Построение начальных точек и поиск локальных экстремумов задачи компоновки 3D объектов в цилиндрической области

Построена математическая модель задачи поиска приближения к оптимальному размещению трехмерных объектов в цилиндрическую область минимальной высоты с зонами запрета и с учетом ограничений на минимально допустимые расстояния между объектами. На основании свойств математической модели предложен эффек...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2013
Main Authors:	Стоян, Ю.Г., Семкин, В.В., Чугай, А.М.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2013
Series:	Доповіді НАН України
Subjects:	Інформатика та кібернетика
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86709
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Построение начальных точек и поиск локальных экстремумов задачи компоновки 3D объектов в цилиндрической области / Ю.Г. Стоян, В.В. Семкин, А.М. Чугай // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 52–58. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86709
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-867092025-02-09T13:08:08Z Построение начальных точек и поиск локальных экстремумов задачи компоновки 3D объектов в цилиндрической области Побудова початкових точок i пошук локальних екстремумiв задачi компоновки 3D об’єктiв у цилiндричнiй областi Constructing the starting points and searching for the local extrema of the layout problem of 3D objects in a cylindrical domain Стоян, Ю.Г. Семкин, В.В. Чугай, А.М. Інформатика та кібернетика Построена математическая модель задачи поиска приближения к оптимальному размещению трехмерных объектов в цилиндрическую область минимальной высоты с зонами запрета и с учетом ограничений на минимально допустимые расстояния между объектами. На основании свойств математической модели предложен эффективный подход построения начальных точек и поиска локальных экстремумов. Приведен пример. Побудовано математичну модель задачi пошуку наближення до оптимального розмiщення тривимiрних об’єктiв у цилiндричнiй областi мiнiмальної висоти iз зонами заборони та iз урахуванням обмежень на мiнiмально припустимi вiдстанi мiж ними. На пiдставi властивостей математичної моделi запропоновано ефективний пiдхiд побудови стартових точок i пошуку локальних екстремумiв. Наведено приклад. We construct a mathematical model of the problem of finding an approximation to the optimal placement of 3D objects in a cylindrical domain of the minimal height with prohibition zones with regard for minimum admissible distances between them. In order to construct the starting points and to find the local extrema of the problem, an effective approach based on properties of the mathematical model is proposed. An example is given. 2013 Article Построение начальных точек и поиск локальных экстремумов задачи компоновки 3D объектов в цилиндрической области / Ю.Г. Стоян, В.В. Семкин, А.М. Чугай // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 52–58. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86709 519.85 ru Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика
spellingShingle	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Стоян, Ю.Г. Семкин, В.В. Чугай, А.М. Построение начальных точек и поиск локальных экстремумов задачи компоновки 3D объектов в цилиндрической области Доповіді НАН України
description	Построена математическая модель задачи поиска приближения к оптимальному размещению трехмерных объектов в цилиндрическую область минимальной высоты с зонами запрета и с учетом ограничений на минимально допустимые расстояния между объектами. На основании свойств математической модели предложен эффективный подход построения начальных точек и поиска локальных экстремумов. Приведен пример.
format	Article
author	Стоян, Ю.Г. Семкин, В.В. Чугай, А.М.
author_facet	Стоян, Ю.Г. Семкин, В.В. Чугай, А.М.
author_sort	Стоян, Ю.Г.
title	Построение начальных точек и поиск локальных экстремумов задачи компоновки 3D объектов в цилиндрической области
title_short	Построение начальных точек и поиск локальных экстремумов задачи компоновки 3D объектов в цилиндрической области
title_full	Построение начальных точек и поиск локальных экстремумов задачи компоновки 3D объектов в цилиндрической области
title_fullStr	Построение начальных точек и поиск локальных экстремумов задачи компоновки 3D объектов в цилиндрической области
title_full_unstemmed	Построение начальных точек и поиск локальных экстремумов задачи компоновки 3D объектов в цилиндрической области
title_sort	построение начальных точек и поиск локальных экстремумов задачи компоновки 3d объектов в цилиндрической области
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Інформатика та кібернетика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86709
citation_txt	Построение начальных точек и поиск локальных экстремумов задачи компоновки 3D объектов в цилиндрической области / Ю.Г. Стоян, В.В. Семкин, А.М. Чугай // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 52–58. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT stoânûg postroenienačalʹnyhtočekipoisklokalʹnyhékstremumovzadačikomponovki3dobʺektovvcilindričeskojoblasti AT semkinvv postroenienačalʹnyhtočekipoisklokalʹnyhékstremumovzadačikomponovki3dobʺektovvcilindričeskojoblasti AT čugajam postroenienačalʹnyhtočekipoisklokalʹnyhékstremumovzadačikomponovki3dobʺektovvcilindričeskojoblasti AT stoânûg pobudovapočatkovihtočokipošuklokalʹnihekstremumivzadačikomponovki3dobêktivucilindričnijoblasti AT semkinvv pobudovapočatkovihtočokipošuklokalʹnihekstremumivzadačikomponovki3dobêktivucilindričnijoblasti AT čugajam pobudovapočatkovihtočokipošuklokalʹnihekstremumivzadačikomponovki3dobêktivucilindričnijoblasti AT stoânûg constructingthestartingpointsandsearchingforthelocalextremaofthelayoutproblemof3dobjectsinacylindricaldomain AT semkinvv constructingthestartingpointsandsearchingforthelocalextremaofthelayoutproblemof3dobjectsinacylindricaldomain AT čugajam constructingthestartingpointsandsearchingforthelocalextremaofthelayoutproblemof3dobjectsinacylindricaldomain
first_indexed	2025-11-26T02:04:44Z
last_indexed	2025-11-26T02:04:44Z
_version_	1849816711113474048
fulltext	УДК 519.85 Член-корреспондент НАН Украины Ю.Г. Стоян, В. В. Семкин, А.М. Чугай Построение начальных точек и поиск локальных экстремумов задачи компоновки 3D объектов в цилиндрической области Построена математическая модель задачи поиска приближения к оптимальному раз- мещению трехмерных объектов в цилиндрическую область минимальной высоты с зо- нами запрета и с учетом ограничений на минимально допустимые расстояния между объектами. На основании свойств математической модели предложен эффективный подход построения начальных точек и поиска локальных экстремумов. Приведен при- мер. Применение математического и компьютерного моделирования при решении задач ком- поновки позволяет значительно улучшить качество получаемых решений. В задачах ком- поновки инженерно-технические объекты с определенной степенью точности могут быть представлены в виде параллелепипедов, цилиндров, сфер, их сегментов, а также тел, со- ставленных из набора цилиндров, сфер и сегментов. Такое описание объектов целесообра- зно использовать при предварительной компоновке, например, при решении задачи поиска оптимального размещения объектов. Исходя из этого, в работе исследуется и решается сле- дующая оптимизационная задача геометрического проектирования [1]. Постановка задачи. Задано множество трехмерных геометрических объектов Oi, i ∈ ∈ I = 6⋃ k=1 Ik (рис. 1). Объект Oi в зависимости от значения индекса i является одним из следующих множеств: если i ∈ I1 = {1, 2, . . . , n1}, то Oi является шаром Si = {X = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 − (r0i ) 2 6 0}; если i ∈ I2 = {n1 + 1, n1 + 2, . . . , N2 = n1 + n2}, то Oi является цилиндром Ci = {X = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − (r0i ) 2 6 0,−h0i 6 z 6 h0i }; если i ∈ I3 = {N2 + 1, . . . , N3 = N2 + n3}, то Oi является параллелепипедом Pi = {X = (x, y, z) ∈ R3 : − a0i 6 x 6 a0i ,−b0i 6 y 6 b0i ,−c0i 6 z 6 c0i }; Рис. 1. Рассматриваемые геометрические объекты © Ю. Г. Стоян, В. В. Семкин, А.М. Чугай, 2013 52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12 Рис. 2. Многосвязная область размещения если i ∈ I4 = I14 ⋃ I24 = {N3+1, . . . , N4 = N3+n4}, то Oi является сферическим сегментом вида Gi = {X = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + (z + τi) 2 − (ρ0i ) 2 6 0,−z 6 0}; если i ∈ I5 = I15 ⋃ I25 = {N4+1, . . . , N5 = N4+n5}, то Oi является сферическим сегментом вида Ği = {X = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + (z − τi) 2 − (ρ0i ) 2 6 0, z 6 0}, где τq = ρq − wq, wq ∈ (0, 2ρq) — высота сегмента, q ∈ I4 ⋃ I5, а подмножества индексов I14 , I24 ⊂ I4, I 1 4 ⋂ I24 = ∅, I15 , I25 ⊂ I5, I 1 5 ⋂ I25 = ∅ такие, что выполнены неравенства ρ0α1 −w0 α1 > > 0, α1 ∈ I14 , wα2 − ρα2 > 0, α2 ∈ I24 , ρ0β1 − w0 β1 > 0, β1 ∈ I15 , wβ2 − ρβ2 > 0, β2 ∈ I25 ; если i ∈ I6 = {N5 +1, . . . , n = N5+n6}, то Oi — это сфероцилиндр SCi = Ci ⋃ Gi1 ⋃ Ği2, где Ci = {X = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − (r0i ) 2 6 0,−h0i 6 z 6 h0i }, Gi1 = {X = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + (z + τi1) 2 − (ρ0i1) 2 6 0,−z 6 0}, Ği2 = {X = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + (z − τi2) 2 − (ρ0i2) 2 6 0, z 6 0}, τij = ρ0ij − w0 ij, ρ 0 ij = ((r0i ) 2 + (w0 ij) 2)/(2w0 ij), j = 1, 2, w0 ij — высота сферических сегментов. Задана также многосвязная область размещения T ∈ R3 (рис. 2), которая может быть представлена в виде T = cl ( C \ ( σ⋃ j=1 P j )) , где clD — замыкание множества D, C = {X = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − r2 6 0, h1 6 6 z 6 h2, h1 > 0}; Pj — прямые прямоугольные призмы, являющиеся зонами запрета на размещение объектов. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 53 Контейнер T высотой h = h2 − h1 обозначим T (h). Начало собственной системы коор- динат P j находится в точке u̇j = (ẋj , ẏj , 0) ∈ R3, j ∈ Iσ = {1, . . . , σ}. Обозначим через γ̂i = (γ̂i1, . . . , γ̂iκi ) вектор метрических характеристик объекта Oi, i ∈ I. При этом, если i ∈ I1, то γ̂i = ri; если i ∈ I2, то γ̂i = (ri, hi); если i ∈ I3, то γ̂i = (ai, bi, ci); если i ∈ I4 или i ∈ I5, то γ̂i = (ρi, wi); если i ∈ I6, то γ̂i = (ri, hi, wi1, wi2). Сформируем общий вектор заданных метрических характеристик всех объектов: γ0 = (γ01 , γ 0 2 , . . . , γ 0 ω) ∈ Rω, ω = n1 + 2n2 + 3n3 + 2n4 + 2n5 + 4n6. Объекты Oi, i ∈ I, допускают лишь аффинные преобразования трансляции. Объект Oi, i ∈ I, транслированный на вектор ui = (xi, yi, zi) ∈ R3, обозначим Oi(ui). Вектор u = = (u1, . . . , un) ∈ R3n определяет положение всех объектов в R3. Ограничения на область допустимых решений в задачах компоновки можно сформу- лировать в виде условий непересечения объектов между собой и областью размещения, а также расположения объектов на минимально допустимых расстояниях для устранения механических, тепловых, электрических и других воздействий одного объекта на другой. Поэтому на размещение объектов Oi, i ∈ I, заданы также ограничения в виде следующих минимально допустимых расстояний: dij = min x∈Oi,y∈Oj ‖x− y‖, i, j ∈ I; dti = min x∈Oi,y∈P t ‖x− y‖, i ∈ I, t ∈ Iσ; di = min x∈Oi,y∈ ⌢ C ‖x− y‖, dUi = min x∈Oi,y∈C ‖x− y‖, dLi = min x∈Oi,y∈C ‖x− y‖, i ∈ I, где ⌢ C, C и C являются соответственно боковой, верхней и нижней гранями цилиндра C. Задача. Найти вектор u ∈ R3n такой, что объекты Oi, i ∈ I, содержатся в T с учетом заданных минимальных расстояний и h достигает минимума. Для построения адекватной математической модели воспользуемся аппаратом норма- лизованных Ф-функций [2]. В работах [3–7] построены нормализованные Ф-функции для рассматриваемых геометрических объектов. Тогда математическая модель поставленной задачи имеет вид h∗ = minh, (u, h) ∈ W ⊂ R3n+2, (1) где W = {(u, h) ∈ R3n+2 : Φ OiOj ij (ui, uj)− dij > 0,ΦOkPt k (uk)− dtk > 0,ΦOk k (uk)− dk > 0, LOk k (uk, h) − dLk > 0, UOk k (uk, h)− dUk > 0, i < j ∈ I, k ∈ I, t ∈ Iσ}. (2) Свойства математической модели, определяющие выбор метода решения задачи, сле- дующие: 1) задача (1), (2) является обратной выпуклой; 2) область допустимых решений W в общем случае несвязна, а каждая компонента связности многосвязная; 3) W = µν⋃ i=1 Wi, где ν = 3s14+s15 · 4s45 · 5s2+s4+s5+s12+s16 · 6s24+s25 · 7s6+s26+s46 · 26s3+s13+s23× ×34s34+s35 · 42s36 , µ = 26(n1+n2+n3)σ · 34(n4+n5)σ · 42n6σ, si = ni(ni − 1)/2, sij = ninj , i, j ∈ ∈ {1, . . . , 6}; 4) каждая из подобластей Wi описывается системой нелинейных неравенств и имеет “овражный” характер; 5) матрица, задающая систему ограничений, имеет высокую степень разреженности; 6) локальные минимумы могут быть нестрогими; 54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12 7) глобальный экстремум оптимизационной задачи размещения геометрических объек- тов теоретически может быть получен с помощью решения последовательности нелинейных многоэкстремальных задач на множестве подобластей, объединение которых формирует область допустимых решений задачи; 8) задача является NP-трудной [8]. Известные методы исследования операций пока не позволяют получить глобальный эк- стремум для практических задач компоновки. В данной работе рассмотрим один из возможных подходов к поиску начальных точек и локальных экстремумов. При решении оптимизационных задач размещения геометрических объектов для полу- чения начальных точек используются различные “жадные” алгоритмы [8]. Поскольку суть таких алгоритмов заключается в принятии локально оптимальных решений на каждом эта- пе, то они не гарантируют получения разнообразных начальных точек, а соответственно значительно сужают множество рассматриваемых локальных оптимумов. Кроме того, сле- дует отметить, что вычислительные затраты для построения начальных точек значительно возрастают в трехмерном случае. В связи с этим предлагается следующий подход для получения начальных точек. Поло- жим метрические характеристики рассматриваемых объектов переменными. Общий вектор переменных метрических характеристик обозначим через γ = (γ1, γ2, . . . , γω) ∈ Rω. Обозна- чим вектор переменных X = (u, γ) ∈ R3n+ω. Для получения начальной точки зададим значение h = h0. При этом h0 выбирается таким образом, что объекты гарантированно размещаются в T (h0). Сформируем точку X̂ = (û, 0), где вектор û генерируется случайным образом так, что ûi ∈ T (h0), i ∈ I. Взяв точку X̂ в качестве начальной, решим задачу F (γ̃) = maxF (γ), X ∈ Ω ⊂ R3n+ω, (3) где F (γ) = ∑ i∈Iω γi, Ω = { X = (u, γ) ∈ R3n+ω : Φ OiOj ij (ui, uj , γi, γj)− dij > 0,ΦOkP t k (uk, γk)− dtk > 0, ΦOk k (uk, γk)− dk > 0, LOk k (uk, γ̃k, h 0)− dLk > 0, UOk k (uk, γk, h 0)− dUk > 0, γ0q − γq > 0, ρα1 − wα1 > 0, wα2 − ρα2 > 0, ρβ1 − wβ1 > 0, wβ2 − ρβ2 > 0, rs − ws1 > 0, rs − ws2 > 0, i < j ∈ I, k ∈ I, q ∈ Iω = {1, . . . , ω}, s ∈ I6, α1 ∈ I14 , α2 ∈ I24 , β1 ∈ I15 , β2 ∈ I25 , t ∈ Iσ } . (4) Пусть в результате решения задачи (3), (4) получим точку локального максимума X̃ = = (ũ, γ̃). Если точка локального максимума X̃ такая, что F (γ̃) = Σ, где Σ = ∑ i∈Iω γ0i , то (ũ, h0) ∈ W , является точкой глобального максимума задачи (3), (4) и может быть взята в качестве начальной точки для поиска локального минимума задачи (1), (2) (см. рис. 3, a). Если F (γ̃) < Σ, то, по крайней мере, один размер γq не достиг своего заданного значения γ0q . В этом случае точка X̃ является точкой либо локального, либо глобального максимума задачи (3), (4). ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 55 Рис. 3. Начальная точка и локальный минимум для задачи размещения 55 объектов Рис. 4. Схема поиска локального минимума задачи (1), (2) Если F (γ̃) = Σ, то взяв начальную точку (ũ, h0) ∈ W , вычисляем локальный мини- мум задачи (1), (2). В результате получим точку локального минимума (u∗0, h∗0) ∈ W (см. рис. 3, б ). Поиск локального минимума задачи (1), (2) осуществляется следующим образом. Для начальной точки X̃1 = X̃ ∈ W выделяется одна из подобластей Wk1 ∈ W , которая со- держит X̃1. На выделенной подобласти решается задача (1), (2). Найденный в результате решения задачи локальный минимум X̃1∗ может быть локальным минимумом как всей за- дачи (рис. 4, а), так и локальным минимумом только для подобласти Wk1 (рис. 4, б ). Если существуют другие подобласти Wkj ∈ W , для которых X̃1∗ ∈ Wkj , j = 2, . . . , ϑ, и точка X̃1∗ не является локальным минимумом для этих подобластей, то вновь решается задача поиска локального минимума на одной из этих подобластей. Процесс повторяется до тех пор, пока не будет найден локальный минимум задачи (1), (2) (рис. 4, б ). Поиск локального минимума на подобластях может быть произведен различными ме- тодами нелинейной оптимизации. Например, в работе [9] предложена модификация метода 56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12 возможных направлений, основанная на концепции набора ε-активных ограничений. Сле- дует отметить, что поскольку метод использует только первые производные, то он обла- дает большими временными затратами. Кроме того, метод не позволяет получить решение, если матрица системы ограничений является плохо обусловленной. Для того чтобы пре- одолеть эти недостатки, для поиска решения задач (3), (4) и (1), (2) применялся метод внутренней точки, который в настоящее время является мощным инструментом, позволяю- щим решать практические задачи большой размерности. Ключевая идея метода состоит в исключении из задачи ограничений-неравенств с помощью введения в целевую функцию логарифмического или квадратичного штрафа за приближение к границам допустимой об- ласти. Большинство распространенных библиотек (BPMPD, HOPDM, IPOPT), в которых реализованы алгоритмы внутренних точек, демонстрируют свою эффективность как на задачах с заполненными матрицами, так и на задачах с блочной структурой и высокой степенью разреженности, а также на плохо обусловленных задачах. Поскольку библиотеки BPMPD и HOPDM не используют матрицу Гессе, то нами была использована библиотека IPOPT. Это позволило сократить время поиска локальных эк- стремумов по сравнению с применением метода возможных направлений. Так, например, время поиска начальной точки и соответствующего ей локального минимума для задачи компоновки 55 объектов (см. рис. 3) с использованием библиотеки IPOPT составило 34 с вместо 120 с при применении модификации метода возможных направлений (вычислитель- ный эксперимент проводился с использованием компьютера на базе процессора Intel Core I5). При этом с учетом большой размерности задачи и сложного вида функций, форми- рующих область допустимых решений, использовалось квазиньютоновское приближение матрицы Гессе. Следует отметить, что время решения задачи может быть уменьшено за счет применения современных технологий параллельных вычислений. Таким образом, применение метода Ф-функций для построения математической моде- ли задачи компоновки позволило использовать для построения начальных точек и поиска локальных экстремумов задачи современные методы градиентной оптимизации. 1. Стоян Ю.Г., Яковлев С. В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. – Киев: Наук. думка, 1986. – 268 с. 2. Stoyan Yu.G. Ф-function and its basic properties // Доп. НАН України. – 2001. – No 8. – С. 112–117. 3. Стоян Ю.Г., Чугай А.М. Математическая модель и метод решения задачи размещения сфероци- линдров и цилиндров с учетом специальных ограничений // Электрон. моделирование. – 2008. – 30, № 5. – С. 3–20. 4. Стоян Ю.Г., Романова Т. Е., Шайтхауэр Г. Математическое моделирование взаимодействий базо- вых геометрических 3D объектов // Кибернетика и системный анализ. – 2005. – № 3. – С. 19–31. 5. Семкин В.В., Чугай А.М. Нормализованная Ф-функция сферических сегментов // Доп. НАН Ук- раїни. – 2012. – № 12. – С. 41–48. 6. Семкин В.В., Чугай А.М. Нормализованная Ф-функция параллелепипеда и сфероцилиндра // Там само. – 2013. – № 2. – С. 36–41. 7. Семкин В.В., Чугай А.М. Нормализованные Ф-функции сферического сегмента с параллелепипедом, цилиндром, шаром и сфероцилиндром // Вiсн. Харк. нац. ун-ту. Сер. “Мат. моделювання. Iнформ. технологiї. Автоматизованi системи управлiння”. – 2012. – № 1037, вип. 20. – С. 190–201. 8. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ. – Москва: Ви- льямс, 2005. – 1296 с. 9. Stoyan Y.G., Zlotnik, M.V., Chugay, A.M. Solving an optimization packing problem of circles and non- convex polygons with rotations into a multiply connected region // J. of the Operational Research Society. – 2012. – No 63 (3). – P. 379–391. Поступило в редакцию 20.05.2013Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 57 Член-кореспондент НАН України Ю.Г. Стоян, В.В. Сьомкiн, А. М. Чугай Побудова початкових точок i пошук локальних екстремумiв задачi компоновки 3D об’єктiв у цилiндричнiй областi Побудовано математичну модель задачi пошуку наближення до оптимального розмiщен- ня тривимiрних об’єктiв у цилiндричнiй областi мiнiмальної висоти iз зонами заборони та iз урахуванням обмежень на мiнiмально припустимi вiдстанi мiж ними. На пiдставi властивостей математичної моделi запропоновано ефективний пiдхiд побудови стартових точок i пошуку локальних екстремумiв. Наведено приклад. Corresponding Member of the NAS of Ukraine Yu.G. Stoyan, V. V. Semkin, A.M. Chugay Constructing the starting points and searching for the local extrema of the layout problem of 3D objects in a cylindrical domain We construct a mathematical model of the problem of finding an approximation to the optimal placement of 3D objects in a cylindrical domain of the minimal height with prohibition zones with regard for minimum admissible distances between them. In order to construct the starting points and to find the local extrema of the problem, an effective approach based on properties of the mathematical model is proposed. An example is given. 58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12

Построение начальных точек и поиск локальных экстремумов задачи компоновки 3D объектов в цилиндрической области

Institution

Similar Items