Стабилизация одного класса нелинейных систем, неуправляемых по первому приближению
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86964 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Стабилизация одного класса нелинейных систем, неуправляемых по первому приближению / В.И. Коробов, М.О. Бебия // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 20-25. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859585532715073536 |
|---|---|
| author | Коробов, В.И. Бебия, М.О. |
| author_facet | Коробов, В.И. Бебия, М.О. |
| citation_txt | Стабилизация одного класса нелинейных систем, неуправляемых по первому приближению / В.И. Коробов, М.О. Бебия // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 20-25. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| first_indexed | 2025-11-27T10:11:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.977
В.И. Коробов, М. О. Бебия
Стабилизация одного класса нелинейных систем,
неуправляемых по первому приближению
(Представлено академиком НАН Украины А.М. Ковалевым)
Рассмотрена задача стабилизации для нелинейных неуправляемых по первому прибли-
жению систем вида ẋ1 = u, ẋi = xi−1+fi−1(t, x1, . . . , xn), ẋn = x2k+1
n−1 +fn−1(t, x1, . . . , xn),
i = 2, n− 1. Для этих систем установлено достаточное условие существования квадра-
тичной функции Ляпунова, указан способ построения функции Ляпунова и стабилизи-
рующего управления.
Рассматривается задача стабилизации для нелинейных неуправляемых по первому прибли-
жению систем. В евклидовом пространстве рассмотрим управляемую систему вида
ẋ1 = u,
ẋ2 = x1 + f1(t, x1, . . . , xn),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ẋn−1 = xn−2 + fn−2(t, x1, . . . , xn),
ẋn = x2k+1
n−1
+ fn−1(t, x1, . . . , xn),
(1)
где k ∈ N , fi(t, x1, . . . , xn) непрерывны по совокупности переменных и непрерывно диффе-
ренцируемы по xj, j = 1, n, fi(0, 0, . . . , 0) = 0, i = 1, n − 1. При этом
|fi(t, x1, . . . , xn)| 6 αi‖x‖2, x = (x1, . . . , xn−2, x
k+1
n−1
), i = 1, n − 1, n > 3, (2)
при ‖x‖ < ρ, ρ > 0.
При n = 2 система (1) имеет вид
{
ẋ1 = u,
ẋ2 = x2k+1
1
+ f1(t, x1, x2)
и условие (2) принимает
вид |f1(t, x1, x2)| 6 α1x
2k+2
1
при ‖x‖ < ρ.
Отметим, что данная система не отображается на систему, линейную по x и u, с помощью
замены фазовых координат [1]. Стабилизация нелинейных неуправляемых по первому при-
ближению систем подобного вида рассматривалась в работах [2–8]. Одной из интересных
нелинейных систем является система
{
ẋ1 = u,
ẋ2 = x2 − x31
, предложенная М. Кавски в рабо-
те [3]. В настоящей работе дается явный вид стабилизирующего управления и способ его
построения.
Задача стабилизации для системы (1) состоит в отыскании управления u(t, x) такого, что
нулевая точка покоя этой системы будет асимптотически устойчива. Управление, решающее
задачу стабилизации для системы (1), будем искать в виде
u(x) = a1x1 + a2x2 + · · ·+ an−1xn−1 + anxn + an+1x
2k+1
n−1
, (3)
© В. И. Коробов, М. О. Бебия, 2014
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
где x ∈ R
n, {ai}n+1
i=1
∈ R. Получение условий на коэффициенты ai, i = 1, n + 1, проводится
с помощью метода функции Ляпунова, причем функцию Ляпунова для системы (1) удается
выбрать в виде квадратичной формы
V = (Fx, x), (4)
где F − (n × n) положительно определенная матрица. Продифференцируем (4), в силу
системы (1) и с учетом (3) получим, что
V̇ = ((A∗F + FA)x, x) + 2(F ẽn, x)x
2k+1
n−1
+ 2(Fe2, x)f1(t, x1, . . . , xn) + · · ·+
+ 2(Fen, x)fn−1(t, x1, . . . , xn), (5)
где
A =
a1 a2 a3 . . . . . . an
1 0 0 . . . . . . 0
0 1 0 . . . . . . 0
...
...
. . . . . .
...
...
0 0 . . . 1 0 0
0 0 0 . . . 0 0
, ẽn =
an+1
0
0
...
0
1
, (6)
ei — i-й единичный вектор.
Рассмотрим матричное уравнение вида
A∗F + FA = −W, (7)
где W = {wij}ni,j=1 — некоторая заданная неотрицательно определенная действительная
матрица, а матрица A = {aij}ni,j=1 имеет вид (6), F = {fij}ni,j=1 — неизвестная матрица.
Замечание. Поскольку матрица A является вырожденной, в отличие от хорошо исследо-
ванного в теории устойчивости случая, когда все собственные значения матрицы A имеют
отрицательные действительные части, то уравнение (7) не может иметь положительно опре-
деленного решения F при положительно определенной матрице W .
Введем следующие обозначения: Wn−1 = {wij}n−1
i,j=1
, An−1 = {aij}n−1
i,j=1
. В дальнейшем
будем считать, что матрица Wn−1 положительно определена.
Теорема 1 и теорема 2 дают ответ на вопросы о существовании и нахождении решений
уравнения (7) относительно неизвестной матрицы F в классе положительно определенных
матриц. В теореме 3 сформулирован способ построения стабилизирующего управления.
Теорема 1. Пусть матрица A имеет вид (6), матрица Wn−1 положительно опреде-
лена. Тогда для того чтобы матричное уравнение (7) имело положительно определенное
решение F при некоторой неотрицательно определенной матрице W , необходимо и до-
статочно, чтобы собственные значения матрицы An−1 имели отрицательные действи-
тельные части и при этом матрица W имела вид
W =
w11 . . . w1n−1 w1n−1
an
an−1
. . . . . . . . . . . .
w1n−1 . . . wn−1n−1 wn−1n−1
an
an−1
w1n−1
an
an−1
. . . wn−1n−1
an
an−1
wn−1n−1
a2n
a2n−1
. (8)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 21
Заметим, что матрица W вида (8) является неотрицательно определенной тогда и только
тогда, когда матрица Wn−1 неотрицательно определена.
Теорема 2. Пусть матрица W имеет вид (8), а матрица Wn−1 положительно опре-
делена, тогда положительно определенное решение уравнения (7) имеет вид
F =
f11 . . . f1n−1
an
an−1
f1n−1
. . .
. . . . . . . . .
f1n−1 . . . fn−1n−1
an
an−1
fn−1n−1
an
an−1
f1n−1 . . .
an
an−1
fn−1n−1 fnn
,
где элементы матрицы Fn−1 = {fij}n−1
i,j=1
находятся по формуле
Fn−1 =
∞∫
0
eA
∗
n−1
tWn−1e
An−1tdt ≫ 0,
fnn — произвольная величина такая, что fnn >
a2n
a2n−1
fn−1n−1.
Пусть b = −F ẽn, тогда
bi = −
(
f1ian+1 +
an
an−1
fin−1
)
, i = 1, n− 1,
bn = −
(
f1n−1
an
an−1
an+1 + fnn
)
.
Выберем an+1 из условия bn = 0, тогда
an+1 = − fnn
f1n−1
an−1
an
. (9)
Заметим, что bn−1 > 0 при таком выборе an+1. Обозначим
Wλmin
=
λmin 0 . . . 0 b1x
k
n−1
0 λmin . . . 0 b2x
k
n−1
...
...
. . . . . .
...
0 0 . . . λmin bn−2x
k
n−1
b1x
k
n−1 b2x
k
n−1 . . . . . . 2bn−1
,
где λmin > 0 — минимальное собственное значение матрицы Wn−1.
Пусть положительно определенная матрица F является решением уравнения (7) при
некоторой матрице W , удовлетворяющей условиям теоремы 1, тогда равенство (5) можно
переписать в виде
V̇ = −((W − λminĨn,2)x, x)− (W λmin
x, x) + 2(Fe2, x)f1(t, x1, . . . , xn) + · · ·+
+ 2(Fen, x)fn−1(t, x1, . . . , xn), (10)
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
где x = (x1, . . . , xn−2, x
k+1
n−1
), Ĩn,2 — блочно-диагональная матрица, состоящая из единичной
матрицы размерности (n − 2) × (n − 2) и нулевой матрицы размерности (2 × 2).
Отметим, что матрица W − λminĨn,2 является неотрицательно определенной. Определи-
тель матрицы W λmin
имеет вид
∆(Wλmin
) = 2λn−2
min
bn−1 − λn−3
min
(b21 + b22 + · · ·+ b2n−2)x
2k
n−1,
откуда следует, что при x2kn−1 < λmin
2bn−1
b2
1
+ · · ·+ b2n−2
матрица W λmin
будет положительно
определенной.
Выберем произвольное 0 < ε < λmin
2bn−1
b2
1
+ · · · + b2n−2
и потребуем, чтобы x2kn−1 < ε. Тогда
для минимального собственного значения матрицы Wλmin
верна оценка
λmin(Wλmin
) > λmin =
1
2
(
λmin + 2bn−1 −
√√√√(λmin − 2bn−1)
2 + 4ε
n−2∑
i=1
b2i
)
> 0.
Отсюда из (10) с учетом (2) получаем, что
V̇ 6 −((W − λminĨn,2)x, x)− (λmin − 2 · |α1| · ‖Fe2‖ · ‖x‖ − · · · −
− 2 · |αn−1| · ‖Fen‖ · ‖x‖) · ‖x‖2 < 0 (11)
при
0 < ‖x‖ < r = min
ρ, 2k
√
ε,
λmin
2
n−1∑
i=1
|αi| · ‖Fei+1‖
.
Таким образом, управление u(x) вида (3) решает задачу стабилизации для системы (1)
и справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть управление u(x) имеет вид (3) и при этом ai < 0, i = 1, n, такие,
что собственные значения матрицы An−1 имеют отрицательные действительные час-
ти. Матрица Wn−1 — произвольная положительно определенная матрица, а матрица F
является любым положительно определенным решением уравнения (7) с правой частью
вида (8). Величина an+1 выбирается из условия (9). Тогда управление u(x) будет решать
задачу стабилизации для системы (1).
П р и м е р . Рассмотрим управляемую систему вида
{
ẋ1 = u,
ẋ2 = x3
1 + x4
1 sin(t+ x5
1 + x2
2).
(12)
Тогда f1(x1, . . . , xn) = x4
1 sin(t + x5
1 + x2
2) 6 x4
1, α1 = 1, k = 1, ρ = +∞.
Пусть a1 = −1, a2 = −2, W11 = 10, тогда из (6), (8) получаем
A =
(
−1 −2
0 0
)
, W =
(
10 20
20 40
)
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 23
Рис. 1. График ‖x(t)‖
Положительно определенное решение уравнения (7) при f22 = 100 имеет вид
F =
(
5 10
10 100
)
,
и в качестве функции Ляпунова системы (12) можно взять квадратичную форму вида (4). Тогда
согласно (3) и (9) управление, решающее задачу стабилизации для системы (12), имеет вид
u(x) = −x1 − 2x2 − 10x3
3.
Имеем, что λmin(F ) = 3,9588 . . . — минимальное собственное значение матрицы F , r = 0,3980 . . ..
При этом область притяжения будет иметь вид
Φ = {x : (Fx, x) 6 λmin(F )r2} = {5x2
1 + 20x1x2 + 100x2
2 6 0,6271 . . .0}.
В качестве начальной точки возьмем x0 =
(
0,43
−0,45
)
. В этом случае график ‖x(t)‖ имеет вид
рис. 1.
Численный анализ показывает, что область притяжения Φ может быть расширена за счет уве-
личения параметра f22.
1. Коробов В.И. Метод функции управляемости. – Москва; Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая
динамика”, 2007. – 576 с.
2. Савченко А.Я., Игнатьев А.О. Некоторые задачи устойчивости неавтономных динамических сис-
тем. – Киев: Наук. думка, 1989. – 208 с.
3. Kawski M. Stabilization of nonlinear systems in the plane // Syst. Control. Lett. – 1989. – 12. –
P. 169–175.
4. Cheng D., Lin W. On p-normal forms of nonlinear systems // IEEE Trans. Autom. Control. – 2003. –
48. – P. 1242–1248.
5. Hong Y., Wang J. Non-smooth finite-time stabilization for a class of nonlinear systems // Sci. China. Ser.
F. – 2006. – 49, No 1. – P. 80–89.
6. Long L., Zhao J. Global stabilisation of switched nonlinear systems in p-normal form with mixed odd and
even powers // Int. J. Contr. – 2011. – 84, No 10. – P. 1612–1626.
7. Liao D. Adaptive control for a class of high-order nonlinear uncertain systems // J. Theor. and Appl.
Inform. Technol. – 2012. – 46, No 1. – P. 371–376.
8. Gao F., Li P., Yuan F. Finite-time stabilization of high-order nonholonomic systems with more general
nonlinear drifts // J. Inform. and Comput. Sci. – 2013. – 10, No 4. – P. 1139–1147.
Поступило в редакцию 15.07.2013Щецинский университет, Польша
Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
В. I. Коробов, М. О. Бебiя
Стабiлiзацiя деякого класу нелiнiйних систем, некерованих
за першим наближенням
Розглянуто задачу стабiлiзацiї для нелiнiйних некерованих за першим наближенням сис-
тем вигляду ẋ1 = u, ẋi = xi−1+fi−1(t, x1, . . . , xn), ẋn = x2k+1
n−1 +fn−1(t, x1, . . . , xn), i = 2, n− 1.
Для цих систем встановлено достатню умову iснування квадратичної функцiї Ляпунова,
наведено метод побудови функцiї Ляпунова i стабiлiзуючого керування.
V. I. Korobov, M. O. Bebiya
Stabilization of some class of nonlinear systems that are uncontrollable
the first approximation
The problem of stabilization for systems of the form ẋ1 = u, ẋi = xi−1 + fi−1(t, x1, . . . , xn),
ẋn = x2k+1
n−1 + fn−1(t, x1, . . . , xn), i = 2, n− 1, that are uncontrollable in the first approximation is
considered. The sufficient condition of existence of a quadratic Lyapunov function is obtained, and
a method of construction of the Lyapunov function and the stabilizing control is described.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 25
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86964 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T10:11:46Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Коробов, В.И. Бебия, М.О. 2015-10-07T19:17:00Z 2015-10-07T19:17:00Z 2014 Стабилизация одного класса нелинейных систем, неуправляемых по первому приближению / В.И. Коробов, М.О. Бебия // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 20-25. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86964 517.977 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Стабилизация одного класса нелинейных систем, неуправляемых по первому приближению Стабiлiзацiя деякого класу нелiнiйних систем, некерованих за першим наближенням Stabilization of some class of nonlinear systems that are uncontrollable the first approximation Article published earlier |
| spellingShingle | Стабилизация одного класса нелинейных систем, неуправляемых по первому приближению Коробов, В.И. Бебия, М.О. Математика |
| title | Стабилизация одного класса нелинейных систем, неуправляемых по первому приближению |
| title_alt | Стабiлiзацiя деякого класу нелiнiйних систем, некерованих за першим наближенням Stabilization of some class of nonlinear systems that are uncontrollable the first approximation |
| title_full | Стабилизация одного класса нелинейных систем, неуправляемых по первому приближению |
| title_fullStr | Стабилизация одного класса нелинейных систем, неуправляемых по первому приближению |
| title_full_unstemmed | Стабилизация одного класса нелинейных систем, неуправляемых по первому приближению |
| title_short | Стабилизация одного класса нелинейных систем, неуправляемых по первому приближению |
| title_sort | стабилизация одного класса нелинейных систем, неуправляемых по первому приближению |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86964 |
| work_keys_str_mv | AT korobovvi stabilizaciâodnogoklassanelineinyhsistemneupravlâemyhpopervomupribliženiû AT bebiâmo stabilizaciâodnogoklassanelineinyhsistemneupravlâemyhpopervomupribliženiû AT korobovvi stabilizaciâdeâkogoklasuneliniinihsistemnekerovanihzaperšimnabližennâm AT bebiâmo stabilizaciâdeâkogoklasuneliniinihsistemnekerovanihzaperšimnabližennâm AT korobovvi stabilizationofsomeclassofnonlinearsystemsthatareuncontrollablethefirstapproximation AT bebiâmo stabilizationofsomeclassofnonlinearsystemsthatareuncontrollablethefirstapproximation |