Дослідження експоненціальної стійкості розв'язків рівняння Маккі-Гласса з імпульсною дією
Розглядається функціонально-диференціальне рівняння Маккі-Гласса зі змінними коефіцієнтами, несталим запізненням та імпульсним впливом в фіксовані моменти часу. На основі теорем типу Разуміхіна, отримано умови експоненціальної стійкості додатних розв’язків даного рівняння. The Mackey-Glass equation...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86545 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Дослідження експоненціальної стійкості розв'язків рівняння Маккі-Гласса з імпульсною дією / В.П. Лісовська, О.І. Неня // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 10. — С. 120-128. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859842009325371392 |
|---|---|
| author | Лісовська, В.П. Неня, О.І. |
| author_facet | Лісовська, В.П. Неня, О.І. |
| citation_txt | Дослідження експоненціальної стійкості розв'язків рівняння Маккі-Гласса з імпульсною дією / В.П. Лісовська, О.І. Неня // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 10. — С. 120-128. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | Розглядається функціонально-диференціальне рівняння Маккі-Гласса зі змінними коефіцієнтами, несталим запізненням та імпульсним впливом в фіксовані моменти часу. На основі теорем типу Разуміхіна, отримано умови експоненціальної стійкості додатних розв’язків даного рівняння.
The Mackey-Glass equation is considered, with variable coefficients, nonconstant delay and impulsive action at fixed times. Based on the Razumikhin type theorems the conditions of exponential stability are presented for positive solutions for this equation.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:37:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
120
УДК 517.9
В. П. Лісовська, канд. фіз.-мат. наук,
О. І. Неня, канд. фіз.-мат. наук
Київський національний економічний університет
імені Вадима Гетьмана, м. Київ
ДОСЛІДЖЕННЯ ЕКСПОНЕНЦІАЛЬНОЇ
СТІЙКОСТІ РОЗВ'ЯЗКІВ РІВНЯННЯ
МАККІ-ГЛАССА З ІМПУЛЬСНОЮ ДІЄЮ
Розглядається функціонально-диференціальне рівняння Мак-
кі-Гласса зі змінними коефіцієнтами, несталим запізненням та ім-
пульсним впливом в фіксовані моменти часу. На основі теорем
типу Разуміхіна, отримано умови експоненціальної стійкості до-
датних розв’язків даного рівняння.
Ключові слова: функціонально-диференціальне рівняння,
імпульсна дія, експоненціальна стійкість.
Постановка задачі. Розглянемо нелінійне функціонально-дифе-
ренціальне рівняння Маккі-Гласса з імпульсною дією
( ) ( ( ))
( ) = ( ) ( ), ,
1 ( ( ))
kn
p t x g t
t t x t t tx
x g t
(1)
( ) (1 ) ( ), ,k k kx t b x t k N (2)
де > 0n , > 1kb , ( ) 0p t , ( ) > 0t , ( )g t — кусково-неперервні фу-
нкції, ( ) <g t t , ( ) =lim
t
g t
, sup( ( )) <lim
t
t g t
, послідовність точок
імпульсної дії задовольняє умови 1 > 0k kt t , .k N
Рівняння Маккі-Гласса було представлене як модель гематопое-
зу (відтворення клітин крові) у роботі [1]. Дослідження даного рів-
няння та деяких схожих моделей широко висвітлені в публікаціях [2–
4]. Рівняння Маккі-Гласса із запізненням описує модель генерації
білих кров'яних тілець [5–6], а імпульсна дія характеризує короткоча-
сні зовнішні впливи на систему [7–8].
Основними питаннями, що досліджуються в вищезгаданих дже-
релах, є існування періодичних розв'язків, властивість перманентнос-
ті розв'язку, локальний та глобальний аналіз стійкості розв'язків.
У цій статті за допомогою теорем типу Разуміхіна досліджується
властивість експоненціальної стійкості розв’язків рівняння (1), (2).
Під розв'язком рівняння (1) з початковим значенням
( ) = ( )x t t , 0<t t , 0 0( ) = > 0x t x , (3)
де 0: ( , )t R , ( ) 0t — кусково-неперервна, обмежена функ-
ція, розуміємо абсолютно неперервну на кожному інтервалі 1( , ]j jt t
© В. П. Лісовська, О. І. Неня, 2014
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10
121
функцію, яка задовольняє рівняння (1) майже скрізь, а також задово-
льняє умови імпульсів (2).
Виходячи з біологічної інтерпретації даного рівняння, розгляда-
ємо розв'язки, які приймають невід'ємні значення.
Допоміжні результати. Нехай R — простір дійсних чисел,
R — простір невід'ємних дійсних чисел, nR — n -вимірний простір
з евклідовою нормою .
Розглянемо функціонально-диференціальне рівняння з імпульс-
ною дією
( ) = ( , ( ))t f t g tx
, 0t t , kt t , (4)
( ) = ( , ( )),k k k kx t I t x t = ,kt t ,k N
де ,nx R 0, : (( , ], ) ,n n
kf I R PC t R R ( ,0) = 0,f t ( ,0) = 0,k kI t
( )g t — кусково-неперервна функція, ( ) < ,g t t ( ) = ,lim
t
g t
sup( ( )) < ,lim
t
t g t
послідовність точок імпульсної дії задовольняє
умови 0 10 < < < <kt t t , 1 > 0.k kt t
Позначимо через ([ , ], )PC a b S простір означених на відрізку
[ , ]a b кусково-неперервних неперервних зліва функцій зі значеннями
в S та зі скінченною кількістю розривів.
Тоді
[ , ], , : , | , | , ,a bPC b S b S a b PC a b S .
Означимо простір ( )PCB t неперервних обмежених функцій. В
якому для ( )PCB t введемо норму
0
0
= | ( ) |sup
s
s
. Для кожного
0 нехай ( ) ( ) : .PCB PCB
Функцію ( )x t назвемо розв'язком рівняння (4) з початковою
умовою
0( ) = ( ), < ,x t t t t (5)
де 0: ( , )t R — кусково-неперервна, обмежена функція, якщо
0( , , )x t t задовольняє (4) та (5).
Під розв'язком рівняння (4) розуміємо абсолютно неперервну на
кожному інтервалі 1( , ]j jt t функцію, яка задовольняє рівняння (4)
майже скрізь, а також задовольняє умови імпульсів.
Оскільки ( ,0) = 0, ( ,0) = 0, = 1, 2, ,k kf t I t k то ( ) = 0x t розв'я-
зок рівняння (4), (5), який назвемо тривіальним розв'язком.
Математичне та комп’ютерне моделювання
122
Означення 1. Функція : nV R R R належить класу 0v якщо:
( )i V — неперервна на кожній множині 1( ; ] n
k kt t R функція і для
кожного значення nx R , 1( ; ]k kt t t , k N існує
( , ) ( , ) ( , ) = ( , )lim t y t x kk
V t y V t x ;
( )ii ( , )V t x — локально ліпшицева для всіх nx R , і для всіх 0t t
виконується рівність ( ,0) = 0V t .
Означення 2. Лівостороння похідна функції : nV R R R
по відношенню до системи (4) визначається таким чином
0
1
( , (0)) = sup ( , (0) ( , )) ( , (0))lim
h
D V t V t h hf t V t
h
,
для ( , ) (( ;0], )nt R PC R .
Означення 3. Тривіальний розв'язок системи (4), (5) експонен-
ціально стійкий, якщо для кожного > 0 існує = ( ) та стала
> 0, що для довільної початкової функції 0( )PCB t виконуєть-
ся нерівність
( )
0
0 0( , , ) , .
t t
x t t e t t
Розглянемо лінійне рівняння
( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ), ,kx t c t x g t a t x t t t (6)
( ) (1 ) ( ), .k k k kx t b x t t t
з початковою функцією та початковим значенням
0 0 0( ) ( ) 0, , ( ) 0.x t t t t x t x (7)
Введемо в розгляд також відповідні нерівності з імпульсною дією:
( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ),y t c t y g t a t y t (8)
( ) = (1 ) ( ),k k ky t b y t
та
1 0( ) = ,g t (9)
( ) = (1 ) ( ).k k kw t b w t
Лема 1. (Див. [9]) Нехай ( ) 0, ( ) > 0, ( )a t c t g t — кусково-непе-
рервні функції. Тоді розв'язок рівняння (6)–(7) додатний. Якщо ( )x t
0( ) ( ), ,y t w t t t тоді 0( ) ( ) ( ), ,y t x t w t t t де ( )y t і ( )w t відпо-
відно розв'язки нерівностей (8), (9) .
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10
123
Основні результати.
Теорема 1. Припустимо, що існує функція 0V v та такі сталі
> 0p , 1 > 0c , 2 > 0c , > 0 , що виконуються наступні умови:
( )i 1 2( , )
p p
c x V t x c x ;
( )ii ( , ( , )) (1 ) ( , (0)),k k k k kV t I t b V t > 1;kb
( )iii ( , (0)) ( , (0)),D V t V t для всіх kt t на R , якщо
( ( ))
( ) <
( , (0)) (1 ) ( ( ), ( (0)));
k
t g t
k
g t t t
V t b e V g t g
( )iv ( ( )) ( ( ))
( ) <
(1 ) , 0 <
k
t g t t g t
k
g t t t
b e e
,
для всіх 0>t t .
Тоді тривіальний розв'язок системи (4) експоненціально стійкий.
Доведення. Нехай ( )x t — розв'язок системи (4) і ( ) = ( , ( ))V t V t x t .
Доведемо, що для довільного 1( , ]k kt t t виконується нерівність
0
0
( )
2 0
<
( ) (1 )
k
p t t
k
t t t
V t c b e
. (10)
Нехай
0
( )
0
2 00
( )
0
2 10
<
( ) , ,
( ) =
( ) (1 ) , ( , ].
k
t tp
t tp
k k k
t t t
V t c e t t
Q t
V t c b e t t t
Покажемо, що ( ) 0Q t для всіх 0t t .
Очевидно, що ( ) 0Q t для 0t t , оскільки згідно умови ( )i ма-
ємо оцінку 2 0
( ) ( ) 0
p
Q t V t c .
Покажемо, що для всіх 0 1( , ]t t t виконується ( ) 0Q t . Нехай іс-
нує довільне число > 0 , що для 0 1( , ]t t t виконується ( )Q t .
Припустимо, що це не так. Тоді існує таке *
0 1= inf ( , ] : ( ) >t t t t Q t ,
що *( ) =Q t , *( )Q t для *t t .
Оскільки
*( )* * 0
2 0
( ) = ( )
t tp
V t Q t c e
, то
*( ( ) )* * 0
2 0
( ( )) = ( ( ))
g t tp
V g t Q g t c e
* * *( ( ) )
0
2 0
t t g t tp
c e
Математичне та комп’ютерне моделювання
124
* * * * *( ) ( ( ) ) * ( ( ) )0
2 0
( ) = ( )
t tp g t t g t tc e e V t e
.
Тому згідно умови ( )iii маємо * *( ) ( )D V t V t , звідки випливає
0
*( )* * *
2 0
( ) = ( ) ( )
p t tD Q t D V t c e V t
0 0
* *( ) ( )*
2 20 0
= ( ) = < 0,
p pt t t tc e V t c e
що протирічить визначенню точки *t , тобто маємо ( )Q t для всіх
0 1( , ]t t t . Нехай 0 , тоді ( ) 0Q t для всіх 0 1( , ]t t t .
Припустимо, що для всіх 0( , ]mt t t виконується ( ) 0Q t , і по-
кажемо, що ( ) 0Q t для 0 1( , ]mt t t .
Згідно умови ( )ii маємо, що
0
0
( )
2 0
<
( ) (1 ) m
mk
p t t
m m k
t t t
Q t V t c b e
0
0
( )
2 0
(1 ) ( ) (1 ) m
k m
p t t
m m k
t t t
b V t c b e
0
0
( )
2 0
<
(1 ) ( ) (1 ) =m
k m
p t t
m m k
t t t
b V t c b e
= (1 ) ( ) 0.m mb Q t
Нехай існує довільне число > 0 таке, що для 1( , ]m mt t t ви-
конується ( )Q t . Припустимо, що це не так. Тоді існує таке
*
1= inf ( , ] : ( ) >m mt t t t Q t , що *( ) =Q t , *( )Q t для *t t .
Оскільки 0
0
*( )* *
2 0
*<
( ) = ( ) (1 )
k
p t t
k
t t t
V t Q t c b e
, то
0
0
*( ( ) )* *
2 0
*< ( )
( ( )) = ( ( )) (1 )
k
p g t t
k
t t g t
V g t Q g t c b e
0
0
* * *( )1 ( ( ) )
2 0
* * *< ( ) <
(1 ) (1 )
k k
p t t g t t
k k
t t t g t t t
c b b e e
0
0
* * *( ) 1 ( ( ) )
2 0
* * *< ( ) <
(1 ) (1 ) =
k k
p t t g t t
k k
t t t g t t t
c b e b e
* ** 1 ( ( ) )
* *( ) <
= ( ) (1 ) .
k
g t t
k
g t t t
V t b e
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10
125
В останній нерівності при перетвореннях використали умову
( ),iv з якої випливає, що
* *1 ( ( ) )
* *( ) <
(1 ) > 1.
k
g t t
k
g t t t
b e
Тому згідно умови ( )iii маємо * *( ) ( )D V t V t , звідки випливає
0
0
*( )* *
2 0
*<
( ) = ( ) (1 )
k
p t t
k
t t t
D Q t D V t c b e
0
0
*( )*
2 0
*<
( ) (1 ) =
k
p t t
k
t t t
V t c b e
0
0
*( )*
2 0
*<
= ( ) (1 ) = < 0,
k
p t t
k
t t t
V t c b e
що протирічить вибору точки *t , тобто маємо ( )Q t для всіх
1[ , ]m mt t t . Нехай 0 , тоді ( ) 0Q t для всіх 0 1( , ]mt t t .
Тому згідно методу математичної індукції маємо справедливість
оцінки (10).
Далі розіб'ємо інтервал 0[ ; )t на інтервали запізнення наступ-
ним чином: існує значення 1 таке, що 0( ) >g t t при 1> ,t тому
1 0( ) = ,g t тобто маємо інтервал 0 1[ , ).t Аналогічно будуємо інтер-
вал 1 2[ , ), де 2 1( ) = ,g і т.д.
Виходячи з умов ( ) ( )i iii та вищеописаного розбиття маємо та-
кі оцінки
0
0
( )
1 2 0
<
( , ) (1 )
k
p p t t
k
t t t
c x V t x c b e
звідки
0
0
11 1
1
( )2 2
0 0
1 1<
(1 ) = ( ) ,
k
pp pt t
pk
t t t
c c
x b e t
c c
де
0
0
( )( ) (1 )
k
t t
k
t t t
t b e
1 0 2 1
0 1 1 2
( ) ( )
< <
= (1 ) (1 ) ...
k k
t
k k
t t t
b e b e
( )(1 ) m
m k
t
k
t t
b e
Математичне та комп’ютерне моделювання
126
1 1 2 2
1 1 2 2
( ( )) ( ( ))
( ) ( )
(1 ) (1 ) ...
k k
g g
k k
g t g t
b e b e
( )
<
(1 ) m
m k
t
k
t t
b e
1 0 02 1( ) ( ) ( )( ) ... = .mt t t te e e e
Тому
0
1
( )
2
00
1
, .
t tp
pc
x e t t
c
Нехай 0( ),PCB t
1
1
2
= ,
pc
c
тоді
0( )
0, .
t t
px e t t
Теорему доведено.
Теорема 2. Припустимо, що існують такі сталі > 0 та для
всіх 0>t t виконуються умови:
( ( ))
( ) <
( )
(1 ) 1,
( )
k
t g t
k
g t t t
a t
b e
c t
(11)
( ( )) ( ( ))
( ) <
(1 ) < ,
k
t g t t g t
k
g t t t
b e e
(12)
тоді тривіальний розв'язок рівняння (6) експоненціально стійкий.
Доведення. Нехай ( , ) .V t x x Перевіримо виконання умов тео-
реми 1. Умови ( ), ( )i ii виконуються завдяки вибору функції ( , )V t x .
Тоді згідно умови ( )iii якщо
( ( ))
( ) <
( ) (1 ) ( ( )),
k
t g t
k
g t t t
x t b e x g t
то беручи до уваги (11) отримаємо наступне
( ) = ( ) ( ( )) ( ) ( ) =D V t c t x g t a t x t
( )
( ) ( ) ( )
( )
x g t
x t a t c t
x t
1 ( ( ))
( )
( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ).
k
t g t
k
g t t t
x t a t c t b e x t V t
Тобто маємо виконання всіх умов теореми 1.
Теорему доведено.
Умови експоненціальної стійкості розв'язків рівняння Мак-
кі-Гласса.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10
127
Теорема 3. (Див. [9]) Будь-який розв'язок рівняння (1)–(3) додат-
ний для всіх .t
Теорема 4. Нехай для всіх 0>t t виконуються умови:
( ( ))
( ) <
( )
(1 ) 1,
( )
k
t g t
k
g t t t
t
b e
p t
(13)
( ( )) ( ( ))
( ) <
(1 ) < ,
k
t g t t g t
k
g t t t
b e e
(14)
де > 0.
Тоді тривіальний розв'язок рівняння (1) експоненціально стійкий.
Доведення. Оскільки розв'язок ( )x t додатний, тоді
( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ), 0,t p t x g t t x t tx
( 0) = (1 ) ( ).k k kx t b x t
Далі використовуючи лему 1 та теорему 2 доводимо дану теорему.
Теорему доведено.
Висновки. Розглянуто функціонально-диференціальне рівняння
Маккі-Гласса зі змінними коефіцієнтами, несталим запізненням та ім-
пульсним впливом у фіксовані моменти часу. На основі теорем типу
Разуміхіна та теорем порівняння, отримано нові умови експоненціаль-
ної стійкості додатних розв’язків даного рівняння.
Список використаних джерел:
1. Mackey M. C. Oscillation and chaos in physiological control systems /
M. C. Mackey, L. Glass // Science. — 1977. — Vol. 197. — P. 287–289.
2. Hale J. K. Onset of chaos in differential delay equations / J. K. Hale, N. Stern-
berg // J. Comput. Phys. — 1988. — Vol. 77, № 1. — P. 221–239.
3. Gopalsamy K. A note on global attractivity in models of hematopoiesis /
K. Gopalsamy, S. I. Trofimchuk, N. R. Bantsur // Ukr. Math. J. — 1998. —
Vol. 50, № 1. — P. 5–12.
4. A global stability criterion for a family of delayed population models / E. Liz,
M. Pinto, V. Tkachenko, S. Trofimchuk // Quart. Appl. Math. — 2005. —
Vol. 63. — P. 56–70.
5. Berezansky L. Mackey-Glass equation with variable coefficients / L. Bere-
zansky, E. Braverman // Computers and Mathematics with Applications. —
2006. — Vol. 51. — P. 1–16.
6. Мисло Ю. М. Майже періодичні розв'язки рівнянь Маккі-Гласса з імпу-
льсною дією / Ю. М. Мисло, В. І. Ткаченко // Нелінійні коливання. —
2011. — Вип. 14, № 4. — С. 507–515.
7. Самойленко А. М. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием
/ А. М. Самойленко, Н. А. Перестюк. — К. : Вища школа, 1987. — 288 с.
8. Lakshmikantham V. Theory of impulsive differential equations / V. Lakshmikan-
tham, D. D. Bainov, P. S. Simeonov. — Singapure : World Scientific, 1989. — 273 p.
Математичне та комп’ютерне моделювання
128
9. Неня О. І. Дослідження згасання розв'язків рівняння Макі-Гласса з імпу-
льсною дією / О. І. Неня // Нелінійні коливання. — 2013. — Вип. 16,
№ 4. — С. 511–517.
The Mackey-Glass equation is considered, with variable coefficients,
nonconstant delay and impulsive action at fixed times. Based on the Ra-
zumikhin type theorems the conditions of exponential stability are pre-
sented for positive solutions for this equation.
Key words: functional-differential equation, impulsive action, expo-
nential stability.
Отримано: 12.02.2014
УДК 517.956
В. А. Літовченко, д-р фіз.-мат. наук, професор,
Г. М. Унгурян, магістр
Чернівецький національний університет
імені Юрія Федьковича, м. Чернівці
ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ'ЯЗОК ЗАДАЧІ КОШІ ДЛЯ
ОДНОГО КЛАСУ ПАРАБОЛІЧНИХ РІВНЯНЬ ІЗ
КОЕФІЦІЄНТАМИ ОБМЕЖЕНОЇ ГЛАДКОСТІ
Побудовано фундаментальний розв’язок задачі Коші та
досліджено його властивості для одного класу параболічних
рівнянь типу Шилова із змінними коефіцієнтами обмеженої
гладкості та невід’ємним родом.
Ключові слова: задача Коші, фундаментальний розв’язок,
параболічність за Шиловим.
Вступ. Параболічні за Г. Є. Шиловим рівняння з частинними
похідними, на відміну від параболічних за І. Г. Петровським рівнянь,
взагалі кажучи, не є стійкими в сенсі параболічності до зміни своїх
коефіцієнтів, навіть тих, що знаходяться при нульовій похідній [1].
У [2] Я. І. Житомирський означує досить широкий клас парабо-
лічних систем типу Шилова із залежними від просторової змінної
молодшими коефіцієнтами, який охоплює параболічні за Шиловим
системи. Для таких систем методом послідовних наближень, без ви-
користання фундаментального розв’язку, встановлено коректну
розв’язність задачі Коші в класі достатньо гладких обмежених почат-
кових функцій. Подальше дослідження задачі Коші для систем з цьо-
го класу потребує побудови фундаментального розв’язку задачі Коші
(ФРЗК) та всебічного її вивчення.
Розвиваючи класичні методи теорії параболічних рівнянь зі змін-
ними коефіцієнтами, у [3] здійснено повний аналітичний опис ФРЗК
© В. А. Літовченко, Г. М. Унгурян, 2014
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.1000
/ColorConversionStrategy /sRGB
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo false
/PreserveFlatness false
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
/Arial-Black
/Arial-BlackItalic
/Arial-BoldItalicMT
/Arial-BoldMT
/Arial-ItalicMT
/ArialMT
/ArialNarrow
/ArialNarrow-Bold
/ArialNarrow-BoldItalic
/ArialNarrow-Italic
/ArialUnicodeMS
/CenturyGothic
/CenturyGothic-Bold
/CenturyGothic-BoldItalic
/CenturyGothic-Italic
/CourierNewPS-BoldItalicMT
/CourierNewPS-BoldMT
/CourierNewPS-ItalicMT
/CourierNewPSMT
/Georgia
/Georgia-Bold
/Georgia-BoldItalic
/Georgia-Italic
/Impact
/LucidaConsole
/Tahoma
/Tahoma-Bold
/TimesNewRomanMT-ExtraBold
/TimesNewRomanPS-BoldItalicMT
/TimesNewRomanPS-BoldMT
/TimesNewRomanPS-ItalicMT
/TimesNewRomanPSMT
/Trebuchet-BoldItalic
/TrebuchetMS
/TrebuchetMS-Bold
/TrebuchetMS-Italic
/Verdana
/Verdana-Bold
/Verdana-BoldItalic
/Verdana-Italic
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages false
/ColorImageMinResolution 150
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 150
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages false
/GrayImageMinResolution 150
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 150
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages false
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects true
/CheckCompliance [
/PDFX1a:2001
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
/ESP <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>
/ETI <FEFF004b00610073007500740061006700650020006e0065006900640020007300e400740074006500690064002000e4007200690064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020007500730061006c006400750073007600e400e4007200730065006b0073002000760061006100740061006d006900730065006b00730020006a00610020007000720069006e00740069006d006900730065006b007300200073006f00620069006c0069006b0065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020006c006f006f006d006900730065006b0073002e00200020004c006f006f0064007500640020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065002000730061006100740065002000610076006100640061002000700072006f006700720061006d006d006900640065006700610020004100630072006f0062006100740020006e0069006e0067002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006a00610020007500750065006d006100740065002000760065007200730069006f006f006e00690064006500670061002e>
/FRA <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>
/GRE <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>
/HEB <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>
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.)
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/RUS <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>
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AllowImageBreaks true
/AllowTableBreaks true
/ExpandPage false
/HonorBaseURL true
/HonorRolloverEffect false
/IgnoreHTMLPageBreaks false
/IncludeHeaderFooter false
/MarginOffset [
0
0
0
0
]
/MetadataAuthor ()
/MetadataKeywords ()
/MetadataSubject ()
/MetadataTitle ()
/MetricPageSize [
0
0
]
/MetricUnit /inch
/MobileCompatible 0
/Namespace [
(Adobe)
(GoLive)
(8.0)
]
/OpenZoomToHTMLFontSize false
/PageOrientation /Portrait
/RemoveBackground false
/ShrinkContent true
/TreatColorsAs /MainMonitorColors
/UseEmbeddedProfiles false
/UseHTMLTitleAsMetadata true
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/BleedOffset [
0
0
0
0
]
/ConvertColors /ConvertToRGB
/DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1)
/DestinationProfileSelector /UseName
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements true
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MarksOffset 6
/MarksWeight 0.250000
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PageMarksFile /RomanDefault
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [600 600]
/PageSize [419.528 595.276]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86545 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 2308-5878 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:37:22Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лісовська, В.П. Неня, О.І. 2015-09-21T14:12:06Z 2015-09-21T14:12:06Z 2014 Дослідження експоненціальної стійкості розв'язків рівняння Маккі-Гласса з імпульсною дією / В.П. Лісовська, О.І. Неня // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 10. — С. 120-128. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 2308-5878 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86545 517.9 Розглядається функціонально-диференціальне рівняння Маккі-Гласса зі змінними коефіцієнтами, несталим запізненням та імпульсним впливом в фіксовані моменти часу. На основі теорем типу Разуміхіна, отримано умови експоненціальної стійкості додатних розв’язків даного рівняння. The Mackey-Glass equation is considered, with variable coefficients, nonconstant delay and impulsive action at fixed times. Based on the Razumikhin type theorems the conditions of exponential stability are presented for positive solutions for this equation. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Дослідження експоненціальної стійкості розв'язків рівняння Маккі-Гласса з імпульсною дією Article published earlier |
| spellingShingle | Дослідження експоненціальної стійкості розв'язків рівняння Маккі-Гласса з імпульсною дією Лісовська, В.П. Неня, О.І. |
| title | Дослідження експоненціальної стійкості розв'язків рівняння Маккі-Гласса з імпульсною дією |
| title_full | Дослідження експоненціальної стійкості розв'язків рівняння Маккі-Гласса з імпульсною дією |
| title_fullStr | Дослідження експоненціальної стійкості розв'язків рівняння Маккі-Гласса з імпульсною дією |
| title_full_unstemmed | Дослідження експоненціальної стійкості розв'язків рівняння Маккі-Гласса з імпульсною дією |
| title_short | Дослідження експоненціальної стійкості розв'язків рівняння Маккі-Гласса з імпульсною дією |
| title_sort | дослідження експоненціальної стійкості розв'язків рівняння маккі-гласса з імпульсною дією |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86545 |
| work_keys_str_mv | AT lísovsʹkavp doslídžennâeksponencíalʹnoístíikostírozvâzkívrívnânnâmakkíglassazímpulʹsnoûdíêû AT nenâoí doslídžennâeksponencíalʹnoístíikostírozvâzkívrívnânnâmakkíglassazímpulʹsnoûdíêû |