Алгоритмы численной реализации нелинейных интегральных динамических моделей с повышенной точностью
Рассмотрены вопросы численной реализации интегральных динамических моделей путем применения квадратурных формул закрытого типа повышенной точности. Предложены рекуррентные алгоритмы решения нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра и их систем. The questions of the study of integral dynamic m...
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86439 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Алгоритмы численной реализации нелинейных интегральных динамических моделей с повышенной точностью / Д.А. Верлань, В.А. Тихоход // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 11. — С. 20-28. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859973970828197888 |
|---|---|
| author | Верлань, Д.А. Тихоход, В.А. |
| author_facet | Верлань, Д.А. Тихоход, В.А. |
| citation_txt | Алгоритмы численной реализации нелинейных интегральных динамических моделей с повышенной точностью / Д.А. Верлань, В.А. Тихоход // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 11. — С. 20-28. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
| description | Рассмотрены вопросы численной реализации интегральных динамических моделей путем применения квадратурных формул закрытого типа повышенной точности. Предложены рекуррентные алгоритмы решения нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра и их систем.
The questions of the study of integral dynamic models by applying the close type quadrature formula of high occuracy. Described by recurrence algorithms for solving nonlinear Volterra integral equations and their systems.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:22:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
20
6. Vogel C. R. Computational methods for inverse problems / C. R. Vogel. —
Philadelphia : SIAM, 2002. — 183 p.
7. Bruckner G. An inverse problem from the 2D-groundwater modelling /
G. Bruckner, S. Handrock-Meyer, H. Langmach — Berlin : WIAS-Preprint,
1997. — № 343.
8. Chan T. F. Level set and total variation regularization for elliptic inverse prob-
lems with discontinuous coefficients / T. F. Chan, X.-C. Tai — UCLA, Math.
Depart. — CAM-report 03-15, 2003.
The new efficient constructive approach to mathematical modeling of
the displacement of hydrocarbons from formation in conditions mutual in-
fluence the characteristics of the process and the medium and identification
of model parameters was developed on the basis the synthesis of numerical
methods complex analysis and summary representations in conjunction
with decomposition of problem.
Key words: quasiconformal mappings, complex quasipotential, summary
representations method, decomposition of problem, parameters identification.
Отримано: 19.06.2014
УДК 004.421:519.64
Д. А. Верлань*, аспирант,
В. А. Тихоход**, канд. техн. наук
* Киевский национальный университет
имени Тараса Шевченко, г. Киев,
** Национальный технический университет Украины
«Киевский политехнический институт», г. Киев
АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ
НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ С ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТЬЮ
Рассмотрены вопросы численной реализации интеграль-
ных динамических моделей путем применения квадратурных
формул закрытого типа повышенной точности. Предложены
рекуррентные алгоритмы решения нелинейных интегральных
уравнений типа Вольтерра и их систем.
Ключевые слова: интегральные динамические модели,
квадратурные формулы, рекуррентные алгоритмы, алгорит-
мы решения интегральных уравнений.
Введение. Математические модели различных объектов в форме
нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра представляют
собой эффективный аппарат для решения многих теоретических и прак-
тических задач исследования широкого класса динамических объектов
[1; 2]. Наиболее распространенные численные алгоритмы решения дан-
© Д. А. Верлань, В. А. Тихоход, 2014
Серія: Технічні науки. Випуск 11
21
ных уравнений основаны на применении квадратурных формул различ-
ного порядка точности [1–4]. Перспективным развитием этого подхода
являются методы, представляющие собой аналоги известных в теории
дифференциальных уравнений методов типа Рунге-Кутта [5].
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса замкнутого вида.
В работе предлагается два численных алгоритма решения нелиней-
ных интегральных уравнений типа Вольтерра, точность которых име-
ет порядок 6O h и 8O h . Эти алгоритмы основаны на применении
к интегральному члену уравнения пяти- и семиточечных квадратур-
ных формул Ньютона-Котеса замкнутого типа. Оба алгоритма пред-
полагают составление начала таблицы численного решения. Если
начало таблицы определенно, то для нахождения решения в после-
дующих узлах приходится каждый раз решать только одно нелиней-
ное уравнение. Для вычисления значений искомого решения в начале
таблицы, как и для вычисления решений в последующих узлах ис-
пользуется метод дифференцирования по параметру [4, 5]. Поскольку
в основе обоих алгоритмов лежит одна и та же идея, то в работе под-
робно излагается только алгоритм порядка 8O h .
Алгоритм решения нелинейных интегральных уравнений
порядка 8O h . Задача, таким образом, состоит в том, чтобы на от-
резке 0 0,x x L найти численное решение нелинейного интеграль-
ного уравнения
0
, ,
x
x
y x f x F x s y s ds , (1)
где функции f x и , ,F x s y s обладают определенной гладкостью,
необходимой для применения соответствующих квадратурных формул.
Выбираем шаг h и рассмотрим уравнение (1) в узловых точках
0 0, 1, 2, , ;ix x ih i N Nh L некоторой равномерной сетки.
Имеем
0
, ,
ix
i i i
x
y x f x F x s y s ds , 0, 1, 2, , .i N (2)
Для применения к интегральному члену уравнения (2) семито-
чечной квадратурной формулы Ньютона-Котеса
6
1 241 216 27
140
i
i
x
i i i
x
h
f x dx f x f x f x
Математичне та комп’ютерне моделювання
22
3 4 5 6272 27 216 41i i i if x f x x x (2´)
89
6
9
, ,
1400 i ih f x x
представим его для 7i в виде
0
, , , , ,
k i
k
x x
i i i i
x x
y x f x F x s y s ds F x s y s ds (3)
где 7, 8, ,i N , индекс 6
6
i
k i entier
. Значения искомого
решения уравнения (1) в узлах 1 2 6, , ,x x x (начало таблицы) вычис-
ляются особым способом, о чем будет сказано ниже.
Применяя теперь к первому интегралу уравнения (3) формулу
(2´) с шагом 1, 2, 3, 4, 5
6k
kh
h k , а ко второму — (2´) с шагом h
и отбрасывая соответствующий остаточный член 1R , порядка
8O h , получим систему нелинейных уравнений
6 1
,0 6
6
i
i i j kj j ij i ii
ij j k
kh
y f A F h A F hA F
, 7, 8, , .i N (4)
В системе (4) символами
,
6
, ,i i kj
i
y f F и ijF обозначены соответ-
ственно приближенные значения искомого решения y x , известных
функций , , ,f x F x s y s в точках
6
,i kjx x s x
для первой
суммы и в точках ,i jx x s x для второй суммы; jA — коэффи-
циенты квадратурной формулы (2´).
Из формул (3), (4) и условия Липшица, которому удовлетворяет
по третьему аргументу функция , ,F x s y s , следует справедли-
вость неравенства
1 exp
1 1i i i
R CL
y x y
hC hC
, 0, 1, 2, ,i N , (5)
где C — некоторая константа, зависящая от коэффициентов квадра-
турной функции (2´) и константы Липшица, iy x и iy — соответст-
венно точное и приближенное решения уравнения (1) в узле ix . По-
Серія: Технічні науки. Випуск 11
23
скольку для достаточно гладких функций ,f x , ,F x s y s и
y x остаточный член 1R имеет порядок 8O h , то и i имеет та-
кой же порядок. А это значит, что метод, определяемый формулой
(4), сходится, причем порядок сходимости равен восьми.
Если начало таблицы решений уравнения (1) составлено, то значе-
ния искомого решения в промежуточных узлах
6 6
( , 1, 2, , 6)kj kjx k j y ,
необходимые для вычисления значений
,
6
jk
i
F на отрезке 0 , kx x , вы-
числяются только один раз по интерполяционным формулам Лагранжа.
Погрешность аппроксимации 2R формул (5) имеет порядок 7O h .
И поскольку эти формулы подставляют в уравнения (4), то суммарная
погрешность аппроксимации исходной задачи (1) конечно-разностной
задачей (4) 1 2R R h R , очевидно, будет иметь порядок 8O h .
Таким образом, решение исходной задачи свелось к последова-
тельному решению нелинейных уравнений, дающих приближенное
решение уравнение (1) в узловых точках 7, 8, ,ix i N с точно-
стью 8O h .
Для решения нелинейных уравнений (4) применим метод диф-
ференцирования по параметру. Для этого введем в уравнение (4) па-
раметр и наряду с системой (4) рассмотрим систему уравнений
, 7, 8, , ,i i i iiy hA F i N (6)
где
6 1
,0 6
, 7, 8, , .
6
i
i i j kj j ij
ij j k
kh
f A F h A F i N
(7)
Система (6) при 1 совпадет с системой (4), а при 0 легко
разрешается относительно неизвестных
0 , 7, 8, ,i iy i N . (8)
Предполагая теперь, что iy дифференцируемые функции пара-
метра , и дифференцируя (6) по , в каждой узловой точке полу-
чаем дифференциальное уравнение первого порядка
, 7, 8, ,
1
i i ii
ii
i
i
dy hA F
i N
Fd hA
y
, (9)
Уравнение (9) численно интегрируется на сегменте [0, 1] при
начальном условии (8). Численное значение решения задачи (9), (8)
Математичне та комп’ютерне моделювання
24
при 1 является приближенным решением уравнения (4) для лю-
бого 7, 8, ,i N , а, следовательно, и исходного уравнения (1) в
соответствующих точках. Таким образом, решение исходной задачи
сведено к решению задачи Коши для уравнения первого порядка (9)
при начальном условии (8), которое легко вычисляется по формулам
(7) и (5), если, конечно, начало таблицы уже определено.
Рассмотрим теперь алгоритм для определения неизвестных iy в
узловых точках, соответствующих началу таблицы 1, 2, , 6i .
Для этого в указанных точках запишем уравнение (1) и к интеграль-
ному члену каждого из шести уравнений 0 0y f применим квад-
ратурную формулу (2´) соответственно с шагами ,
6k
kh
h
( 1, 2, , 6)k . Получим систему нелинейных уравнений относи-
тельно неизвестных 1 2 6, , ,y y y :
0
, , ,
6 3 2
2 5
, ,
3 6
41 216 27 272
6 140
27 216 41 , 1, 2, , 6 ,
i i i i i i
i i i
i i ii
i i
i h
y f F F F F
F F F i
(10)
где в правую часть каждого уравнения вместо
6
, 1, 2, , 6ijy i j
подставляют их значения через 1, 2, , 6iy i в соответствии с
формулой (5).
Для решения полученной системы шести уравнений также при-
меним метод дифференцирования по параметру. Перед неизвестными
членами правой части системы (10) введем параметр и рассмотрим
систему вида
0
, , ,
6 3 2
2 5
, ,
3 6
41 216 27 272
6 140 6 140
27 216 41 , 1, 2, , 6 .
i i i i i i
i i i
i i ii
i i
i h i h
y f F F F F
F F F i
(11)
Эта система уравнений при 1 переходит в систему (10), а
при 0 дает
041 , 1, 2, , 6 .
6 140i i i
i h
y f F i (12)
Серія: Технічні науки. Випуск 11
25
Предполагая, как и прежде, yi дифференцируемыми функциями
параметра λ и дифференцируя (11) по λ, получаем систему диффе-
ренциальных уравнений
2 5 ,
, , , , ,
6 2 2 2 2
5 5
, , ,, ,
,6 6 62 2
216 27 272 27 216 41
6 140
216 27 272 27 216 41 ,
6 140
i
i i i i i i i
i i i i i
i i ii i
i i ii i
i i
y i h
F F F F F F
F F FF F
Fi h
(13)
где 1, 6i .
Подставляя в (13) значения частных производных, получим сис-
тему шести обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка, которую представим в матричной форме
y
A b
. (14)
Здесь
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6, , , , , , , , , , ,y y y y y y y b b b b b b b
2 5 ,
, , , , ,
6 3 2 3 3
* 216 27 272 27 216 41 , 1, 6,
6 150i i i i i i i i
i i i i i
i h
b F F F F F F i
а элементы матрицы А вычисляются по соответствующим формулам.
Интегрируя при начальном условии (12) систему (6) на сегменте
[0, 1] каким-либо численным методом, имеющим соответствующую
степень точности, при 1 получим приближенные значения иско-
мого решения 1 2 6, , , ,y y y уравнения (1).
Имея начало таблицы, значения неизвестной функции
7, 8, ,iy i N определяем путем последовательного численного
решения обыкновенного дифференциального уравнения (9) при на-
чальном условии (8), как было указано выше.
Таким образом, задача численного решения нелинейного инте-
грального уравнения (1) с точностью порядка 8O h свелась к реше-
нию задачи Коши для одного обыкновенного дифференциального
уравнения в каждом узле сетки, а в начале таблицы — для системы
шести обыкновенных дифференциальных уравнений.
Алгоритм решения нелинейных интегральных уравнений поряд-
ка 6O h . Если к интегральному члену уравнения (2) применить
квадратурную формулу
Математичне та комп’ютерне моделювання
26
4
1 2 3 4
7 (6)
4
14 64 24 64 14
45
8
, ,
945
i
i
x
i i i i i
x
i i
h
f x dx f f f f f
h f x x
(15)
и повторить те же рассуждения, то получим алгоритм численного реше-
ния уравнения (1) с точностью порядка 6O h . В этом алгоритме для
получения начала таблицы приходится решать задачу Коши для системы
четырех обыкновенных дифференциальных уравнений. В [6] был пред-
ложен алгоритм численного решения уравнения (1), порядок точности
которого также равен 6O h , причем решается система четырех урав-
нений, прибегая каждый раз к интерполированию по формулам Лагран-
жа и используя квадратурные формулы Лобатто.
Программная реализация и численные эксперименты. При-
веденные выше алгоритмы были реализованы средствами пакета
Matlab. В качестве примера в таблице 1 приводятся результаты чис-
ленного решения интегрального уравнения
0
1 1
sin cos sin
2 2
x
x x sy x x x x e e y s ds , (16)
точное решение которого y x x .
В первом столбце приводятся значения аргумента, во втором и
третьем соответственно — значения приближенного решения и его
погрешности, вычисленные по алгоритму, точность которого имеет
порядок 6O h , а в четвертом и пятом — значения приближенного
решения и соответствующих погрешностей, вычисленных по алго-
ритму с точностью порядка 8O h . Вычисления выполнены с шагом
0,05,h а соответствующие системы дифференциальных уравнений
интегрировались с шагом 0,1 .
Предложенные алгоритмы применимы также к численному ре-
шению систем n нелинейных уравнений с переменным верхним пре-
делом. В этом случае на каждом шаге придется численно решать за-
дачу Коши для системы n обыкновенных дифференциальных урав-
нений. При этом для получения начала таблицы необходимо решать
задачу Коши для системы 6n дифференциальных уравнений в алго-
ритме, точность которого порядка 8O h , и для системы 4n диффе-
ренциальных уравнений в алгоритме, точность которого порядка
Серія: Технічні науки. Випуск 11
27
6O h . Приведенные алгоритмы с некоторыми видоизменениями
могут быть также применены к решению задачи Коши для нелиней-
ных интегро-дифференциальных уравнений и их систем.
Таблица 1
Результаты численного решения интегрального уравнения (16)
1 2 3 4 5
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
0,1000000000004190
0,2000000000595550
0,3000000000657521
0,4000000001443862
0,5000000001578552
0,6000000002603616
0,7000000002822940
0,8000000004127365
0,9000000004425630
1,000000000603601
1,100000000637938
1,200000000829874
1,300000000861562
1,400000001081868
1,500000001099722
1,600000001343533
1,700000001333142
1,800000001594877
1,900000001540408
2,000000001816219
2,100000001702636
2,200000001992925
2,300000001807772
2,400000002118960
2,500000001853005
2,600000002198102
2,700000001844643
2,800000002242716
2,900000001795878
3,000000002270985
0,419·10-12
0,596·10-10
0,658·10-10
0,144·10-9
0,158·10-9
0,260·10-9
0,282·10-9
0,413·10-9
0,443·10-9
0,604·10-9
0,638·10-9
0,830·10-9
0,862·10-9
0,108·10-8
0,110·10-8
0,134·10-8
0,133·10-8
0,159·10-8
0,154·10-8
0,182·10-8
0,170·10-8
0,199·10-8
0,181·10-8
0,212·10-8
0,185·10-8
0,220·10-8
0,184·10-8
0,224·10-8
0,180·10-12
0,227·10-12
0,0999999999999999969
0,1999999999998818
0,2999999999956357
0,3999999999999200
0,4999999999999140
0,5999999999998592
0,6999999999999360
0,7999999999999533
0,8999999999999016
1,000000000000032
0,100000000000084
1,200000000000036
1,300000000000235
1,400000000000326
1,500000000000272
1,600000000000548
1,700000000000674
1,800000000000595
1,900000000000948
2,000000000001098
2,100000000000966
2,200000000001399
2,300000000001565
2,400000000001358
2,500000000001888
2,600000000002075
2,700000000001783
2,800000000002456
2,900000000002590
3,000000000002324
-0,31·10-15
-0,118·10-12
-0,437·10-11
-0,800·10-13
-0,860·10-13
-0,141·10-12
-0,640·10-13
-0,467·10-13
-0,984·10-13
0,32·10-13
0,84·10-13
0,36·10-13
0,235·10-12
0,326·10-12
0,272·10-12
0,548·10-12
0,674·10-12
0,595·10-12
0,948·10-12
0,110·10-11
0,966·10-12
0,140·10-11
0,157·10-11
0,136·10-11
0,189·10-11
0,208·10-11
0,178·10-11
0,245·10-11
0,259·10-11
0,232·10-11
Замечания о решении систем интегральных уравнений. Пред-
ложенные алгоритмы применимы также к численному решению сис-
тем n нелинейных уравнений с переменным верхним пределом. В
этом случае на каждом шаге придется численно решать задачу Коши
для системы n обыкновенных дифференциальных уравнений. При
этом для получения начала таблицы необходимо решать задачу Коши
для системы 6n дифференциальных уравнений в алгоритме, точ-
ность которого порядка 8O h , и для системы 4n дифференциаль-
Математичне та комп’ютерне моделювання
28
ных уравнений в алгоритме, точность которого порядка 6O h . При-
веденные алгоритмы с некоторыми видоизменениями могут быть
также применены к решению задачи Коши для нелинейных интегро-
дифференциальных уравнений и их систем.
Выводы. Таким образом, предложенные численные алгоритмы
решения нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра II ро-
да основаны на приведении к задаче рекуррентного решения обыкно-
венных дифференциальных уравнений и позволяют с высокой точно-
стью исследовать динамические системы, модели которых представ-
ляются интегральными уравнениями.
Список использованной литературы:
1. Верлань А. Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы /
А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. — К. : Наук. думка, 1986. — 542 с.
2. Baker C. T. H. A perspective on the numerical treatment of Volterra equation /
C. T. H. Baker // Journal of computational and applied mathematics. — North-
Holland, 2000. — Vol. 125, № 1–2. — P. 217–251.
3. Brunner H. The Numerical Solution of Volterra Equation / H. Brunner,
P. J. van der Houwen. — Amsterdam : North-Holland, 1986. — 588 p.
4. Верлань А. Ф. Комбинированные квадратурные алгоритмы реализации
интегральных моделей многосвязных динамических систем / А. Ф. Вер-
лань, В. А. Тихоход // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія:
Технічні науки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-
Подільський національний університет. — 2008. — Вип. 1. — С. 19–26.
5. Каханер Д. Численные методы и математическое обеспечение / Д. Каха-
нер, К. Моулер, С. Нэш. — М. : Мир, 1998. — 575 с.
6. Campbell G. M. A block by block method numerical solution of Volterra integral
equations / G. M. Campbell, I. T. Day. — 1971. — Vol. 11, № 1. — P. 120.
The questions of the study of integral dynamic models by applying the
close type quadrature formula of high occuracy. Described by recurrence algo-
rithms for solving nonlinear Volterra integral equations and their systems.
Key words: integral models of dynamic systems, quadrature formulas,
recurrence algorithm, algorithms for solving integral equations.
Отримано: 11.07.2014
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.1000
/ColorConversionStrategy /sRGB
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo false
/PreserveFlatness false
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
/Arial-Black
/Arial-BlackItalic
/Arial-BoldItalicMT
/Arial-BoldMT
/Arial-ItalicMT
/ArialMT
/ArialNarrow
/ArialNarrow-Bold
/ArialNarrow-BoldItalic
/ArialNarrow-Italic
/ArialUnicodeMS
/CenturyGothic
/CenturyGothic-Bold
/CenturyGothic-BoldItalic
/CenturyGothic-Italic
/CourierNewPS-BoldItalicMT
/CourierNewPS-BoldMT
/CourierNewPS-ItalicMT
/CourierNewPSMT
/Georgia
/Georgia-Bold
/Georgia-BoldItalic
/Georgia-Italic
/Impact
/LucidaConsole
/Tahoma
/Tahoma-Bold
/TimesNewRomanMT-ExtraBold
/TimesNewRomanPS-BoldItalicMT
/TimesNewRomanPS-BoldMT
/TimesNewRomanPS-ItalicMT
/TimesNewRomanPSMT
/Trebuchet-BoldItalic
/TrebuchetMS
/TrebuchetMS-Bold
/TrebuchetMS-Italic
/Verdana
/Verdana-Bold
/Verdana-BoldItalic
/Verdana-Italic
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages false
/ColorImageMinResolution 150
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 150
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages false
/GrayImageMinResolution 150
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 150
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages false
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects true
/CheckCompliance [
/PDFX1a:2001
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
/HEB <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>
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <FEFF00410020006800690076006100740061006c006f007300200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b0020006d00650067006200ed007a00680061007400f30020006d0065006700740065006b0069006e007400e9007300e900720065002000e900730020006e0079006f006d00740061007400e1007300e10072006100200073007a00e1006e0074002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b0061007400200065007a0065006b006b0065006c0020006100200062006500e1006c006c00ed007400e10073006f006b006b0061006c00200068006f007a006800610074006a00610020006c00e9007400720065002e0020002000410020006c00e90074007200650068006f007a006f00740074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b00200061007a0020004100630072006f006200610074002000e9007300200061007a002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020007600610067007900200061007a002000610074007400f3006c0020006b00e9007301510062006200690020007600650072007a006900f3006b006b0061006c0020006e00790069007400680061007400f3006b0020006d00650067002e>
/ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.)
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <FEFF04120438043a043e0440043804410442043e043204430439044204350020044604560020043f043004400430043c043504420440043800200434043b044f0020044104420432043e04400435043d043d044f00200434043e043a0443043c0435043d044204560432002000410064006f006200650020005000440046002c0020044f043a04560020043d04300439043a04400430044904350020043f045604340445043e0434044f0442044c00200434043b044f0020043d0430043404560439043d043e0433043e0020043f0435044004350433043b044f043404430020044204300020043404400443043a0443002004340456043b043e04320438044500200434043e043a0443043c0435043d044204560432002e00200020042104420432043e04400435043d045600200434043e043a0443043c0435043d0442043800200050004400460020043c043e0436043d04300020043204560434043a0440043804420438002004430020004100630072006f006200610074002004420430002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002004300431043e0020043f04560437043d04560448043e04570020043204350440044104560457002e>
/RUS <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>
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AllowImageBreaks true
/AllowTableBreaks true
/ExpandPage false
/HonorBaseURL true
/HonorRolloverEffect false
/IgnoreHTMLPageBreaks false
/IncludeHeaderFooter false
/MarginOffset [
0
0
0
0
]
/MetadataAuthor ()
/MetadataKeywords ()
/MetadataSubject ()
/MetadataTitle ()
/MetricPageSize [
0
0
]
/MetricUnit /inch
/MobileCompatible 0
/Namespace [
(Adobe)
(GoLive)
(8.0)
]
/OpenZoomToHTMLFontSize false
/PageOrientation /Portrait
/RemoveBackground false
/ShrinkContent true
/TreatColorsAs /MainMonitorColors
/UseEmbeddedProfiles false
/UseHTMLTitleAsMetadata true
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/BleedOffset [
0
0
0
0
]
/ConvertColors /ConvertToRGB
/DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1)
/DestinationProfileSelector /UseName
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements true
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MarksOffset 6
/MarksWeight 0.250000
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PageMarksFile /RomanDefault
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [600 600]
/PageSize [419.528 595.276]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86439 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 2308-5916 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:22:20Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Верлань, Д.А. Тихоход, В.А. 2015-09-17T17:05:24Z 2015-09-17T17:05:24Z 2014 Алгоритмы численной реализации нелинейных интегральных динамических моделей с повышенной точностью / Д.А. Верлань, В.А. Тихоход // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 11. — С. 20-28. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 2308-5916 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86439 004.421:519.64 Рассмотрены вопросы численной реализации интегральных динамических моделей путем применения квадратурных формул закрытого типа повышенной точности. Предложены рекуррентные алгоритмы решения нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра и их систем. The questions of the study of integral dynamic models by applying the close type quadrature formula of high occuracy. Described by recurrence algorithms for solving nonlinear Volterra integral equations and their systems. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки Алгоритмы численной реализации нелинейных интегральных динамических моделей с повышенной точностью Article published earlier |
| spellingShingle | Алгоритмы численной реализации нелинейных интегральных динамических моделей с повышенной точностью Верлань, Д.А. Тихоход, В.А. |
| title | Алгоритмы численной реализации нелинейных интегральных динамических моделей с повышенной точностью |
| title_full | Алгоритмы численной реализации нелинейных интегральных динамических моделей с повышенной точностью |
| title_fullStr | Алгоритмы численной реализации нелинейных интегральных динамических моделей с повышенной точностью |
| title_full_unstemmed | Алгоритмы численной реализации нелинейных интегральных динамических моделей с повышенной точностью |
| title_short | Алгоритмы численной реализации нелинейных интегральных динамических моделей с повышенной точностью |
| title_sort | алгоритмы численной реализации нелинейных интегральных динамических моделей с повышенной точностью |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86439 |
| work_keys_str_mv | AT verlanʹda algoritmyčislennoirealizaciinelineinyhintegralʹnyhdinamičeskihmodeleispovyšennoitočnostʹû AT tihohodva algoritmyčislennoirealizaciinelineinyhintegralʹnyhdinamičeskihmodeleispovyšennoitočnostʹû |