Групи ізометрій розширеного простору Хеммінга та нескінченновимірного гіперкуба
Розглянуто конструкцiю розширеного простору Хеммiнга — простору нескiнченних послiдовностей над деяким скiнченним алфавiтом, вiдстань мiж двома послiдовностями
 в якому обчислюється як число їх попарно рiзних координат (у випадку, коли воно скiнченне) i дорiвнює ∞, якщо таких координат нескi...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86704 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Групи ізометрій розширеного простору Хеммінга та нескінченновимірного гіперкуба / Б.В. Олійник // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 25–29. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860102450373984256 |
|---|---|
| author | Олійник, Б.В. |
| author_facet | Олійник, Б.В. |
| citation_txt | Групи ізометрій розширеного простору Хеммінга та нескінченновимірного гіперкуба / Б.В. Олійник // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 25–29. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто конструкцiю розширеного простору Хеммiнга — простору нескiнченних послiдовностей над деяким скiнченним алфавiтом, вiдстань мiж двома послiдовностями
в якому обчислюється як число їх попарно рiзних координат (у випадку, коли воно скiнченне) i дорiвнює ∞, якщо таких координат нескiнченна кiлькiсть. Введеному простору
взаємно однозначно вiдповiдає незв’язний граф — нескiнченновимiрний гiперкуб. Охарактеризовано групу iзометрiй розширеного простору Хеммiнга в термiнах вiнцевих добуткiв, а отже, й групу автоморфiзмiв нескiнченновимiрного гiперкуба.
Введена в рассмотрение конструкция расширенного пространства Хемминга — пространства бесконечных последовательностей над некоторым конечным алфавитом, расстояние между двумя последовательностями в котором определяется как количество различных координат (в случае, когда оно конечно) и равно ∞, если таких координат бесконечное количество. Введенному пространству взаимно однозначно соответствует несвязный
граф — бесконечномерный гиперкуб. Приведено полное описание группы изометрий расширенного пространства Хемминга в терминах сплетений, а следовательно, и группы автоморфизмов бесконечномерного гиперкуба.
The construction of an extended Hamming space defined on the infinite sequences over some finite
alphabet is considered. The distance between such sequences is the number of different coordinates in
the case where this number is finite or ∞ otherwise. This space corresponds to a disconnected graph
called the infinite-dimensional hypercube. The isometry group of the extended Hamming space is
completely described. As a corollary, the automorphism group of the infinite-dimensional hypercube
is calculated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:29:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.1
Б.В. Олiйник
Групи iзометрiй розширеного простору Хеммiнга
та нескiнченновимiрного гiперкуба
(Представлено академiком НАН України М.О. Перестюком)
Розглянуто конструкцiю розширеного простору Хеммiнга — простору нескiнченних по-
слiдовностей над деяким скiнченним алфавiтом, вiдстань мiж двома послiдовностями
в якому обчислюється як число їх попарно рiзних координат (у випадку, коли воно скiн-
ченне) i дорiвнює ∞, якщо таких координат нескiнченна кiлькiсть. Введеному простору
взаємно однозначно вiдповiдає незв’язний граф — нескiнченновимiрний гiперкуб. Охарак-
теризовано групу iзометрiй розширеного простору Хеммiнга в термiнах вiнцевих до-
буткiв, а отже, й групу автоморфiзмiв нескiнченновимiрного гiперкуба.
1. Нехай n — деяке натуральне число. Нагадаємо, що простором Хеммiнга (Hn, dHn
) нази-
вається метричний простiр, заданий на множинi всiх булевих векторiв довжини n, вiд-
стань dHn
мiж якими визначається як кiлькiсть їх попарно рiзних координат:
dHn
(x, y) =
n∑
i=1
|xi − yi|, (1)
де x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Hn. Простiр Хеммiнга Hn природним чином визначає
граф, що називається гiперкубом вимiрностi n, вершинами якого є точки простору Hn, i двi
вершини x, y ∈ Hn з’єднанi ребром тодi i тiльки тодi, коли dHn
(x, y) = 1, тобто вектори x
i y вiдрiзняються однiєю координатою. I навпаки, якщо визначити гiперкуб вимiрностi n
як граф, вершинами якого є (0, 1)-послiдовностi довжини n, i двi послiдовностi з’єднанi
ребром, якщо вони вiдрiзняються лише однiєю координатою, то метричний простiр, який
визначається цим графом (тобто простiр, заданий на множинi вершин графа, вiдстань мiж
вершинами визначається як довжина найкоротшого шляху, що їх з’єднує), буде простором
Хеммiнга. Тому простiр Хеммiнга i гiперкуб даної вимiрностi часто ототожнюють. Гру-
па iзометрiй простору Хеммiнга або група автоморфiзмiв гiперкуба Hn добре вiдома. Це
так звана гiпероктаедральна група, яка iзоморфна вiнцевому добутку Sn ≀ C2 симетричної
групи Sn степеня n i циклiчної групи C2 порядку 2.
До нескiнченно вимiрних узагальнень просторiв Хеммiнга можна вiднести злiченний
простiр Хеммiнга [1, 2], простiр Безiковича або Безiковича–Хеммiнга [3, 4], простори Хем-
мiнга перiодичних послiдовностей [2, 5], а як узагальнення гiперкуба скiнченної вимiрнос-
тi — нескiнченновимiрний гiперкуб [7].
У повiдомленнi розглядається розширений простiр Хеммiнга i розширений узагальнений
простiр Хеммiнга та пов’язанi з ними нескiнченновимiрнi графи, якi природно називати не-
скiнченновимiрними гiперкубами. При цьому метричний пiдпростiр розширеного простору
Хеммiнга, який є iзометричним злiченному простору Хеммiнга, визначає зв’язну компонен-
ту нескiнченновимiрного гiперкуба. Основним результатом повiдомлення є характеризацiя
© Б. В. Олiйник, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 25
групи iзометрiй розширеного простору Хеммiнга, як над множиною (0, 1)-послiдовностей,
так i над довiльною скiнченною множиною.
2. Нехай X — деяка непорожня множина, [0;+∞] = [0;+∞)
⋃
{∞}. Функцiя d : X×X →
→ [0;+∞] називається розширеною метрикою (див., наприклад, [6, с. 4]), якщо виконуються
такi умови:
1) d(x, y) = 0 тодi i лише тодi, коли x = y;
2) d(x, y) = d(y, x);
3) для функцiї d виконується нерiвнiсть трикутника.
Пара (X, d) називається розширеним метричним простором. Рiзниця мiж метричним
простором i розширеним метричним простором полягає в тому, що метрика останнього
може набувати значень ∞.
Нехай A = {a1, a2, . . .} — деяка злiченна множина, Bool(A) — множина всiх пiдмножин
множини A. Визначимо функцiю
dHR
: Bool(A)× Bool(A) → [0;+∞]
для довiльних U , V ∈ Bool(A) таким чином:
dHR
(U, V ) = |U △ V |,
де △ — знак симетричної рiзницi множин, причому |U△V | = ∞, якщо U△V — нескiнченна
множина. Функцiя dH є розширеною метрикою на Bool(A). Розширений метричний простiр
(Bool(A), dH ) називатимемо розширеним простором Хеммiнга, а оскiльки вiн визначаєть-
ся на континуальнiй множинi, позначатимемо його HR. Кожнiй пiдмножинi U ∈ Bool(A)
можна поставити у вiдповiднiсть її характеристичну функцiю, що однозначно визначає не-
скiнченну (0, 1)-послiдовнiсть. Тому HR допускає iншу iнтерпретацiю: вiн є розширеним
метричним простором, визначеним на множинi усiх нескiнченних (0, 1)-послiдовностей, вiд-
стань мiж якими дорiвнює числу попарно рiзних координат у випадку, коли послiдовностi
вiдрiзняються скiнченним числом координат, та дорiвнює ∞, якщо кiлькiсть таких коор-
динат нескiнченна.
Злiченний метричний пiдпростiр HN розширеного простору HR, який складається з тих
(0, 1)-послiдовностей, що мають тiльки скiнченну кiлькiсть ненульових координат, в робо-
тi [1] названо злiченним простором Хеммiнга. Не важко переконатися, що має мiсце таке
твердження.
Твердження 1. Розширений простiр Хеммiнга HR можна зобразити у виглядi кон-
тинуального диз’юнктного об’єднання пiдпросторiв, iзометричних HN, причому так, що
вiдстань мiж двома довiльними точками iзометричних копiй HN дорiвнюватиме ∞.
Розширений простiр Хеммiнга HR визначає простий граф — нескiнченновимiрний гiпер-
куб, вершинами якого є точки простору HR, якi трактуємо як нескiнченнi (0, 1)-послiдов-
ностi, причому двi (0, 1)-послiдовностi з’єднанi ребром тодi i тiльки тодi, коли вони вiдрiз-
няються тiльки однiєю координатою (див. [7]). Нескiнченновимiрний гiперкуб є незв’язним
графом, а його компоненти зв’язностi попарно iзоморфнi. Крiм того, метричнi простори, що
визначаються компонентами зв’язностi цього гiперкуба, iзометричнi злiченному простору
Хеммiнга HN.
3. Нагадаємо означення вiнцевого добутку груп пiдстановок. Нехай (G1,X1), (G2,X2) —
групи пiдстановок. Група пiдстановок (G,X1 × X2) = (G1,X1) ≀ (G2,X2) називається вiн-
цевим добутком груп (G1,X1) i (G2,X2) (див. [8]), якщо для кожного елемента u ∈ G
виконуються такi умови:
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12
1) якщо (x1, x2)
u = (y1, y2), то значення y1 залежить лише вiд x1;
2) для фiксованого x1 вiдображення g2(x1), що визначається рiвнiстю g2(x1)(x2) = y2,
є перетворенням множини X2 i належить групi G2.
З означення випливає, що елементи u ∈ G можна задавати так званими таблицями
u = [g1, g2(x1)], де g1 ∈ G1, g2(x1) ∈ GX1
2 . При цьому кожне перетворення u ∈ G дiє на
елементи (x1, x2) ∈ X1 × X2 за таким правилом
(x1, x2)
u = (xg11 , x
g2(x1)
2 ).
Крiм такої реалiзацiї групи G1 ≀ G2 розглядається також реалiзацiя цiєї групи на множинi
XX1
2 . А саме, експоненцiюванням (G2,X2) за допомогою (G1,X1) називається група пiд-
становок (G1 ≀ G2,X
X1
2 ), кожен елемент якої u = [g1, g2(x1)] дiє на функцiю f(t) ∈ XX1
2 за
правилом:
f(t)[g1,g2(x1)] = f(tg1)
g2(x1).
У цiй роботi використовуватиметься остання реалiзацiя вiнцевого добутку, тобто експонен-
цiювання груп пiдстановок.
Нехай SN, SR — симетричнi групи над множиною натуральних чисел N i множиною дiйс-
них чисел R вiдповiдно, C2 — регулярна циклiчна група другого порядку. Носiєм функцiї
g2(x1) ∈ CN
2 називається множина supp(g2) всiх таких x1 ∈ N, що g2(x1) 6= IdC2
. Група
SN ≀ C2 мiстить пiдгрупу
SN ≀ C2 = {[g1, g2(x1)] | |supp(g2)| < ∞},
яка називається обмеженим вiнцевим добутком груп пiдстановок SN i C2.
Нам потрiбне буде таке твердження з [1], яке сформулюємо у виглядi леми.
Лема 1 [1]. Група iзометрiй злiченного простору Хеммiнга HN iзоморфна обмеженому
вiнцевому добутку SN ≀ C2.
Пiзнiше в [7] лему 1 було доведено в термiнах груп автоморфiзмiв компоненти зв’язностi
нескiнченновимiрного гiперкуба. Крiм того, в цiй роботi було також показано, що звужен-
ня кожного автоморфiзму нескiнченновимiрного гiперкуба на довiльну його компоненту
зв’язностi збiгається зi звуженням деякого регулярного автоморфiзму на цю компоненту
зв’язностi. Узагальнимо цей результат, подаючи точне описання групи всiх iзометрiй роз-
ширеного простору Хеммiнга HR.
Теорема 1. Група iзометрiй розширеного простору Хеммiнга HR iзоморфна вiнцевому
добутку SR ≀ (SN ≀ C2).
Доведення. Спочатку покажемо, що кожен елемент u ∈ SR ≀ (SN ≀ C2) дiє як iзометрiя
на просторi HR. Справдi, елемент u задається таблицею u = [g, h(x)], де g ∈ SR i h(x) : R →
→ SN ≀ C2. З твердження 1 випливає, що елемент g переставляє пiдпростори, iзометричнi
HN, а отже, iзометричнi мiж собою. Крiм того, на кожному з таких пiдпросторiв елемент u
дiє як деякий елемент групи SN ≀ C2, який, згiдно з лемою 1, дiє як iзометрiя. Отже, u дiє
як iзометрiя на всьому розширеному просторi HR.
Нехай тепер f — деяка iзометрiя простору HR. З твердження 1 випливає, що простiр
HR можна зобразити в такому виглядi:
HR =
⋃
α∈R
Hα
N ,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 27
де Hα
N — iзометричнi копiї простору HN, причому Hα1
N
⋂
Hα2
N
= ∅, якщо α1 6= α2. Крiм
того, для довiльних рiзних чисел α1, α2 ∈ R i для довiльних точок x1, x2 ∈ HR таких, що
x1 ∈ Hα1
N
, x2 ∈ Hα2
N
маємо спiввiдношення
dHR
(x1, x2) = ∞. (2)
Розглянемо деяку точку y розширеного простору Хеммiнга HR. Припустимо, що y належить
пiдпростору Hα1
N
, i нехай образ цiєї точки f(y) належить Hα2
N
. Тодi з (2) випливає, що для
довiльної точки z ∈ Hα1
N
ї ї образ f(z) також належить пiдпростору Hα2
N
. Це означає, що
iзометрiя f переставляє пiдпростори Hα
N , α ∈ R, причому може їх переставляти довiльним
чином. Крiм того, на кожному пiдпросторi f дiє iзометрично. З леми 1 отримуємо, що на
кожному з пiдпросторiв Hα
N , α ∈ R, f дiє як елемент обмеженого вiнцевого добутку S∞ ≀ C2.
Таким чином, iзометрiї f можна поставити у вiдповiднiсть таблицю [g, h(x)], де g ∈ SR,
h(x) ∈ SN ≀ CR
2 , тобто f є елементом вiнцевого добутку SR ≀ (SN ≀ C2). Теорему доведено.
Розширений метричний простiр (X, d) називається однорiдним, якщо група iзометрiй
IsomX дiє на ньому транзитивно.
Наслiдок 1. Розширений простiр Хеммiнга HR є однорiдним простором.
4. Поряд з метричними просторами Хеммiнга скiнченних (0, 1)-послiдовностей розгля-
даються бiльш загальнi конструкцiї, якi часто називають узагальненими просторами Хем-
мiнга. А саме, нехай B = {b1, . . . , bq} — деякий алфавiт. Узагальненим простором Хеммiнга
Hn(q) називається метричний простiр, визначений на множинi всiх послiдовностей довжи-
ни n над алфавiтом B, а вiдстань мiж двома такими послiдовностями визначається, як i
у формулi (1), як кiлькiсть їх попарно рiзних координат (див., наприклад, [2]). Група iзомет-
рiй узагальненого простору Хеммiнга Hn(q) також добре вiдома, вона iзоморфна вiнцевому
добутку Sn ≀ Sq симетричної групи Sn степеня n i симетричної групи Sq степеня q.
Розглянемо розширений узагальнений простiр Хеммiнга HR(q). Для цього на множинi
всiх нескiнченних послiдовностей
HR(q) = {x = (x1, x2, . . .) | xi ∈ B}
введемо розширену метрику dq,HR
. Вiдстань dq,HR
(x, y) мiж довiльними послiдовностями x,
y ∈ HR(q) визначимо як число попарно рiзних координат у тому разi, коли таких координат
скiнченна кiлькiсть, та покладемо рiвною ∞, якщо таких координат нескiнченно багато. За
розширеним метричним простором також можна визначити вiдповiдний граф — узагальне-
ний нескiнченновимiрний гiперкуб, множина вершин якого є множиною точок HR(q), i двi
послiдовностi x, y ∈ HR(q) з’єднанi ребром тодi i тiльки тодi, коли dq,HR
(x, y) = 1, тоб-
то вони вiдрiзняються однiєю координатою. Так визначений граф також незв’язний i має
iзоморфнi компоненти зв’язностi. Зауважимо, що як i для скiнченних просторiв Хеммiнга,
графова метрика, визначена на узагальненому нескiнченновимiрному гiперкубi, буде збiга-
тися з розширеною метрикою Хеммiнга.
Охарактеризуємо групу iзометрiй введеного нами простору або, що те саме, групу ав-
томорфiзмiв узагальненого нескiнченновимiрного гiперкуба.
Теорема 2. Для довiльного натурального q > 2 група iзометрiй розширеного узагаль-
неного простору Хеммiнга HR(q) iзоморфна вiнцевому добутку SR ≀ (SN ≀ Sq).
Доведення цiєї теореми аналогiчне доведенню теореми 1. Враховуючи властивостi дiї
вiнцевого добутку SR ≀ (SN ≀ Sq) на HR(q), з цiєї теореми дiстаємо
Наслiдок 2. Розширений узагальнений простiр Хеммiнга HR(q) є однорiдним просто-
ром.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12
Роботу частково пiдтримано Державним агентством з питань науки, iнновацiй та iнфор-
матизацiї України (№ ДР 0112U005849).
1. Олiйник Б. В. Унiверсальнiсть злiченних просторiв Хеммiнга щодо iзоморфних занурень // Вiсн.
Київ. ун-ту. Сер. фiз.-мат. науки. – 1996. – Вип. 2. – С. 53–62.
2. Cameron P. J., Tarzi S. Limits of cubes // Topol. and its Appl. – 2008. – 155. – P. 1454–1461.
3. Blanchard F., Formenti E., Kurka P. Cellular automata in Cantor, Besicovitch and Weil topological
spaces // Complex Systems. – 1997. – 11. – P. 107–123.
4. Вершик А.М. Теория убывающих последовательностей измеримых разбиений // Алгебра и анализ. –
1994. – 6, № 4. – С. 1–68.
5. Олийнык Б.В., Сущанский В.И. Группы изометрий пространств Хемминга периодических последо-
вательностей // Сиб. мат. журн. – 2013. – 54, № 1. – С. 163–179.
6. Deza M.M., Deza E. Encyclopedia of distances. – Berlin: Springer, 2009. – 590 p.
7. Pankov M. A Note on automorphisms of the infinite-dimensional hypercube graph // Electron. J. Combi-
natorics. – 2012. – 19. – P. 23.
8. Kaluzhnin L.A., Beletskij P.M., Fejnberg V. Z. Kranzprodukte. – Leipzig: Teubner, 1987. – 167 p.
Надiйшло до редакцiї 02.04.2013Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
Б.В. Олийнык
Группы изометрий расширенного пространства Хемминга
и бесконечномерного гиперкуба
Введена в рассмотрение конструкция расширенного пространства Хемминга — прост-
ранства бесконечных последовательностей над некоторым конечным алфавитом, расстоя-
ние между двумя последовательностями в котором определяется как количество различ-
ных координат (в случае, когда оно конечно) и равно ∞, если таких координат бесконеч-
ное количество. Введенному пространству взаимно однозначно соответствует несвязный
граф — бесконечномерный гиперкуб. Приведено полное описание группы изометрий расширен-
ного пространства Хемминга в терминах сплетений, а следовательно, и группы автомор-
физмов бесконечномерного гиперкуба.
B.V. Oliynyk
Isometry groups of an extended Hamming space and an
infinite-dimensional hypercube
The construction of an extended Hamming space defined on the infinite sequences over some finite
alphabet is considered. The distance between such sequences is the number of different coordinates in
the case where this number is finite or ∞ otherwise. This space corresponds to a disconnected graph
called the infinite-dimensional hypercube. The isometry group of the extended Hamming space is
completely described. As a corollary, the automorphism group of the infinite-dimensional hypercube
is calculated.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 29
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86704 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:29:24Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Олійник, Б.В. 2015-09-27T13:57:01Z 2015-09-27T13:57:01Z 2013 Групи ізометрій розширеного простору Хеммінга та нескінченновимірного гіперкуба / Б.В. Олійник // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 25–29. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86704 519.1 Розглянуто конструкцiю розширеного простору Хеммiнга — простору нескiнченних послiдовностей над деяким скiнченним алфавiтом, вiдстань мiж двома послiдовностями
 в якому обчислюється як число їх попарно рiзних координат (у випадку, коли воно скiнченне) i дорiвнює ∞, якщо таких координат нескiнченна кiлькiсть. Введеному простору
 взаємно однозначно вiдповiдає незв’язний граф — нескiнченновимiрний гiперкуб. Охарактеризовано групу iзометрiй розширеного простору Хеммiнга в термiнах вiнцевих добуткiв, а отже, й групу автоморфiзмiв нескiнченновимiрного гiперкуба. Введена в рассмотрение конструкция расширенного пространства Хемминга — пространства бесконечных последовательностей над некоторым конечным алфавитом, расстояние между двумя последовательностями в котором определяется как количество различных координат (в случае, когда оно конечно) и равно ∞, если таких координат бесконечное количество. Введенному пространству взаимно однозначно соответствует несвязный
 граф — бесконечномерный гиперкуб. Приведено полное описание группы изометрий расширенного пространства Хемминга в терминах сплетений, а следовательно, и группы автоморфизмов бесконечномерного гиперкуба. The construction of an extended Hamming space defined on the infinite sequences over some finite
 alphabet is considered. The distance between such sequences is the number of different coordinates in
 the case where this number is finite or ∞ otherwise. This space corresponds to a disconnected graph
 called the infinite-dimensional hypercube. The isometry group of the extended Hamming space is
 completely described. As a corollary, the automorphism group of the infinite-dimensional hypercube
 is calculated. Роботу частково пiдтримано Державним агентством з питань науки, iнновацiй та iнформатизацiї України (№ ДР 0112U005849). uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Групи ізометрій розширеного простору Хеммінга та нескінченновимірного гіперкуба Группы изометрий расширенного пространства Хемминга и бесконечномерного гиперкуба Isometry groups of an extended Hamming space and an infinite-dimensional hypercube Article published earlier |
| spellingShingle | Групи ізометрій розширеного простору Хеммінга та нескінченновимірного гіперкуба Олійник, Б.В. Математика |
| title | Групи ізометрій розширеного простору Хеммінга та нескінченновимірного гіперкуба |
| title_alt | Группы изометрий расширенного пространства Хемминга и бесконечномерного гиперкуба Isometry groups of an extended Hamming space and an infinite-dimensional hypercube |
| title_full | Групи ізометрій розширеного простору Хеммінга та нескінченновимірного гіперкуба |
| title_fullStr | Групи ізометрій розширеного простору Хеммінга та нескінченновимірного гіперкуба |
| title_full_unstemmed | Групи ізометрій розширеного простору Хеммінга та нескінченновимірного гіперкуба |
| title_short | Групи ізометрій розширеного простору Хеммінга та нескінченновимірного гіперкуба |
| title_sort | групи ізометрій розширеного простору хеммінга та нескінченновимірного гіперкуба |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86704 |
| work_keys_str_mv | AT olíinikbv grupiízometríirozširenogoprostoruhemmíngataneskínčennovimírnogogíperkuba AT olíinikbv gruppyizometriirasširennogoprostranstvahemmingaibeskonečnomernogogiperkuba AT olíinikbv isometrygroupsofanextendedhammingspaceandaninfinitedimensionalhypercube |