О регулярных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами
Устанавливаются критерии существования регулярных решений задачи Дирихле для вырожденных уравнений Бельтрами первого рода в произвольных жордановых областях с граничными функциями, допускающими не более счетного числа точек разрыва. В частности, установлено существование регулярных решений для про...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87132 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О регулярных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами / Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 3. — С. 13-17. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87132 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-871322025-02-09T11:28:36Z О регулярных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами Про регулярнi розв’язки задачi Дiрiхле для рiвнянь Бельтрамi On the regular solutions of the Dirichlet problem for Beltrami equations Ковтонюк, Д.А. Петков, И.В. Рязанов, В.И. Математика Устанавливаются критерии существования регулярных решений задачи Дирихле для вырожденных уравнений Бельтрами первого рода в произвольных жордановых областях с граничными функциями, допускающими не более счетного числа точек разрыва. В частности, установлено существование регулярных решений для произвольных граничных функций ограниченной вариации. Встановлено критерiї iснування регулярних розв’язкiв задачi Дiрiхле для вироджених рiвнянь Бельтрамi першого роду в довiльних жорданових областях з граничними функцiями, що допускають не бiльше злiченного числа точок розриву. Зокрема, встановлено iснування регулярних розв’язкiв для довiльних граничних функцiй обмеженої варiацiї. The criteria of existence of regular solutions of the Dirichlet problem for degenerate Beltrami equations of the first kind in arbitrary Jordan domains with the boundary functions admitting at most a countable number of discontinuity points are established. In particular, the existence of regular solutions for arbitrary boundary functions of bounded variation is proved. 2014 Article О регулярных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами / Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 3. — С. 13-17. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87132 517.5 ru Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Ковтонюк, Д.А. Петков, И.В. Рязанов, В.И. О регулярных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами Доповіді НАН України |
| description |
Устанавливаются критерии существования регулярных решений задачи Дирихле для
вырожденных уравнений Бельтрами первого рода в произвольных жордановых областях с граничными функциями, допускающими не более счетного числа точек разрыва.
В частности, установлено существование регулярных решений для произвольных граничных функций ограниченной вариации. |
| format |
Article |
| author |
Ковтонюк, Д.А. Петков, И.В. Рязанов, В.И. |
| author_facet |
Ковтонюк, Д.А. Петков, И.В. Рязанов, В.И. |
| author_sort |
Ковтонюк, Д.А. |
| title |
О регулярных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами |
| title_short |
О регулярных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами |
| title_full |
О регулярных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами |
| title_fullStr |
О регулярных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами |
| title_full_unstemmed |
О регулярных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами |
| title_sort |
о регулярных решениях задачи дирихле для уравнений бельтрами |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87132 |
| citation_txt |
О регулярных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами / Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 3. — С. 13-17. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT kovtonûkda oregulârnyhrešeniâhzadačidirihledlâuravnenijbelʹtrami AT petkoviv oregulârnyhrešeniâhzadačidirihledlâuravnenijbelʹtrami AT râzanovvi oregulârnyhrešeniâhzadačidirihledlâuravnenijbelʹtrami AT kovtonûkda proregulârnirozvâzkizadačidirihledlârivnânʹbelʹtrami AT petkoviv proregulârnirozvâzkizadačidirihledlârivnânʹbelʹtrami AT râzanovvi proregulârnirozvâzkizadačidirihledlârivnânʹbelʹtrami AT kovtonûkda ontheregularsolutionsofthedirichletproblemforbeltramiequations AT petkoviv ontheregularsolutionsofthedirichletproblemforbeltramiequations AT râzanovvi ontheregularsolutionsofthedirichletproblemforbeltramiequations |
| first_indexed |
2025-11-25T21:37:39Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:37:39Z |
| _version_ |
1849799907020374016 |
| fulltext |
УДК 517.5
Д.А. Ковтонюк, И. В. Петков, В. И. Рязанов
О регулярных решениях задачи Дирихле
для уравнений Бельтрами
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.Я. Гутлянским)
Устанавливаются критерии существования регулярных решений задачи Дирихле для
вырожденных уравнений Бельтрами первого рода в произвольных жордановых облас-
тях с граничными функциями, допускающими не более счетного числа точек разрыва.
В частности, установлено существование регулярных решений для произвольных гра-
ничных функций ограниченной вариации.
Данная работа является естественным продолжением наших статей [1, 2], где можно найти
историю вопроса и решение задачи Дирихле для случая непрерывных граничных функций
(см. также [3]). Мы устанавливаем критерии существования регулярных решений задачи
Дирихле в произвольных жордановых областях для граничных данных, допускающих не
более счетного числа разрывов, и в частности для произвольных функций ограниченной
вариации.
ПустьD — жорданова область в комплексной плоскости C, пусть µ : D → C — измеримая
функция с |µ(z)| < 1 п. в. Уравнением Бельтрами первого рода называется уравнение вида
fz = µ(z)fz, (1)
где fz = ∂f = (fx+ ify)/2, fz = ∂f = (fx− ify)/2, z = x+ iy, fx и fy — частные производные
отображения f по x и y соответственно. Функция µ называется комплексным коэффициен-
том, а
Kµ(z) =
1 + |µ(z)|
1− |µ(z)|
—
дилатацией уравнения (1). Уравнение (1) называется вырожденным, если дилатация Kµ
является существенно неограниченной, т. е. Kµ /∈ L∞(D).
Задача Дирихле для уравнений Бельтрами (1) в ограниченной области D комплексной
плоскости C для непрерывной граничной функции ϕ : ∂D → R состояла в нахождении
непрерывной функции f : D → C, имеющей частные производные первого порядка п. в.
и удовлетворяющей уравнению (1) п. в., а также граничному условию
lim
z→ζ
Re f(z) = ϕ(ζ) ∀ ζ ∈ ∂D (2)
для предписанной непрерывной функции ϕ : ∂D → R.
При ϕ : ∂D → R, ϕ(ζ) 6≡ const, допускающей не более счетного числа точек разрыва,
под регулярным решением такой задачи будем понимать непрерывное в C, дискретное
и открытое отображение f : D → C класса Соболева W 1,1
loc с якобианом Jf (z) = |fz|
2−|fz|
2 6=
6= 0 п. в., удовлетворяющее условию (2) в точках непрерывности ϕ и п. в. (1). Напомним,
© Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В. И. Рязанов, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №3 13
что отображение f : D → C дискретно, если прообраз f−1(y) каждой точки y ∈ C состоит
из изолированных точек, и открыто, если образ любого открытого множества U ⊆ D яв-
ляется открытым множеством в C.
Напомним, что в случае µ(z) ≡ 0 теорема существования решения задачи Дирихле
в жордановых областях для граничных функций, допускающих не более счетного числа
точек разрыва, хорошо известна (см., например, секцию 3 гл. VI в [4]).
Следуя работе [5], говорим, что функция φ : D → R имеет конечное среднее колебание
в точке z0 ∈ D, пишем φ ∈ FMO(z0), если
lim
ε→0
−
∫
B(z0,ε)
|φ(z)− φ̃ε| dm(z) <∞, (3)
где B(z0, ε) = {z ∈ C : |z − z0| < ε}, а φ̃ε — среднее значение φ в круге B(z0, ε). Пишем
φ ∈ FMO(D), если (3) выполнено для каждой точки z0 ∈ D. Также пишем φ ∈ FMO(D),
если φ задана в некоторой области G в C, содержащей D, и φ ∈ FMO(z0) для всех z0 ∈ D.
1. Основная лемма. Начнем с общего критерия существования регулярных решений
задачи Дирихле (2) для уравнения Бельтрами (1) в произвольных жордановых областях.
Далее и, в частности, в условии (4) мы предполагаем, что Kµ продолжена нулем вне D.
Лемма 1. Пусть D — жорданова область в C, µ : D → C — измеримая функция c
|µ(z)| < 1 п. в. и Kµ ∈ L1(D). Предположим, что для каждого z0 ∈ D выполнено условие
∫
ε<|z−z0|<ε0
Kµ(z) · ψ
2
z0,ε
(|z − z0|) dm(z) = o(I2z0(ε)) при ε→ 0 (4)
для семейства измеримых функций ψz0,ε : (0,∞) → (0,∞), ε ∈ (0, δ(z0)), таких, что
0 < Iz0(ε) :=
δ(z0)∫
ε
ψz0,ε(t) dt <∞.
Тогда уравнение Бельтрами (1) имеет регулярное решение f задачи Дирихле (2) для любой
ограниченной функции ϕ : ∂D → R, допускающей не более счетного числа точек разрыва.
Действительно, пусть F — регулярное гомеоморфное решение уравнения Бельтрами (1)
класса W 1,1
loc , которое является кольцевым Q-гомеоморфизмом в D c Q = Kµ и которое
существует по лемме 4.1 из [6] в силу условия (4). Заметим, что C \D∗, где D∗ = F (D), не
может состоять из единственной точки ∞, так как в противном случае граница D∗ являлась
бы слабо плоской и по леммам 6.6 и 6.7 в [7] отображение F должно было иметь гомеоморф-
ное продолжение в D, что невозможно, поскольку граница D состоит более чем из одной
точки. Кроме того, область D∗ односвязна (см., например, лемму 5.3 в [5] или лемму 6.5
в [8]). Таким образом, по теореме Римана (см., например, II.2.1 в [4]), D∗ можно отобразить
на единичный круг D = {z ∈ C : |z| < 1} с помощью конформного отображения R. Ввиду
инвариантности модуля при конформных отображениях, g := R ◦ F вновь является регу-
лярным гомеоморфным решением уравнения Бельтрами (1), которое является кольцевым
Q-гомеоморфизмом в D c Q = Kµ и отображает D на D. Более того, по леммам 6.6 и 6.7
в [7], g допускает продолжение до гомеоморфизма g∗ : D → D, поскольку D имеет слабо
плоскую границу, а жорданова область D локально связна на границе.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №3
Будем искать решение исходной задачи Дирихле (2) в виде композиции f = h ◦ g, где
h — аналитическая функция в D с граничным условием в точках непрерывности
lim
z→ζ
Reh(z) = ϕ(g−1
∗ (ζ)).
Существование гармонической функции Reh известно (см., например, секцию 3 гл. VI
из [4]), и аналитическая функция h восстанавливается в D по ее действительной части
с точностью до чисто мнимой аддитивной постоянной. Как легко видеть, функция f = h◦g
дает искомое регулярное решение задачи Дирихле (2) для уравнения Бельтрами (1).
2. Основные результаты. Выбирая в лемме 1 специальную функцию ψz0,ε(t) =
= 1/t log (1/t) (см., например, лемму 5.3 в [7]), получаем:
Теорема 1. Пусть µ : D → C — измеримая в жордановой области D функция такая,
что |µ(z)| < 1 п. в. и Kµ(z) 6 Q(z) п. в. для функции Q : C → [0,∞] класса FMO(D). Тогда
для любой ограниченной функции ϕ : ∂D → R, допускающей не более счетного числа точек
разрыва, уравнение Бельтрами (1) имеет регулярное решение задачи Дирихле (2).
Следствие 1. В частности, заключение теоремы 1 остается в силе, если Kµ(z) 6
6 Q(z) п. в. для функции Q : C → [0,∞] класса BMO(D).
Кроме того, в силу достаточных условий FMO (см., например, предложение 2.2 и следст-
вие 2.1 в [7]), имеем также:
Следствие 2. Заключение теоремы 1 остается в силе, если Kµ(z) 6 Q(z) п. в. для
локально интегрируемой функции Q : C → [0,∞] такой, что все точки z ∈ D являются
ее точками Лебега.
Следствие 3. Заключение теоремы 1 также имеет место, если
lim sup
ε→0
−
∫
B(z0,ε)
Kµ(z) dm(z) <∞ ∀z0 ∈ D.
Теорема 2. Пусть µ : D → C — измеримая в жордановой области D функция с |µ(z)| <
< 1 п. в. такая, что Kµ ∈ L1(D), и
δ(z0)∫
0
dr
‖Kµ(z0, r)‖(r)
= ∞ ∀ z0 ∈ D,
где ‖Kµ‖(z0, r) =
∫
γr
Kµ(z) |dz| — нормы в L1 функции Kµ на окружностях S(z0, r) = {z ∈
∈ C : |z−z0| = r}, 0 < r < δ(z0) < d(z0), d(z0) = sup
z∈D
|z−z0|. Тогда уравнение Бельтрами (1)
имеет регулярное решение задачи Дирихле (2) для любой ограниченной функции ϕ : ∂D →
→ R, допускающей не более счетного числа точек разрыва.
Теорема получается из леммы 1 с ψz0,ε(t) ≡ 1/||Kµ||(z0, t), t ∈ (0, δ(z0)).
Следствие 4. В частности, заключение теоремы 2 имеет место, если
kz0(ε) = O
(
log
1
ε
)
при ε→ 0 ∀ z0 ∈ D,
где kz0(ε) — среднее значение функции Kµ на окружности S(z0, ε).
Наконец, по теореме 2.3 и 2.4 в [7], получаем следующую теорему из теоремы 2.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №3 15
Теорема 3. Пусть µ : D → C — измеримая в жордановой области D функция с |µ(z)| <
< 1 п. в. такая, что
∫
D
Φ(Kµ(z)) dm(z) <∞,
где Φ: R+ → R+ — неубывающая выпуклая функция с условием
∞∫
δ
dτ
τΦ−1(τ)
= ∞
для некоторого δ > Φ(0). Тогда уравнение Бельтрами (1) имеет регулярное решение задачи
Дирихле (2) для любой ограниченной функции ϕ : ∂D → R, допускающей не более счетного
числа точек разрыва.
Следствие 5. В частности, заключение теоремы 3 имеет место, если при некотором
α > 0
∫
D
eαKµ(z) dm(z) <∞.
Замечание 1. В частности, все приведенные теоремы имеют место для функций ϕ огра-
ниченной вариации.
1. Ковтонюк Д.А., Петков И.В., Рязанов В.И. К задаче Дирихле для уравнений Бельтрами // Доп.
НАН України. – 2012. – № 6. – С. 30–33.
2. Ковтонюк Д.А., Петков И.В., Рязанов В.И. О задаче Дирихле для уравнений Бельтрами в коне-
чносвязных областях // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 7. – С. 932–944.
3. Bojarski B., Gutlyanskii V., Ryazanov V. Dirichlet problem for general degenerate Beltrami equation in
Jordan domains // Укр. мат. вiсн. – 2012. – 9, No 4. – С. 460–476.
4. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – Москва: Наука, 1966. –
630 с.
5. Игнатьев А.А., Рязанов В.И. Конечное среднее колебание в теории отображений // Укр. мат.
вестн. – 2005. – 2, № 3. – С. 395–417.
6. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On strong solutions of the Beltrami equations // Complex Var. Elliptic
Equat. – 2010. – 55, No 1–3. – P. 219–236.
7. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation: a geometric approach. – New
York: Springer, 2012. – 301 p. – (Developments in Mathematics; Vol. 26.)
8. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer,
2009. – 367 p. – (Springer Monographs in Mathematics.)
Поступило в редакцию 24.09.2013Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
Д.О. Ковтонюк, I. В. Пєтков, В. I. Рязанов
Про регулярнi розв’язки задачi Дiрiхле для рiвнянь Бельтрамi
Встановлено критерiї iснування регулярних розв’язкiв задачi Дiрiхле для вироджених рiв-
нянь Бельтрамi першого роду в довiльних жорданових областях з граничними функцiями,
що допускають не бiльше злiченного числа точок розриву. Зокрема, встановлено iснування
регулярних розв’язкiв для довiльних граничних функцiй обмеженої варiацiї.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №3
D.A. Kovtonyuk, I. V. Petkov, V. I. Ryazanov
On the regular solutions of the Dirichlet problem for Beltrami equations
The criteria of existence of regular solutions of the Dirichlet problem for degenerate Beltrami
equations of the first kind in arbitrary Jordan domains with the boundary functions admitting at
most a countable number of discontinuity points are established. In particular, the existence of
regular solutions for arbitrary boundary functions of bounded variation is proved.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №3 17
|