Конструктивний опис моногенних функцій в скінченновимірній напівпростій комутативній алгебрі
Одержано конструктивний опис моногенних функцiй, що набувають значень в скiнченновимiрнiй напiвпростiй комутативнiй алгебрi, за допомогою аналiтичних функцiй комплексної змiнної. Доведено, що такi моногеннi функцiї мають похiднi Гато усiх порядкiв. Получено конструктивное описание моногенных функций...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86782 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Конструктивний опис моногенних функцій в скінченновимірній напівпростій комутативній алгебрі / С.А. Плакса, Р.П. Пухтаєвич // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 1. — С. 14–21. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859592145029038080 |
|---|---|
| author | Плакса, С.А. Пухтаєвич, Р.П. |
| author_facet | Плакса, С.А. Пухтаєвич, Р.П. |
| citation_txt | Конструктивний опис моногенних функцій в скінченновимірній напівпростій комутативній алгебрі / С.А. Плакса, Р.П. Пухтаєвич // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 1. — С. 14–21. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Одержано конструктивний опис моногенних функцiй, що набувають значень в скiнченновимiрнiй напiвпростiй комутативнiй алгебрi, за допомогою аналiтичних функцiй комплексної змiнної. Доведено, що такi моногеннi функцiї мають похiднi Гато усiх порядкiв.
Получено конструктивное описание моногенных функций, принимающих значения в конечномерной полупростой коммутативной алгебре, с помощью аналитических функций комплексной переменной. Доказано, что такие моногенные функции имеют производные Гато
всех порядков.
We obtain a constructive description of monogenic functions taking values in a finite-dimensional
semisimple commutative algebra by means of analytic functions of the complex variable. We prove
that the mentioned monogenic functions have the Gateaux derivatives of all orders.
|
| first_indexed | 2025-11-27T16:40:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
С.А. Плакса, Р.П. Пухтаєвич
Конструктивний опис моногенних функцiй
в скiнченновимiрнiй напiвпростiй комутативнiй алгебрi
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Ю.Ю. Трохимчуком)
Одержано конструктивний опис моногенних функцiй, що набувають значень в скiн-
ченновимiрнiй напiвпростiй комутативнiй алгебрi, за допомогою аналiтичних функцiй
комплексної змiнної. Доведено, що такi моногеннi функцiї мають похiднi Гато усiх по-
рядкiв.
Початком розвитку гiперкомплексного аналiзу стали роботи У. Гамiльтона (див. [1]), в яких
була побудована некомутативна алгебра кватернiонiв над полем дiйсних чисел R. У роботi
К. Сегре [2] побудовано алгебру комутативних кватернiонiв {x + iy + jz + kt : i2 = j2 =
= −1, ij = k, x, y, z, t ∈ R} над полем R, яка є iзоморфною алгебрi бiкомплексних чисел
{z1 + jz2 : j
2 = −1, z1, z2 ∈ C} над полем комплексних чисел C. Зазначимо, що алгебра
бiкомплексних чисел є напiвпростою: перетин її максимальних iдеалiв складається лише
з нульового елемента.
Теорiя функцiй бiкомплексної змiнної набула розвитку в працях багатьох дослiдникiв
(див., наприклад, [2–6]). Зокрема, в роботах Ф. Рiнглеба [3] i Дж. Рiлея [4] показано, що
будь-яку аналiтичну функцiю бiкомплексної змiнної можна побудувати за допомогою двох
голоморфних функцiй комплексної змiнної. Г. Прайс розглядає в [5] також мультиком-
плекснi алгебри i доводить в них аналоги ряду результатiв, отриманих для аналiтичних
функцiй бiкомплексної змiнної.
О.К. Бахтiн в [7] розглядає багатовимiрний комплексний простiр C
n як алгебру, що
є iзоморфною n-вимiрнiй комутативнiй напiвпростiй алгебрi над полем C. Вiн вводить век-
торнi узагальнення понять модуля i аргументу комплексного числа i, використовуючи цi по-
няття, встановлює узагальнення ряду результатiв теорiї вiдображень комплексної площини
стосовно функцiй, заданих в C
n.
Зв’язок аналiтичних функцiй, заданих в комутативних алгебрах, з просторовими по-
тенцiальними полями встановив П. Кетчум [8]. Вiн показав, що якщо елементи e1, e2, e3
комутативної алгебри задовольняють умову
e21 + e22 + e23 = 0, (1)
то кожна аналiтична функцiя Φ(ζ) змiнної ζ = xe1 + ye2 + ze3 задовольняє тривимiрне
рiвняння Лапласа, оскiльки
∂2Φ
∂x2
+
∂2Φ
∂y2
+
∂2Φ
∂z2
≡ Φ′′(ζ)(e21 + e22 + e23) = 0, (2)
де Φ′(ζ) визначається рiвнiстю dΦ = Φ′(ζ)dζ. Алгебру, в якiй iснує трiйка елементiв, що
задовольняють рiвнiсть (1), П. Кетчум назвав гармонiчною, i як приклад такої алгебри
розглянув алгебру комутативних кватернiонiв К. Сегре.
© С. А. Плакса, Р.П. Пухтаєвич, 2014
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №1
I. П. Мельниченко показав, що двiчi диференцiйовнi за Гато функцiї в гармонiчнiй ал-
гебрi утворюють найбiльш широкий клас функцiй, якi задовольняють спiввiдношення (2).
Вiн довiв, що не iснує тривимiрних гармонiчних алгебр з одиницею над полем R, та описав
усi такi алгебри над полем C i всi базиси в них, якi задовольняють рiвнiсть (1) i нерiвностi
e2k 6= 0 при k = 1, 2, 3 (див. [9]).
У роботi [10] отримано конструктивний опис усiх моногенних (тобто неперервних i ди-
ференцiйовних за Гато) функцiй, що задовольняють спiввiдношення (2) в тривимiрнiй на-
пiвпростiй гармонiчнiй алгебрi, за допомогою голоморфних функцiй комплексної змiнної
i доведено нескiнченну диференцiйовнiсть за Гато цих моногенних функцiй.
У цiй роботi результати роботи [10] узагальнено на моногеннi функцiї, заданi в комута-
тивнiй напiвпростiй алгебрi довiльної скiнченної розмiрностi над полем комплексних чисел
i показано, що функцiї, якi розглядаються в роботi [7], є моногенними.
1. Моногеннi функцiї в скiнченновимiрнiй напiвпростiй комутативнiй алгебрi.
Нехай An — n-вимiрна комутативна асоцiативна алгебра над полем комплексних чисел C,
базис якої утворюють iдемпотенти I1, I2, . . . , In, 2 6 n < ∞, що задовольняють такi правила
множення:
Ik
2 = Ik, IkIj = 0, k, j = 1, 2, . . . , n, k 6= j.
Одиниця алгебри має розклад 1 = I1 + I2 + · · · + In.
An мiстить n максимальних iдеалiв:
Ik :=
{
ζ =
n∑
j=1,j 6=k
αjIj, αj ∈ C
}
, k = 1, 2, . . . , n,
перетин яких складається лише з нульового елемента. Отже, алгебра An є напiвпростою
(див. [11, c. 146]).
Означимо n лiнiйних неперервних функцiоналiв fk : An → C рiвностями
fk(Ik) = 1, fk(Ij) = 0, k, j = 1, 2, . . . , n, k 6= j. (3)
Вiдомо, що кожен функцiонал fk є мультиплiкативним (див. [11, c. 148]), а його ядром
є вiдповiдний максимальний iдеал Ik.
Будемо розглядати в алгебрi An вектори e1 = 1, e2, . . . , em, де 2 6 m 6 2n, що є лiнiйно
незалежними над полем дiйсних чисел R. Це означає, що рiвнiсть
m∑
j=1
βjej = 0, βj ∈ R,
виконується тодi i тiльки тодi, коли всi βj = 0.
Нехай Em :=
{
ζ =
m∑
j=1
xjej : xj ∈ R
}
— лiнiйна оболонка векторiв e1, e2, . . . , em над
полем R. Будемо припускати, що кожен функцiонал fk вiдображає Em на все поле комп-
лексних чисел, тобто при всiх k ∈ 1, n виконується рiвнiсть fk(Em) = C, де fk(Em) — образ
множини Em при вiдображеннi fk.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №1 15
Нехай Ω — деяка область в Em. Неперервну функцiю Φ: Ω → An називатимемо моно-
генною в областi Ω ⊂ Em, якщо Φ диференцiйовна за Гато в кожнiй точцi цiєї областi, тобто
якщо для кожного ζ ∈ Ω iснує елемент Φ′(ζ) алгебри An такий, що виконується рiвнiсть
lim
ε→0+0
(Φ(ζ + εh) − Φ(ζ))ε−1 = hΦ′(ζ) ∀h ∈ Em.
Φ′(ζ) називається похiдною Гато функцiї Φ в точцi ζ.
Нехай ẽ1, ẽ2, . . . , ẽn — деякий базис алгебри An i розклад функцiї Φ: Ω → An за цим
базисом має вигляд
Φ(ζ) =
n∑
j=1
Uj(x1, x2, . . . , xm)ẽj , (4)
де комплекснозначнi функцiї Uj(x1, x2, . . . , xm) є R-диференцiйовними, тобто задовольняють
спiввiдношення
Uj(x1 +△x1, x2 +△x2, . . . , xm +△xm)− Uj(x1, x2, . . . , xm) =
=
m∑
k=1
∂Uj
∂xk
∆xk + o
(√√√√
m∑
k=1
(∆xk)2
)
,
m∑
k=1
(∆xk)
2 → 0.
Тодi для того щоб функцiя Φ(ζ) була моногенною в областi Ω, необхiдно i достатньо,
щоб всюди в областi Ω виконувались аналоги умов Кошi–Рiмана:
∂Φ
∂x2
=
∂Φ
∂x1
e2,
∂Φ
∂x3
=
∂Φ
∂x1
e3, . . . ,
∂Φ
∂xm
=
∂Φ
∂x1
em. (5)
Необхiднiсть i достатнiсть умов (5) для моногенностi функцiї Φ доводиться у такий же
спосiб, як необхiднiсть i достатнiсть класичних умов Кошi–Рiмана для голоморфностi функ-
цiї комплексної змiнної.
2. Конструктивний опис моногенних функцiй в алгебрi An. Розглянемо розклад
векторiв e1, e2, . . . , em за базисом I1, I2, . . . , In:
e1 =
n∑
j=1
Ij , ek =
n∑
j=1
akjIj, akj ∈ C, k = 2, 3, . . . ,m. (6)
Наслiдком рiвностей (3), (6) є такi спiввiдношення:
fk(ζ) = fk
(
m∑
j=1
xjej
)
= x1 +
m∑
j=2
ajkxj := ξk, k = 1, 2, . . . , n.
Позначимо Mk := {ζ ∈ Em : fk(ζ) = 0} при фiксованому k ∈ 1, n. Область Ω ⊂ Em
назвемо опуклою по множинi напрямкiв Mk, якщо разом з довiльними двома точками
ζ1, ζ2 ∈ Ω такими, що ζ2− ζ1 ∈ Mk, область Ω повнiстю мiстить вiдрiзок {ζ1+α(ζ2− ζ1) : α ∈
∈ [0, 1]}.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №1
Лема 1. Нехай при деякому k ∈ {1, 2, . . . , n} виконується рiвнiсть fk(Em) = C, область
Ω ⊂ Em є опуклою по множинi напрямкiв Mk, а функцiя Φ: Ω → An моногенна в областi Ω.
Якщо точки ζ1, ζ2 ∈ Ω такi, що ζ2 − ζ1 ∈ Mk, то
Φ(ζ2)− Φ(ζ1) ∈ Ik. (7)
Доведення. Оскiльки fk(Em) = C, то iснує елемент e∗2 ∈ Em такий, що fk(e
∗
2) = i.
Розглянемо лiнiйну оболонку E∗ := {ζ = xe∗1 + ye∗2 + ze∗3 : x, y, z ∈ R} векторiв e∗1 := 1,
e∗2, e
∗
3 := ζ2 − ζ1 i позначимо Ω∗ := Ω
⋂
E∗.
Тепер спiввiдношення (7) доводиться за схемою доведення леми 1 роботи [12], в якому
замiсть трiйки Ωζ , f , L використовується трiйка Ω∗, fk, {αe∗3 : α ∈ R} вiдповiдно. Лему
доведено.
Позначимо область Dk := fk(Ω), k = 1, 2, . . . , n, утворену при вiдображеннi fk областi Ω
в комплексну площину C.
При k = 1, 2, . . . , n введемо в розгляд лiнiйний оператор Ak, який кожнiй моногеннiй
функцiї Φ: Ω → An ставить у вiдповiднiсть голоморфну функцiю Fk : Dk → C за формулою
Fk(ξk) = fk(Φ(ζ)), (8)
де ξk = fk(ζ) i ζ ∈ Ω. З леми 1 випливає, що у випадку, коли область Ω є опуклою по множинi
напрямкiв Mk, значення Fk(ξk) не залежить вiд вибору точки ζ ∈ Ω, що вiдображається
функцiоналом fk в точку ξk.
Введемо також у розгляд лiнiйний оператор Bk, який кожнiй голоморфнiй функцiї
Fk : Dk → C ставить у вiдповiднiсть функцiю Φk : Ω → An за формулою
Φk(ζ) = Fk(ξk)Ik, ξk = fk(ζ), ∀ ζ ∈ Ω. (9)
Лема 2. Нехай при деякому k ∈ {1, 2, . . . , n} виконується рiвнiсть fk(Em) = C, область
Ω ⊂ Em є опуклою по множинi напрямкiв Mk, а функцiя Fk : Dk → C голоморфна в облас-
тi Dk. Тодi функцiя Φk : Ω → An, визначена рiвнiстю (9), є моногенною в областi Ω.
Доведення. Вiзьмемо довiльну точку ζ ∈ Ω i довiльний вiдмiнний вiд нуля елемент
h :=
m∑
j=1
hjej ∈ Em. Позначимо η := fk(h) = h1+
m∑
j=2
ajkhj , де ajk — коефiцiєнти розкладу (6).
Тодi ηIk = hIk i тому
lim
ε→0+0
Φk(ζ + εh)− Φk(ζ)
ε
= Ik lim
ε→0+0
Fk(ξk + εη) − Fk(ξk)
ε
=
= ηIk lim
ε→0+0
Fk(ξk + εη)− Fk(ξk)
εη
= hIkF
′
k(ξk),
де F ′
k(ξk)Ik =: Φ′
k(ζ). Отже, функцiя Φk : Ω → An моногенна в областi Ω. Лему доведено.
Теорема 1. Нехай при деякому k ∈ {1, 2, . . . , n} виконується рiвнiсть fk(Em) = C
i область Ω ⊂ Em є опуклою по множинi напрямкiв Mk. Тодi кожну моногенну функцiю
Φ: Ω → An можна подати у виглядi
Φ(ζ) = Φk(ζ) + Φ0k(ζ) ∀ ζ ∈ Ω,
де функцiя Φk визначена рiвнiстю (9), в якiй функцiя Fk визначена рiвнiстю (8), а Φ0k —
деяка моногенна в областi Ω функцiя зi значеннями в iдеалi Ik.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №1 17
Доведення. Розглянемо функцiю Φ0k(ζ) = Φ(ζ)− Φk(ζ), яка внаслiдок леми 2 є моно-
генною в областi Ω. Враховуючи спiввiдношення (8) i (3), отримуємо
fk(Φ0k(ζ)) = fk(Φ(ζ)− Φk(ζ)) = fk(Φ(ζ))− fk(Φk(ζ)) = Fk(ξk)− Fk(ξk) = 0,
тобто Φ0k(ζ) ∈ Ik. Теорему доведено.
У нижченаведенiй теоремi описано всi моногеннi функцiї, що набувають значення в iде-
алах Ik, k = 1, 2, . . . n.
Теорема 2. Нехай при всiх k ∈ {1, 2, . . . , n} виконується рiвнiсть fk(Em) = C i область
Ω ⊂ Em є опуклою по множинi напрямкiв Mk. Тодi кожну моногенну функцiю Φ0k : Ω → Ik
можна подати у виглядi
Φ0k(ζ) =
n∑
j=1,j 6=k
Fj(ξj)Ij ∀ ζ ∈ Ω, k = 1, 2, . . . , n,
де ξj = fj(ζ) i Fj : Dj → C — деяка голоморфна в областi Dj функцiя.
Доведення. Оскiльки функцiя Φ0k набуває значення в iдеалi Ik, то справедлива рiв-
нiсть
Φ0k(ζ) =
n∑
j=1,j 6=k
Vj(x1, x2, . . . , xm)Ij, (10)
де Vj — деякi комплекснозначнi функцiї, визначенi в конгруентнiй до областi Ω областi{
(x1, x2, . . . , xm) ∈ R
m : ζ =
m∑
j=1
xjej ∈ Ω
}
m-вимiрного дiйсного простору R
m.
Подiємо на рiвнiсть (10) операторами Aj при j = 1, 2, . . . , n, j 6= k, i, враховуючи спiв-
вiдношення (8) i (3), отримаємо рiвностi Fj(ξp) = Vj(x1, x2, . . . , xm). Теорему доведено.
Як наслiдок теорем 1, 2 отримуємо таке твердження.
Теорема 3. Нехай при всiх k ∈ {1, 2, . . . , n} виконується рiвнiсть fk(Em) = C i область
Ω ⊂ Em є опуклою по множинi напрямкiв Mk. Тодi кожна моногенна функцiя Φ: Ω → An
подається у виглядi
Φ(ζ) =
n∑
j=1
Fj(ξj)Ij ∀ ζ ∈ Ω, (11)
де ξj = fj(ζ) i Fj : Dj → C — деяка голоморфна в областi Dj функцiя.
З рiвностi (11), права частина якої є моногенною функцiєю в областi D := {ζ ∈ Em :
fk(ζ) ∈ Dk, k = 1, 2, . . . , n}, випливає таке твердження.
Теорема 4. Нехай при всiх k ∈ {1, 2, . . . , n} виконується рiвнiсть fk(Em) = C, область
Ω ⊂ Em є опуклою по множинi напрямкiв Mk i функцiя Φ: Ω → An моногенна в областi Ω.
Тодi Φ продовжується до функцiї, моногенної в областi D.
Зауваження 1. Умова опуклостi областi Ω ⊂ Em по множинi напрямкiв Mk в попереднiх
теоремах, взагалi кажучи, є iстотною при m < 2n, як показує приклад 1 з роботи [10].
У випадку m = 2n цю умову можна опустити. Зокрема, доведення твердження теореми 3
проводиться за схемою доведення теореми про розклад Рiнглеба для аналiтичних функцiй
бiкомплексної змiнної (див., наприклад, [4 с. 136]).
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №1
Зауваження 2. У роботi [7] доведено полiцилiндричну теорему Рiмана, з якої випливає,
що у випадку m = 2n, тобто коли Em = An, область D можна вiдобразити на одиничний
полiкруг функцiєю, що має розклад (11) в областi Ω = D. З теореми 3 випливає, що таке
вiдображення є моногенною функцiєю в областi D.
Принциповим наслiдком рiвностi (11) є нижченаведене твердження, справедливе для
довiльної областi Ω.
Теорема 5. Нехай при всiх k ∈ {1, 2, . . . , n} виконується рiвнiсть fk(Em) = C i функ-
цiя Φ: Ω → An моногенна в довiльнiй областi Ω ⊂ Em. Тодi похiднi Гато всiх порядкiв
функцiї Φ є моногенними функцiями в областi Ω.
Доведення. Нехай куля Θ з центром у довiльнiй фiксованiй точцi ζ0 повнiстю мiститься
в областi Ω. Оскiльки Θ є опуклою областю, то в кулi Θ справедлива рiвнiсть (11), з якої
випливає, що компоненти Uj розкладу (4) — нескiнченно диференцiйовнi за змiнними xk,
k = 1, 2, . . . ,m. При цьому похiдна Гато Φ′ задовольняє умови вигляду (5), а отже, є моно-
генною функцiєю. Аналогiчно доводиться, що похiднi Гато наступних порядкiв функцiї Φ
є моногенними в областi Ω. Теорему доведено.
3. Приклади. 1. Розглянемо алгебру A2, яка збiгається з алгеброю бiкомплексних чисел
i є iзоморфною алгебрi комутативних кватернiонiв К. Сегре {x+ iy+ jz + kt : i2 = j2 = −1,
ij = k, x, y, z, t ∈ R}. При цьому базис К. Сегре: e1 = 1, e2 = i, e3 = j, e4 = k задовольняє
умови
e21 + e22 + e23 + e24 = 0, e2k 6= 0, k = 1, 2, 3, 4,
а моногеннi функцiї Φ(ζ) змiнної ζ = xe1 + ye2 + ze3 + te4, де x, y, z, t ∈ R, задовольняють
чотиривимiрне рiвняння Лапласа, оскiльки
∂2Φ
∂x2
+
∂2Φ
∂y2
+
∂2Φ
∂z2
+
∂2Φ
∂t2
= Φ′′(ζ)(e21 + e22 + e23 + e24) = 0.
Розглянемо в алгебрi A2 трiйку елементiв
e1 = 1, e2 =
i√
2
, e3 =
i√
2
(I1 − I2),
що задовольняють умову (1). Тодi кожна моногенна функцiя Φ(ζ) змiнної ζ = xe1+ye2+ze3
задовольняє тривимiрне рiвняння Лапласа, оскiльки виконуються рiвностi (2), а компонен-
ти U1, U2, U3, U4 розкладу
Φ(ζ) = U1(x, y, z) + iU2(x, y, z) + jU3(x, y, z) + kU4(x, y, z)
функцiї Φ за базисом К. Сегре є просторовими гармонiчними функцiями.
2. Всi базиси алгебри A3, що задовольняють рiвнiсть (1) i нерiвностi e2k 6= 0 при k = 1, 2, 3,
описано в теоремi 1.10 роботи [9].
3. Розглянемо алгебру An, ї ї базис
e1 = 1, ek = iIk−1 при k = 2, 3, . . . , n− 1, en = iIn−1 − iIn,
що задовольняє умови
e21 + e22 + . . .+ e2n = 0, e2k 6= 0, k = 1, 2, . . . , n,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №1 19
i лiнiйну оболонку En :=
{
ζ =
n∑
j=1
xjej : xj ∈ R
}
, породжену векторами цього базису. Тодi
кожна моногенна функцiя Φ(ζ) змiнної ζ ∈ En, задовольняє n-вимiрне рiвняння Лапласа,
оскiльки
∂2Φ
∂x2
1
+
∂2Φ
∂x2
2
+ · · ·+ ∂2Φ
∂x2n
= Φ′′(ζ)(e21 + e22 + · · ·+ e2n) = 0.
Якщо ж в алгебрi An розглянемо елементи
e1 = 1, e2 = I2, e3 = I3, . . . , en = In,
en+1 = i, en+2 = iI2, en+3 = iI3, . . . , e2n = iIn,
що задовольняють умови
e21 + e22 + · · ·+ e22n = 0, e2k 6= 0, k = 1, 2, . . . , 2n,
то кожна моногенна функцiя Φ(ζ) змiнної ζ =
2n∑
j=1
xjej , де xj ∈ R, буде задовольняти 2n-ви-
мiрне рiвняння Лапласа, оскiльки
∂2Φ
∂x2
1
+
∂2Φ
∂x2
2
+ · · ·+ ∂2Φ
∂x2
2n
= Φ′′(ζ)(e21 + e22 + · · ·+ e22n) = 0.
1. Гамильтон У. Р. Избранные труды: Оптика. Динамика. Кватернионы. – Москва: Наука, 1994. – 560 с.
2. Segre C. The real representations of complex elements and extensions to bicomlex systems // Math. Ann. –
1892. – 40 – P. 413–467.
3. Ringleb F. Beiträge zur funktionentheorie in hyperkomplexen systemen // Rend. Circ. Mat. Palermo. –
1933. – 57 – P. 311–340.
4. Riley J. D. Contributions to the theory of functions of a bicomplex variable // Tohoku Math. J. 2nd series
5. – 1953. – 30, No 4. – P. 132–165.
5. Price G. B. An introduction to multicomplex spaces and functions. – New York: Marcel Dekker, 1991. –
398 p.
6. Rönn S. Bicomplex algebra and function theory // arXiv:math.CV/0101200.
7. Бахтин А.К. Обобщение некоторых результатов теории однолистных функций на многомерные
комплексные пространства // Доп. НАН України. – 2011. – № 3. – С. 7–11.
8. Ketchum P.W. Analytic functions of hypercomplex variables // Trans. Amer. Math. Soc. – 1928. – 30,
No 4. – P. 641–667.
9. Мельниченко И.П., Плакса С.А. Коммутативные алгебры и пространственные потенциальные поля. –
Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2008. – 230 с.
10. Pukhtaievych R.P. Monogenic functions in a three-dimensional harmonic semi-simple algebra // Зб. праць
Iн-ту математики НАН України. – 2013. – 10, No 4–5. – С. 352–361.
11. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1962. –
829 с.
12. Плакса С.А., Шпаковский В.С. Конструктивное описание моногенных функций в гармонической
алгебре третьего ранга // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 8. – С. 1078–1091.
Надiйшло до редакцiї 18.06.2013Iнститут математики НАН України, Київ
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №1
С.А. Плакса, Р. П. Пухтаевич
Конструктивное описание моногенных функций в конечномерной
полупростой коммутативной алгебре
Получено конструктивное описание моногенных функций, принимающих значения в конеч-
номерной полупростой коммутативной алгебре, с помощью аналитических функций комп-
лексной переменной. Доказано, что такие моногенные функции имеют производные Гато
всех порядков.
S.A. Plaksa, R.P. Pukhtaievych
Constructive description of monogenic functions in a finite-dimensional
semisimple commutative algebra
We obtain a constructive description of monogenic functions taking values in a finite-dimensional
semisimple commutative algebra by means of analytic functions of the complex variable. We prove
that the mentioned monogenic functions have the Gateaux derivatives of all orders.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №1 21
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86782 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-27T16:40:43Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Плакса, С.А. Пухтаєвич, Р.П. 2015-10-01T16:48:50Z 2015-10-01T16:48:50Z 2014 Конструктивний опис моногенних функцій в скінченновимірній напівпростій комутативній алгебрі / С.А. Плакса, Р.П. Пухтаєвич // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 1. — С. 14–21. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86782 517.9 Одержано конструктивний опис моногенних функцiй, що набувають значень в скiнченновимiрнiй напiвпростiй комутативнiй алгебрi, за допомогою аналiтичних функцiй комплексної змiнної. Доведено, що такi моногеннi функцiї мають похiднi Гато усiх порядкiв. Получено конструктивное описание моногенных функций, принимающих значения в конечномерной полупростой коммутативной алгебре, с помощью аналитических функций комплексной переменной. Доказано, что такие моногенные функции имеют производные Гато всех порядков. We obtain a constructive description of monogenic functions taking values in a finite-dimensional semisimple commutative algebra by means of analytic functions of the complex variable. We prove that the mentioned monogenic functions have the Gateaux derivatives of all orders. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Конструктивний опис моногенних функцій в скінченновимірній напівпростій комутативній алгебрі Конструктивное описание моногенных функций в конечномерной полупростой коммутативной алгебре Constructive description of monogenic functions in a finite-dimensional semisimple commutative algebra Article published earlier |
| spellingShingle | Конструктивний опис моногенних функцій в скінченновимірній напівпростій комутативній алгебрі Плакса, С.А. Пухтаєвич, Р.П. Математика |
| title | Конструктивний опис моногенних функцій в скінченновимірній напівпростій комутативній алгебрі |
| title_alt | Конструктивное описание моногенных функций в конечномерной полупростой коммутативной алгебре Constructive description of monogenic functions in a finite-dimensional semisimple commutative algebra |
| title_full | Конструктивний опис моногенних функцій в скінченновимірній напівпростій комутативній алгебрі |
| title_fullStr | Конструктивний опис моногенних функцій в скінченновимірній напівпростій комутативній алгебрі |
| title_full_unstemmed | Конструктивний опис моногенних функцій в скінченновимірній напівпростій комутативній алгебрі |
| title_short | Конструктивний опис моногенних функцій в скінченновимірній напівпростій комутативній алгебрі |
| title_sort | конструктивний опис моногенних функцій в скінченновимірній напівпростій комутативній алгебрі |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86782 |
| work_keys_str_mv | AT plaksasa konstruktivniiopismonogennihfunkcíivskínčennovimírníinapívprostíikomutativníialgebrí AT puhtaêvičrp konstruktivniiopismonogennihfunkcíivskínčennovimírníinapívprostíikomutativníialgebrí AT plaksasa konstruktivnoeopisaniemonogennyhfunkciivkonečnomernoipoluprostoikommutativnoialgebre AT puhtaêvičrp konstruktivnoeopisaniemonogennyhfunkciivkonečnomernoipoluprostoikommutativnoialgebre AT plaksasa constructivedescriptionofmonogenicfunctionsinafinitedimensionalsemisimplecommutativealgebra AT puhtaêvičrp constructivedescriptionofmonogenicfunctionsinafinitedimensionalsemisimplecommutativealgebra |