Об отображениях с модульными условиями в метрических пространствах
Изучены свойства континуально слабо плоских пространств, которые являются обобщением недавно введенных пространств Левнера, включающих в себя широко известные
 группы Карно и Гейзенберга. Развита теория граничного поведения континуально кольцевых Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля между...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86781 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об отображениях с модульными условиями в метрических пространствах / Е.С. Афанасьева // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 1. — С. 7–13. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860129483498979328 |
|---|---|
| author | Афанасьева, Е.С. |
| author_facet | Афанасьева, Е.С. |
| citation_txt | Об отображениях с модульными условиями в метрических пространствах / Е.С. Афанасьева // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 1. — С. 7–13. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Изучены свойства континуально слабо плоских пространств, которые являются обобщением недавно введенных пространств Левнера, включающих в себя широко известные
группы Карно и Гейзенберга. Развита теория граничного поведения континуально кольцевых Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля между континуальными областями
в метрических пространствах с мерами. В частности, приведены следствия для случая континуально слабо плоских пространств и континуальных областей квазиэкстремальной длины по Герингу–Мартио.
Вивчено властивостi континуально слабо плоских просторiв, якi є узагальненням нещодавно введених просторiв Льовнера, що включають в себе загально вiдомi групи Карно та Гейзенберга. Розвинуто теорiю граничної поведiнки континуально кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв вiдносно p-модуля мiж континуальними областями у метричних просторах iз мiрами. Зокрема, наведено наслiдки для випадку континуально слабо плоских просторiв та континуальних областей квазiекстремальної довжини за Герiнгом–Мартiо.
The properties of continually weakly flat spaces that are a generalization of the recently introduced
Loewner spaces including the well-known Carnot and Heisenberg groups are studied. The theory
of the boundary behaviors of continually ring Q-homeomorphisms relative to a p-module between
continual domains in metric spaces with measures is developed. In particular, the consequences for
the case of continually weakly flat spaces and continual quasiextremal length domains by Gehring–
Martio are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:43:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2014
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Е.С. Афанасьева
Об отображениях с модульными условиями
в метрических пространствах
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.Я. Гутлянским)
Изучены свойства континуально слабо плоских пространств, которые являются обоб-
щением недавно введенных пространств Левнера, включающих в себя широко известные
группы Карно и Гейзенберга. Развита теория граничного поведения континуально коль-
цевых Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля между континуальными областями
в метрических пространствах с мерами. В частности, приведены следствия для слу-
чая континуально слабо плоских пространств и континуальных областей квазиэкстре-
мальной длины по Герингу–Мартио.
Прежде чем формулировать результаты работы, напомним некоторые определения. Тополо-
гическое пространство связно, если его нельзя разбить на два непустых непересекающихся
открытых множества. Напомним также, что топологическое пространство T называется ло-
кально связным, если для любой его точки x0 и любой ее окрестности U найдется ее связная
окрестность V ⊆ U . Компактные связные хаусдорфовы пространства называются контину-
умами. Напомним, что топологическое пространство называется хаусдорфовым, если для
любой пары точек найдутся их взаимно не пересекающиеся окрестности. В дальнейшем
для любых множеств A, B и C в топологическом пространстве T через Γ(A,B;C) обозна-
чаем семейство всех континуумов γ, соединяющих A и B в C, т. е. таких, что γ
⋂
A 6= ∅,
γ
⋂
B 6= ∅ и γ \ {A
⋃
B} ⊆ C.
Пространство T будем называть континуально связным, если любую пару его точек
можно погрузить в континуум γ в T . Под континуальной областью в топологическом про-
странстве T будем понимать открытое континуально связное множество D. Также про-
странство T будем называть локально континуально связным в точке x0, если для любой
окрестности U точки x0 найдется окрестность V ⊆ U , которая является континуальной
областью в T . Пространство T будем называть континуально связным в точке x0, если для
любой ее окрестности U найдется ее окрестность V ⊆ U такая, что V \ {x0} является кон-
тинуальной областью (ср. [1, с. 274]). Наконец, континуальную область D будем называть
© Е.С. Афанасьева, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №1 7
континуально связной в точке x0 ∈ ∂D, если для любой окрестности U точки x0 найдется
окрестность V ⊆ U этой точки такая, что V ∩D является континуальной областью.
Далее Hk, k ∈ [0,∞), обозначает k -мерную меру Хаусдорфа множества A в метричес-
ком пространстве (X, d). Точнее, пусть A — множество в (X, d). Тогда полагаем Hk(A) :=
= sup
ε>0
Hk
ε (A), H
k
ε (A) := inf
∞∑
i=1
(diamAi)
k, где инфимум берется по всем покрытиям A мно-
жествами Ai с diamAi < ε, (см., например, [2]). Напомним, что diamAi = sup
x,y∈Ai
d(x, y). Как
известно, если для некоторого множества A и k1 > 0 выполнено условие Hk1(A) < ∞, то
Hk2(A) = 0 для произвольного числа k2 > k1 (см., например, [2, гл. 7, разд. 1]). В связи
с этим вводится величина dimH A := sup
Hk(A)>0
k, которая называется хаусдорфовой размер-
ностью множества A.
В дальнейшем говорим, что континуум в метрическом пространстве (X, d) является
k -спрямляемым, если его мера Хаусдорфа Hk конечна. 1-спрямляемые континуумы γ бу-
дем называть просто спрямляемыми континуумами или континуумами конечной длины,
а H1(γ) — длиной γ. Б. Фугледе рассматривал системы мер в абстрактном множестве X
с фиксированной основной мерой (см., например, [3]). Нами будут рассмотрены системы бо-
релевых мер, ассоциированных с континуумами в метрических пространствах (X, d). Имен-
но, мера m(k)
γ , ассоциированная c континуумом γ в (X, d), определяется для каждого бореле-
вого множества B в (X, d) как хаусдорфова мера Hk пересечения B∩γ при фиксированном
k > 0. В дальнейшем для любого континуума γ ∈ Γ мера mγ := m(1)
γ .
Пусть теперь (X, d, µ) — метрическое пространство с борелевой мерой µ. Неотрицатель-
ную µ-измеримую функцию ρ : X → [0,∞] называем допустимой для семейства континуу-
мов Γ, пишем ρ ∈ admΓ, если
∫
X
ρdmγ > 1, ∀ γ ∈ Γ.
p-модуль, 0 < p < ∞, семейства Γ континуумов γ в (X, d, µ) определим следующим
образом:
Mp(Γ) = inf
ρ∈admΓ
∫
X
ρp(x) dµ(x). (1)
Здесь доопределим Mp(Γ) = +∞, если Γ = ∅.
Пусть D и D′ — континуальные области в пространствах (X, d, µ) и (X ′, d′, µ′) соответст-
венно, Q : X → (0,∞) — µ-измеримая функция и p ∈ (0,∞). Говорим, что гомеоморфизм
f : D → D′ является континуально кольцевым Q-гомеоморфизмом в точке x0 ∈ D относи-
тельно p-модуля, если неравенство
Mp(Γ(f(C0), f(C1);D
′)) 6
∫
A∩D
Q(x) · ηp(d(x, x0)) dµ(x) (2)
выполняется для любого кольца A = A(x0, r1, r2) := {x0 ∈ X : r1 < d(x, x0) < r2}, 0 <
< r1 < r2 < ∞, любых двух континуумов C0 ⊂ B(x0, r1)
⋂
D и C1 ⊂ D \ B(x0, r2) и любой
борелевой функции η : (r1, r2) → [0,∞] такой, что
r2∫
r1
η(r) dr > 1. Гомеоморфизм f : D → D′
есть континуально кольцевой Q-гомеоморфизм, если f является континуально кольцевым
Q-гомеоморфизмом в каждой точке x0 ∈ D.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №1
Напомним также, что пространство (X, d, µ) называется α-регулярным по Альфорсу,
если существует постоянная C > 1 такая, что C−1rα 6 µ(Br) 6 Crα для всех шаров Br
в X радиуса r < diamX. Как известно, α-регулярные пространства имеют хаусдорфову
размерность α (см., например, [4, c. 61]). Пространство (X, d, µ) называется регулярным по
Альфорсу, если оно α-регулярно по Альфорсу для некоторого α ∈ (1,∞). Говорят также,
что пространство (X, d, µ) α-регулярно сверху в точке x0 ∈ X, если существует постоянная
C > 0 такая, что µ(B(x0, r)) 6 Crα для всех шаров B(x0, r) с центром в точке x0 ∈ X
радиуса r < r0. Будем также говорить, что пространство (X, d, µ)-регулярно сверху, если
последнее условие выполнено в каждой точке x для некоторого α ∈ (1,∞).
Границу ∂D континуальной области D будем называть континуально слабо плоской
в точке x0 ∈ ∂D относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), если для любого числа N > 0 и любой
окрестности U точки x0 найдется ее окрестность V ⊂ U такая, что
Mp(Γ(E,F ;D)) > N (3)
для любых континуумов E и F в D, пересекающих ∂U и ∂V . Далее ∂D будем называть
континуально сильно достижимой в точке x0 ∈ ∂D относительно p-модуля, p ∈ (0,∞),
если для любой окрестности U точки x0 найдется компакт E ⊂ D, окрестность V ⊂ U
точки x0 и число δ > 0 такие, что
Mp(Γ(E,F ;D)) > δ (4)
для любого континуума F в D, пересекающего ∂U и ∂V (ср. [5]).
Наконец, ∂D называется континуально сильно достижимой относительно p-модуля,
p ∈ (0,∞), и континуально слабо плоской относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), если соот-
ветствующие свойства имеют место в каждой точке ее границы.
Следуя [5], говорим, что функция ϕ : X → R имеет конечное среднее колебание в точке
x0 ∈ X, сокр. ϕ ∈ FMO(x0), если
lim
ε→0
1
µ(B(x0, ε))
∫
B(x0,ε)
|ϕ(x) − ϕ̃ε| dµ(x) <∞, (5)
где ϕ̃ε =
1
µ(B(x0, ε))
∫
B(x0,ε)
ϕ(x) dµ(x) — среднее значение функции ϕ по шару B(x0, ε) =
= {x ∈ X : d(x, x0) < ε} относительно меры µ. Здесь условие (5) включает предположение,
что ϕ интегрируема относительно меры µ по некоторому шару B(x0, ε), ε > 0.
Предложение 1. Если для некоторого набора чисел ϕε ∈ R, ε ∈ (0, ε0],
lim
ε→0
1
µ(B(x0, ε))
∫
B(x0,ε)
|ϕ(x) − ϕε| dµ(x) <∞,
то ϕ ∈ FMO(x0).
Следствие 1. В частности, если
lim
ε→0
1
µ(B(x0, ε))
∫
B(x0,ε)
|ϕ(x)| dµ(x) <∞,
то ϕ ∈ FMO(x0).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №1 9
Варианты следующей леммы из [5] были сначала доказаны для BMO функций и внут-
ренних точек области D в R
n при n = 2 и n > 3 соответственно, а затем для граничных
точек D в R
n, n > 2, с условием удвоения меры и FMO функций (см. историю вопроса
более подробно в [1, гл. 13]).
Лемма 1. Пусть пространство (X, d, µ) p-регулярно сверху c p > 2 в точке x0 и
µ(B(x0, 2r)) 6 γ · logp−2 1
r
· µ(B(x0, r)) ∀ r ∈ (0, r0). (6)
Тогда для любой неотрицательной функции ϕ : X → R класса FMO(x0)
∫
A(x0,ε,ε0)
ϕ(x)dµ(x)(
d(x, x0) log
1
d(x, x0)
)p = O
(
log log
1
ε
)
(7)
при ε → 0 и некотором ε0 ∈ (0, δ0), где δ0 = min(e−e, d0), d0 := sup
x∈D
d(x, x0).
1. Модули семейств континуумов, содержащих точку.
Лемма 2. Пусть выполнено условие
∫
A(x0,ε,ε0)
ψp(d(x, x0)) dµ(x) = o
([ ε0∫
ε
ψ(t) dt
]p)
(8)
при ε→ 0, где ε0 ∈ (0,∞), и пусть ψ(t) — неотрицательная функция на (0,∞) такая, что
0 <
ε0∫
ε
ψ(t) dt < ∞, ∀ ε ∈ (0, ε0). Тогда p-модуль, p ∈ (0,∞), семейства всех континуумов
в X, содержащих точку x0, равен нулю.
Замечание 1. Условие (8) включает предположение, что при ε → 0
∫
A(x0,ε,ε1)
ψp(d(x, x0)) dµ(x) = o
([ ε1∫
ε
ψ(t) dt
]p)
∀ ε1 ∈ (0, ε0).
Теорема 1. Пусть для некоторого ε0 ∈ (0,∞), при ε → 0, выполнено условие
∫
A(x0,ε,ε0)
dµ(x)
dp(x, x0)
= o
([
log
ε0
ε
]p)
. (9)
Тогда p-модуль, p ∈ (0,∞), семейства всех континуумов в X, содержащих точку x0,
равен нулю.
2. Слабо плоские пространства. Аналогично [5] (см. также [1, гл. 13]), континуаль-
но связное пространство (X, d, µ) называем континуально слабо плоским в точке x0 ∈ X
относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), если для любой окрестности U точки x0 и любого числа
N > 0 найдется окрестность V ⊆ U точки x0 такая, что Mp(Γ(E,F ;X)) > N для любых
континуумов E и F в X, пересекающих ∂V и ∂U . Говорим также, что континуально связ-
ное пространство (X, d, µ) континуально сильно достижимо в точке x0 ∈ X относительно
p-модуля, p ∈ (0,∞), если для любой окрестности U точки x0 найдется окрестность V ⊆ U
точки x0, компактное множество E в X и число δ > 0 такие, что Mp(Γ(E,F ;X)) > δ для
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №1
любого континуума F в X, пересекающего ∂V и ∂U . Наконец, говорим, что пространство
(X, d, µ) континуально слабо плоское (континуально сильно достижимое), если соответст-
вующие свойства выполнены в каждой точке пространства.
Теорема 2. Если пространство (X, d, µ) континуально слабо плоское в точке x0 ∈
∈ X относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), и условие (8) (в частности, (9)) выполнено, то
(X, d, µ) континуально связно в точке x0
По замечанию 13.8 в [1] приходим к следующему заключению.
Следствие 2. Если пространство X континуально слабо плоское относительно p-мо-
дуля, p ∈ (0,∞), и p-регулярно сверху в точке x0 ∈ X с p > 1, то X континуально связно
в точке x0.
3. Континуальные области квазиэкстремальной длины. Континуальная область
D в (X, d, µ) является континуальной областью квазиэкстремальной длины относительно
p-модуля, p ∈ (0,∞), сокр. континуальной QED областью, если
Mp(Γ(E,F ;X)) 6 KMp(Γ(E,F ;D)) (10)
для некоторого конечного числа K > 1 и любых континуумов E и F в D (ср. [6]).
Как видно непосредственно из определений, континуальные QED области в континуаль-
но слабо плоских пространствах относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), имеют континуально
слабо плоские границы. Таким образом, приходим к следующим результатам на основе
теории граничного поведения континуально кольцевых Q-гомеоморфизмов относительно
p-модуля, p ∈ (0,∞), развитой в работе [7].
Теорема 3. Пусть f — континуально кольцевой Q-гомеоморфизм относительно p-мо-
дуля, p ∈ (0,∞), между континуальными QED областями D и D′ в континуально слабо
плоских пространствах X и X ′ соответственно, пусть D′ — компакт. Если в точке
x0 ∈ ∂D
∫
A(x0,ε,ε0)
Q(x)dµ(x)
d(x, x0)p
= o
([
log
ε0
ε
]p)
, (11)
то f допускает продолжение в точку x0 по непрерывности в (X ′, d′).
Следствие 3. В частности, заключение теоремы 3 имеет место, если сингулярный
интеграл
∫
Q(x)dµ(x)
d(x, x0)p
<∞ (12)
сходится в окрестности точки x0.
Теорема 4. Пусть f — континуально кольцевой Q-гомеоморфизм относительно p-мо-
дуля, p ∈ (0,∞), между континуальными QED областями D и D′ в континуально слабо
плоских пространствах X и X ′ соответственно, пусть D — компакт. Если Q ∈ L1
µ(D),
то обратный гомеоморфизм g = f−1 допускает непрерывное продолжение g : D′ → D.
Теорема 5. Пусть f — континуально кольцевой Q-гомеоморфизм относительно p-мо-
дуля, p ∈ (0,∞), между континуальными QED областями D и D′ в континуально сла-
бо плоских пространствах X и X ′ соответственно, пусть D и D′ — компакты. Если
Q ∈ L1
µ(D) удовлетворяет условию (11) или (12) в каждой точке x0 ∈ ∂D, то f допус-
кает гомеоморфное продолжение f : D → D′.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №1 11
Теорема 6. Пусть f — континуально кольцевой Q-гомеоморфизм относительно p-мо-
дуля, p ∈ [2,∞), между континуальными QED областями D и D′ в континуально слабо
плоских пространствах X и X ′ соответственно, пусть D′ и D — компакты. Если в неко-
торой точке x0 ∈ ∂D функция Q : X → (0,∞) имеет конечное среднее колебание в точке
x0 ∈ ∂D,
µ(B(x0, 2r)) 6 γ · logp−2 1
r
· µ(B(x0, r)) ∀ r ∈ (0, r0), (13)
и пространство (X, d, µ) p-регулярно сверху в точке x0, то f допускает продолжение
в точку x0 по непрерывности. Если последние два условия выполнены в каждой точке
x0 ∈ ∂D, то f допускает гомеоморфное продолжение в f : D → D′.
Замечание 2. В случае регулярных по Альфорсу пространств имеет место даже условие
удвоения меры, которое сильнее условия Р.Р. Салимова (13). В силу компактности D, Q
интегрируема в окрестности ∂D, что следует из условия конечного среднего колебания
в точках ∂D. Напомним: чтобы Q ∈ FMO(x0) при x0 ∈ ∂D, достаточно выполнения условия
lim
ε→0
1
µ(B(x0, ε))
∫
B(x0,ε)
Q(x) dµ(x) <∞.
4. Множества континуально нулевой экстремальной длины. Замкнутое мно-
жество A в пространстве (X, d, µ) будем называть множеством континуально нулевой
экстремальной длины относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), сокр. континуальным NED-мно-
жеством, если
Mp(Γ(E,F ;D)) =Mp(Γ(E,F ;D \A)) (14)
для любой континуальной области D в X и любых континуумов E и F в D (ср. [1]).
Также как и в R
n, n > 2, континуальные NED-множества A в континуально слабо плос-
ких пространствах относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), не могут иметь внутренних точек и,
кроме того, они не разбивают пространство X даже локально, т. е. D \ A имеет единствен-
ную компоненту континуальной связности для любой континуальной области D в X. Таким
образом, дополнение к континуальным NED-множествам A в X представляет собой весьма
частный случай континуальных QED-областей. Поэтому континуальные NED-множества
в континуально слабо плоских пространствах относительно p-модулей, p ∈ (0,∞), играют
ту же роль в проблемах устранимости особых множеств при квазиконформных отображе-
ниях и их обобщениях, как и в R
n, n > 2.
Теорема 7. Пусть X и X ′ — компактные континуально слабо плоские пространства
относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), D — континуальная область в X, A ⊂ D — конти-
нуальное NED-множество в D и f — континуально кольцевой Q-гомеоморфизм относи-
тельно p-модуля, p ∈ (0,∞), из G = D \ A в X ′ с континуальным NED-множеством
A′ = C(A, f). Если Q ∈ L1
µ(D), то обратный гомеоморфизм g = f−1 : G′ → G, G′ = f(G),
допускает непрерывное продолжение g : D′ → D, где D′ = G′
⋃
A′.
Теорема 8. Пусть X и X ′ — компактные континуально слабо плоские пространства
относительно p-модуля, p ∈ [2,∞), D — континуальная область в X, A ⊂ D — конти-
нуальное NED-множество в X и f — континуально кольцевой Q-гомеоморфизм отно-
сительно p-модуля, p ∈ [2,∞), из G = D \ A в X ′ с континуальным NED-множеством
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №1
A′ := C(A, f). Если Q имеет конечное среднее колебание и X p-регулярно по Альфорсу
в каждой точке x0 ∈ A, то f допускает гомеоморфное продолжение f : D → D′, где
D′ = G′
⋃
A′, G′ = f(G).
1. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer,
2009. – 367 p.
2. Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1948. – 232 с.
3. Fuglede B. Extremal length and functional completion // Acta Math. – 1957. – 98. – P. 171–219.
4. Heinonen J. Lectures on analysis on metric spaces. – New York: Springer, 2001. – 151 p.
5. Рязанов В.И., Салимов Р. Р. Слабо плоские границы и пространства в теории отображений // Укр.
мат. вест. – 2007. – 4, № 2. – С. 199–234.
6. Игнатьев А.А., Рязанов В.И. Конечное среднее колебание в теории отображений // Укр. мат. вест. –
2005.– 2, № 3. – С. 395–417.
7. Смоловая Е.С. Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах //
Укр. мат. журн. – 2010.– 62, № 5. – С. 682–689.
8. Gehring F.W., Martio O. Quasiextremal distance domains and extension of quasiconformal mappings //
J. Anal. Math. – 1985. – 24. – P. 181–206.
9. Афанасьева Е. С. О граничном поведении одного класса отображений в метрических пространствах //
Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 1. – С. 17–29.
Поступило в редакцию 04.06.2013Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
О.С. Афанасьєва
Про вiдображення з модульними умовами у метричних просторах
Вивчено властивостi континуально слабо плоских просторiв, якi є узагальненням нещо-
давно введених просторiв Льовнера, що включають в себе загально вiдомi групи Карно та
Гейзенберга. Розвинуто теорiю граничної поведiнки континуально кiльцевих Q-гомеомор-
фiзмiв вiдносно p-модуля мiж континуальними областями у метричних просторах iз мi-
рами. Зокрема, наведено наслiдки для випадку континуально слабо плоских просторiв та
континуальних областей квазiекстремальної довжини за Герiнгом–Мартiо.
O. S. Afanas’eva
About mappings with modulus conditions in metric spaces
The properties of continually weakly flat spaces that are a generalization of the recently introduced
Loewner spaces including the well-known Carnot and Heisenberg groups are studied. The theory
of the boundary behaviors of continually ring Q-homeomorphisms relative to a p-module between
continual domains in metric spaces with measures is developed. In particular, the consequences for
the case of continually weakly flat spaces and continual quasiextremal length domains by Gehring–
Martio are presented.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №1 13
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86781 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:43:25Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Афанасьева, Е.С. 2015-10-01T16:48:28Z 2015-10-01T16:48:28Z 2014 Об отображениях с модульными условиями в метрических пространствах / Е.С. Афанасьева // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 1. — С. 7–13. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86781 517.5 Изучены свойства континуально слабо плоских пространств, которые являются обобщением недавно введенных пространств Левнера, включающих в себя широко известные
 группы Карно и Гейзенберга. Развита теория граничного поведения континуально кольцевых Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля между континуальными областями
 в метрических пространствах с мерами. В частности, приведены следствия для случая континуально слабо плоских пространств и континуальных областей квазиэкстремальной длины по Герингу–Мартио. Вивчено властивостi континуально слабо плоских просторiв, якi є узагальненням нещодавно введених просторiв Льовнера, що включають в себе загально вiдомi групи Карно та Гейзенберга. Розвинуто теорiю граничної поведiнки континуально кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв вiдносно p-модуля мiж континуальними областями у метричних просторах iз мiрами. Зокрема, наведено наслiдки для випадку континуально слабо плоских просторiв та континуальних областей квазiекстремальної довжини за Герiнгом–Мартiо. The properties of continually weakly flat spaces that are a generalization of the recently introduced
 Loewner spaces including the well-known Carnot and Heisenberg groups are studied. The theory
 of the boundary behaviors of continually ring Q-homeomorphisms relative to a p-module between
 continual domains in metric spaces with measures is developed. In particular, the consequences for
 the case of continually weakly flat spaces and continual quasiextremal length domains by Gehring–
 Martio are presented. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Об отображениях с модульными условиями в метрических пространствах Про вiдображення з модульними умовами у метричних просторах About mappings with modulus conditions in metric spaces Article published earlier |
| spellingShingle | Об отображениях с модульными условиями в метрических пространствах Афанасьева, Е.С. Математика |
| title | Об отображениях с модульными условиями в метрических пространствах |
| title_alt | Про вiдображення з модульними умовами у метричних просторах About mappings with modulus conditions in metric spaces |
| title_full | Об отображениях с модульными условиями в метрических пространствах |
| title_fullStr | Об отображениях с модульными условиями в метрических пространствах |
| title_full_unstemmed | Об отображениях с модульными условиями в метрических пространствах |
| title_short | Об отображениях с модульными условиями в метрических пространствах |
| title_sort | об отображениях с модульными условиями в метрических пространствах |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86781 |
| work_keys_str_mv | AT afanasʹevaes obotobraženiâhsmodulʹnymiusloviâmivmetričeskihprostranstvah AT afanasʹevaes providobražennâzmodulʹnimiumovamiumetričnihprostorah AT afanasʹevaes aboutmappingswithmodulusconditionsinmetricspaces |