Поширення тріщини у в'язкопружному тілі внаслідок прикладання навантаження до її берегів
В рамках лiнiйної теорiї в’язкопружностi побудовано визначальнi рiвняння для залежного вiд часу розмiру трiщини нормального вiдриву. Внаслiдок того, що силу прикладено симетрично до верхнього i нижнього берегiв трiщини поза її центром, швидкостi прямолiнiйного поширення її кiнцiв рiзняться. Визначал...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86711 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Поширення тріщини у в'язкопружному тілі внаслідок прикладання навантаження до її берегів / М.Ф. Селіванов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 67–73. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860204299603148800 |
|---|---|
| author | Селіванов, М.Ф. |
| author_facet | Селіванов, М.Ф. |
| citation_txt | Поширення тріщини у в'язкопружному тілі внаслідок прикладання навантаження до її берегів / М.Ф. Селіванов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 67–73. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | В рамках лiнiйної теорiї в’язкопружностi побудовано визначальнi рiвняння для залежного вiд часу розмiру трiщини нормального вiдриву. Внаслiдок того, що силу прикладено симетрично до верхнього i нижнього берегiв трiщини поза її центром, швидкостi прямолiнiйного поширення її кiнцiв рiзняться. Визначальнi рiвняння являють
собою систему iнтегрального рiвняння та нерiвностi при поширеннi в один бiк (до
досягнення в дальньому вiд сили кiнцi трiщини критичного значення розкриття)
та систему двох iнтегральних рiвнянь при поширеннi в обидва боки. На чисельному прикладi проiлюстровано можливiсть такого варiанту поширення, коли вiдстанi вiд кiнцiв трiщини до точки прикладання сили зрiвнюються аж при зупиненнi поширення.
В рамках линейной теории вязкоупругости получены определяющие уравнения для зависимого от времени размера трещины нормального отрыва. Вследствие того, что силу приложено симметрично к верхнему и нижнему берегам трещины вне ее центра, скорости прямолинейного распространения концов трещины различны. Определяющие уравнения являются системой интегрального уравнения и неравенства при распространении в одну сторону (до достижения в дальнем от силы конце трещины критического раскрытия) и системой
двух интегральных уравнений при распространении в обе стороны. На численном примере
проиллюстрирована возможность такого варианта распространения, когда расстояния от
концов трещины до точки приложения силы сравниваются при остановке трещины.
Within the linear viscoelasticity theory, the constitutive relations for a time-dependent size of a
mode I crack are obtained. If the force is applied symmetrically to the upper and lower crack
faces out of the crack center, the propagation rates of the crack tips are different. The constitutive
relations are the system of an integral equation and an inequality, when the crack grows in one
direction (until the crack opening displacement reaches its critical value at the crack tip remote relative to the force), and a system of two integral equations, when the crack propagates in both directions. The numerical example shows a possibility of the crack propagation regime, when the distances from the crack tips to the force application point become equal at the crack arrest moment.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:11:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.421
М. Ф. Селiванов
Поширення трiщини у в’язкопружному тiлi внаслiдок
прикладання навантаження до її берегiв
(Представлено академiком НАН України В. Д. Кубенком)
В рамках лiнiйної теорiї в’язкопружностi побудовано визначальнi рiвняння для залеж-
ного вiд часу розмiру трiщини нормального вiдриву. Внаслiдок того, що силу прикла-
дено симетрично до верхнього i нижнього берегiв трiщини поза її центром, швид-
костi прямолiнiйного поширення її кiнцiв рiзняться. Визначальнi рiвняння являють
собою систему iнтегрального рiвняння та нерiвностi при поширеннi в один бiк (до
досягнення в дальньому вiд сили кiнцi трiщини критичного значення розкриття)
та систему двох iнтегральних рiвнянь при поширеннi в обидва боки. На чисельно-
му прикладi проiлюстровано можливiсть такого варiанту поширення, коли вiдстанi
вiд кiнцiв трiщини до точки прикладання сили зрiвнюються аж при зупиненнi по-
ширення.
Велика кiлькiсть елементiв конструкцiй виготовляється з матерiалiв, механiчнi характе-
ристики яких залежать вiд часу. Пiд дiєю навантаження в таких матерiалах виникають та
поширюються трiщини, що з часом призводить до руйнування елемента конструкцiї. Ана-
лiз довготривалого зростання трiщини є ключовим аспектом надiйного прогнозування часу
до руйнування.
Для дослiдження довготривалого поширення трiщини в роботi застосовується теорiя
докритичного поширення трiщини у в’язкопружному середовищi [1]. В основу цiєї моделi
покладена δc-модель трiщини Леонова–Панасюка [3], згiдно з якою перед вершиною трi-
щини з кiнцями в точках x = a i x = b вводиться зона послаблених зв’язкiв (область
передруйнування) у виглядi розрiзiв довжиною da i db.
Довжини розрiзiв на продовженнi трiщини знаходяться в ходi розв’язання задачi з умови
скiнченностi напружень в точках зовнiшнiх границь додаткових розрiзiв.
Застосування теорiї докритичного зростання трiщини у випадку нормального вiдриву
вимагає визначення величини пружного розкриття δI(x) = 2v(x;L, a, b, σ, p) в обох вершинах
фiзичної трiщини, тобто при x = a i x = b (L — пружнi характеристики матерiалу; p — iн-
тенсивнiсть зовнiшнього навантаження; v(x) — вертикальне перемiщення берегiв трiщини).
Тодi критерiй руйнування набуде вигляду
max
x=a,b
{δI(x;L, a, b, σ, p∗)} = δIc, (1)
де p∗ — значення iнтенсивностi зовнiшнього навантаження, при досягненнi якого трiщи-
на почне зростати; δIc — критичне розкриття трiщини (в роботi ми будемо користуватися
константою vc = δIc/2). Критерiй (1) дозволяє визначити рiвень критичного навантажен-
ня p∗.
© М. Ф. Селiванов, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 67
Рис. 1
В’язкопружне змiщення берегiв на продовженнi трiщини v(a(t);L(t), a(t), b(t), σ, p) ви-
значатимемо на основi розв’язку задачi про пружне перемiщення. З цiєю метою використо-
вуємо принцип пружно-в’язкопружної аналогiї, що є аналогом принципу Вольтерра, який
одержав обгрунтування для аналогiчних задач в роботi [1]. Умовою застосування принципу
Вольтерра є збiльшення довжини трiщини з часом. Згiдно з принципом Вольтерра, у вира-
зi для змiщень берегiв на продовженнi трiщини замiнимо пружнi модулi L(t) вiдповiдними
перетвореними величинами i скористаємося оберненим перетворенням.
При дослiдженнi повiльного зростання трiщини, яке вiдбувається при докритичному
рiвнi зовнiшнього навантаження, критерiй критичного розкриття (1) набуває форми
{
δI(b(t);L(t), a0, b(t), σ, p) = δIc,
δI(a0;L(t), a0, b(t), σ, p) < δIc
(2)
при зростаннi трiщини в один з бокiв (вправо) i
{
δI(a(t);L(t), a(t), b(t), σ, p) = δIc,
δI(b(t);L(t), a(t), b(t), σ, p) = δIc
(3)
при зростаннi в обидва боки. З систем (2) i (3) при заданих релаксацiйних властивостях
матерiалу як функцiй часу L(t), рiвнi зовнiшнього навантаження p i параметрi трiщино-
стiйкостi матерiалу σ знаходимо a(t) i b(t) — залежнiсть положень границь трiщини вiд
часу.
У роботi розглянемо випадок, коли поширення границь трiщини вiдбувається за рахунок
змiни з часом релаксацiйних властивостей матерiалу пластини L(t) при сталому рiвнi зов-
нiшнього навантаження p. Побудуємо визначальнi рiвняння для координат кiнцiв фiзичної
трiщини як функцiй часу.
Розв’язок задачi теорiї пружностi про перемiщення берегiв трiщини з прикла-
деним до її берегiв зосередженим зусиллям. Перемiщення берегiв трiщини, одержанi
в рамках δc-моделi руйнування, мають вигляд
v(x) = Lσv0(x), (4)
де у випадку плоского напруженого стану L = 4/E (E — модуль Юнга матерiалу пластини);
v0(x) =
1
2π
{
Kx0(x) +
Kx1(x)
ρ
}
— (5)
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12
функцiя геометричних параметрiв та вiдносного параметра навантаження ρ = σ/P ;
Kx0(x) = Kx△(x, b)−Kx△(x, a),
Kx1(x) = −xh[2(e− h) arctg δ(x) + X̂(x)]− Cx△(x, h),
Kx△(x, ξ) = (x− ξ)Cx△(x, ξ)− 2X̂(ξ) arctg δ(x),
Cx△(x, ξ) = ln
∣∣∣∣
δ(x)− δ(ξ)
δ(x) + δ(ξ)
∣∣∣∣, xh =
1
X̂(h)
,
X̂(x) =
√
(x− c)(d − x), δ(x) =
√
x− c
d− x
.
Зовнiшнi границi зон передруйнування c i d визначаються з системи рiвнянь
{
ρ∆X0 + (e− h)xh = 0,
ρB0 − xh = 0,
де ∆x0 = x̂(b) − x̂(a), B0 = π − 2(arctg δ(b) − arctg δ(a)).
Рiвняння докритичного розвитку трiщини з прикладеним до її берегiв зосе-
редженим зусиллям. Iнкубацiйний перiод розвитку трiщини характеризується збiльшен-
ням вертикального перемiщення берегiв трiщини без зростання її довжини. Час закiнчення
iнкубацiйного перiоду (позначаємо його t0) визначається як час досягнення розкриттям
в однiй з вершин трiщини критичного значення. По закiнченнi iнкубацiйного перiоду iнi-
цiюється початок зростання довжини трiщини. Покладаємо h > (a + b)/2. Таким чином,
в момент часу t0 вертикальне перемiщення досягає свого критичного значення в правiй
вершинi; t0 можна визначити за допомогою рiвняння
L(t)σv0(b0) = vc.
Далi трiщина починає своє зростання вправо. Положення правого кiнця b(t) при a(t) = a0
визначатимемо з рiвняння
v(b(t), t) = vc, (6)
доки v(a0, t) < vc. В (6)
v(x, t) = L0σv0[x; a(t), b(t)] +
t∫
0
L′(t− τ)σv0[x; a(τ), b(τ)] dτ, (7)
функцiя v0(x; a, b) визначена у (5), функцiя L = 4/E характеризує змiну релаксацiйних
властивостей матерiалу вiд часу.
При досягненнi величиною v(a0, t) критичного значення iнiцiюється зростання в лiвий
бiк. Положення кiнцiв трiщини a(t) > a0 i b(t) при зростаннi в обидва боки будемо шукати
з системи рiвнянь
{
v(a(t), t) = vc,
v(b(t), t) = vc.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 69
Перейдемо до визначення релаксацiйної характеристики L(t).
В’язкопружний аналог модуля Юнга матерiалу в бiльшостi випадкiв можна подати у ви-
глядi
E(t) = E∞ +
∑
i
aiEδ,1(−bit
δ), (8)
де E∞ — довготривале значення механiчної характеристики, а її миттєве значення E0 −
− E∞ +
∑
ai;
Eδ,γ(z) =
∞∑
n=0
zn
Γ(δn + γ)
— (9)
функцiя Мiттаг–Леффлера; Γ — гамма-функцiя Ейлера. При δ = 1 i γ = 1 функцiя (9)
перетворюється на експоненту. Для якiсного дослiдження при врахуваннi релаксацiйних
властивостей матерiалу будемо використовувати лише один доданок в (8). У цьому випадку
модуль (8) в областi змiни часу запишеться у виглядi
E(t) = E∞ + (E0 − E∞)Eδ,1(−btδ). (10)
Для побудови залежностi вiд часу вертикального перемiщення на лiнiї розташування
трiщини скористаємося принципом пружно-в’язкопружної аналогiї [2], замiнюючи залежну
вiд часу характеристику релаксацiї (10) вiдповiдною перетвореною величиною
Ẽ(s) = E∞ + (E0 − E∞)
sδ
sδ + b
,
де Ẽ(s) = sL{E(t)} — перетворення Лапласа–Карсона функцiї часу E(t); s — параметр
перетворення. Зображення Лапласа–Карсона функцiї l(t) = L(t)/L0 = E0/E(t) та його
обернене перетворення
l̃(s) = k1 + (1− k1)
sδ
sδ + β
,
l(t) = k1 + (1− k1)Eδ,1(−βtδ),
де k1 = E0/E∞, β = b/k1, за допомогою функцiї l(t) (7) можна переписати у виглядi
v(x, t) = L0σv0[x; a(t), b(t)] +
t∫
0
l′(t− τ)L0σv0[x; a(τ), b(τ)] dτ. (11)
Чисельнi розрахунки кiнетики зростання трiщини з прикладеними до її бе-
регiв зусиллями. Всi чисельнi розрахунки проведемо для матерiалу пластини з такими
параметрами моделi (10):
E0 = 4000 МПа, k1 = 10, δ = 0,5,
а параметр b вiзьмемо таким, щоб iнкубацiйний перiод при заданих геометричних i сило-
вих параметрах задачi дорiвнював одиницi. Тим самим вводимо безрозмiрний час, який
вимiрюється долями iнкубацiйного перiоду.
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12
Перейдемо до визначення кiнетики розвитку трiщини. Будемо шукати розв’язок рiв-
няння (6) в моменти часу tk = t0 + k∆̇t (k = 1, 2, . . .). На кожному вiдрiзку часу [tk, tk+1]
вважатимемо швидкiсть зростання функцiї b(t) сталою:
b(t) = bk−1 +
t− tk−1
∆t
∆bk, tk−1 6 t 6 tk.
Рiвняння (6) дозволяє визначити прирiст ∆bk на k-му часовому промiжку. Це рiвняння
можна записати в формi
v(bk, tk) = vc,
bk = b(tk) = bk−1 +∆bk,
або, згiдно з (11), бiльш детально:
v0[bk; a0, bk] +
tk∫
0
l′(tk − τ)v0[bk; a0, b(τ)] dτ =
vc
L0σ
. (12)
Це рiвняння буде визначальним для bk, доки величина
v(a0, tk) = L0σv0[a0; a0, bk] +
tk∫
0
l′(tk − τ)L0σv0[a0; a0, b(τ)] dτ
менша за vc. В iншому разi bk, а також наступнi значення шуканої функцiї bk+1, bk+2, . . .
визначатимемо разом з вiдповiдними ak = ak−1 −∆ak, ak+1, ak+2, . . . з системи
v0[ak; ak, bk] +
tk∫
0
l′(tk − τ)v0[ak; a(τ), b(τ)] dτ =
vc
L0σ
,
v0[bk; ak, bk] +
tk∫
0
l′(tk − τ)v0[bk; a(τ), b(τ)] dτ =
vc
L0σ
.
(13)
При розрахунку кiнетичних кривих взято такi значення параметрiв моделi: σ = 35 МПа,
vc = 1,5 · 10−5 м.
На рис. 2, а наведено вертикальнi перемiщення берегiв трiщини для вказаних значень
безрозмiрного часу. Початковi геометричнi параметри задачi a0 = −0,5 см, b = 0,5 см, точка
прикладання зосередженого зусилля h =0,1 см, вiдносний силовий параметр ρ = 2.
Вертикальнi перемiщення в зонах передруйнування окремо винесено на рис. 2, б, на
якому також проiлюстровано принцип побудови кiнетичних кривих.
При аналiзi кiнетичних кривих слiд вiдзначити наступне. Можливим варiантом до-
критичного поширення трiщини внаслiдок прикладання зосередженої сили до її берегiв
можна було б назвати такий: трiщина пiдростає до симетричної конфiгурацiї (h − a(t) =
= b(t) − h) i, починаючи з вiдповiдного моменту часу, зростає з однаковою швидкiстю
в обидва боки. Для проведених числових розрахункiв у рамках дослiдженого iнтервалу
часу симетричної конфiгурацiї досягти не вдалося: величина b(t) − h − (h − a(t)) для мо-
менту часу 600t0 становила 0,003, змiнюючись досить повiльно. Тобто можна казати про
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 71
Рис. 2
такий варiант докритичного поширення, коли симетрична конфiгурацiя не буде досягну-
та аж до зупинення трiщини (коли L(t) наблизиться до граничного максимального зна-
чення).
1. Каминский А.А. Разрушение вязкоупругих тел с трещинами. – Киев: Наук. думка, 1990. – 310 с.
2. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. – Москва: Мир, 1982. – 336 с.
3. Панасюк В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. – Киев: Наук. думка, 1991. –
416 с.
4. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. – Москва: Наука, 1974. – 640 с.
Надiйшло до редакцiї 30.05.2013Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №12
М.Ф. Селиванов
Распространение трещины в вязкоупругом теле вследствие
приложения нагрузки к ее берегам
В рамках линейной теории вязкоупругости получены определяющие уравнения для зависимо-
го от времени размера трещины нормального отрыва. Вследствие того, что силу приложе-
но симметрично к верхнему и нижнему берегам трещины вне ее центра, скорости прямо-
линейного распространения концов трещины различны. Определяющие уравнения являют-
ся системой интегрального уравнения и неравенства при распространении в одну сторону
(до достижения в дальнем от силы конце трещины критического раскрытия) и системой
двух интегральных уравнений при распространении в обе стороны. На численном примере
проиллюстрирована возможность такого варианта распространения, когда расстояния от
концов трещины до точки приложения силы сравниваются при остановке трещины.
M.F. Selivanov
Propagation of a crack in the viscoelastic body due to loads on crack
faces
Within the linear viscoelasticity theory, the constitutive relations for a time-dependent size of a
mode I crack are obtained. If the force is applied symmetrically to the upper and lower crack
faces out of the crack center, the propagation rates of the crack tips are different. The constitutive
relations are the system of an integral equation and an inequality, when the crack grows in one
direction (until the crack opening displacement reaches its critical value at the crack tip remote
relative to the force), and a system of two integral equations, when the crack propagates in both
directions. The numerical example shows a possibility of the crack propagation regime, when the
distances from the crack tips to the force application point become equal at the crack arrest moment.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №12 73
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86711 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:11:22Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Селіванов, М.Ф. 2015-09-27T13:58:39Z 2015-09-27T13:58:39Z 2013 Поширення тріщини у в'язкопружному тілі внаслідок прикладання навантаження до її берегів / М.Ф. Селіванов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 12. — С. 67–73. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86711 539.421 В рамках лiнiйної теорiї в’язкопружностi побудовано визначальнi рiвняння для залежного вiд часу розмiру трiщини нормального вiдриву. Внаслiдок того, що силу прикладено симетрично до верхнього i нижнього берегiв трiщини поза її центром, швидкостi прямолiнiйного поширення її кiнцiв рiзняться. Визначальнi рiвняння являють
 собою систему iнтегрального рiвняння та нерiвностi при поширеннi в один бiк (до
 досягнення в дальньому вiд сили кiнцi трiщини критичного значення розкриття)
 та систему двох iнтегральних рiвнянь при поширеннi в обидва боки. На чисельному прикладi проiлюстровано можливiсть такого варiанту поширення, коли вiдстанi вiд кiнцiв трiщини до точки прикладання сили зрiвнюються аж при зупиненнi поширення. В рамках линейной теории вязкоупругости получены определяющие уравнения для зависимого от времени размера трещины нормального отрыва. Вследствие того, что силу приложено симметрично к верхнему и нижнему берегам трещины вне ее центра, скорости прямолинейного распространения концов трещины различны. Определяющие уравнения являются системой интегрального уравнения и неравенства при распространении в одну сторону (до достижения в дальнем от силы конце трещины критического раскрытия) и системой
 двух интегральных уравнений при распространении в обе стороны. На численном примере
 проиллюстрирована возможность такого варианта распространения, когда расстояния от
 концов трещины до точки приложения силы сравниваются при остановке трещины. Within the linear viscoelasticity theory, the constitutive relations for a time-dependent size of a
 mode I crack are obtained. If the force is applied symmetrically to the upper and lower crack
 faces out of the crack center, the propagation rates of the crack tips are different. The constitutive
 relations are the system of an integral equation and an inequality, when the crack grows in one
 direction (until the crack opening displacement reaches its critical value at the crack tip remote relative to the force), and a system of two integral equations, when the crack propagates in both directions. The numerical example shows a possibility of the crack propagation regime, when the distances from the crack tips to the force application point become equal at the crack arrest moment. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Поширення тріщини у в'язкопружному тілі внаслідок прикладання навантаження до її берегів Распространение трещины в вязкоупругом теле вследствие приложения нагрузки к ее берегам Propagation of a crack in the viscoelastic body due to loads on crack faces Article published earlier |
| spellingShingle | Поширення тріщини у в'язкопружному тілі внаслідок прикладання навантаження до її берегів Селіванов, М.Ф. Механіка |
| title | Поширення тріщини у в'язкопружному тілі внаслідок прикладання навантаження до її берегів |
| title_alt | Распространение трещины в вязкоупругом теле вследствие приложения нагрузки к ее берегам Propagation of a crack in the viscoelastic body due to loads on crack faces |
| title_full | Поширення тріщини у в'язкопружному тілі внаслідок прикладання навантаження до її берегів |
| title_fullStr | Поширення тріщини у в'язкопружному тілі внаслідок прикладання навантаження до її берегів |
| title_full_unstemmed | Поширення тріщини у в'язкопружному тілі внаслідок прикладання навантаження до її берегів |
| title_short | Поширення тріщини у в'язкопружному тілі внаслідок прикладання навантаження до її берегів |
| title_sort | поширення тріщини у в'язкопружному тілі внаслідок прикладання навантаження до її берегів |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86711 |
| work_keys_str_mv | AT selívanovmf poširennâtríŝiniuvâzkopružnomutílívnaslídokprikladannânavantažennâdoííberegív AT selívanovmf rasprostranenietreŝinyvvâzkouprugomtelevsledstviepriloženiânagruzkikeeberegam AT selívanovmf propagationofacrackintheviscoelasticbodyduetoloadsoncrackfaces |