Два підходи до побудови оптимальних числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних систем коливної природи
Запропоновано iтерацiйний та прямий пiдходи до мiнiмiзацiї похибки дискретизацiї числових методiв другого порядку. Iтерацiйний пiдхiд грунтується на модифiкацiї методу трапецiй i встановленнi моменту часу, коли внески явного i неявного методiв Ейлера мають однаковий внесок до поправки для наступно...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86786 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Два підходи до побудови оптимальних числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних систем коливної природи / В.М. Заяць // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 1. — С. 37–42. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859681270981722112 |
|---|---|
| author | Заяць, В.М. |
| author_facet | Заяць, В.М. |
| citation_txt | Два підходи до побудови оптимальних числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних систем коливної природи / В.М. Заяць // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 1. — С. 37–42. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Запропоновано iтерацiйний та прямий пiдходи до мiнiмiзацiї похибки дискретизацiї числових методiв другого порядку. Iтерацiйний пiдхiд грунтується на модифiкацiї методу
трапецiй i встановленнi моменту часу, коли внески явного i неявного методiв Ейлера
мають однаковий внесок до поправки для наступної точки дискретизацiї динамiчної системи. При комбiнуваннi отриманої формули з методом трапецiї показано можливiсть
побудови оптимального за точнiстю числового методу. Прямий пiдхiд грунтується на
встановленнi моменту часу, коли дотичнi, проведенi до сусiднiх точок дискретизацiї
неперервної системи, перетинаються, що забезпечує нульову похибку дискретизацiї.
Пiдтверджено доцiльнiсть їх застосування до аналiзу нелiнiйних динамiчних систем
коливної природи з малим коефiцiєнтом загасання, тривалими перехiдними процесами та високою добротнiстю.
Предложены итерационный и прямой подходы к минимизации погрешности дискретизации численных методов второго порядка. Итерационный подход основан на модификации
метода трапеций и установлении момента времени, когда явный и неявный методы Эйлера имеют одинаковый вклад в поправки для следующей точки дискретизации динамической
системы. При комбинировании полученной формулы с методом трапеции показана возможность построения оптимального по точности численного метода. Прямой подход основывается на установлении момента времени, когда касательные, проведенные в соседние
точки дискретизации непрерывной системы, пересекаются, что обеспечивает нулевую погрешность дискретизации. Подтверждена целесообразность их применения к анализу нелинейных динамических систем колеблющейся природы с малым коэффициентом затухания, длительными переходными процессами и высокой добротностью.
Iterative and direct approaches to the minimization of errors at a discretization of second-order
numerical methods are proposed. The iterative approach is based on a modification of the method of
trapezoids and setting the time when the explicit and implicit Euler methods give the same contribution to the amendment to the next discretization point of a dynamical system. Combining the
derived formula with the method of trapezoids, the possibility of constructing the optimal precision
numerical method is shown. The direct approach is based on determining a time when the tangents
drawn to the nearby points of discretization of the continuous system intersect, which provides
the zero error of a discretization. The expediency of their application to the analysis of nonlinear
dynamical oscillatory systems with a low coefficient of attenuation, long transients, and high power is confirmed.
|
| first_indexed | 2025-11-30T18:32:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2014
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 681.142
В.М. Заяць
Два пiдходи до побудови оптимальних числових
методiв другого порядку та їх застосування до аналiзу
нелiнiйних систем коливної природи
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В.В. Грициком)
Запропоновано iтерацiйний та прямий пiдходи до мiнiмiзацiї похибки дискретизацiї чис-
лових методiв другого порядку. Iтерацiйний пiдхiд грунтується на модифiкацiї методу
трапецiй i встановленнi моменту часу, коли внески явного i неявного методiв Ейлера
мають однаковий внесок до поправки для наступної точки дискретизацiї динамiчної сис-
теми. При комбiнуваннi отриманої формули з методом трапецiї показано можливiсть
побудови оптимального за точнiстю числового методу. Прямий пiдхiд грунтується на
встановленнi моменту часу, коли дотичнi, проведенi до сусiднiх точок дискретизацiї
неперервної системи, перетинаються, що забезпечує нульову похибку дискретизацiї.
Пiдтверджено доцiльнiсть їх застосування до аналiзу нелiнiйних динамiчних систем
коливної природи з малим коефiцiєнтом загасання, тривалими перехiдними процесами
та високою добротнiстю.
Для аналiзу складних процесiв i явищ у динамiчних нелiнiйних системах коливної природи,
що описуються системою неперервних диференцiйних рiвнянь, поданих у нормальнiй формi
Кошi
dx
dt
= f [x(t), t)],
де х — N-мiрний вектор змiнних стану; f — N-мiрна нелiнiйна вектор-функцiя, яка опи-
сує динамiку фазових траєкторiй системи, застосовують чисельнi методи для проведення
дискретизацiї. Такi методи повиннi бути збiжними та мати малу похибку дискретизацiї
для забезпечення збереження якiсної та кiлькiсної вiдповiдностi мiж дослiджуваним проце-
сом або явищем та його дискретною моделлю [1–5]. Друга вимога до рiзницевих методiв —
це властивiсть А-стiйкостi [8–10]. У протилежному випадку наявнiсть незначної локальної
похибки обчислень, допущеної на одному кроцi, може призвести до нагромадження цiєї
похибки в процесi руху зображуючої точки вздовж фазової траєкторiї i цiлковитої непри-
датностi для прикладних застосувань остаточного результату обчислень [6, 8, 9]. Третя
© В. М. Заяць, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №1 37
вимога — простота реалiзацiї алгоритму обчислень та мiнiмальнi технiчнi та часовi затрати
для досягнення заданої точностi.
У програмах комп’ютерного аналiзу електронних схем [8], аналiзi поведiнки систем зi
складною динамiкою [3, 4], аналiзi коливних систем з високою добротнiстю, для яких пере-
хiднi процеси є тривалими [6], виникає проблема мiж складнiстю рiзницевого алгоритму та
його точнiстю. Як правило, використовують методи не вище другого порядку складностi
або їх комбiнацiї. Зокрема, часто застосовується метод трапецiй [6–8]. Рiзницева формула
цього методу має вигляд:
xn+1 = xn +
h
2
(fn + fn+1). (1)
Ця формула є комбiнацiєю двох методiв: на першiй половинi кроку дискретизацiї застосо-
вується явний метод Ейлера, а на другiй — неявний метод Ейлера [8]. В результатi побудови
такої комбiнацiї, як засвiдчують численнi публiкацiї, точнiсть зростає бiльше, нiж на по-
рядок порiвняно з методами Ейлера. Крiм того, для цього методу характерна властивiсть
А-стiйкостi, що пiдтверджено розрахунком генераторних схем з високою добротнiстю та
тривалими перехiдними процесами. Однак похибка дискретизацiї змiнних має вiд’ємний
знак i iстотно залежить вiд крутизни характеристики фазових траєкторiй, що описують
систему, i може перевищувати вiддаль мiж двома точками дискретизацiї у кiлька разiв.
Спосiб мiнiмiзацiї похибки дискретизацiї. У роботi [7] запропоновано враховувати
поправки для наступної точки дискретизацiї не на серединi кроку h, а в той момент часу,
коли внески явного i неявного методiв Ейлера є еквiвалентними. З цiєю метою рiзницеву
формулу (1) подано у формi, що запропонував Лiнiгер–Уiлаббi:
xn+1 = xn + h(1− µ)fn + hµfn+1, (2)
яка при µ = 0 вiдповiдає явному методу Ейлера; µ = 0,5 — методу трапецiй; µ = 1 —
неявному методу Ейлера. Прирiвнявши другий i третiй члени з правого боку у формулi
(2), отримаємо значення параметра µ, при якому явний i неявний методи Ейлера вносять
однаковий внесок у поправку до значення xn:
µ =
fn
fn + fn+1
. (3)
Пiсля пiдстановки (3) в (2) отримано нову рiзницеву формулу:
xn+1 = xn +
2hfnfn+1
(fn + fn+1)
. (4)
Оскiльки за побудовою формули (4) внесок кожного з методiв Ейлера не перевищує
половини вiддалi мiж xn i xn+1, то метод (4) дає гарантоване обмеження на величину
похибки дискретизацiї на кожному кроцi та забезпечує її додатнiсть.
Геометричну iлюстрацiю запропонованого способу зменшення похибки дискретизацiї
проiлюстровано на рис. 1. Якщо поправки за явним та неявним методами Ейлера до насту-
пної точки дискретизацiї враховувати в момент часу, що вiдповiдає точцi C, як показано на
рис. 1, то отримаємо метод трапецiї; в точцi B маємо пропонований метод, який зрiвнова-
жує внески методiв Ейлера; в точцi A отримується оптимальна комбiнацiя, яка вiдповiдає
точцi перетину дотичних до xn та xn+1 точок дискретизацiї.
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №1
Рис. 1. Геометрична iнтерпретацiя iтерацiйного та прямого пiдходiв до мiнiмiзацiї похибки дискретизацiї
Для оцiнки похибки методу (4) проведено аналiз похибки дискретизацiї на прикладi
моделi консервативної системи другого порядку
d2x
dt2
= −ω2
0x,
який пiдтвердив, що похибка дискретизацiї методу (4) пропорцiйна до h2/24, як i в методi
трапецiй, але має протилежний знак i в два рази меншу абсолютну величину. Дослiдження
показали, що метод (4), як i метод трапецiй, має властивiсть А-стiйкостi.
Iтерацiйний пiдхiд до мiнiмiзацiї похибки дискретизацiї. Враховуючи, що похиб-
ка методу (4) i методу трапецiй (формула (1)) мають протилежнi знаки, можна провести їх
арифметичне усереднення, тим самим зменшити величину похибки. Застосовуючи на пер-
шiй половинi кроку формулу (4), а на другiй — формулу (1), отримуємо рiзницеву формулу
xn+1 = xn +
hfnfn+1
(fn + fn+1)
+
h
4
(fn + fn+1), (5)
яку назвемо рiзницевою комбiнацiєю першого роду (К1Р). Похибка дискретизацiї при ви-
користаннi (5) до консервативної системи виявилася у два рази меншою, порiвняно з мето-
дом (4), i протилежною за знаком вiдносно методу трапецiї. Тепер пiсля усереднення (1)
i (5) отримуємо рiзницеву комбiнацiю другого роду (К2Р):
xn+1 = xn +
hfnfn+1
2(fn + fn+1)
+
3h
8
(fn + fn+1). (6)
Як засвiдчили результати аналiзу похибки дискретизацiї методу (6) при розглядi моделi
без втрат, вона виявилася у чотири рази меншою за похибку методу трапецiй i в два рази
меншою, нiж похибка методу (5). При цьому знак похибки в К2Р збiгається зi знаком
похибки у методi трапецiй i протилежний до похибки, який дає К1Р. Таким чином, можна
очiкувати подальшого зменшення величини похибки дискретизацiї комбiнацiї методiв (5)
i (6), яка приводить до рiзницевої комбiнацiї третього роду (К3Р):
xn+1 = xn +
3hfnfn+1
4(fn + fn+1)
+
5h
16
(fn + fn+1). (7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №1 39
Зауважимо, що розглядати комбiнацiю (6) з (4) недоцiльно (хоча вона й має право на
iснування), оскiльки (5) має в чотири рази меншу похибку дискретизацiї порiвняно з (4).
Крiм того, знаки похибки в (4) i (6) збiгаються.
Оптимальна комбiнацiя для мiнiмiзацiї похибки дискретизацiї. Запропонованi
комбiнацiї рiзницевих схем побудовано таким чином, що в комбiнацiях непарного роду (К1Р,
К3Р) бiльш значним є внесок другого члена в отриманих формулах, порiвняно з третiм, а
в комбiнацiях парного роду (К2Р) цi внески практично вирiвнюються. Така побудова за-
безпечує змiну знака похибки при отриманнi нової комбiнацiї. Отже, можна сконструювати
метод другого порядку, який забезпечить з точнiстю до членiв другого порядку малостi як
завгодно малу похибку дискретизацiї. Пiсля арифметичного усереднення (6) i (7) приходи-
мо до рiзницевої схеми четвертого роду (К4Р):
xn+1 = xn +
5hfnfn+1
8(fn + fn+1)
+
11h
32
(fn + fn+1). (8)
Аналiзуючи формули (5)–(8), на k-му кроцi, застосовуючи пiвкроку парну комбiнацiю,
а пiвкроку — непарну, отримуємо рiзницеву схему для комбiнацiї k-го роду (ККР):
xn+1 = xn +
akhfnfn+1
(fn + fn+1)
+ ak+1h(fn + fn+1), (9)
де
ak =
2k − (−1)k
3 · 2k−1
; ak+1 =
2k+1 + (−1)k
3 · 2k+1
.
Очевидно, з ростом k величини коефiцiєнтiв ak i ak+1 зменшуються, що приводить до
зменшення похибки дискретизацiї. При цьому похибка дискритизацiї будь-якої k-ї комбiна-
цiї може бути обчислена за формулою
δ =
(−1)k
2k+1
, (10)
що засвiдчує аналiз консервативних систем другого порядку та систем з високою доброт-
нiстю високих порядкiв.
З метою мiнiмiзацiї похибки дискретизацiї в (9) здiйснимо граничний перехiд, спряму-
вавши k до безмежностi. Отримуємо рiзницеву схему (11), для якої з точнiстю до членiв
другого порядку малостi похибка дискретизацiї вiдсутня:
xn+1 = xn +
2hfnfn+1
3(fn + fn+1)
+
1
3
h(fn + fn+1). (11)
Висновок про вiдсутнiсть похибки дискретизацiї рiзницевої схеми (11) випливає з фор-
мули (10), якщо в нiй спрямувати k до безмежностi. Недолiк методу (11) в тому, що вiн
потребує виконання в два рази бiльшої кiлькостi арифметичних операцiй порiвняно з (4)
i бiльше, нiж в три рази порiвняно з (1).
Безпосереднiй пошук оптимальної комбiнацiї. Щоб безпосередньо одержати ана-
лiтичний вираз, для якого похибка дискретизацiї в першому наближенi вiдсутня, знайдемо
координати точки A (рис. 1), що вiдповiдають перетину дотичних
x = x
n
0 + fnt i x = x
n+1
0
+ fn+1t,
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №1
проведених в двох сусiднiх n i n + 1 точках дискретизацiї. Прирiвнявши правi частини
в останнiх двох рiвняннях, отримуємо
t =
x
n+1
0
− x
n
0
fn − fn+1
, (12)
де
x
n
0 = xn − nhfn i x
n+1
0
= xn+1 − (n+ 1)hfn+1,
що видно з рис. 1. З iншого боку, моменту перетину дотичних вiдповiдає значення
t = h(n+ µ). (13)
Прирiвнявши правi частини рiвнянь (12) i (13), знаходимо значення параметра µ, при
виборi якого внески явного i неявного методу Ейлера забезпечують потрапляння фазової
точки з n в n + 1 точку дискретизацiї:
µ =
xn+1 − xn
(fn − fn+1)
+
hfn+1
fn − fn+1
. (14)
Пiдставивши значення µ з (14) у формулу (2), отримуємо оптимальну комбiнацiю числового
методу другого порядку, для якої похибка дискретизацiї вiдсутня:
xn+1 = xn +
h
2
(fn + hfn+1). (15)
За алгоритмiчною складнiстю метод (15) простiший за (4) i незначно поступається мето-
ду (1), забезпечуючи при цьому мiнiмальну похибку обчислень, пов’язану лише з точнiстю
подання чисел у середовищi обчислень.
Зазначимо, що всi одержанi рiзницевi формули (5)–(9), (11), (15) для дискретизацiї непе-
рервних систем мають властивiсть А-стiйкостi, що унеможливлює нагромадження похибки
дискретизацiї при тривалих перехiдних процесах, якi характернi для динамiчних систем
з високою добротнiстю. Цей результат пiдтверджено розрахунком кварцових генераторних
пристроїв та високодобротних генераторних схем з тривалими перехiдними процесами [6].
1. Бондаренко В.М., Герасымив И.И., Мандзий Б.А., Маранов А. В. Анализ точности и качественно-
го соответствия дискретных моделей электрических цепей. – Киев, 1983. – 44 с. (Препринт НАН
Украины. Ин-т электродинамики, № 307).
2. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. – Москва:
Наука, 1987. – 384 с.
3. Васильев В.И., Шевченко А.И. Комбинированный алгоритм оптимальной сложности // Працi Мiж-
нар. конф. ”Штучний iнтелект”. – Т. 1. – Крим, 2002. – С. 308–310.
4. Заяць В.М. Построение и анализ дискретной модели дискретной колебательной системы // Кибер-
нетика и системный анализ. – 2000. – № 4. – С. 161–165.
5. Заяць В.М. Аналiз динамiки та умов стiйкостi дискретних моделей коливних систем // Вiсн. НУ
“Львiвська полiтехнiка”. Iнформацiйнi системи та мережi. – 2004. – № 519. – С. 132–142.
6. Заяц В.М. Ускоренный поиск установившихся режимов в высокочастотных автогенераторах с дли-
тельными переходными процессами // Изв. вузов. Радиоэлектроника. – 1993. – № 3. – С. 26–32.
7. Заяць В.М. Побудова комбiнованих рiзницевих методiв другого порядку // Зб. праць наук. техн.
конф. “Обчислювальнi методи i системи перетворення iнформацiї”. – Львiв, 7–8 жовтня 2011. – ФМI
НАНУ. – 2011. – С. 34–36.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №1 41
8. Петренко А. I. Числовi методи в iнформатицi. – Київ: В-во ВНV, 1999. – 450 с.
9. Самойленко А.М., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования периодических реше-
ний. – Київ: Вища шк., 1976. – 180 с.
10. Чуа Л.О., Лин П.-М. Машинный анализ электронных схем (алгоритмы и вычислительные методы). –
Москва: Энергия, 1980. – 640 с.
Надiйшло до редакцiї 27.05.2013НУ “Львiвська полiтехнiка”
В.М. Заяць
Два подхода к построению оптимальных численных методов второго
порядка и их применение к анализу нелинейных систем
колебательной природы
Предложены итерационный и прямой подходы к минимизации погрешности дискретиза-
ции численных методов второго порядка. Итерационный подход основан на модификации
метода трапеций и установлении момента времени, когда явный и неявный методы Эйле-
ра имеют одинаковый вклад в поправки для следующей точки дискретизации динамической
системы. При комбинировании полученной формулы с методом трапеции показана возмож-
ность построения оптимального по точности численного метода. Прямой подход осно-
вывается на установленнии момента времени, когда касательные, проведенные в соседние
точки дискретизации непрерывной системы, пересекаются, что обеспечивает нулевую по-
грешность дискретизации. Подтверждена целесообразность их применения к анализу нели-
нейных динамических систем колеблющейся природы с малым коэффициентом затухания,
длительными переходными процессами и высокой добротностью.
V.M. Zayats
Two approaches to the construction of optimal second-order numerical
methods and their application to the analysis of oscillatory nonlinear
systems
Iterative and direct approaches to the minimization of errors at a discretization of second-order
numerical methods are proposed. The iterative approach is based on a modification of the method of
trapezoids and setting the time when the explicit and implicit Euler methods give the same contri-
bution to the amendment to the next discretization point of a dynamical system. Combining the
derived formula with the method of trapezoids, the possibility of constructing the optimal precision
numerical method is shown. The direct approach is based on determining a time when the tangents
drawn to the nearby points of discretization of the continuous system intersect, which provides
the zero error of a discretization. The expediency of their application to the analysis of nonlinear
dynamical oscillatory systems with a low coefficient of attenuation, long transients, and high power
is confirmed.
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86786 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T18:32:50Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Заяць, В.М. 2015-10-01T16:50:34Z 2015-10-01T16:50:34Z 2014 Два підходи до побудови оптимальних числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних систем коливної природи / В.М. Заяць // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 1. — С. 37–42. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86786 681.142 Запропоновано iтерацiйний та прямий пiдходи до мiнiмiзацiї похибки дискретизацiї числових методiв другого порядку. Iтерацiйний пiдхiд грунтується на модифiкацiї методу трапецiй i встановленнi моменту часу, коли внески явного i неявного методiв Ейлера мають однаковий внесок до поправки для наступної точки дискретизацiї динамiчної системи. При комбiнуваннi отриманої формули з методом трапецiї показано можливiсть побудови оптимального за точнiстю числового методу. Прямий пiдхiд грунтується на встановленнi моменту часу, коли дотичнi, проведенi до сусiднiх точок дискретизацiї неперервної системи, перетинаються, що забезпечує нульову похибку дискретизацiї. Пiдтверджено доцiльнiсть їх застосування до аналiзу нелiнiйних динамiчних систем коливної природи з малим коефiцiєнтом загасання, тривалими перехiдними процесами та високою добротнiстю. Предложены итерационный и прямой подходы к минимизации погрешности дискретизации численных методов второго порядка. Итерационный подход основан на модификации метода трапеций и установлении момента времени, когда явный и неявный методы Эйлера имеют одинаковый вклад в поправки для следующей точки дискретизации динамической системы. При комбинировании полученной формулы с методом трапеции показана возможность построения оптимального по точности численного метода. Прямой подход основывается на установлении момента времени, когда касательные, проведенные в соседние точки дискретизации непрерывной системы, пересекаются, что обеспечивает нулевую погрешность дискретизации. Подтверждена целесообразность их применения к анализу нелинейных динамических систем колеблющейся природы с малым коэффициентом затухания, длительными переходными процессами и высокой добротностью. Iterative and direct approaches to the minimization of errors at a discretization of second-order numerical methods are proposed. The iterative approach is based on a modification of the method of trapezoids and setting the time when the explicit and implicit Euler methods give the same contribution to the amendment to the next discretization point of a dynamical system. Combining the derived formula with the method of trapezoids, the possibility of constructing the optimal precision numerical method is shown. The direct approach is based on determining a time when the tangents drawn to the nearby points of discretization of the continuous system intersect, which provides the zero error of a discretization. The expediency of their application to the analysis of nonlinear dynamical oscillatory systems with a low coefficient of attenuation, long transients, and high power is confirmed. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Два підходи до побудови оптимальних числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних систем коливної природи Два подхода к построению оптимальных численных методов второго порядка и их применение к анализу нелинейных систем колебательной природы Two approaches to the construction of optimal second-order numerical methods and their application to the analysis of oscillatory nonlinear systems Article published earlier |
| spellingShingle | Два підходи до побудови оптимальних числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних систем коливної природи Заяць, В.М. Інформатика та кібернетика |
| title | Два підходи до побудови оптимальних числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних систем коливної природи |
| title_alt | Два подхода к построению оптимальных численных методов второго порядка и их применение к анализу нелинейных систем колебательной природы Two approaches to the construction of optimal second-order numerical methods and their application to the analysis of oscillatory nonlinear systems |
| title_full | Два підходи до побудови оптимальних числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних систем коливної природи |
| title_fullStr | Два підходи до побудови оптимальних числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних систем коливної природи |
| title_full_unstemmed | Два підходи до побудови оптимальних числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних систем коливної природи |
| title_short | Два підходи до побудови оптимальних числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних систем коливної природи |
| title_sort | два підходи до побудови оптимальних числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних систем коливної природи |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86786 |
| work_keys_str_mv | AT zaâcʹvm dvapídhodidopobudovioptimalʹnihčislovihmetodívdrugogoporâdkutaíhzastosuvannâdoanalízunelíníinihsistemkolivnoíprirodi AT zaâcʹvm dvapodhodakpostroeniûoptimalʹnyhčislennyhmetodovvtorogoporâdkaiihprimeneniekanalizunelineinyhsistemkolebatelʹnoiprirody AT zaâcʹvm twoapproachestotheconstructionofoptimalsecondordernumericalmethodsandtheirapplicationtotheanalysisofoscillatorynonlinearsystems |