Нові функції, означені при допомозі факторіальних степенів
Досліджені нові неелементарні функції дійсної змінної, означені з використанням зростаючих і центральних факторіальних степенів. Встановлені деякі властивості цих функцій, зокрема, показаний їхній зв’язок з узагальненою гіпергеометричною функцією. Виведені звичайні лінійні диференціальні рівняння, р...
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86557 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нові функції, означені при допомозі факторіальних степенів / Т.П. Гой // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 11. — С. 18-29. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859594188159451136 |
|---|---|
| author | Гой, Т.П. |
| author_facet | Гой, Т.П. |
| citation_txt | Нові функції, означені при допомозі факторіальних степенів / Т.П. Гой // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 11. — С. 18-29. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| description | Досліджені нові неелементарні функції дійсної змінної, означені з використанням зростаючих і центральних факторіальних степенів. Встановлені деякі властивості цих функцій, зокрема, показаний їхній зв’язок з узагальненою гіпергеометричною функцією. Виведені звичайні лінійні диференціальні рівняння, розв’язками яких є нові функції.
We consider new non-elementary functions defined by rising and central factorial powers and find some of their main properties. In particular, we established a relationship of these functions with the generalized hypergeometric functions. It is shown that constructed functions are solutions of ordinary linear differential equations with polynomial coefficients derived in the paper.
|
| first_indexed | 2025-11-27T18:14:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
18
5. Бердышев В. И. Численные методы приближения функций / В. И. Бердышев,
Ю. Н. Субботин. — Свердловск : Среднеуральске изд-во, 1979. — 116 с.
6. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимаций / Н. И. Ахиезер. — М. :
Наука, 1965. — 407 с.
7. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Мор-
ган. — М. : Мир, 1986. — 318 с.
8. Тихонов А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов,
В. Я. Арсенин. — М. : Наука, 1974. — 223 с.
9. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф / Р. Гилмор. — М. : Мир,
1984. — Кн. 1. — 350 с.; Кн. 2. — 282 с.
10. Абрамчук В. С. Итерационные методы направленного поиска решения
систем Ax = f с сингулярно-естественным упорядочением переменных /
В. С. Абрамчук // Доп. НАН Украины. — 1996. — № 8. — С. 4–8.
Numerical and approximate methods of solving boundary value prob-
lems are proposed. Numerical methods for solving linear boundary value
problems are build on ranking of the difference equation matrix to maxi-
mize orthogonal subsystem. Approximate methods are based on the ap-
proach of solution in the form of the shoots of Taylor polynomial.
Key words: elliptic difference equation; Minimal Residual method, Mini-
mal error method in AE , TA E space; inverse problems for dynamic systems.
Отримано: 17.06.2014
УДК 517.95
Т. П. Гой, канд. фіз.-мат. наук
Прикарпатський національний університет
імені Василя Стефаника, м. Івано-Франківськ
НОВІ ФУНКЦІЇ, ОЗНАЧЕНІ ПРИ ДОПОМОЗІ
ФАКТОРІАЛЬНИХ СТЕПЕНІВ
Досліджені нові неелементарні функції дійсної змінної,
означені з використанням зростаючих і центральних факто-
ріальних степенів. Встановлені деякі властивості цих функцій,
зокрема, показаний їхній зв’язок з узагальненою гіпер-
геометричною функцією. Виведені звичайні лінійні диферен-
ціальні рівняння, розв’язками яких є нові функції.
Ключові слова: зростаючий факторіальний степінь,
центральний факторіальний степінь, узагальнена гіпергео-
метрична функція.
1. Вступ. Моделювання багатьох процесів математичної фізики, те-
орії теплопровідності, астрономії, аеродинаміки, біомедицини, квантової
механіки та інших наук приводить до спеціальних функцій різної приро-
ди. Різноманітність задач, що породжують спеціальні функції, веде до
© Т. П. Гой, 2014
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11
19
зростання кількості неелементарних функцій — від найпростіших тран-
сцендентних функцій до гіпергеометричних функцій різної природи.
Класичні трансцендентні функції exp , sin , cosx x x задаються як
степеневі ряди
2 1 2
0 0 0
( 1) ( 1)
exp , sin , cos ,
! (2 1)! (2 )!
n n n n n
n n n
x x x
x x x
n n n
побудовані при допомозі спадних факторіальних степенів (факторіал
!m є водночас спадним факторіальним степенем). Якщо у цих рядах
спадні факторіальні степені замінити відповідними зростаючими фа-
кторіальними степенями, то одержимо неелементарні функції дійсної
змінної Exp , Sin , Cosx x x (див. [1]), а якщо замінити їх централь-
ними факторіальними степенями, то одержимо функції Expc ,x
Sinc ,x Cosc x , які досліджувались у [2; 3]. У [1–3] встановлені деякі
властивості цих функцій. Зокрема, показано, що функції Sin ,x Cos x
є розв'язками задач Коші для звичайних лінійних диференціальних
рівнянь другого порядку з поліноміальними коефіцієнтами, а функції
Sinc , Coscx x — розв’язками таких рівнянь третього порядку.
У цій статті досліджуються чотири нові неелементарні функції
дійсної змінної типу гіперболічних функцій:
Exp Exp( ) Exp Exp( )
Sh , Ch
2 2
x x x x
x x
,
Expc Expc( ) Expc Expc( )
Shc , Chc .
2 2
x x x x
x x
2. Факторіальні степені. Для довільних чисел x і m фа-
кторіальним степенем m з кроком k називають вираз [4, с. 45–47]
{ } ( )( 2 ) ... ( 1) , якщо 0,
1, якщо 0.
m k x x k x k x m k m
x
m
Факторіальний степінь називають зростаючим, якщо 0k , і
спадним, якщо 0k . У випадку 0k маємо звичайну степеневу
функцію, тобто {0} .m mx x
Зростаючий факторіальний степінь m з кроком 1 і спадний фак-
торіальний степінь m з кроком (–1) позначатимемо через mx і mx
відповідно:
{1}: ( 1)( 2) ... ( 1),m mx x x x x x m
{ 1}: ( 1)( 2) ... ( 1).m mx x x x x x m
Зростаючі та спадні факторіальні степені тісно пов’язані зі зви-
чайною факторіальною функцією, адже ! 1n nn n .
Математичне та комп’ютерне моделювання
20
Основна властивість спадних і зростаючих факторіальних сте-
пенів виражається формулами 1( )m mx m x , 1( ) ,m mx mx де
( ( )) ( 1) ( )f x f x f x — різниця функції ( )f x , а ( ( ))f x
( ) ( 1)f x f x — запізніла різниця цієї функції [5, с. 66–68].
Для довільних чисел x і m центральним факто-
ріальним степенем m з кроком 0k називають вираз [6]
[ ] 2 ... , якщо 0,
2 2 2
1, якщо 0.
m k
mk mk mk
x x k x k x k m
x
m
Центральний факторіальний степінь m з кроком 1 позначати-
мемо [ ]mx . Наприклад, [5] 3 2 1 2 1 2 3 2 ,x x x x x x
[6] 2( 2)( 1) ( 1)( 2).x x x x x x
Для центральних факторіальних степенів справджується форму-
ла [ ] [ 1]( ) ,m mx mx де ( ( )) 1 2 1 2f x f x f x — централь-
на різниця функції ( )f x .
У комбінаториці зростаючим, спадним і центральним факто-
ріальним степеням зазвичай притаманна двоїстість. Іншими словами,
якщо комбінаторна задача приводить до комбінаторної тотожності,
побудованої при допомозі, наприклад, спадних факторіальних степе-
нів, то зазвичай існує змістовна комбінаторна задача, яка приводить
до двоїстої тотожності з участю зростаючих або центральних факто-
ріальних степенів [7, с. 7–12; 8, с. 196–219; 9, с. 27–31].
Як один з численних прикладів таких двоїстих комбінаторних
співвідношень наведемо тотожності, які узагальнюють біноміальну
тотожність:
0 0
( ) , ( ) ,
n n
n k n k n k n k
k k
n n
a b a b a b a b
k k
[ ] [ ] [ ]
0
( ) ,
n
n k n k
k
n
a b a b
k
де
!
!( )!
n n
k k n k
— біноміальні коефіцієнти.
3. Функції xExp , xSin , xCos , побудовані при допомозі зрос-
таючих факторіальних степенів. Через Exp x , Sin x , Cos x позначи-
мо функції дійсної змінної, означені при допомозі степеневих рядів [1]:
2 3 4
0 1
( 1)!
Exp 1 ... 1 ,
1 2 3 3 4 5 4 5 6 7 (2 1)!
n n
n
n n
x x x x x n x
x
nn
(1)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11
21
2 1 2 1
2 1
0 0
( 1) ( 1) (2 )!
Sin ,
(4 1)!(2 1)
n n n n
n
n n
x n x
x
nn
(2)
2 2
2
0 1
( 1) ( 1) (2 1)!
Cos 1 .
(4 1)!(2 )
n n n n
n
n n
x n x
x
nn
(3)
Деякі властивості та графіки функцій Exp x , Sin x , Cos x наве-
дені в [1].
З (1)–(3) випливає формула
Exp( ) Cos Sinix x i x , (4)
аналогічна до формули Ейлера. Оскільки Exp( ) Cos Sin ,ix x i x
то
Exp( ) Exp( ) Exp( ) Exp( )
Cos , Sin ,
2 2
ix ix ix ix
x x
i
а отже,
2 2Cos Sin Exp( ) Exp( )x x ix ix Exp( ) Exp( ) 1 .ix ix
У [1] встановлений зв’язок функції Exp x з функцією ймовір-
ностей (функцією Лапласа) erf x , а також зв’язок функцій Sin x ,
Cos x з інтегралами Френеля. Зараз покажемо зв’язок цих функцій з
узагальненою гіпергеометричною функцією.
Нагадаємо, що узагальненою гіпергеометричною функцією
1 1( ,..., ; ,..., ; )s q s qF a a b b z називають функцію, визначену як сума уза-
гальненого гіпергеометричного ряду [10, с. 183]
1 2
1 1
0 1 2
...
, ..., ; , ..., ; ,
!...
n n n n
s
s q s q n n n
n q
a a a z
F a a b b z
nb b b
(5)
де nc — зростаючий факторіальний степінь з кроком 1.
Теорема 1. Для всіх дійсних x справджуються тотожності
2 2 2
1 2 1 2
3 5 5 7
exp 1 1; , ; 1; , ; ,
4 4 64 6 4 4 64
x x x
x x F F
(6)
2
1 2
3 5
Sin 1; , ; ,
4 4 64
x
x x F
(7)
2 2
1 2
5 7
Cos 1 1; , ; .
6 4 4 64
x x
x F
(8)
Доведення. Доведемо спочатку формулу (7). З (2), враховуючи
(5), одержуємо:
2
2
0 0
( 1) (2 )! ( 1)
Sin
(4 1)! 4 (4 1)!!
n n n
n
n
n n
n x
x x x x
n n
Математичне та комп’ютерне моделювання
22
2
0
( 1)
4 3 7 ... (4 1) 5 9 ... (4 1)
n n
n
n
x
x
n n
2
0
( 1)
3 7 4 1 5 9 4 1
64 ... ...
4 4 4 4 4 4
n n
nn
x
x
n n
2 2
1 2
0
1 3 5
1; , ; .
64 4 4 643 4 5 4 !
nn
n n
n
x x
x x F
n
Доведемо тепер формулу (8). З (3), враховуючи (5), маємо:
1 2 2
2 2
0 0
( 1) (2 1)! ( 1)
Cos 1 1
(4 3)! 3 4 (4 3)!!
n n n
n
n
n n
n x x
x x x
n n
2 2
0
( 1)
1
6 4 5 9 ... (4 1) 7 11 ... (4 3)
n n
n
n
x x
n n
2 2
0
( 1)
1
5 9 4 1 7 11 4 36
64 ... ...
4 4 4 4 4 4
n n
nn
x x
n n
2 2
0
1
1
6 645 4 7 4 !
nn
nn
n
x x
n
2 2
1 2
5 7
1 1; , ; .
6 4 4 64
x x
F
Формула (6) випливає безпосередньо з (4), (7) і (8). Теорему доведено.
4. Функції xExpc , xSinc , xCosc , побудовані при допомозі
центральних факторіальних степенів. Позначимо через Expc x ,
Sinc x , Cosc x функції, визначені при допомозі степеневих рядів [3]:
2 2 1
[ ]
0 1 1
1 ( 1)! 16 (2 1)!(3 )!
Expc 1 2 ,
2 (3 1)! ( 1)!(6 1)!
n n n n
n
n n n
x n x n n x
x x
n n nn
(9)
2 1 2 1
[2 1]
0 1
( 1) ( 1) 16 (2 1)!(3 )!
Sinc 2 ,
( 1)!(6 1)!(2 1)
n n n n n
n
n n
x n n x
x x
n nn
(10)
2 2
[2 ]
0 1
( 1) 1 ( 1) ( 1)!
Cosc 1 .
2 (3 1)!(2 )
n n n n
n
n n
x n x
x
nn
(11)
Теорема 2. [3] Для всіх дійсних x справджуються тотожності
2 2 2
1 2 1 2
5 7 4 5
Expc 1 1; , ; 1; , ; ,
6 6 27 4 3 3 27
x x x
x x F F
2
1 2
5 7
Sinc 1; , ; ,
6 6 27
x
x x F
2 2
1 2
4 5
Cosc 1 1; , ; ,
4 3 3 27
x x
x F
де 1 2 1 1 2( ; , ; )F a b b z — узагальнена гіпергеометрична функція.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11
23
Зауважимо, що у [3] функції Expc x , Sinc x , Cosc x позначені
через ( ), ( ), ( )E x S x C x відповідно.
З (9)–(11) випливають формули
Expc( ) Cosc Sincix x i x ,
звідки одержуємо, що
2 2Cosc Sinc Expc( ) Expc( ).x x ix ix
Графіки функцій Expc x , Sinc x , Cosc x можна знайти в [3].
5. Функції xSh( ) , xCh( ) , побудовані при допомозі зростаю-
чих факторіальних степенів. Позначимо через Sh x , Ch x функції
дійсної змінної, визначені формулами
Exp Exp( )
Sh ,
2
x x
x
Exp Exp( )
Ch ,
2
x x
x
(12)
де функція Exp x визначена у (1).
З (1), (12) випливають степеневі розвинення
2 1
2 1
2 1
0 0
(2 )!
Sh ,
(4 1)!(2 1)
n
n
n
n n
x n
x x
nn
(13)
2
2 2
2
0 0
(2 1)!
Ch 1 ,
(4 3)!(2 )
n
n
n
n n
x n
x x
nn
(14)
причому ряди в (13), (14) збігаються на всій дійсній числовій осі.
Графіки функцій дійсної змінної Shy x , Chy x наведені на рис. 1
(зображені також графіки гіперболічних функцій shy x і chy x ).
Рис. 1. Графіки функцій Sh , Chy x y x
Теорема 3. Для всіх дійсних x справджуються тотожності
Математичне та комп’ютерне моделювання
24
2
1 2
Sh exp erf exp erf
2 4 2 4 2
3 5
1; , ; ,
4 4 64
x x x x i x
x i
x
x F
(15)
2 2
1 2
Ch 1 exp erf exp erf
2 4 2 4 2
5 7
1 1; , ; ,
6 4 4 64
x x x x i x
x i
x x
F
(16)
де 2
0
2
erf exp( )
p
p t dt
— функція ймовірностей (функція поми-
лок), 1 2 1 1 2( ; , ; )F a b b z — узагальнена гіпергеометрична функція.
Доведення теореми 3 проводиться аналогічно до доведення тео-
реми 1.
На рис. 2–7 наведені графіки функцій комплексної змінної Sh z ,
Ch z , де .z x iy
Рис. 2. Графік функції | Sh |z Рис. 3. Графік функції | Ch |z
Рис. 4. Графік функції Re Sh z
Рис. 5. Графік функції Im Sh z
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11
25
Рис. 6. Графік функції Re Ch z
Рис. 7. Графік функції Im Ch z
6. Функції xShc , xChc , побудовані при допомозі цен-
тральних факторіальних степенів. Позначимо через Shc x , Chc x
функції дійсної змінної, визначені формулами
Expc Expc( )
Shc ,
2
x x
x
Expc Expc( )
Chc .
2
x x
x
(17)
З (10), (11) і (17) одержуємо степеневі розвинення
2 1 2 1
[2 1]
0 1
16 (2 1)!(3 )!
Shc 2 ,
( 1)!(6 1)!(2 1)
n n n
n
n n
x n n x
x x
n nn
(18)
2 2
[2 ]
0 1
1 ( 1)!
Chc 1 ,
2 (3 1)!(2 )
n n
n
n n
x n x
x
nn
(19)
причому ряди в (18), (19) збігаються для всіх дійсних x.
Графіки функцій Shcy x , Chcy x зображені на рис. 8.
Рис. 8. Графіки функцій Shc , Chcy x y x
Теорема 4. Для всіх дійсних x справджуються тотожності
2
1 2
5 7
Shc 1; , ; ,
6 6 27
x
x x F
(20)
Математичне та комп’ютерне моделювання
26
2 2
1 2
4 5
Chc 1 1; , ; ,
4 3 3 27
x x
x F
(21)
де 1 2 1 1 2( ; , ; )F a b b z — узагальнена гіпергеометрична функція.
Доведення теореми 4 проводиться аналогічно до доведення тео-
реми 1 з використанням формул (5), (18), (19).
На рис. 9–14 наведені графіки функцій комплексної змінної
Shc z , Chc z , де .z x iy
Рис. 9. Графік функції | Shc |z Рис. 10. Графік функції | Chc |z
Рис. 11. Графік функції Re Shc z Рис. 12. Графік функції Im Shc z
Рис. 13. Графік функції Re Chc z Рис. 14. Графік функції Im Ch z
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11
27
7. Диференціальні рівняння для функцій x,Sh x,Ch x,Shc
x.Chc
Теорема 4. Функції Sh x , Ch x є розв’язками відповідно таких
задач Коші для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку:
2 216 16 (12 ) 4 , (0) 0, (0) 1;x y xy x y x y y (22)
2 2 216 16 (12 ) 12, (0) 1, (0) 0.x y xy x y x y y (23)
Доведення. Те, що функції Shy x , Chy x задовольняють
початкові умови з (22) і (23), випливає з формул (13), (14) відповідно.
Доведемо, що функція Shy x є частинним розв’язком дифе-
ренціального рівняння з (22). Згідно з (15)
Sh ( ),
2
x
x A B
де exp 4 erf 2 , exp 4 erf 2 .A x x B i x i x Тоді
1
(Sh ) 2 ( ) ( ) 4 ,
8
x A B x A B x
x
21
(Sh ) ( 4)( ) 4 ( ) 8 .
32
x x A B x A B x
x x
Виключаючи тепер вирази A B з отриманих співвідношень
для Sh ,x (Sh )x і (Sh )x , після нескладних перетворень одержуємо
диференціальне рівняння з (22).
Далі, оскільки згідно з (16) Ch 1 ( ),
2
x
x A B
то
(Ch ) 2( ) ( ) ,
8
x A B x A B
x
21
(Ch ) ( 4)( ) 4 ( ) 4 ,
32
x x A B x A B x x
x x
і виключаючи з цих співвідношень вирази A B , переконуємось, що
функція Chy x є розв’язком рівняння з (23).
Теорему доведено.
Теорема 5. Функції Shc x , Chc x є розв’язками відповідно таких
задач Коші для звичайних диференціальних рівнянь третього порядку:
3 2 227 4 (6 ) 4( 6) 0,
(0) 0, (0) 1, (0) 0;
x y x x y x y
y y y
(24)
3 2 227 27 (51 4 ) 48 48,
(0) 1, (0) 0, (0) 1 2.
x y x y x x y y
y y y
(25)
Математичне та комп’ютерне моделювання
28
Доведення. Те, що функції Shcy x , Chcy x задовольняють
початкові умови з (24) і (25), випливає з формул (18), (19) відповідно.
Доведемо, що функція Shcy x є розв’язком диференціального
рівняння з (24). Узагальнена гіпергеометрична функція 1 2 1 2; , ;F a b b z ,
через яку, згідно з (20), виражається функція Shc x , є розв’язком лінійно-
го звичайного диференціального рівняння третього порядку [10, с. 185]
1 21 1 ( ) 0,b b z a w z
де ( ) ( )w z zw z . Отже, функція 1 2 1;5 6,7 6;F z з (20) є розв'язком
операторного рівняння
1 6 1 6 1 ( ) 0.z w z (26)
Оскільки 2 2 ,w zw z w 3 2 33 ,w zw z w z w то з (26),
виконавши нескладні перетворення, одержуємо, що узагальнена гіпе-
ргеометрична функція 1 2( ) 1;5 6,7 6;w z F z задовольняє дифере-
нціальне рівняння
3 2 35
3 0.
36
z w z w z z w zw
(27)
Виконаємо у (27) заміну незалежної змінної 2 27z x . Тоді
27
,
2
x
z
w
w
x
3
729
,
4
x x
z
xw w
w
x
2
5
3 319683
8
x x x
z
x w xw w
w
x
і, підставляючи у рівняння (27), одержуємо, що функція
2
1 2( ) 1;5 6,7 6; 27w x F x є розв'язком рівняння
2 227 81 4(6 ) 8 0.x w xw x w xw
Нарешті, підставляючи в останнє рівняння функцію ( )y x w x
(див. (20)), переконуємося, що функція Shcy x є розв'язком ліній-
ного однорідного диференціального рівняння третього порядку з (24).
Те, що функція Chcy x є розв’язком рівняння з (25), дово-
диться аналогічно з використанням формули (21).
Теорему доведено.
8. Висновки. У статті досліджуються деякі властивості нових
неелементарних функцій, побудованих у вигляді степеневих рядів з
використанням зростаючих і центральних факторіальних степенів (за
аналогією зі степеневими розвиненнями гіперболічних функцій).
Встановлені деякі властивості цих функцій, побудовані їхні графіки.
Показано, що вони є розв’язками задач Коші для звичайних лінійних
диференціальних рівнянь з поліноміальними коефіцієнтами.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 11
29
Список використаних джерел:
1. Гой Т. П. Нові функції, породжені зростаючими факторіалами, та їх влас-
тивості / Т. П. Гой, Р. А. Заторський // Буковинський матем. журн. —
2013. — Т. 1, № 1–2. — С. 28–33.
2. Гой Т. П. Про диференціальні рівняння функцій, породжених централь-
ними факторіальними степенями / Т. П. Гой // КММК–2013 : тези Крим-
ської міжнар. матем. конф. — Сімферополь : Вид-во КНЦ НАНУ,
2013. — Т. 2. — С. 4–5.
3. Гой Т. П. Функції, породжені центральними факторіальними степенями,
та їхні властивості / Т. П. Гой // «Теоретичні та прикладні проблеми тех-
нічних і математичних наук» : матеріали Міжнар. наук.-практ. конф. —
К. : Центр Науково-Практичних Студій, 2014. — С. 8–13.
4. Jordan C. Calculus of Finite Differences / C. Jordan. — New York : Chelsea
Publishing, 1939. — 652 p.
5. Грэхем Р. Конкретная математика. Основания математики / Р. Грэхем,
Д. Кнут, О. Паташник. — М. : Мир, 1998. — 703 с.
6. Steffensen J. F. On the definition of the central factorial / J. F. Steffensen //
J. Inst. Actuaries. — 1933. — Vol. 64, № 2. — P. 165–168.
7. Заторський Р.А. Числення трикутних матриць та його застосування /
Р. А. Заторський. — Івано-Франківськ : Сімик, 2010. — 508 с.
8. Риордан Дж. Комбинаторные тождества / Дж. Риордан. — М. : Наука,
1982. — 254 с.
9. Roman S. The Umbral Calculus / S. Roman. — New York : Academic Press,
1984. — 193 p.
10. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции. Том 1. Гипергеометри-
ческая функция. Функции Лежандра / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. — М. :
Наука, 1973. — 294 с.
We consider new non-elementary functions defined by rising and central
factorial powers and find some of their main properties. In particular, we estab-
lished a relationship of these functions with the generalized hypergeometric
functions. It is shown that constructed functions are solutions of ordinary linear
differential equations with polynomial coefficients derived in the paper.
Key words: rising factorial powers, central factorial powers, general-
ized hypergeometric function.
Отримано: 11.07.2014
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.1000
/ColorConversionStrategy /sRGB
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo false
/PreserveFlatness false
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
/Arial-Black
/Arial-BlackItalic
/Arial-BoldItalicMT
/Arial-BoldMT
/Arial-ItalicMT
/ArialMT
/ArialNarrow
/ArialNarrow-Bold
/ArialNarrow-BoldItalic
/ArialNarrow-Italic
/ArialUnicodeMS
/CenturyGothic
/CenturyGothic-Bold
/CenturyGothic-BoldItalic
/CenturyGothic-Italic
/CourierNewPS-BoldItalicMT
/CourierNewPS-BoldMT
/CourierNewPS-ItalicMT
/CourierNewPSMT
/Georgia
/Georgia-Bold
/Georgia-BoldItalic
/Georgia-Italic
/Impact
/LucidaConsole
/Tahoma
/Tahoma-Bold
/TimesNewRomanMT-ExtraBold
/TimesNewRomanPS-BoldItalicMT
/TimesNewRomanPS-BoldMT
/TimesNewRomanPS-ItalicMT
/TimesNewRomanPSMT
/Trebuchet-BoldItalic
/TrebuchetMS
/TrebuchetMS-Bold
/TrebuchetMS-Italic
/Verdana
/Verdana-Bold
/Verdana-BoldItalic
/Verdana-Italic
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages false
/ColorImageMinResolution 150
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 150
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages false
/GrayImageMinResolution 150
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 150
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages false
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects true
/CheckCompliance [
/PDFX1a:2001
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
/ESP <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>
/ETI <FEFF004b00610073007500740061006700650020006e0065006900640020007300e400740074006500690064002000e4007200690064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020007500730061006c006400750073007600e400e4007200730065006b0073002000760061006100740061006d006900730065006b00730020006a00610020007000720069006e00740069006d006900730065006b007300200073006f00620069006c0069006b0065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020006c006f006f006d006900730065006b0073002e00200020004c006f006f0064007500640020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065002000730061006100740065002000610076006100640061002000700072006f006700720061006d006d006900640065006700610020004100630072006f0062006100740020006e0069006e0067002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006a00610020007500750065006d006100740065002000760065007200730069006f006f006e00690064006500670061002e>
/FRA <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>
/GRE <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>
/HEB <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>
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.)
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <FEFF005500740069006c0069007a006500200065007300730061007300200063006f006e00660069006700750072006100e700f50065007300200064006500200066006f0072006d00610020006100200063007200690061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000410064006f00620065002000500044004600200061006400650071007500610064006f00730020007000610072006100200061002000760069007300750061006c0069007a006100e700e3006f002000650020006100200069006d0070007200650073007300e3006f00200063006f006e0066006900e1007600650069007300200064006500200064006f00630075006d0065006e0074006f007300200063006f006d0065007200630069006100690073002e0020004f007300200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006900610064006f007300200070006f00640065006d0020007300650072002000610062006500720074006f007300200063006f006d0020006f0020004100630072006f006200610074002000650020006f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650020007600650072007300f50065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e>
/RUM <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>
/SKY <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>
/SLV <FEFF005400650020006e006100730074006100760069007400760065002000750070006f0072006100620069007400650020007a00610020007500730074007600610072006a0061006e006a006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002c0020007000720069006d00650072006e006900680020007a00610020007a0061006e00650073006c006a00690076006f0020006f0067006c00650064006f00760061006e006a006500200069006e0020007400690073006b0061006e006a006500200070006f0073006c006f0076006e0069006800200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002e00200020005500730074007600610072006a0065006e006500200064006f006b0075006d0065006e0074006500200050004400460020006a00650020006d006f0067006f010d00650020006f0064007000720065007400690020007a0020004100630072006f00620061007400200069006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200069006e0020006e006f00760065006a01610069006d002e>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <FEFF04120438043a043e0440043804410442043e043204430439044204350020044604560020043f043004400430043c043504420440043800200434043b044f0020044104420432043e04400435043d043d044f00200434043e043a0443043c0435043d044204560432002000410064006f006200650020005000440046002c0020044f043a04560020043d04300439043a04400430044904350020043f045604340445043e0434044f0442044c00200434043b044f0020043d0430043404560439043d043e0433043e0020043f0435044004350433043b044f043404430020044204300020043404400443043a0443002004340456043b043e04320438044500200434043e043a0443043c0435043d044204560432002e00200020042104420432043e04400435043d045600200434043e043a0443043c0435043d0442043800200050004400460020043c043e0436043d04300020043204560434043a0440043804420438002004430020004100630072006f006200610074002004420430002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002004300431043e0020043f04560437043d04560448043e04570020043204350440044104560457002e>
/RUS <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>
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AllowImageBreaks true
/AllowTableBreaks true
/ExpandPage false
/HonorBaseURL true
/HonorRolloverEffect false
/IgnoreHTMLPageBreaks false
/IncludeHeaderFooter false
/MarginOffset [
0
0
0
0
]
/MetadataAuthor ()
/MetadataKeywords ()
/MetadataSubject ()
/MetadataTitle ()
/MetricPageSize [
0
0
]
/MetricUnit /inch
/MobileCompatible 0
/Namespace [
(Adobe)
(GoLive)
(8.0)
]
/OpenZoomToHTMLFontSize false
/PageOrientation /Portrait
/RemoveBackground false
/ShrinkContent true
/TreatColorsAs /MainMonitorColors
/UseEmbeddedProfiles false
/UseHTMLTitleAsMetadata true
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/BleedOffset [
0
0
0
0
]
/ConvertColors /ConvertToRGB
/DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1)
/DestinationProfileSelector /UseName
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements true
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MarksOffset 6
/MarksWeight 0.250000
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PageMarksFile /RomanDefault
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [600 600]
/PageSize [419.528 595.276]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86557 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 2308-5878 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-27T18:14:17Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гой, Т.П. 2015-09-21T16:51:09Z 2015-09-21T16:51:09Z 2014 Нові функції, означені при допомозі факторіальних степенів / Т.П. Гой // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2014. — Вип. 11. — С. 18-29. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 2308-5878 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86557 17.95 Досліджені нові неелементарні функції дійсної змінної, означені з використанням зростаючих і центральних факторіальних степенів. Встановлені деякі властивості цих функцій, зокрема, показаний їхній зв’язок з узагальненою гіпергеометричною функцією. Виведені звичайні лінійні диференціальні рівняння, розв’язками яких є нові функції. We consider new non-elementary functions defined by rising and central factorial powers and find some of their main properties. In particular, we established a relationship of these functions with the generalized hypergeometric functions. It is shown that constructed functions are solutions of ordinary linear differential equations with polynomial coefficients derived in the paper. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Нові функції, означені при допомозі факторіальних степенів Article published earlier |
| spellingShingle | Нові функції, означені при допомозі факторіальних степенів Гой, Т.П. |
| title | Нові функції, означені при допомозі факторіальних степенів |
| title_full | Нові функції, означені при допомозі факторіальних степенів |
| title_fullStr | Нові функції, означені при допомозі факторіальних степенів |
| title_full_unstemmed | Нові функції, означені при допомозі факторіальних степенів |
| title_short | Нові функції, означені при допомозі факторіальних степенів |
| title_sort | нові функції, означені при допомозі факторіальних степенів |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86557 |
| work_keys_str_mv | AT goitp novífunkcííoznačenípridopomozífaktoríalʹnihstepenív |