Обратная спектральная задача для самосопряженного дифференциального оператора при одномерном возмущении
Изучен случай одномерного возмущения оператора второй производной на конечном отрезке, а также решена обратная задача нахождения возмущения по заданному спектру. Вивчено випадок одновимiрного збурення оператора другої похiдної на кiнцевому вiдрiзку,
 а також вирiшена обернена задача знаходже...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86784 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Обратная спектральная задача для самосопряженного дифференциального оператора при одномерном возмущении / А.Н. Сыровацкий // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 1. — С. 27–32. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860094459483521024 |
|---|---|
| author | Сыровацкий, А.Н. |
| author_facet | Сыровацкий, А.Н. |
| citation_txt | Обратная спектральная задача для самосопряженного дифференциального оператора при одномерном возмущении / А.Н. Сыровацкий // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 1. — С. 27–32. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Изучен случай одномерного возмущения оператора второй производной на конечном отрезке, а также решена обратная задача нахождения возмущения по заданному спектру.
Вивчено випадок одновимiрного збурення оператора другої похiдної на кiнцевому вiдрiзку,
а також вирiшена обернена задача знаходження збурення по заданому спектру.
The case of a one-dimensional perturbation of the operator of flexon on a finite interval is studied.
The inverse task of finding a perturbation by the given spectrum is solved.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:25:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.984
А.Н. Сыровацкий
Обратная спектральная задача для самосопряженного
дифференциального оператора при одномерном
возмущении
(Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым)
Изучен случай одномерного возмущения оператора второй производной на конечном от-
резке, а также решена обратная задача нахождения возмущения по заданному спектру.
1. Постановка задачи и предварительные сведения. Исследуется возмущение диф-
ференциального самосопряженного оператора специального вида, действующего в гильбер-
товом пространстве. В работе решается прямая задача исследования спектра возмущенного
оператора и обратная спектральная задача. Под обратной спектральной задачей понимается
нахождение условий на спектры возмущенного и невозмущенного оператора для существо-
вания возмущения определенного вида, а также восстановления возмущения (возможно,
неединственным образом).
Пусть L — линейный оператор в гильбертовом пространстве с плотной областью опре-
деления D(L). Рассмотрим уравнение на собственной функции оператора L
Ly = λy,
где y = y(x) принадлежит D(L), а λ — некоторый параметр. Функция, которая удовлет-
воряет этому уравнению и принадлежит D(L), называется собственной функцией данного
оператора. Соответствующее значение λ называется собственным значением.
Рассмотрим самосопряженный дифференциальный оператор L0y = −y′′, действующий
в гильбертовом пространстве L2
(0,π), и соответсвующую краевую задачу
L0y = λ2y,
y(0) = y(π),
y′(0) = y′(π),
(1)
где λ ∈ R.
Утверждение 1. Спектр оператора (1) σ(L0) = {λ ∈ C : λ = 2n, n ∈ Z}.
Рассмотрим краевую задачу для возмущенного оператора. Пусть L — интегро-диффе-
ренциальный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве L2
(0,π): Ly = −y′′ +
+ 〈y, φ〉φ, где φ — вещественная функция из L2
(0,π), φ(x) = φ(π − x). Исследуем краевую
задачу
Ly = λ2y,
y(0) = y(π),
y′(0) = y′(π),
(2)
где λ ∈ R.
© А.Н. Сыровацкий, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №1 27
2. Прямая спектральная задача.
Утверждение 2. Спектр возмущенного оператора (2) совпадает с корнями уравнения
λ sin
λπ
2
( π∫
0
x∫
π/2
sinλ(x− t)
λ
φtdtφ(x)dx− 1
)
+
+ 2
π/2∫
0
cos λ
(
x− π
2
)
φxdx
π/2∫
0
cosλxφxdx = 0. (3)
Обозначим
Rλ =
π/2∫
0
e−iλy
y∫
π/2
φπ/2+y−tφπ/2−tdtdy, Fλ =
π/2∫
0
eiλtφtdt.
Уравнение (3) примет вид
−2λ sin
λπ
2
+
(
ei
λπ
2 − e−iλπ
2
)
(Rλ −R−λ) + (Fλ + F−λ)
(
e−iλπ
2 Fλ + ei
λπ
2 F−λ
)
= 0.
Рассмотрим функцию
H(λ) = −2λ sin
λπ
2
+
(
ei
λπ
2 − e−iλπ
2
)
(Rλ −R−λ)(Fλ + F−λ)
(
e−iλπ
2 Fλ + ei
λπ
2 F−λ
)
.
Спектр оператора (2) суть корни функции H(λ). Исследуем распределение корней дан-
ной функции.
Пусть функция
Gλ = Rλ −R−λ + FλF−λ + F 2
−λ, (4)
тогда
H(λ) = −2λ sin
λπ
2
+ ei
λπ
2 Gλ + e−iλπ
2 G−λ. (5)
Функции Rλ, Fλ — целые функции экспоненциального типа π/2. Сопряженная индика-
торная диаграмма функции G(λ) — это отрезок мнимой оси [−iπ/2, iπ]. Легко показать,
что функция H(λ) — целая функция экспоненциального типа π и принадлежит классу
Картрайт (классу C) [1]. Индикатор функции H(λ) имеет вид hf (θ) = π| sin θ|. Функция
H(λ) — четная, все ее корни вещественны.
Пусть {αk} — корни H(λ). Функция H(λ) принадлежит классу Картрайт и, значит,
представима в виде [1]
H(λ) = A lim
R→∞
∏
|αn|<R
(
1− λ2
α2
n
)
,
где
A = H(0) = 4
( π/2∫
0
φxdx
)2
.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №1
Тогда распределение корней можно описать при помощи теоремы 1.2 [2].
Применяя данную теорему, получим условия на спектр оператора (2).
Теорема 1. Спектр оператора (2) суть корни функции H(λ) вида (5), распределение
корней которой подчинено следующим условиям:
1) lim
R→∞
R−1 card{αk : 0 < |αk| < R} = 2;
2) n(0, t) = O(t), t → ∞;
3) n(0, t + 1) − n(0, t) = o(t), t → ∞;
4) ∃b ∈ R {ak}:
∫
R
∞∫
0
[n(b, t)− n(x, t)]
t
dt
+
dx
1 + x2
< ∞;
5) αk = −α−k.
3. Обратная спектральная задача. Рассмотрим обратную задачу нахождения воз-
мущения по заданному спектру.
Пусть имеется счетное множество σ ⊂ R. Найдем условия, которым должно удовлетво-
рять σ и возмущение
π∫
0
φxdx, чтобы спектр оператора
Ly = λ2y,
y(0) = y(π),
y′(0) = y′(π)
совпадал с множеством σ, где λ ∈ R, L — самосопряженный оператор в гильбертовом
пространстве L2
(0,π), Ly = −y′′ + 〈y, φ〉φ, φ — вещественная функция из L2
(0,π), φt = φπ−t.
Пусть точки множества σ удовлетворяют условию теоремы 1. Построим по точкам спект-
ра функцию
H(λ) = A lim
R→∞
∏
|αn|<R
(
1− λ2
α2
n
)
, (6)
где константа A ∈ R, A > 0.
Из (5) следует вещественная часть
Re
(
ei
λπ
2 Gλ
)
=
H(λ)
2
+ λ sin
λπ
2
.
.
Обозначим
M(λ) =
H(λ)
2
+ λ sin
λπ
2
.
Пусть для функции M(λ) выполняется условие
∞∫
−∞
|M(x)|2dx < ∞. (7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №1 29
Так как M(λ) — целая функция экспоненциального типа π, то по теореме Винера–
Пэли [3] она представима в виде M(λ) = (1/
√
2π)
π∫
−π
g(t)eitλdt, где g(t) ∈ L2(−π, π). Поэтому
M(λ) ∈ H
+
2 [4]. Тогда по теореме Титчмарша [5]
Im
(
ei
λπ
2 Gλ
)
= − 1
π
v.p.
∫
R
H(λ)
2
+ λ sin
λπ
2
t− x
dt
и для ∀λ ∈ R
ei
λπ
2 Gλ =
H(λ)
2
+ λ sin
λπ
2
− i
π
v.p.
∫
R
H(t)
2
+ t sin
tπ
2
t− λ
dt. (8)
Используя формулы Сохоцкого [6] получаем, что для ∀λ ∈ C \ R
Gλ =
e−iλπ
2
πi
∫
R
H(x)
2
+ x sin
πx
2
x− λ
dx.
Потребуем от функции Gλ +G−λ неотрицательности при вещественном аргументе. Ис-
пользуя (8) и четность функции H(λ), имеем
Gλ +G−λ = e−iλπ
2
H(λ)
2
+ e−iλπ
2 λ sin
λπ
2
+
e−iλπ
2
iπ
v.p.
∫
R
H(t)
2
+ t sin
tπ
2
t− λ
dt+
+ ei
λπ
2
H(λ)
2
+ ei
λπ
2 λ sin
λπ
2
− ei
λπ
2
iπ
v.p.
∫
R
H(t)
2
+ t sin
tπ
2
t− λ
dt =
= 2cos
λπ
2
(
H(t)
2
+ t sin
tπ
2
)
− 2 sin
λπ
2
v.p.
∫
R
H(t)
2
+ t sin
tπ
2
t− λ
dt =
= 2cos
λπ
2
M(λ)− 2 sin
λπ
2
v.p.
∫
R
M(t)
t− λ
dt.
Таким образом, получим еще одно условие на множество σ
2 cos
λπ
2
M(λ)− 2 sin
λπ
2
v.p.
∫
R
M(t)
t− λ
dt > 0. (9)
Из (4), учитывая условие неотрицательности Gλ + G−λ, получаем
Gλ +G−λ = Rλ −R−λ + FλF−λ + F 2
−λ +R−λ −Rλ + F−λFλ + F 2
λ =
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №1
= (Fλ + F−λ)
2 = 4
( π/2∫
0
cos λxφxdx
)2
.
Значит, Fc(λ) = ±(Gλ +G−λ)
1/2/2, где Fc(λ) =
π/2∫
0
cos λtφtdt.
Из (8) при λ = 0 имеем
G(0) =
H(0)
2
− i
π
v.p.
∫
R
H(t)
2
+ t sin
tπ
2
t
dt =
H(0)
2
=
A
2
,
поэтому
( π/2∫
0
φxdx
)2
=
A
4
.
Таким образом, функция φx восстанавливается через обратное косинус-преобразование
Фурье
φx = ±F̃c
{
(Gλ +G−λ)
1/2
2
}
(x), ∀x ∈
[
0;
π
2
]
. (10)
Доопределим функцию φx на интервале [π/2;π] по симметрии
φx = φπ−x, ∀x ∈
[
π
2
;π
]
.
Следует заметить, что функция φx восстанавливается неоднозначно, а с точностью до
константы. Если в формуле (6) взять A = 1, то функция φx восстанавливается однозначно,
с точностью до знака. Таким образом, доказана теорема.
Теорема 2. Пусть имеется счетное множество σ ⊂ R. Если точки множества удов-
летворяют условиям теоремы 1 и условиям (7), (9), то существует возмущение 〈y, φ〉φ,
где φ — вещественная функция из L2
(0,π), φt = φπ−t такое, что σ является спектром
оператора (2). Функция φx восстанавливается однозначно, с точностью до знака по фор-
муле (10).
1. Levin B.Ya. Lectures on entire functions / Transl. Math. Monogr. Vol. 150. – Providence, RI: Amer. Math.
Soc., 1996. – 248 p.
2. Favorov S.Yu. Zero sets of exponential type entire functions with some additional properties on the real
axis // Algebra a Analiz. – 2008. – 20, Is. 1. – P. 138–145.
3. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. – Москва: ГИТТЛ, 1956. – 632 с.
4. Ахиезер Н.И. Лекции об интегральных преобразованиях. – Харьков: Выща шк., 1984. – 122 с.
5. Нуссенцвейг Х.М. Причинность и дисперсионные соотношения. – Москва: Мир, 1976. – 462 с.
6. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. – 3-е изд. – Москва: Наука, 1977. – 640 с.
Поступило в редакцию 27.05.2013Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №1 31
О.М. Сировацький
Обернена спектральна задача для самоспряженого диференцiйного
оператора при одновимiрному збуреннi
Вивчено випадок одновимiрного збурення оператора другої похiдної на кiнцевому вiдрiзку,
а також вирiшена обернена задача знаходження збурення по заданому спектру.
A.N. Syrovatsky
The inverse spectral task for a self-adjoint differential operator
at a one-dimensional perturbation
The case of a one-dimensional perturbation of the operator of flexon on a finite interval is studied.
The inverse task of finding a perturbation by the given spectrum is solved.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86784 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:25:34Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сыровацкий, А.Н. 2015-10-01T16:49:45Z 2015-10-01T16:49:45Z 2014 Обратная спектральная задача для самосопряженного дифференциального оператора при одномерном возмущении / А.Н. Сыровацкий // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 1. — С. 27–32. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86784 517.984 Изучен случай одномерного возмущения оператора второй производной на конечном отрезке, а также решена обратная задача нахождения возмущения по заданному спектру. Вивчено випадок одновимiрного збурення оператора другої похiдної на кiнцевому вiдрiзку,
 а також вирiшена обернена задача знаходження збурення по заданому спектру. The case of a one-dimensional perturbation of the operator of flexon on a finite interval is studied.
 The inverse task of finding a perturbation by the given spectrum is solved. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Обратная спектральная задача для самосопряженного дифференциального оператора при одномерном возмущении Обернена спектральна задача для самоспряженого диференцiйного оператора при одновимiрному збуреннi The inverse spectral task for a self-adjoint differential operator at a one-dimensional perturbation Article published earlier |
| spellingShingle | Обратная спектральная задача для самосопряженного дифференциального оператора при одномерном возмущении Сыровацкий, А.Н. Математика |
| title | Обратная спектральная задача для самосопряженного дифференциального оператора при одномерном возмущении |
| title_alt | Обернена спектральна задача для самоспряженого диференцiйного оператора при одновимiрному збуреннi The inverse spectral task for a self-adjoint differential operator at a one-dimensional perturbation |
| title_full | Обратная спектральная задача для самосопряженного дифференциального оператора при одномерном возмущении |
| title_fullStr | Обратная спектральная задача для самосопряженного дифференциального оператора при одномерном возмущении |
| title_full_unstemmed | Обратная спектральная задача для самосопряженного дифференциального оператора при одномерном возмущении |
| title_short | Обратная спектральная задача для самосопряженного дифференциального оператора при одномерном возмущении |
| title_sort | обратная спектральная задача для самосопряженного дифференциального оператора при одномерном возмущении |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86784 |
| work_keys_str_mv | AT syrovackiian obratnaâspektralʹnaâzadačadlâsamosoprâžennogodifferencialʹnogooperatorapriodnomernomvozmuŝenii AT syrovackiian obernenaspektralʹnazadačadlâsamosprâženogodiferenciinogooperatorapriodnovimirnomuzburenni AT syrovackiian theinversespectraltaskforaselfadjointdifferentialoperatorataonedimensionalperturbation |