Про один підхід до побудови математичної моделі динамічних процесів в пружних системах з урахуванням релаксаційних явищ
Запропоновано пiдхiд та методику побудови математичної моделi динамiчних механiчних процесiв в деформiвних пружних системах, яка описує у взаємозв’язку поступальну i обертову форми локального руху та, вiдповiдно, локальну змiну об’єму та форми фiзично малих пiдсистем. Сконкретизовано фiзичнi та кiне...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8647 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про один підхід до побудови математичної моделі динамічних процесів в пружних системах з урахуванням релаксаційних явищ / О.Я. Мiчуда // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 79-84. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860085305574424576 |
|---|---|
| author | Мічуда, О.Я. |
| author_facet | Мічуда, О.Я. |
| citation_txt | Про один підхід до побудови математичної моделі динамічних процесів в пружних системах з урахуванням релаксаційних явищ / О.Я. Мiчуда // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 79-84. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Запропоновано пiдхiд та методику побудови математичної моделi динамiчних механiчних процесiв в деформiвних пружних системах, яка описує у взаємозв’язку поступальну i обертову форми локального руху та, вiдповiдно, локальну змiну об’єму та форми фiзично малих пiдсистем. Сконкретизовано фiзичнi та кiнематичнi спiввiдношення моделi. В межах сформульованої моделi встановлено умови переходу iнерцiйної пружної системи в стацiонарний динамiчний стан.
An approach and a methodology are proposed for constructing a mathematical model of dynamical mechanical processes in deformable elastic systems describing the coupled translation and rotational forms of local motion and the corresponding local change of the volume and form of physically small subsystems. Physical and kinematic model relations are constructed. Within the frame of the formulated model, the conditions of transition of the inertial elastic system into a stationary dynamical state are established.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:19:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2009
О.Я. Мiчуда
Про один пiдхiд до побудови математичної моделi
динамiчних процесiв в пружних системах
з урахуванням релаксацiйних явищ
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Я.Й. Бураком)
Запропоновано пiдхiд та методику побудови математичної моделi динамiчних механi-
чних процесiв в деформiвних пружних системах, яка описує у взаємозв’язку поступаль-
ну i обертову форми локального руху та, вiдповiдно, локальну змiну об’єму та форми
фiзично малих пiдсистем. Сконкретизовано фiзичнi та кiнематичнi спiввiдношення мо-
делi. В межах сформульованої моделi встановлено умови переходу iнерцiйної пружної
системи в стацiонарний динамiчний стан.
Проблема оптимального проектування та розробки технологiї виготовлення елементiв кон-
струкцiй та приладiв, якi працюють в умовах динамiчного зовнiшнього навантаження, тiсно
пов’язана з побудовою нових та вдосконаленням iснуючих математичних моделей механi-
ки деформiвного твердого тiла з метою бiльш повного врахування iнерцiйних параметрiв
характерних форм локального руху i, зокрема, їх взаємодiї. Стан та перспективи розви-
тку дослiджень в цiй актуальнiй галузi механiки деформiвного твердого тiла вiдображенi,
зокрема, в роботах [1–5].
У роботах [6, 7] вперше введено тензорнi характеристики iнерцiйностi — симетричний
тензор густини та тензор хiмiчного потенцiалу, якi є основою розробленої дифузiйної теорiї
непружного деформування металiчних тiл. Нижче в розвиток такого пiдходу запропоно-
вано побудову математичної моделi опису динамiчних процесiв в пружних системах, яка
враховує дисипативний характер взаємозв’язку вiдповiдних форм локальних поступально-
го, обертового та деформацiйного рухiв. На цiй основi сформульовано основне енергетичне
спiввiдношення для масоiзольованої пружної системи, яка перебуває пiд дiєю динамiчно-
го силового навантаження. Встановлено вiдповiднi фiзичнi та кiнематичнi рiвняння, якi
враховують дисипативний характер динамiчних процесiв кожної iз форм локального руху.
1. Розглянемо масоiзольовану динамiчну пружну систему K∗, яка у вiдлiковому одно-
рiдному станi (t 6 t0, t — час) є ненавантаженою та займає область X∗
0
⋃
∂X∗
0 евклiдового
простору. Термодинамiчний стан системи у вiдлiковому станi є однорiдним i характеризу-
ється температурою T(0) та густиною ентропiї S(0), хiмiчним потенцiалом µ(0) та густиною
маси ρ(0).
Протягом часу t1 6 t 6 t2 система K∗ перебуває пiд дiєю динамiчного силового наван-
таження, яке зумовлює iнерцiйнi термомеханiчнi процеси.
Iдентифiкацiю довiльної фiзично малої пiдсистеми δK ⊂ K∗ i центра маси k ∈ K∗
цiєї пiдсистеми реалiзуємо за допомогою радiуса-вектора ~r0 мiсця матерiальної точки k ∈
∈ δK у вiдлiковiй (рiвноважнiй) конфiгурацiї, а розташування цiєї точки в довiльний iнший
момент часу t (t0 < t 6 t2) за допомогою радiуса-вектора ~r = ~r0 +~u, де ~u = ~u(~r0, t) — вектор
перемiщення.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 79
В основу потенцiального опису динамiчних процесiв за iзотермiчних умов (T ≈ T(0) =
= const) приймаємо балансове енергетичне спiввiдношення [8]
dε(K∗, t) ≡
∫
X∗
0
dH(~r0, t)dV0 =
∫
X∗
0
[~v · d~p + (~∇0 ⊗ ~v) · · (dP̂ )T ]dV0. (1)
Тут H = H(~r0, t) — густина енергiї фiзично малої пiдсистеми δK ⊂ K∗, яка є нормованою
за об’ємом δV0 цiєї пiдсистеми у вiдлiковому природному станi; ~v = ~v(~r0, t) — швидкiсть
поступального руху; ~∇0 ⊗~v — швидкiсна тензорна характеристика процесу деформування;
~p = ~p(~r0, t) ≡
t∫
t0
(~∇0 · dP̂ /dt + ~f+)dt̃ — вектор iмпульсу поступального руху; P̂ = P̂ (~r0, t) —
тензор iмпульсу деформацiйної форми руху; ~f+ = ~f+(~r0, t) — вектор об’ємних зовнiшнiх
сил; ⊗ — оператор дiадного добутку; двi крапки вказують на операцiю скалярного добутку;
T — операцiя транспонування.
Енергiя ε(K∗, t) є адитивною мiрою динамiчного стану системи K∗. Тому виконується
таке локальне балансове енергетичне спiввiдношення для кожної фiзично малої пiдсистеми
δK∗ ⊂ K∗:
dH = ~v · d~p + (~∇0 ⊗ ~v) · · d(P̂ )T . (2)
Тут адитивнi параметри ~p i P̂ є нормованими за геометричними характеристиками фiзично
малих пiдсистем в початковому однорiдному станi. Тому маємо також вiдповiдну до (2)
бiлiнiйну форму iнтенсивних та спряжених до них екстенсивних параметрiв
H =
1
2
[~v · ~p + (~∇0 ⊗ ~v) · · (P̂ )T ]. (3)
Одночасно виконуються фiзичнi спiввiдношення
~v =
∂H
∂~p
≡ ~v(~p, P̂ ),
~∇0 ⊗ ~v =
∂H
∂P̂
≡ (~∇0 ⊗ ~v)(~p, P̂ ).
(4)
2. Для iзотропних динамiчних систем пружний потенцiал H = H(~p, P̂ ) є функцiєю
скалярних iнварiантiв параметрiв локального динамiчного стану (~p, P̂ ). Обмежимося надалi
скалярними iнварiантами до другого порядку включно.
За незалежнi iнварiанти першого порядку приймаємо такi:
I
(1)
1 = ~I · ~p, I
(1)
2 = Î · · P̂ , (5)
де ~I =
1√
3
(~e1 + ~e2 + ~e3) — одиничний вектор; Î = δij~ei ⊗ ~ej — одиничний тензор другої
валентностi.
Власними скалярними iнварiантами другого порядку для вектора ~p є такi:
I
(2)
11 = Î · · (~p ⊗ ~p), I
(2)
12 = (~p · Є̂) · · (Є̂ · ~p). (6)
Тут Є̂ = Єijk~ei ⊗ ~ej ⊗ ~ek — антисиметричний одиничний тензор Левi-Чивiта.
80 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
Власними скалярними iнварiантами другого порядку для характерних локальних форм
деформацiйного руху є такi:
I
(2)
21 = (~I · P̂ ) · (P̂ · ~I), I
(2)
22 = (P̂ s)d · · (P̂ s)d, I
(2)
23 = (P̂ a) · · (P̂ a)T . (7)
Поданi тут власнi скалярнi iнварiанти тензора iмпульсу P̂ є вiдповiдальними за змiну об’єму,
форми i повороту фiзично малих пiдсистем.
До власних скалярних iнварiантiв необхiдно долучити iнварiанти, якi характеризують
енергiю взаємовпливу поступальної та обертової форм руху, а також, вiдповiдно, енергiю
взаємовпливу процесiв змiни об’єму та форми фiзично малих пiдсистем.
За такi iнварiанти приймаємо такi:
I
(12)
2 = (P̂ a · · Є̂) · ~p, I
(34)
2 = (P̂ d
s ) · · (Є̂ · ~I)P. (8)
Наведенi результати дозволяють сформулювати таку систему фiзичних спiввiдношень:
~v =
1
ρ
~p − β∗
ρl
(P̂ a · · Є̂),
(~∇0 ⊗ ~v)a =
1
2η∗1ρl
P̂ a +
β∗
ρ
~p · Є̂,
(9)
~∇0 · ~v =
1
3η0ρl
P − γ∗
ρ
[P̂ s · · (Є̂ · ~I)],
[(~∇0 ⊗ ~v)s]d =
1
2η1ρl
(P̂ s)d − γ∗
ρ
(~I · Є̂)P.
(10)
Тут β∗ i γ∗ є параметрами взаємовпливу поступальної i обертової форм руху та, вiдповiдно,
змiни об’єму i форми фiзично малих пiдсистем.
Надалi поставимо у вiдповiднiсть рiвнянням (9) i (10) два еквiвалентнi векторнi та ска-
лярнi рiвняння:
~v =
1
ρ
~p +
β∗
ρl
(P̂ a · · Є̂),
~∇0 × ~v =
1
4η∗1ρl
P̂ a · · Є̂ +
β∗
2ρ
~p · (Є̂ · · Є̂);
(11)
~∇0 · ~v =
1
3η0ρl
P − γ∗
ρ
(P̂ s · · Є̂) · ~I,
(~∇0 × ~v) · ~I =
1
4η1ρl
P̂ s · · (Є̂ · ~I) − γ∗
2ρ
(~I · Є̂) · · (Є̂ · ~I)P.
(12)
Одержанi фiзичнi спiввiдношення (11), (12), якi враховують дисипативний характер
динамiчних процесiв, дозволяють встановити необхiднi умови переходу динамiчної системи
в стацiонарний стан та проаналiзувати умови стiйкостi цього стану.
3. Сформулюємо кiнематичнi спiввiдношення для характерних форм iнерцiйного руху
динамiчних пружних систем:
~v =
d~u
dt
− β∗
ρl
(P̂ a · · Є̂),
~∇0 × ~v =
d
dt
(~∇0 × ~u) +
β∗
ρ
~p · (Є̂ · · Є̂);
(13)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 81
~∇0 · ~v =
d
dt
(~∇0 · ~u) − γ∗
ρ
(P̂ s · · Є̂) · ~I,
(~∇0 × ~v) · ~I =
d
dt
[(~∇0 × ~u) · ~I] − γ∗
ρ
(~I · Є̂) · · (Є̂ · ~I)P.
(14)
Шляхом поєднання як фiзичних (11), (12), так i поданих тут кiнематичних (13), (14)
спiввiдношень, одержуємо таку систему динамiчних рiвнянь моделi деформiвного пружного
тiла:
d~u
dt
=
1
ρ
~p,
d
dt
(~∇0 × ~u) =
1
4η∗1ρl
P̂ a · · Є̂;
(15)
d
dt
(~∇0 · ~u) =
1
3η0ρl
P,
d
dt
[(~∇0 × ~u) · ~I] =
1
4η1ρl
P̂ s · · (Є̂ · ~I).
(16)
4. Для встановлення ключових рiвнянь моделi продиференцiюємо за часом систему ди-
намiчних рiвнянь (15) та (16). При цьому враховуємо, що
d~p
dt
= ~∇0 · σ̂∗ + ~f+,
dP̂
dt
= σ̂∗. (17)
Тут σ̂∗ = σ̂∗(~r0, t) — динамiчний тензор напружень, який для iзотропних пружних систем
подається так:
σ̂∗ = K∗eÎ + 2G∗
(
e − 1
3
eÎ
)
+ 2G′
∗
ϕ̂, (18)
де K∗, G∗, G′
∗
— динамiчнi модулi пружностi.
В результатi одержуємо систему ключових рiвнянь в перемiщеннях для опису динамi-
чних процесiв
d2~u
dt2
= C2
∗1
~∇0(~∇0 · ~u) − C2
∗2
~∇0 × (~∇0 × ~u) +
~f+
ρ
,
d2
dt2
(~∇0 × ~u) =
G′
∗
ρlη
∗
1
(~∇0 × ~u);
(19)
d2
dt2
(~∇0 · ~u) =
K∗
3ρlη0
(~∇0 · ~u),
d2
dt2
[(~∇0 × ~u) · ~I] =
G∗
ρlη1
(~∇0 × ~u) · ~I.
(20)
До системи динамiчних рiвнянь (19) та (20) необхiдно долучити вiдповiднi початковi
та граничнi умови.
82 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
Для аналiзу хвильових параметрiв руху вихiдними є як кiнематичнi (13), (14), так i фi-
зичнi спiввiдношення (18).
На цiй основi можна сконкретизувати вiдповiднi моделi кiнематичнi рiвняння для ха-
рактерних форм руху:
~v =
d~u
dt
− 4G′
∗
β∗
ρl
t∫
t0
(~∇0 × ~u)dt̃,
~∇0 × ~v =
d
dt
(~∇0 × ~u) − β∗
ρ
t∫
t0
(~∇0 · σ̂∗ + ~f+)dt̃;
(21)
~∇0 · ~v =
d
dt
(~∇0 · ~u) − 4
γ∗
ρ
G∗
t∫
t0
(~∇0 × ~u) · ~Idt̃,
(~∇0 × ~v) · ~I =
d
dt
[(~∇0 × ~u) · ~I] − γ∗
ρ
K∗
t∫
t0
(~∇0 · ~u)tt̃.
(22)
Таким чином, одержанi результати є вихiдними для постановки параметрично нелiнiй-
них початково-граничних задач динамiчної теорiї пружностi з урахуванням взаємодiї хара-
ктерних форм локального руху, а саме, поступального i обертового, та змiни об’єму i форми
фiзично малих пiдсистем. Вони є розвитком класичних робiт Я. С. Пiдстригача [6, 7], в яких
вперше введено тензорнi характеристики iнерцiйностi — тензор густини та тензор хiмiчно-
го потенцiалу.
Робота виконана за часткової пiдтримки Державного фонду фундаментальних дослiджень
МОН України (Ф25/95 — 2008, ДР N 0108U006646).
1. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. – Киев: Наук.
думка, 1981. – 284 с.
2. Селезов И.Т. Моделирование волновых и дифракционных процессов в сплошных средах. – Киев:
Наук. думка, 1989. – 204 с.
3. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассическая теория колебаний стержней, пластин и оболочек. –
Москва: ВИНИТИ, 1973. – 272 с.
4. Тимошенко С.П. Статические и динамические проблемы теории упругости. – Киев: Наук. думка,
1975. – 564 с.
5. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. – Москва: Мир, 1977. – 622 с.
6. Подстригач Я.С. Диффузионная теория неупругости металлов // Журн. прикл. механики и техн.
физики. – 1965. – № 2. – С. 67–72.
7. Пiдстригач Я.С. Диференцiальнi рiвняння дифузiйної теорiї деформацiї твердого тiла // Доп. АН
УРСР. Сер. А. – 1963. – № 31. – С. 336–340.
8. Мiчуда О.Я. Про енергетичний пiдхiд до формування фiзичних спiввiдношень механiки iнерцiйних
пружних систем // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2007. – 50, № 2. – С. 74–78.
Надiйшло до редакцiї 07.10.2008Центр математичного моделювання
Iнституту прикладних проблем механiки
i математики iм. Я.С. Пiдстригача
НАН України, Львiв
Iнститут прикладної математики
та фундаментальних наук Нацiонального
унiверситету “Львiвська полiтехнiка”
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №6 83
O.Ya. Michuda
On one approach to constructing a mathematical model of dynamical
processes in elastic systems allowing for relaxation phenomena
An approach and a methodology are proposed for constructing a mathematical model of dynamical
mechanical processes in deformable elastic systems describing the coupled translation and rotational
forms of local motion and the corresponding local change of the volume and form of physically
small subsystems. Physical and kinematic model relations are constructed. Within the frame of
the formulated model, the conditions of transition of the inertial elastic system into a stationary
dynamical state are established.
84 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8647 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:19:18Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мічуда, О.Я. 2010-06-14T09:02:24Z 2010-06-14T09:02:24Z 2009 Про один підхід до побудови математичної моделі динамічних процесів в пружних системах з урахуванням релаксаційних явищ / О.Я. Мiчуда // Доп. НАН України. — 2009. — № 6. — С. 79-84. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8647 539.3 Запропоновано пiдхiд та методику побудови математичної моделi динамiчних механiчних процесiв в деформiвних пружних системах, яка описує у взаємозв’язку поступальну i обертову форми локального руху та, вiдповiдно, локальну змiну об’єму та форми фiзично малих пiдсистем. Сконкретизовано фiзичнi та кiнематичнi спiввiдношення моделi. В межах сформульованої моделi встановлено умови переходу iнерцiйної пружної системи в стацiонарний динамiчний стан. An approach and a methodology are proposed for constructing a mathematical model of dynamical mechanical processes in deformable elastic systems describing the coupled translation and rotational forms of local motion and the corresponding local change of the volume and form of physically small subsystems. Physical and kinematic model relations are constructed. Within the frame of the formulated model, the conditions of transition of the inertial elastic system into a stationary dynamical state are established. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Про один підхід до побудови математичної моделі динамічних процесів в пружних системах з урахуванням релаксаційних явищ On one approach to constructing a mathematical model of dynamical processes in elastic systems allowing for relaxation phenomena Article published earlier |
| spellingShingle | Про один підхід до побудови математичної моделі динамічних процесів в пружних системах з урахуванням релаксаційних явищ Мічуда, О.Я. Механіка |
| title | Про один підхід до побудови математичної моделі динамічних процесів в пружних системах з урахуванням релаксаційних явищ |
| title_alt | On one approach to constructing a mathematical model of dynamical processes in elastic systems allowing for relaxation phenomena |
| title_full | Про один підхід до побудови математичної моделі динамічних процесів в пружних системах з урахуванням релаксаційних явищ |
| title_fullStr | Про один підхід до побудови математичної моделі динамічних процесів в пружних системах з урахуванням релаксаційних явищ |
| title_full_unstemmed | Про один підхід до побудови математичної моделі динамічних процесів в пружних системах з урахуванням релаксаційних явищ |
| title_short | Про один підхід до побудови математичної моделі динамічних процесів в пружних системах з урахуванням релаксаційних явищ |
| title_sort | про один підхід до побудови математичної моделі динамічних процесів в пружних системах з урахуванням релаксаційних явищ |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8647 |
| work_keys_str_mv | AT míčudaoâ proodinpídhíddopobudovimatematičnoímodelídinamíčnihprocesívvpružnihsistemahzurahuvannâmrelaksacíinihâviŝ AT míčudaoâ ononeapproachtoconstructingamathematicalmodelofdynamicalprocessesinelasticsystemsallowingforrelaxationphenomena |