Фундаментальний розв'язок задачі Коші для одного класу параболічних рівнянь із коефіцієнтами обмеженої гладкості

Побудовано фундаментальний розв’язок задачі Коші та досліджено його властивості для одного класу параболічних рівнянь типу Шилова із змінними коефіцієнтами обмеженої гладкості та невід’ємним родом. We built the fundamental solution of the Caushy problem and investigated its properties for a class of...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Date:	2014
Main Authors:	Літовченко, В.А., Унгурян, Г.М.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86546
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Фундаментальний розв'язок задачі Коші для одного класу параболічних рівнянь із коефіцієнтами обмеженої гладкості / В.А. Літовченко, Г.М. Унгурян // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 10. — С. 128-139. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859917820201009152
author	Літовченко, В.А. Унгурян, Г.М.
author_facet	Літовченко, В.А. Унгурян, Г.М.
citation_txt	Фундаментальний розв'язок задачі Коші для одного класу параболічних рівнянь із коефіцієнтами обмеженої гладкості / В.А. Літовченко, Г.М. Унгурян // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 10. — С. 128-139. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
description	Побудовано фундаментальний розв’язок задачі Коші та досліджено його властивості для одного класу параболічних рівнянь типу Шилова із змінними коефіцієнтами обмеженої гладкості та невід’ємним родом. We built the fundamental solution of the Caushy problem and investigated its properties for a class of Shilov parabolic equations with variable coefficients bounded smooth and integral form.
first_indexed	2025-12-07T16:06:18Z
format	Article
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 128 9. Неня О. І. Дослідження згасання розв'язків рівняння Макі-Гласса з імпу- льсною дією / О. І. Неня // Нелінійні коливання. — 2013. — Вип. 16, № 4. — С. 511–517. The Mackey-Glass equation is considered, with variable coefficients, nonconstant delay and impulsive action at fixed times. Based on the Ra- zumikhin type theorems the conditions of exponential stability are pre- sented for positive solutions for this equation. Key words: functional-differential equation, impulsive action, expo- nential stability. Отримано: 12.02.2014 УДК 517.956 В. А. Літовченко, д-р фіз.-мат. наук, професор, Г. М. Унгурян, магістр Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ'ЯЗОК ЗАДАЧІ КОШІ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ПАРАБОЛІЧНИХ РІВНЯНЬ ІЗ КОЕФІЦІЄНТАМИ ОБМЕЖЕНОЇ ГЛАДКОСТІ Побудовано фундаментальний розв’язок задачі Коші та досліджено його властивості для одного класу параболічних рівнянь типу Шилова із змінними коефіцієнтами обмеженої гладкості та невід’ємним родом. Ключові слова: задача Коші, фундаментальний розв’язок, параболічність за Шиловим. Вступ. Параболічні за Г. Є. Шиловим рівняння з частинними похідними, на відміну від параболічних за І. Г. Петровським рівнянь, взагалі кажучи, не є стійкими в сенсі параболічності до зміни своїх коефіцієнтів, навіть тих, що знаходяться при нульовій похідній [1]. У [2] Я. І. Житомирський означує досить широкий клас парабо- лічних систем типу Шилова із залежними від просторової змінної молодшими коефіцієнтами, який охоплює параболічні за Шиловим системи. Для таких систем методом послідовних наближень, без ви- користання фундаментального розв’язку, встановлено коректну розв’язність задачі Коші в класі достатньо гладких обмежених почат- кових функцій. Подальше дослідження задачі Коші для систем з цьо- го класу потребує побудови фундаментального розв’язку задачі Коші (ФРЗК) та всебічного її вивчення. Розвиваючи класичні методи теорії параболічних рівнянь зі змін- ними коефіцієнтами, у [3] здійснено повний аналітичний опис ФРЗК © В. А. Літовченко, Г. М. Унгурян, 2014 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 129 для параболічних рівнянь типу Шилова з невід’ємним родом й обме- женими нескінченно диференційовними за просторовою змінною коефіцієнтами та досліджено його основні властивості. У цій статті, результати, одержані в [3] поширюються на випа- док параболічних рівнянь типу Шилова з невід’ємним родом, коефі- цієнти яких стосовно просторової змінної мають обмежений ступінь гладкості. 1. Постановка задачі. Нехай  — множина натуральних чи- сел,  1,: , ,m m  ;m T — фіксоване додатне число; n — дійсний евклідів простір розмірності 1n  з нормою ; n  — мно- жина всіх n -вимірних мультиіндексів; i — уявна одиниця; 1* ...: ,nz zz    якщо  1,... ,: n nz zz      1: ; \| , , ,M nП t x t M x M        2 : , ; , \| 0 , , .n ТП t x t T x         Розглянемо диференціальне рівняння      * * ; ; ; , k k t k x k p u t x a t x i u t x       0; ; , Т t x П (1) порядку p права частина якого допускає зображення           * * 0 1; ; ; , ; ; , k k k x x x k p a t x i u t x P t i P t x i u t x       де     * * 0 0, ,; : k k k x k p x a ti iP t         * 1* 1 1,; ,, : k k k x k p xx a t iP t i     при- чому відповідне рівняння      0; , ; ,t xu t x P t i u t x     0; ; , Т t x П (2) є параболічним за Шиловим з показником параболічності ,h 0 ,h p  зведеним порядком 0p й невід’ємним родом , 0 1  [4]. Для рівняння (1) припускатимемо таке виконання наступних умов: A)  1 00 1 / ;p h n h p    B) коефіцієнти є неперервними стосовно змінної ,t диференційов- ними до порядку  включно стосовно просторової змінної x обмеженими в шарі  0,TП функціями. Позначимо ФРЗК для рівняння (2) через  , ; ,G t    , .t T Властивості цього розв’язку детально досліджено в [5], де, зокрема, встановлено, що Математичне та комп’ютерне моделювання 130          1 1 0/ 0 0; 0 0 ; : , , 0.; , : n n x n k tk hx T T k c t T x G t x c t e p                                         (3) Означення. ФРЗК для рівняння (1) назвемо функцію  , ; , ,Z t x   визначену для всіх    ;; Tt x П  і залежну від парамет- ричної точки    0; ; T П   таку, що: 1) Z як функція  ;t x задовольняє рівняння (1) в шарі  ; ;TП  2) виконується граничне співвідношення    0 , ; , t Z t x x       у розумінні слабкої збіжності в просторі розподілів Л. Шварца (тут    — дельта-функція Дірака). Задача полягає у побудові та дослідженні властивостей функції  , ; , .Z t x   2. Побудова та дослідження властивостей фундаментального розв’язку. Шукатимемо ФРЗК для рівняння  1 у вигляді               2 , ; , , , , ; , , ; , , , ; , , ; , ; n t Т Z t x G d G t y Ф y dyt x x t x WG t x t x П                          (4) де G — ФРЗК для рівняння (2), а Ф — деяка функція, вибір якої здійснюється так, щоб функція Z була розв’язком рівняння (1) сто- совно змінних t і .x Для знаходження Ф класичним способом оде- ржуємо інтегральне рівняння        , ; , , ; , , ; , , ; , , n t Ф t x K t x d K t x y Ф y dy               (5) в якому      1, ; , : , ; , ; .xP t xK t i xx G t     Розв’язуючи це рівняння методом послідовних наближень, діс- танемо такий формальний розв’язок:     1 , ; , , ; , ,l l Ф t x K t x          2, ; , ,Тt x П   (6) де 1 : ,K K а Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 131      1 1, ; , , ; , , ; ,: , n t l lK t x d K t x y K y dy            1.l  Для встановлення збіжності ряду (6) та обґрунтування коректно- сті здійснених раніше перетворень, дослідимо властивості повторних ядер .lK Врахувавши обмеженість коефіцієнтів рівняння (1) та умову А) і розмірковуючи так, як при оцінюванні відповідних повторних ядер lK у [3], одержимо існування такого номера l та додатніх сталих ,c  і ,E що для всіх   2, ; , Tt x П   виконуються оцінки:         1 1 0 1 , ; , , x tl n lK t x c t e                   1;ll  (7)          1 1 * 0 * 1 * 0 0 0 , ; , ;1 , x ll t l l j K t x c E t e B j                      (8) 1 0 : 1 , n p n n       0,l  а  ;B   — бета-функція Ейлера. Властивості бета-функцій та оцінки (7) і (8) обґрунтовують пра- вильність наступного твердження. Лема 1. Функціональний ряд (6) є абсолютно та рівномірно збіж- ним рядом на множині 2 TП для суми якого справджується нерівність         1 1 * 0 1 0, ; , 1 , x tn Ф t x c e                   (тут константа 0c залежить лише від T ). Наслідок 1. Функція ,Ф яка визначається рівністю (6), є зви- чайним розв’язком інтегрального рівняння (5). Твердження цього наслідку випливає із структури рівняння (5) та зображення (6) функції ,Ф якщо врахувати рівність         1 1 1 , ; , , ; , , ; , , ; , . n n t l l t l l d K t x y K y dy d K t x y K y dy                               Математичне та комп’ютерне моделювання 132 Правильність цієї рівності випливає з одержаних оцінок повторних ядер, леми 1 та відповідної теореми про почленне інтегрування функ- ціональних рядів. Твердження леми 1 разом із оцінкою (3) забезпечують для всіх  , nx    і 0 t T   абсолютну збіжність інтеграла, яким ви- значається потенціал W з рівності (4). Таким чином, функція  , ; ,Z t x   коректно визначена формулою (4) на всій множині 2.ТП Щоб дослідити властивості гладкості функції ,Z оцінимо похід- ні повторних ядер .lK Оскільки,       1 1, ; , , ; , ; ,xK t x P t x i G t x      то врахувавши умову В) та оцінку (3), одержимо, що для всіх  , ,nq r   ** ,q  виконується оцінка       1 1 1 * 1 ,, ; , , x n p r q tq r hx q rK t x c t e                         2, ; , ,Тt x П   при 1l  оцінювання  , ; ,q r x lK t x    зводиться до оцінок виразів  1 , ; , ,r q x K t x       1 , ; , ,q x K t x x z   1 , ; , ,r q x lK t x z      1 , ; , .r lK t      Урахувавши умову В) і оцінку (3), для всіх  , ,nq r   ** ,q   , , ,nx      ;t T і  0;T  маємо:       1 1 1 * 1 ,, ; , ; x n p r q tr q hx r qK t x c t e                           (9)       1 1 1 1 , ; , . n p tq hx qK t x x c t e                   (10) Оцінюючи вираз  , ; , ,r lK t      прийдемо до нерівностей               1 1 1 0 1 11 1 , 0 0 1 , ; , ; , r l ll n p tl hl r j K t c B j t e                                          (11) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 133 які виконуються для всіх  , ,n    ** ,r   ; ,t T  0; ,T   0;1  і  \ 1 ,l а відтак і до існування такого номера ,l при якому            1 1 * * * 1 11 , 0 0 1 , ; , ; , ll tr l l r j K t c B j e                                    (тут величини  , 0l rc   не залежать від змінних ,t ,  і , які змінюються вищезазначеним способом). Оскільки    , ; , t, ; , ,r q r q x l x lK t x K x                     , ; , t, y; , ,r q r q x l y l y x z K t x z K             то вирази  , ; , ,r q x lK t x       , ; , ,r q x lK t x z      , ; ,r q x lK t x    є однотипними. Тому враховуючи оцінки (9)–(11), матимемо:            * 0 1 1 1, , 1 1 1 0 0 1 , ; , ; , r q l nr qr q hx l l x l l t j K t x c t e B j                                                   12 для всіх  , ,nr q   ,r  ,q   , ,nx    0 ,t T    0;1  і  \ 1 .l Перейдемо тепер до знаходження оцінок виразу  , ; , ,r q x lK t x    придатних для встановлення диференційовності функції Ф за просторо- вими змінними. З попередньої нерівності приходимо до існування такого номера ,l при якому          1 1 * * * 1 1 1 , 0 0, 1 , ; , ; , x l l tr qr q x l l j K t x c e B j                                 ,r  ,q    2, ; , .Тt x П   Тоді з (11) і (12), розмірковуючи як при одержанні оцінки (8), пе- реконуємося в існуванні додатних сталих E і K таких, що для всіх  , ,nr q   ,r  q  ,l l  , , nx     та 0 t T   Математичне та комп’ютерне моделювання 134         1 1 ** * 0 1 * 0 0 1 , ; , ;1 , r q x l lx r q r q l t lh h j K t x c e EK t B j                                           (13)          1 1 * 0 1 * 0 0 1 , ; , ;1 , x lltr l j K t c e E t B j                                    (14) де  * : max , .l l l  Одержані оцінки (11)–(14) дозволяють встановити рівномірну збіжність стосовно просторових змінних функціональних рядів   1 , ; , ,r q x l l K t x         1 , ; , ,r l l K t x        при * ,r  ** ,q   , nx    і 0 t T   та одержати оцінки їхніх сум і, у такий спосіб, обґрунтувати правильність наступного допоміжного твердження. Лема 2. Функція  , ; ,Ф t x   на множині 2 TП за кожною із прос- торових змінних x і  має частинні похідні до порядку  включно, причому правильними є такі оцінки:       1 1 * 0 1 1, ; , , x r q tnr q hxФ t x c t e                             (15)         1 1 * 0 1 2, ; , , x tnrФ t x c t e                        (16) (тут ,r  ,q   , ,nx    0 ,t T   а оціночні сталі 1,c 2c і  не залежать від ,t , x і . Теорема 1. Функція  , ; ,Z t x   на множині 2 TП за кожною із змінних x і  є диференційовною до порядку  включно, причому 0   , nr q    ,r  ,q  0c    2, ; , :Tt x П         1 1 * , ; , . x n r q tr q hx Z t x c t e                      (17) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 135 Доведення. Питання про диференційовність функції Z за прос- торовими змінними зводиться до питання про можливість диферен- ціювати за цими змінними під знаком інтеграла в об’ємному потенці- алі .W Тому досить встановити рівномірну стосовно змінних x і ,  , ,nx    збіжність інтеграла       * : , ; , ; ,, ; , , n t r q xd G t x y yI dt Ф yx              0 ,t T   ,r  .q  Урахувавши оцінки (5), (15) і (16), дістанемо       1 1 * 0 2 * 3, ; , , x n r q t hI t x c t e                   2, ; , ,Tt x П   (18) де ,r  ,q  константа 3 0c  не залежить від ,t , x і . Звідси одержуємо рівномірну стосовно змінних x і  збіжність інтеграла ,I а відтак, і диференційовність за цими змінними функції  , ; ,Z t x   до зазначеного порядку  на площині 2 .TП Оцінка (17) безпосередньо випливає з нерівностей (3) і (18). Теорему доведено. Наслідок 2. Якщо * ,p  то для всіх t і , 0 ,t T   а та- кож  , nx    виконується рівність            0 1 0 1; , ; , ; , ; , ; n t x x x xP t i P t x i W t x d P t i P t x i                 , ; , ; , .G t x y Ф y dy     Перейдемо до дослідження властивостей гладкості функції  , ; ,Z t x   стосовно змінних t і . Лема 3. Об’ємний потенціал W є диференційованою функцією за змінною t на  ;T такою, що для   2, ; , Tt x П          , ; , , ; , , ; , ; , . n t t tW t x Ф t x d G t x y Ф y dy                 Доведення. Згідно з означенням похідної         0 1 , ; , lim , ; , , ; , , t t tW t x V t x d V t x d                            Математичне та комп’ютерне моделювання 136 де       : , ; , ;; ,, , , n G t x y yV t x Ф dy        тому доведення диференційовності  , ; ,W t x   за змінною t зво- диться до встановлення існування границі з правої частини цієї рів- ності. Ця границя існуватиме, якщо існуватимуть рівні між собою відповідні односторонні границі       0 1 lim , ; , , ; , .: t t I V t x d V t x d                          Безпосередньо з оцінки               1 1 0 0 1 , ; , ; , , 0 , , , n t x n p tn n h n G t x y Ф y dy c t t e t T x y                                           (19) яка одержується з нерівності (3), твердження леми 1 й того, що функ- ція G є розв’язком рівняння (2), дістаємо диференційовність функції   , ; ,V t x   за змінною t у кожній точці проміжку  ; ,T ,  та виконання такої рівності:        , ; , , ; , ; , , n t tV t x G t x y Ф y dy           (20) при 0 ,t T      , .nx y   Далі, скориставшись тим, що        0 1 , ; , , ; , , ; , , t tV t x d V t x Ф t x                               1 , ; , , ; , , ; , , t t tV t x V t x d V t x d                       0;1 ,  а також, очевидним зображенням                 1 1 , ; , , ; , , ; , , ; , , ; , , t t t t t V t x d V t x d V t x d V t x V t x d                                                      одержуємо, що Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 137      0 , ; , lim , , , , t tI Ф t x V t x d               0;1 .  Урахувавши тепер рівність (20), приходимо до висновку, що для доведення вихідної леми досить обґрунтувати правильність рівності        0 0 lim , ; , lim , ; , . t t t tV t x d V t x d                    (21) Оцінимо підінтегральний вираз із лівої частини цієї рівності. Скориставшись ще раз рівністю (20), а також тим, що G — розв’язок рівняння (2), оцінками (19), (3) і (15), виділяючи скрізь залежність від , одержимо      02 1 , ; , , t p n htV t x d c t                    0 ,t T    0 / 2,t      , ,nx    де додатна стала c не залежить від . Ця оцінка характеризує рівно- мірну збіжність інтеграла з лівої частини рівності (21) та забезпечує виконання цієї рівності. Лема доведена. Теорема 2. Для функції Z виконується граничне співвідношення    0 , ; , t Z t x x       у розумінні слабкої збіжності в просторі / .S Доведення. Зваживши на те, що функція G є ФРЗК для рівнян- ня (2), приходимо до висновку, що доведення потребує лише гранич- не співвідношення     0 , ; , , 0, t W t x        0 ,t T   ,nx .S  (22) Безпосередньо із структури потенціала W переконуємося, що співвідношення (22) виконується, якщо існуватиме така додатна ста- ла 0 ,c що для всіх  ; ,t  0 t T   і ny     0, ; , , n Ф y d c        (23) (тут риска зверху, означає комплексну спряженість). Таким чином, доведення теореми 2 звелося до встановлення оці- нки (23). Використовуючи структуру (6) функції Ф та нерівність      : , ; ,, , , n l l lJ K y dy c        ,S  Математичне та комп’ютерне моделювання 138  , ,t  0 ,t T   ,ny яка встановлюється шляхом поєднання одержаних раніше оцінок по- вторних ядер lK із властивостями елементів простору S швидко спадних гладких на n функції, зважаючи при цьому на існування такого номера ,l що     1 1 0 * 1 , ; , , x t l l l K t x c e                  , ,nx    0 ,t T   (див. обґрунтування правильності твердження леми 1), знаходимо, що для всіх S                * * * 1 * 0 1 1 , ; , , , , , t , 0 , , , ; , n n n l ll l l n l l l l Ф y d J y d c c K d c t T y y                                                 де константа 0c не залежить від , , t і .y Отже, оцінка (23) виконується. Теорему доведено. Теорема 3. Нехай виконуються умови А) і В), тоді при * p  функція ,Z що визначається рівністю (4), є ФРЗК для рівняння (1). Доведення. Зважаючи на рівності (5) та      0, ; , , ; ,t xG t x P t i G t x    лему 3 і наслідок 2, для всіх    ; ; , Т t x П    0, ,T  ,n  одержуємо                                       0 0 1 0 1 0 1 , ; , , ; , ; , ; , ; , ; , , ; , ; , ; , ; , ; ; , ; , ; , ; , ; , ; , . n t t t x t t x x x x x x Z t x G t x W t x P t i G t x Ф t x d G t x y Ф y dy P t i P t x i G t x P t i P t x i W t x P t i P t x i Z t x                                                         Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 139 Таким чином, функція  , ; , ,Z t x   як функція змінних  ;t x на  ;Т П  є звичайним розв’язком рівняння (1) у кожній фіксованій точці    0,; .TП   Якщо врахувати при цьому твердження теореми 2, то прийдемо до висновку, що для функції Z виконуються всі умови з означення ФРЗК для рівняння (1). Теорему доведено. Висновок. Для параболічних типу Шилова рівнянь (1) зі змін- ними молодшими коефіцієнтами існує ФРЗК за умови, що гладкість цих коефіцієнтів є не нижчою ніж порядок p рівняння (1). Однак, слід зазначити, що розглянутий тут клас рівнянь (1) охо- плює параболічні за Петровським рівняння зі сталими або залежними лише від часу коефіцієнтами групи старших членів. А, як відомо, (див., наприклад, [7]) ФРЗК для таких рівнянь існує за мінімальніших умов на гладкість молодших коефіцієнтів. Список використаних джерел: 1. Хоу-синь У. Об определении параболичности систем уравнений в част- ных производных / У. Хоу-синь // Успехи мат.наук. — 1960. — Т. 15, № 6. — С. 157–161. 2. Житомирский Я. И. Задача Коши для некоторых типов параболических по Г. Е. Шилову систем линейных уравнений в частных производных с непрерывными коэффициентами / Я. И. Житомирский // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1959. — Т. 23. — С. 925–932. 3. Довжицька І. М. Фундаментальний розв'язок задачі Коші для одного кла- су параболічних рівнянь із змінними коефіцієнтами / І. М. Довжицька, В. А. Літовченко // Наук. вісник Чернівецького ун-ту : зб. наук. праць. — Чернівці : Рута, 2010. — Вип. 528. Математика. — С. 43–50. 4. Гельфанд И. М. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравне- ний / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — М. : Физматгиз, 1958. — 274 с. 5. Литовченко В. А. Задача Коши для параболических по Шилову уравнений / В. А. Литовченко // Сиб. мат. журн. — 2004. — Т. 45, № 4. — С. 809–821. 6. Гельфанд И. М. Пространства основных и обобщенных функций / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — М. : Физматгиз, 1958. — 307 с. 7. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа / А. Фридман. — М. : Мир, 1968. — 427 с. We built the fundamental solution of the Caushy problem and investi- gated its properties for a class of Shilov parabolic equations with variable coefficients bounded smooth and integral form. Key words: the Caushy problem, the fundamental solution, parabolic after Shilov. Отримано: 12.03.2014 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <FEFF005500740069006c006900730065007a00200063006500730020006f007000740069006f006e00730020006100660069006e00200064006500200063007200e900650072002000640065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000410064006f006200650020005000440046002000700072006f00660065007300730069006f006e006e0065006c007300200066006900610062006c0065007300200070006f007500720020006c0061002000760069007300750061006c00690073006100740069006f006e0020006500740020006c00270069006d007000720065007300730069006f006e002e0020004c0065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000500044004600200063007200e900e90073002000700065007500760065006e0074002000ea0074007200650020006f007500760065007200740073002000640061006e00730020004100630072006f006200610074002c002000610069006e00730069002000710075002700410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650074002000760065007200730069006f006e007300200075006c007400e90072006900650075007200650073002e> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <FEFF0049007a006d0061006e0074006f006a00690065007400200161006f00730020006900650073007400610074012b006a0075006d00750073002c0020006c0061006900200076006500690064006f00740075002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006100730020006900720020007000690065006d01130072006f00740069002000640072006f016100610069002000620069007a006e00650073006100200064006f006b0075006d0065006e007400750020006100700073006b006100740065006900200075006e0020006400720075006b010101610061006e00610069002e00200049007a0076006500690064006f006a006900650074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006f002000760061007200200061007400760113007200740020006100720020004100630072006f00620061007400200075006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020006b0101002000610072012b00200074006f0020006a00610075006e0101006b0101006d002000760065007200730069006a0101006d002e> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86546
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	2308-5878
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T16:06:18Z
publishDate	2014
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Літовченко, В.А. Унгурян, Г.М. 2015-09-21T14:13:20Z 2015-09-21T14:13:20Z 2014 Фундаментальний розв'язок задачі Коші для одного класу параболічних рівнянь із коефіцієнтами обмеженої гладкості / В.А. Літовченко, Г.М. Унгурян // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 10. — С. 128-139. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 2308-5878 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86546 517.956 Побудовано фундаментальний розв’язок задачі Коші та досліджено його властивості для одного класу параболічних рівнянь типу Шилова із змінними коефіцієнтами обмеженої гладкості та невід’ємним родом. We built the fundamental solution of the Caushy problem and investigated its properties for a class of Shilov parabolic equations with variable coefficients bounded smooth and integral form. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Фундаментальний розв'язок задачі Коші для одного класу параболічних рівнянь із коефіцієнтами обмеженої гладкості Article published earlier
spellingShingle	Фундаментальний розв'язок задачі Коші для одного класу параболічних рівнянь із коефіцієнтами обмеженої гладкості Літовченко, В.А. Унгурян, Г.М.
title	Фундаментальний розв'язок задачі Коші для одного класу параболічних рівнянь із коефіцієнтами обмеженої гладкості
title_full	Фундаментальний розв'язок задачі Коші для одного класу параболічних рівнянь із коефіцієнтами обмеженої гладкості
title_fullStr	Фундаментальний розв'язок задачі Коші для одного класу параболічних рівнянь із коефіцієнтами обмеженої гладкості
title_full_unstemmed	Фундаментальний розв'язок задачі Коші для одного класу параболічних рівнянь із коефіцієнтами обмеженої гладкості
title_short	Фундаментальний розв'язок задачі Коші для одного класу параболічних рівнянь із коефіцієнтами обмеженої гладкості
title_sort	фундаментальний розв'язок задачі коші для одного класу параболічних рівнянь із коефіцієнтами обмеженої гладкості
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86546
work_keys_str_mv	AT lítovčenkova fundamentalʹniirozvâzokzadačíkošídlâodnogoklasuparabolíčnihrívnânʹízkoefícíêntamiobmeženoígladkostí AT ungurângm fundamentalʹniirozvâzokzadačíkošídlâodnogoklasuparabolíčnihrívnânʹízkoefícíêntamiobmeženoígladkostí

Фундаментальний розв'язок задачі Коші для одного класу параболічних рівнянь із коефіцієнтами обмеженої гладкості

Institution

Similar Items