dt
. (4)
Чисельне дослідження виникнення біфуркацій в моделі Хо-
джкіна-Хакслі при біфуркаційному параметрі appI . Під біфуркаці-
єю мають на увазі якісні зміни у структурі розв’язків динамічної сис-
теми внаслідок варіації параметрів системи. Керування біфуркацією
полягає в побудові керування, що змінює біфуркаційні властивості
заданої нелінійної системи з метою уникнення небажаної нестійкості
або отримання потрібної динамічної поведінки [1].
Природньо очікувати виникнення біфуркацій і в моделі Ходжкі-
на-Хакслі. Наприклад, змінюючи прикладений струм appI ми керує-
мо формою потенціалу дії на клітинній мембрані.
Так при appI = 5 мА/см2 розв’язок системи — стійкий вузол
(рис. 1).
Математичне та комп’ютерне моделювання
80
Рис. 1. appI = 5 мА/см2
При appI = 9.779638 мА/см2 в системі виникає біфуркація і
розв’язок – граничний цикл (рис. 2)
Серія: Технічні науки. Випуск 9
81
Рис. 2. appI = 9.779638 мА/см2
Із збільшенням appI амплітуда періодичних коливань в гранич-
них циклах спадає (рис. 3)
Математичне та комп’ютерне моделювання
82
Рис. 3. appI = 140 мА/см2
Таким чином при appI = 154.526634 мА/см2 граничний цикл
знову переходить у стійкий вузол (рис. 4,5)
Серія: Технічні науки. Випуск 9
83
Рис. 4. appI = 154.526634 мА/см2
Математичне та комп’ютерне моделювання
84
Рис. 5. appI = 160 мА/см2
Отже, при значеннях appI = 9.779638 мА/см2 та
appI = 154.526634 мА/см2 в моделі (1)–(4) виникають біфуркації. Зна-
чний практичний інтерес має задача оптимальної стабілізації моделі
(1)–(4) за рахунок вибору прикладеного струму при
appI = 9.779638 мА/см2. Як показано в роботі [3], в цьому випадку
виникає біфуркація Хопфа.
Отже, розглянемо систему керування:
Серія: Технічні науки. Випуск 9
85
4 3( ) ( ) ( )K K Na Na L L app
dV
g n V V g m h V V g V V I u
dt
, (5)
18
25
10
25
(1 )*0.1* *4*exp
exp 1
V
V
dm V
m m
dt
, (6)
80
10
10
10
10(1 )*0.1* *0.125*exp
exp 1
V
V
V
dn
n n
dt
, (7)
20
30
10
0.07*exp *(1 )
1 exp
V
V
dh h
h
dt
. (8)
У моделі припускається, що така функція керування ( )u t може
бути легко реалізована.
Множина керування U задається як:
max{ ( ) : 0 ( ) , 0 , ( ) вимірна}fU u t u t u t t u t .
Тут ft — кінцевий час керування.
Зазначимо, що модель (1) ( ) 0u t прогнозує сценарій без керу-
вання, тобто лише прикладаючи сталий струм. Коли він є неприйнят-
ним (наприклад у випадку біфуркації), то вводиться керування. Кри-
терієм якості в такому випадку є функціонал:
2
0
[ ] ( )
ft
J u V t dt .
Отже, метою є визначення оптимального керування *u U , що
задовольняє:
*[ ] inf [ ]
u U
J u J u
. (9)
Теоретична основа оптимального керування в електрофізіо-
логії. У задачах оптимального керування електрофізіології розгляда-
ють, як правило, таку множину керувань:
0{ ( ) : ( ) , , ( ) вимірна}fU u t a u t b t t t u t .
Тут , , 0fa b t . В якості керуючого впливу переважно виступає при-
кладений струм.
Припускається, що стан системи ( ) nx t R при заданому керуванні
u U визначається системою звичайних диференціальних рівнянь:
Математичне та комп’ютерне моделювання
86
0 0
( )
( , , ),
( ) ,
dx t
f t x u
dt
x t x
(10)
де : n nf R R R R є неперервною і має неперервні перші частинні
похідні відносно x та u . Оскільки припускається, що ( )u t є вимір-
ною та обмеженою, то права частина системи (10) є неперервною
відносно x і лише вимірною відносно t для фіксованого x . Отже,
розв’язки (10) є абсолютно неперервними функціями, що задоволь-
няють (10) майже скрізь. При таких умовах існування розв’язку (10)
( , )x t u доведене в роботах [4].
Задача оптимального керування містить критерій якості [ ]J u
вигляду:
0
[ ] ( , , ) ( ( ))
ft
f
t
J u L t x u dt x t ,
де L — задана дійснозначна функція і — неперервнодиференці-
йовна дійснозначна функція. Метою є знаходження керування
*u U , такого що
*[ ] inf [ ]
u U
J u J u
. (11)
Після того, як описано модель та визначено критерій якості в те-
орії оптимального керування ставлять ряд задач [5]:
доведення існування оптимального керування;
опис побудови оптимального керування;
доведення єдиності оптимального керування;
чисельне обчислення оптимального керування;
дослідження залежності оптимального керування від параметрів
моделі.
Достатні умови існування оптимального керування для задачі
(10)–(11) без термінальної складової в критерії якості наведено в ро-
ботах [6].
Теорема 1. Розглядається задача оптимального керування (10)-
(11) на фіксованому інтервалі 0[ , ]ft t . Припустимо, що:
1) існує стала 0M така, що ( , )x t u M для всіх u U та
0 ft t t ;
2) L є напівнеперервною знизу;
Серія: Технічні науки. Випуск 9
87
3) множина 0 0{( , ) : , ( , , ), ( , , )}D y y v U y f t x v y L t x v є опук-
лою для 0( , ) [ , ] { }ft x t t x M .
Тоді існує оптимальне керування *u U .
Опис побудови оптимального керування для задачі (10)–(11) дає
принцип максимуму Понтрягіна з термінальною складовою [7]
Теорема 2. Нехай *u U — оптимальне керування в задачі
(10)–(11). Тоді існує спряжена функція : nR R така, що *( , )x t u ,
*u , задовольняють систему:
*
0 0
( )
( , , ),
( )
dx t
f t x u
dt
x t x
(12)
та спряжену систему:
* *( )
( , , ) ( , , ), ( ) '( ( )),T
x x f f
d t H
L t x u f t x u t x t
dt x
(13)
умова трансвертальності,
де функція Гамільтона-Понтрягіна H задається як:
( , , ) ( , , ) ( , , )TH t x u L t x u f t x u . (14)
Принцип максимуму для моделі Ходжкіна-Хакслі. На основі
Теореми 1 ми бачимо, що оптимальне керування в задачі (5)–(9) іс-
нує, оскільки підінтегральний вираз в критерії якості є опуклою фун-
кцією а траєкторія системи належить простору L .
Застосуємо Теорему 2 для отримання необхідних умов оптима-
льності. Функція Гамільтона-Понтрягіна має вигляд:
2 4 3
1
18
2 25
10
80
3 10
10
( ( ) ( ) ( ) )
25
(1 ) * 0.1* * 4 * exp
exp 1
10
10(1 ) *0.1* *0.125*exp
exp 1
K K Na Na L L app
V
V
V
V
H V g n V V g m h V V g V V I u
V
m m
V
n n
20
4 30
10
0.07 * exp * (1 ) .
1 exp
V
V
h
h
Математичне та комп’ютерне моделювання
88
Отже, з Теореми 2 маємо спряжену систему:
4 31
1
25 25
10 10
18
2 25
210
10 10
10 10
80
3 10
210
2 ( )
25
1 exp exp 210(1 )*0.1* * *exp
9
(exp 1)
10
1 exp exp 0.12510(1 )*0.1* * *exp
80
(exp 1)
K Na L
V V
V
V
V V
V
V
d H
V g n g m h g
dt V
V
m m
V
n n
30
20 10
4 30
210
0.07
*exp *(1 ) exp ,
20
10*(1 exp )
V V
V
h
h
22 18
1 2 25
10
25
*3* ( ) 0.1* 4*exp ,
exp 1
V
Na Na V
d H V
g m h V V
dt m
33 80
1 3 10
10
10
10*4* ( ) 0.1* 0.125*exp ,
exp 1
V
K K V
V
d H
g n V V
dt n
34 20
1 4 30
10
1
( ) 0.07*exp .
1 exp
V
Na Na V
d H
g m V V
dt h
Згідно принципупу максимуму Понтрягіна маємо
*
1( ) sgn ( )u t t .
Отже, виходячи з Теореми 1 оптимальне керування в задачі (5)–(9)
може бути побудоване в результаті розв’язку такої крайової задачі:
4 3
1( ) ( ) ( ) sgn ( ),K K Na Na L L app
dV
g n V V g m h V V g V V I t
dt
18
25
10
25
(1 )*0.1* *4*exp .
exp 1
V
V
dm V
m m
dt
Серія: Технічні науки. Випуск 9
89
Теорема 3. Для досить малого значення ft розв’язок системи
(16) є єдиним.
Доведення. Припустимо навпаки, що існують два розв’язки
(13), а саме:
* * * * * * * * *
1 2 3 4( , , , , , , , )X V m n h
і
** ** ** ** ** ** ** ** **
1 2 3 4( , , , , , , , )X V m n h .
Праві частини системи (16) є Ліпшицевими функціями аргумен-
тів 1 2 3 4, , , , , , ,V m n h . Звідси існує стала 0C така, що:
* ** * **
0
( ) ( ) ( ) ( )
ft
X t X t C X s X s ds . (14)
Застосовуючи до (14) теорему про середнє значення, маємо, що
існує момент часу : 0 ft такий, що:
* ** * **( ) ( ) ( ) ( )fX t X t t C X X .
при всіх [0, ]ft t . Якщо ж виберемо ft таким, що
1
ft
C
, то отри-
муємо суперечність.
Висновки. У роботі запропоновано та теоретично обгрунтовано
застосування принципу максимуму до задачі керування біфуркацією
в моделі Ходжкіна-Хакслі. Стабілізаційне керування біфуркацією в
моделі Ходжкіна-Хакслі може мати важливе клінічне застосування
для пацієнтів, які хворіють на хворобу Альцгеймера, епілепсію або
аритмію.
Список використаних джерел:
1. Brandt M. E. Bifurcation control of two nonlinear models of cardiac activity /
M. E. Brandt, G. Chen // IEEE Trans. Circ. Syst. — 1997. — Issue 44. —
P. 1031–1034.
2. Hodgkin A. L. A quantitative description of membrane current and its applica-
tion to conduction and excitation in nerve / A. L. Hodgkin, A. F. Huxley // The
Journal of physiology. — 1952. — Vol. 117 (4). — P. 500–544.
3. Ding L. Stabilizing control of Hopf bifurcation in the Hodgkin-Huxley model
via washout filter with linear control term / L. Ding, C. Hou // Nonlinear
Dyn. — 2010. — Vol. 60. — P. 131–139.
4. Lukes D. L. Differential Equations: Classical to Controlled / D. L. Lukes. —
New York : Academic Press, 1982.
5. Macki J. Introduction to Optimal Control Theory / J. Macki, A. Strauss. —
New York : Springer-Verlag, 1982.
Математичне та комп’ютерне моделювання
90
6. Fleming W. H. Deterministic and Stochastic Optimal Control / W. H. Fleming,
R. W. Rishel. — New York : Springer Verlag, 1975.
7. Betts J. T. Practical Methods for Optimal Control Using Nonlinear Program-
ming / J. T. Betts // SIAM Society for Applied and Industrial Mathematics. —
Philadelphia, 2001.
The purpose of this paper is to construct and justify the method of con-
trol bifurcation in electrophysiological models of Hodgkin- Huxley based
on the maximum principle. Stabilization control bifurcation in the Hodg-
kin-Huxley model may have important clinical applications for patients
suffering from Alzheimer's disease, epilepsy, or arrhythmia.
Key words: Hodgkin-Huxley model, optimal control, maximum principle.
Отримано: 16.10.2013
УДК 519.6
М. Р. Петрик, канд. техн. наук,
П. М. Василюк, канд. техн. наук,
Н. В. Бабій, здобувач,
О. Ю. Петрик, здобувач
Тернопільський національний технічний університет
імені Івана Пулюя, м. Тернопіль
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИФУЗІЇ В
БАГАТОШАРОВИХ ОКСИДНИХ НАНОПОКРИТТЯХ
Побудована математична моделей дифузійного масопере-
носу в неоднорідних мультикомпозитних середовищах, що
описує процес формування мультишарів тонких оксидних на-
ноплівок, що використовуються як теромо- і агресивно захисні
покриття робочих органів технологічного обладнання, що
працюють у високо агресивних середовищах. Отримані прос-
торово-розподілені концентраційні розподіли розподіли стру-
ктурних складових компонентів наноплівок для різних техно-
логічних зрізів оксидної наноплівки та часових тривалостей
формування технологічного мультишару наноплівки.
Ключові слова: масоперенос, математична модель, на-
нопокриття, мультишари, інтегральні перетворення.
Вступ. Розвиток сучасних ресурсозберігаючих технологій спри-
чинив велику кількість досліджень кінетики процесів дифузії в бага-
тошарових нанопокриттях і плівках, що вимагає розробки нових ме-
тодів моделювання і математичних моделей для опису явищ з ураху-
ванням наявності переходів між суміжними шарами [1–6]. Ця робота
стосується дослідження процесу формування мультишарів тонких
© М. Р. Петрик, П. М. Василюк, Н. В. Бабій, О. Ю. Петрик, 2013
80-84.pdf
А. Я. Бомба*, д-р техн. наук, професор,
Ю. В. Турбал**, канд. фіз.-мат. наук
*Рівненський державний гуманітарний університет, м. Рівне,
**Національний університет водного господарства та природокористування, м. Рівне
математичне моделювання ПРОЦЕСУ РУХУ солітона в анізотропноМУ пружноМУ тілІ змінної густини
Ключові слова: анізотропія, рівняння руху, солітон, закон Гука, рівняння в частинних похідних.
Список використаних джерел:
Key words: anisotropy, crystal system, the motion equations, solitary wave, Hooke's law.
А. А. Верлань, канд. техн. наук
Национальный технический университет Украины «КПИ», г. Киев.
ОБ ОРГАНИЗАЦИИ СТРУКТУРЫ ИСТОЧНИКОВ ЭЛЕКТРОПИТАНИЯ С ЗАЩИТОЙ И АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ СИСТЕМОЙ КОНТРОЛЯ
Ключевые слова: автоматизированные системы контроля, вторичного источника электропитания.
Список использованной литературы:
Key words: automated control systems, secondary power supply.
Д. А. Верлань*, аспірант,
К. С. Чевська**, асистент
*Київський національний університет імені Тараса Шевченка, м. Київ,
**Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський
ОЦІНКА ПОХИБОК РОЗВ’ЯЗАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ВОЛЬТЕРРИ ІІ РОДУ ЗАСОБАМИ ІНТЕГРАЛЬНИХ НЕРІВНОСТЕЙ
Ключові слова: інтегральні рівняння, інтегральні нерівності.
Список використаних джерел:
Key words: integral equations, integral inequalities.
А. П. Власюк*, д-р техн. наук, професор,
Т. А. Дроздовський**, аспірант
Математичне моделювання зміни напружено-деформованого стану ґрунтового масиву при нагнітанні в нього в’яжучого розчину в одновимірній постановці
Ключові слова: математична модель, напружено-деформований стан, вільна межа, числовий розв’язок, метод скінченних різниць, в’яжучий розчин, нагнітання.
1. Постановка задачі
2. Математична модель задачі
3. Розв’язок задачі
3.1. Розв’язок задачі нагнітання
3.2. Розв’язок задачі НДС
3.2.1. Аналітичний розв’язок задачі
Розв’язок задачі (16), (17) має вигляд
3.2.2. Числовий розв’язок задачі
4. Результати числових експериментів
Висновки
Key words: mathematical model, stress strain state, free boundary, numerical solution, finite difference method, binding fluid, injecting.
А. П. Громик*, канд. техн. наук,
І. М. Конет**, д-р фіз.-мат. наук, професор
* Подільський державний аграрно-технічний університет, м. Кам’янець-Подільський,
**Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський
МОДЕЛЮВАННЯ КОЛИВНИХ ПРОЦЕСІВ У НАПІВОБМЕЖЕНОМУ Кусково-одноріднОМУ КЛИНОВИДНОМУ ПОРОЖНИСТОМУ ЦИЛІНДРІ
Ключові слова: моделювання, коливний процес, гіперболічне рівняння, початкові та крайові умови, умови спряження, інтегральне перетворення, функція впливу, функція Гріна.
Список використаних джерел:
Key words: modelling, oscillating, hyperbolic equation, initial and boundary conditions, conditions of conjugation, integral transformation, the influence function, Green's function.
O. A. Diachuk*, Ph. D. of Technical Sciences,
N. L. Kostyan**, Senior Teacher,
A. A. Sytnik***, Ph. D. of Technical Sciences,
F. A. Halmuhametova****, Senior Teacher
*Institute for Economics and Forecasting UNAS, Kyiv,
**Kyiv National University of Technologies and Design, Kyiv,
***Cherkassy state technological university, Cherkassy, Ukraine,
****Tashkent State Technical University, Tashkent
The method and algorithms for identification of dynamic objects on basis of integral equations
Key words: dynamic objects, models, identification algorithms, Volterra integral equations, automatic control systems.
References:
Ключові слова: динамічні об'єкти, моделі, алгоритми ідентифікації, інтегральні рівняння Вольтерра, автоматичні системи управління.
М. М. Каримов*, д-р техн. наук, профессор,
Ю. О. Фуртат**, аспирант,
С. М. Сагатова*, студент
*Ташкентский государственный технический университет, г. Ташкент, Узбекистан,
**Институт проблем моделирования в энергетике им. Г. Е. Пухова НАН Украины, г. Киев
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДЕЛИ УЧАЩЕГОСЯ В СИСТЕМАХ ОБУЧЕНИЯ НА ОСНОВЕ ТЕСТОВ
Ключевые слова: модель учащегося, дистрактор, машинный тьютор, эротематический диалог.
Список использованной литературы:
Key words: student model, distractor, machine tutor, erotematic dialog.
В. П. Марценюк, д-р техн. наук, професор,
З. В. Майхрук, асистент
Тернопільський державний медичний університет імені Івана Яковича Горбачевського, м. Тернопіль
Побудова оптимального керування біфуркацією в моделі Ходжкіна-Хакслі на основі принципу максимуму
Ключові слова: модель Ходжкіна-Хакслі, оптимальне керування, принцип максимуму.
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.1000
/ColorConversionStrategy /sRGB
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo false
/PreserveFlatness false
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
/Arial-Black
/Arial-BlackItalic
/Arial-BoldItalicMT
/Arial-BoldMT
/Arial-ItalicMT
/ArialMT
/ArialNarrow
/ArialNarrow-Bold
/ArialNarrow-BoldItalic
/ArialNarrow-Italic
/ArialUnicodeMS
/CenturyGothic
/CenturyGothic-Bold
/CenturyGothic-BoldItalic
/CenturyGothic-Italic
/CourierNewPS-BoldItalicMT
/CourierNewPS-BoldMT
/CourierNewPS-ItalicMT
/CourierNewPSMT
/Georgia
/Georgia-Bold
/Georgia-BoldItalic
/Georgia-Italic
/Impact
/LucidaConsole
/Tahoma
/Tahoma-Bold
/TimesNewRomanMT-ExtraBold
/TimesNewRomanPS-BoldItalicMT
/TimesNewRomanPS-BoldMT
/TimesNewRomanPS-ItalicMT
/TimesNewRomanPSMT
/Trebuchet-BoldItalic
/TrebuchetMS
/TrebuchetMS-Bold
/TrebuchetMS-Italic
/Verdana
/Verdana-Bold
/Verdana-BoldItalic
/Verdana-Italic
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages false
/ColorImageMinResolution 150
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 150
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages false
/GrayImageMinResolution 150
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 150
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages false
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects true
/CheckCompliance [
/PDFX1a:2001
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
/HEB <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>
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.)
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/RUS <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>
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AllowImageBreaks true
/AllowTableBreaks true
/ExpandPage false
/HonorBaseURL true
/HonorRolloverEffect false
/IgnoreHTMLPageBreaks false
/IncludeHeaderFooter false
/MarginOffset [
0
0
0
0
]
/MetadataAuthor ()
/MetadataKeywords ()
/MetadataSubject ()
/MetadataTitle ()
/MetricPageSize [
0
0
]
/MetricUnit /inch
/MobileCompatible 0
/Namespace [
(Adobe)
(GoLive)
(8.0)
]
/OpenZoomToHTMLFontSize false
/PageOrientation /Portrait
/RemoveBackground false
/ShrinkContent true
/TreatColorsAs /MainMonitorColors
/UseEmbeddedProfiles false
/UseHTMLTitleAsMetadata true
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/BleedOffset [
0
0
0
0
]
/ConvertColors /ConvertToRGB
/DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1)
/DestinationProfileSelector /UseName
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements true
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MarksOffset 6
/MarksWeight 0.250000
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PageMarksFile /RomanDefault
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [600 600]
/PageSize [419.528 595.276]
>> setpagedevice
|