Нові властивості FD-методу при його застосуваннях до задач Штурма–Ліувілля
Доведено, що FD-метод при його застосуваннi до розв’язування задачi Штурма–Лiувiлля для звичайного диференцiального рiвняння другого порядку на вiдрiзку з крайовими умовами Дiрiхле вiдносно власних значень має суттєво вищу швидкiсть збiжностi, нiж це було встановлено в попереднiх роботах В.Л. Мака...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86965 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нові властивості FD-методу при його застосуваннях до задач Штурма–Ліувілля / В.Л. Макаров, Н.М. Романюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 26-31. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859827831965483008 |
|---|---|
| author | Макаров, В.Л. Романюк, Н.М. |
| author_facet | Макаров, В.Л. Романюк, Н.М. |
| citation_txt | Нові властивості FD-методу при його застосуваннях до задач Штурма–Ліувілля / В.Л. Макаров, Н.М. Романюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 26-31. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Доведено, що FD-метод при його застосуваннi до розв’язування задачi Штурма–Лiувiлля
для звичайного диференцiального рiвняння другого порядку на вiдрiзку з крайовими умовами Дiрiхле вiдносно власних значень має суттєво вищу швидкiсть збiжностi, нiж це
було встановлено в попереднiх роботах В.Л. Макарова та його учнiв. Викладено принципово новий алгоритм FD-методу, програмна реалiзацiя якого засобами комп’ютерної алгебри показала свою високу ефективнiсть.
Доказано, что FD-метод при его применении к решению задачи Штурма–Лиувилля для
обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на отрезке с краевыми условиями Дирихле относительно собственных значений имеет существенно более высокую скорость сходимости, чем это было установлено в предыдущих работах В.Л. Макарова
и его учеников. Изложен принципиально новый алгоритм FD-метода, программная реализация которого средствами компьютерной алгебры показала свою высокую эффективность.
We prove that the FD-method, when applied to the Sturm–Liouville problem for a second-order
ordinary differential equation with Dirichlet boundary conditions, converges faster than as compared
with the result of the previous articles by V. L. Makarov and his students. A substantially new
algorithm for the FD-method is presented and shown to be highly effective, when implemented with
the use of a computer algebra software.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:30:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.624.2
Академiк НАН України В.Л. Макаров, Н. М. Романюк
Новi властивостi FD-методу при його застосуваннях
до задач Штурма–Лiувiлля
Доведено, що FD-метод при його застосуваннi до розв’язування задачi Штурма–Лiувiлля
для звичайного диференцiального рiвняння другого порядку на вiдрiзку з крайовими умо-
вами Дiрiхле вiдносно власних значень має суттєво вищу швидкiсть збiжностi, нiж це
було встановлено в попереднiх роботах В.Л. Макарова та його учнiв. Викладено прин-
ципово новий алгоритм FD-методу, програмна реалiзацiя якого засобами комп’ютерної
алгебри показала свою високу ефективнiсть.
Вперше FD-метод був запропонований у роботi [1] для розв’язування регулярної скалярної
задачi Штурма–Лiувiлля
d2u(x)
dx2
+ (λ− q(x))u(x) = 0, x ∈ (0, 1), u(0) = u(1) = 0 (1)
з кусково-сталим наближенням q(x) коефiцiєнта q(x). Метод дозволяє при фiксованому
параметрi дискретизацiї N (кiлькiсть сходинок у функцiї q(x)) визначити наближення до
власних функцiй i власних значень {un(x), λn} з точнiстю O((Nn)−m), де m — ранг методу.
Пiзнiше в роботах [2, 3] доведенi явнi апрiорнi оцiнки для випадку, коли кусково стала
функцiя, що наближає q(x), тотожно рiвна нулю, тобто q(x) ≡ 0:
|λn(q(·)) −
m
λn(0)| 6 ‖q‖∞
(r0n)
m
1− r0n
2
(2m − 1)!!
(2m + 2)!!
6 ‖q‖∞
(r0n)
m
1− r0n
1
(m+ 1)
√
πm
,
‖un(x, q(·)) −
m
un(x, 0)‖ 6
(r0n)
m+1
1− r0n
2
(2m+ 1)!!
(2m+ 4)!!
6
(r0n)
m+1
1− r0n
1
(m+ 2)
√
π(m+ 1)
,
(2)
де r0n = 4‖q‖∞/(π2(2n − 1)), ‖q‖∞ = max
x∈[0,1]
|q(x)|.
Розглянемо задачу (1), коли q(x) =
r∑
l=0
clx
l є полiном степеня r. Застосуємо до неї FD-ме-
тод з вибором функцiї q(x), що наближає q(x), тотожної нулю (подiбна iдеологiя присутня
в методi гомотопiй, а також в методi Адомяна [4]). В цьому випадку FD-метод є таким,
що точно реалiзується [5]. Тодi наближення m-го рангу (за термiнологiєю FD-методу) до
розв’язку задачi (1) матиме вигляд
m
un(x) =
m∑
j=0
u(j)n (x),
m
λn =
m∑
j=0
λ(j)
n . (3)
Тут u(0)n (x) =
√
2 sin(πnx), λ(0)
n = (nπ)2 — розв’язок базової задачi
d2u
(0)
n (x)
dx2
+ λ(0)
n u(0)n (x) = 0, x ∈ (0, 1), u(0)n (0) = u(0)n (1) = 0.
© В. Л. Макаров, Н.М. Романюк, 2014
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
Члени рядiв (3) визначаються як розв’язки рекурентної послiдовностi задач
d2u
(j+1)
n (x)
dx2
+ λ(0)
n u(j+1)
n (x) = −
j∑
p=0
λ(j+1−p)
n u(p)n (x) + q(x)u(j)n (x) ≡
≡ −F j+1
n (x), x ∈ (0, 1),
u(j+1)
n (0) = u(j+1)
n (1) = 0, j = 0, 1, . . . ,m− 1,
(4)
де
λ(j+1)
n =
1∫
0
q(x)u(j)n (x)u(0)n (x) dx =
√
2
r∑
p=0
cl
1∫
0
xlu(j)n (x) sin(πnx) dx. (5)
Спiввiдношення (5) одержується з умов розв’язностi задач (4), а для їх однозначної роз-
в’язностi вимагається додаткова умова ортогональностi
1∫
0
u(j+1)
n (x)u(0)n (x) dx = 0, j = 0, 1, . . . ,m− 1. (6)
Введемо узагальнену функцiю Грiна
gn(x, ξ) =
1
4π2n2
(cos(nπ(x+ ξ))− cos(nπ(x− ξ))−
− 2πn[sin(nπ(x+ ξ))(1 − x− ξ)− sin(nπ|x− ξ|)(1 − |x− ξ|)]),
для якої справедливi такi властивостi:
gn(x, ξ) = gn(ξ, x),
1∫
0
gn(x, ξ) sin(nπx) dx = 0,
1∫
0
gn(x, ξ) sin(nπξ) dξ = 0,
тодi при фiксованому j розв’язок задачi (4), що задовольняє умову ортогональностi (6),
можна записати у виглядi
u(j+1)
n (x) = −
1∫
0
gn(x, ξ)F
(j+1)
n (ξ) dξ.
Має мiсце таке твердження.
Теорема 1. Нехай q(x) =
r∑
l=0
clx
l, 〈q〉 =
r∑
l=0
|cl|. Тодi будуть справедливi спiввiдношення
‖u(j+1)
n ‖ =
( 1∫
0
[u(j+1)
n (x)]2dx
)1/2
6
(
4〈q〉
π2(2n− 1)
)j+1
2
(2j + 1)!!
(2j + 4)!!
6
6
(
4〈q〉
π2(2n− 1)
)j+1 1
(j + 2)
√
π(j + 1)
, (7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 27
lim
n→∞
((2πn)2jλ(j+1)
n ) = dj+1, (8)
де dj+1 — деякi сталi, причому |dj+1| < ∞, ∀ j = 0, 1, . . ..
Спадання оцiнок (2) поправок λ(j+1)
n вiдносно n до нуля суттєво повiльнiше, нiж на-
справдi, як видно з граничного спiввiдношення (8). Оцiнка (7) була одержана в [2, 3]. При
доведеннi граничного спiввiдношення (8) суттєво використовуються результати В.О. Мар-
ченка [6].
Провiвши необхiднi аналiтичнi дослiдження, отримали такi структурнi представлення
розв’язкiв задач (4), а саме при j = 0, 1, . . .:
u(2j+1)
n (x) =
(2j+1)(r+1)∑
p=1
b(2j+1)
p xp cos(πnx) +
(2j+1)(r+1)−1∑
p=0
a(2j+1)
p xp sin(πnx), (9)
u(2j)n (x) =
2j(r+1)−1∑
p=1
b(2j)p xp cos(πnx) +
2j(r+1)∑
p=0
a(2j)p xp sin(πnx), (10)
справедливiсть яких доводиться методом математичної iндукцiї.
Введемо позначення
Pt+1(x) =
1
(t+ 1)2πn
[t/2]∑
s=0
(−1)sxt+1−2s
(2πn)2s
(t− 2s+ 2)2s, (v)k
def
=
(v + k − 1)!
(v − 1)!
,
z(t, x)
def
= Pt+1(x) sin(πnx) +
t
2πn
Pt(x) cos(πnx),
zT (t, x)
def
= −Pt+1(x) cos(πnx) +
t
2πn
Pt(x) sin(πnx).
Використовуючи представлення (9), (10), приходимо до таких формул:
ũ(2j)n (x) = −
j−1∑
p=0
λ(2j−2p)
n
[2p(r+1)−1∑
t=1
b
(2p)
t z(t, x) +
2p(r+1)∑
t=0
a
(2p)
t zT (t, x)
]
−
−
j−1∑
p=0
λ(2j−2p−1)
n
[
(2p+1)(r+1)∑
t=1
b
(2p+1)
t z(t, x) +
(2p+1)(r+1)−1∑
t=0
a
(2p+1)
t zT (t, x)
]
+
+
(2j−1)(r+1)∑
t=1
b
(2j−1)
t
r∑
l=1
clz(t+ l, x) +
(2j−1)(r+1)−1∑
t=0
a
(2j−1)
t
r∑
l=1
clz
T (t+ l, x),
ũ(2j+1)
n (x) = −
j−1∑
p=0
λ(2j−2p)
n
[(2p+1)(r+1)∑
t=1
b
(2p+1)
t z(t, x) +
(2p+1)(r+1)−1∑
t=0
a
(2p+1)
t zT (t, x)
]
−
−
j∑
p=0
λ(2j−2p+1)
n
[2p(r+1)−1∑
t=1
b
(2p)
t z(t, x) +
2p(r+1)∑
t=0
a
(2p)
t zT (t, x)
]
+
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
+
2j(r+1)−1∑
t=1
b
(2j)
t
r∑
l=1
clz(t+ l, x) +
2j(r+1)∑
t=0
a
(2j)
t
r∑
l=1
clz
T (t+ l, x),
якi з врахуванням спiввiдношень зв’язку
u(2j)n (x) = ũ(2j)n (x) + a
(2j)
0 sin(πnx), u(2j+1)
n (x) = ũ(2j+1)
n (x) + a
(2j+1)
0 sin(πnx)
дають можливiсть легко одержати рекурентнi спiввiдношення для коефiцiєнтiв b(2j)p (p =
= 1, . . . , 2j(r + 1) − 1), a(2j)p (p = 0, . . . , 2j(r + 1)), b(2j+1)
p (p = 0, . . . , (2j + 1)(r + 1)), a(2j+1)
p
(p = 0, . . . , (2j+1)(r+1)−1) через вiдповiднi коефiцiєнти функцiй u(2p)n (x) (p = 0, . . . , j−1)
i u(2p−1)
n (x) (p = 1, . . . , j). Так, зокрема,
b
(2j+1)
(2j+1)(r+1) = −
a
(2j)
2j(r+1)cr
2πn(2j + 1)(r + 1)
,
a
(2j+1)
(2j+1)(r+1)−1 =
cr
2πn
[ b
(2j)
2j(r+1)−1
(2j + 1)(r + 1)− 1
−
a
(2j)
2j(r+1)
(2j + 1)(r + 1)
]
.
Iншi рекурентнi формули для коефiцiєнтiв ми не наводимо через їх громiздкiсть.
Для поправок до власних значень на непарних i парних кроках вiдповiдно маємо фор-
мули
λ(2j+1)
n = −
2j(r+1)−1∑
p=1
b(2j)p
r∑
l=1
clβp+l +
2j(r+1)∑
p=0
a(2j)p
r∑
l=1
cl
[ √
2
2(p+ l + 1)
+ αp+l
]
,
λ(2j+2)
n = −
(2j+1)(r+1)∑
p=1
b(2j+1)
p
r∑
l=1
clβp+l +
(2j+1)(r+1)−1∑
p=0
a(2j+1)
p
r∑
l=1
cl
[ √
2
2(p + l + 1)
+ αp+l
]
,
де
βp
def
= −
√
2
2
1∫
0
xp sin(2πnx)dx =
√
2
4πn
p−1∑
i=0
p! sin
(
i+ 1
2
π
)
(p− i)!(2πn)i
,
αp
def
= −
√
2
2
1∫
0
xp cos(2πnx)dx =
√
2
4πn
p−1∑
i=0
p! cos
(
i+ 1
2
π
)
(p− i)!(2πn)i
,
a
(2j)
0
def
=
√
2
(2j(r+1)−1∑
p=1
b(2j)p βp −
2j(r+1)∑
p=1
a(2j)p
[ √
2
2(p+ 1)
+ αp
])
,
a
(2j+1)
0
def
=
√
2
((2j+1)(r+1)∑
p=1
b(2j+1)
p βp −
(2j+1)(r+1)−1∑
p=1
a(2j+1)
p
[ √
2
2(p + 1)
+ αp
])
.
Викладене вище фактично є принципово новою алгоритмiчною реалiзацiєю FD-мето-
ду з q(x) ≡ 0, яка не вимагає анi розв’язування крайових задач (4), анi iнтегрування за
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 29
формулами (5), (6), треба тiльки виконувати звичайнi арифметичнi дiї. Тому програмна
реалiзацiя цього алгоритму засобами комп’ютерної алгебри є дуже ефективною i дає змогу
одержувати наближення m-го рангу за FD-методом для як завгодно великого m.
Зауваження. З теореми 1 випливає, що може iснувати такий полiном q(x), що ∃n0, для
якого при n < n0 FD-метод для власних значень λn є збiжним, а для власних функцiй un —
розбiжним. Це пiдтверджується чисельними експериментами, зокрема при q(x) = 40x та-
ке n0 виявляється рiвним 4.
П р и к л ад . Нехай q(x) =
2∑
l=0
clx
l, тодi за допомогою вищенаведеного алгоритму одержуємо
λ(1)
n = c0 +
1
2
c1 +
1
3
c2 −
c2
2π2n2
,
λ(2)
n =
15c21 + 30c1c2 + 16c22
720π2n2
− 5
48
3c21 + 6c1c2 + 4c22
π4n4
+
7c22
8π6n6
,
λ(3)
n =
1
30240
c2(63c
2
1 + 126c1c2 + 64c22)
π4n4
− c2(15c
2
1 + 30c1c2 + 16c22)
48π6n6
+
31
32
c2(3c
2
1 + 6c1c2 + 4c22)
π8n8
−
− 121c32
16π10n10
,
λ(4)
n =
315c41 + 1260c31c2 + 2085c21c
2
2 + 1650c1c
3
2 + 512c42
725760π6n6
−
− 1575c41 + 6300c31c2 + 11907c21c
2
2 + 11214c1c
3
2 + 4096c42
17280π8n8
+
+
1100c41 + 4400c31c2 + 15745c21c
2
2 + 22690c1c
3
2 + 10928c42
1280π10n10
−
− 14573
768
c22(3c
2
1 + 6c1c2 + 4c22)
π12n12
+
17771c42
128π14n14
.
Звiдси
d2 =
1
180
(15c21 + 30c1c2 + 16c22), d3 =
c2
1840
(63c21 + 126c1c2 + 64c22),
d4 =
1
11340
(315c41 + 126c31c2 + 2085c21c
2
2 + 1650c1c
3
2 + 512c42).
Вирази для поправок до власних функцiй u(j)
n (x) не наводимо у зв’язку з тим, що швидкiсть їх
збiжностi вiдносно n задовольняє оцiнку (7), яка доведена в роботах [2, 3].
1. Макаров В.Л. О функционально-разностном методе произвольного порядка точности решения задачи
Штурма–Лиувилля с кусочно-гладкими коэффициентами // Докл. АН СССР. – 1991. – 320, № 1. –
С. 34–39.
2. Бандирський Б.Й., Макаров В.Л., Уханьов О.Л. FD-метод для задач Штурма–Лiувiлля. Експонен-
цiйна швидкiсть збiжностi // Журн. обчисл. прикл. математики. – 2000. – 85, № 1. – С. 1–60.
3. Макаров В.Л. FD-метод – экспоненциальная скорость сходимости // Обчисл. та прикл. математика. –
1997. – 82. – С. 69–74.
4. Adomian G. Solving frontier problems of physics: the decomposition method. – Dordrecht: Kluwer, 1994. –
352 p.
5. Makarov V. L., Vinokur V.V. The FD method for first-order linear hyperbolic differential equations with
piecewise smooth coefficients // J. Math. Sci. – 1995. – 77, No 5. – P. 3399–3405.
6. Марченко В.А. Операторы Штурма–Лиувилля и их приложения. – Киев: Наук. думка, 1977. – 330 с.
Надiйшло до редакцiї 10.09.2013Iнститут математики НАН України, Київ
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
Академик НАН Украины В.Л. Макаров, Н.Н. Романюк
Новые свойства FD-метода при его применениях к задачам
Штурма–Лиувилля
Доказано, что FD-метод при его применении к решению задачи Штурма–Лиувилля для
обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на отрезке с краевыми усло-
виями Дирихле относительно собственных значений имеет существенно более высокую
скорость сходимости, чем это было установлено в предыдущих работах В.Л. Макарова
и его учеников. Изложен принципиально новый алгоритм FD-метода, программная реали-
зация которого средствами компьютерной алгебры показала свою высокую эффективность.
Academician of the NAS of Ukraine V.L. Makarov, N. M. Romanyuk
New properties of the FD-method in its applications to the
Sturm-Liouville problems
We prove that the FD-method, when applied to the Sturm–Liouville problem for a second-order
ordinary differential equation with Dirichlet boundary conditions, converges faster than as compared
with the result of the previous articles by V. L. Makarov and his students. A substantially new
algorithm for the FD-method is presented and shown to be highly effective, when implemented with
the use of a computer algebra software.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 31
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86965 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:30:02Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Макаров, В.Л. Романюк, Н.М. 2015-10-07T19:17:18Z 2015-10-07T19:17:18Z 2014 Нові властивості FD-методу при його застосуваннях до задач Штурма–Ліувілля / В.Л. Макаров, Н.М. Романюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 26-31. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86965 519.624.2 Доведено, що FD-метод при його застосуваннi до розв’язування задачi Штурма–Лiувiлля для звичайного диференцiального рiвняння другого порядку на вiдрiзку з крайовими умовами Дiрiхле вiдносно власних значень має суттєво вищу швидкiсть збiжностi, нiж це було встановлено в попереднiх роботах В.Л. Макарова та його учнiв. Викладено принципово новий алгоритм FD-методу, програмна реалiзацiя якого засобами комп’ютерної алгебри показала свою високу ефективнiсть. Доказано, что FD-метод при его применении к решению задачи Штурма–Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на отрезке с краевыми условиями Дирихле относительно собственных значений имеет существенно более высокую скорость сходимости, чем это было установлено в предыдущих работах В.Л. Макарова и его учеников. Изложен принципиально новый алгоритм FD-метода, программная реализация которого средствами компьютерной алгебры показала свою высокую эффективность. We prove that the FD-method, when applied to the Sturm–Liouville problem for a second-order ordinary differential equation with Dirichlet boundary conditions, converges faster than as compared with the result of the previous articles by V. L. Makarov and his students. A substantially new algorithm for the FD-method is presented and shown to be highly effective, when implemented with the use of a computer algebra software. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Нові властивості FD-методу при його застосуваннях до задач Штурма–Ліувілля Новые свойства FD-метода при его применениях к задачам Штурма–Лиувилля New properties of the FD-method in its applications to the Sturm-Liouville problems Article published earlier |
| spellingShingle | Нові властивості FD-методу при його застосуваннях до задач Штурма–Ліувілля Макаров, В.Л. Романюк, Н.М. Математика |
| title | Нові властивості FD-методу при його застосуваннях до задач Штурма–Ліувілля |
| title_alt | Новые свойства FD-метода при его применениях к задачам Штурма–Лиувилля New properties of the FD-method in its applications to the Sturm-Liouville problems |
| title_full | Нові властивості FD-методу при його застосуваннях до задач Штурма–Ліувілля |
| title_fullStr | Нові властивості FD-методу при його застосуваннях до задач Штурма–Ліувілля |
| title_full_unstemmed | Нові властивості FD-методу при його застосуваннях до задач Штурма–Ліувілля |
| title_short | Нові властивості FD-методу при його застосуваннях до задач Штурма–Ліувілля |
| title_sort | нові властивості fd-методу при його застосуваннях до задач штурма–ліувілля |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86965 |
| work_keys_str_mv | AT makarovvl novívlastivostífdmetodupriiogozastosuvannâhdozadačšturmalíuvíllâ AT romanûknm novívlastivostífdmetodupriiogozastosuvannâhdozadačšturmalíuvíllâ AT makarovvl novyesvoistvafdmetodapriegoprimeneniâhkzadačamšturmaliuvillâ AT romanûknm novyesvoistvafdmetodapriegoprimeneniâhkzadačamšturmaliuvillâ AT makarovvl newpropertiesofthefdmethodinitsapplicationstothesturmliouvilleproblems AT romanûknm newpropertiesofthefdmethodinitsapplicationstothesturmliouvilleproblems |