Про множини рівня псевдогармонічної функції на площині
Нехай T є лiсом, який є об’єднанням скiнченної кiлькостi локально скiнченних дерев, V₀ є множиною його вершин валентностi 1. Запропоновано достатню умову того, щоб образ вкладення Ψ: T \ V₀ → R² був множиною рiвня псевдогармонiчної функцiї. Пусть T лес, состоящий из конечного количества локальн...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86783 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про множини рівня псевдогармонічної функції на площині / Є.О. Полулях // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 1. — С. 22–26. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859615196441477120 |
|---|---|
| author | Полулях, Є.О. |
| author_facet | Полулях, Є.О. |
| citation_txt | Про множини рівня псевдогармонічної функції на площині / Є.О. Полулях // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 1. — С. 22–26. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Нехай T є лiсом, який є об’єднанням скiнченної кiлькостi локально скiнченних дерев,
V₀ є множиною його вершин валентностi 1. Запропоновано достатню умову того, щоб
образ вкладення Ψ: T \ V₀ → R² був множиною рiвня псевдогармонiчної функцiї.
Пусть T лес, состоящий из конечного количества локально конечных деревьев, V₀ — множество его вершин валентности 1. Предложено достаточное условие того, чтобы образ
вложения Ψ: T \ V₀ → R² являлся множеством уровня псевдогармонической функции.
Let T be a forest, which consists of a finite number of locally finite trees. Let V₀ be the set of
all vertices of T of degree 1. We propose a sufficient condition for the image of an embedding
Ψ: T \ V₀ → R² to be a level set of a pseudoharmonic function.
|
| first_indexed | 2025-11-28T18:25:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 515.173.2,517.54,517.572
Є.О. Полулях
Про множини рiвня псевдогармонiчної функцiї
на площинi
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В.В. Шарком)
Нехай T є лiсом, який є об’єднанням скiнченної кiлькостi локально скiнченних дерев,
V0 є множиною його вершин валентностi 1. Запропоновано достатню умову того, щоб
образ вкладення Ψ: T \ V0 → R
2 був множиною рiвня псевдогармонiчної функцiї.
1. Означення i основний результат. Нехай Γ = (V,E) — граф (можливо, нескiнченний)
з множиною вершин V i множиною ребер E.
Валентнiстю вершини далi називатимемо кiлькiсть ребер, iнцидентних данiй вершинi.
Будемо вважати, що ця величина для кожної вершини скiнченна (такi графи називаються
локально скiнченними). Позначимо через V0 множину всiх вершин Γ валентностi 1.
Шляхом, що з’єднує вершини v′, v′′ ∈ V , називається скiнченна послiдовнiсть ребер
ek = (vk−1, vk), k = 1, . . . , n, така, що v′ = v0, v
′′ = vn, i ek 6= el при k 6= l. Шлях називається
простим, якщо vi 6= vj при i 6= j, i, j ∈ {0, 1, . . . , n}.
На графi Γ можна природним чином задати структуру топологiчного простору Γ̂
(див. [1]). Ми не будемо розрiзняти граф Γ i його “топологiчний носiй” Γ̂.
Припустимо, що граф T є деревом (кожну пару рiзних вершин T можна з’єднати єдиним
шляхом).
Нехай S2 — двовимiрна сфера. Зафiксуємо точку s ∈ S2, наприклад її пiвнiчний полюс.
Означення 1 (див. [1]). Неперервне вiдображення Φ: T → S2 називається плоским,
якщо воно вiдповiдає таким властивостям:
(i) Φ−1(s) = V0;
(ii) множина Φ(T )
⋃
{s} замкнена в S2;
(iii) вiдображення Φ|T\V0
: T \ V0 → S2 є гомеоморфiзмом на свiй образ.
Означення 2 (див. [1]). Неперервне вiдображення Ψ: T \V0 → R
2 називається плоским,
якщо iснують такi плоске вiдображення Φ: T → S2 i гомеоморфiзм ψ : R2 → S2 \ {s}, що
Ψ = ψ−1 ◦Φ|T\V0
.
Розглянемо скiнченний лiс T = T1
⊔
· · ·
⊔
Tn (диз’юнктне об’єднання скiнченної кiлькос-
тi дерев, самi дерева можуть бути i нескiнченними).
Означення 3. Неперервне вiдображення Ψ: T \ V0 → R
2 називається плоским, якщо
плоскими є всi вiдображення Ψi = Ψ|Ti\V0
: Ti \V0 → R
2, а також Ψ(Ti \V0)
⋂
Ψ(Tj \V0) = ∅
при i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j.
Означення 4 (див. [2, 3]). Функцiя f : R2 → R називається псевдогармонiчною в точцi
z ∈ R
2, якщо iснують вiдкритий окiл Uz цiєї точки i гомеоморфiзм ϕ : Uz → {(x, y) ∈
∈ R
2 | x2 + y2 < 1} такi, що ϕ(z) = 0 i функцiя f ◦ ϕ−1 гармонiчна i не є константою.
Функцiя f : R2 → R називається псевдогармонiчною, якщо вона псевдогармонiчна в кож-
нiй точцi z ∈ R
2.
© Є. О. Полулях, 2014
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №1
Зауваження 1. Легко перевiрити, що функцiя f є псевдогармонiчною в точцi z ∈ R
2
тодi й тiльки тодi, коли можна так пiдiбрати гомеоморфiзм ϕ, що f ◦ ϕ−1(w) = Re(wk)
при деякому k ∈ N (див. [2]). Якщо k = 1, точка z називається регулярною, iнакше —
критичною.
Зрозумiло, що множина критичних точок псевдогармонiчної функцiї дискретна.
Теорема 1. Припустимо, що валентнiсть кожної вершини скiнченного локально скiн-
ченного лiсу T або дорiвнює 1, або є парним числом, бiльшим 2. Нехай Ψ: T \ V0 → R
2 —
плоске вiдображення. Тодi iснує псевдогармонiчна функцiя f : R2 → R, для якої Ψ(T \V0) =
= f−1(0).
Для випадку гармонiчних функцiй структура лiнiй рiвня вивчалася в роботах [4, 5].
Далi ми будемо позначати через IntA, A i FrA внутрiшнiсть, замикання i межу мно-
жини A вiдповiдно.
2. Схема доведення теореми 1. 1. Доведення теореми 1 для одного дерева. У ро-
ботi [1] автором був доведений аналог теореми 1 для одного дерева. А саме, справедливе
таке твердження:
Нехай T — локально скiнченне дерево, валентнiсть вершин якого або дорiвнює 1, або
є парним числом, бiльшим 2. Для кожного його плоского вiдображення Ψ: T \ V0 → R
2
iснує псевдогармонiчна функцiя f : R2 → R така, що Ψ(T \ V0) = f−1(0).
Для того щоб зрозумiти iдею доведення теореми 1, зупинимося коротко на доведеннi
цього твердження.
Розглянемо дерево T . Нехай вiдображення Ψ: T \V0 → R
2, Φ: T → S2 i ψ : R2 → S2 \{s}
вiдповiдають означенню 2.
Позначимо через Q = {Qλ}λ∈Λ множину, елементами якої є компоненти зв’язностi до-
повнення R
2 \ Ψ(T \ V0). Назвемо множини Qλ, Qµ ∈ Q, λ 6= µ, сусiднiми, якщо множина
FrQλ
⋂
FrQµ мiстить бiльше однiєї точки.
В [1] доведенi такi властивостi множини Q i ї ї елементiв.
1. Для кожної множини Qλ в деревi T iснує шлях Pλ (можливо, нескiнченний) такий, що
межа FrQλ збiгається з множиною Ψ(Pλ \V0). Крiм того, множина Frψ(Qλ) = Φ(Pλ)
⋃
{s0}
гомеоморфна колу.
2. Для кожної пари сусiднiх елементiв Qλ, Qµ ∈ Q, перетин FrQλ
⋂
FrQµ є зв’язною
множиною. Точнiше, знайдеться шлях Pλµ = Pλ
⋂
Pµ ⊂ T (можливо, нескiнченний) такий,
що FrQλ
⋂
FrQµ = Ψ(Pλµ \ V0).
3. Якщо валентнiсть кожної вершини дерева T або дорiвнює 1, або є парним числом, то
iснує функцiя Sign: Q → {−1, 1} така, що Sign(Qλ) 6= Sign(Qµ) для кожної пари сусiднiх
елементiв Qλ, Qµ ∈ Q.
Нехай валентнiсть кожної вершини дерева T або дорiвнює 1, або є парним числом,
бiльшим 2. Для побудови функцiї f ми скористаємося таким топологiчним критерiєм того,
що функцiя є псевдогармонiчною (див. [4]).
Нехай F — двовимiрна поверхня, f : F → R — функцiя. Позначимо через Lc = {z ∈
∈ F | f(z) = c}, c ∈ f(F ), множину рiвня функцiї f .
Означення 5 (див. [4]). Сiм’я {Lc}c∈f(F ) множин рiвня функцiї f називається одностай-
но локально зв’язною в точцi z ∈ F , якщо для кожного околу W точки z на F знайдеться
iнший окiл W ′ ⊂W точки z такий, що для будь-якого c ∈ f(F ) кожну пару точок з Lc
⋂
W ′
можна з’єднати в W зв’язною пiдмножиною множини Lc.
Якщо сiм’я {Lc}c∈f(F ) одностайно локально зв’язна в кожнiй точцi z ∈ F , кажуть, що
{Lc} одностайно локально зв’язна на F .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №1 23
Теорема 2 [6]. Функцiя f : F → R є псевдогармонiчною на F тодi й лише тодi, коли
виконуються такi умови:
1) функцiя f неперервна;
2) вiдображення f вiдкрите;
3) сiм’я {Lc}c∈f(F ) множин рiвня функцiї f одностайно локально зв’язна на F , мож-
ливо за виключенням деякого дисконтинуума E ⊂ F .
Розглянемо верхню напiвплощину W+ = R× [0,+∞) i координатну проекцiю pr2 : W+ →
→ R, pr2(x1, x2) = x2, (x1, x2) ∈W+. Очевидно, сiм’я множин рiвня функцiї pr2 є одностайно
локально зв’язною на W+.
Легко бачити, що для кожного Qλ ∈ Q ми можемо вибрати гомеоморфiзм hλ : Qλ →W+.
Зрозумiло, що сiм’я множин рiвня функцiї f̂λ = pr2 ◦hλ : Qλ → R є одностайно локально
зв’язною на Qλ, а також f̂λ(z) = 0 на FrQλ i f̂λ(z) > 0 на Qλ.
Означимо f : R2 → R,
f(z) = Sign(Qλ)f̂λ(z), якщо z ∈ Qλ.
З властивостей f̂λ випливає, що це визначення коректне i функцiя f неперервна. За раху-
нок того, що Sign(Qλ) 6= Sign(Qµ) для кожної пари сусiднiх елементiв Qλ, Qµ ∈ Q, легко
перевiряється вiдкритiсть f на R
2 i одностайна локальна зв’язнiсть її множин рiвня всюди,
крiм образiв вершин дерева T (а вони утворюють дискретну множину).
Отже, з теореми 2 випливає, що функцiя f псевдогармонiчна. За побудовою виконується
також рiвнiсть f−1(0) =
⋃
λ∈Λ
FrQλ = Ψ(T \ V0).
2. Доведення для скiнченного лiсу. Розглянемо скiнченний лiс T = T1
⊔
· · ·
⊔
Tn, валент-
нiсть вершин якого або дорiвнює 1, або є парним числом, бiльшим 2. Нехай вiдображення
Ψ: T \ V0 → R
2 вiдповiдає означенню 3.
Iдея побудови функцiї f у цьому випадку подiбна до тiєї, яка була використана для
одного дерева. Рiзниця полягає в тому, що замикання компонент доповнення до образу лiсу
в площинi, а також їх взаємне розташування мають бiльш складну будову. Тому визначення
функцiй Sign i f вимагає додаткових зусиль.
Введемо такi позначення. Нехай Q = {Qλ}λ∈Λ є множиною всiх компонент зв’язностi
доповнення R
2 \ Ψ(T \ V0), iндексованих за допомогою елементiв деякої множини Λ. Для
кожного i ∈ {1, . . . , n} нехай
Qi = {Qλ}λ∈Λi
, Λi = {λ ∈ λ|Qλ
⋂
Ψ(Ti \ V0) 6= ∅}
є множиною тих компонент R
2 \ Ψ(T \ V0), якi межують з образом дерева Ti.
Нехай Q(i) є множиною компонент доповнення R
2 \ Ψ(Ti \ V0), i ∈ {1, . . . , n}.
Зрозумiло, що для будь-якого i ∈ {1, . . . , n} кожна множина, яка є елементом Q, мiстить-
ся в якiйсь множинi, що є елементом Q(i). З iншого боку, справедливим є нижченаведене.
Твердження 1. Нехай i ∈ {1, . . . , n}. Кожна множина, яка є елементом Q(i), мiс-
тить рiвно одну пiдмножину, що є елементом Qi.
Наслiдок 1. Для кожного i ∈ {1, . . . , n} iснує бiєктивна вiдповiднiсть мiж множи-
нами Qi та Q(i).
Отже, ми можемо iндексувати елементи Q(i) за допомогою Λi. Введемо такi позначення:
Q(i) = {Q
(i)
λ }λ∈Λi
, Q
(i)
λ ⊃ Qλ, i ∈ {1, . . . , n}.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №1
Для кожного i = 1, . . . , n на множинi Q(i) визначена функцiя Sign(i) : Q(i) → {−1, 1}
така, що Sign(i)(Q
(i)
λ ) 6= Sign(i)(Q(i)
µ ) для кожної пари сусiднiх елементiв Q
(i)
λ , Q(i)
µ ∈ Q(i)
(див. вище). Означимо Signi : Qi → {−1, 1} таким чином:
Signi(Qλ) = Sign(i)(Q
(i)
λ ) λ ∈ Λi.
Для побудови функцiї Sign: Q → {−1, 1} зiставимо плоскому вiдображенню Ψ нижче-
поданий граф G.
Вершинами графа G нехай будуть такi об’єкти.
1. Дерева T1, . . . , Tn.
2. Елементи Qλ ∈ Q, якi межують з образом бiльш нiж одного дерева з T . Тобто λ ∈
∈ Λ0 =
⋃
i 6=j(Λi
⋂
Λj).
Вершини Qλ i Ti з’єднаємо ребром, якщо λ ∈ Λi (тобто Ψ(Ti \ V0)
⋂
Qλ 6= ∅).
Граф G = (V,E) є дводольним (можина його вершин розпадається в суму двох пiдмно-
жин, що не перетинаються, V = V ′ ⊔V ′′, а кiнцi кожного ребра мають належати до рiзних
пiдмножин з цiєї суми).
Лема 1. Граф G є деревом.
Наслiдок 2. Для кожної пари сусiднiх елементiв Qλ, Qµ ∈ Q iснує єдиний iндекс
i ∈ {1, . . . , n} такий, що Qλ, Qµ ∈ Qi.
Множини Q
(i)
λ , Q(i)
µ ∈ Q(i) сусiднi.
Перетин FrQλ
⋂
FrQµ є зв’язною множиною.
Розглянемо таку комбiнаторну конструкцiю.
Нехай граф Γ = (V,E) — дводольний, V = V ′ ⊔V ′′. Вершини v1, v2 ∈ V будемо називати
сусiднiми, якщо вони з’єднанi ребром, тобто (v1, v2) ∈ E.
Нехай v ∈ V . Позначимо через
N(v) = {w ∈ V | (v,w) ∈ E}
множину всiх вершин G, що є сусiднiми з v. Зрозумiло, що коли граф G дводольний, то
N(v′) ⊂ V ′′ для кожного v′ ∈ V ′, i навпаки, N(v′′) ⊂ V ′ для кожного v′′ ∈ V ′′.
Зафiксуємо функцiї
fv : N(v) → {−1, 1}, v ∈ V ′. (1)
Для кожного ε : V ′ → {−1, 1} розглянемо набiр функцiй
ϕε
v = ε(v) · fv : N(v) → {−1, 1}, v ∈ V ′. (2)
Скажемо, що функцiї ϕε
v1
i ϕε
v2
узгодженi, якщо
або N(v1)
⋂
N(v2) = ∅;
або ϕε
v1
(w) = ϕε
v2
(w) для кожної вершини w ∈ N(v1)
⋂
N(v2).
Твердження 2. Якщо дводольний граф Γ є деревом, то для довiльного набору функ-
цiй (1) знайдеться вiдображення ε : V ′ → {−1, 1} таке, що для кожної пари вершин v1,
v2 ∈ V ′ функцiї ϕε
v1
i ϕε
v2
узгодженi.
Наслiдок 3. Iснує така функцiя ε : {1, . . . , n} → {−1, 1}, що ε(r) Signr(Qλ) =
= ε(s) Signs(Qλ), якщо λ ∈ Λr
⋂
Λs, r, s ∈ {1, . . . , n}.
Лема 2. Iснує вiдображення Sign: Q → {−1, 1} таке, що Sign(Qλ) 6= Sign(Qµ) для
кожної пари сусiднiх елементiв Qλ, Qµ ∈ Q.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №1 25
Зафiксуємо гомеоморфiзм ψ : R2 → S2 \ {s}.
Множини Qλ, λ ∈ Λ, бувають двох рiзних типiв.
Якщо λ /∈ Λ0 (Qλ межує з образом тiльки одного дерева з T ), то, як i ранiше, мно-
жина Frψ(Qλ) гомеоморфна колу i мiстить точку s. Тому множина ψ(Qλ) гомеоморфна
замкненому диску.
Якщо ж λ ∈ Λ0, то можна довести, що множина Frψ(Qλ) є об’єднанням скiнченної
кiлькостi простих замкнених кривих, якi проходять через точку s i не мають iнших попарних
перетинiв. У цьому випадку ψ(Qλ) є фактор-множиною замкненого диску по скiнченнiй
пiдмножинi, яка лежить на його граничному колi.
Твердження 3. Для кожного λ ∈ Λ iснує неперервна вiдкрита функцiя f̂λ : Qλ → R
така, що f̂λ(z) = 0 на FrQλ i f̂λ(z) > 0 на Qλ, сiм’я множин рiвня якої є одностайно
локально зв’язною всюди на Qλ, крiм, можливо, скiнченної пiдмножини областi Qλ.
Як i ранiше, означимо f : R2 → R, f(z) = Sign(Qλ)f̂λ(z), якщо z ∈ Qλ. З властивостей
f̂λ випливає, що це визначення коректне i функцiя f неперервна. За рахунок того, що
Sign(Qλ) 6= Sign(Qµ) для кожної пари сусiднiх елементiв Qλ, Qµ ∈ Q, легко перевiряється
вiдкритiсть f на R
2 i одностайна локальна зв’язнiсть її множин рiвня всюди, крiм дискретної
множини.
Отже, з теореми 2 випливає, що функцiя f псевдогармонiчна. За побудовою виконується
також рiвнiсть f−1(0) =
⋃
λ∈Λ
FrQλ = Ψ(T \ V0).
1. Полулях Є. Дерева як множини рiвня псевдо-гармонiчних функцiй на площинi // Укр. мат. журн. –
2013. – 65, № 7. – С. 975–995.
2. Morse M. Topological methods in the theory of functions of a complex variable. – Princeton: Inst. for Adv.
Study, 1947. – 145 p.
3. Polulyakh E., Yurchuk I. On the pseudo-harmonic functions defined on a disk // Працi Iнституту мате-
матики НАН України. – Київ, 2009. – Т. 80. – 151 с.
4. Шарко В.В. Топологическая классификация функций // Доп. НАН України. – 2013. – № 4. – С. 23–35.
5. Шарко В.В. Топологическая эквивалентность гармонических полиномов // Зб. праць Iн-ту матема-
тики НАН Укарїни. – 2013. – 7, № 1. – С. 534–543.
6. Tôki Y. A topological characterization of pseudo-harmonic functions // Osaka Math. J. – 1951. – 3, No 1. –
P. 101–122.
Надiйшло до редакцiї 05.07.2013Iнститут математики НАН України, Київ
Е.А. Полулях
О множествах уровня псевдогармонической функции на плоскости
Пусть T — лес, состоящий из конечного количества локально конечных деревьев, V0 — мно-
жество его вершин валентности 1. Предложено достаточное условие того, чтобы образ
вложения Ψ: T \ V0 → R
2 являлся множеством уровня псевдогармонической функции.
Ye. O. Polulyakh
On level sets of a pseudoharmonic function on a plane
Let T be a forest, which consists of a finite number of locally finite trees. Let V0 be the set of
all vertices of T of degree 1. We propose a sufficient condition for the image of an embedding
Ψ: T \ V0 → R
2 to be a level set of a pseudoharmonic function.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86783 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-28T18:25:45Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Полулях, Є.О. 2015-10-01T16:49:22Z 2015-10-01T16:49:22Z 2014 Про множини рівня псевдогармонічної функції на площині / Є.О. Полулях // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 1. — С. 22–26. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86783 515.173.2,517.54,517.572 Нехай T є лiсом, який є об’єднанням скiнченної кiлькостi локально скiнченних дерев, V₀ є множиною його вершин валентностi 1. Запропоновано достатню умову того, щоб образ вкладення Ψ: T \ V₀ → R² був множиною рiвня псевдогармонiчної функцiї. Пусть T лес, состоящий из конечного количества локально конечных деревьев, V₀ — множество его вершин валентности 1. Предложено достаточное условие того, чтобы образ вложения Ψ: T \ V₀ → R² являлся множеством уровня псевдогармонической функции. Let T be a forest, which consists of a finite number of locally finite trees. Let V₀ be the set of all vertices of T of degree 1. We propose a sufficient condition for the image of an embedding Ψ: T \ V₀ → R² to be a level set of a pseudoharmonic function. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Про множини рівня псевдогармонічної функції на площині О множествах уровня псевдогармонической функции на плоскости On level sets of a pseudoharmonic function on a plane Article published earlier |
| spellingShingle | Про множини рівня псевдогармонічної функції на площині Полулях, Є.О. Математика |
| title | Про множини рівня псевдогармонічної функції на площині |
| title_alt | О множествах уровня псевдогармонической функции на плоскости On level sets of a pseudoharmonic function on a plane |
| title_full | Про множини рівня псевдогармонічної функції на площині |
| title_fullStr | Про множини рівня псевдогармонічної функції на площині |
| title_full_unstemmed | Про множини рівня псевдогармонічної функції на площині |
| title_short | Про множини рівня псевдогармонічної функції на площині |
| title_sort | про множини рівня псевдогармонічної функції на площині |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86783 |
| work_keys_str_mv | AT polulâhêo promnožinirívnâpsevdogarmoníčnoífunkcíínaploŝiní AT polulâhêo omnožestvahurovnâpsevdogarmoničeskoifunkciinaploskosti AT polulâhêo onlevelsetsofapseudoharmonicfunctiononaplane |