Потеря устойчивости вращающегося упругопластического плоского диска с убывающим радиусом
При исследовании методом малого параметра возможной потери устойчивости кругового диска установлена зависимость между критической скоростью вращения и переменным радиусом контурной окружности. На основании условия текучести Сен-Венана получено в первом приближении характеристическое уравнение относ...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2014 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86971 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Потеря устойчивости вращающегося упругопластического плоского диска с убывающим радиусом / Д.М. Лила, А.А. Мартынюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 56-62. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859823239039025152 |
|---|---|
| author | Лила, Д.М. Мартынюк, А.А. |
| author_facet | Лила, Д.М. Мартынюк, А.А. |
| citation_txt | Потеря устойчивости вращающегося упругопластического плоского диска с убывающим радиусом / Д.М. Лила, А.А. Мартынюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 56-62. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | При исследовании методом малого параметра возможной потери устойчивости кругового диска установлена зависимость между критической скоростью вращения и переменным радиусом контурной окружности. На основании условия текучести Сен-Венана
получено в первом приближении характеристическое уравнение относительно критического радиуса пластической зоны. Численно найдены значения критической угловой скорости вращения при различных параметрах системы.
При дослiдженнi методом малого параметра можливої втрати стiйкостi кругового диска
встановлено залежнiсть мiж критичною швидкiстю обертання та змiнним радiусом контурного кола. На пiдставi умови текучостi Сен-Венана одержано у першому наближеннi характеристичне рiвняння вiдносно критичного радiуса пластичної зони. Чисельно знайдено
значення критичної кутової швидкостi обертання при рiзних параметрах системи.
The dependence of the critical speed of rotation on the variable radius of a contour circle is determined by means of the small parameter method. Proceeding from the Saint-Venant condition of fluidity, we obtain the characteristic equation for the critical radius of a plastic zone in the first
approximation. The values of the critical angular speed of rotation for various parameters of the
system are determined numerically.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:27:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
2 • 2014
МЕХАНIКА
УДК 539.3
Д.М. Лила, академик НАН Украины А.А. Мартынюк
Потеря устойчивости вращающегося
упругопластического плоского диска с убывающим
радиусом
При исследовании методом малого параметра возможной потери устойчивости круго-
вого диска установлена зависимость между критической скоростью вращения и пере-
менным радиусом контурной окружности. На основании условия текучести Сен-Венана
получено в первом приближении характеристическое уравнение относительно крити-
ческого радиуса пластической зоны. Численно найдены значения критической угловой
скорости вращения при различных параметрах системы.
Решение задачи об устойчивости вращающегося диска при радиальном растяжении объем-
ными силами предполагает определение критической угловой скорости [1, 2]. Для этого на
основе линеаризованных по малому параметру краевых условий в напряжениях [3, 4] нужно
построить характеристическое уравнение [5] относительно критического радиуса пласти-
ческой зоны диска [6]. Связь между радиусом пластической области и скоростью вращения
устанавливается сопряжением решений уравнения квазистатического равновесия [7] для
основного напряженного состояния на неизвестной упругопластической границе. Возму-
щенное состояние в упругой зоне диска определяется по функциям напряжения [8] в за-
висимости от вида возмущения геометрических краевых условий (контурной окружности).
Если предположить, что радиус контурной окружности уменьшается (например, вследствие
горения края диска, коррозионных процессов, кавитационных повреждений или абляции
контура диска при воздействии лазерного излучения и пр.), то интерес будет представлять
влияние появляющейся разгрузки на сохранение устойчивости диска. При этом актуальным
является получение условий потери устойчивости вращающегося диска в зависимости от со-
отношения между критической скоростью и убывающим радиусом контурной окружности.
Постановка задачи. Рассматривается однородный и изотропный плоский сплошной
или кольцевой диск. Текущий радиус его контурной окружности равен b, где b ∈ (a, b0], b0 —
начальный радиус контурной окружности диска, a — внутренний радиус кольцевого диска
(рис. 1). Предел текучести материала диска обозначен σs, модуль упругости — E, плот-
ность — γ, коэффициент Пуассона — ν. Постоянная угловая скорость вращения равна ω,
© Д.М. Лила, А.А. Мартынюк, 2014
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
Рис. 1
текущий радиус пластической зоны невозмущенного диска — r0. Предмет исследования
составляет критическая угловая скорость ω∗ как функция радиуса b. Потеря устойчивости
диска соответствует уравнению внешней его границы (с точностью до бесконечно малых
первого порядка)
r = b+ d cosnθ, d = const, n ∈ N,
или
ρ = ϕ+ δ cosnθ,
где ρ = r/b0 — безразмерный текущий радиус; ϕ = b/b0; δ — малый параметр; θ — полярный
угол.
Материал диска с условием текучести σθθ = σs не обладает упрочнением.
Анализ сплошного диска. Из уравнения равновесия
dσrr
dr
+
σrr − σθθ
r
= − σ
b2
0
r, σ = γb20ω
2, (1)
с учетом условия в центре диска σrr(0) = σθθ(0) и условия текучести невозмущенное на-
пряженное состояние в пластической зоне получаем в виде
σθθ = σs, σrr = σs −
σ
3b2
0
r2. (2)
С использованием уравнений связи между напряжениями и перемещениями [4, 7] на осно-
вании уравнения (1) напряженное состояние упругой области определяется следующим об-
разом:
σθθ = C
(
1 +
b2
r2
)
+
σ(ν + 3)
8
ϕ2 − σ(3ν + 1)
8
r2
b2
0
,
σrr = C
(
1− b2
r2
)
+
σ(ν + 3)
8
ϕ2 − σ(ν + 3)
8
r2
b2
0
.
(3)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 57
Сопряжение решений (2) и (3) на упругопластической границе ρ = β0 := r0/b0 позволяет
конкретизировать выражения для напряжений (3), отнесенных к σs:
σ0e
θθ = c(1 + ϕ2ρ−2) + 3y((ν + 3)ϕ2 − (3ν + 1)ρ2),
σ0e
rr = c(1− ϕ2ρ−2) + 3y(ν + 3)(ϕ2 − ρ2),
(4)
где
c :=
C
σs
= (3ν + 1)
β4
0
τ
, y :=
ω2
24q2
=
ϕ2
τ
,
τ = 3(ν + 3)ϕ4 − (3ν + 1)(2ϕ2 − β2
0)β
2
0 , q = b−1
0
√
σs
γ
.
Таким образом,
A1 :=
dσ0e
rr(ϕ)
dρ
= ϕ−1 2(3ν + 1)(β0/ϕ)
4 − 6(ν + 3)
3(ν + 3)− (3ν + 1)(2 − (β0/ϕ)2)(β0/ϕ)2
,
A2 := σ0e
θθ(ϕ) − σ0e
rr(ϕ) =
2(3ν + 1)(β0/ϕ)
4 + 6(1 − ν)
3(ν + 3)− (3ν + 1)(2− (β0/ϕ)2)(β0/ϕ)2
.
(5)
С учетом общего вида возмущенного напряженно-деформированного состояния упругой
зоны диска начального радиуса b0 [8, 9] (например, при n ∈ {2, 3, . . .}), а также введенных
обозначений ρ и ϕ безразмерные возмущения первого порядка малости компонент напря-
жения и радиального смещения могут быть представлены так:
σ′e
rr =
(
nA
(
ρ
ϕ
)n−2
+ nB
(
ρ
ϕ
)
−n−2
+ (n− 2)C
(
ρ
ϕ
)n
+ (n+ 2)D
(
ρ
ϕ
)
−n)
cosnθ,
σ′e
θθ =
(
−nA
(
ρ
ϕ
)n−2
− nB
(
ρ
ϕ
)
−n−2
− (n+ 2)C
(
ρ
ϕ
)n
− (n− 2)D
(
ρ
ϕ
)
−n)
cosnθ,
σ′e
rθ =
(
−nA
(
ρ
ϕ
)n−2
+ nB
(
ρ
ϕ
)
−n−2
− nC
(
ρ
ϕ
)n
+ nD
(
ρ
ϕ
)
−n)
sinnθ,
u′e = ϕ
σs
E
(
(ν+ 1)n
n− 1
A
(
ρ
ϕ
)n−1
− (ν+ 1)n
n+ 1
B
(
ρ
ϕ
)
−n−1
+
n− 2 + ν(n+ 2)
n+ 1
C
(
ρ
ϕ
)n+1
−
− n+ 2 + ν(n− 2)
n− 1
D
(
ρ
ϕ
)
−n+1)
cosnθ.
(6)
Поскольку претерпевает изменения также вид граничных условий и условий сопряжения
в напряжениях [3, 4]
σ′e
rr +
dσ0e
rr
dρ
u′e = 0, σ′e
rθ − ϕ−1(σ0e
θθ − σ0e
rr)
du′e
dθ
= 0 при ρ = ϕ,
σ′e
rr = 0, σ′e
rθ = 0 при ρ = β0,
(7)
опираясь на выражения (5) и (6), характеристическое уравнение в исследуемом случае по-
лучаем в виде
∆
(
β0
ϕ
)
= 0, (8)
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
где ∆(β0) = 0 — характеристическое уравнение для диска с неизменным радиусом кон-
турной окружности [9]. Последнее уравнение имеет корни β0∗ [2, 9], зависящие для данно-
го диска от натурального параметра n. Они совпадают с решениями характеристического
уравнения (8). Отсюда с использованием формулы (4) для y сразу же получаем искомую
зависимость критической угловой скорости от переменного радиуса контурной окружности
диска
ω∗
q
=
k
ϕ
, (9)
где k = 2
√
6/
√
3(ν + 3)− (3ν + 1)(2 − β2
0∗
)β2
0∗
.
При n = 1, т. е. при рассмотрении эксцентричной формы потери устойчивости, функ-
цию (9) следует взять с коэффициентом k = 2
√
2/
√
ν + 3 [10].
Анализ кольцевого диска. Рассмотрим вначале диск, свободный от контурных уси-
лий. В этом случае в пластической зоне вместо (2) используются зависимости
σθθ = σs, σrr = σs −
σ
3b2
0
r2 +
(
−σs +
σa2
3b2
0
)
a
r
. (10)
При сопряжении решений (10) и (3) получаем соотношения вида (4) с
c =
(3ν + 1)β4
0 − 4β3β0 + 1,5ββ0((ν + 3)ϕ2 − (3ν + 1)β2
0)
τ
,
y =
ϕ2 − 0,5ββ−1
0
(ϕ2 + β2
0)
τ
,
τ = 3(ν + 3)ϕ4 − (3ν + 1)(2ϕ2 − β2
0)β
2
0 − 4β3β−1
0
(ϕ2 + β2
0), β =
a
b0
. (11)
Поэтому теперь (см. (5))
A1 = ϕ−1T−1
{
2(3ν + 1)
[
β0
ϕ
]4
− 8
[
β
ϕ
]3β0
ϕ
+ 3
β
ϕ
β0
ϕ
(
ν + 3− (3ν + 1)
[
β0
ϕ
]2)
−
− 3(ν + 3)
(
2− β
ϕ
[
β0
ϕ
]
−1(
1 +
[
β0
ϕ
]2))}
,
A2 = T−1
{
2(3ν + 1)
[
β0
ϕ
]4
− 8
[
β
ϕ
]3β0
ϕ
+ 3
β
ϕ
β0
ϕ
(
ν + 3− (3ν + 1)
[
β0
ϕ
]2)
+
+ 3(1− ν)
(
2− β
ϕ
[
β0
ϕ
]
−1(
1 +
[
β0
ϕ
]2))}
,
(12)
где
T = 3(ν + 3)− (3ν + 1)
(
2−
[
β0
ϕ
]2)[β0
ϕ
]2
− 4
[
β
ϕ
]3[β0
ϕ
]
−1(
1 +
[
β0
ϕ
]2)
.
Характеристическое уравнение относительно β0/ϕ
∆̃
(
β0
ϕ
,
β
ϕ
)
= 0, (13)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 59
построенное на основе (6), (7), (12), является уравнением с параметром β/ϕ. Присваивая ϕ
произвольные значения с промежутка (β, 1], находим соответствующие решения β0/ϕ = β0∗
уравнения (13). Это позволяет получить относительную критическую скорость в зависимо-
сти от ϕ, полагая в (11) β0 = ϕβ0∗.
Далее предположим, что кольцевой диск с уменьшающимся радиусом контурной окруж-
ности испытывает на внутреннем контуре дополнительное радиальное давление [10, 11]
p =
1
3
γω2 b
3 − a3
a
.
Сопряжение решений
σθθ = σs, σrr = σs −
σ
3b2
0
r2 +
(
−p− σs +
σa2
3b2
0
)
a
r
с решениями (3) при r = r0 приводит к следующим аналогам (11) и (12):
y = ϕ−2T−1
(
1− 0,5ξ
β
ϕ
[
β0
ϕ
]
−1(
1 +
[
β0
ϕ
]2))
,
A1 = ϕ−1T−1
{
2(3ν + 1)
[
β0
ϕ
]4
− 8
[
β
ϕ
]3β0
ϕ
+ 3ξ
β
ϕ
β0
ϕ
(
ν + 3− (3ν + 1)
[
β0
ϕ
]2)
−
− 3(ν + 3)
(
2− ξ
β
ϕ
[
β0
ϕ
]
−1(
1 +
[
β0
ϕ
]2))}
,
A2 = T−1
{
2(3ν + 1)
[
β0
ϕ
]4
− 8
[
β
ϕ
]3β0
ϕ
+ 3ξ
β
ϕ
β0
ϕ
(
ν + 3− (3ν + 1)
[
β0
ϕ
]2)
+
+ 3(1− ν)
(
2− ξ
β
ϕ
[
β0
ϕ
]
−1(
1 +
[
β0
ϕ
]2))}
,
где
ξ =
{
3(ν + 3)− (3ν + 1)
(
2−
[
β0
ϕ
]2)[β0
ϕ
]2
− 4
[
β
ϕ
]3[β0
ϕ
]
−1(
1 +
[
β0
ϕ
]2)
+
+ 8
[
β
ϕ
]
−1(
1−
[
β
ϕ
]3)}{
3(ν + 3)− (3ν + 1)
(
2−
[
β0
ϕ
]2)[β0
ϕ
]2
+
+ 4
[
β0
ϕ
]
−1(
1− 2
[
β
ϕ
]3)(
1 +
[
β0
ϕ
]2)}−1
.
Следовательно, характеристическое уравнение (13) приобретает несколько иной вид, учи-
тывающий влияние внутреннего давления на скорость движения упругопластической гра-
ницы. По предположению, это еще больше, чем в случае кольцевого диска, свободного от
контурных усилий, нарушает характер обратной пропорциональности (9).
Числовые примеры и обсуждение результатов. В справедливости последнего
предположения нетрудно убедиться, если рассматривать в каждом из трех изученных слу-
чаев диски одинакового начального радиуса из одного и того же материала. На рис. 2
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
Рис. 2
представлены графики искомых зависимостей относительной критической скорости ω∗/q
от уменьшающегося радиуса контурной окружности ϕ, ϕ ∈ [0,5; 1], для сплошного и коль-
цевого (β = 0,2) плоских дисков с параметрами n = 2, ν = 0,5, σs/E = 0,01 (для сплошного
диска (кривая 1 ), кольцевого диска, свободного от контурных усилий (кривая 2 ), кольцево-
го диска, находящегося под действием дополнительного внутреннего радиального давления
(кривая 3 )). По виду графиков понятно, что появляющаяся с уменьшением радиуса диска
разгрузка способствует сохранению его устойчивости. При существенном уменьшении ра-
диуса контурной окружности критическая скорость может возрастать тоже существенно.
При этом для любого ϕ наиболее устойчив сплошной диск, а наименее устойчив — нагру-
женный кольцевой диск. По мере уменьшения наружного радиуса диска разность значений
критической скорости увеличивается в пользу сплошного диска. Наиболее сильно откло-
няется от обратной пропорциональности зависимость ω∗/q(ϕ) для нагруженного дополни-
тельным внутренним давлением кольцевого диска.
1. Ивлев Д.Д. О потере несущей способности вращающихся дисков, близких к круговому // Изв. АН
СССР. ОТН. – 1957. – № 1. – С. 141–144.
2. Ершов Л.В., Ивлев Д.Д. О потере устойчивости вращающихся дисков // Там же. – 1958. – № 1. –
С. 124–125.
3. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопластического тела. – Москва: Наука,
1978. – 208 с.
4. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущения формы границы в механике сплошных сред. – Киев:
Выща шк., 1989. – 352 с.
5. Гузь А.Н., Бабич И.Ю. Трехмерная теория устойчивости деформируемых тел. – Киев: Наук. думка,
1985. – 280 с.
6. Соколовский В. В. Теория пластичности. – Москва: Высш. шк., 1969. – 608 с.
7. Бицено К.Б., Граммель Р. Техническая динамика. Т. 2. – Москва; Ленинград: ГИТТЛ, 1952. –
640 с.
8. Бицено К.Б., Граммель Р. Техническая динамика. Т. 1. – Москва; Ленинград: ГИТТЛ, 1950. –
900 с.
9. Лила Д.М., Мартынюк А.А. О потере устойчивости вращающегося упруго-пластического кругового
диска // Доп. НАН України. – 2011. – № 1. – С. 44–51.
10. Лила Д.М. Эксцентричная форма потери устойчивости вращающегося упруго-пластического дис-
ка // Там само. – 2011. – № 2. – С. 49–53.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 61
11. Lila D.M., Martynyuk A.A. Development of instability in a rotating elastoplastic annular disk // Int.
Appl. Mech. – 2012. – 48, Nо 2. – P. 224–233.
Поступило в редакцию 15.04.2013Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
Д.М. Лила, академiк НАН України А. А. Мартинюк
Втрата стiйкостi пружнопластичного плоского диска,
що обертається, зi спадним радiусом
При дослiдженнi методом малого параметра можливої втрати стiйкостi кругового диска
встановлено залежнiсть мiж критичною швидкiстю обертання та змiнним радiусом кон-
турного кола. На пiдставi умови текучостi Сен-Венана одержано у першому наближеннi
характеристичне рiвняння вiдносно критичного радiуса пластичної зони. Чисельно знайдено
значення критичної кутової швидкостi обертання при рiзних параметрах системи.
D.M. Lila, Academician of the NAS of Ukraine A. A. Martynyuk
The loss of stability of a rotating resilent plastic plane disk with
decreasing radius
The dependence of the critical speed of rotation on the variable radius of a contour circle is determi-
ned by means of the small parameter method. Proceeding from the Saint-Venant condition of flui-
dity, we obtain the characteristic equation for the critical radius of a plastic zone in the first
approximation. The values of the critical angular speed of rotation for various parameters of the
system are determined numerically.
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86971 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:27:18Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лила, Д.М. Мартынюк, А.А. 2015-10-07T19:19:04Z 2015-10-07T19:19:04Z 2014 Потеря устойчивости вращающегося упругопластического плоского диска с убывающим радиусом / Д.М. Лила, А.А. Мартынюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 56-62. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86971 539.3 При исследовании методом малого параметра возможной потери устойчивости кругового диска установлена зависимость между критической скоростью вращения и переменным радиусом контурной окружности. На основании условия текучести Сен-Венана получено в первом приближении характеристическое уравнение относительно критического радиуса пластической зоны. Численно найдены значения критической угловой скорости вращения при различных параметрах системы. При дослiдженнi методом малого параметра можливої втрати стiйкостi кругового диска встановлено залежнiсть мiж критичною швидкiстю обертання та змiнним радiусом контурного кола. На пiдставi умови текучостi Сен-Венана одержано у першому наближеннi характеристичне рiвняння вiдносно критичного радiуса пластичної зони. Чисельно знайдено значення критичної кутової швидкостi обертання при рiзних параметрах системи. The dependence of the critical speed of rotation on the variable radius of a contour circle is determined by means of the small parameter method. Proceeding from the Saint-Venant condition of fluidity, we obtain the characteristic equation for the critical radius of a plastic zone in the first approximation. The values of the critical angular speed of rotation for various parameters of the system are determined numerically. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Потеря устойчивости вращающегося упругопластического плоского диска с убывающим радиусом Втрата стiйкостi пружнопластичного плоского диска, що обертається, зi спадним радiусом The loss of stability of a rotating resilent plastic plane disk with decreasing radius Article published earlier |
| spellingShingle | Потеря устойчивости вращающегося упругопластического плоского диска с убывающим радиусом Лила, Д.М. Мартынюк, А.А. Механіка |
| title | Потеря устойчивости вращающегося упругопластического плоского диска с убывающим радиусом |
| title_alt | Втрата стiйкостi пружнопластичного плоского диска, що обертається, зi спадним радiусом The loss of stability of a rotating resilent plastic plane disk with decreasing radius |
| title_full | Потеря устойчивости вращающегося упругопластического плоского диска с убывающим радиусом |
| title_fullStr | Потеря устойчивости вращающегося упругопластического плоского диска с убывающим радиусом |
| title_full_unstemmed | Потеря устойчивости вращающегося упругопластического плоского диска с убывающим радиусом |
| title_short | Потеря устойчивости вращающегося упругопластического плоского диска с убывающим радиусом |
| title_sort | потеря устойчивости вращающегося упругопластического плоского диска с убывающим радиусом |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86971 |
| work_keys_str_mv | AT liladm poterâustoičivostivraŝaûŝegosâuprugoplastičeskogoploskogodiskasubyvaûŝimradiusom AT martynûkaa poterâustoičivostivraŝaûŝegosâuprugoplastičeskogoploskogodiskasubyvaûŝimradiusom AT liladm vtratastiikostipružnoplastičnogoploskogodiskaŝoobertaêtʹsâzispadnimradiusom AT martynûkaa vtratastiikostipružnoplastičnogoploskogodiskaŝoobertaêtʹsâzispadnimradiusom AT liladm thelossofstabilityofarotatingresilentplasticplanediskwithdecreasingradius AT martynûkaa thelossofstabilityofarotatingresilentplasticplanediskwithdecreasingradius |