Скрытая симметрия уравнений магнитной гидродинамики и инвариантные решения
Рассмотрена групповая структура уравнений магнитной гидродинамики. Для двухмерного случая с помощью скрытой конформной симметрии построены классы инвариантных решений. Исследованы соответствующие течения. Розглянуто групову структуру рiвнянь магнiтної гiдродинамiки. Для двовимiрного випадку за допом...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86973 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Скрытая симметрия уравнений магнитной гидродинамики и инвариантные решения / А.В. Бабич // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 72-78. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860033156673961984 |
|---|---|
| author | Бабич, А.В. |
| author_facet | Бабич, А.В. |
| citation_txt | Скрытая симметрия уравнений магнитной гидродинамики и инвариантные решения / А.В. Бабич // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 72-78. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Рассмотрена групповая структура уравнений магнитной гидродинамики. Для двухмерного случая с помощью скрытой конформной симметрии построены классы инвариантных решений. Исследованы соответствующие течения.
Розглянуто групову структуру рiвнянь магнiтної гiдродинамiки. Для двовимiрного випадку за допомогою прихованої конформної симетрiї побудовано деякi класи iнварiантних розв’язкiв. Дослiджено вiдповiднi течiї.
The group structure of the magnetohydrodynamical equations is considered. Some classes of invariant solutions are constructed with help of the hidden conformal symmetry. The corresponding flows are studied.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:52:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
2 • 2014
ФIЗИКА
УДК 533.1;538.94
А.В. Бабич
Скрытая симметрия уравнений магнитной
гидродинамики и инвариантные решения
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.Ф. Клепиковым)
Рассмотрена групповая структура уравнений магнитной гидродинамики. Для двухмер-
ного случая с помощью скрытой конформной симметрии построены классы инвариант-
ных решений. Исследованы соответствующие течения.
Одной из наиболее активно развивающихся областей современной физики является физика
двухмерных систем. Связано это, с одной стороны, с уникальными свойствами двухмерно-
го пространства, а с другой — с возможными перспективами технологического применения
двухмерных систем. Уникальные свойства двухмерного пространства состоят в значитель-
но более широкой, чем в пространствах большей размерности, допускаемой группой, сим-
метрии. Именно с этим связан тот факт, что многие двухмерные задачи являются точно
решаемыми, в отличие от своих многомерных аналогов [1]. Теоретическое исследование
физики двухмерных систем ведется на протяжении многих десятилетий, среди наиболее
важных достижений в этой области стоит отметить: точное решение двухмерной модели
Изинга [2], послужившее одним из важных шагов в создании современной теории фазо-
вых переходов; классификация двухмерных конформных теорий поля [3]. Активный рост
числа экспериментальных работ, посвященных физике двухмерных систем, начался после
открытия квантового эффекта Холла (сначала целочисленного, затем квантового) [4, 5].
В последнее время интерес к физике двухмерных систем значительно возрос в связи созда-
нием графена и с возможными перспективами его технологического применения. Данная
работа посвящена исследованию групповых свойств уравнений магнитной гидродинамики.
Особое внимание уделяется двухмерному случаю.
Групповая структура и скрытая симметрия уравнений магнитной гидродина-
мики. Если проводящая жидкая (или газообразная) среда находится в магнитном поле, то
при ее гидродинамических движениях в ней индуцируются электрические поля и возникают
электрические токи. Но на токи в магнитном поле действуют силы, которые могут сущест-
венно повлиять на движение жидкости. В то же время эти токи меняют само магнитное
© А.В. Бабич, 2014
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
поле. Таким образом, возникает сложная картина взаимодействия магнитных и гидроди-
намических явлений, которая рассматривается на основе совместной системы уравнений
поля и уравнений движения жидкости.
В область применения магнитной гидродинамики входят очень разнообразные физичес-
кие объекты — от жидких металлов до космической плазмы. Для буквального применения
магнитной гидродинамики необходимо рассмотрение характерных расстояний и промежут-
ков времени, которые велики по сравнению с длиной пробега и временем пробега носителей
тока (электронов, ионов).
В нашей работе рассматривается система, в которой магнитная проницаемость мало
отличается от единицы. Запишем уравнения магнитной гидродинамики для случая, ко-
гда можно пренебречь всеми диссипативными процессами — для идеальной жидкости. Это
значит, что не учитываются процессы вязкости и теплопроводности, а также конечность
электрической проводимости среды σ. Соответствующая система уравнений выглядит сле-
дующим образом [6]:
∂ ~H
∂t
= rot[~v ~H],
div ~H = 0,
∂~v
∂t
+ (~v · ∇)~v = −1
ρ
∇p− 1
4πρ
[ ~H rot ~H],
∂ρ
∂t
+ (~v · ∇)ρ+ div(~v) = 0,
∂p
∂t
+ (~v · ∇)p+ ρc2 div(~v) = 0,
(1)
где ρc2 рассматривается как заданная функция переменных p, ρ.
Система уравнений (1) инвариантна относительно группы преобразований Галилея, ко-
торая состоит из переносов, вращений и галилеевых переносов. В случае политропного газа,
т. е. для ρc2 = γp, где γ представляет собой произвольную константу, система (1) становится
инвариантной относительно масштабных преобразований [7].
В работе [7] показано, что уравнения, описывающие идеальный газ, в случае, когда γ
связано с размерностью пространства n выражением γ = (n + 2)/n, что соответствует
одноатомному политропному газу, обладают дополнительной конформной симметрией.
Наличие этой симметрии делает возможным построение классов инвариантных реше-
ний [8]. Помимо этого, именно с наличием этой скрытой симметрии связана аналогия между
уравнениями двухмерной гидродинамики, уравнениями “мелкой воды” и уравнениями, опи-
сывающими двухмерный электронный газ в полевом транзисторе [9, 10].
В случае магнитной гидродинамики уравнения (1) также допускают скрытую симмет-
рию. Преобразования для этой симметрии в случае плоского слоя жидкости и магнитного
поля, направленного перпендикулярно слою, выглядят следующим образом:
t′ =
t
1− at
, x′i =
xi
1− at
,
v′i = vi + a(xi − tvi),
ρ′ = ρ(1− at)2, p′ = p(1− at)4,
H ′ = H(1− at)2.
(2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 73
Наличие дополнительной симметрии (2) позволяет построить некоторые точные инвариант-
ные решения уравнений (1). При построении инвариантных решений возникает система
дифференциальных уравнений, число независимых переменных равно рангу искомых реше-
ний. В данной работе строится решение ранга 1. При этом возникает система обыкновенных
дифференциальных уравнений, что значительно облегчает задачу интегрирования, в то же
время решения ранга 1 обладают достаточной общностью и описывают целый класс тече-
ний газа. В нашем случае для построения решений ранга 1 надо рассматривать подгруппу
размерности 2.
Для такой подгруппы подходит подгруппа с генераторами X12, X+ +X0, где X0 — опе-
ратор, соответствующий переносу по времени, а X12 — вращение вокруг оси Z. Генераторы
этих групп выглядят так:
X+ = t2
∂
∂t
+ txi
∂
∂xi
+ (xi − tvi)
∂
∂vi
− 2tρ
∂
∂ρ
− 4tp
∂
∂p
− 2tH
∂
∂H
,
X0 =
∂
∂t
,
X12 = y
∂
∂x
− x
∂
∂y
+ vy
∂
∂vx
− vx
∂
∂vy
.
(3)
Для построения инвариантных решений удобно перейти к цилиндрическим координатам,
в которых исходная система уравнений (1) выглядит следующим образом:
∂H
∂t
=
1
r
∂
∂r
(rvrH)− 1
r
∂vφH
∂φ
,
∂vr
∂t
+ vr
∂vr
∂r
+
vφ
r
∂vr
∂φ
+
v2φ
r
+
1
ρ
∂p
∂r
+
H
4πρ
∂H
∂r
= 0,
∂vφ
∂t
+ vr
∂vφ
∂r
+
vφ
r
∂vφ
∂φ
+
vφvr
r
+
1
ρr
∂p
∂φ
+
H
4πρr
∂H
∂φ
= 0,
∂ρ
∂t
+ vr
∂ρ
∂r
+
vφ
r
∂ρ
∂φ
+ ρ
(
1
r
∂(rvr)
∂r
+
1
r
∂vφ
∂φ
)
= 0,
∂p
∂t
+ vr
∂p
∂r
+
vφ
r
∂p
∂φ
+ 2p
(
1
r
∂(rvr)
∂r
+
1
r
∂vφ
∂φ
)
= 0.
(4)
В этой системе сразу учтено уравнение div ~H = 0 и то, что скорость, давление и плотность
не являются функциями от z. В цилиндрических координатах генераторы X12, X+ + X0
запишутся в виде
X12 = − ∂
∂φ
,
X++X0 = (1+ t2)
∂
∂t
+ tr
∂
∂r
+ (r − tvr)
∂
∂vr
− tvφ
∂
∂vφ
− 2tρ
∂
∂ρ
− 4tp
∂
∂p
− 2tH
∂
∂H
.
(5)
Базис инвариантов состоит из шести функционально независимых решений системы, кото-
рый находится из системы уравнений
{
X12J = 0,
X0J +X+J = 0.
(6)
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
Из первого уравнения системы (6) видно, что J 6= J(ϕ), т. е. решения, инвариантные отно-
сительно рассматриваемой подгруппы, не зависят от полярного угла. Решениями второго
уравнения являются первые интегралы характеристической системы уравнений
dt
1 + t2
=
dr
tr
=
dvr
r − tvr
= −dvφ
tvφ
= − dρ
2tρ
= − dp
4tp
= − dH
2tH
, (7)
которые нетрудно найти, и они записываются в следующем виде:
J1 =
r
(1 + t2)1/2
, J2 =
tr2
(1 + t2)2
− rvr, J3 = rvφ, J4 = ρ(1 + t2),
J5 = p(1 + t2)2, J6 = h(1 + t2).
(8)
Инвариантные решения выглядят таким образом:
Φα(J1, J2, J3, J4, J5, J6) = 0, (9)
где α = 1, 2, . . . , 6.
Используя эти уравнения, можно выразить J2, J3, J4, J5, J6 через λ = J1, а затем
переписать решения в явном виде:
vr =
tr
1 + t2
+
U(λ)
r
, vϕ =
V (λ)
r
,
ρ =
R(λ)
1 + t2
, p =
P (λ)
(1 + t2)2
, H =
h(λ)
(1 + t2)
.
(10)
Здесь U , V , P , R, h — функции от λ, для нахождения которых необходимо подставить
выражения (10) в исходную систему уравнений, переписанную в полярных координатах (4),
не забывая об отсутствии зависимости от полярного угла. После несложных преобразований
получаем следующую систему дифференциальных уравнений:
UU ′λ− V 2 − U2 + λ3
P ′ +
hh′
4π
R
+ λ4 = 0,
UV ′ = 0,
(Uh)′ = 0,
(UR)′ = 0,
UP ′ + 2PU ′ = 0.
(11)
Анализ решений уравнений двухмерной магнитной гидродинамики. Нетрудно
заметить, что в системе (11) целесообразно выделить два класса решений:
1) U = 0,
2) U 6= 0.
В случае, когда функция U тождественно равна нулю, имеет смысл только первое урав-
нение системы (11). Это уравнение легко интегрируется, и мы получаем следующее частное
решение для магнитогидродинамических уравнений:
P +
h2
8π
=
∫
(V 2(λ)− λ4)R(λ)
dλ
λ3
+ const. (12)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 75
Обозначим через PH величину, в которую входит внешнее давление P и магнитное дав-
ление h2/(8π). В частном случае, когда V = λ2, полученное решение описывает растекание
слоя жидкости или газа произвольной плотности, вращающегося как твердое тело со ско-
ростью vϕ = r/(1+t2) под действием PH . Условие V = λ2 приводит к тому, что все подынте-
гральное выражение (12) обращается в нуль, и мы получаем, что со временем величина PH
остается неизменной. Решение задачи дается формулами
vr =
tr
1 + t2
, vϕ =
r
1 + t2
. (13)
Плотность в такой системе может быть произвольной.
Также для случая, когда U тождественно равно нулю, интересно выделить еще один
класс решений, когда функция R представляет собой постоянную величину R0, не завися-
щую от параметра λ. В этом случае уравнение (12) упрощается и принимает вид:
PH = R0
∫
V 2(λ)
dλ
λ3
− R0
2
λ2 + const. (14)
Для случая, когда наша жидкость или газ вращается как твердое тело, в качестве функ-
ции V необходимо взять V = bλ2, где b представляет собой константу. В этом случае по-
лучаем решение в следующем виде:
vr =
tr
1 + t2
, vφ =
br
1 + t2
,
ρ =
R0
1 + t2
,
PH =
R0λ
2
2
(b− 1) + const.
(15)
Не менее интересен случай, когда V = αλ. Такое решение имеет вид:
vr =
tr
1 + t2
, vϕ =
α√
1 + t2
, ρ =
R0
1 + t2
,
PH = R0
(
const− r2
2(1 + t2)
+ α2 ln
r√
1 + t2
)
.
(16)
Соответствующее решение легко анализируется. Оно описывает движение кольцеобраз-
но распределенной массы жидкости или газа с заданной начальной угловой скоростью ω =
= α/r. При растекании жидкости или газа под действием сил тяжести, магнитного поля
и вращения угловая скорость убывает по формуле ω = α/(r
√
1 + t2).
Для случая U 6= 0 уравнения 2–5 системы (11) легко интегрируются, после чего функции
V , P , R, h выражаются через функцию U :
R =
C1
U
, h =
C2
U
, P =
C3
U2
, V = C4. (17)
Подставляя полученные функции в первое уравнение
UU ′λ− V 2 − U2 + λ3
P ′ +
hh′
4π
R
+ λ4 = 0,
76 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
приходим к дифференциальному уравнению для функции U , которое легко интегрируется.
После интегрирования получаем алгебраическое уравнение для функции U :
U3 + (λ4 + 2Cλ2 + V 2)U +Aλ2 = 0, (18)
где A = 2
(
2C3
C1
+
C2
4πC1
)
, C — константа интегрирования. Все константы определяются из
начальных условий. В итоге система дифференциальных уравнений свелась к алгебраичес-
кому уравнению третьей степени. Учитывая физические ограничения на константы инте-
грирования, можно показать, что данное кубическое уравнение может иметь только один
действительный корень.
Анализируя полученное решение (18), покажем, что они описывают распространение
кольца жидкости с заданными начальными радиусами r10 и r20, а также с заданной цир-
куляцией скорости, равной 2πV . Границы кольца определяются уравнениями
r1 = r10
√
1 + t2, r2 = r20
√
1 + t2, (19)
где r10 и r20 представляют собой границы слоя в начальный момент времени. В зависимости
от знака константы A полученные решения будут описывать либо слой уплотнения, либо
слой разрежения. Если A > 0, то на внешней границе давление скачком уменьшается, а на
внутренней — увеличивается. Противоположная картина наблюдается при A < 0.
Таким образом, по аналогии с уравнениями обычной гидродинамики уравнения магнит-
ной гидродинамики при определенных условиях обладают дополнительной скрытой сим-
метрией. Наличие такой симметрии позволяет строить классы точных решений, описываю-
щие различные типы течений.
1. Поляков А.М. Калибровочные поля и струны. – Ижевск: Изд. Удмуртского ун-та, 1999. – 313 с.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Ч. 1. Изд. 5-е. – Москва: Физматлит, 2005. –
616 с.
3. Belavin A.A., Polyakov A.M., Zamolodchikov A. B. Infinite conformal symmetry in two-dimensional quan-
tum field theory // Nucl. Phys. B. – 1984. – 241(2). – P. 333–380.
4. Панкратов О.А. Двухмерные системы: физика и новые приборы // Усп. физ. науки. – 1987. – 152. –
С. 720–721.
5. Шикин В.Б. Дробный квантовый эффект Холла // Там же. – 1989. – 159. – C. 185–187.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. – Москва: Наука, 1982. – 624 с.
7. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. – Москва; Ижевск: Ин-т компьютерных
исследований, 2003. – 336 с.
8. Ибрагимов Н.Ч. Группы преобразований в математической физике. – Москва: Наука, 1983. – 280 с.
9. Бабич А.В., Клепиков В.Ф., Щелоковский П.А. Скрытая симметрия уравнений газовой динамики и
“мелкой воды” // Вiсн. Харкiв. нац. ун-ту. Сер. фiзична. Ядра, частинки, поля. – 2001. – 541, вип. 4. –
С. 68–72.
10. Dyakonov M., Shur M. Shallow water analogy for a ballistic field effect transistor: New mechanism of
plasma wave generation by dc current // Phys. Rev. Lett. – 1993. – 71. – С. 2465–2468.
Поступило в редакцию 22.07.2013Институт электрофизики и радиационных
технологий НАН Украины, Харьков
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №2 77
А.В. Бабiч
Прихована симетрiя рiвнянь магнiтної гiдродинамiки i iнварiантнi
розв’язки
Розглянуто групову структуру рiвнянь магнiтної гiдродинамiки. Для двовимiрного випад-
ку за допомогою прихованої конформної симетрiї побудовано деякi класи iнварiантних роз-
в’язкiв. Дослiджено вiдповiднi течiї.
А.V. Babich
A hidden symmetry of the magnetohydrodynamical equations and
invariant solutions
The group structure of the magnetohydrodynamical equations is considered. Some classes of inva-
riant solutions are constructed with help of the hidden conformal symmetry. The corresponding
flows are studied.
78 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86973 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:52:48Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бабич, А.В. 2015-10-07T19:19:34Z 2015-10-07T19:19:34Z 2014 Скрытая симметрия уравнений магнитной гидродинамики и инвариантные решения / А.В. Бабич // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 2. — С. 72-78. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86973 533.1;538.94 Рассмотрена групповая структура уравнений магнитной гидродинамики. Для двухмерного случая с помощью скрытой конформной симметрии построены классы инвариантных решений. Исследованы соответствующие течения. Розглянуто групову структуру рiвнянь магнiтної гiдродинамiки. Для двовимiрного випадку за допомогою прихованої конформної симетрiї побудовано деякi класи iнварiантних розв’язкiв. Дослiджено вiдповiднi течiї. The group structure of the magnetohydrodynamical equations is considered. Some classes of invariant solutions are constructed with help of the hidden conformal symmetry. The corresponding flows are studied. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Фізика Скрытая симметрия уравнений магнитной гидродинамики и инвариантные решения Прихована симетрiя рiвнянь магнiтної гiдродинамiки i iнварiантнi розв’язки A hidden symmetry of the magnetohydrodynamical equations and invariant solutions Article published earlier |
| spellingShingle | Скрытая симметрия уравнений магнитной гидродинамики и инвариантные решения Бабич, А.В. Фізика |
| title | Скрытая симметрия уравнений магнитной гидродинамики и инвариантные решения |
| title_alt | Прихована симетрiя рiвнянь магнiтної гiдродинамiки i iнварiантнi розв’язки A hidden symmetry of the magnetohydrodynamical equations and invariant solutions |
| title_full | Скрытая симметрия уравнений магнитной гидродинамики и инвариантные решения |
| title_fullStr | Скрытая симметрия уравнений магнитной гидродинамики и инвариантные решения |
| title_full_unstemmed | Скрытая симметрия уравнений магнитной гидродинамики и инвариантные решения |
| title_short | Скрытая симметрия уравнений магнитной гидродинамики и инвариантные решения |
| title_sort | скрытая симметрия уравнений магнитной гидродинамики и инвариантные решения |
| topic | Фізика |
| topic_facet | Фізика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86973 |
| work_keys_str_mv | AT babičav skrytaâsimmetriâuravneniimagnitnoigidrodinamikiiinvariantnyerešeniâ AT babičav prihovanasimetriârivnânʹmagnitnoígidrodinamikiiinvariantnirozvâzki AT babičav ahiddensymmetryofthemagnetohydrodynamicalequationsandinvariantsolutions |