Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності
Розглядається проблема мiнiмiзацiї квадратичного функцiонала на розв’язках другої крайової задачi для рiвняння теплопровiдностi. Для дослiдження сформульованої задачi оптимiзацiї застосовано метод множникiв Лагранжа. Такий пiдхiд дав можливiсть отримати необхiднi умови оптимальностi. На основi цих...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86969 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності / М.М. Копець // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 45-49. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859783879028637696 |
|---|---|
| author | Копець, М.М. |
| author_facet | Копець, М.М. |
| citation_txt | Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності / М.М. Копець // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 45-49. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглядається проблема мiнiмiзацiї квадратичного функцiонала на розв’язках другої крайової задачi для рiвняння теплопровiдностi. Для дослiдження сформульованої задачi
оптимiзацiї застосовано метод множникiв Лагранжа. Такий пiдхiд дав можливiсть
отримати необхiднi умови оптимальностi. На основi цих умов виведено iнтегро-диференцiальне рiвняння Рiккатi з частинними похiдними. Розв’язок цього рiвняння подано в замкненiй формi.
Рассматривается проблема минимизации квадратичного функционала на решениях второй краевой задачи для уравнения теплопроводности. Для исследования сформулированной
задачи оптимизации применен метод множителей Лагранжа. Такой подход дал возможность получить необходимые условия оптимальности. На основе этих условий выведено интегро-дифференциальное уравнение Риккати с частными производными. Решение этого уравнения представлено в замкнутой форме.
The problem of minimization of a quadratic functional on solutions of the second boundary-value
problem for the heat equation is considered. The method of Lagrange multipliers is applied to
research the formulated optimization problem. Such approach has given a chance to obtain the
necessary conditions of optimality. On the basis of these conditions, the integro-differential Riccati
equation with partial derivatives is deduced. The solution of this equation is presented in the closed
form.
|
| first_indexed | 2025-12-02T09:41:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.977.56
М. М. Копець
Лiнiйно-квадратична задача оптимального керування
процесом теплопровiдностi
(Представлено членом-кореспондентом НАН України А.О. Чикрiєм)
Розглядається проблема мiнiмiзацiї квадратичного функцiонала на розв’язках другої кра-
йової задачi для рiвняння теплопровiдностi. Для дослiдження сформульованої задачi
оптимiзацiї застосовано метод множникiв Лагранжа. Такий пiдхiд дав можливiсть
отримати необхiднi умови оптимальностi. На основi цих умов виведено iнтегро-дифе-
ренцiальне рiвняння Рiккатi з частинними похiдними. Розв’язок цього рiвняння подано
в замкненiй формi.
В теорiї оптимального керування важливе мiсце займає лiнiйно-квадратична задача. Пiд
цим термiном розумiється задача мiнiмiзацiї квадратичного функцiонала на множинi роз-
в’язкiв деякої системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь, правi частини яких певним чином
залежать вiд одного або декiлькох параметрiв (керувань). Якщо поведiнка керованого об’єк-
та описується системою звичайних диференцiальних рiвнянь, то мова йде про системи iз
зосередженими параметрами. У випадку диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними
маємо систему iз розподiленими параметрами. Для систем iз зосередженими параметрами
лiнiйно-квадратична задача дослiджена досить повно. Основним результатом цього дослiд-
ження є матричне диференцiальне рiвняння Рiккатi [1–3, 5]. Для математичних моделей
систем iз розподiленими параметрами виникають iнтегро-диференцiальнi рiвняння Рiккатi
з частинними похiдними, якi менше дослiдженi порiвняно iз звичайними матричними ди-
ференцiальними рiвняннями Рiккатi. В данiй роботi для сформульованої задачi оптимiза-
цiї отримано iнтегро-диференцiальне рiвняння Рiккатi з частинними похiдними, розв’язок
якого наведено в замкненiй формi.
Постановка задачi. Розглядається процес, що описується таким рiвнянням теплопро-
вiдностi:
∂z(t, x)
∂t
=
∂2z(t, x)
∂x2
+ u(t, x),
t0 6 t 6 t1, 0 6 x 6 l.
(1)
Для рiвняння (1) задано початкову умову
z(t0, x) = f(x) (2)
та крайовi умови
∂z(t, 0)
∂x
= 0,
∂z(t, l)
∂x
= 0, (3)
де через ∂z(t, 0)/∂x та ∂z(t, l)/∂x позначено значення ∂z(t, x)/∂x при x = 0 та x = l вiд-
повiдно, дiйснi числа t0 > 0, t1 > t0, l > 0 i функцiя f(x) ∈ L2(0, l) заданi. Функцiя
© М. М. Копець, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 45
u(t, x) вважається допустимим керуванням, якщо u(t, x) ∈ L2(Ω), де множину Ω задано так:
Ω = {(t, x) : t ∈ [t0, t1], x ∈ [0, l]}. Для фiксованого допустимого керування u(t, x) розв’язком
z(t, x) задачi (1)–(3) вважається узагальнений розв’язок z(t, x) ∈ L2(Ω). Далi розглянемо
такий критерiй оптимальностi:
I(u, z) =
1
2
l
∫
0
z2(t1, x) dx +
1
2
t1
∫
t0
l
∫
0
[z2(t, x) + u2(t, x)] dxdt. (4)
Задача оптимального керування процесом, що описується спiввiдношеннями (1)–(3), поля-
гає в знаходженнi такого керування u(t, x), на якому функцiонал (4) набуває найменшого
значення. Якщо таке керування iснує, то воно називається оптимальним керуванням.
Необхiднi умови оптимальностi. Для знаходження розв’язку розглянутої вище зада-
чi застосуємо метод множникiв Лагранжа [4, с. 31]. Суть методу полягає в тому, що замiсть
функцiонала (4) розглядаємо такий функцiонал:
J(p, u, z) =
1
2
l
∫
0
z2(t1, x)dx+
1
2
t1
∫
t0
l
∫
0
[z(t, x)2 + u2(t, x)] dxdt+
+
t1
∫
t0
l
∫
0
p(t, x)
[
∂2z(t, x)
∂x2
+ u(t, x)−
∂z(t, x)
∂t
]
dxdt, (5)
де p(t, x) — невiдома функцiя (множник Лагранжа). Очевидно, що при виконаннi спiввiд-
ношення (1) значення функцiоналiв (4) i (5) збiгаються. В такий спосiб задача на умовний
екстремум для функцiонала (4) зводиться до задачi на екстремум для функцiонала (5) iз
урахуванням спiввiдношень (2), (3). Далi знаходимо вираз для приросту △J функцiона-
ла (5)
△J = J(p+ εδp, u + εδu, z + εδz) − J(p, u, z). (6)
Пiсля очевидних спрощень (розкриття дужок, iнтегрування частинами та зведення подiбних
членiв) спiввiдношення (6) матиме вигляд
△J = ε
l
∫
0
[z(t1, x)− p(t1, x)]δz(t1, x) dx +
+ ε
t1
∫
t0
l
∫
0
[[
z(t, x) +
∂2p(t, x)
∂x2
+
∂p(t, x)
∂t
]
δz(t, x) + [u(t, x) + p(t, x)]δu(t, x)
]
dxdt+
+ ε
t1
∫
t0
l
∫
0
δp(t, x)
[
∂2z(t, x)
∂x2
+ u(t, x)−
∂z(t, x)
∂t
]
dxdt+
+
ε2
2
[ l
∫
0
[δz(t1, x)]
2dx+
t1
∫
t0
l
∫
0
[[δz(t, x)]2 + [δu(t, x)]2] dxdt
]
. (7)
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
На пiдставi рiвностi (7) можна сформулювати таке твердження.
Теорема 1. Оптимальне керування u(t, x) в задачi (1)–(4) єдине i визначається iз
спiввiдношень
∂z(t, x)
∂t
=
∂2z(t, x)
∂x2
+ u(t, x), (8а)
z(t0, x) = f(x),
∂z(t, 0)
∂x
= 0,
∂z(t, l)
∂x
= 0, (8б)
∂p(t, x)
∂t
= −
∂2p(t, x)
∂x2
− z(t, x), (8в)
p(t1, x) = z(t1, x),
∂p(t, 0)
∂x
= 0,
∂p(t, l)
∂x
= 0, (8г)
u(t, x) + p(t, x) = 0. (8д)
Виведення iнтегро-диференцiального рiвняння Рiккатi. Нехай iснує залежнiсть
p(t, x) =
l
∫
0
R(t, x, s)z(t, s) ds мiж функцiями p(t, x) i z(t, x), якi задовольняють систему спiв-
вiдношень (8a)–(8д). Легко переконатися в тому, що вiдносно функцiї R(t, x, s) має мiсце
таке твердження.
Теорема 2. Функцiя R(t, x, s)) є розв’язком iнтегро-диференцiального рiвняння
∂R(t, x, s)
∂t
+
∂2R(t, x, s)
∂x2
+
∂2R(t, x, s)
∂s2
−
l
∫
0
R(t, x, λ)R(t, λ, s)dλ + δ(x− s) = 0, (9)
де δ(x) — дельта-функцiя Дiрака, та задовольняє такi додатковi умови:
R(t1, x, s) = δ(x− s), (10а)
∂R(t, 0, s)
∂x
= 0,
∂R(t, l, s)
∂x
= 0,
∂R(t, x, 0)
∂s
= 0,
∂R(t, x, l)
∂s
= 0. (10б)
Побудова розв’язку iнтегро-диференцiального рiвняння Рiккатi. Розв’язок
R(t, x, s) рiвняння (9) шукаємо у виглядi
R(t, x, s) =
1
l
[
r0(t) + 2
∞
∑
n=1
rn(t) cos
πnx
l
cos
πns
l
]
, (11)
де функцiї rn(t), n = 0, 1, 2, . . . , потрiбно знайти. Очевидно, що функцiя (11) задовольняє
умови (10б). Безпосередньо iз рiвностi (11) знаходимо
∂R(t, x, s)
∂t
=
1
l
[
dr0(t)
dt
+ 2
∞
∑
n=1
drn(t)
dt
cos
πnx
l
cos
πns
l
]
, (12)
∂2R(t, x, s)
∂x2
=
∂2R(t, x, s)
∂s2
= −
2
l
∞
∑
n=1
[
πn
l
]2
rn(t) cos
πnx
l
cos
πns
l
, (13)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 47
l
∫
0
R(t, x, λ)R(t, λ, s)dλ =
1
l
[
r20(t) + 2
∞
∑
n=1
r2n(t) cos
πnx
l
cos
πns
l
]
. (14)
Пiдставляючи вирази (12)–(14) в рiвняння (9), отримаємо для знаходження коефiцiєнтiв
rn(t) = 1, n = 0, 1, 2, . . ., таку нескiнченну систему скалярних рiвнянь Рiккатi:
drn(t)
dt
− 2
[
πn
l
]2
rn(t)− r2n(t) + 1 = 0, n = 0, 1, 2, . . . . (15)
При цьому умова (10а) породжує додатковi умови для системи рiвнянь (15)
rn(t1) = 1, n = 0, 1, 2, . . . . (16)
Пiдводячи пiдсумки, приходимо до такого твердження.
Теорема 3. Функцiя R(t, x, s) має вигляд (11), де коефiцiєнти rn(t), n = 0, 1, 2, . . . ,
є розв’язками системи звичайних диференцiальних рiвнянь (15) та задовольняють до-
датковi умови (16).
Далi, використовуючи спосiб, аналогiчний описаному в [3, с. 320], легко знаходимо фор-
мули для rn(t), n = 0, 1, 2, . . . ,
rn(t) =
λn cos h(λn(t1 − t))− (αn − 1) sin h(λn(t1 − t))
λn cos h(λn(t1 − t)) + (αn + 1) sin h(λn(t1 − t))
, n = 0, 1, 2, . . . ,
дe αn =
[πn
l
]2
, λn =
√
[πn
l
]4
+ 1, n = 0, 1, 2, . . ..
Таким чином, у роботi розглянуто лiнiйно-квадратичну задачу оптимального керуван-
ня процесом теплопровiдностi. За допомогою методу множникiв Лагранжа отримано не-
обхiднi умови оптимальностi. Встановлено умови, що забезпечують єдинiсть оптимального
керування. Вперше для такої задачi з використанням дельта-функцiї Дiрака одержано iн-
тегро-диференцiальне рiвняння Рiккатi. Запропоновано формулу для обчислення розв’язку
цього рiвняння. Використання отриманої формули дає можливiсть подати оптимальне ке-
рування в явнiй формi. Тема, розглянута у роботi, безумовно, є досить перспективною для
подальших дослiджень.
1. Жуковский В.И., Чикрий А.А. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. – Киев: Наук. дум-
ка, 1994. – 320 с.
2. Bensoussan A., Da Prato G., Delfour M.C., Mitter S. K. Representation and control of infinite dimensional
systems. – Boston; Basel; Berlin: Birkhäuser, 2007. – 575 p.
3. Naidu D. S. Optimal control systems. (Electrical engineering textbook series). – Boсa Raton: CRC Press,
2003. – 433 p.
4. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. – Москва: Наука, 1977. –
480 с.
5. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. – Москва: Наука, 1978. – 551 с.
Надiйшло до редакцiї 09.07.2013НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут”
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
М.М. Копец
Линейно-квадратичная залача оптимального управления процессом
теплопроводности
Рассматривается проблема минимизации квадратичного функционала на решениях вто-
рой краевой задачи для уравнения теплопроводности. Для исследования сформулированной
задачи оптимизации применен метод множителей Лагранжа. Такой подход дал возмож-
ность получить необходимые условия оптимальности. На основе этих условий выведено
интегро-дифференциальное уравнение Риккати с частными производными. Решение этого
уравнения представлено в замкнутой форме.
M.M. Kopets
A linear-quadratic problem of optimal control over the heat
conductivity process
The problem of minimization of a quadratic functional on solutions of the second boundary-value
problem for the heat equation is considered. The method of Lagrange multipliers is applied to
research the formulated optimization problem. Such approach has given a chance to obtain the
necessary conditions of optimality. On the basis of these conditions, the integro-differential Riccati
equation with partial derivatives is deduced. The solution of this equation is presented in the closed
form.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 49
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86969 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T09:41:49Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Копець, М.М. 2015-10-07T19:18:24Z 2015-10-07T19:18:24Z 2014 Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності / М.М. Копець // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 45-49. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86969 517.977.56 Розглядається проблема мiнiмiзацiї квадратичного функцiонала на розв’язках другої крайової задачi для рiвняння теплопровiдностi. Для дослiдження сформульованої задачi оптимiзацiї застосовано метод множникiв Лагранжа. Такий пiдхiд дав можливiсть отримати необхiднi умови оптимальностi. На основi цих умов виведено iнтегро-диференцiальне рiвняння Рiккатi з частинними похiдними. Розв’язок цього рiвняння подано в замкненiй формi. Рассматривается проблема минимизации квадратичного функционала на решениях второй краевой задачи для уравнения теплопроводности. Для исследования сформулированной задачи оптимизации применен метод множителей Лагранжа. Такой подход дал возможность получить необходимые условия оптимальности. На основе этих условий выведено интегро-дифференциальное уравнение Риккати с частными производными. Решение этого уравнения представлено в замкнутой форме. The problem of minimization of a quadratic functional on solutions of the second boundary-value problem for the heat equation is considered. The method of Lagrange multipliers is applied to research the formulated optimization problem. Such approach has given a chance to obtain the necessary conditions of optimality. On the basis of these conditions, the integro-differential Riccati equation with partial derivatives is deduced. The solution of this equation is presented in the closed form. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності Линейно-квадратичная залача оптимального управления процессом теплопроводности A linear-quadratic problem of optimal control over the heat conductivity process Article published earlier |
| spellingShingle | Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності Копець, М.М. Інформатика та кібернетика |
| title | Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності |
| title_alt | Линейно-квадратичная залача оптимального управления процессом теплопроводности A linear-quadratic problem of optimal control over the heat conductivity process |
| title_full | Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності |
| title_fullStr | Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності |
| title_full_unstemmed | Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності |
| title_short | Лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності |
| title_sort | лінійно-квадратична задача оптимального керування процесом теплопровідності |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86969 |
| work_keys_str_mv | AT kopecʹmm líníinokvadratičnazadačaoptimalʹnogokeruvannâprocesomteploprovídností AT kopecʹmm lineinokvadratičnaâzalačaoptimalʹnogoupravleniâprocessomteploprovodnosti AT kopecʹmm alinearquadraticproblemofoptimalcontrolovertheheatconductivityprocess |