Про стійкість розв’язку лінійного автономного стохастичного рівняння з частинними похідними із зовнішними випадковими збуреннями

Доведено існування сильного розв'язку лінійного дифузійного стохастичного диференціального рівняння з частинними похідними (ЛСДРзЧП) у відповідному просторі із зовнішними випадковими збуреннями. Отримано достатні умови в термінах коефіцієнтів ЛСДРзЧП асимптотичної стійкості й нестійкості в сере...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Ясинський, В.К., Ясинський, Є.В., Юрченко, І.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Назва видання:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86553
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Про стійкість розв’язку лінійного автономного стохастичного рівняння з частинними похідними із зовнішними випадковими збуреннями / В.К. Ясинський, Є.В. Ясинський, І.В. Юрченко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 10. — С. 197-209. — Бібліогр.: 19 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86553
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-865532025-02-09T14:48:50Z Про стійкість розв’язку лінійного автономного стохастичного рівняння з частинними похідними із зовнішними випадковими збуреннями Ясинський, В.К. Ясинський, Є.В. Юрченко, І.В. Доведено існування сильного розв'язку лінійного дифузійного стохастичного диференціального рівняння з частинними похідними (ЛСДРзЧП) у відповідному просторі із зовнішними випадковими збуреннями. Отримано достатні умови в термінах коефіцієнтів ЛСДРзЧП асимптотичної стійкості й нестійкості в середньому квадратичному сильного розв’язку цього рівняння. It is proved the existence of the strong solution of the linear diffusion stochastic differential equation with partial derivations in the corresponding space with external random disturbances. It is obtained the sufficient conditions of the asymptotic stability and instability in the mean square of the strong solution of such equation. 2014 Article Про стійкість розв’язку лінійного автономного стохастичного рівняння з частинними похідними із зовнішними випадковими збуреннями / В.К. Ясинський, Є.В. Ясинський, І.В. Юрченко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 10. — С. 197-209. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 2308-5878 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86553 519.217 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Доведено існування сильного розв'язку лінійного дифузійного стохастичного диференціального рівняння з частинними похідними (ЛСДРзЧП) у відповідному просторі із зовнішними випадковими збуреннями. Отримано достатні умови в термінах коефіцієнтів ЛСДРзЧП асимптотичної стійкості й нестійкості в середньому квадратичному сильного розв’язку цього рівняння.
format	Article
author	Ясинський, В.К. Ясинський, Є.В. Юрченко, І.В.
spellingShingle	Ясинський, В.К. Ясинський, Є.В. Юрченко, І.В. Про стійкість розв’язку лінійного автономного стохастичного рівняння з частинними похідними із зовнішними випадковими збуреннями Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Ясинський, В.К. Ясинський, Є.В. Юрченко, І.В.
author_sort	Ясинський, В.К.
title	Про стійкість розв’язку лінійного автономного стохастичного рівняння з частинними похідними із зовнішними випадковими збуреннями
title_short	Про стійкість розв’язку лінійного автономного стохастичного рівняння з частинними похідними із зовнішними випадковими збуреннями
title_full	Про стійкість розв’язку лінійного автономного стохастичного рівняння з частинними похідними із зовнішними випадковими збуреннями
title_fullStr	Про стійкість розв’язку лінійного автономного стохастичного рівняння з частинними похідними із зовнішними випадковими збуреннями
title_full_unstemmed	Про стійкість розв’язку лінійного автономного стохастичного рівняння з частинними похідними із зовнішними випадковими збуреннями
title_sort	про стійкість розв’язку лінійного автономного стохастичного рівняння з частинними похідними із зовнішними випадковими збуреннями
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2014
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86553
citation_txt	Про стійкість розв’язку лінійного автономного стохастичного рівняння з частинними похідними із зовнішними випадковими збуреннями / В.К. Ясинський, Є.В. Ясинський, І.В. Юрченко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 10. — С. 197-209. — Бібліогр.: 19 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT âsinsʹkijvk prostíjkístʹrozvâzkulíníjnogoavtonomnogostohastičnogorívnânnâzčastinnimipohídnimiízzovníšnimivipadkovimizburennâmi AT âsinsʹkijêv prostíjkístʹrozvâzkulíníjnogoavtonomnogostohastičnogorívnânnâzčastinnimipohídnimiízzovníšnimivipadkovimizburennâmi AT ûrčenkoív prostíjkístʹrozvâzkulíníjnogoavtonomnogostohastičnogorívnânnâzčastinnimipohídnimiízzovníšnimivipadkovimizburennâmi
first_indexed	2025-11-27T01:21:28Z
last_indexed	2025-11-27T01:21:28Z
_version_	1849904589773471744
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 197 3. Malanowski K. Sufficient optimality conditions for optimal control subject to state constraints / K. Malanowski // SIAM J. Control Optimization. — 1997. — № 35 (1). — Р. 205–227. In the paper the idea of extension methods such as interior-point with finite to infinite-dimensional cases are investigated difficulties associated with the use of dual methods of finite-dimensional optimization problems, optimality criteria. Key words: problems of optimum control, criteria of an optimality, Lagrange's multipliers. Отримано: 17.02.2014 УДК 519.217 В. К. Ясинський, д-р фіз.-мат. наук, професор, Є. В. Ясинський, аналітик-програміст, І. В. Юрченко, канд. фіз.-мат. наук * Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, ** Університет Атабаска, м. Едмонтон, Канада ПРО СТІЙКІСТЬ РОЗВ’ЯЗКУ ЛІНІЙНОГО АВТОНОМНОГО СТОХАСТИЧНОГО РІВНЯННЯ З ЧАСТИННИМИ ПОХІДНИМИ ІЗ ЗОВНІШНИМИ ВИПАДКОВИМИ ЗБУРЕННЯМИ Доведено існування сильного розв'язку лінійного дифузійного стохастичного диференціального рівняння з частинними похід- ними (ЛСДРзЧП) у відповідному просторі із зовнішними випад- ковими збуреннями. Отримано достатні умови в термінах коефі- цієнтів ЛСДРзЧП асимптотичної стійкості й нестійкості в серед- ньому квадратичному сильного розв’язку цього рівняння. Ключові слова: стохастичне рівняння в частинних похід- них, стійкість в середньому квадратичному, асимптотична стійкість. Вступ. Дослідженню детермінованих рівнянь з частинними по- хідними присвячено велику кількість робіт, які вказані в монографіях [1–3; 17], і не менша кількість робіт вітчизняних і закордонних вче- них була опублікована в кінці ХХ — на поч. ХХІ ст. Після введення поняття стохастичного диференціала та інтегра- ла, заміни змінних для стохастичного диференціала, визначення си- льного розв’язку стохастичного диференціального рівняння (СДР) у відомих монографіях [4–6] та їх подальше поширення на класи стоха- © В. К. Ясинський, Є. В. Ясинський, І. В. Юрченко, 2014 Математичне та комп’ютерне моделювання 198 стичних диференціально-функціональних рівнянь [7–9] (див. наведе- ну велику бібліографію в цих роботах) стало можливим дослідження асимптотично сильного розв’язку для СДРзЧП (див., наприклад, ро- боти [5; 10–12; 16; 18] та ін.) Подальше дослідження СДРзЧП йшло шляхом створення мате- матичних моделей складних реальних систем, які вимагають врахо- вувати випадкові параметри в цих рівняннях (див. [6; 7; 12; 13] та ін). Дана робота присвячена дослідженню асимптотичної поведінки сильного розв’язку ЛСДРзЧП з урахуванням випадкових параметрів у правій частині [10; 12]. § 1. Постановка задачі. Розглянемо стохастичний експеримент з базовим імовірнісним простором [1; 4; 5; 7]  , , F,F,P  , 0t t FF — фільтрація, де задана функція  , ,u t x  , яка є вимір- ною з імовірністю одиниця за t і x відносно мінімальної  -алгебри   10, ,TB R борельових множин на площині [13] та для якої   2 , , ,u t x dx     E (1) для всіх  0,t T ,  E — математичне сподівання [14],  0,T   . Простір функцій   , ,u t x  , що мають властивість інтегровності (1), позначимо через TM . Уведемо норми [6; 15]:     12 2 2 , , , , ; L u t x u t x dx      R (2)     2 2 2 0 , , , , ; T T L u t x u t x dt   (3)     12 2 , , ,u L t u t x      R E E (4) де через 12L R і 2TL позначені простори функцій   , ,u t x  , які ма- ють відповідні норми (2) і (3). У просторі TM треба ввести норму вигляду     2 2 2 0 0 , , ( ) , , T T uu t x t dt u t x dx dt               E E . (5) Позначимо через Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 199   1 1 , , n m k j kj k j Q A q p a q p    , (6) де  kjA a — дійсна матриця розмірності n m , складена з елемен- тів 1 kja R . У просторі TM розглянемо підпростір 1T TM M , для елемен- тів якого справджується включення  , , , , TQ A u t x t x        M , (7) де   1 , 1 n kj k j A a   R . Далі розглянемо на  , F,F,P задачу Коші для лінійного сто- хастичного диференціального рівняння з частинними похідними (ЛСДРзЧП) вигляду        , , ( , , ) , , ( , , ) , , , , , , Q A u t x Q B u t x t t x t x dw t Q C u t x t x dt                                     (8)    0 0 , , , , t Q A u t x Qu t x          , (9) де Q визначено (6), матриці   , , 1 k n ij i j B b   , 1 ijb R ;   , , 1 k n ij i j C c   , 1 ijc R , де    — берова функція [13] з областю значень 1R ,    — випадкова величина, яка задана щільністю  p x (або функ- цією розподілу     1:F x x x      P R [14]),  ,w t  — одно- вимірний вінерів процес [11], при цьому    не залежить від  ,w t  . Під сильним розв’язком задачі Коші (8), (9) будемо розуміти неперервну з імовірністю одиниця за  0,t T функцію  , ,u t x  , узгоджену з фільтрацією   , 0,t t TF і таку, що з імовірністю одиниця для кожної пари  ,t x задовольняє інтегральне стохастич- не рівняння [1; 4; 11] Математичне та комп’ютерне моделювання 200        0 0 0 , , ( , , ) , , ( , , ) , , ( , , ) , t t Q A u t x Qu Q B ds u s x t x x Q C ds u s x dw s x                               (10) з початковими невипадковими умовами (9). § 2. Існування розв’язку задачі Коші для ЛСДРзЧП (8)–(9) у просторі 1TM Для встановлення факту існування сильного розв’язку задачі Коші для (8)–(9) доведемо спочатку допоміжний результат. Лема 1. Перетворення Фур’є за x для функції  , ,u t x     1 , , , , 2 i xv t e u t x dx         (11) не виводить її з простору TM для довільного скінченного 1T R . Доведення. Існування перетворення Фур’є випливає з того, що  , ,u t x  з імовірністю одиниця належить 12L R для довільного  0,t T та    2 , , 0u t u t x dx N N              E P при N   . Згідно з теоремою Планшереля [16] маємо    2 21 , , , , 2 v t d u t x dx           , тобто 1 12 2 1 2L L v u   R R , а, отже,    1 2 v ut t  E E . Тоді, згідно з означенням норми в просторі TM , будемо мати 1 2T T v u   M M , що й доводить лему 1. Теорема 1. Нехай для задачі Коші (8), (9) виконуються умови: 1) корені полінома      , , , , ,P i Q A i Q B i        для довіль- ного 0  задовольняють нерівність  Re 0    ,  0 0  ; 2)  0,t T  і 0k nC  детерміноване рівняння Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 201    , , , , , , 0Q A u t x Q B u t x t t x t x                         (12) має розв’язок  ,u t x задачі Коші в 12L R з початковими умовами    0, , ,Q A u t x Qu t x          ; (13) 3) випадкова величина    не залежить від  ,w t  . Тоді стохастична задача Коші (8), (9) при 0k nC  має розв’язок у просторі 1TM . Доведення. Оскільки перетворення Фур’є [1] зберігає норму в 1TM за лемою 1, то достатньо довести існування сильного розв’язку за- дачі Коші лінійного СДР для  , ,v t   , заданого формулою (11), а саме            , , , , , , , , , , , , , . d d d Q A i v t Q B i v t dt dt dt dw td Q C i v t dt dt                                   (14) Зауважимо, що для довільної дійснозначної матриці   , , 1 k n ij i j D d   маємо включення   1, , , , T d Q D i v t dt         M і розв’язок  , ,v t   ЛСДР (14) при кожному 0  існує та єдиний з точністю до стохас- тичної еквівалентності [3; 5; 8]. ЛСДР (14) слід тлумачити як інтегральне стохастичне рівняння        0 0 , , , , , , , , td Q A i v t Qv Q B ds i v s dt                      0 , , , , ( , ), t Q C ds i v s dw s        для якого виконуються умови, що гарантують існування та єдиність сильного розв’язку з точністю до стохастичної еквівалентності [7, с. 266–270, теорема 4.1]. Позначимо через  ,H t  фундаментальний розв’язок детермі- нованої однорідної незбуреної задачі Коші (12), (13) для ЛСДРзЧП (8), (9) при 0k nC  , тоді сильний розв’язок ЛСДР (14), (13) можна записати у вигляді інтегрального рівняння [9; 19] Математичне та комп’ютерне моделювання 202             0 0 , , , , , , , t v t v t H t s Q C ds i v t           , (15) де  0 ,v t  — розв’язок однорідної незбуреної задачі Коші    , , , , , , , , 0 d d d Q A i v t Q B i v t dt dt dt                      . Згідно з [1], фундаментальний розв’язок  ,H t  має вигляд     1 , ,2 te d H t P i        , (16) де  — контур, що охоплює всі нулі многочлена  ,P i  . Застосувавши випадковий оператор     , ,Q C dt i    до обох частин (15), отримаємо                               0 0 , , , , , , , , , , , , , , , . t Q C dt i v t Q C dt i v t Q C dt i H t s Q C ds i v s dw s                            (17) Розглянувши квадрат модуля величини лівої та правої частини рівняння (17) та використавши нерівність  2 2 2 2a b a b   , в результаті одержимо                                2 2 0 0 2 , , , , 2 , , , 2 , , , , , , , , . t Q C dt i v t Q C dt i v t Q C dt i H t s Q C ds i v s dw s                                (18) Позначимо через          2 , , , , ,z t Q C dt i v t       E , де  E — операція математичного сподівання [14]. Далі, застосува- вши операцію  E до лівої та правої частини нерівності (18), врахо- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 203 вуючи властивість інтеграла Іто стосовно обчислення  E від квад- рату інтеграла Іто [7, c. 245–249]        2 2 0 0 , , t t f t dw s f s ds            E E , та враховуючи умову III) теореми 1, одержимо таку нерівність                    2 2 0 2 2 0 , 2 , , , 2 , , , , , . t z t Q C dt i v t f s Q C ds i H t s z s ds               E E (19) Умова I) теореми 1 дає можливість одержати нерівність [1]         2 2 , , , ,E Q C dt i H t s L      а умова II) визначає рівномірну обмеженість         2 2 0, , ,Q C dt i v t K     E . Отримані вище нерівності дають оцінку     0 , , T z t K L z s ds    , звідки, згідно з нерівністю Гронуолла [1], будемо мати експоненціа- льну оцінку      , 0, 0,Ltz t Ke t T      . (20) Таким чином, гарантується включення       , , , , TQ C dt i v t      M . (21) Залишилось отримати включення (21) для довільної дійсної мат- риці   , , 1 k n ij i j D d   . Дійсно, застосувавши випадковий оператор       , ,Q D dt i до (16), аналогічно вищевикладеним міркуванням, можна записати не- рівність         2 2 , , , ,Q D dt i v t      E E         2 2 0, , ,Q D dt i v t     2E (22) Математичне та комп’ютерне моделювання 204           2 2 0 2 , , , , , t Q D dt i H t s z s ds      E де інтеграл, як функція верхньої межі інтегрування за  0,t T , існує. Отже, враховуючи оцінку (20) та умову I), отримаємо тверджен- ня теореми 1. ■ § 3. Асимптотична поведінка в середньому квадратичному сильного розв’язку ЛСДРзЧП Спочатку доведемо допоміжне твердження. Лема 2. Нехай для ЛСДРзЧП (8), (9) виконуються умови теоре- ми 1. Тоді: 1) для довільної матриці 0k nC  має місце включення           2 2, 0,, , ,Q C dt i H t L     E , (23) 2) для відповідної норми цього простору справджується рівність                   2 2 2 2 2 2 , , , , , 1 . 2 , TL Q C dt i H t Q C i i d S P i i                     E E (24) Доведення. 1) Використовуючи умову I) та формулу (16), можна отримати рівність        0 , ,1 1 , , , 2 2 , i t Q C i i Q C dt i H t e P i i               (25) та, домноживши на    2   E ліву та праву частину (25), отри- маємо твердження (23). Для доведення (24) застосуємо теорему Планшереля [1]:             2 0, 2 2 12 , ,1 , , , 2 , L Q C i i Q C dt i H t d S P i i              . Домноживши ліву та праву частину отриманої рівності на    2   E , отримаємо  S  у формулі (24). ■ Теорема 2. Нехай виконуються умови теореми 1. Тоді: Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 205 1) якщо  sup 1S    , тоді  lim 0U t t  E , де       , , , , , ,U t x Q D u t x t x            для довільної дійснозначної матриці D ; 2) якщо   1S   на множині міри Лебега, тоді  lim U t t   E . Доведення. Спочатку зауважимо, що з нерівності (18), внаслідок прямування до нуля додатного ядра при t   , випливає пряму- вання до нуля  ,z t  при   1, 0S    . I) Якщо в (24) виконується нерівність   1S   , тоді легко бачити прямування до нуля при t   модуля перетворення Фур’є  , ,U t x  при довільній дійснозначній матриці D [19]. При цьому прямування є рівномірним відносно  , якщо  sup 1S    . Залишилося перейти до границі під знаком інтеграла Лебега і перша частина теореми 2 доведена. Для доведення другої частини теореми 2 достатньо довести, що  lim , t z t d       , оскільки має місце (24). Дійсно, нехай   1S   на  додатної міри Лебега, тоді  lim , t z t     , оскільки  , 0z t   . Теорема 2 доведена. ■ § 4. Задача втрати стійкості стрижня. У праці [12] досліджу- ється поведінка стрижня, на який діє «білий шум». Математичною моделлю цього процесу будемо вважати стохастичне диференціальне рівняння в частинних похідних з похідною від вінерового процесу, яка з імовірністю одиниця не існує й названа «білим шумом», а саме 4 2 2 2 4 2 2 2 ( , )u u u u u dw t a b c t dtx x t x              , (26) де , , 0a b c  з початковими умовами    10, ,u x f x    2 0,u x f x t    (27) та крайовими умовами            2 2 2 2 ,0 , ,0 , ,0 , 0. u t u t l u t u t l u t u t l x x x x               (28) Математичне та комп’ютерне моделювання 206 Аналогічно до дискретного випадку [3] визначають статистич- ний запас стійкості 2 aS за параметром a , як найбільш допустиму ін- тенсивність процесів з взаємно незалежними значеннями, при якій система стійка в l.i.m., тобто розв’язок стабілізується до нуля. Тоді можна обчислити статистичний запас стійкості [9; 12] 1 2k kS системи (26)–(28)   1 2 1 2 1 2 0 ,km k k k k k k k u t x S a t x      (29) за параметрами 1 2k ka , 1 2k k k  . Якщо позначити     21 1 2 0 , m kk k k k P a i       , тоді статистичний запас стійкості 1 2k kS системи обчислюється за формулою   1 2 1 2 1 1 sup 2 , k k k kS d P i                  . (30) Використовуючи вищенаведене твердження (30), знайдено [9] ста- тистичний запас стійкості aS за параметрами , ,a b c системи (26)–(28)   1 2 24 2 2 2 2 1 sup 2 2 d S ac a b c                       . (31) Таким чином, система (26)–(28) є стійкою в l.i.m., для якого 2 1ac  . Нехай на систему (26)–(28) діють зовнішні випадкові «збу- рення» типу      на праву частину СДРзЧП (26). Ця ситуація може виникнути, якщо система розташована на платформі, рух якої диктується зовнішніми збуреннями      . Тоді (26) буде мати вигляд    4 2 2 4 2 2 2 2 ( , ) . u u u u a b c tx x t u dw t dtx                  (32) Використовуючи означення статистичного запасу стійкості для системи (31), (27), (28), маємо Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 207           1 2 2 24 2 2 2 2 2 1 sup 2 2 . d S a b c ac                            E E (33) Застосовуючи достатні умови асимптотичної стійкості в l.i.m. теореми 2, приходимо до висновку, що система (31), (27), (28) є стій- кою в l.i.m., якщо   2 2 1E ac   , (34) та нестійкою в l.i.m., якщо в (34) поміняти знак на протилежний. 4.1. Нехай    має закон розподілу     1 : : 1 2 P P       1 та          . Тоді   0 E ,   1D   й умова (33) збігається з умовою (31). 4.2. Якщо в якості закону розподілу    вибрати пуассоновий закон  : ! k k e k    P та     , тоді D   E . Отже, умова стійкості в l.i.m. системи (31), (27), (28) буде мати вигляд 2 1ac  , а нестійкості, відповідно, 2 1ac  . 4.3. Нехай    розподілена рівномірно на  0,1 , тобто       1, 0,1 , 0, 0,1 . x p x x       Відомо, що 1 2 M  , 2 1 3 M  . Якщо     , тоді умова стійкості в l.i.m. системи (31), (27), (28) набуде вигляду 3 2 ac  , а не- стійкості 3 2 ac  . Висновок. Запропонована у цій статті стохастична модель склад- них систем, напевно, є першою спробою врахування в повному обсязі випадковостей при дослідженні реальних процесів, що описуються Математичне та комп’ютерне моделювання 208 диференціальними рівняннями з частинними похідними, у правій час- тині яких враховуються не тільки дифузійні збурення типу броунівсь- кого процесу [5; 10; 18; 19], але й випадкові збурення інших типів. Список використаних джерел: 1. Беллман Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Кук. — М. : Мир, 1967. — 548 с. 2. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных / С. Г. Мих- лин. — М. : Наука, 1997. — 495 с. 3. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. — М. : Наука, 1978. — 521 с. 4. Гулинский А. В. Теория случайных процессов / А. В. Гулинский, А. Н. Ширяев. — М. : Физматлит, 2005. — 408 с. 5. Гихман И. И. Стохастические дифференциальные уравнения и их приме- нение / И. И. Гихман, А. В. Скороход. — К. : Наук. думка, 1980. — 612 с. 6. Гихман И. И. Управляемые случайные процессы / И. И. Гихман, А. В. Скороход. — К. : Наук. думка, 1977. — 251 с. 7. Королюк В. С. Ймовірність, статистика та випадкові процеси. Теорія та комп’ютерна практика : в 3-х томах. / В. С. Королюк, Є. Ф. Царков, В. К. Ясинський. — Чернівці : Вид-во «Золоті литаври», 2009. — Т. 3: Випадкові процеси. Теорія та комп’ютерна практика. — 798 c. 8. Царьков Е. Ф. Квазилинейные стохастические дифференциально-функ- циональные уравнения / Е. Ф. Царьков, В. К. Ясинский. — Рига : Ориен- тир, 1992. — 301 с. 9. Царьков Е. Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений при случайных возмущениях их параметров / Е. Ф. Царьков. — Рига : Зинатне, 2989. — 421 с. 10. Гихман И. И. Стохастические дифференциальные уравнения с частными производными : сб. научн. тр. / И. И. Гихман, А. В. Скороход. — К. : Ин-т математики АН УССР, 1981. — С. 25–59. 11. Дороговцев А. Я. Асимптотическое поведение решений уравнения теплопро- водности с белым шумом в правой части / А. Я. Дороговцев, С. Д. Ивасишен, А. Г. Кукуш // Укр. мат. журн. — 1985. – Вип. 37, № 1. — С. 13–20. 12. Перун Г. М. Исследование задачи Коши для стохастических уравнений в частных производных / Г. М. Перун, В. К. Ясинский // Укр. мат. журн. — 1993. — Т. 45, № 9. — C. 1773–1781. 13. Дынкин Е. Б. Марковские процессы / Е. Б. Дынкин. — М. : Физматгиз, 1969. — 859 с. 14. Королюк В. С. Ймовірність, статистика та випадкові процеси. Теорія та комп’ютерна практика : в 3-х т. / В. С. Королюк, Є. Ф. Царков, В. К. Ясинський. — Чернівці : Золоті литаври, 2007. — Т. 1. Ймовірність. Теорія та комп’ютерна практика. — 444 с. 15. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М. : Наука, 1976. — 541 с. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 10 209 16. Хасьминский Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров / Р. З. Хасьминский. — М. : Наука, 1969. — 367 с. 17. Эйдельман С. Д. Параболические системы / С. Д. Эйдельман. — М. : Наука, 1964. — 445 с. 18. Андреева Е. А. Управление системами с последействием / Е. А. Андрее- ва, В. Б. Колмановский, Л. Е. Шайхет. — М. : Наука, 1992. — 333 с. 19. Ясинская Л. И. Асимптотическая устойчивость в среднем квадратическом тривиального решения стохастического дифференциально-функциональ- ного уравнения / Л. И. Ясинская, В. К. Ясинский // Укр. мат. журн. — 1980. — Вип. 32, №1. — С. 78–98. It is proved the existence of the strong solution of the linear diffusion stochastic differential equation with partial derivations in the correspond- ing space with external random disturbances. It is obtained the sufficient conditions of the asymptotic stability and instability in the mean square of the strong solution of such equation. Key words: stochastic equation with partial derivations, stability in the mean square, asymptotic stability. Отримано: 27.02.2014 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <FEFF005500740069006c0069007a00610163006900200061006300650073007400650020007300650074010300720069002000700065006e007400720075002000610020006300720065006100200064006f00630075006d0065006e00740065002000410064006f006200650020005000440046002000610064006500630076006100740065002000700065006e007400720075002000760069007a00750061006c0069007a00610072006500610020015f006900200074006900700103007200690072006500610020006c0061002000630061006c006900740061007400650020007300750070006500720069006f0061007201030020006100200064006f00630075006d0065006e00740065006c006f007200200064006500200061006600610063006500720069002e002000200044006f00630075006d0065006e00740065006c00650020005000440046002000630072006500610074006500200070006f00740020006600690020006400650073006300680069007300650020006300750020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020015f00690020007600650072007300690075006e0069006c006500200075006c0074006500720069006f006100720065002e> /SKY <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> /SLV <FEFF005400650020006e006100730074006100760069007400760065002000750070006f0072006100620069007400650020007a00610020007500730074007600610072006a0061006e006a006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002c0020007000720069006d00650072006e006900680020007a00610020007a0061006e00650073006c006a00690076006f0020006f0067006c00650064006f00760061006e006a006500200069006e0020007400690073006b0061006e006a006500200070006f0073006c006f0076006e0069006800200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002e00200020005500730074007600610072006a0065006e006500200064006f006b0075006d0065006e0074006500200050004400460020006a00650020006d006f0067006f010d00650020006f0064007000720065007400690020007a0020004100630072006f00620061007400200069006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200069006e0020006e006f00760065006a01610069006d002e> /SUO <FEFF004b00e40079007400e40020006e00e40069007400e4002000610073006500740075006b007300690061002c0020006b0075006e0020006c0075006f0074002000410064006f0062006500200050004400460020002d0064006f006b0075006d0065006e007400740065006a0061002c0020006a006f0074006b006100200073006f0070006900760061007400200079007200690074007900730061007300690061006b00690072006a006f006a0065006e0020006c0075006f00740065007400740061007600610061006e0020006e00e400790074007400e4006d0069007300650065006e0020006a0061002000740075006c006f007300740061006d0069007300650065006e002e0020004c0075006f0064007500740020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069007400200076006f0069006400610061006e0020006100760061007400610020004100630072006f0062006100740069006c006c00610020006a0061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030003a006c006c00610020006a006100200075007500640065006d006d0069006c006c0061002e> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Про стійкість розв’язку лінійного автономного стохастичного рівняння з частинними похідними із зовнішними випадковими збуреннями

Репозитарії

Схожі ресурси