Редукцiя диференцiальних рiвнянь до алгебраїчних
У термiнах сингулярних модулiв редукцiї, тобто сингулярних модулiв некласичної (умовної) симетрiї, вивчено питання редукцiї диференцiальних рiвнянь до алгебраїчних рiвнянь. В терминах сингулярных модулей редукции, т. е. сингулярных модулей неклассической (условной) симметрии, изучен вопрос редукции...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87131 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Редукцiя диференцiальних рiвнянь до алгебраїчних / В.М. Бойко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 3. — С. 7-12. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859476226221015040 |
|---|---|
| author | Бойко, В.М. |
| author_facet | Бойко, В.М. |
| citation_txt | Редукцiя диференцiальних рiвнянь до алгебраїчних / В.М. Бойко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 3. — С. 7-12. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | У термiнах сингулярних модулiв редукцiї, тобто сингулярних модулiв некласичної
(умовної) симетрiї, вивчено питання редукцiї диференцiальних рiвнянь до алгебраїчних рiвнянь.
В терминах сингулярных модулей редукции, т. е. сингулярных модулей неклассической (условной) симметрии, изучен вопрос редукции дифференциальных уравнений к алгебраическим
уравнениям.
In terms of singular reduction modules, i. e. singular modules of a nonclassical (conditional) symmetry, the question of reduction of differential equations to algebraic ones is studied.
|
| first_indexed | 2025-11-24T11:42:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2014
МАТЕМАТИКА
УДК 517.95
В.М. Бойко
Редукцiя диференцiальних рiвнянь до алгебраїчних
(Представлено членом-кореспондентом НАН України А. Г. Нiкiтiним)
У термiнах сингулярних модулiв редукцiї, тобто сингулярних модулiв некласичної
(умовної) симетрiї, вивчено питання редукцiї диференцiальних рiвнянь до алгебраїчних
рiвнянь.
“Некласичний” пiдхiд до знаходження розв’язкiв диференцiальних рiвнянь запропонова-
но в [1] на прикладi (1+1)-вимiрного лiнiйного рiвняння теплопровiдностi як узагальнення
класичного лiївського методу редукцiї. Протягом останнiх десятилiть цей пiдхiд суттєво
розвинуто i використано при дослiдженнi багатьох диференцiальних рiвнянь з частинними
похiдними (див. детальний огляд у роботах [2–4]). Слiд вiдмiтити, що для вiдповiдних об’єк-
тiв у лiтературi використовують досить рiзноманiтну термiнологiю: порушенi [5], некласич-
нi [6], Q-умовнi [7], умовнi [8], частковi [9] симетрiї, або iнволютивнi сiм’ї/модулi некласич-
них/умовних операторiв симетрiї [10, 11] у бiльш повнiй формi. Характерною особливiстю,
яку некласичнi симетрiї успадковують вiд лiївських, є те, що вони дозволяють будувати
анзаци для невiдомої функцiї, якi редукують вiдповiдне диференцiальне рiвняння до ди-
ференцiальних рiвнянь з меншою кiлькiстю незалежних змiнних. Як правило, у лiтературi
розглядають редукцiї з використанням некласичних симетрiй до звичайних диференцiаль-
них рiвнянь, i на сьогоднi iснує лише декiлька робiт, де розглянуто особливий випадок ре-
дукцiй до алгебраїчних рiвнянь (див., наприклад, [12]). Саме редукцiям диференцiальних
рiвнянь до алгебраїчних i присвячено цю роботу.
Нехай задано розшарований простiр n незалежних змiнних x = (x1, . . . , xn) i однiєї за-
лежної змiнної u. Розглянемо скiнченновимiрний iнволютивний модуль Q векторних полiв
у цьому просторi i припустимо, що розмiрнiсть p модуля Q над кiльцем гладких функцiй
змiнних x, u не перевищує n, 0 < p 6 n. Додатково вважаємо, що модуль Q задовольняє так
звану умову на ранг, тобто для кожного фiксованого значення (x, u) проекцiя на простiр
змiнних x є p-вимiрною. Атрибут “iнволютивний” означає, що комутатор будь-яких двох
векторних полiв з Q належить Q. Надалi вважаємо, що iндекси i та j змiнюються вiд 1
© В. М. Бойко, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №3 7
до n, iндекс s змiнюється вiд 1 до p, i за iндексами, що повторюються, йде пiдсумовуван-
ня. Дужками 〈. . .〉 позначатимемо лiнiйну оболонку векторних полiв над кiльцем гладких
функцiй змiнних x, u. Нижнi iндекси функцiй означають диференцiювання за вiдповiдними
змiнними, ∂i = ∂/∂xi i ∂u = ∂/∂u. Будь-яку функцiю вважаємо своєю похiдною нульового
порядку. Весь розгляд проводимо у рамках локального пiдходу.
Нехай векторнi поля Qs = ξsi(x, u)∂i + ηs(x, u)∂u утворюють базис модуля Q, тобто
Q = 〈Q1, . . . , Qp〉. Тодi умова на ранг еквiвалентна рiвностi rank(ξsi) = p. Вимога, що ко-
мутатор будь-якої пари базисних елементiв належить Q, тобто [Qs, Qs′ ] ∈ Q, достатня для
iнволютивностi модуля Q. Якщо векторнi поля Q̃1, . . . , Q̃p утворюють iнший базис моду-
ля Q, то iснує невироджена p × p матрична функцiя (λss′(x, u)) така, що Q̃s = λss′Qs′ .
Розглянемо диференцiальне рiвняння L вигляду L(x, ur) = 0 для невiдомої функцiї u
незалежних змiнних x = (x1, . . . , xn) i порядку r. Тут через ur позначено множину всiх
похiдних функцiї u за змiнними x порядку не вище r, включаючи u як похiдну нульового
порядку. У рамках локального пiдходу рiвняння L iнтерпретують як алгебраїчне рiвняння
в просторi струменiв Jr = Jr(x|u) порядку r i ототожнюють з многовидом його розв’яз-
кiв у Jr:
L = {(x, u(r)) ∈ Jr | L(x, u(r)) = 0}.
Символ L використовуємо також для позначення цього многовиду, а символ Qr — для
позначення многовиду, який визначено всiма диференцiальними наслiдками характерис-
тичної системи Q[u] = 0 в Jr.
Диференцiальне рiвняння L називають умовно iнварiантним вiдносно iнволютивного
модуля Q, якщо спiввiдношення VrL(x, ur)|L∩Qr
= 0 виконується для будь-якого V ∈ Q.
Це спiввiдношення називають критерiєм умовної iнварiантностi, а Q — iнволютивним
модулем операторiв умовної симетрiї (або Q-умовної симетрiї, або некласичної симетрiї
i т. п.) рiвняння L.
Рiвняння L умовно iнварiантне вiдносно модуля Q тодi i лише тодi, коли анзац, побудо-
ваний за цим модулем, редукує рiвняння L до диференцiального рiвняння з n−p незалежни-
ми змiнними. Тому iнволютивнi модулi операторiв умовної симетрiї коротко називатимемо
модулями редукцiї рiвняння L [2, 4].
Нехай L = L[u] — диференцiальна функцiя порядку ordL = r (тобто гладка функцiя
незалежних змiнних x = (x1, . . . , xn) i похiдних вiд u за змiнними x порядку не вище r)
i нехай Q — p-вимiрний (0 < p < n) iнволютивний модуль, який породжений векторними
полями Qs = ξsi(x, u)∂i + ηs(x, u)∂u i задовольняє умову на ранг rank(ξsi) = p. Модуль Q
називатимемо сингулярним для L, якщо iснує диференцiальна функцiя L̃ = L̃[u] порядку
меншого, нiж r, така, що L|Qr
= L̃|Qr
. В iншому випадку Q є регулярним модулем для дифе-
ренцiальної функцiї L. Якщо мiнiмальний порядок диференцiальних функцiй, обмеження
яких на Qr збiгається з L|Qr
, дорiвнює k (k < r), тодi модуль Q називатимемо сингулярним
копорядку k для диференцiальної функцiї L. Модуль Q є ультрасингулярним для L, якщо
L|Qr
≡ 0. Копорядок сингулярностi ультрасингулярних модулiв та порядок тотожно ну-
льових диференцiальних функцiй зручно покласти рiвним −1. Для будь-якого регулярного
модуля диференцiальної функцiї L визначимо його копорядок сингулярностi як r = ordL.
Копорядок сингулярностi модуля Q вiдносно диференцiальної функцiї L позначимо через
sco
L
Q. Iнволютивний модуль Q, що задовольняє умову на ранг, є (сильно) сингулярним для
диференцiального рiвняння L, якщо вiн сингулярний для диференцiальної функцiї L[u],
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №3
яка є лiвою частиною канонiчного зображення L[u] = 0 рiвняння L. Атрибут “сильний”, як
правило, будемо опускати.
Випадок, коли розмiрнiсть модулiв векторних полiв збiгається з кiлькiстю незалежних
змiнних, тобто p = n, є особливим для сингулярностi модулiв диференцiальних функцiй.
Якщо n-вимiрний iнволютивний модуль Q породжують векторнi поля, що задовольняють
умову на ранг, то для будь-якої диференцiальної функцiї L = L[u] порядку r iснує ди-
ференцiальна функцiя L̃ = L̃[u] нульового порядку така, що L|Qr
= L̃|Qr
. Тому в цьому
випадку вважаємо, що модуль Q є сингулярним для L тодi i лише тодi, коли вiн є ультра-
сингулярним для L, тобто L|Qr
≡ 0. Цей випадок також є особливим при редукцiї диферен-
цiальних рiвнянь. На вiдмiну вiд модулiв редукцiї нижчих розмiрностей, n-вимiрнi модулi
редукцiї будь-якого диференцiального рiвняння L з n незалежними змiнними редукують це
рiвняння до алгебраїчних рiвнянь, а не до диференцiальних рiвнянь з меншою кiлькiстю
незалежних змiнних. Бiльш того, лише в цьому випадку регулярнi та сингулярнi модулi
редукцiї можна вивчити в рамках єдиного пiдходу.
Нехай Q — iнволютивний модуль розмiрностi p = n, який задовольняє умову на ранг.
Тодi можна вибрати базис модуля Q, утворений векторними полями Qs = ∂s + ηs(x, u)∂u.
Оскiльки модуль Q iнволютивний, базиснi елементи Qs комутують, а тому коефiцiєнти
ηs = ηs(x, u) задовольняють систему рiвнянь
ηss′ + ηs
′
ηsu = ηs
′
s + ηsηs
′
u . (1)
За теоремою Фробенiуса система QsΦ = Φs + ηsΦu = 0 на функцiю Φ = Φ(x, u) має єдиний
функцiонально незалежний розв’язок, що не є сталою. Iншими словами, коефiцiєнти ηs
можна зобразити у виглядi ηs = −Φs/Φu, де Φ = Φ(x, u) — деяка гладка функцiя, Φu 6= 0.
Неявний анзац, побудований для u за модулем Q, має вигляд Φ(x, u) = ϕ, де ϕ — нова
невiдома (нуль-арна) функцiя. Вона є сталою, оскiльки розмiрнiсть модуля Q дорiвнює
кiлькостi незалежних змiнних x.
Припустимо, що Q — модуль редукцiї диференцiального рiвняння L: L[u] = 0 порядку r.
Усi похiднi функцiї u за змiнними x вiд 1-го до r-го порядку на многовидi Qr, виражаються
через змiннi x i u:
uα = hα(x, u) := (∂1 + η1∂u)
α1 · · · (∂n + ηn∂u)
αnu, 1 6 |α| 6 r.
Оскiльки векторнi поля Qs комутують, таке зображення для похiдних uα добре визначене,
бо не залежить вiд порядку множникiв у правiй частинi. Використовуючи це зображення
для виключення похiдних uα з L, отримаємо диференцiальну функцiю L̃ = L̃[u] нульового
порядку, тобто функцiю вiд змiнних x, u. Варiюючи ηs, отриману функцiю можна iнтер-
претувати як диференцiальну функцiю незалежних змiнних x, u та залежних змiнних ηs.
Таким чином, внаслiдок [4, лема 1] Q є модулем редукцiї для L, якщо виконується умова
QsL̃|L̃=0 = 0. Ця умова разом з рiвняннями (1) задає повну систему визначальних рiвнянь
для коефiцiєнтiв ηs, а на пiдставi зображення ηs = −Φs/Φu ї ї можна також iнтерпретувати
як рiвняння LΦ = 0 на функцiю Φ, де LΦ = L̃|ηs=−Φs/Φu
розглядаємо як диференцiальну
функцiю незалежних змiнних x, u та залежної змiнної Φ.
Для спрощення умови QsL̃|L̃=0
= 0 можна розв’язати рiвняння L̃ = 0 вiдносно однiєї зi
змiнних (вiдносно однiєї з незалежних змiнних або вiдносно залежної змiнної u) i виключити
цю змiнну з рiвняння QsL̃ = 0, використовуючи одержане спiввiдношення. Оскiльки функ-
цiї L̃ i ηs (вiдповiдно Φ) залежать вiд тих самих аргументiв, ця процедура не приводить до
звичайного диференцiального рiвняння.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №3 9
У дiйсностi зручнiше використовувати iнший шлях, iз залученням леми Адамара. У рам-
ках локального пiдходу достатньо розбити подальший розгляд на два випадки: або функ-
цiя L̃ має максимальний ранг, або вона є сталою. Згiдно з лемою Адамара у першому
випадку для кожного s умова QsL̃|L̃=0 = 0 еквiвалентна рiвностi QsL̃ = λsL̃ для деякої
гладкої функцiї λs = λs(x, u). Пiсля перехресного диференцiювання для кожної пари (s, s′)
отримаємо
QsQs′L̃−Qs′QsL̃ = Qs(λ
s′L̃)−Qs′(λ
sL̃) = (Qsλ
s′ −Qs′λ
s)L̃ = 0,
тобто Qsλ
s′ = Qs′λ
s. Отже, iснує гладка функцiя Λ = Λ(x, u) така, що λs = QsΛ. Тодi
внаслiдок зображення ηs = −Φs/Φu iз системи рiвнянь QsL̃ = λsL̃ випливає, що LΦ = Λ̃ζ(Φ)
для деякої гладкої функцiї ζ вiд однiєї змiнної, де Λ̃ = eΛ — ненульова функцiя змiнних x, u.
У другому випадку умова QsL̃ = 0 виконується для всiх змiнних x, u як диференцiаль-
ний наслiдок припущення, що функцiя L̃ є сталою. Покладаючи Λ̃ = 1 i ζ(Φ) = LΦ = const,
отримуємо те саме рiвняння LΦ = Λ̃ζ(Φ) з ненульовим множником Λ̃.
Насправдi це рiвняння є в точностi умовою редукцiї рiвняння L за допомогою анзацу
Φ(x, u) = ϕ, що асоцiйований з модулем Q. Дiйсно, якщо функцiю u = u(x) неявно визна-
чено цим анзацом, похiднi вiд u (ненульового порядку) можна знайти з диференцiальних
наслiдкiв рiвнянь us = −Φs/Φu. Тому пiдстановка анзацу в рiвняння L приводить до рiв-
няння LΦ|Φ(x,u)=ϕ = 0, яке внаслiдок умови редукцiї еквiвалентне алгебраїчному рiвнянню
ζ(ϕ) = 0 вiдносно сталої ϕ.
Очевидно, що модуль Q є ультрасингулярним для рiвняння L тодi i лише тодi, коли
функцiя ζ тотожно рiвна нулю.
Пiдсумовуючи вищенаведений розгляд, приходимо до такого твердження.
Твердження. Модуль Q є n-вимiрним модулем редукцiї диференцiального рiвняння L:
L[u] = 0 вiдносно невiдомої функцiї u вiд n незалежних змiнних x тодi i лише тодi, ко-
ли цей модуль породжений векторними полями ∂s − (Φs/Φu)∂u, s = 1, . . . , n, де функцiя
Φ = Φ(x, u) задовольняє рiвняння LΦ = Λ̃ζ(Φ), у якому Λ̃ — ненульова функцiя змiн-
них x, u, а диференцiальну функцiю LΦ = LΦ[Φ] отримано з L[u] виключенням похiдних
вiд u, використовуючи диференцiальнi наслiдки рiвнянь us = −Φs/Φu. При цьому анзац
Φ(x, u) = ϕ редукує рiвняння L до алгебраїчного рiвняння ζ(ϕ) = 0 вiдносно сталої ϕ.
Бiльш того, справедлива така теорема.
Теорема. З точнiстю до еквiвалентностi сiмей розв’язкiв, для будь-якого диферен-
цiального рiвняння L однiєї невiдомої функцiї вiд n незалежних змiнних iснує взаємно
однозначна вiдповiднiсть мiж однопараметричними сiм’ями його розв’язкiв i його n-ви-
мiрними ультрасингулярними модулями редукцiї. А саме, кожному модулю вказаного ти-
пу вiдповiдає сiм’я розв’язкiв, iнварiантних вiдносно цього модуля. Задачi побудови всiх
однопараметричних сiмей розв’язкiв рiвняння L i вичерпного опису його n-вимiрних уль-
трасингулярних модулiв редукцiї повнiстю еквiвалентнi.
Доведення. Нехай Q — n-вимiрний ультрасингулярний модуль редукцiї рiвняння L.
З твердження випливає, що анзац Φ(x, u) = ϕ побудований за допомогою модуля Q, редукує
рiвняння L до тотожностi. Iншими словами, для кожного значення сталої ϕ цей анзац
неявно визначає розв’язок рiвняння L.
Навпаки, припустимо що F = {u = f(x,κ)} — сiм’я розв’язкiв рiвняння L, яка па-
раметризована одним параметром κ. Оскiльки цей параметр є суттєвим i внаслiдок чого
похiдна fκ є ненульовою, параметр κ можна виразити iз спiввiдношення u = f(x,κ). У ре-
зультатi отримаємо, що κ = Φ(x, u) для деякої функцiї Φ = Φ(x, u) з Φu 6= 0. Розглянемо
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №3
модуль Q = 〈Q1, . . . , Qn〉, де Qs = ∂s + ηs∂u, причому коефiцiєнти ηs = ηs(x, u) визначено
як ηs = −Φs/Φu. Це n-вимiрний iнволютивний модуль i Q[u] = 0 для будь-якого елемента
сiм’ї F . Анзац u = f(x, ϕ), де ϕ — нова невiдома (нуль-арна) функцiя, вiдповiдає моду-
лю Q i редукує рiвняння L до тотожностi. Це означає, що Q — ультрасингулярний модуль
редукцiї для рiвняння L.
Однопараметричнi сiм’ї F = {u = f(x,κ)} i F̃ = {u = f̃(x, κ̃)} називають еквiвалентни-
ми, якщо вони складаються з тих самих функцiй i вiдрiзняються лише параметризацiєю,
тобто якщо iснує функцiя ζ = ζ(κ) така, що ζκ 6= 0 i f̃(x, ζ(κ)) = f(x,κ). Це виконується
тодi i лише тодi, коли функцiї Φ = Φ(x, u) i Φ̃ = Φ̃(x, u), асоцiйованi вiдповiдно з сiм’ями F
i F̃ , є функцiонально залежними, точнiше Φ̃ = ζ(Φ). Отже, еквiвалентнi однопараметричнi
сiм’ї розв’язкiв вiдповiдають одному i тому ж ультрасингулярному модулю редукцiї Q рiв-
няння L i, навпаки, будь-якi двi однопараметричнi сiм’ї Q-iнварiантних розв’язкiв є еквi-
валентними.
Наслiдок. Система визначальних рiвнянь на коефiцiєнти ультрасингулярних модулiв
редукцiї рiвняння L, яка складається з рiвняння (1) i рiвняння L̃ = 0, зводиться компози-
цiєю нелокальної пiдстановки ηs = −Φs/Φu, де Φ — функцiя змiнних x, u, та перетворення
годографа
новi незалежнi змiннi: x̃i = xi, κ = Φ,
нова залежна змiнна: ũ = u
до початкового рiвняння L на функцiю ũ = ũ(t̃, x̃,κ), де κ вiдiграє роль параметра.
Зауважимо, що редукцiю диференцiальних рiвнянь до алгебраїчних з використанням
некласичних симетрiй розглянуто в роботi [12], де отримано твердження, аналогiчне ви-
щенаведенiй теоремi. Але використання поняття сингулярних операторiв редукцiї дозволяє
сформулювати цей результат точнiше.
Автор висловлює подяку Р.О. Поповичу за кориснi дискусiї та обговорення результатiв ро-
боти.
1. Bluman G.W., Cole J. D. The general similarity solution of the heat equation // J. Math. Mech. – 1969. –
18. – P. 1025–1042.
2. Kunzinger M., Popovych R.O. Singular reduction operators in two dimensions // J. Phys. A: Math. Theor. –
2008. – 41. – 505201, 24 p.
3. Kunzinger M., Popovych R.O. Is a nonclassical symmetry a symmetry? // Proc. of 4th Workshop “Group
Analysis of Differential Equations and Integrable Systems” (October 26–30, 2008, Protaras, Cyprus). –
Nicosia: University of Cyprus, 2009. – P. 107–120.
4. Boyko V.M., Kunzinger M., Popovych R.O. Singular reduction modules of differential equations. – arXiv:
1201.3223.
5. Fushchych W. I., Tsyfra I.M. On a reduction and solutions of the nonlinear wave equations with broken
symmetry // J. Phys. A: Math. Gen. – 1987. – 20. – L45–L48.
6. Levi D., Winternitz P. Non-classical symmetry reduction: example of the Boussinesq equation // J. Phys. A:
Math. Gen. – 1989. – 22. – P. 2915–2924.
7. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики. – Киев: Наук. думка, 1989. – 336 с.
8. Fushchych W. I., Zhdanov R. Z. Conditional symmetry and reduction of partial differential equations //
Ukr. Math. J. – 1992. – 44. – P. 875–886.
9. Vorob’ev E.M. Reduction and quotient equations for differential equations with symmetries // Acta Appl.
Math. – 1991. – 51. – P. 1–24.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №3 11
10. Olver P. J., Vorob’ev E.M. Nonclassical and conditional symmetries / CRC Handbook of Lie Group
Analysis of Differential Equations. Vol. 3 / Ed. by N.H. Ibragimov. – Boca Raton: CRC Press, 1996. –
P. 291–328.
11. Zhdanov R. Z., Tsyfra I.M., Popovych R.O. A precise definition of reduction of partial differential equa-
tions // J. Math. Anal. Appl. – 1999. – 238. – P. 101–123.
12. Grundland A.M., Tafel J. On the existence of nonclassical symmetries of partial differential equations //
J. Math. Phys. – 1995. – 36. – P. 1426–1434.
Надiйшло до редакцiї 12.09.2013Iнститут математики НАН України, Київ
В.Н. Бойко
Редукция дифференциальных уравнений к алгебраическим
В терминах сингулярных модулей редукции, т. е. сингулярных модулей неклассической (ус-
ловной) симметрии, изучен вопрос редукции дифференциальных уравнений к алгебраическим
уравнениям.
V.M. Boyko
Reduction of differential equations to algebraic ones
In terms of singular reduction modules, i. e. singular modules of a nonclassical (conditional) sym-
metry, the question of reduction of differential equations to algebraic ones is studied.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87131 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-24T11:42:42Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бойко, В.М. 2015-10-11T16:24:26Z 2015-10-11T16:24:26Z 2014 Редукцiя диференцiальних рiвнянь до алгебраїчних / В.М. Бойко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 3. — С. 7-12. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87131 517.95 У термiнах сингулярних модулiв редукцiї, тобто сингулярних модулiв некласичної (умовної) симетрiї, вивчено питання редукцiї диференцiальних рiвнянь до алгебраїчних рiвнянь. В терминах сингулярных модулей редукции, т. е. сингулярных модулей неклассической (условной) симметрии, изучен вопрос редукции дифференциальных уравнений к алгебраическим уравнениям. In terms of singular reduction modules, i. e. singular modules of a nonclassical (conditional) symmetry, the question of reduction of differential equations to algebraic ones is studied. Автор висловлює подяку Р.О. Поповичу за кориснi дискусiї та обговорення результатiв роботи. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Редукцiя диференцiальних рiвнянь до алгебраїчних Редукция дифференциальных уравнений к алгебраическим Reduction of differential equations to algebraic ones Article published earlier |
| spellingShingle | Редукцiя диференцiальних рiвнянь до алгебраїчних Бойко, В.М. Математика |
| title | Редукцiя диференцiальних рiвнянь до алгебраїчних |
| title_alt | Редукция дифференциальных уравнений к алгебраическим Reduction of differential equations to algebraic ones |
| title_full | Редукцiя диференцiальних рiвнянь до алгебраїчних |
| title_fullStr | Редукцiя диференцiальних рiвнянь до алгебраїчних |
| title_full_unstemmed | Редукцiя диференцiальних рiвнянь до алгебраїчних |
| title_short | Редукцiя диференцiальних рiвнянь до алгебраїчних |
| title_sort | редукцiя диференцiальних рiвнянь до алгебраїчних |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87131 |
| work_keys_str_mv | AT boikovm redukciâdiferencialʹnihrivnânʹdoalgebraíčnih AT boikovm redukciâdifferencialʹnyhuravneniikalgebraičeskim AT boikovm reductionofdifferentialequationstoalgebraicones |