Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропной вязкоупругой прямоугольной пластины с жестким защемлением торцов
Розв’язується задача про активне демпфування вимушених резонансних згинних коливань прямокутної в’язкопружної iзотропної пластини з жорстко затиснутими торцями. Вважається, що механiчне навантаження невiдоме i знаходиться з експериментальних показникiв сенсора. Методом Бубнова–Гальоркiна одержано фо...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8645 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропной вязкоупругой прямоугольной пластины с жестким защемлением торцов / Т.В. Карнаухова // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 68-72. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859630942316920832 |
|---|---|
| author | Карнаухова, Т.В. |
| author_facet | Карнаухова, Т.В. |
| citation_txt | Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропной вязкоупругой прямоугольной пластины с жестким защемлением торцов / Т.В. Карнаухова // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 68-72. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Розв’язується задача про активне демпфування вимушених резонансних згинних коливань прямокутної в’язкопружної iзотропної пластини з жорстко затиснутими торцями. Вважається, що механiчне навантаження невiдоме i знаходиться з експериментальних показникiв сенсора. Методом Бубнова–Гальоркiна одержано формулу для рiзницi потенцiалiв, яку необхiдно пiдвести до актуатора для демпфування першої моди коливань пластини. Дослiджено вплив розмiрiв сенсора та актуатора, дисипативних властивостей i механiчних граничних умов на ефективнiсть активного демпфування коливань пластини.
A problem of the active damping of forced resonant bending vibrations of a viscoelastic isotropic rectangular plate with the built-in edges is solved. We suppose that a mechanical load is unknown and have found it by the experimental data of a sensor. By the Bubnov–Galerkin method, a formula for a potential difference to damp the forced vibrations of a plate on the first mode is obtained. Influence of the dimensions of sensors and actuators, the dissipative material properties, and the boundary conditions on the effectiveness of the active damping of vibrations of the plate is investigated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:10:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2009
Т.В. Карнаухова
Активное демпфирование вынужденных
резонансных изгибных колебаний изотропной
вязкоупругой прямоугольной пластины с жестким
защемлением торцов
(Представлено академиком НАН Украины В.Д. Кубенко)
Розв’язується задача про активне демпфування вимушених резонансних згинних коли-
вань прямокутної в’язкопружної iзотропної пластини з жорстко затиснутими тор-
цями. Вважається, що механiчне навантаження невiдоме i знаходиться з експеримен-
тальних показникiв сенсора. Методом Бубнова–Гальоркiна одержано формулу для рi-
зницi потенцiалiв, яку необхiдно пiдвести до актуатора для демпфування першої моди
коливань пластини. Дослiджено вплив розмiрiв сенсора та актуатора, дисипативних
властивостей i механiчних граничних умов на ефективнiсть активного демпфування
коливань пластини.
В работе [1] предложен новый подход для активного демпфирования вынужденных ре-
зонансных колебаний тонких вязкоупругих изотропных пластин при помощи совместно-
го использования пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов для случая, когда амплитуда
действующей на пластину механической нагрузки неизвестна. В ней рассматривался наибо-
лее простой случай механических граничных условий, отвечающих шарнирному опиранию
торцов пластины. Подводимая к актуатору разность потенциалов, необходимая для ком-
пенсации механической нагрузки, рассчитывалась по показаниям сенсора. Для указанных
граничных условий эффективность активного демпфирования будет самой высокой при
полном покрытии пластины сенсорами и актуаторами.
В настоящей работе предложенный в [1] подход применяется для исследования актив-
ного демпфирования основной моды вынужденных резонансных изгибных колебаний вяз-
коупругой пластины для граничных условий, отвечающих жесткому защемлению торцов
пластины. Для решения задачи используется метод Бубнова–Галеркина. Получена форму-
ла для расчета разности потенциалов, которую необходимо подвести к актуатору для ком-
пенсации механической нагрузки. Из анализа этой формулы следует, что в отличие от [1]
при жесткой заделке эффективность активного демпфирования указанных колебаний будет
наибольшей при нанесении сенсоров и актуаторов в виде некоторых пятен. Представлены
формулы для расчета размеров этих пятен. Показано, что при уменьшении размеров пятна
и при их стремлении к размерам пластины управлять колебаниями пластины становится
невозможным. Исследовано влияние вязкости на эффективность активного демпфирования
колебаний при помощи предложенного подхода.
Рассмотрим прямоугольную изотропную вязкоупругую пластину с размерами (2a× 2b),
на которую действует давление p = p0e
iωt, изменяющееся во времени по гармоническому
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
закону с частотой, близкой к резонансной частоте пластины. Торцы пластины считаются
жестко защемленными. Основные соотношения, позволяющие исследовать активное дем-
пфирование резонансных колебаний тонких пластин, представлены в [2].
Уравнение колебаний изотропной вязкоупругой пластины при действии на нее механи-
ческой и электрической нагрузки имеет следующий вид [1, 2]:
D∆∆w − ρ̃ω2w − p0(x, y) − ∆M0 = 0. (1)
При жестком защемлении торцов пластины
w =
∂w
∂x
= 0 при x = ±a;
w =
∂w
∂y
= 0 при y ± b.
Как и в [1], решение задачи ищется методом Бубнова–Галеркина. Выражение для пе-
ремещений колебаий по первой моде представляется в стандартном для этого случая гра-
ничных условий виде:
w = Aw̃,
w̃ = (x2 − a2)2(y2 − b2)2.
(2)
При этом автоматически удовлетворяются механические граничные условия.
Будем считать, что для демпфирования резонансных колебаний на пластину нанесено
пятно размерами (2c × 2d) с центром, расположенным в центре пластины. В соответствии
с методом Бубнова–Галеркина выражение (2) подставляем в уравнение (1), а полученный
результат после умножения на функцию формы интегрируем по площади пластины. При
этом используем соотношение
∫ ∫
(S)
f∆gds =
∫ ∫
(S)
g∆fds (3)
(S — площадь пластины).
В результате получим выражение для комплексной амплитуды колебаний пластины
A =
∆1
∆2
, (4)
где
∆1 =
49
16
a2b2p0 −
735
256
M0(a
2 + b2)ψ(s),
ψ(s) = s(1 − s)(15 − 10s + 3s2),
∆2 = 8a2b2∆,
∆ = D
[
7b4 + 4a2b2 + 7a4 −
2
9
ρ̃ω2a4b4
]
.
(5)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 69
Здесь s = (l/L)2; l, L — длина диагоналей пьезоактивных включений и пластины соответст-
венно. Полагая ∆1 = 0, из (5) получим выражение для той разности потенциалов, которую
необходимо подвести к актуатору для компенсации внешней нагрузки:
VA =
32a2b2
15(a2 + b2)ψ(s)γ31(h0 + h1)
p0. (6)
При выполнении соотношения (6) амплитуда вынужденных колебаний по основной моде
при совместном действии механической и электрической нагрузки равна нулю. Как следует
из этого соотношения, механические граничные условия оказывают существенное влияние
на эффективность активного демпфирования колебаний при помощи предлагаемого подхо-
да. Так, например, при шарнирном закреплении торцов пластины наиболее эффективным
является полное покрытие пластины сенсорами и актуаторами [1, 2]. Когда торцы жестко
защемлены, работа актуатора будет наиболее эффективной при достижении функцией ψ(s)
максимума. Он достигается при smax, являющемся корнем уравнения
12s3 − 39s2 + 50s − 15 = 0. (7)
Отсюда следует, что указанный выше метод активного демпфирования будет наиболее эф-
фективным при длине диагонали актуатора l = L
√
smax. Из (6) следует также, что при
s → 0 и при s → 1 разность потенциалов стремится к бесконечности. Таким образом, при
полном покрытии пластины актуатором и при очень малых размерах актуатора управлять
поведением пластины невозможно. Ниже буде показано, что работа сенсора является наи-
более эффективной при тех же его размерах.
Пусть размещение и размеры актуатора и сенсора зафиксированы. Основные недостатки
подхода, основанного на формулах (4), (6), состоят в том, что 1) свободные колебания не
демпфируются и 2) необходимо знать внешнюю механическую нагрузку.
Для устранения второго из указанных недостатков используем подход, предложенный
в [1]. Внешняя нагрузка определяется по показаниям сенсора, занимающего площадь S1.
Для короткозамкнутых электродов величина заряда определяется выражением
Q = γ31(h0 + h1)
∫ ∫
(S1)
(
∂2w
∂x2
+
∂2w
∂y2
)
dxdy. (8)
Для разомкнутых электродов разность потенциалов определяется по формуле
VS =
h1Q
S1γ33
. (9)
Подставляя в (8) выражение (2), получим следующую формулу для показаний сенсора
через амплитуду колебаний:
Q =
16γ31(h0 + h1)Aa
3b3(a2 + b2)ψ(s)
15
. (10)
Величина VS находится из соотношения (9).
Для определения нагрузки p0 при механическом возбуждении воспользуемся выражени-
ем для амплитуды колебаний пластины на частоте, близкой к основной резонансной частоте.
Эта амплитуда находится методом Бубнова–Галеркина. В результате получим:
A =
Π1
Π2
. (11)
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
Здесь введены такие обозначения:
Π1 =
49
64
p0, Π2 = ∆. (12)
При этом первую резонансную частоту запишем таким образом:
ω1 =
√
(63b4 + 36a2b2 + 63a4)D′
ρ̃a4b4
. (13)
Подставляя (11) в выражение для показаний сенсора (10), получим соотношение для
определения амплитуды и фазы механической нагрузки по показаниям сенсора
p0 = −
120
49
Q∆
γ31(h0 + h1)a3b3(a2 + b2)ψ(s)
. (14)
Подставляя (14) в (6), получим связь между показаниями сенсора и разностью потенциа-
лов, которую необходимо подвести к актуатору для компенсации неизвестной механической
нагрузки:
VA = −
256
49
Q∆
ab(a2 + b2)2(h0 + h1)2γ
2
31ψ
2(s)
. (15)
Аналогичное соотношение получим и при снятии с сенсора разности потенциалов. Для этого
необходимо использовать представленное выше соотношение (9).
При использовании предлагаемого подхода к актуатору подводится разность потенциа-
лов, определяемая через показания сенсора по формуле (15). При таком подходе необходимо
знать лишь электромеханические свойства материалов пластины и ее размеры.
Как и в случае шарнирного закрепления торцов пластины, вязкость при использова-
нии указанного подхода оказывает существенное влияние на эффективность предлагаемо-
го подхода.
Таким образом, в настоящей работе рассмотрена задача об активном демпфировании
изгибных колебаний изотропной вязкоупругой прямоугольной пластины с жестким закре-
плением ее торцов в случае, когда внешняя механическая нагрузка неизвестна. Она опре-
деляется по экспериментальным показаниям сенсора. Получены аналитические формулы
для расчета разности потенциалов, которую необходимо подвести к актуатору для ком-
пенсации неизвестной механической нагрузки с использованием только показаний сенсора.
Отмечено существенное влияние граничных условий и диссипативных свойств материала
при реализации предложенного подхода.
1. Карнаухова Т. В. О новом подходе к активному демпфированию вынужденных резонансных колеба-
ний изотропных вязкоупругих пластин // Доп. НАН України. – 2009. – № 5. – С. 78–82.
2. Карнаухов В. Г., Михайленко В. В. Нелинейная термомеханика пьезоэлектрических неупругих тел
при моногармоническом нагружении. – Житомир: ЖТТУ, 2005. – 428 с.
Поступило в редакцию 18.07.2008НТУ Украины “Киевский политехнический институт”
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 71
T.V. Karnaukhova
Active damping of forced resonant bending vibrations of a viscoelastic
isotropic rectangular plate with the built-in edges
A problem of the active damping of forced resonant bending vibrations of a viscoelastic isotropic
rectangular plate with the built-in edges is solved. We suppose that a mechanical load is unknown and
have found it by the experimental data of a sensor. By the Bubnov–Galerkin method, a formula for
a potential difference to damp the forced vibrations of a plate on the first mode is obtained. Influence
of the dimensions of sensors and actuators, the dissipative material properties, and the boundary
conditions on the effectiveness of the active damping of vibrations of the plate is investigated.
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8645 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:10:50Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Карнаухова, Т.В. 2010-06-14T08:53:49Z 2010-06-14T08:53:49Z 2009 Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропной вязкоупругой прямоугольной пластины с жестким защемлением торцов / Т.В. Карнаухова // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 68-72. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8645 539.3 Розв’язується задача про активне демпфування вимушених резонансних згинних коливань прямокутної в’язкопружної iзотропної пластини з жорстко затиснутими торцями. Вважається, що механiчне навантаження невiдоме i знаходиться з експериментальних показникiв сенсора. Методом Бубнова–Гальоркiна одержано формулу для рiзницi потенцiалiв, яку необхiдно пiдвести до актуатора для демпфування першої моди коливань пластини. Дослiджено вплив розмiрiв сенсора та актуатора, дисипативних властивостей i механiчних граничних умов на ефективнiсть активного демпфування коливань пластини. A problem of the active damping of forced resonant bending vibrations of a viscoelastic isotropic rectangular plate with the built-in edges is solved. We suppose that a mechanical load is unknown and have found it by the experimental data of a sensor. By the Bubnov–Galerkin method, a formula for a potential difference to damp the forced vibrations of a plate on the first mode is obtained. Influence of the dimensions of sensors and actuators, the dissipative material properties, and the boundary conditions on the effectiveness of the active damping of vibrations of the plate is investigated. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропной вязкоупругой прямоугольной пластины с жестким защемлением торцов Active damping of forced resonant bending vibrations of a viscoelastic isotropic rectangular plate with the built-in edges Article published earlier |
| spellingShingle | Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропной вязкоупругой прямоугольной пластины с жестким защемлением торцов Карнаухова, Т.В. Механіка |
| title | Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропной вязкоупругой прямоугольной пластины с жестким защемлением торцов |
| title_alt | Active damping of forced resonant bending vibrations of a viscoelastic isotropic rectangular plate with the built-in edges |
| title_full | Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропной вязкоупругой прямоугольной пластины с жестким защемлением торцов |
| title_fullStr | Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропной вязкоупругой прямоугольной пластины с жестким защемлением торцов |
| title_full_unstemmed | Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропной вязкоупругой прямоугольной пластины с жестким защемлением торцов |
| title_short | Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропной вязкоупругой прямоугольной пластины с жестким защемлением торцов |
| title_sort | активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропной вязкоупругой прямоугольной пластины с жестким защемлением торцов |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8645 |
| work_keys_str_mv | AT karnauhovatv aktivnoedempfirovanievynuždennyhrezonansnyhizgibnyhkolebaniiizotropnoivâzkouprugoiprâmougolʹnoiplastinysžestkimzaŝemleniemtorcov AT karnauhovatv activedampingofforcedresonantbendingvibrationsofaviscoelasticisotropicrectangularplatewiththebuiltinedges |