Функціональна ідентифікація градієнтними методами та інтегральними перетвореннями параметрів задач дифузії в неоднорідних наномультикомпозитах
Розглянуто питання iдентифiкацiї градiєнтними методами параметрiв дифузiйної моделi дифузiї Fe/Dy в багатошарових наноплiвках та застосування iнтегральних перетворень Фур’є, Лапласа для отримання розв’язкiв прямих i спряжених задач. Проведено числовi експерименти....
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Series: | Доповіді НАН України |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86708 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Функціональна ідентифікація градієнтними методами та інтегральними перетвореннями параметрів задач дифузії в неоднорідних наномультикомпозитах / В.С. Дейнека, М.Р. Петрик // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 45-51. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86708 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-867082025-02-23T18:17:13Z Функціональна ідентифікація градієнтними методами та інтегральними перетвореннями параметрів задач дифузії в неоднорідних наномультикомпозитах Функциональная идентификация градиентными методами и интегральными преобразованиями параметров задач диффузии в неоднородных наномультикомпозитах Functional identification of parameters of the problems of diffusion in inhomogeneous nanomulticomposites by gradient methods and integral transformations Дейнека, В.С. Петрик, М.Р. Інформатика та кібернетика Розглянуто питання iдентифiкацiї градiєнтними методами параметрiв дифузiйної моделi дифузiї Fe/Dy в багатошарових наноплiвках та застосування iнтегральних перетворень Фур’є, Лапласа для отримання розв’язкiв прямих i спряжених задач. Проведено числовi експерименти. Рассмотрен вопрос идентификации градиентными методами параметров диффузионной модели диффузии Fe/Dy в многослойных нанопленках и применения интегральных преобразований Фурье, Лапласа для получения решений прямых и сопряженных задач. Проведены численные эксперименты. The questions of the identification of parameters of the diffusion models of diffusion of Fe/Dy with gradient methods in multilayer nanofilms and the application of the integral Fourier and Laplace transformations to the solution of direct and adjoint problems are considered. Numerical experiments are conducted. 2013 Article Функціональна ідентифікація градієнтними методами та інтегральними перетвореннями параметрів задач дифузії в неоднорідних наномультикомпозитах / В.С. Дейнека, М.Р. Петрик // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 45-51. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86708 519.6:517.9 uk Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Дейнека, В.С. Петрик, М.Р. Функціональна ідентифікація градієнтними методами та інтегральними перетвореннями параметрів задач дифузії в неоднорідних наномультикомпозитах Доповіді НАН України |
| description |
Розглянуто питання iдентифiкацiї градiєнтними методами параметрiв дифузiйної моделi дифузiї Fe/Dy в багатошарових наноплiвках та застосування iнтегральних перетворень Фур’є, Лапласа для отримання розв’язкiв прямих i спряжених задач. Проведено числовi експерименти. |
| format |
Article |
| author |
Дейнека, В.С. Петрик, М.Р. |
| author_facet |
Дейнека, В.С. Петрик, М.Р. |
| author_sort |
Дейнека, В.С. |
| title |
Функціональна ідентифікація градієнтними методами та інтегральними перетвореннями параметрів задач дифузії в неоднорідних наномультикомпозитах |
| title_short |
Функціональна ідентифікація градієнтними методами та інтегральними перетвореннями параметрів задач дифузії в неоднорідних наномультикомпозитах |
| title_full |
Функціональна ідентифікація градієнтними методами та інтегральними перетвореннями параметрів задач дифузії в неоднорідних наномультикомпозитах |
| title_fullStr |
Функціональна ідентифікація градієнтними методами та інтегральними перетвореннями параметрів задач дифузії в неоднорідних наномультикомпозитах |
| title_full_unstemmed |
Функціональна ідентифікація градієнтними методами та інтегральними перетвореннями параметрів задач дифузії в неоднорідних наномультикомпозитах |
| title_sort |
функціональна ідентифікація градієнтними методами та інтегральними перетвореннями параметрів задач дифузії в неоднорідних наномультикомпозитах |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86708 |
| citation_txt |
Функціональна ідентифікація градієнтними методами та інтегральними перетвореннями параметрів задач дифузії в неоднорідних наномультикомпозитах / В.С. Дейнека, М.Р. Петрик // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 45-51. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT dejnekavs funkcíonalʹnaídentifíkacíâgradíêntnimimetodamitaíntegralʹnimiperetvorennâmiparametrívzadačdifuzíívneodnorídnihnanomulʹtikompozitah AT petrikmr funkcíonalʹnaídentifíkacíâgradíêntnimimetodamitaíntegralʹnimiperetvorennâmiparametrívzadačdifuzíívneodnorídnihnanomulʹtikompozitah AT dejnekavs funkcionalʹnaâidentifikaciâgradientnymimetodamiiintegralʹnymipreobrazovaniâmiparametrovzadačdiffuziivneodnorodnyhnanomulʹtikompozitah AT petrikmr funkcionalʹnaâidentifikaciâgradientnymimetodamiiintegralʹnymipreobrazovaniâmiparametrovzadačdiffuziivneodnorodnyhnanomulʹtikompozitah AT dejnekavs functionalidentificationofparametersoftheproblemsofdiffusionininhomogeneousnanomulticompositesbygradientmethodsandintegraltransformations AT petrikmr functionalidentificationofparametersoftheproblemsofdiffusionininhomogeneousnanomulticompositesbygradientmethodsandintegraltransformations |
| first_indexed |
2025-11-24T08:32:59Z |
| last_indexed |
2025-11-24T08:32:59Z |
| _version_ |
1849659941095211008 |
| fulltext |
УДК 519.6:517.9
Академiк НАН України В.С. Дейнека, М. Р. Петрик
Функцiональна iдентифiкацiя градiєнтними методами
та iнтегральними перетвореннями параметрiв задач
дифузiї в неоднорiдних наномультикомпозитах
Розглянуто питання iдентифiкацiї градiєнтними методами параметрiв дифузiйної мо-
делi дифузiї Fe/Dy в багатошарових наноплiвках та застосування iнтегральних пере-
творень Фур’є, Лапласа для отримання розв’язкiв прямих i спряжених задач. Проведе-
но числовi експерименти.
Дослiдження дифузiйної кiнетики в багатошарових нанокомпозитах i тонких наноплiвках
вiдкриває перспективи створення на базi матерiалiв з вiдомими властивостями матерiалiв
та середовищ з новими властивостями (з новими явищами провiдностi, дифузiйно-адсорб-
цiйними ефектами тощо), виникнення яких пов’язано зi структурними змiнами середовищ
при агрегуваннi наношарiв з рiзними властивостями [1, 2]. В цiй роботi на прикладi за-
дач дифузiї в згущених (Fe/Dy) магнiтних багатошарових наноплiвках, утворених агре-
гацiєю наношарiв з високопровiдними i низькопровiдними матерiалами (феромагнетики
i рiдкiсноземельнi елементи — диспрозiум, тербiй), на основi теорiї оптимального керу-
вання станами багатокомпонентних систем (ОКСБС) [3], iнтегральних перетворень Фур’є
та Лапласа [4] розроблена методика функцiональної iдентифiкацiї параметрiв дифузiї для
неоднорiдних наномультикомпозитiв. Отримано аналiтичнi вирази градiєнтiв функцiона-
лiв-нев’язок, зроблено вiдновлення коефiцiєнтiв дифузiї за даними спостережень на рiзних
поверхнях та виконано моделювання процесу дифузiї.
Математична модель двостороннiх градiєнтних взаємодiй в елементах муль-
тикомпозита. Враховуючи [1, 2], для мультикомпозита з n подвiйних наношарiв двох се-
редовищ з рiзними властивостями, для яких дифузiя атомiв компонентiв 1 (Fe) i 2 (Dy)
мiж сумiжними наношарами викликана наявнiстю змiнних в часi градiєнтiв концентрацiй
на межах їх контакту.
На областях ΩkT = (0, T ) × Ωk(Ωk = (lk−1, lk), k = 1, n + 1, l0 = 0 < l1 < · · · < ln+1 =
= l < ∞) концентрацiї U1k(t, z), U2k(t, z) з урахуванням [2] задовольняють систему рiвнянь
у частинних похiдних
∂
∂t
U1k(t, z) = D11k
∂2
∂z2
U1k −D12k
∂2
∂z2
U2k ,
∂
∂t
U2k(t, z) = −D21k
∂2
∂z2
U1k +D22k
∂2
∂z2
U2k .
(1)
Початковi умови такi:
U1k(t, z)
∣
∣
t=0
≡ U01k =
{
0, z ∈ θ1k ,
1, z ∈ θ2k ,
U2k(t, z)
∣
∣
t=o
≡ U02k =
{
1, z ∈ θ1k ,
0, z ∈ θ2k ,
θ1k = {z ∈ (lk−1, lk), k = 2i+ 1; i = 0, [n/2]},
θ2k = {z ∈ (lk, lk+1), k = 2i+ 2; i = 0, [n/2] − 2}.
(2)
© В. С. Дейнека, М. Р. Петрик, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 45
Крайовi та спряженi умови мiж тонкими шарами за z мають вигляд
D1
∂
∂z
[
U11(t, z)
U21(t, z)
]
z=0
= 0, Dn+1
∂
∂z
[
U1n+1
(t, z)
U2n+1
(t, z)
]
z=l
= 0, t ∈ (0, T ),
[Usk(t, z) − Usk+1
(t, z)]
∣
∣
z=lk
= 0, s = 1, 2,
(3)
DS1
∂
∂z
U1s1
(t, z)
∂
∂z
U2s1
(t, z)
−DS2
∂
∂z
U1s2
(t, z)
∂
∂z
U2s2
(t, z)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
z=lk
= 0,
Dk =
[
D11k −D12k
−D21k D22k
]
, k = 1, n,
(4)
де
{
s1 = k, s2 = k + 1; k = 2i+ 1; i = 0, [n/2],
s1 = k + 1, s2 = k; k = 2i+ 2; i = 0, [n/2] − 2.
З позицiї практичних застосувань важливими є випадки, коли D12k = 0 або D21k = 0,
що вiдповiдає кiнетицi взаємодiї двох елементiв з протилежними показниками параметрiв:
“активної” (високий) i “пасивної” компоненти (низький) i приводить до нових фiзичних
ефектiв [1]. Дифузiя в такiй системi взаємодiй “активний елемент” (Fe) — “пасивний еле-
мент” (Dy) визначатиметься обмеженою проникнiстю “пасивного” елемента в зону “актив-
ного” та значною проникнiстю “активного” елемента в зону “пасивного”.
Задачi iдентифiкацiї та чисельно-аналiтичний алгоритм їх розв’язання. Вва-
жаємо, що коефiцiєнти дифузiї Dsp, s, p = 1, 2, задачi (1)–(4) є невiдомими. Однак на про-
мiжках γk ⊂ Ωk, k = 1, n + 1, неоднорiдного середовища вiдомi слiди розв’язку (концен-
трацiй)
Usk(t, z)
∣
∣
γk
= fsk(t, z)
∣
∣
γk
. (5)
Використовуючи данi експериментальних спостережень для шаруватих наноплiвок (Fe/Dy),
проведених у лабораторiї фiзики матерiалiв Унiверситету м. Руан (Францiя) [1], задачу
(1)–(5) можемо розв’язати шляхом її декомпозицiї.
Задача (1)–(5) трансформується в систему задач iдентифiкацiї для послiдовних досить
тонких γkl = [zkl−1
, zkl ] сегментiв вiдрiзку Ωk, l = 1, Nk, з крайовими умовами
Uskl−1
(t,z)
∣
∣
z=lk1−1
= U skl−1
; Usk1
(t, z)
∣
∣
z=lk1
= U skl−1
, s = 1, 2. (6)
Функцiонал-нев’язка на γkl = Ωkl запишеться у виглядi
Jkl(Dspkl
) =
1
2
T
∫
0
lkl
∫
lkl−1
((U1kl
(t, z,Dspkl
)− f1kl )
2 + (U2kl
(t, z,Dspkl
)− f2kl )
2) dzdt. (7)
Тим самим отримали серiю задач, що полягають в iдентифiкацiї коефiцiєнтiв дифузiї на
кожному елементарному промiжку Ωkl , l = 1, Nk, на якому стан системи описується систе-
мою рiвнянь у частинних похiдних (1), початковими умовами (2) та крайовими умовами (6).
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12
Кожну з цих задач з функцiоналом-нев’язкою (7), слiдуючи [5, 6], будемо розв’язувати за
допомогою градiєнтних методiв О.М. Алiфанова:
un+1 = un − βnpn, n = 0, 1, . . . , n∗, (8)
починаючи з деякого початкового наближення u0 ∈ U , де напрям спуску pn та коефiцiєнт βn
визначимо за допомогою виразiв для методу мiнiмальних похибок
pn = J ′
un
, βn =
‖en‖
2
‖J ′
un
‖2
.
Враховуючи [6], для кожного елементарного вiдрiзка Ωkl на кожному кроцi iтерацiйного
процесу (8) спряжену задачу визначимо так:
∂
∂t
φ1k(t, z) +D11k
∂2
∂z2
φ1k(t, z)−D21k
∂2
∂z2
φ2k(t, z) = −(Un
1k
− f1k), (t, z) ∈ ΩllT ,
∂
∂t
φ2k(t, z)−D12k
∂2
∂z2
φ1k(t, z) +D22k
∂2
∂z2
φ2k(t, z) = −(Un
2k
− f2k), (t, z) ∈ ΩllT ,
φk(t, z)
∣
∣
t=T
= 0, z ∈ Ωki,
φsk(t, z)
∣
∣
z∈∂Ωki
= 0, s = 1, 2,
(9)
де ∂Ωkl — границя областi Ωkl , тобто це кiнцi елементарного вiдрiзка Ωki.
Аналiтичнi вирази для компонентiв градiєнтiв функцiонала-нев’язки (7) у при-
пущеннi залежностi лише вiд часу на Ωkl коефiцiєнтiв дифузiї мають вигляд:
∇JD11kl
(t) =
lkl
∫
lkl−1
φ
1kl
(t, z)
∂2
∂z2
U1kl
(t, z) dz,
∇JD12kl
(t) = −
lkl
∫
lkl−1
φ
1kl
(t, z)
∂2
∂z2
U2kl
(t, z) dz,
∇JD22kl
(t) =
lkl
∫
lkl−1
φ2kl(t, z)
∂2
∂z2
U2kl
(t, z) dz,
∇JD21kl
(t) = −
lkl
∫
lkl−1
φ1kl(t, z)
∂2
∂z2
U2kl
(t, z) dz, l = 1, Nk + 1.
(10)
Регуляризацiйний вираз для (n+1)-го кроку визначення функцiональної залежнос-
тi компоненти коефiцiєнта дифузiї Dn+1
spkl
вiд часу, для методу мiнiмальних похибок, для
кожного γkl мають вигляд:
Dn+1
spkl
(t) = Dn
spkl
(t)−∇Jn
Dspkl
(t)
‖Uskl
(t, γkl ,Dspkl
)− fskl‖
2
‖∇Jn
Dspkl
(t)‖2
, t ∈ (0, T ),
s, p = 1, 2; kl = 1, Nl.
(11)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 47
Реалiзацiя регуляризацiйної процедури (8) полягає в послiдовному iтерацiйному вiднов-
леннi компонентiв коефiцiєнтiв дифузiї Dn+1
11kl
(t), Dn+1
12kl
(t), Dn+1
22kl
(t) для кожної з поверхонь
спостереження γkl , kl = 1, Nk.
Аналiтичнi розв’язки прямої i спряженої задач iдентифiкацiї. В [6] встановленi
умови розв’язностi задач (1)–(5) i побудованi методом функцiй впливу Кошi з викорис-
танням iнтегрального перетворення Фур’є та iнтегрального перетворення Лапласа загальнi
аналiтичнi їх розв’язки. Єдиний розв’язок прямої задачi (1), (2), (5), (6) має вигляд:
Usk(t, z) =
t
∫
0
(Hs
11k
(t− τ, z, lk−1)U1lk−1
−Hs
12k
(t− τz, lk)U1lk
−
−Hs
21k
(t− τ, z, lk−1)U2lk−1
+Hs
22k
(t− τ, z, lk)U2lk
) dτ +
+
t
∫
0
lk
∫
lk−1
(K2ik(t− τ, z, ξ)U01k +K1ik(t− τ, z, ξ)U02k ) dξdτ. (12)
Тут
Hs
i1(t, z, lk−1) =
2
∆l
∞
∑
m=0
βmHiskm(t) sin βm(z − lk−1),
Hs
i2(t, z, lk) =
2
∆l
∞
∑
m=0
βm(−1)mHiskm(t) sin βm(z − lk−1), s, i = 1, 2,
Kij(t, z, ξ) =
2
∆l
∞
∑
m=0
Kijkm(t) sin βm(z − lk−1) sin βm(ξ − lk−1),
Kiikn(t) = L−1
[
p+Dsskβ
2
m
(p− p1)(p − p2)
]
=
1
(p1 − p2)
[(p1 +Dsskβ
2
m)ep1t − (p2 +Dsskβ
2
m)ep2t],
s =
{
1, i = 2
2, i = 1
, i = 1, 2,
K12km(t) =
D12kβ
2
m
p1 − p2
[ep1t − ep2t]; K21km(t) =
D21kβ
2
m
p1 − p2
[ep1t − ep2t];
Hiskm(t)D1ikKs1km(t)−D2ikKs2km(t), i = 1, 2,
де L−1 — iнтегральний оператор оберненого перетворення Лапласа, βm = mπ, m = 0,∞;
p1,2 = −
D11k +D22k
2
±
1
2
√
(D11k +D22k)
2 − 4(D11kD22k −D12kD21k)β
4
m — коренi рiвняння
p2 + (D11k + D22k)β
2
np + (D11kD22k − D12kD21k )β
4
m = 0; p — комплекснозначний параметр
iнтегрального перетворення Лапласа.
Аналогiчним чином отримано аналiтичнi розв’язки кожної зi спряжених часово-крайо-
вих задач iдентифiкацiї.
Результати моделювання та iдентифiкацiї для двох компонентiв (Fe i Dy) з вико-
ристанням запропонованої методики iдентифiкацiї поданi на рис. 1, 2 iз загальною тривалi-
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12
Рис. 1. Вiдновлення функцiональної залежностi компонентiв D11m , D12m коефiцiєнта дифузiї вiд часу на
кожнiй iтерацiї [z = 7 нм]:
1 — початкове наближення; 2 — 100-та; 3 — 500-та; 4 — 1000-та; 5 — 2500-та; 6 — 3500-та; 7 — 4500-та
стю спостереження 48 год та товщиною наномультикомпозиту 20 нм. Розглядалося чотири
наношари по 5 нм кожен. Як данi експериментальних спостережень використовувалися
результати для багатокомпонентних (Fe/Dy) наноплiвок, отриманi в лабораторiї фiзики
матерiалiв Унiверситету м. Руан (Францiя) [1].
Розглянуте нанокомпозитне середовище за товщиною було розбите на 200 дифундуючих
наношрiв товщиною 0,1 нм. Це дозволило реалiзувати пошарову iдентифiкацiю компонентiв
коефiцiєнтiв дифузiї, використовуючи результати спостережень покрокового атомно-томо-
графiчного аналiзу зразка для усiх розглянутих поверхонь спостережень.
На першому циклi регуляризацiї здiйснюється аналiз значень функцiонала-нев’язки для
завершальної групи iтерацiй при рiзних комбiнацiях початкових наближень вiдтворюваної
групи коефiцiєнтiв дифузiї (в нашому випадку, зокрема, розглядалася група з компонентiв
D11, D12). Для кожної iз вiдтворюваних компонентiв задаються початковi можливi дiапа-
зони змiни їх значень, зокрема для D0
11 взято дiапазон 1,00e−08 ÷ 1,00e−06, для D0
12 —
дiапазон 1,00e−10 ÷ 1,00e−08. Кожен з цих дiапазонiв розбивається на m1 (для D11) i m2
(для D12) промiжних наближень. Отримали мiнiмальне значення J(D11,D12)min = 0,00074,
що вiдповiдає вiдновлюваним значенням D11 = 1,00e−07 та D12 = 1,00e−09.
На другому циклi регуляризацiї здiйснюється аналогiчний аналiз значень функцiона-
ла-нев’язки J(D11,D12), де для D11 взято дiапазон 0,80e−07 ÷ 2,00e−07, а для D12 — дiа-
пазон 0,700e−09 ÷ 3,00e−09. Кожен з цих дiапазонiв знову розбивається на ряд промiж-
них початкових наближень, як для першого циклу. Новi обчисленi значення нев’язок при
рiзних значеннях початкових наближень вiдновлюваних параметрiв (D11,D12) аналогiчно
заносяться в таблицю. Парою наближень, що вiдповiдає мiнiмальному значенню функцiо-
нала-нев’язки J(D11,D12)min = 0, 00005, для даного циклу регуляризацiї (цикл 2) вiдповiдає
вiдновлюваним значенням коефiцiєнтiв дифузiї D0
11 = 1,50e−07 та D0
12 = 1,00e−09.
На третьому циклi регуляризацiї аналiзуються значення функцiонала-нев’язки J(D11,
D12) для дiапазонiв початкових наближень вiдтворюваних параметрiв, взято в околах їх
оптимальних значень, отриманих на другому циклi регуляризацiї, тобто D0
11 = 1,50e−07,
D0
12 = 1,00e−09. Для D11 взято дiапазон 1,30e−07÷1,70e−07, для D12 — 0,80e−09÷1,20e−
− 09, де кожен з них знову аналогiчно попереднiм циклам ще дрiбнiше розбивається на
ряд промiжних початкових наближень. Новi обчисленi значення нев’язок при рiзних зна-
ченнях початкових наближень вiдновлюваних параметрiв (D11, D12) занесенi в таблицю.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 49
Рис. 2. Концентрацiйнi Fe профiлi вздовж координати товщини, побудованi за коефiцiєнтами дифузiї D11m
та D22m , вiдтвореними за процедурою функцiональної iдентифiкацiї (крива 1 ), за константними початко-
вими значеннями (крива 2 ) та експериментальним слiдом (крива 3 )
Як видно з табл. 1, мiнiмальне значення функцiонала-нев’язки для даного циклу регуля-
ризацiї (цикл 3) становить те ж саме, що отримане на попередньому циклi регуляризацiї
J(D11,D12)min = 0,00005. Цьому мiнiмальному значенню функцiонала вiдповiдає та сама
пара наближень, що i на попередньому циклi: D11 = 1,50e−07 та D12 = 1,00e−09.
На рис. 1, а для координати z = 7 нм показано процес еволюцiї функцiональної за-
лежностi в часi коефiцiєнта дифузiї Dn
11k1
, вiдновлений згiдно з регуляризацiйною проце-
дурою iдентифiкацiї за формулою (11). Тут поданi групи iтерацiй, що найiстотнiше впли-
вають на процес збiжностi модельного розв’язку U1kl
до його експериментального слiду
f1kl (t, γkl). Початкове наближення вiдтворюваної компоненти коефiцiєнта дифузiї взято
D0
11m(t) = 1,0 · 10−8 м2/с. Виконано понад 2500 iтерацiй, розбитих на групи.
Дiаграми на рис. 1, б демонструють аналогiчнi результати iдентифiкацiї, отриманi що-
до еволюцiї функцiональної залежностi в часi компонента коефiцiєнта дифузiї Dn
12k1
(що
визначає дифузiю першої компоненти в присутностi другої, z = 7 нм).
Рис. 2 iлюструє порiвняльний аналiз побудованих концентрацiйних профiлiв (компонен-
та Fe) вздовж координати товщини для окремого фрагмента мультикомпозиту в дiапазонi
0 < z < 4,3 нм, а саме, профiлю концентрацiй, побудованого з урахуванням вiдтворених
коефiцiєнтiв дифузiї D11m та D22m за процедурою функцiональної iдентифiкацiї (крива 1 ),
профiлю, побудованого за константними початковими значеннями вiдповiдних коефiцiєнтiв
Таблиця 1. Залежностi значень функцiонала-нев’язки вiд початкових значень D11, D12 (цикл 3 )
Дiапазони значень початкових наближень
для коефiцiєнта
дифузiї D11
для коефiцiєнта дифузiї D12
0,80e−09 0,90e−09 1,00e−09 1,10e−09 1,20e−09
1,30e−07 0,00208 0,00097 0,00014 0,00126 0,00237
1,40e−07 0,00214 0,00103 0,00008 0,00118 0,00229
1,50e−07 0,00220 0,00111 0,00005 0,00105 0,00214
1,60e−07 0,00224 0,00119 0,00011 0,00098 0,00205
1,70e−07 0,00228 0,00123 0,00016 0,00092 0,00200
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12
дифузiї (крива 2 ), що, як правило, використовуються в традицiйних наближених розрахун-
ках та експериментальним слiдом на цiй дiлянцi (крива 3 ).
Як видно з рис. 2, концентрацiйна крива, отримана за допомогою iдентифiкованих фун-
кцiональних залежностей коефiцiєнтiв дифузiї, iстотно вiдрiзняється (бiльше 20%) вiд про-
фiлю, побудованого за усередненими константними значеннями вiдповiдних коефiцiєнтiв
дифузiї, взятими в початковий момент часу, та значно краще наближує експериментальний
профiль (крива 3 ) вздовж всього дослiджуваного дiапазону.
1. Tamion A., Ott F., Berche P.-E. et al. Magnetization depth profile of (Fe/Dy) multilayers // J. of Magne-
tism and Magnetic Mat. – 2008. – 320, Iss. 21. – P. 2650–2659.
2. Kärger J., Grinberg F., Heitjans P. Diffusion fundamentals. – Leipzig: Leipzig Univ., 2005. – 615 p.
3. Sergienko I. V., Deineka V. S. Optimal control of distributed systems with conjugation conditions. – New
York: Kluwer. – 2005. – 400 p.
4. Ленюк М.П., Петрик М.Р. Iнтегральнi перетворення Фур’є, Бесселя iз спектральним параметром
в задачах математичного моделювання масопереносу в неоднорiдних i нанопористих середовищах. –
Київ: Наук. думка, 2000. – 372 с.
5. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Системный анализ многокомпонентных распределенных систем. –
Киев: Наук. думка, 2009. – 640 с.
6. Дейнека В. С., Петрик М.Р. Параметрична iдентифiкацiя кiнетичних параметрiв дифузiї в багато-
шарових неоднорiдних Fe/Dy-наномультикомпозитах // Математичне та комп’ютерне моделювання.
Сер. Фiз.-мат. науки: Зб. наук. праць, 2011. – Вип. 5. – С. 85–111.
Надiйшло до редакцiї 09.07.2013Iнститут кiбернетики iм. В.М. Глушкова
НАН України, Київ
Тернопiльский нацiональний технiчний
унiверситет iм. Iвана Пулюя
Академик НАН Украины В.С. Дейнека, М.Р. Петрик
Функциональная идентификация градиентными методами
и интегральными преобразованиями параметров задач диффузии
в неоднородных наномультикомпозитах
Рассмотрен вопрос идентификации градиентными методами параметров диффузионной мо-
дели диффузии Fe/Dy в многослойных нанопленках и применения интегральных преобразо-
ваний Фурье, Лапласа для получения решений прямых и сопряженных задач. Проведены
численные эксперименты.
Academician of the NAS of Ukraine V. S. Deineka, M. R. Petryk
Functional identification of parameters of the problems of diffusion in
inhomogeneous nanomulticomposites by gradient methods and integral
transformations
The questions of the identification of parameters of the diffusion models of diffusion of Fe/Dy with
gradient methods in multilayer nanofilms and the application of the integral Fourier and Laplace
transformations to the solution of direct and adjoint problems are considered. Numerical experi-
ments are conducted.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 51
|