Экстремальные задачи для частично неналегающих областей со свободными полюсами
Решен ряд задач об экстремальном разбиении комплексной плоскости со свободными полюсами на лучевых системах точек. Эти результаты распространяют некоторые известные на более широкие классы областей, допускающих частичное налегание. Розв’язано низку задач про екстремальне розбиття комплексної площи...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86492 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Экстремальные задачи для частично неналегающих областей со свободными полюсами / А.К. Бахтин, А.Л. Таргонский // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 11. — С. 13–18. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86492 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бахтин, А.К. Таргонский, А.Л. 2015-09-19T14:14:00Z 2015-09-19T14:14:00Z 2013 Экстремальные задачи для частично неналегающих областей со свободными полюсами / А.К. Бахтин, А.Л. Таргонский // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 11. — С. 13–18. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86492 517.54 Решен ряд задач об экстремальном разбиении комплексной плоскости со свободными полюсами на лучевых системах точек. Эти результаты распространяют некоторые известные на более широкие классы областей, допускающих частичное налегание. Розв’язано низку задач про екстремальне розбиття комплексної площини з вiльними полюсами на променевiй системi точок. Цi результати поширюють деякi вiдомi на бiльш широкi класи областей, якi допускають часткове налягання. We solved several problems on extremal subdivision of complex plane with free poles on the raywise system of points. These results generalized some famous ones on a wider class of domains, which satisfy some conditions of overlapping. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Экстремальные задачи для частично неналегающих областей со свободными полюсами Екстремальнi задачi для частково неперетинних областей з вiльними полюсами Extremal problems for partially non-overlapping domains with free poles Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Экстремальные задачи для частично неналегающих областей со свободными полюсами |
| spellingShingle |
Экстремальные задачи для частично неналегающих областей со свободными полюсами Бахтин, А.К. Таргонский, А.Л. Математика |
| title_short |
Экстремальные задачи для частично неналегающих областей со свободными полюсами |
| title_full |
Экстремальные задачи для частично неналегающих областей со свободными полюсами |
| title_fullStr |
Экстремальные задачи для частично неналегающих областей со свободными полюсами |
| title_full_unstemmed |
Экстремальные задачи для частично неналегающих областей со свободными полюсами |
| title_sort |
экстремальные задачи для частично неналегающих областей со свободными полюсами |
| author |
Бахтин, А.К. Таргонский, А.Л. |
| author_facet |
Бахтин, А.К. Таргонский, А.Л. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Екстремальнi задачi для частково неперетинних областей з вiльними полюсами Extremal problems for partially non-overlapping domains with free poles |
| description |
Решен ряд задач об экстремальном разбиении комплексной плоскости со свободными
полюсами на лучевых системах точек. Эти результаты распространяют некоторые
известные на более широкие классы областей, допускающих частичное налегание.
Розв’язано низку задач про екстремальне розбиття комплексної площини з вiльними полюсами на променевiй системi точок. Цi результати поширюють деякi вiдомi на бiльш широкi класи областей, якi допускають часткове налягання.
We solved several problems on extremal subdivision of complex plane with free poles on the raywise
system of points. These results generalized some famous ones on a wider class of domains, which
satisfy some conditions of overlapping.
|
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86492 |
| citation_txt |
Экстремальные задачи для частично неналегающих областей со свободными полюсами / А.К. Бахтин, А.Л. Таргонский // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 11. — С. 13–18. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bahtinak ékstremalʹnyezadačidlâčastičnonenalegaûŝihoblasteisosvobodnymipolûsami AT targonskiial ékstremalʹnyezadačidlâčastičnonenalegaûŝihoblasteisosvobodnymipolûsami AT bahtinak ekstremalʹnizadačidlâčastkovoneperetinnihoblasteizvilʹnimipolûsami AT targonskiial ekstremalʹnizadačidlâčastkovoneperetinnihoblasteizvilʹnimipolûsami AT bahtinak extremalproblemsforpartiallynonoverlappingdomainswithfreepoles AT targonskiial extremalproblemsforpartiallynonoverlappingdomainswithfreepoles |
| first_indexed |
2025-11-26T02:45:08Z |
| last_indexed |
2025-11-26T02:45:08Z |
| _version_ |
1850609213639753728 |
| fulltext |
УДК 517.54
А.К. Бахтин, А. Л. Таргонский
Экстремальные задачи для частично неналегающих
областей со свободными полюсами
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.Ю. Трохимчуком)
Решен ряд задач об экстремальном разбиении комплексной плоскости со свободными
полюсами на лучевых системах точек. Эти результаты распространяют некоторые
известные на более широкие классы областей, допускающих частичное налегание.
Экстремальные задачи о неналегающих областях составляют известное направление гео-
метрической теории функций комплексного переменного. Исследованию этого направления
посвящено множество работ (см., например, [1–15]). В работе А.К. Бахтина [1, c. 95] было
получено решение одной достаточно общей экстремальной задачи о неналегающих областях
со свободными полюсами на (n,m)-лучевой системе точек. В данной работе этот результат
распространяется на области, допускающие частичное налегание.
Пусть N, R — множества натуральных и вещественных чисел соответственно, C — плос-
кость комплексных чисел, C = C
⋃
{∞} — ее одноточечная компактификация или сфера
Римана, R+ = (0,∞).
Для фиксированных чисел n, m ∈ N cистему точек
An,m = {ak,p ∈ C : k = 1, n, p = 1,m},
назовем (n,m)-лучевой системой точек, если при всех k = 1, n, p = 1,m выполняются
соотношения
0 < |ak,1| < · · · < |ak,m| < ∞;
arg ak,1 = arg ak,2 = · · · = arg ak,m =: θk;
0 = θ1 < θ2 < · · · < θn < θn+1 := 2π.
(1)
Для таких систем точек рассмотрим следующие величины:
αk =
1
π
[θk+1 − θk], k = 1, n, αn+1 := α1, α0 := αn,
n
∑
k=1
αk = 2.
Если m = 1, получаем n-лучевую систему точек, которую будем обозначать An (см. [1–5]).
Рассмотрим систему угловых областей:
Pk = {w ∈ C : θk < argw < θk+1}, k = 1, n.
Далее будем пользоваться обозначениями, принятыми в работе [1].
© А.К. Бахтин, А.Л. Таргонский, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №11 13
Для произвольной (n,m)-лучевой системы и фиксированного R ∈ R+ рассмотрим “уп-
равляющий” функционал
MR := MR(An,m) :=
n
∏
k=1
m
∏
p=1
[
χ
(∣
∣
∣
∣
ak,p
R
∣
∣
∣
∣
1/αk
)
χ
(∣
∣
∣
∣
ak,p
R
∣
∣
∣
∣
1/αk−1
)]1/2
|ak,p|,
где χ(t) =
1
2
(
t +
1
t
)
, t ∈ R+.
На n-лучевой системе точек An рассмотрим следующий “управляющий” функционал:
L(An) :=
n
∏
k=1
χ
(
∣
∣
∣
∣
ak+1
ak
∣
∣
∣
∣
1/(2αk)
)
· |ak|.
Если Tn — произвольный набор из n различных точек единичной окружности и ∂U \Tn,
где ∂U = {z : |z| = 1}, состоит из объединения n непересекающихся дуг с длинами γ1 =
= σ1π, . . . , γn = σnπ, то
µ(Tn) :=
n
∏
k=1
σk.
При каждом k = 1, n обозначим через zk(w) ту ветвь многозначной аналитической функ-
ции ζ(w) = −i(e−iθkw)1/αk , которая реализует однолистное и конформное отображение об-
ласти Pk на правую полуплоскость Re z > 0, при этом луч argw = (θk + θk+1)/2 преобра-
зуется в положительную действительную полуось. Тогда функция
ζ
(R)
k (w) :=
R1/αk − zk(w)
R1/αk + zk(w)
однолистно и конформно отображает область Pk на единичный круг U = {z : |z| < 1},
k = 1, n. Обозначим ω
(1)
k,p(R) := ζ
(R)
k (ak,p), ω
(2)
k,p(R) := ζ
(R)
k (ak+1,p), an+1,p := a1,p, ω
(2)
0,p(R) :=
= ω(2)
n,p(R) (k = 1, n, p = 1,m). При всех k = 1, n множество {ω
(1)
k,p(R)}mp=1
⋃
{ω
(2)
k,p(R)}mp=1
состоит из 2m различных точек на ∂UR := {z : |z| = R}. Тогда пусть
µk(R) := µ
(
{ω
(1)
k,p(R)}mp=1
⋃
{ω
(2)
k,p(R)}mp=1
)
, k = 1, n.
Пусть D, D ⊂ C — произвольное открытое множество и w = a ∈ D, тогда D(a) обо-
значает связную компоненту D, содержащую a. Для произвольной (n,m)-лучевой системы
An,m = {ak,p} и открытого множества D, An,m ⊂ D обозначим Dk(ap,s) связную компоненту
множества D(ap,s)
⋂
Pk, содержащую точку ap,s, k = 1, n, p = k, k+1, s = 1,m, an+1,s := a1,s.
Будем говорить, что открытое множество D, An,m ⊂ D удовлетворяет условию ненале-
гания относительно заданной (n,m)-лучевой системы An,m, если
Dk(ap,l)
⋂
Dk(aq,s) = ∅ (2)
при каждом фиксированном k = 1, n и для всех различных точек ap,l и aq,s, принадлежа-
щих P k.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №11
Систему областей {Bk,p}, k = 1, n, p = 1,m, назовем системой частично неналегающих
областей, если
D :=
n
⋃
k=1
m
⋃
p=1
Bk,p (3)
является открытым множеством, удовлетворяющим условию (2).
Обозначим через r(B; a) внутренний радиус области B ⊂ C относительно точки a ∈ B
(см. [6–9]).
Предметом изучения нашей работы являются следующая задача.
Задача. Пусть n, m ∈ N, n > 2. Определить максимум величины
n
∏
k=1
m
∏
p=1
r(Bk,p; ak,p),
где An,m = {ak,p} — любая (n,m)-лучевая система точек вида (1), а {Bk,p} — произвольный
набор частично неналегающих областей вида (3), ak,p ∈ Bk,p ⊂ C, и описать все экстремали
(k = 1, n, p = 1,m).
Такого рода задачи для открытого множества, удовлетворяющего условию (2), решены
в работе [1].
Теорема 1. Пусть R ∈ R+, n, m ∈ N, n > 2. Тогда для произвольной (n,m)-лучевой
системы точек вида (1) и любого набора частично неналегающих областей {Bk,p}, ak,p ∈
∈ Bk,p ⊂ C справедливо неравенство
n
∏
k=1
m
∏
p=1
r(Bk,p; ak,p) 6 2nm
(
n
∏
k=1
αk
)m( n
∏
k=1
µk(R)
)1/2
MR(An,m).
Знак равенства в этом неравенстве достигается, когда точки {ak,p} и области {Bk,p},
k = 1, n, p = 1,m являются соответственно полюсами и круговыми областями квадра-
тичного дифференциала
Q(w)dw2 = −
wn−2(Rn + wn)2m−2
((Rn/2 − iwn/2)2m +
(
Rn/2 + iwn/2)2m
)2 dw
2.
При m = 1 можно получить более сильный результат.
Теорема 2. Пусть R ∈ R+, n ∈ N, n > 3. Тогда для произвольной n-лучевой системы
точек An = {ak}
n
k=1 такой, что (An) = Rn, и любого набора частично неналегающих
областей {Bk}
n
k=1, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n, справедливо неравенство
n
∏
k=1
r(Bk; ak) 6 2n
(
n
∏
k=1
αk
)
L(An).
Знак равенства в этом неравенстве достигается, когда точки {ak}
n
k=1 и области {Bk}
n
k=1
являются соответственно полюсами и круговыми областями квадратичного дифферен-
циала
Q(w)dw2 = −
wn−2
(wn −Rn)2
dw2. (4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №11 15
Как следствия теоремы 2 получаем следующие результаты.
Следствие 1. Пусть n ∈ N, n > 3. Тогда для произвольной n-лучевой системы точек
An = {ak}
n
k=1 такой, что L(An) = 1, и любого набора частично неналегающих областей
{Bk}
n
k=1, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n, справедливо неравенство
n
∏
k=1
r(Bk; ak) 6 2n
n
∏
k=1
αk. (5)
Знак равенства в этом неравенстве достигается, когда точки {ak}
n
k=1 и области {Bk}
n
k=1
являются соответственно полюсами и круговыми областями квадратичного дифферен-
циала
Q(w)dw2 = −
wn−2
(wn − 1)2
dw2.
Следствие 2 [1]. Пусть n ∈ N, n > 3. Тогда для произвольной n-лучевой системы
точек An = {ak}
n
k=1 такой, что L(An) = 1, и любого набора попарно неналегающих облас-
тей {Bk}
n
k=1, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n, справедливо неравенство (5). Знак равенства в этом
неравенстве достигается при условиях следствия 1.
Следствие 3 [6–8]. Пусть n ∈ N, n > 3. Тогда для произвольной n-лучевой системы
точек An = {ak}
n
k=1, |ak| = 1, k = 1, n, и любого набора попарно неналегающих областей
{Bk}
n
k=1, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n, справедливо неравенство (5). Знак равенства в этом
неравенстве достигается при условиях следствия 1.
Следствие 4. Пусть n ∈ N, n > 3. Тогда для произвольной n-лучевой системы точек
An = {ak}
n
k=1 такой, что L(An) = 1, и любого набора частично неналегающих областей
{Bk}
n
k=1, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n, справедливо неравенство
n
∏
k=1
r(Bk; ak) 6
(
4
n
)n
. (6)
Знак равенства в этом неравенстве достигается при условиях следствия 1.
Следствие 5 [1]. Пусть n ∈ N, n > 3. Тогда для произвольной n-лучевой системы
точек An = {ak}
n
k=1 такой, что L(An) = 1, и любого набора попарно неналегающих облас-
тей {Bk}
n
k=1, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n, справедливо неравенство (6). Знак равенства в этом
неравенстве достигается при условиях следствия 1.
Следствие 6 [6–8]. Пусть n ∈ N, n > 3. Тогда для произвольной n-лучевой системы
точек An = {ak}
n
k=1, |ak| = 1, k = 1, n, и любого набора попарно неналегающих областей
{Bk}
n
k=1, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n, справедливо неравенство (6). Знак равенства в этом
неравенстве достигается при условиях следствия 1.
Следствие 7. Пусть R ∈ R+, n ∈ N, n > 3. Тогда для произвольной n-лучевой системы
точек An = {ak}
n
k=1 такой, что L(An) = Rn, и любого набора частично неналегающих
областей {Bk}
n
k=1, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n, справедливо неравенство
n
∏
k=1
r(Bk; ak) 6
(
4R
n
)n
.
Знак равенства в этом неравенстве достигается, когда точки {ak}
n
k=1 и области {Bk}
n
k=1
являются соответственно полюсами и круговыми областями квадратичного дифферен-
циала (4).
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №11
Доказательство теоремы 1. Согласно определению системы частично неналегающих
областей, соотношением (3) введено открытое множество D, удовлетворяющее (2). Отсюда
имеем
Bk,p ⊂ D, k = 1, n, p = 1,m. (7)
Пользуясь результатами работ [6, 7, 9], из (7) получаем
r(Bk,p, ak,p) 6 r(D, ak,p), k = 1, n, p = 1,m. (8)
Перемножая неравенства (8), окончательно делаем вывод, что
n
∏
k=1
m
∏
p=1
r(Bk,p; ak,p) 6
n
∏
k=1
m
∏
p=1
r(D; ak,p).
Далее, используя теорему 3.1.3 [1], получаем окончательный результат. Теорема дока-
зана.
Доказательство теоремы 2 проводится подобно доказательству теоремы 1.
1. Бахтин А.К., Бахтина Г.П., Зелинский Ю.Б. Тополого-алгебраические структуры и геометричес-
кие методы в комплексном анализе // Працi Iн-ту математики НАН України. – Київ. – 2008. – Т. 73. –
308 с.
2. Бахтiн О.К. Нерiвностi для внутрiшнiх радiусiв неперетинних областей та вiдкритих множин //
Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 5. – С. 596–610.
3. Дубинин В.Н. О квадратичных формах, порожденных функциями Грина и Робена // Мат. сб. –
2009. – 200, № 10. – С. 25–38.
4. Бахтин А.К., Таргонский А.Л. Экстремальные задачи и квадратичные дифференциалы // Нелiнiйнi
коливання. – 2005. – 8, № 3. – С. 298–303.
5. Таргонский А.Л. Экстремальные задачи о частично неналегающих областях на римановой сфере //
Доп. НАН України. – 2008. – № 9. – С. 31–36.
6. Дубинин В.Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении // Зап.
науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. – 1988. – 168. – С. 48–66.
7. Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного //
Успехи мат. наук. – 1994. – 49, № 1(295). – С. 3–76.
8. Дубинин В.Н. Асимптотика модуля вырождающегося конденсатора и некоторые ее применения //
Зап. науч. семинаров Ст.-Петербург. отд. Мат. ин-та АН. – 1997. – 237. – С. 56–73.
9. Хейман В.К. Многолистные функции. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1960. – 180 с.
10. Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. – 1934. –
5. – С. 159–245.
11. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – Москва: Наука, 1966. –
628 с.
12. Бахтина Г.П. Вариационные методы и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих
областях: Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Киев, 1975. – 11 с.
13. Кузьмина Г. В. Задачи об экстремальном разбиении римановой сферы // Зап. науч. семинаров Ст.-
Петербург. отд. Мат. ин-та АН. – 2001. – 276. – С. 253–275.
14. Емельянов Е. Г. К задаче о максимуме произведения степеней конформных радиусов неналегающих
областей // Там же. – 2002. – 286. – С. 103–114.
15. Дженкинс Дж.А. Однолистные функции и конформные отображения. – Москва: Изд-во иностр.
лит., 1962. – 256 с.
Поступило в редакцию 19.04.2013Институт математики НАН Украины, Киев
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №11 17
О.К. Бахтiн, А. Л. Таргонський
Екстремальнi задачi для частково неперетинних областей з вiльними
полюсами
Розв’язано низку задач про екстремальне розбиття комплексної площини з вiльними по-
люсами на променевiй системi точок. Цi результати поширюють деякi вiдомi на бiльш
широкi класи областей, якi допускають часткове налягання.
A.K. Bakhtin, A. L. Targonskii
Extremal problems for partially non-overlapping domains with free
poles
We solved several problems on extremal subdivision of complex plane with free poles on the raywise
system of points. These results generalized some famous ones on a wider class of domains, which
satisfy some conditions of overlapping.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №11
|