О неустойчивости движения при интервальных начальных условиях
Исследуется система уравнений возмущенного движения общего вида при интервальных начальных условиях. Для этого класса систем уравнений прямым методом Ляпунова получены достаточные условия неустойчивости движения. В качестве примера рассматривается линейная система с неточными значениями параметров....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86499 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О неустойчивости движения при интервальных начальных условиях / А.А. Мартынюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 11. — С. 55–60. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86499 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Мартынюк, А.А. 2015-09-19T14:15:58Z 2015-09-19T14:15:58Z 2013 О неустойчивости движения при интервальных начальных условиях / А.А. Мартынюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 11. — С. 55–60. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86499 517.36 Исследуется система уравнений возмущенного движения общего вида при интервальных начальных условиях. Для этого класса систем уравнений прямым методом Ляпунова получены достаточные условия неустойчивости движения. В качестве примера рассматривается линейная система с неточными значениями параметров. Дослiджується система рiвнянь збуреного руху загального вигляду при iнтервальних початкових умовах. Для цього класу систем рiвнянь за допомогою прямого методу Ляпунова отримано достатнi умови нестiйкостi руху. Як приклад розглянуто лiнiйну систему iз неточними значеннями параметрiв. We conseder a class of nonlinear systems under interval initial data. The sufficient conditions of instability via direct Lyapunov functions are derived. As an example, we considered linear uncertain systems of equations. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка О неустойчивости движения при интервальных начальных условиях Про нестiйкiсть руху при iнтервальних початкових умовах On the instability of motion under interval initial data Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О неустойчивости движения при интервальных начальных условиях |
| spellingShingle |
О неустойчивости движения при интервальных начальных условиях Мартынюк, А.А. Механіка |
| title_short |
О неустойчивости движения при интервальных начальных условиях |
| title_full |
О неустойчивости движения при интервальных начальных условиях |
| title_fullStr |
О неустойчивости движения при интервальных начальных условиях |
| title_full_unstemmed |
О неустойчивости движения при интервальных начальных условиях |
| title_sort |
о неустойчивости движения при интервальных начальных условиях |
| author |
Мартынюк, А.А. |
| author_facet |
Мартынюк, А.А. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про нестiйкiсть руху при iнтервальних початкових умовах On the instability of motion under interval initial data |
| description |
Исследуется система уравнений возмущенного движения общего вида при интервальных начальных условиях. Для этого класса систем уравнений прямым методом Ляпунова получены достаточные условия неустойчивости движения. В качестве примера
рассматривается линейная система с неточными значениями параметров.
Дослiджується система рiвнянь збуреного руху загального вигляду при iнтервальних початкових умовах. Для цього класу систем рiвнянь за допомогою прямого методу Ляпунова отримано достатнi умови нестiйкостi руху. Як приклад розглянуто лiнiйну систему iз
неточними значеннями параметрiв.
We conseder a class of nonlinear systems under interval initial data. The sufficient conditions of
instability via direct Lyapunov functions are derived. As an example, we considered linear uncertain
systems of equations.
|
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86499 |
| citation_txt |
О неустойчивости движения при интервальных начальных условиях / А.А. Мартынюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 11. — С. 55–60. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT martynûkaa oneustoičivostidviženiâpriintervalʹnyhnačalʹnyhusloviâh AT martynûkaa pronestiikistʹruhupriintervalʹnihpočatkovihumovah AT martynûkaa ontheinstabilityofmotionunderintervalinitialdata |
| first_indexed |
2025-11-27T00:27:51Z |
| last_indexed |
2025-11-27T00:27:51Z |
| _version_ |
1850788562211962880 |
| fulltext |
УДК 517.36
Академик НАН Украины А.А. Мартынюк
О неустойчивости движения при интервальных
начальных условиях
Исследуется система уравнений возмущенного движения общего вида при интерваль-
ных начальных условиях. Для этого класса систем уравнений прямым методом Ляпу-
нова получены достаточные условия неустойчивости движения. В качестве примера
рассматривается линейная система с неточными значениями параметров.
В данной работе исследуется задача о неустойчивости движения при интервальных началь-
ных условиях. Это понятие неустойчивости близко к известному определению неустойчи-
вости в смысле Ляпунова (см. [3]). При помощи прямого метода Ляпунова получены доста-
точные условия неустойчивости рассматриваемого типа. В качестве примера рассмотрена
задача о неустойчивости движения при интервальных начальных условиях линейной сис-
темы c неточными параметрами.
Постановка задачи. Рассмотрим систему уравнений возмущенного движения при ин-
тервальных начальных условиях
dx
dt
= f(t, x), (1)
x(t0) = x0 ∈ [x0, x0], (2)
где [x0, x0] — интервал начальных значений вектора состояний такой, что 0 ∈ [x0, x0],
f(t, x) ∈ С(R+ × R
n,Rn) и f(t, 0) = 0 при всех t > t0.
В данной работе предполагается, что движения системы, описываемые системой (1) при
начальных условиях (2), определены при всех t ∈ R+.
Далее X(t) обозначает множество траекторий системы (1), генерируемых интерваль-
ными начальными значениями [x0, x0], т. е.
X(t) =
{
x(t) :
dx
dt
= f(t, x), x(t0) = x0, x0 ∈ [x0, x0], t0 ∈ [0,+∞)
}
. (3)
Напомним, что для интервального вектора Y = [y, y], Y = (Y1, . . . , Yn) норма вводится
формулой
‖Y ‖ = max(|Y1|, . . . , |Yn|),
где |Yi| = max(|y
i
|, |yi|) для каждого i = 1, 2, . . . , n.
Приведем определения, необходимые для дальнейшего изложения результатов.
Определение 1. Нулевое решение системы (1) при интервальных начальных значе-
ниях (2) неустойчиво в смысле Ляпунова, если для некоторого ε > 0 и t0 ∈ R+ при любом
δ > 0 существует x̃0 ∈ [x0, x0] такое, что при (x̃0 ∈ [x0, x0])
⋂
(‖x̃0‖ < δ) неравенство
(x(t) ∈ X(t))
⋂
(‖x(t, t0, x̃0)‖ < ε) (4)
не выполняется хотя бы при одном значении t > t0.
© А.А. Мартынюк, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №11 55
Определение 2. Нулевое решение системы (1) интервально неустойчиво, если выпол-
няется хотя бы одно из условий:
а) оно неустойчиво при интервальных начальных значениях;
б) хотя бы одно решение x(t, t0, x0) ∈ X(t) не стремится к нулю при t → +∞.
Об интервальной неустойчивости движения.
Определение 3 (cм. [1]). Функция V (t, x) называется локально большой, если для лю-
бого 0 < c < +∞ и t0 > 0 существует ∆ = ∆(t0, c) > 0 такое, что вне сферы
G∆ = {x ∈ R
n : ‖x‖ < ∆} (5)
выполняется неравенство V (t, x) > c при всех t > t0.
Определение 4. Локально большая функция V (t, x) является определенно положи-
тельной, если она удовлетворяет условиям определения 3 и оценке V (t, x) > W (x), где
W (x) — определенно положительная функция в смысле Ляпунова.
Пусть для системы (1) построена локально большая вспомогательная функция V (t, x),
V ∈ C(R+ × R
n,R+), для которой определена полная производная
dV (t, x)
dt
= lim sup{[V (t+ h, x+ hf(t, x))− V (t, x)]h−1 : h → 0+} (6)
вдоль любого решения x(t) ∈ X(t) задачи (1), (2).
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть для системы (1) выполняются следующие условия:
1) существуют локально большая функция V (t, x) и функция W (t, x) такие, что
а) на любом решении x(t) ∈ X(t) задачи (1), (2)
dV (t, x)
dt
= λ(t, x)V (t, x) +W (t, x),
где λ ∈ C(R+ × R
n,R+);
б) функция W (t, x) > 0 на решениях x(t) ∈ X(t);
2) в любой окрестности S(H) состояния (x = 0; t > t0) существуют точки (x ∈ [x0, x0]) ∈
∈ S(H) такие, что при некотором t > t0 функция V (t, x) > 0;
3) существует ε > 0 такое, что при любом δ (δ < ε) неравенство
V (t, x(t)) > V (t0, x0) exp
[ t∫
t0
λ(τ, x(τ)) dτ
]
не сохраняется при всех t > t0 хотя бы на одном решении (x(t) ∈ X(t))
⋂
(‖x(t)‖ < ε)
с начальными значениями (x0 ∈ [x0, x0])
⋂
(‖x0‖ < δ), для которых V (t0, x0) > 0.
Тогда нулевое решение системы (1) интервально неустойчиво.
Доказательство. Пусть x(t) ∈ X(t) — любое решение системы (1) при условиях (2).
Предположим, что при выполнении условий (1)–(3) теоремы 1 нулевое решение системы (1)
устойчиво при интервальных начальных условиях, т. е. для любых ε > 0 и t0 ∈ R+ сущест-
вует δ(t0, ε) > 0 такое, что при начальных значениях (x0 ∈ [x0, x0])
⋂
(‖x0‖ < δ) верна
оценка (x(t) ∈ X(t))
⋂
(‖x(t)‖ < ε) при всех t > t0 и, кроме того, ‖x(t, t0, x0)‖ → 0 при лю-
бом значении x0 ∈ [x0, x0] при t → +∞. Пусть (x∗0 ∈ [x0, x0])
⋂
(‖x∗0‖ < δ) — то значение x0,
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №11
при котором V (t0, x
∗
0) > 0. Обозначим функцию V ∗(t, x(t)) на решении x(t) = x(t, t0, x
∗
0)
и рассмотрим равенство (1) (а) на этом решении:
dV ∗(t, x(t))
dt
= λV ∗(t, x(t)) +W ∗(t, x(t)), (7)
где W ∗ — функция W (t, x(t)) на этой же кривой. Поскольку W (t, x(t)) > 0 на любом реше-
нии x(t) ∈ X(t), в неравенстве (7) опустим W ∗ и получим оценку
V ∗(t, x(t)) > V ∗(t0, x
∗
0) exp
[ t∫
t0
λ(τ, x(τ)) dτ
]
,
которая выполняется при всех t > t0. Это неравенство противоречит условию (3) теоремы 1
и доказывает, что нулевое решение системы (1) неустойчиво при интервальных начальных
условиях. Покажем теперь, что выполняется условие б определения 2. Предположим обрат-
ное, что все решения x(t, t0, x0) ∈ X(t) стремятся к нуля при t → +∞. Пусть x̃0 ∈ [x0, x0] —
фиксированное значение x0, при котором V (t0, x̃0) > 0 и x(t, t0, x̃0) → 0 при t → +∞. При
выполнении условий (1), (2) теоремы 1 для функции V (t, x(t)) имеем неравенство
V (t, x(t)) > V (t0, x̃0) exp
[ t∫
t0
λ(τ, x(τ)) dτ
]
,
которое указывает на возрастание функции V (t, x(t)) вдоль этого решения. В то же вре-
мя V (t, x(t)) → 0, так как по предположению x(t, t0, x̃0) → 0 при t → ∞. Полученное
противоречие доказывает, что выполняется условие б определения 2. Таким образом, при
выполнении условий теоремы 1 выполняются оба условия определения 2. Этим доказано
более сильное свойство, чем интервальная неустойчивость состояния x = 0 системы (1).
Теорема 1 имеет ряд следствий.
Следствие 1. Пусть выполняется условие (1) теоремы 1 и, кроме того,
1) функция V (t, x) = c, 0 < c < ∞ на решениях x(t) ∈ X(t);
2) на любых решениях x(t) ∈ X(t) системы (1)
t∫
t0
λ(τ, x(τ))dτ → +∞ при t → +∞.
Тогда нулевое решение системы (1) неустойчиво при интервальных начальных усло-
виях (2).
Действительно, при выполнении условий (1) теоремы 1 имеем
V (t, x(t)) > V (t0, x0) exp
[ t∫
t0
λ(τ, x(τ)) dτ
]
, (8)
где V (t0, x0) > 0 при x0 ∈ [x0, x0]. При выполнении условия (2) следствия 1 правая часть
неравенства (8) неограниченно возрастает, в то время как функция V (t, x) не возрастает со-
гласно условию (1). Следовательно, найдется решение x(t) ∈ X(t), которое покинет область
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №11 57
‖x(t)‖ < ε при (x0 ∈ [x0, x0])
⋂
(‖x0‖ < δ), что и доказывает неустойчивость при интерваль-
ных начальных условиях.
Следствие 2. Пусть выполняется условие (1) следствия 1 и λ(t, x(t)) = λ = const >
> 0. Тогда нулевое решение системы (1) неустойчиво при интервальных начальных усло-
виях (2).
Доказательство этого утверждения следует из оценки (8), так как в этом случае
V (t, x(t)) > V (t0, x0) exp[λ(t− t0)] при всех t > t0
и x0 ∈ [x0, x0], что невозможно в силу условия (1) следствия 1.
Следствие 3. Пусть существуют функции V (t, x), W (t, x), указанные в теореме 1,
и, кроме того,
1) функция V (t, x) удовлетворяет условию (1) следствия 1 и W (t, x) > 0 в любой
окрестности S(H) состояния (x = 0, t > t0);
2) при любых x(t) ∈ X(t) верно соотношение
dV (t, x(t))
dt
= W (t, x(t));
3) функция λ(t) = W (t, x)/V (t, x) такая, что
t∫
t0
λ(τ) dτ → +∞ при t → +∞.
Тогда нулевое решение системы (1) неустойчиво при интервальных начальных усло-
виях.
Докажем это утверждение. Для λ(t) = W (t, x)/V (t, x) в области значений x ∈ S(H)
имеем dV (t, x)/dt = λ(t)V (t, x). Отсюда
V (t, x(t)) > V (t0, x0) exp
[ t∫
t0
λ(τ)dτ
]
при всех t > t0 (9)
и x0 ∈ [x0, x0]. Из условия (1) и из неравенства (9) следует утверждение следствия 3.
П р и м е р 1 . Пусть u(t) = Kx(t), K − n × n — постоянная матрица, x ∈ R
n — управление для
линейной системы
dx
dt
= A(t)x +B(t)u, (10)
x(t0) = x0 ∈ [x
0
, x0], (11)
где A(t) =
N∑
i=1
αi(t)Ai, B(t) =
N∑
i=1
αi(t)Bi. Здесь αi(t) > 0 — кусочно-непрерывные функции такие,
что αi(t) > 0,
N∑
i=1
αi(t) = 1, а Ai, Bi — постоянные матрицы соответствующих размерностей (см. [2]
и библиографию там).
Система (10), (11) редуцирует к следующей:
dx
dt
= (A(t) +B(t)K)x = Φ(t)x, (12)
x(t0) = x0 ∈ [x0, x0]. (13)
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №11
Предположим, что для системы (12), (13) выполняются следующие условия:
1) при любых x0 ∈ [x0, x0] и αi(t) > 0, i = 1, 2, . . . , N , указанных выше, решение
x(t, t0, x0) определено при всех t > t0;
2) для любых ε > 0 и δ > 0 (δ < ε) существует t∗ > t0 такое, что
ΦT (t∗) + Φ(t∗)−
1
t∗ − t0
ln
(
ε
δ
)
En > 0, (14)
где (x0 ∈ [x0, x0])
⋂
(‖xT0 x0‖ < δ), а En — n × n-единичная матрица.
Тогда нулевое решение системы (12) интервально неустойчиво.
Утверждение о неустойчивости системы (12) сохраняется, если условие (14) заменить
следующим:
AT
i +Ai +KTBT
i +BiK −
1
t∗ − t0
ln
(
ε
δ
)
En > 0, i = 1, 2, . . . , N.
Докажем эти утверждения.
Для системы (12) рассмотрим множество
X(t) =
{
x(t) :
dx
dt
= Φ(t)x, x(t0) = x0, x0 ∈ [x0, x0], t0 ∈ [0,∞)
}
(15)
и функцию V (x) = xTx. Пусть существует положительная постоянная χ > 0 такая, что
ΦT (t) + Φ(t) > χEn, (16)
где E — n×n-единичная матрица. Очевидно, что dV (x(t))/dt > χV (x(t)) и, следовательно,
V (x(t)) > V (x(t0)) exp[χ(t− t0)]. (17)
или, что то же самое,
xT (t)x(t) > xT0 x0 exp[χ(t− t0)]. (18)
Неустойчивость нулевого решения системы (12) при интервальных начальных условиях (13)
будет показана, если для любых ε и δ (δ < ε) при (x0 ∈ [x0, x0])
⋂
(‖xT0 x0‖ < δ) найдется
t∗ > t0 такое, что xT (t∗)x(t∗) > ε.
Из неравенства (18) получим
δ exp[χ(t∗ − t0)] = ε, (19)
откуда
χ =
1
t∗ − t0
ln
(
ε
δ
)
. (20)
Из оценки (16) при значении χ из (20) получаем линейное матричное неравенство
ΦT (t∗) + Φ(t∗) >
1
t∗ − t0
ln
(
ε
δ
)
En,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №11 59
выполнения которого достаточно для интервальной неустойчивости нулевого решения сис-
темы (12).
Таким образом, показано, что управление указанного вида может не стабилизировать
движение неустойчивой линейной системы или разрушить существующее интервально ус-
тойчивое движение, если ее параметры такие, что выполняются условия (1), (2) из при-
мера 1.
Заключительные замечания. В работе [4] начато исследование проблемы устойчи-
вости движения при интервальных начальных условиях. Прямой метод Ляпунова является
эффективным средством анализа устойчивости движения такого рода. Теорема о неустой-
чивости, приведенная в данной работе, как и следствия 1–3, навеяны известными теоремами
о неустойчивости А.М. Ляпунова [3], Н. Г. Четаева [6] и В.И. Зубова [5]. Остановимся на
некоторых комментариях к приведенному определению неустойчивости при интервальных
начальных условиях.
1. Если 0 ∈ [x0, x0] и величина интервала покрывается δ-окрестностью (в терминах
(ε, δ)-определений Ляпунова), то определение 1 совпадает с определением неустойчивости
нулевого решения системы (1) в смысле Ляпунова.
2. Если интервальные значения такие, что x0 = 0 либо x0 = 0, тогда при покрытии
δ-окрестностью интервала [x0, x0] определение 1 обращается в определение неустойчивости
в конусе при условии, что множество решений системы (1) определено в конусе.
1. Мартынюк А.А. Практическая устойчивость движения. – Киев: Наук. думка, 1983. – 247 с.
2. Boyd L., Ghaoui E., Feron E., Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in system and control theory. –
Philadelphia: SIAM, 1994. – 193 p.
3. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. – Ленинград; Москва: ОНТИ, 1935. – 386 с.
4. Мартынюк А.А. Об устойчивости движения при интервальных начальных условиях // Доп. НАН
України. – 2013. – № 1. – С. 47–52.
5. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. – Ленин-
град: Машиностроение, 1974. – 334 с.
6. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. – Москва: Наука, 1990. – 175 с.
Поступило в редакцию 11.04.2013Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
Академiк НАН України А.А. Мартинюк
Про нестiйкiсть руху при iнтервальних початкових умовах
Дослiджується система рiвнянь збуреного руху загального вигляду при iнтервальних по-
чаткових умовах. Для цього класу систем рiвнянь за допомогою прямого методу Ляпунова
отримано достатнi умови нестiйкостi руху. Як приклад розглянуто лiнiйну систему iз
неточними значеннями параметрiв.
Academician of the NAS of Ukraine A.A. Martynyuk
On the instability of motion under interval initial data
We conseder a class of nonlinear systems under interval initial data. The sufficient conditions of
instability via direct Lyapunov functions are derived. As an example, we considered linear uncertain
systems of equations.
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №11
|