Матриця розсіяння для хвиль згину у тонкій пластині
Метод T -матриць поширено на задачi розсiяння згинних хвиль неоднорiднiстю у плоскiй тонкiй пластинi. Розглянуто випадок отвору та жорсткої наскрiзної вставки неканонiчної форми. З використанням принципу взаємностi та закону збереження енергiї встановлено симетричнiсть та унiтарнiсть матрицi розсiян...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8646 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Матриця розсіяння для хвиль згину у тонкій пластині / В.В. Матус // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 73-78. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8646 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Матус, В.В. 2010-06-14T08:55:44Z 2010-06-14T08:55:44Z 2009 Матриця розсіяння для хвиль згину у тонкій пластині / В.В. Матус // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 73-78. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8646 539.3 Метод T -матриць поширено на задачi розсiяння згинних хвиль неоднорiднiстю у плоскiй тонкiй пластинi. Розглянуто випадок отвору та жорсткої наскрiзної вставки неканонiчної форми. З використанням принципу взаємностi та закону збереження енергiї встановлено симетричнiсть та унiтарнiсть матрицi розсiяння. The T -matrix method has been adapted to the problems of flexural waves scattering by regions of inhomogeneity in a flat thin plate. The cases of a hole and a rigid heterogeneity of noncanonical form are considered. Using the principle of reciprocity and the conservation of energy, the scattering matrix is shown to be symmetric and unitary. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Матриця розсіяння для хвиль згину у тонкій пластині Scattering matrix for flexural waves in a thin plate Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Матриця розсіяння для хвиль згину у тонкій пластині |
| spellingShingle |
Матриця розсіяння для хвиль згину у тонкій пластині Матус, В.В. Механіка |
| title_short |
Матриця розсіяння для хвиль згину у тонкій пластині |
| title_full |
Матриця розсіяння для хвиль згину у тонкій пластині |
| title_fullStr |
Матриця розсіяння для хвиль згину у тонкій пластині |
| title_full_unstemmed |
Матриця розсіяння для хвиль згину у тонкій пластині |
| title_sort |
матриця розсіяння для хвиль згину у тонкій пластині |
| author |
Матус, В.В. |
| author_facet |
Матус, В.В. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2009 |
| language |
Ukrainian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Scattering matrix for flexural waves in a thin plate |
| description |
Метод T -матриць поширено на задачi розсiяння згинних хвиль неоднорiднiстю у плоскiй тонкiй пластинi. Розглянуто випадок отвору та жорсткої наскрiзної вставки неканонiчної форми. З використанням принципу взаємностi та закону збереження енергiї встановлено симетричнiсть та унiтарнiсть матрицi розсiяння.
The T -matrix method has been adapted to the problems of flexural waves scattering by regions of inhomogeneity in a flat thin plate. The cases of a hole and a rigid heterogeneity of noncanonical form are considered. Using the principle of reciprocity and the conservation of energy, the scattering matrix is shown to be symmetric and unitary.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8646 |
| citation_txt |
Матриця розсіяння для хвиль згину у тонкій пластині / В.В. Матус // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 73-78. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT matusvv matricârozsíânnâdlâhvilʹzginuutonkíiplastiní AT matusvv scatteringmatrixforflexuralwavesinathinplate |
| first_indexed |
2025-11-26T00:17:42Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:17:42Z |
| _version_ |
1850599275632787456 |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2009
В.В. Матус
Матриця розсiяння для хвиль згину у тонкiй пластинi
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Г.С. Кiтом)
Метод T -матриць поширено на задачi розсiяння згинних хвиль неоднорiднiстю у пло-
скiй тонкiй пластинi. Розглянуто випадок отвору та жорсткої наскрiзної вставки не-
канонiчної форми. З використанням принципу взаємностi та закону збереження енергiї
встановлено симетричнiсть та унiтарнiсть матрицi розсiяння.
Метод T -матриць широко використовується для одержання числових розв’язкiв задач роз-
сiяння хвиль рiзноманiтної фiзичної природи. Етапи розвитку та сферу застосувань методу
висвiтлено в роботах [1–3]. В данiй роботi цей метод розроблено стосовно задач розсiяння
згинних хвиль у тонкiй безмежнiй пластинi в рамках теорiї Кiрхгофа. Вважається, що роз-
сiювачем є жорстка наскрiзна вставка або отвiр неканонiчної форми. Ранiше за допомогою
iнших методiв дослiджувались, в основному, випадки неоднорiдностей кругової форми [4–6].
Згиннi коливання пластини в гармонiчному режимi описуються рiвнянням [4]
D∆2w(r) − ρhω2w(r) = 0, r ∈ R2 \ S,
w(r) = wi(r) + ws(r),
(1)
де D, ρ, h — цилiндрична жорсткiсть, густина та товщина пластини; S — область неодно-
рiдностi; wi(r) = w0 exp(ikr cos(θ− θi)) — згинна хвиля, що набiгає на розсiювач (w0 та θi —
амплiтуда та кут падiння хвилi); ws(r) — розсiяна хвиля; r = (x, y) = (r, θ) — декартовi
та полярнi координати з початком всерединi неоднорiдностi (x = r cos θ, y = r sin θ); ω та
k = 4
√
ρhω2/D — кругова частота та хвильове число згинних коливань пластини.
На контурi розсiювача Γ = ∂S задаються граничнi умови
w(r) = 0, γ(r) = 0, r ∈ Γ (абсолютно жорстке включення), (2)
M(r) = 0, V (r) = 0, r ∈ Γ (отвiр), (3)
де γ, M та V — кут повороту, згинний момент та узагальнена перерiзальна сила.
Крiм того, на безмежностi виконуються умови випромiнювання
∂ws
∂r
− ikws = o(r−1/2), r → ∞.
Використовуючи теорему взаємностi робiт [7, 8], для розсiяного поля знаходимо iнтегральне
подання
∫
Γ
[V G(r, r′)w(r′) − MG(r, r′)γ(r′)]dΓ(r′) −
−
∫
Γ
[V (r′)G(r, r′) − M(r′)γG(r, r′)]dΓ(r′) + wi(r) =
{
w(r), r /∈ S,
0, r ∈ S,
(4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 73
де G(r, r′) = [iπH
(1)
0 (k|r−r
′|)−2K0(k|r−r
′|)]/(8πDk2) — фундаментальний розв’язок рiвнян-
ня (1); H
(1)
0 (x) — функцiя Ганкеля першого роду нульового порядку; K0(x) — модифiкована
функцiя Бесселя другого роду нульового порядку; V G(r, r′), MG(r, r′), γG(r, r′) — узагаль-
нена перерiзальна сила, згинний момент та кут повороту, що вiдповiдають прогину G(r, r′).
Застосувавши теореми додавання для функцiй Ганкеля та Бесселя [4], фундаментальний
розв’язок рiвняння (1) подамо у виглядi ряду за системою цилiндричних гармонiк
G(r, r′) =
1
8πDk2
2
∑
σ=1
∞
∑
n=0
[iπΦ1σn(r′)Φ1σn(r) − 2Φ2σn(r′)Φ2σn(r)], |r′| < |r|,
Φτσn(r) =
√
εnΦτn(r)Cσn(θ), Φτσn(r) =
√
εnΦτn(r)Cσn(θ),
Φτn(r) =
{
H(1)
n (kr), τ = 1,
Kn(kr), τ = 2,
Φτn(r) =
{
Jn(kr), τ = 1,
In(kr), τ = 2,
Cσn(θ) =
{
cos nθ, σ = 1,
sin nθ, σ = 2,
n = 0,∞,
(5)
де Jn(x), H(1)
n (x), In(x), Kn(x) — вiдповiдно функцiї Бесселя та Ганкеля першого роду,
модифiкованi функцiї Бесселя першого та другого роду n-го порядку, ε0 = 1, εn = 2 при
n > 1.
Iз спiввiдношень (4), (5) для розсiяного поля при r > r1 (r1 — радiус кола, описаного
навколо розсiювача) маємо
ws(r, θ) = w0
2
∑
σ=1
∞
∑
m=0
[α1σmΦ1σm(r, θ) + α2σmΦ2σm(r, θ)], r > r1. (6)
Причому, для пластинки з отвором (гранична умова (3))
βτατσm =
∫
Γ
[wV τσm(r, θ) − γM τσm(r, θ)] dΓ, (7)
а для пластинки iз жорстким включенням (гранична умова (2)) —
βτατσm =
∫
Γ
[Mγτσm(r, θ) − V Φτσm(r, θ)] dΓ. (8)
У виразах (7), (8)
γτσm =
∂Φτσm(r, θ)
∂n
, M τσm = −Dν∆Φτσm(r, θ) + D(ν − 1)n · ∂
∂n
grad Φτσm(r, θ),
V τσm = −D∆γτσm(r, θ) − D(1 − ν)
∂
∂l
(
n · ∂
∂l
grad Φτσm(r, θ)
)
,
βτ = 8πw0Dk2
(
1
iπ
δτ1 −
1
2
δτ2
)
, τ = 1, 2, σ = 1, 2, m = 0,∞,
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
ν — коефiцiєнт Пуассона; n та l — одиничнi вектори зовнiшньої нормалi та дотичної до
контуру Γ; δτi — символ Кронекера.
Розглянемо спочатку випадок отвору у тонкiй пластинi. Вважаючи, що у поданнях
(4), (5) r ∈ S та враховуючи ортогональнiсть функцiй Φτσm на колi, отримуємо
i
8Dk2
∫
Γ
(V1σmw − M1σmγ)dΓ = −w0A1σm,
∫
Γ
(V2σmw − M2σmγ)dΓ = 0, σ = 1, 2, m = 0,∞,
(9)
де A1σm =
√
εmimCσm(θi) — коефiцiєнти розкладу падаючої хвилi wi за цилiндричними гар-
монiками; вирази для Vτσm та Mτσm одержуються iз V τσm та M τσm замiною Φτσm на Φτσm.
Невiдомий прогин та кут повороту на контурi отвору наведемо у виглядi рядiв за три-
гонометричною системою функцiй (a — характерний розмiр неоднорiдностi)
w(r, θ) = w0
∞
∑
n=0
a1σnCσn(θ),
γ(r, θ) = a−1w0
∞
∑
n=0
a2σnCσn(θ), r, θ ∈ Γ.
(10)
Пiдставляючи (10) у (9), зв’язок мiж коефiцiєнтами розкладiв wi та w, γ на Γ подамо
у матричному записi
[
A1σm
0
]
=
[
(Q11)σm,σ′n (Q12)σm,σ′n
(Q21)σm,σ′n (Q22)σm,σ′n
][
a1σ′n
a2σ′n
]
. (11)
Зокрема, елементи матрицi Q11 мають вигляд (подiбна структура i в решти матриць Qij)
Q11
σm,σ′n = − i
8Dk2
∫
Γ
V1σm(r, θ)Cσ′n(θ) dΓ.
Аналогiчно iз (7) та (10) маємо спiввiдношення
[
α1σm
α2σm
]
=
[
(Q11)σm,σ′n (Q12)σm,σ′n
(Q21)σm,σ′n (Q22)σm,σ′n
][
a1σ′n
a2σ′n
]
, (12)
де елементи матриць Qij отримуються з елементiв матриць Qij замiною Vτσm, Mτσm на
V τσm, M τσm, вiдповiдно.
Iз матричних рiвнянь (11), (12) знаходимо T -матрицю (transition matrix), яка визначає
шуканi коефiцiєнти розсiяного поля за вiдомими коефiцiєнтами падаючого поля
[
α1σm
α2σm
]
=
[
(T 11)σm,σ′n (T 12)σm,σ′n
(T 21)σm,σ′n (T 22)σm,σ′n
][
A1σ′n
0
]
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 75
T =
[
T 11 T 12
T 21 T 22
]
=
[
Q11 Q12
Q21 Q22
][
Q11 Q12
Q21 Q22
]
−1
або
T = QQ−1. (13)
Розсiяне хвильове поле в дальнiй зонi визначається спiввiдношенням [6]
ws(r, θ) = w0
√
2
πkr
ei(kr−π/4)f(θ, θi) + o
(
1√
kr
)
, kr → ∞. (14)
Амплiтуда розсiяння f(θ, θi) отримується iз (6) з використанням асимптотичних розкладiв
функцiй Ганкеля та Бесселя
f(θ, θi) =
2
∑
σ=1
∞
∑
m=0
A∗
1σm(θ)α1σm(θi), (15)
або у матричному виглядi
f(θ, θi) = b∗t(θ)Tb(θi), b(θ) =
[
A1σm(θ)
0
]
, (16)
iндексами ∗ та t позначено операцiю комплексного спряження та операцiю транспортування
матрицi.
Доведемо симетричнiсть i унiтарнiсть матрицi розсiяння S = I + 2T 11 (I — одинична
матриця). Помiнявши в (15) мiсцями напрямки спостереження i падiння хвиль та враху-
вавши, що A1σm(π + θ) = A∗
1σm(θ), отримаємо f(π + θi, π + θ) = b∗t(θ)T tb(θi). Iз цiєї рiвностi
та iз спiввiдношення взаємностi f(θ, θi) = f(π+θi, π+θ) випливає симетричнiсть T -матрицi
T = T t, а, отже, i матрицi розсiяння S = St.
Згiдно з оптичною теоремою, поперечний перерiз розсiяння σsc визначається спiввiдно-
шенням [6]
σsc =
2
πk
2π
∫
0
|f(θ, θi)|2dθ = −4
k
Re f(θi, θi),
або у матричному записi
At(θi)(T
11)t(T 11)∗A∗(θi) = −At(θi)Re(T 11)A∗(θi),
де A(θi) = [A1σm(θi)] — матриця-стовпець. Отже, для T -матрицi маємо (T 11)(T 11)∗ =
= −Re(T 11). Враховуючи цю властивiсть T -матрицi та її симетричнiсть, отримаємо
S∗tS = I, (17)
тобто матриця розсiяння є унiтарною.
76 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
Рис. 1
У випадку задачi розсiяння згинних хвиль жорстким включення залишаються спра-
ведливими усi спiввiдношення (11)–(17) з тiєю вiдмiною, що елементи матриць Q та Q
матимуть iнший вигляд.
Доведенi властивостi симетричностi та унiтарностi S-матрицi використовуються для
оцiнки точностi числових розрахункiв та є необхiдними умовами коректностi одержаних
розв’язкiв.
Для прикладу отримаємо частотнi залежностi модулiв амплiтуди розсiяння f0 = |f(π, 0)|
(рис. 1) у випадку елiптичного жорсткого включення (крива 1 ) та елiптичного отвору (кри-
ва 2 ). Форма неоднорiдностi визначається спiввiдношенням x2/a2 + y2/b2 = 1, a/b = 2.
Коефiцiєнт Пуассона матерiалу пластинки ν = 0,26. Матриця переходу T знаходилась
iз (13). При обчисленнях обернена матриця Q−1 визначалася шляхом редукцiї методом
Гаусса–Жордана. Порядок редукцiї N залежить вiд форми розсiювача i його хвильових
розмiрiв. Числовий експеримент показав, що для наведених на рис. 1 частотних залежнос-
тей вiдносна похибка до 1% забезпечується при N = 15. У випадку отвору i жорсткого
включення кругових форм (a/b = 1) графiчнi залежностi амплiтуди розсiяння, отрима-
нi за допомогою описаного алгоритму, повнiстю збiгаються з вiдповiдними результатами,
одержаними в [6] методом роздiлення змiнних.
Таким чином, на основi наведених аналiтичних викладок та числових iлюстрацiй можна
зробити висновок про ефективнiсть використання методу T -матриць для розв’язання задач
розсiяння згинних хвиль на неоднорiдностях у тонких пластинах, напружено-деформова-
ний стан яких описується в рамках теорiї Кiрхгофа. Властивостi симетрiї та унiтарностi
матрицi розсiяння є необхiдними умовами достовiрностi розв’язку задачi розсiяння та мо-
жуть використовуватись для перевiрки точностi числових розрахункiв.
1. Waterman P.C. Matrix theory of elastic wave scattering // J. Acoust. Soc. Am. – 1976. – 60, No 3. –
P. 567–580.
2. Martin P.A. On connection between boundary integral equations and T -matrix methods // Eng. Anal.
Bound. Elem. – 2003. – 27. – P. 771–777.
3. Mishchenko M. I., Videen G., Babenko V.A. et al. Comprehensive T -matrix reference database: A 2004. –
06 update // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. – 2007. – 106. – P. 304–324.
4. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. – Киев: Наук. думка, 1978. –
307 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 77
5. Fromme P., Sayir M.B. Measurement of the scattering of a Lamb wave by a through hole in a plate //
J. Acoust. Soc. Am. – 2002. – 111, No 3. – P. 1165–1170.
6. Norris A.N., Vemula C. Scattering of flexural waves on thin plates // J. Sound and Vibration. – 1995. –
181, No 1. – P. 115–125.
7. Белинский Б.П., Коузов Д.П. О формулах типа формул Грина для изгибно колеблющейся пласти-
ны // Акуст. журн. – 1981. – 27, № 5. – С. 710–718.
8. Зозуля В. В., Лукин А.Н. О расчете пластин методом граничных интегральных уравнений // Доп.
НАН України. – 1996. – № 4. – С. 39–45.
Надiйшло до редакцiї 22.08.2008Iнститут прикладних проблем механiки
i математики iм. Я.С. Пiдстригача
НАН України, Львiв
V.V. Matus
Scattering matrix for flexural waves in a thin plate
The T -matrix method has been adapted to the problems of flexural waves scattering by regions of
inhomogeneity in a flat thin plate. The cases of a hole and a rigid heterogeneity of noncanonical
form are considered. Using the principle of reciprocity and the conservation of energy, the scattering
matrix is shown to be symmetric and unitary.
78 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
|