Об одном классе приближенных решений уравнения Больцмана с винтовыми модами
Построено новое явное приближенное решение нелинейного уравнения Больцмана для
 модели твердых сфер. Оно имеет вид континуальной суперпозиции локальных максвеллианов, описывающих винтообразные стационарные равновесные состояния газа. Получены некоторые предельные случаи, в которых это распре...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86961 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об одном классе приближенных решений уравнения Больцмана с винтовыми модами / В.Д. Гордевский, Е.С. Сазонова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 7-12. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860166345529753600 |
|---|---|
| author | Гордевский, В.Д. Сазонова, Е.С. |
| author_facet | Гордевский, В.Д. Сазонова, Е.С. |
| citation_txt | Об одном классе приближенных решений уравнения Больцмана с винтовыми модами / В.Д. Гордевский, Е.С. Сазонова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 7-12. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Построено новое явное приближенное решение нелинейного уравнения Больцмана для
модели твердых сфер. Оно имеет вид континуальной суперпозиции локальных максвеллианов, описывающих винтообразные стационарные равновесные состояния газа. Получены некоторые предельные случаи, в которых это распределение минимизирует интегральную невязку между частями уравнения.
Побудовано новий явний наближений розв’язок нелiнiйного рiвняння Больцмана для моделi
твердих куль. Вiн має вид континуальної суперпозицiї локальних максвелiанiв, що описують гвинтоподiбнi стацiонарнi рiвноважнi стани газу. Отримано деякi граничнi випадки, в яких цей розподiл мiнiмiзує iнтегральний вiдхил мiж частинами рiвняння.
A new evident approximate solution of the nonlinear Boltzmann equation for the model of hard
spheres is built. It has form of a continual superposition of local Maxwellians, describing the screwshaped stationary equilibrium states of a gas. Some sufficient cases, in which this distribution
minimizes the integral remainder between the sides of the equation, are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:57:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
2 • 2014
МАТЕМАТИКА
УДК 533.72
В.Д. Гордевский, Е.С. Сазонова
Об одном классе приближенных решений уравнения
Больцмана с винтовыми модами
(Представлено академиком НАН Украины Л. А. Пастуром)
Построено новое явное приближенное решение нелинейного уравнения Больцмана для
модели твердых сфер. Оно имеет вид континуальной суперпозиции локальных максвел-
лианов, описывающих винтообразные стационарные равновесные состояния газа. Полу-
чены некоторые предельные случаи, в которых это распределение минимизирует инте-
гральную невязку между частями уравнения.
Для описания взаимодействия между потоками газа из твердых сфер используется интег-
ро-дифференциальное уравнение Больцмана [1–3], которое имеет вид
D(f) = Q(f, f), (1)
D(f) =
∂f
∂t
+ v
∂f
∂x
, (2)
Q(f, f) =
d2
2
∫
R3
dv1
∫
Σ
dα|(v − v1, α)|[f(t, v′1, x)f(t, v′, x)− f(t, v1, x)f(t, v, x)], (3)
v′ = v − α(v − v1, α), v′1 = v + α(v − v1, α), (4)
где f(t, v, x) — искомая функция распределения молекул, ∂f/∂x — ее пространственный
градиент, t ∈ R
1 — время, x = (x1, x2, x3) ∈ R
3 и v = (v1, v2, v3) ∈ R
3 — координата
и скорость молекулы, d > 0 — ее диаметр, v, v1, v
′ и v′1 — скорости молекул до и после
столкновения, α ∈ Σ, Σ — единичная сфера в R
3.
Известными точными решениями уравнения (1)–(3) являются глобальные и локальные
максвеллианы [1–3]. В связи с этим возникает вопрос о поиске явных приближенных реше-
ний уравнения Больцмана, удовлетворяющих ему лишь с произвольной степенью точности.
В работах [4–8] получены различные такие решения.
© В. Д. Гордевский, Е.С. Сазонова, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 7
Далее, в работе [9] был предложен новый подход к поиску явных приближенных ре-
шений уравнения Больцмана, а именно континуальный вид функции распределения. При
этом предполагается, что массовая скорость глобального максвеллиана принимает не фик-
сированные дискретные значения, а становится произвольным параметром, принимающим
любые значения из R
3.
Целью данной работы является изучение поведения континуального распределения,
в которое входят локальные максвеллианы частного вида, описывающие винтообразные
стационарные равновесные состояния газа (кратко винты) [4, 5, 10]. Каждый такой макс-
веллиан имеет вид
M(v, u, x) = ρ0e
βω2r2
(
β
π
)3/2
e−β(v−u−[ω×x])2 . (5)
С точки зрения физического смысла распределение (5) описывает ситуацию, когда газ
имеет обратную температуру β = 1/2T и вращается как целое с угловой скоростью ω ∈ R
3
вокруг оси, проходящей через точку x0 ∈ R
3 (x0 = [ω × v]/ω2), r2 = [ω × (x − x0)]
2/ω2 —
квадрат расстояния до оси вращения, a плотность газа ρ = ρ0e
βω2r2 (ρ0 — плотность на
оси вращения, т. е. r = 0), u ∈ R
3 — произвольный параметр (линейная массовая скорость
в точках x, для которых x‖ω), а u + [ω × x] — массовая скорость в произвольной точке x.
Также распределение (5) помимо вращательного задает и поступательное движение вдоль
оси вращения с линейной скоростью ((ω, v)/ω2)ω, т. е. действительно описывает винтообра-
зное движение газа в целом, причем это распределение стационарно (не зависит от t), но
неоднородно.
Будем рассматривать континуальное распределение следующего вида:
f =
∫
R3
ϕ(t, x, u)M(v, u, x) du. (6)
Предполагается, что коэффициентная функция ϕ(t, x, u) является неотрицательной и
принадлежащей C1(R7). Требуется найти такие функции ϕ(t, x, u) и такое поведение всех
имеющихся параметров, чтобы интегральная невязка [11]
∆1 =
∫
R1
dt
∫
R3
dx
∫
R3
|D(f)−Q(f, f)| dv (7)
стремилась при этом к нулю.
Сначала несколько преобразуем правую часть (10). Прежде всего вычислим и оценим
интеграл по переменной v, подставляя в (1)–(3) распределение (5), (6) и учитывая, что
D(M) = Q(M,M) = 0, введем обозначение
M̃ = M̃(v, u, x) = ρ
(
β
π
)3/2
e−β(v−ũ)2 ,
ũ = ũ(x) = u+ [ω × x].
(8)
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
Тогда, подставив (6) в выражение (7) и произведя, как обычно, разбиение интеграла столк-
новений Q на “прибыточную” и “затратную” части G и L [1], получим следующую оценку
сверху:
∫
R3
|D(f)−Q(f, f)| dv 6
∫
R6
∣∣∣∣
∂ϕ
∂t
+ v
∂ϕ
∂x
∣∣∣∣e
βω2r2M̃dudv +
+ e2βω
2r2
∫
R6
ϕ(t, x, u1)ϕ(t, x, u2)
∫
R3
[M̃1L(M̃2) + M̃2L(M̃1)] du1du2dv. (9)
Из (8) видно, что для корректной определенности невязки (7) на коэффициентные функ-
ции ϕ следует наложить новые условия быстрого убывания по пространственной перемен-
ной x. Поэтому введем новое обозначение
ϕ(t, x, u) = ψ(t, x, u)e−βω2r2 , (10)
где функции гладкие и неотрицательные. Тогда оценка (9) с учетом (10) и (7) приобретает
вид
∫
R3
|D(f)−Q(f, f)|dv 6
∫
R6
∣∣∣∣
∂ψ
∂t
+ v
(
∂ψ
∂x
− 2βψ[[ω × (x− x0)]× ω]
)∣∣∣∣M̃ dudv +
+
∫
R6
ψ(t, x, u1)ψ(t, x, u2)
∫
R3
[M̃1L(M̃2) + M̃2L(M̃1)] du1du2dv. (11)
Теорема. Пусть выполнены условия (5), (8) и (10), а также
ω =
ω0s
βk
, (12)
где s > 0 — любая постоянная величина, ω0 — произвольный фиксированный вектор
(остальные параметры также произвольны и фиксированы). Тогда если следующие функ-
ции принадлежат пространству L1(R
7)
ψ, |u|ψ, ∂ψ
∂t
,
∂ψ
∂x
, u
∂ψ
∂x
, |[ω0 × x]|ψ,
(
[ω0 × x],
∂ψ
∂x
)
, (13)
то определенная в соответствии с (7) величина ∆1 имеет смысл и существует такое
∆′
1, что ∆1 6 ∆′
1. Причем если 1/2 < k 6 1, то существует конечный предел
L = lim
β→+∞
∆′
1 =
=
∫
R1
dt
∫
R3
dx
[
ρ
∫
R3
∣∣∣∣
∂ψ
∂t
+ u
∂ψ
∂x
∣∣∣∣du+ 2π3d2ρ2
∫
R6
ψ(t, x, u1)ψ(t, x, u2)|u1−u2| du1du2
]
. (14)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 9
Доказательство. Существование интегральной невязки ∆1 вытекает из (7), (11) и (13),
причем имеет место следующее неравенство:
∆1 6 ∆′
1 =
∫
R1
dt
∫
R3
dx
[ ∫
R6
∣∣∣∣
∂ψ
∂t
+ v
(
∂ψ
∂x
− 2βψ[[ω × (x− x0)]× ω]
)∣∣∣∣M̃dvdu+
+
∫
R6
ψ(t, x, u1)ψ(t, x, u2)
∫
R3
[M̃1L(M̃2) + M̃2L(M̃1)] dvdu1du2
]
. (15)
В (15) была также выполнена перестановка порядка интегрирований, законность кото-
рой легко обосновывается с учетом условий теоремы.
Введем замену переменных:
√
β(v − ũ) = w; v =
w√
β
+ ũ =
w√
β
+ u+ [ω × x].
Тогда
∆′
1 =
∫
R1
dt
∫
R3
dx
[
ρπ−3/2
∫
R6
∣∣∣∣
∂ψ
∂t
+
(
w√
β
+ u+ [ω × x]
)
×
×
(
∂ψ
∂x
− 2βψ[[ω × (x− x0)]× ω]
)∣∣∣∣e
−w2
dwdu
]
+
+
∫
R1
dt
∫
R3
dx
[ ∫
R6
ψ(t, x, u1)ψ(t, x, u2)
∫
R3
[M̃1L(M̃2) + M̃2L(M̃1)] dwdu1du2
]
. (16)
Произведя здесь еще одну замену переменных:
√
β(v1 − ũ2) = z; v1 =
z√
β
+ ũ2 =
z√
β
+ u2 + [ω × x],
получим
M1L(M2) =M
(
w√
β
+ u1, u1
)
d2ρ√
π
∫
R3
dze−z2
∣∣∣∣
w√
β
+ u1 −
z√
β
− u2
∣∣∣∣.
Аналогично
M2L(M1) =M
(
w√
β
+ u2, u2
)
d2ρ√
π
∫
R3
dze−z2
∣∣∣∣
w√
β
+ u2 −
w√
β
− u1
∣∣∣∣.
Для упрощения выражения (16) введем некоторые новые обозначения:
γ =
1√
β
, (17)
A(w, u, t, x) = ρ
d2√
π
∫
R3
dze−z2 |wγ + (u1 − u2)− zγ|, (18)
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
B(w, u, t, x) =
∂ψ
∂x
(wγ+ u+ γ2s[ω0 × x])+ 2ψγs{(w, [ω0 × u])− sγ2[ω0 × w][ω0 × x]}. (19)
С учетом (18) и (19) перепишем выражение (16) в следующем виде:
∆′
1 =
∫
R1
dt
∫
R3
dx
[
ρπ−3/2
∫
R3
∣∣∣∣
∂ψ
∂x
+B(w, u, t, x)
∣∣∣∣e
−w2
dwdu+
+ 2ρπ−3/2
∫
R6
ψ(t, x, u1)ψ(t, x, u2)
∫
R3
A(w, u1, u2, t, x)e
−w2
dwdu1du2
]
. (20)
Подынтегральные функции двух слагаемых выражения ∆′
1 непрерывны по переменным
t, x, u и β благодаря условиям теоремы. Следовательно, интеграл (20) сходится равномерно
относительно переменной γ на любом компакте благодаря условию (13) и наличию множи-
теля e−w2
. Значит, вся величина ∆′
1 непрерывна по γ и мы можем перейти к пределу при
γ → 0 (β → +∞). После интегрирования по переменным z и w приходим к (14). Теорема
доказана.
Далее, опираясь на полученное выражение для предела при β → +∞, найдем достаточ-
ное условие стремления невязки ∆1 к нулю.
Следствие. Пусть выполнены все предположения теоремы. Тогда соотношение
∆1 → 0 (21)
справедливо, если функция ψ, определенная в выражении (10), такова:
ψ(t, x, u, ρ) = g(t, x)
(
P
π
)3/2
e−P (u−u0)2 , (22)
где функция g(t, x) имеет вид финитного плато [8], u0 ∈ R
3 — произвольный фиксирован-
ный вектор, а P → +∞.
Доказательство. Воспользуемся предельным выражением (14) и подставим в него (22).
Подынтегральное выражение первого слагаемого стремится к нулю (как показано в [8]).
Благодаря условиям следствия интеграл второго слагаемого сходится и стремится к нулю.
Следствие доказано.
1. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. – Москва: Мир, 1978. – 495 с.
2. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. – Москва: Наука, 1967. – 440 с.
3. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов. – Москва: Изд-во иностр. лит.,
1960. – 118 с.
4. Гордевский В.Д. Двухпотоковое распределение с винтовыми модами // Теор. и мат. физика. – 2001. –
126, № 2. – С. 283–300.
5. Гордевский В.Д. Винтовые потоки с ускорением и уплотнением для модели твердых сфер // Там
же. – 2009. – 161, № 2. – С. 278–286.
6. Gordevskyy V.D. Transitional regime between vortical states of a gas // Nonlinear Analysis: Theory,
Methods and Applications (NA 3752). – 2003. – 53, No 3–4. – P. 481–494.
7. Гордевский В.Д. Вихри в газе из твердых сфер // Теор. и мат. физика. – 2003. – 135, № 2. – С. 303–314.
8. Gordevskyy V.D. Trimodal approximate solution of the non-linear Boltzmann equation // Math. Meth.
Appl. Sci. – 1998. – 21. – P. 1479–1494.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 11
9. Гордевский В.Д., Сазонова Е.С. Континуальный аналог бимодальных распределений // Теор. и мат.
физика. – 2012. – 171, № 3. – С. 483–492.
10. Gordevskyy V.D., Sazonova E. S. Asymmetrical bimodal distributions with screw modes // Math. Phys.,
Anal., Geom. – 2011. – 7, No 3. – P. 212–224.
11. Гордевский В.Д. Приближенное двухпотоковое решение уравнения Больцмана // Теор. и мат. физи-
ка. – 1998. – 114, № 1. – С. 126–136.
Поступило в редакцию 09.08.2013Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
В.Д. Гордевський, О.С. Сазонова
Про один клас наближених розв’язкiв рiвняння Больцмана
з гвинтовими модами
Побудовано новий явний наближений розв’язок нелiнiйного рiвняння Больцмана для моделi
твердих куль. Вiн має вид континуальної суперпозицiї локальних максвелiанiв, що опи-
сують гвинтоподiбнi стацiонарнi рiвноважнi стани газу. Отримано деякi граничнi випад-
ки, в яких цей розподiл мiнiмiзує iнтегральний вiдхил мiж частинами рiвняння.
V.D. Gordevskyy, E. S. Sazonova
About one class of approximate solutions of the Boltzmann equation
with screw modes
A new evident approximate solution of the nonlinear Boltzmann equation for the model of hard
spheres is built. It has form of a continual superposition of local Maxwellians, describing the screw-
shaped stationary equilibrium states of a gas. Some sufficient cases, in which this distribution
minimizes the integral remainder between the sides of the equation, are obtained.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86961 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:57:02Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гордевский, В.Д. Сазонова, Е.С. 2015-10-07T19:15:46Z 2015-10-07T19:15:46Z 2014 Об одном классе приближенных решений уравнения Больцмана с винтовыми модами / В.Д. Гордевский, Е.С. Сазонова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 7-12. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86961 533.72 Построено новое явное приближенное решение нелинейного уравнения Больцмана для
 модели твердых сфер. Оно имеет вид континуальной суперпозиции локальных максвеллианов, описывающих винтообразные стационарные равновесные состояния газа. Получены некоторые предельные случаи, в которых это распределение минимизирует интегральную невязку между частями уравнения. Побудовано новий явний наближений розв’язок нелiнiйного рiвняння Больцмана для моделi
 твердих куль. Вiн має вид континуальної суперпозицiї локальних максвелiанiв, що описують гвинтоподiбнi стацiонарнi рiвноважнi стани газу. Отримано деякi граничнi випадки, в яких цей розподiл мiнiмiзує iнтегральний вiдхил мiж частинами рiвняння. A new evident approximate solution of the nonlinear Boltzmann equation for the model of hard
 spheres is built. It has form of a continual superposition of local Maxwellians, describing the screwshaped stationary equilibrium states of a gas. Some sufficient cases, in which this distribution
 minimizes the integral remainder between the sides of the equation, are obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Об одном классе приближенных решений уравнения Больцмана с винтовыми модами Про один клас наближених розв’язкiв рiвняння Больцмана з гвинтовими модами About one class of approximate solutions of the Boltzmann equation with screw modes Article published earlier |
| spellingShingle | Об одном классе приближенных решений уравнения Больцмана с винтовыми модами Гордевский, В.Д. Сазонова, Е.С. Математика |
| title | Об одном классе приближенных решений уравнения Больцмана с винтовыми модами |
| title_alt | Про один клас наближених розв’язкiв рiвняння Больцмана з гвинтовими модами About one class of approximate solutions of the Boltzmann equation with screw modes |
| title_full | Об одном классе приближенных решений уравнения Больцмана с винтовыми модами |
| title_fullStr | Об одном классе приближенных решений уравнения Больцмана с винтовыми модами |
| title_full_unstemmed | Об одном классе приближенных решений уравнения Больцмана с винтовыми модами |
| title_short | Об одном классе приближенных решений уравнения Больцмана с винтовыми модами |
| title_sort | об одном классе приближенных решений уравнения больцмана с винтовыми модами |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86961 |
| work_keys_str_mv | AT gordevskiivd obodnomklassepribližennyhrešeniiuravneniâbolʹcmanasvintovymimodami AT sazonovaes obodnomklassepribližennyhrešeniiuravneniâbolʹcmanasvintovymimodami AT gordevskiivd proodinklasnabliženihrozvâzkivrivnânnâbolʹcmanazgvintovimimodami AT sazonovaes proodinklasnabliženihrozvâzkivrivnânnâbolʹcmanazgvintovimimodami AT gordevskiivd aboutoneclassofapproximatesolutionsoftheboltzmannequationwithscrewmodes AT sazonovaes aboutoneclassofapproximatesolutionsoftheboltzmannequationwithscrewmodes |