Задача Колмогорова на классе кратно монотонных функций
Получены необходимые и достаточные условия на систему положительных чисел Mk₁, Mk₂, . . . ,Mkd, 0 ≤ k1 < • • • < kd ≤ r, для того, чтобы гарантировать существование r-кратно монотонной функции такой, что ||x^(ki)||∞ = Mki , i = 1, 2, . . . , d....
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Series: | Доповіді НАН України |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86491 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Задача Колмогорова на классе кратно монотонных функций / В.Ф. Бабенко, Ю.В. Бабенко, О.В. Коваленко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 11. — С. 7–12. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86491 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-864912025-02-23T17:33:46Z Задача Колмогорова на классе кратно монотонных функций Задача Колмогорова на класi кратно монотонних функцiй Kolmogorov problem on a class of multiply monotone functions Бабенко, В.Ф. Бабенко, Ю.В. Коваленко, О.В. Математика Получены необходимые и достаточные условия на систему положительных чисел Mk₁, Mk₂, . . . ,Mkd, 0 ≤ k1 < • • • < kd ≤ r, для того, чтобы гарантировать существование r-кратно монотонной функции такой, что ||x^(ki)||∞ = Mki , i = 1, 2, . . . , d. Отримано необхiднi та достатнi умови на систему додатних чисел Mk₁,Mk₂, . . . ,Mkd , 0 ≤ k1 < · · · < kd ≤ r, для того, щоб гарантувати iснування r-кратно монотонної функцiї такої, що ||x^(ki)||∞ = Mki , i = 1, 2, . . . , d. Necessary and sufficient conditions for a system of positive numbers Mk₁, Mk₂, . . . ,Mkd, 0 ≤ k1 < • • • < kd ≤ r, to guarantee the existence of a multiply monotone function such that ||x^(ki)||∞ = Mki , i = 1, 2, . . . , d are found. 2013 Article Задача Колмогорова на классе кратно монотонных функций / В.Ф. Бабенко, Ю.В. Бабенко, О.В. Коваленко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 11. — С. 7–12. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86491 517.5 ru Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Бабенко, В.Ф. Бабенко, Ю.В. Коваленко, О.В. Задача Колмогорова на классе кратно монотонных функций Доповіді НАН України |
| description |
Получены необходимые и достаточные условия на систему положительных чисел Mk₁,
Mk₂, . . . ,Mkd, 0 ≤ k1 < • • • < kd ≤ r, для того, чтобы гарантировать существование
r-кратно монотонной функции такой, что ||x^(ki)||∞ = Mki , i = 1, 2, . . . , d. |
| format |
Article |
| author |
Бабенко, В.Ф. Бабенко, Ю.В. Коваленко, О.В. |
| author_facet |
Бабенко, В.Ф. Бабенко, Ю.В. Коваленко, О.В. |
| author_sort |
Бабенко, В.Ф. |
| title |
Задача Колмогорова на классе кратно монотонных функций |
| title_short |
Задача Колмогорова на классе кратно монотонных функций |
| title_full |
Задача Колмогорова на классе кратно монотонных функций |
| title_fullStr |
Задача Колмогорова на классе кратно монотонных функций |
| title_full_unstemmed |
Задача Колмогорова на классе кратно монотонных функций |
| title_sort |
задача колмогорова на классе кратно монотонных функций |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86491 |
| citation_txt |
Задача Колмогорова на классе кратно монотонных функций / В.Ф. Бабенко, Ю.В. Бабенко, О.В. Коваленко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 11. — С. 7–12. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT babenkovf zadačakolmogorovanaklassekratnomonotonnyhfunkcij AT babenkoûv zadačakolmogorovanaklassekratnomonotonnyhfunkcij AT kovalenkoov zadačakolmogorovanaklassekratnomonotonnyhfunkcij AT babenkovf zadačakolmogorovanaklasikratnomonotonnihfunkcij AT babenkoûv zadačakolmogorovanaklasikratnomonotonnihfunkcij AT kovalenkoov zadačakolmogorovanaklasikratnomonotonnihfunkcij AT babenkovf kolmogorovproblemonaclassofmultiplymonotonefunctions AT babenkoûv kolmogorovproblemonaclassofmultiplymonotonefunctions AT kovalenkoov kolmogorovproblemonaclassofmultiplymonotonefunctions |
| first_indexed |
2025-11-24T05:55:48Z |
| last_indexed |
2025-11-24T05:55:48Z |
| _version_ |
1849650051211591680 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
11 • 2013
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
В.Ф. Бабенко, Ю. В. Бабенко, О. В. Коваленко
Задача Колмогорова на классе кратно монотонных
функций
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.П. Моторным)
Получены необходимые и достаточные условия на систему положительных чисел Mk1
,
Mk2
, . . . ,Mkd
, 0 6 k1 < · · · < kd 6 r, для того, чтобы гарантировать существование
r-кратно монотонной функции такой, что ‖x(ki)‖∞ = Mki
, i = 1, 2, . . . , d.
Пусть G обозначает действительную ось R = (−∞,∞) или отрицательную полуось R− =
= (−∞, 0]. Через L∞(G) обозначим пространство существенно ограниченных функций
x : G → R с обычной нормой ‖ · ‖ = ‖ · ‖L∞(G).
Для r ∈ N через Lr
∞
(G) обозначим пространство функций x : G → R, имеющих локально
абсолютно непрерывную производную порядка r − 1, x(0) = x, и таких, что x(r) ∈ L∞(G).
Положим Lr
∞,∞(G) = Lr
∞
(G)
⋂
L∞(G).
А.Н. Колмогоров (см. [1]) сформулировал следующую задачу:
Задача Колмогорова. Пусть заданы класс функций X ⊂ Lr
∞,∞(G) и произвольная
система d целых чисел 0 6 k1 < k2 < · · · < kd 6 r. Требуется найти необходимые и дос-
таточные условия на систему положительных чисел
Mk1 ,Mk2 , . . . ,Mkd , (1)
которые бы обеспечивали существование функции x ∈ X такой, что
‖x(ki)‖ = Mki , i = 1, . . . , d. (2)
Ясно, что задача Колмогорова может быть сформулирована для классов функций X
с различными областями определения (ось, полуось, отрезок, окружность и т. д.), функций
многих переменных, для других норм (возможно, различных для производных различных
порядков).
Отметим, что для d > 3 любое точное неравенство для норм производных ‖x(ki)‖, ‖x(kl)‖
и ‖x(km)‖ (ki < kl < km) функций x ∈ X является необходимым условием на числа Mki ,
© В. Ф. Бабенко, Ю. В. Бабенко, О.В. Коваленко, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №11 7
Mkl , и Mkm из (1) для того, чтобы существовала функция x ∈ X, для которой выполняются
соотношения (2). Такие неравенства называются неравенствами типа Ландау–Колмогорова
и имеют многочисленные приложения во многих областях математики (см., например, [2,
гл. 7, 8]). Отметим, что в случае d = 3 точные неравенства такого типа обычно дают полное
(необходимые и достаточные условия) решение задачи Колмогорова.
Обзор известных результатов. Полное решение сформулированной задачи для трех
чисел (в случае, когда d = 3, k1 = 0, k3 = r и 0 < k2 = k < r) и класса X = Lr
∞,∞(R)
получил Колмогоров [1]. Он показал, что существует функция x ∈ Lr
∞,∞(R), для которой
выполняются соотношения (2), тогда и только тогда, когда выполняется неравенство
Mk 6
‖ϕr−k‖
‖ϕr‖1−k/r
M
1−k/r
0 Mk/r
r ,
где ϕr — r-я периодическая первообразная с нулевым средним значением на периоде от
функции ϕ0(t) = sgn sin t. Решение задачи Колмогорова для трех чисел в случае k1 > 0
содержится в [2, §9.1].
В случае d = 3, k1 = 0, k3 = r и класса X = Lr
∞,∞(R−) решение задачи Колмогорова
следует из работы И. Шенберга, А. Каваретта [3].
А.М. Родов [4] впервые рассмотрел задачу Колмогорова для d > 3. Решения задачи Кол-
могорова при d > 3 для классов функций, заданных на всей числовой прямой R, известны
в следующих случаях:
1. X = Lr
∞,∞(R); k1 = 0, k2 = r − 2, k3 = r − 1, k4 = r (см. [4]).
2. X = Lr
∞,∞(R); k1 = 0 < k2 < k3 = r − 2, k4 = r − 1, k5 = r (см. [4]).
3. X = Lr
∞,∞(R); k1 = 0 < k2 < k3 = r − 1, k4 = r (см. [5]).
4. X = Lr
∞,∞(R); k1 = 0 < k2 < k3 = r − 2, k4 = r (см. [6]).
Некоторые другие, более частные результаты, можно найти в работе [7].
Что касается случая произвольного d (с kd = r), то в работе В.К. Дзядыка, В.А. Дубо-
вика [8] приведены некоторые достаточные условия на систему чисел (1), обеспечивающие
существование функции x ∈ Lr
∞,∞(R), для которой имеют место соотношения (2).
Для класса функций X = Lr
∞,∞(R−) решение задачи Колмогорова при d > 3 известно
только в следующем случае: d = 4, k1 = 0 < k2 < k3 = r − 1, k4 = r [9].
Для заданных r, m ∈ Z+, m 6 r, обозначим через Lr,m
∞,∞(R−) класс функций x ∈
∈ Lr
∞,∞(R−), которые неотрицательные вместе со своими производными до порядка m
(производная порядка m должна быть неотрицательной почти всюду в случае m = r).
Будем называть этот класс классом m-кратно монотонных функций.
В.М. Оловянишников [10] (в случае, когда d = 3, k1 = 0, k3 = r и 0 < k2 = k < r)
показал, что существует функция x ∈ Lr,r−1
∞,∞ (R−), для которой выполняются соотноше-
ния (2) тогда и только тогда, когда для чисел M0, Mk, Mr имеет место неравенство (ниже
φr(t) := l · (r!)−1 · (t+ 1)r+)
M0 >
‖φr‖
‖φr−k‖r/(r−k)
M
r/(r−k)
k M−k/(r−k)
r .
В [11] и независимо в [12] было получено обобщение этого результата на класс (r−2)-кратно
монотонных функций. Кроме того, в [13] было получено решение задачи Колмогорова для
трех чисел и класса Lr,r
∞,∞(R−) в случае k1 > 0.
В случае d > 3 известны следующие результаты для классов кратно монотонных функ-
ций:
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №11
1. X = Lr,r−2
∞,∞ (R−) и k1 = 0 < k2 < k3 = r − 1, k4 = r (см. [14]).
2. X = Lr,r
∞,∞(R−) и k1 = 0 < k2 < k3 < k4 = r (см. [13]).
Пусть заданы d ∈ N и целые числа 0 6 k1 < k2 < · · · < kd 6 r. Положим k := (k1, . . . , kd).
Для i = 1, . . . , d положим k
i = (ki, ki+1, . . . , kd) так, что k
1 = k. Множества положительных
чисел {Mk1 , . . . ,Mkd} и {Mki , . . . ,Mkd} обозначим через Mk и Mki соответственно. Для
заданных k := (k1, . . . , kd) и x ∈ X положим
Mk(x) := (‖x(k1)‖, . . . , ‖x(kd)‖).
Определение 1. Назовем множество Mk допустимым для класса функций X ⊂
⊂ Lr
∞,∞(G), если существует функция x ∈ X такая, что Mk(x) = Mk. Семейство всех
допустимых множеств Mk обозначим Ad(X) = Ad(X,k).
Отметим, что во всех описанных выше случаях решение задачи Колмогорова можно
трактовать следующим образом. Для класса функций X находится d-параметрическое се-
мейство функций F (порождающее семейство) такое, что
Ad(X) = {Mk(x) : x ∈ F}. (3)
При этом естественно на множество F наложить требование минимальности, которое, на-
пример, может состоять в том, что для произвольного x ∈ F множество F \ {x} уже не
является порождающим семейством.
Определение 2. Минимальное d-параметрическое семейство функций F ⊂ X такое,
что для заданного k имеет место (3), будем называть порождающим для Ad(X,k) и обо-
значать через Fd(X,k).
Используя эти определения мы можем переформулировать задачу Колмогорова.
Задача Колмогорова. Для заданного класса функций X ⊂ Lr
∞,∞(G) и фиксирован-
ных d и k найти (или охарактеризовать) порождающее множество Fd(X,k) для Ad(X,k).
Упомянутый результат Колмогорова может быть записан в следующем виде:
F3(L
r
∞,∞(R),k) = {aϕr(λt) + C : a > 0, λ > 0, C > 0},
а результат Оловянишникова — в виде
F3(L
r,r−1
∞,∞ (R−),k) = F3(L
r,r
∞,∞(R−),k) = {aφr(λt) + C : a > 0, λ > 0, C > 0},
где k = (k1 = 0, k2 = k, k3 = r).
Основные результаты. Нам понадобятся следующие определения.
Пусть заданы r, s ∈ N, a1 > a2 > · · · > as > 0 и l > 0. Определим функцию, которую
мы будем называть сплайном порядка r с узлами −a1 < −a2 < · · · < −as < 0, следующим
образом:
ϕ(a1, a2, . . . , as, l; t) :=
l
r!
s
∑
j=1
(−1)j+1(t+ aj)
r
+.
Пусть Φr,n := {ϕ(a1, a2, . . . , as, l; t) : s ∈ N, s 6 n, a1 > a2 > · · · > as > 0, l > 0} обозначает
множество всех сплайнов порядка r с не более чем n узлами.
Пусть заданы d ∈ N и целые числа 0 6 k1 < k2 < · · · < kd 6 r.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №11 9
Определение 3. Допустимое множество Mk ∈ Ad является множеством типа 1, если
существует сплайн ϕ ∈ Φr,d−1 \Φr,d−2 такой, что Mk(ϕ) = Mk. Семейство всех допустимых
множеств Mk типа 1 мы будем обозначать A1
d.
Определение 4. Допустимое множество Mk ∈ Ad является множеством типа 2, если
существует сплайн ϕ ∈ Φr,d−2 такой, что Mk(ϕ) = Mk. Семейство всех допустимых мно-
жеств Mk типа 2 мы будем обозначать A2
d.
Определение 5. Допустимое множество Mk ∈ Ad с k1 = 0 является множеством ти-
па 3, если существует константа C > 0 и сплайн ϕ ∈ Φr,d−1 такой, что Mk(ϕ + C) = Mk,
и это множество не является множеством типа 1. Семейство всех допустимых множеств
Mk типа 3 мы будем обозначать A3
d.
Теорема 1 (существование и экстремальные свойства сплайна). Пусть заданы r, d ∈ N,
d > 3, и целые числа 0 6 k1 < · · · < kd 6 r. Пусть также задана функция x(t) ∈ Lr,r
∞,∞(R−).
Существует сплайн ϕ(t) = ϕ(a1, a2, . . . , as, l; t) ∈ Φr,d−1 и число C > 0 такие, что Mk(ϕ+
+ C) = Mk(x).
Кроме того, если kd = r и k ∈ Z+ таково, что для некоторого i = 0, 1, . . . , d − 1 выпол-
няются соотношения ki < k < ki+1 (k0 := −1) и x(k1) 6= ϕ(k1), то
(−1)i‖x(k)‖ > (−1)i‖ϕ(k)‖,
а если kd < r и x(k1) 6= ϕ(k1), то
‖x(r)‖ > ‖ϕ(r)‖.
Для заданного Mk сплайн ϕ ∈ Φr,d−1 такой, что Mk(ϕ) = Mk, мы будем обозначать ϕ(Mk; t).
Теорема 2 (решение задачи Колмогорова в случае kd = r). Пусть заданы d ∈ N, d>3,
и целые числа 0 6 k1 < k2 < · · · < kd = r.
{Mk ∈ Ad(L
r,r
∞,∞(R−))}
⇐⇒
{
Mk2 ∈ A1
d−1
Mk1 > ‖ϕ(k1)(Mk2)‖
}
∨
Mk2 ∈ A2
d−1
k1 > 0
Mk1 = ‖ϕ(k1)(Mk2)‖
∨
Mk2 ∈ A2
d−1
k1 = 0
Mk1 > ‖ϕ(k1)(Mk2)‖
.
Кроме того,
{
Mk2 ∈ A1
d−1
Mk1 > ‖ϕ(k1)(Mk2)‖
}
=⇒
{
Mk ∈ A1
d, если Mk1 > ‖ϕ(k1)(Mk2)‖
Mk ∈ A2
d, если Mk1 = ‖ϕ(k1)(Mk2)‖
}
,
Mk2 ∈ A2
d−1
k1 > 0
Mk1 = ‖ϕ(k1)(Mk2)‖
=⇒ {Mk ∈ A2
d},
Mk2 ∈ A2
d−1
k1 = 0
Mk1 > ‖ϕ(k1)(Mk2)‖
=⇒
{
Mk ∈ A2
d, если Mk1 = ‖ϕ(k1)(Mk2)‖
Mk ∈ A3
d, если Mk1 > ‖ϕ(k1)(Mk2)‖
}
.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №11
Замечание. Легко видеть, что {Mk1 ,Mk2} ∈ A1
1 для всех 0 6 k1 < k2 6 r и всех Mk1 ,
Mk2 > 0. Поэтому теорема 2 в случае d = 3 может быть переписана в следующем виде
(см. [10, 13]): (Mk1 ,Mk2 ,Mr) ∈ A3(L
r,r
∞,∞(R−)) тогда и только тогда, когда
Mk1 >
(r − k2)!
(r−k1)/(r−k2)
(r − k1)!
M
(r−k1)/(r−k2)
k2
M (k1−k2)/(r−k2)
r . (4)
Теорема 3 (решение задачи Колмогорова в случае kd < r). Пусть заданы d ∈ N, d > 3,
и целые числа 0 6 k1 < k2 < · · · < kd < r. Mk ∈ Ad(L
r,r
∞,∞(R−)) тогда и только тогда,
когда Mk2 ∈ Ad−1(L
r,r
∞,∞(R−)) и
Mk1 > lim
l→∞
‖φ
(k1)
l ‖,
где сплайн φl ∈ Φr,d−1 таков, что ‖φ
(ki)
l ‖ = Mki , i = 2, . . . , d, и ‖φ
(r)
l ‖ = l (который
существует для всех l > ‖ϕ(r)(Mk2)‖).
Теорема 4 (переформулированное решение задачи Колмогорова). Пусть заданы d ∈ N,
d > 3, и вектор k := (k1, . . . , kd) с 0 6 k1 < k2 < · · · < kd 6 r. Тогда в случае kd = r
Fd(L
r,r
∞,∞(R−),k) = {Φr,d−1 \ Φr,d−2}
⋃
{ϕ+ C : ϕ ∈ Φr,d−2, C > 0},
а в случае kd < r
Fd(L
r,r
∞,∞(R−),k) = Φr,d−1 \ Φr,d−2.
1. Колмогоров А.Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных функции
на бесконечном интервале // Избр. тр. Математика, механика. – Москва: Наука, 1985. – С. 252–263.
2. Бабенко В.Ф., Корнейчук Н.П., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Неравенства для производных и их
приложения // Киев: Наук. думка, 2003. – 590 с.
3. Schoenberg I. J., Cavaretta A. Solution of Landau’s problem, concerning higher derivatives on half line //
Proc. of Conf. on Approximation theory. – Varna, 1970. – P. 297–308.
4. Родов А.М. Зависимости между верхними гранями производных функций действительного перемен-
ного // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1946. – 10, № 3. – С. 257–270.
5. Дзядык В.К., Дубовик В.А. О проблеме А.Н. Колмогорова о зависимостях между верхними гранями
производных вещественных функций, заданных на всей оси // Укр. мат. журн. – 1975. – 27, № 3. –
С. 291–299.
6. Бабенко В.Ф., Коваленко О.В. О зависимости между нормой функции и нормами ее производных
порядка k, r − 2 и r, 0 < k < r − 2 // Там же. – 2012. – 64, № 5. – С. 597–603.
7. Родов А.М. Достаточные условия существования функции действительного переменного с заданными
верхними гранями модулей самой функции и ее пяти последовательных производных // Уч. зап. БГУ.
Сер. физ.-мат. – 1954. – 16. – С. 65–72.
8. Дзядык В.К., Дубовик В.А. К проблеме А.Н. Колмогорова о зависимостях между верхними гранями
производных вещественных функций, заданных на всей оси // Укр. мат. журн. – 1974. – 26, № 3. –
С. 300–317.
9. Babenko V. F., Britvin Y.E. On Kolmogorov’s problem about existence of a function with given norms of
its derivatives // East J. Approx. – 2002. – 8, No 1. – P. 95–100.
10. Оловянишников В.М. К вопросу о неравенствах между верхними гранями последовательных произ-
водных на полупрямой // Успехи мат. наук. – 1951. – 6, вып. 2 (42). – С. 167–170.
11. Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Неравенства для производных монотонных функций // Приближение
функций. Теорет. и прикл. аспекты: Сб. ст., посвящ. памяти проф. А.В. Ефимова. – Москва: МИЭТ,
2003. – С. 199–211.
12. Babenko V., Babenko Yu. The Kolmogorov inequalities for multiply monotone functions defined on a half-
line // East J. Approx. – 2005. – 11, No 2. – P. 169–186.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №11 11
13. Babenko V., Babenko Yu. On the Kolmogorov’s problem for the upper bounds of four consecutive derivatives
of a multiply monotone function // Constr. Approx. – 2007. – 26, No 1. – P. 83–92.
14. Ятцелев М.Л. Неравенство между четырьмя верхними гранями последовательных производных на
полупрямой // Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Математика. – 1998. – 4. – С. 106–111.
Поступило в редакцию 09.04.2013Днепропетровский национальный университет
им. Олеся Гончара
Университет Кеннесоу, США
В.Ф. Бабенко, Ю.В. Бабенко, О.В. Коваленко
Задача Колмогорова на класi кратно монотонних функцiй
Отримано необхiднi та достатнi умови на систему додатних чисел Mk1
,Mk2
, . . . ,Mkd
, 0 6
6 k1 < · · · < kd 6 r, для того, щоб гарантувати iснування r-кратно монотонної функцiї
такої, що ‖x(ki)‖∞ = Mki
, i = 1, 2, . . . , d.
V.F. Babenko, Yu. V. Babenko, O. V. Kovalenko
Kolmogorov problem on a class of multiply monotone functions
Necessary and sufficient conditions for a system of positive numbers Mk1
,Mk2
, . . . ,Mkd
, 0 6 k1 <
< · · · < kd 6 r, to guarantee the existence of a multiply monotone function such that ‖x(ki)‖∞ =
= Mki
, i = 1, 2, . . . , d are found.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №11
|