Математичне моделювання перистальтичних процесів на основі решітчастого рівняння Больцмана

Обґрунтовано актуальність дослідження перистальтичних процесів, які забезпечують переміщення рідин в організмі людини. Оскільки традиційний підхід до математичного моделювання реальних перистальтичних процесів викликає ряд проблем, пов’язаних зі значним зростанням обсягів обчислень та порушенням зак...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Нестеренко, Б.Б., Новотарський, М.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86448
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Математичне моделювання перистальтичних процесів на основі решітчастого рівняння Больцмана / Б.Б. Нестеренко, М.А. Новотарський // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 11. — С. 96-107. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86448
record_format	dspace
spelling	Нестеренко, Б.Б. Новотарський, М.А. 2015-09-17T17:59:12Z 2015-09-17T17:59:12Z 2014 Математичне моделювання перистальтичних процесів на основі решітчастого рівняння Больцмана / Б.Б. Нестеренко, М.А. Новотарський // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 11. — С. 96-107. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 2308-5916 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86448 681.3 Обґрунтовано актуальність дослідження перистальтичних процесів, які забезпечують переміщення рідин в організмі людини. Оскільки традиційний підхід до математичного моделювання реальних перистальтичних процесів викликає ряд проблем, пов’язаних зі значним зростанням обсягів обчислень та порушенням законів збереження, в роботі запропоновано застосування технології математичного моделювання на основі решітчастого рівняння Больцмана. Описані теоретичні основи решітчастої моделі Больцмана та особливості її застосування на двовимірній решітці. Значна увага приділена особливостям формування граничних умов на макроскопічному рівні та рівні вузлів решітки. Наведено результати моделювання перистальтичного процесу у травному тракті людини. Actuality of study of the peristaltic processes that ensure the movement of fluids in the human body is substantiated. Whereas the traditional approach to mathematical modeling of real peristaltic processes causes a number of problems associated with increasing of the computation complexity and violating of the conservation laws, the paper presents the application of mathematical modeling technology based on lattice Boltzmann equation. Theoretical Foundations of lattice Boltzmann model and especially its use in two-dimensional lattice is described. Much attention is paid to the peculiarities of formation of boundary conditions at the macroscopic level and the level of the lattice sites. Results of simulations of the peristaltic process in the digestive tract are given. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки Математичне моделювання перистальтичних процесів на основі решітчастого рівняння Больцмана Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Математичне моделювання перистальтичних процесів на основі решітчастого рівняння Больцмана
spellingShingle	Математичне моделювання перистальтичних процесів на основі решітчастого рівняння Больцмана Нестеренко, Б.Б. Новотарський, М.А.
title_short	Математичне моделювання перистальтичних процесів на основі решітчастого рівняння Больцмана
title_full	Математичне моделювання перистальтичних процесів на основі решітчастого рівняння Больцмана
title_fullStr	Математичне моделювання перистальтичних процесів на основі решітчастого рівняння Больцмана
title_full_unstemmed	Математичне моделювання перистальтичних процесів на основі решітчастого рівняння Больцмана
title_sort	математичне моделювання перистальтичних процесів на основі решітчастого рівняння больцмана
author	Нестеренко, Б.Б. Новотарський, М.А.
author_facet	Нестеренко, Б.Б. Новотарський, М.А.
publishDate	2014
language	Ukrainian
container_title	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format	Article
description	Обґрунтовано актуальність дослідження перистальтичних процесів, які забезпечують переміщення рідин в організмі людини. Оскільки традиційний підхід до математичного моделювання реальних перистальтичних процесів викликає ряд проблем, пов’язаних зі значним зростанням обсягів обчислень та порушенням законів збереження, в роботі запропоновано застосування технології математичного моделювання на основі решітчастого рівняння Больцмана. Описані теоретичні основи решітчастої моделі Больцмана та особливості її застосування на двовимірній решітці. Значна увага приділена особливостям формування граничних умов на макроскопічному рівні та рівні вузлів решітки. Наведено результати моделювання перистальтичного процесу у травному тракті людини. Actuality of study of the peristaltic processes that ensure the movement of fluids in the human body is substantiated. Whereas the traditional approach to mathematical modeling of real peristaltic processes causes a number of problems associated with increasing of the computation complexity and violating of the conservation laws, the paper presents the application of mathematical modeling technology based on lattice Boltzmann equation. Theoretical Foundations of lattice Boltzmann model and especially its use in two-dimensional lattice is described. Much attention is paid to the peculiarities of formation of boundary conditions at the macroscopic level and the level of the lattice sites. Results of simulations of the peristaltic process in the digestive tract are given.
issn	2308-5916
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86448
citation_txt	Математичне моделювання перистальтичних процесів на основі решітчастого рівняння Больцмана / Б.Б. Нестеренко, М.А. Новотарський // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 11. — С. 96-107. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT nesterenkobb matematičnemodelûvannâperistalʹtičnihprocesívnaosnovírešítčastogorívnânnâbolʹcmana AT novotarsʹkiima matematičnemodelûvannâperistalʹtičnihprocesívnaosnovírešítčastogorívnânnâbolʹcmana
first_indexed	2025-11-26T02:04:21Z
last_indexed	2025-11-26T02:04:21Z
_version_	1850607359186960384
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 96 УДК 681.3 Б. Б. Нестеренко, д-р. техн. наук, професор, М. А. Новотарський, д-р. техн. наук Інститут математики НАН України, м. Київ МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПЕРИСТАЛЬТИЧНИХ ПРОЦЕСІВ НА ОСНОВІ РЕШІТЧАСТОГО РІВНЯННЯ БОЛЬЦМАНА Обґрунтовано актуальність дослідження перистальтичних процесів, які забезпечують переміщення рідин в організмі лю- дини. Оскільки традиційний підхід до математичного моделю- вання реальних перистальтичних процесів викликає ряд про- блем, пов’язаних зі значним зростанням обсягів обчислень та порушенням законів збереження, в роботі запропоновано за- стосування технології математичного моделювання на основі решітчастого рівняння Больцмана. Описані теоретичні основи решітчастої моделі Больцмана та особливості її застосування на двовимірній решітці. Значна увага приділена особливостям формування граничних умов на макроскопічному рівні та рівні вузлів решітки. Наведено результати моделювання перисталь- тичного процесу у травному тракті людини. Ключові слова: решітчасте рівняння Больцмана, мате- матичне моделювання, перистальтичний процес, BGK-модель. Вступ. Бурхливий науково-технічний прогрес в області технічних засобів та програмного забезпечення обчислювальних систем відкри- ває нові можливості для розвитку методів математичного моделювання складних фізичних процесів, зокрема процесів переміщення рідин в обмежених областях з рухомими границями, тобто перистальтичних процесів [1; 2]. Ці процеси є важливою складовою переважної більшо- сті механізмів забезпечення руху рідин в організмі людини. Периста- льтичні процеси відбуваються у таких важливих системах, як травна та судинна. Тому вивчення руху рідин під дією перистальтичних процесів у згаданих системах дозволяє краще зрозуміти механізми їх функціо- нування з метою корекції тих чи інших відхилень. Сучасні математичні моделі перистальтичних процесів у більшос- ті випадків представлені системою рівнянь, до якої входить рівняння Нав’є-Стокса та рівняння неперервності потоку [3]. Крайові задачі, сформовані на основі даної системи рівнянь, потребують значних за- трат часу та обчислювальних ресурсів для їх розв’язування. Основні причини високої обчислювальної складності полягають у необхідності врахування зміни у часі геометричної форми фізичної області, що від- бувається за рахунок коливань границь обмежуючого об’єкта, та висо- © Б. Б. Нестеренко, М. А. Новаторський, 2014 Серія: Технічні науки. Випуск 11 97 кій мінливості параметрів фізичних процесів, характерній для більшос- ті біологічних об’єктів. За умови використання коливань границь в області складної форми виникає також проблема стійкості чисельних методів, вирішення якої неминуче призводить до зменшення адекват- ності математичної моделі. Негативний вплив на адекватність моделі мають також порушення законів збереження, що виникають внаслідок використання наближених обчислень. Очевидно, що вони стають осо- бливо відчутними при розгляді крайових задач на значних відрізках часу. З цього приводу в літературі часто наводять приклад щодо мале- нького протікання, яке може через певний час осушити океан. Вказані проблеми стали причиною активного пошуку альтернатив- них підходів, одним з яких є кліткові автомати решітчастого газу (КАРГ), теорія яких почала активно розвиватися ще у 80-х роках мину- лого століття [4]. Подібно до чисельних методів, КАРГ розглядають дос- ліджувану область у вигляді решітки з граничними умовами у вузлах, що співпадають з границями області. Корінною відмінністю є те, що в даному випадку приймається стратегія «знизу-вверх», яка забезпечує відповідність законам збереження для досліджуваних фізичних величин на мікрорівні, тобто у кожному вузлі решітки. Основною проблемою такого підходу довгий час залишалась розробка такої структури решітки та правил взаємодії елементарних об’ємів рідини в кожному вузлі, щоб на макрорівні поведінка моделі відповідала розв’язкам крайової задачі на основі рівняння Нав’є-Стокса. В процесі вирішення цієї проблеми було виявлено ряд недоліків КАРГ, важливим з яких є «зашумленість» результатів, яка може бути частково подолана шляхом збільшення обчи- слювальної складності відповідних алгоритмів [5]. Подальший розвиток КАРГ привів до розробки нового підходу, який спеціально орієнтований на вирішення гідродинамічних задач та успадкував істотну частину пе- реваг кліткових автоматів решітчастого газу. Цей підхід ґрунтується на розв’язуванні решітчастого рівняння Больцмана у кожному вузлі решіт- ки і тому має назву решітчастої моделі Больцмана (РМБ). 1. Основи решітчастої моделі Больцмана. В основі решітчастої моделі лежить рівняння Больцмана, яке є рівнянням з частинними похі- дними, що описує еволюцію функції розподілу певної частинки речови- ни або елементарного об’єму рідини на мезоскопічному рівні [6].  f f F f v f t x m v           , (1) де F — зовнішні сили, що діють на частинку масою m ,  f – опе- ратор колізій,  , ,f x v t — функція розподілу густини, яка задає ймо- вірність того, що частинка в момент часу t перебуватиме в кубі з вершиною в точці x і довжиною сторони ,dx а її швидкість буде знаходитися в діапазоні від v до .dv Математичне та комп’ютерне моделювання 98 За умови відсутності зовнішніх сил  0F  одержуємо  f v f f t       . (2) Завдяки простоті найчастіше використовують оператор колізій, що представлений виразом:     1 eqf f f     , (3) де  — константа, яка визначає масштаб часу, необхідний для вста- новлення локальної рівноваги,  eqf — рівноважна функція розподі- лу густини (так звана функція розподілу Максвела-Больцмана). Таким чином одержуємо BGK-модель, назву якої складають пер- ші літери прізвищ її авторів [7]:   1 eqf v f f f t        . (4) Мезоскопічний та макроскопічний рівні моделювання пов’язані виразами:    8 8 0 0 , , eq i k k k f x v t dv f f        , (5)    8 8 0 0 1 1 1 , , eq k k k k k k u v f x v t dv v f v f            , (6) де u — вектор швидкості потоку рідини,  — масова густина пото- ку рідини. Дискретизацію цієї моделі виконують в просторі швидкостей на скінченній множині векторів  kv з урахуванням законів збереження [8], в результаті чого одержуємо систему, яка складається з Q рівнянь:   1 eqk k k k k f v f f f t        , 0,1,2,..., 1k Q  , (7) де    , , ,k kf x t f x v t є функція розподілу густини, яка асоційована з напрямком вектора швидкості ,kv  eq kf — відповідна вектору kv рівноважна функція розподілу густини. Рівняння (7) є основою решітчастої моделі Больцмна, оскільки після застосування до елементарних об’ємів рідини на мезоскопічно- му рівні забезпечує опис її поведінки відповідно до рівняння Нав’є- Стокса на макроскопічному рівні. Для реалізації комп’ютерної моделі виконаємо повну дискретиза- цію (7) з часовим кроком t та просторовим кроком k kx v t   [9]: Серія: Технічні науки. Випуск 11 99               , , , , , , . k k k k k k eq k k k k k k k kk k f x v t t t f x v t t t f x v t t f x t f x t f x t x                   Вважаючи, що 1kx t    , одержуємо решітчасте рівняння Бо- льцмана:           1 , , , , eq k k k k k k k kkf x v t t t f x t f x t f x t          , (8) де kx — точка в дискретизованому фізичному просторі. Рівняння (8) відповідно до BGK-моделі будемо розв’язувати за два кроки. 1. Колізійний крок:           1 , , , , eq k k k k k k kkf x t t f x t f x t f x t       . (9) 2. Потоковий крок:    , ,k k k k kf x v t t t f x t t       . (10) В (9) і (10) функція розподілу kf  описує післяколізійний стан елементарного об’єму рідини або частинки речовини в точці дискре- тного простору .kx В BGK-моделі колізії розглядаються як коливан- ня елементарних об’ємів рідини навколо локальної рівноваги. Значення елементів множини  kv визначаються в залежності від вимірності моделі та кількості зв’язаних вузлів, які утворюють базовий елемент решітки. Серед двовимірних моделей відомі моделі D2Q5, D2Q7 та D2Q9 з базовими елементами, що показані на рис. 1. Рис. 1. Базові елементи двовимірних решітчастих моделей Больцмана 2. Параметри двовимірної моделі D2Q9 для нестисливої рі- дини. Для моделювання двовимірних потоків нестисливої рідини використаємо решітчасту модель D2Q9, для якої складові вектора швидкості  8 0k k v v   визначають з виразів [10]: Математичне та комп’ютерне моделювання 100 kv            0, 0 , 0, 1 1 cos , sin , 1,3,5, 7, 4 4 1 1 2 cos , sin , 2, 4, 6,8, 4 4 k k k c k k k c k                                                   (11) де c x t   — константа решітки, яка дорівнює відношенню вели- чини просторового кроку x до величини часового кроку t . На заданій D2Q9 решітці використаємо функцію розподілу Мак- свела з метою визначення рівноважної функції розподілу густи- ни  eq kf . Для невеликих значень числа Маха 1sM u c  , яке ви- значатимемо як відношення модуля швидкості потоку u до швидко- сті звуку sc в даній рідині, одержимо:           2 2 2 33 3 2 2 2 23 2 2 2 4 3 3 2 2 3 3 9 1 3 . 2 2 2 k k k k v v u v u u u k v k k f e e e v u v uu u e c c c                            Отже, обмежившись точністю розкладання  2O M , що відпові- дає порядку рівняння Нав’є-Стокса, вираз для рівноважної функції розподілу густини запишемо у вигляді:        2 2 2 4 3 9 1 3 2 2 eq k k kk v u v uu u f w c c c             , 0,1, 2,...,8k  , (12) де 4 9, 0 1 9, 1,3,5,7 1 36, 2,4,6,8 k k w k k      — вагові коефіцієнти, які залежать від положення вузла k відносно центрального вузла. Максимального значення коефіцієнт kw набуває при 0k  , а мінімальне значення відповідає найвіддаленішим вузлам з номерами 2, 4, 6 та 8, відповід- но до рис. 1. Значення коефіцієнтів kw сформовані з дотриманням умови нормалізації: 8 0 1k k w   . Оскільки при розв’язуванні рівняння Нав’є-Стокса для нестис- куваних рідин прийнято використовувати тиск p в якості незалежної Серія: Технічні науки. Випуск 11 101 змінної, введемо запропоновану в [8] функцію розподілу тиску 2 k s kp c f . Тоді рівняння (8) перепишемо у вигляді:           1 , , , , eq k k k k k k k kkp x v t t t p x t p x t p x t          , (13) де  eq kp — рівноважна функція розподілу тиску, яка визначається з (12) за умови, що для решітки D2Q9 3sc c :           2 2 22 3 3 2 2 eq eq s k k kk k u uc c p c f w v u v u              . (14) Відповідно до виразів (5) і (6) макроскопічні параметри потоку з використанням функції розподілу тиску мають вигляд: 8 0 k k p p    , (15) 8 0 1 k k k u v p p    . (16) Математична модель (13–16), що описує рух елементарних об’ємів рідини на мезоскопічному рівні, відповідає системі, яка скла- дається з рівнянь неперервності потоку та Нав’є-Стокса на макроско- пічному рівні:   2 0, , u u u u p u t              (17) де  — кінематична в’язкість, яка визначається з виразу:    22 1 6 x t       . Доведення цього факту вперше запропоновано Чапменом- Енскогом та узагальнено в [11]. 3. Граничні умови. Особливість формування граничних умов при моделюванні перистальтичних процесів в біологічних об’єктах зумовлена тим, що причиною руху рідини в порожнистому об’єкті є коливальний рух його стінок. Тому на макроскопічному рівні під час моделювання граничні умови повинні задавати вектор швидкості ру- ху елементарного об’єму рідини у безпосередній близькості до обме- жуючої поверхні при повній відсутності ковзання вздовж поверхні. Стінки поверхні (рис. 2) рухаються зі швидкістю, напрям векто- ра якої збігається з нормаллю до осі ,x а величина модуля визнача- ється функцією: Математичне та комп’ютерне моделювання 102      max, , , , , , , , ,n t xU t x U U t U x          , (18) де maxU — величина максимально допустимого значення модуля швидкості,  — часовий період зміни швидкості деформації,  — просторовий період деформації вздовж осі x ,  — поточний номер просторового кроку,  — величина зсуву деформації вздовж осі x . Часова складова зміни модуля швидкості визначається з виразу:   2, sint t U t         . Повний цикл коливання поверхні відбувається за два періоди даної функції. Просторова складова зміни модуля швидкості залежить від ста- дії процесу моделювання і представлена функцією:            max max , , , cos при 0, cos cos 1 при 0 , cos при . xU x x x x x                                    (19) На першому кроці відбувається початкова деформація поверхні, наступні кроки моделювання відображають зменшення деформації попереднього кроку з одночасним зростанням деформації, яка відпо- відає наступному крокові. На останньому кроці max відбувається перехід обмежуючої поверхні до початкового стану. Зміна положення обмежуючої поверхні на макроскопічному рівні супроводжується зміною статусу вузлів решітки. Вузол одержує статус граничного, якщо фізична границя проходить через зону впливу даного вузла. Якщо зона впливу вузла лежить за межами фізичної границі, то такий вузол вважають вузлом стінки або вузлом рідини за умови, що зона його впливу повністю належить рідині. Зона впливу кожного вузла представлена у вигляді квадрата, який проходить через середини ліній зв’язку між сусідніми вузлами (рис. 2). Таким чином одержуємо апрок- симовану границю між рідиною та обмежуючою поверхнею, яка прохо- дить через відповідні граничні вузли. Трансформація граничних умов макроскопічного рівня на рівень вузлів решітки Больцмана може бути реалізована шляхом довизначення функцій розподілу, які залишаються невідомими для зв’язків граничних вузлів, що з’єднують їх з вузлами стінки [12]. При такому довизначенні виходять з того факту, що в даних областях повинна підтримуватись термодинамічна рівновага, а тому в них має бути справедливим закон розподілу Максвела-Больцмана. Оскі- льки частина сусідів граничного вузла не належить рідині, то локальні функції розподілу, що передаються від них, залежать від тиску ,p який відрізняється від макроскопічного значення тиску .p Наприклад, для Серія: Технічні науки. Випуск 11 103 вузла нижньої границі з координатами    , 5,3x y  відповідні фіктивні функції розподілу визначаються з виразу:    ,eq k kg f p u , (20) де 2,3, 4k  відповідно до нумерації, яка показана на рис. 2 для вузла з координатами    , 8,3x y  ;  eq kf — рівноважна функція розподі- лу, що визначається з виразу (12),  ,x yu u u — вектор швидкості, направлений по нормалі до границі. Рис. 2. Параметри області дослідження Для визначення p розглянемо рівняння (15) і (16), що задають зв'язок функцій розподілу з макроскопічними параметрами тиску та швидкості. Граничному вузлу  5,3 відповідає така система рівнянь:       2 3 4 0 1 5 6 7 8 2 4 1 5 6 8 2 3 4 6 7 8 , , . x y f f f p f f f f f f f f p u f f f f f f f p u f f f                         (21) Розв’язавши її відносно p , одержуємо:  0 1 5 6 7 82 1 y f f f f f f p u         . (22) Якщо допустити, що нерівноважна складова функції розподілу є незмінною вздовж напрямку осі y , то     3 7 73 eq eq f f f f   . Викори- стовуючи (12), одержуємо: 3 7 2 3 yp u f f    , 1 5 2 6 2 2 6 yx p uf f p u f f      , 1 5 4 8 2 2 6 yx p uf f p u f f      . Математичне та комп’ютерне моделювання 104 Використовуючи аналогічний підхід, можна одержати вирази для визначення функцій розподілу для вузлів верхньої границі, граничних вузлів вертикальних стінок та кутових граничних вузлів. При цьому зна- чення модуля та напрям вектора u визначають, виходячи з середньої швидкості руху границі в зоні впливу відповідного граничного вузла. 4. Застосування моделі D2Q9 при дослідженні перистальтич- них процесів. Двовимірна решітчаста модель Больцмана застосована у дослідженнях перистальтичних процесів при коригуючих операціях на порожнистих органах шлунково-кишкового тракту. Метою дослі- джень є пошук додаткових можливостей затримання вмісту тонкої кишки (химусу) і розробка комплексу заходів, що включають зміну просторових форм прямої кишки та вплив на її моторику. Зокрема, на рис. 3 показано особливості просторового розподілу швидкостей хи- мусу в моделі паралельного розгалуження. Рис. 3. Двовимірна модель паралельного розгалуження Параметри перистальтичного процесу також істотно залежать від характеристик перекачуваної рідини. Оскільки параметри химусу можуть змінюватись у залежності від його розміщення в шлунково- кишковому тракті, проведено ряд досліджень з метою визначення продуктивності перистальтичного процесу в паралельному розгалу- женні в залежності від густини та динамічної в’язкості химусу. В результаті моделювання перистальтичного процесу при фіксова- них значеннях швидкості деформації поверхні і різних значеннях густи- ни химусу одержано залежність, що показана на графіку (рис. 4). Результати досліджень показали нелінійне зменшення продук- тивності перистальтичного транспортного процесу зі зростанням гус- тини химусу, що добре узгоджується з результатами практичних дос- ліджень. Паралельне розгалуження сприяє зменшенню нелінійності в робочому діапазоні густин від 400 до 800 кг/м3. При фіксованому значенні густини химусу 500 кг/м3 проведено моделювання з метою визначення впливу динамічної в’язкості химусу на продуктивність перистальтичного транспортного процесу. Серія: Технічні науки. Випуск 11 105 Рис. 4. Графік залежності продуктивності від густини химусу В результаті цього дослідження одержана залежність, що пока- зана на рис. 5. Рис. 5. Графік залежності продуктивності від динамічної в’язкості Отже, як видно з рис. 5, продуктивність перистальтичного тран- спортного процесу зростає зі зростанням динамічної в’язкості химу- су, досягає свого максимального значення при динамічній в’язкості 50 Па  с і починає зменшуватись при подальшому зростанні цього параметра. Використання залежностей, показаних на рис. 4 та рис. 5 є важливим при виборі типу реконструктивної операції. Висновки. Традиційна технологія моделювання перистальтичних процесів базується на розв’язуванні чисельними методами крайової задачі математичної фізики, яка включає рівняння неперервності пото- Математичне та комп’ютерне моделювання 106 ку та рівняння Нав’є-Стокса. Але такий підхід пов’язаний зі значними труднощами, спричиненими великим обсягом обчислень, проблемами стійкості чисельних методів та загрозою порушення законів збережен- ня. Для подолання згаданих труднощів при моделюванні перистальти- чних процесів у біологічних об’єктах в роботі запропоновано викорис- тання технології моделювання «знизу-вверх». Ця технологія заснована на виконанні законів збереження і дозволяє значно простіше задавати граничні умови для областей зі змінною формою, що є важливим для перистальтичних процесів, у яких рух рідини спричинений рухом об- межуючих поверхонь. Основою моделювання за технологією «знизу- вверх» є КАРГ, основний недолік яких полягає у «зашумленості» ре- зультатів моделювання. Тому запропоновано використання решітчас- того рівняння Больцмана, яке можна вважати подальшим розвитком технології «знизу-вверх» для задач гідродинаміки. Описано математи- чні основи формування решітчастого рівняння Больцамана та особли- вості застосування його до моделювання на двовимірних решітках ти- пу D2Q9. Представлені правила формування граничних умов на мак- роскопічному рівні та на рівні вузлів даної двовимірної решітки. Наве- дено деякі результати математичного моделювання перистальтичних процесів, що виникають внаслідок коригуючих операцій на порожнис- тих органах травного тракту людини. Список використаних джерел: 1. Tripathi D. Numerical and analytical simulation of peristaltic flows of general- ized Oldroyd-B fluids / D. Tripathi // International Journal for Numerical Methods in Fluids. — 2010. — Vol. 67, №12. — P. 1932–1943. 2. Akram S. Simulation of heat and mass transfer on peristaltic flow of hyperbolic tangent fluid in an asymmetric channel / S. Akram, S. Nadeem // International Jour- nal for Numerical Methods in Fluids. — 2012. — Vol.70, №12. — P. 1475–1493. 3. Rast M.P. Simultaneous solution of the Navier-Stokes and elastic membrane equations by a finite element method / M.P. Rast // International Journal for Numerical Methods in Fluids. — 2005. — Vol.19, №12. — P. 1115–1135. 4. Binder P.M. Topological classification of cellular automata / P.M. Binder // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1991. — Vol.24, №1. — L31–L34. 5. Frisch U. Lattice-gas automata for the Navier-Stokes equation / U. Frisch, B. Hasslacher, Y. Pomeau // Physical Review Letters. — 1986. — Vol. 56, №14. — P. 1505–1508. 6. Mohamad A.A. Lattice Boltzmann method / A.A. Mohamad. — London: Springer-Verlag. — 2011. — 178 p. 7. Bhatnagar P. L. A model for collision processes in gases. I: Small amplitude proc- esses in charged and neutral one-component system / P. L. Bhatnagar, E. P. Gross, M. Krook // Physical Review. — 1954. — Vol.94, №3. — P.511–525. 8. He X., Luo L-S. Theory of the lattice Boltzmann equation: from Boltzmann equa- tion to lattice Boltzmann equation / X. He, L-S. Luo // Physical Review E. — 1997. — Vol. 56, №6. — P.6811–6817. 9. Sokup M. C. Lattice Boltzmann Modeling / M. C. Sokup, D.T. Thorne. — Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. — 2006. — 173 p. Серія: Технічні науки. Випуск 11 107 10. Qian Y. N. Lattice BGK models for Navier-Stokes equation / Y. N. Qian, D. D’Humieres, P. Lallemand // Europhysics Letters. —1992. — Vol. 17, № 6. — P.479–484. 11. Cercignani C. The Boltzmann Equation and Its Applications / C. Cercigna- ni. — New York etc. : Springer-Verlag, 1988. — 455 p. 12. Inamuro T. A non-slip boundary condition for lattice Boltzmann simulations / T. Inamuro, M. Yoshina, F. Ogino // Physics of Fluids. — 1995. — Vol. 7, № 12. — P. 2928–2930. Actuality of study of the peristaltic processes that ensure the movement of fluids in the human body is substantiated. Whereas the traditional approach to mathematical modeling of real peristaltic processes causes a number of prob- lems associated with increasing of the computation complexity and violating of the conservation laws, the paper presents the application of mathematical mod- eling technology based on lattice Boltzmann equation. Theoretical Foundations of lattice Boltzmann model and especially its use in two-dimensional lattice is described. Much attention is paid to the peculiarities of formation of boundary conditions at the macroscopic level and the level of the lattice sites. Results of simulations of the peristaltic process in the digestive tract are given. Key words: lattice Boltzmann equation, mathematical modeling, peri- staltic process, BGK-model. Отримано: 15.09.2014 UDC 681.5.015:[52+87] V. D. Pavlenko, D. Sc, Professor, V. A. Speranskyy, Ph. D. Odessa national polytechnic university, Odessa THE TOOLKIT FOR NONPARAMETRIC IDENTIFICATION NONLINEAR DYNAMICAL SYSTEMS BASED ON VOLTERRA MODELS IN FREQUENCY DOMAIN The software-hardware tools used for nonlinear dynamical sys- tems nonparametric identification based on Volterra models in fre- quency domain are presented. The polyharmonic test impacts are selected as the test ones. The proposed methodology and the toolkit are used for building the communication channel model. Key words: nonlinear dynamical systems, Volterra models, fre- quency domain, nonparametric identification, polyharmonic signals, multidimensional frequency characteristics, identification toolkit. Introduction. Increasing complexity of the technical systems and ob- jects being studied and planned necessitates the development of mathematical models. Such models have to take into account nonlinear and dynamic proper- ties of mentioned systems and objects. Also the development of efficient com- puter implementation of tools for constructing such models is needed. © V. D. Pavlenko, V. A. Speranskyy, 2014 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <FEFF005400610074006f0020006e006100730074006100760065006e00ed00200070006f0075017e0069006a007400650020006b0020007600790074007600e101590065006e00ed00200064006f006b0075006d0065006e0074016f002000410064006f006200650020005000440046002000760068006f0064006e00fd00630068002000700072006f002000730070006f006c00650068006c0069007600e90020007a006f006200720061007a006f007600e1006e00ed002000610020007400690073006b0020006f006200630068006f0064006e00ed0063006800200064006f006b0075006d0065006e0074016f002e002000200056007900740076006f01590065006e00e900200064006f006b0075006d0065006e007400790020005000440046002000620075006400650020006d006f017e006e00e90020006f007400650076015900ed007400200076002000700072006f006700720061006d0065006300680020004100630072006f00620061007400200061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610020006e006f0076011b006a016100ed00630068002e> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <FEFF0055007300740061007700690065006e0069006100200064006f002000740077006f0072007a0065006e0069006100200064006f006b0075006d0065006e007400f300770020005000440046002000700072007a0065007a006e00610063007a006f006e00790063006800200064006f0020006e00690065007a00610077006f0064006e00650067006f002000770079015b0077006900650074006c0061006e00690061002000690020006400720075006b006f00770061006e0069006100200064006f006b0075006d0065006e007400f300770020006600690072006d006f0077007900630068002e002000200044006f006b0075006d0065006e0074007900200050004400460020006d006f017c006e00610020006f007400770069006500720061010700200077002000700072006f006700720061006d006900650020004100630072006f00620061007400200069002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000690020006e006f00770073007a0079006d002e> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Математичне моделювання перистальтичних процесів на основі решітчастого рівняння Больцмана

Institution

Ähnliche Einträge