Аналiз обчислювальних можливостей iнтерлiнацiйного методу скiнченних елементiв розв’язання нестацiонарної задачi теплопровiдностi
Дослiджуються деякi аспекти чисельної реалiзацiї iнтерлiнацiйного методу скiнченних елементiв розв’язання нестацiонарної задачi теплопровiдностi для плоских областей складної форми. Дослiдження пропонується проводити тестуванням цього методу з використанням точних розв’язкiв, спосiб побудови яких н...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87139 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Аналiз обчислювальних можливостей iнтерлiнацiйного методу скiнченних елементiв розв’язання нестацiонарної задачi теплопровiдностi / I.В. Сергiєнко, О.М. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.В. Залужна // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 3. — С. 43-50. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87139 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Сергiєнко, I.В. Литвин, О.М. Лобанова, Л.С. Залужна, Г.В. 2015-10-11T16:28:45Z 2015-10-11T16:28:45Z 2014 Аналiз обчислювальних можливостей iнтерлiнацiйного методу скiнченних елементiв розв’язання нестацiонарної задачi теплопровiдностi / I.В. Сергiєнко, О.М. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.В. Залужна // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 3. — С. 43-50. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87139 519.6 Дослiджуються деякi аспекти чисельної реалiзацiї iнтерлiнацiйного методу скiнченних елементiв розв’язання нестацiонарної задачi теплопровiдностi для плоских областей складної форми. Дослiдження пропонується проводити тестуванням цього методу з використанням точних розв’язкiв, спосiб побудови яких наведено в роботi. Iнтерлiнацiйний метод скiнченних елементiв дозволяє зводити нестацiонарну задачу теплопровiдностi до задачi Кошi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь меншого порядку, нiж у класичному методi скiнченних елементiв (МСЕ). Исследуются некоторые аспекты численной реализации метода интерлинации конечных элементов решения нестационарной задачи теплопроводности для плоских областей сложной формы. Исследования предлагается проводить тестированием этого метода с использованием точных решений, способ построения которых приводится в работе. Метод интерлинации конечных элементов позволяет свести нестационарную задачу теплопроводности к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений меньшего порядка, чем в классическом методе конечных элементов. Some aspects of a numerical implementation of the interlineational finite element method solution of the non-stationary heat conduction problem for planar domains with complex shapes are considered. It is proposed to test this method, by using exact solutions, for which the method of construction is proposed by the authors. The interlineational finite element method allows us to reduce the nonstationary heat conduction problem to the Cauchy problem for a system of ordinary differential equations of lower order than in the classical finite element method. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Аналiз обчислювальних можливостей iнтерлiнацiйного методу скiнченних елементiв розв’язання нестацiонарної задачi теплопровiдностi Анализ вычислительных возможностей метода интерлинации конечных элементов решения нестационарной задачи теплопроводности Analysis of the computing power of the interlineational finite element method of solution of the non-stationary heat conduction problem Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Аналiз обчислювальних можливостей iнтерлiнацiйного методу скiнченних елементiв розв’язання нестацiонарної задачi теплопровiдностi |
| spellingShingle |
Аналiз обчислювальних можливостей iнтерлiнацiйного методу скiнченних елементiв розв’язання нестацiонарної задачi теплопровiдностi Сергiєнко, I.В. Литвин, О.М. Лобанова, Л.С. Залужна, Г.В. Інформатика та кібернетика |
| title_short |
Аналiз обчислювальних можливостей iнтерлiнацiйного методу скiнченних елементiв розв’язання нестацiонарної задачi теплопровiдностi |
| title_full |
Аналiз обчислювальних можливостей iнтерлiнацiйного методу скiнченних елементiв розв’язання нестацiонарної задачi теплопровiдностi |
| title_fullStr |
Аналiз обчислювальних можливостей iнтерлiнацiйного методу скiнченних елементiв розв’язання нестацiонарної задачi теплопровiдностi |
| title_full_unstemmed |
Аналiз обчислювальних можливостей iнтерлiнацiйного методу скiнченних елементiв розв’язання нестацiонарної задачi теплопровiдностi |
| title_sort |
аналiз обчислювальних можливостей iнтерлiнацiйного методу скiнченних елементiв розв’язання нестацiонарної задачi теплопровiдностi |
| author |
Сергiєнко, I.В. Литвин, О.М. Лобанова, Л.С. Залужна, Г.В. |
| author_facet |
Сергiєнко, I.В. Литвин, О.М. Лобанова, Л.С. Залужна, Г.В. |
| topic |
Інформатика та кібернетика |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| publishDate |
2014 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Анализ вычислительных возможностей метода интерлинации конечных элементов решения нестационарной задачи теплопроводности Analysis of the computing power of the interlineational finite element method of solution of the non-stationary heat conduction problem |
| description |
Дослiджуються деякi аспекти чисельної реалiзацiї iнтерлiнацiйного методу скiнченних елементiв розв’язання нестацiонарної задачi теплопровiдностi для плоских областей складної форми. Дослiдження пропонується проводити тестуванням цього методу
з використанням точних розв’язкiв, спосiб побудови яких наведено в роботi. Iнтерлiнацiйний метод скiнченних елементiв дозволяє зводити нестацiонарну задачу теплопровiдностi до задачi Кошi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь меншого
порядку, нiж у класичному методi скiнченних елементiв (МСЕ).
Исследуются некоторые аспекты численной реализации метода интерлинации конечных
элементов решения нестационарной задачи теплопроводности для плоских областей сложной формы. Исследования предлагается проводить тестированием этого метода с использованием точных решений, способ построения которых приводится в работе. Метод интерлинации конечных элементов позволяет свести нестационарную задачу теплопроводности
к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений меньшего порядка,
чем в классическом методе конечных элементов.
Some aspects of a numerical implementation of the interlineational finite element method solution of
the non-stationary heat conduction problem for planar domains with complex shapes are considered.
It is proposed to test this method, by using exact solutions, for which the method of construction
is proposed by the authors. The interlineational finite element method allows us to reduce the nonstationary heat conduction problem to the Cauchy problem for a system of ordinary differential
equations of lower order than in the classical finite element method.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87139 |
| citation_txt |
Аналiз обчислювальних можливостей iнтерлiнацiйного методу скiнченних елементiв розв’язання нестацiонарної задачi теплопровiдностi / I.В. Сергiєнко, О.М. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.В. Залужна // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 3. — С. 43-50. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT sergiênkoiv analizobčislûvalʹnihmožlivosteiinterlinaciinogometoduskinčennihelementivrozvâzannânestacionarnoízadačiteploprovidnosti AT litvinom analizobčislûvalʹnihmožlivosteiinterlinaciinogometoduskinčennihelementivrozvâzannânestacionarnoízadačiteploprovidnosti AT lobanovals analizobčislûvalʹnihmožlivosteiinterlinaciinogometoduskinčennihelementivrozvâzannânestacionarnoízadačiteploprovidnosti AT zalužnagv analizobčislûvalʹnihmožlivosteiinterlinaciinogometoduskinčennihelementivrozvâzannânestacionarnoízadačiteploprovidnosti AT sergiênkoiv analizvyčislitelʹnyhvozmožnosteimetodainterlinaciikonečnyhélementovrešeniânestacionarnoizadačiteploprovodnosti AT litvinom analizvyčislitelʹnyhvozmožnosteimetodainterlinaciikonečnyhélementovrešeniânestacionarnoizadačiteploprovodnosti AT lobanovals analizvyčislitelʹnyhvozmožnosteimetodainterlinaciikonečnyhélementovrešeniânestacionarnoizadačiteploprovodnosti AT zalužnagv analizvyčislitelʹnyhvozmožnosteimetodainterlinaciikonečnyhélementovrešeniânestacionarnoizadačiteploprovodnosti AT sergiênkoiv analysisofthecomputingpoweroftheinterlineationalfiniteelementmethodofsolutionofthenonstationaryheatconductionproblem AT litvinom analysisofthecomputingpoweroftheinterlineationalfiniteelementmethodofsolutionofthenonstationaryheatconductionproblem AT lobanovals analysisofthecomputingpoweroftheinterlineationalfiniteelementmethodofsolutionofthenonstationaryheatconductionproblem AT zalužnagv analysisofthecomputingpoweroftheinterlineationalfiniteelementmethodofsolutionofthenonstationaryheatconductionproblem |
| first_indexed |
2025-11-25T14:13:14Z |
| last_indexed |
2025-11-25T14:13:14Z |
| _version_ |
1850516698938998784 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2014
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 519.6
Академiк НАН України I. В. Сергiєнко, О. М. Литвин,
Л.С. Лобанова, Г. В. Залужна
Аналiз обчислювальних можливостей iнтерлiнацiйного
методу скiнченних елементiв розв’язання
нестацiонарної задачi теплопровiдностi
Дослiджуються деякi аспекти чисельної реалiзацiї iнтерлiнацiйного методу скiнчен-
них елементiв розв’язання нестацiонарної задачi теплопровiдностi для плоских облас-
тей складної форми. Дослiдження пропонується проводити тестуванням цього методу
з використанням точних розв’язкiв, спосiб побудови яких наведено в роботi. Iнтерлi-
нацiйний метод скiнченних елементiв дозволяє зводити нестацiонарну задачу тепло-
провiдностi до задачi Кошi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь меншого
порядку, нiж у класичному методi скiнченних елементiв (МСЕ).
Актуальнiсть теми. МСЕ є одним iз методiв, що найчастiше застосовуються для розв’я-
зання реальних нестацiонарних задач з розподiлу температури в областях складної фор-
ми. Практика вимагає розв’язання задач з великою кiлькiстю елементiв, а отже, i не-
вiдомих функцiй Ck(t), k = 1,M , що визначають слiди Ck(t) = u(xk, yk, t), k = 1,M ,
наближеного розв’язку u(x, y, t) у вузлах Ak(xk, yk) елементiв розбиття. Тому актуаль-
ною є розробка та дослiдження нових методiв розв’язання нестацiонарних задач тепло-
провiдностi, якi використовують меншу кiлькiсть елементiв для досягнення тiєї ж точно-
стi ε > 0.
Аналiз лiтературних джерел. У 1990 р. вперше було запропоновано обчислюваль-
нi схеми розв’язання нестацiонарної задачi теплопровiдностi для двовимiрних областей на
основi використання iнтерлiнацiї функцiй [1]. У 2000 р. запропонований метод був дослiдже-
ний у випадку задачi з трьома просторовими змiнними [2]. При застосуваннi МСЕ кiлькiсть
елементiв може досягати кiлькох сотень i навiть тисяч [3, 4]. У роботах [5–9] розглянуто при-
клади розв’язання задачi стацiонарної та нестацiонарної теплопровiдностi для областей, що
мають форму прямокутника, кутка, швеллера та Т-подiбної областi. Але на даний час вiд-
сутнi публiкацiї з аналiзом можливостей вказаного методу.
© I. В. Сергiєнко, О.М. Литвин, Л.С. Лобанова, Г.В. Залужна, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №3 43
Основнi твердження роботи. Дано аналiз можливостей iнтерлiнацiйного методу скiн-
ченних елементiв на основi результатiв обчислювального експерименту. Для обмеженої об-
ластi G ⊂ R2 будемо розв’язувати нестацiонарну крайову задачу
Lu ≡
∂u
∂t
−
∂
∂x
(
p1(x, y)
∂u
∂x
)
−
∂
∂y
(
p2(x, y)
∂u
∂y
)
+ q(x, y)u = f(x, y, t),
(x, y) ∈ G, t > 0,
(1)
при таких початковiй i граничнiй умовах:
u(x, y, 0) = u0(x, y), (x, y) ∈ G, G ⊆ Π, Π = [a, b]× [c, d], (2)
u(x, y, t)|∂G = φ(x, y, t)|∂G. (3)
Вважаємо, що p1(x, y), p2(x, y) ∈ C1(G), q(x, y) ∈ C(G), f(x, y, t) ∈ C(G×R+), R+ = [0,∞)
i розв’язок поставленої задачi задовольняє умови:
1) u(x, y, t) має неперервнi похiднi до 2-го порядку за змiнними x та yu(p,q,0)(x, y, t) ∈
∈ C(G × R+), ∀ t > 0, 0 6 p, q 6 2;
2)
∂u
∂t
∈ C(G × R+).
Крiм того, вважаємо, що гранична функцiя ϕ(x, y, t) i початкова функцiя u0(x, y) задо-
вольняють спiввiдношення ϕ(x, y, 0)|∂G = u0(x, y)|∂G.
Замiнимо задачу (1)–(3) вiдповiдною задачею з однорiдними початковою i граничною
умовами. Для цього введемо замiсть функцiї u(x, y, t) функцiю v(x, y, t) таким чином:
u(x, y, t) = v(x, y, t) + ϕ(x, y, t) + u0(x, y) − ϕ(x, y, 0).
Функцiя v(x, y, t) повинна задовольняти диференцiальне рiвняння i однорiднi початкову
i граничну умови:
Lv(x, y, t) = f(x, y, t)− Lϕ(x, y, t) − L(u0(x, y)− ϕ(x, y, 0)),
v(x, y, 0) = 0, v(x, y, t)|∂G = 0,
u(x, y, t) ∈ C2,2,1(G×R+) = {v : v(p,q,1)(x, y, t) ∈ C(G×R+), 0 6 p, q 6 2}.
Якщо u — побудована вказаним методом функцiя, то вона є точним розв’язком вiдповiдної
початково-крайової задачi. Далi вважаємо початкову та граничну умови однорiдними.
Викладемо по кроках алгоритм знаходження наближеного розв’язку [1, 10].
К р о к 1 . Розiб’ємо область G на елементи прямими x = xk, k = 0,M , та y = yl, l = 0, N .
В результатi область G розiб’ється на елементи таких типiв:
прямокутнi елементи Π0
ij = {(x, y) : xi 6 x 6 xi+1, yj 6 y 6 yj+1}, i = 0,M − 1, j =
= 0, N − 1; прямокутнi елементи Πr
ij , r = 1, . . . , 4, з однiєю криволiнiйною стороною, яка
належить границi ∂G. Так, Π1
ij = {(x, y) : xi 6 x 6 xi+1, yj 6 y 6 yj+1(x), yj+1(x) > yj}.
Аналогiчний вигляд мають Π2
ij , Π
3
ij , Π
4
ij ;
трикутнi елементи T r
ij , r = 1, . . . , 4, з однiєю, взагалi кажучи, криволiнiйною сторо-
ною, яка належить границi ∂G. Елементи T 2
ij , T
3
ij , T
4
ij мають вигляд, аналогiчний T 1
ij =
= {(x, y) : xi 6 x 6 xi+1, yj 6 y 6 ηj+1(x), η
′
j+1(x) < 0, ηj+1(xi+1) = yj , ηj+1(xi) = yj+1}.
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №3
К ро к 2 . Будуємо в кожному iз вказаних елементiв оператор iнтерлiнацiї OF (x, y, t)
функцiї F (x, y, t) на Π0
ij або Πr
ij , або T r
i,j у виглядi:
OF (x, y, t) =
UijF (x, y, t), (x, y) ∈ Π0
ij ,
V r
ijF (x, y, t), (x, y) ∈ Πr
ij , r ∈ {1, 2, 3, 4},
W r
ijF (x, y, t), (x, y) ∈ T r
ij , r ∈ {1, 2, 3, 4},
(4)
UijF (x, y, t) =
i+1
∑
µ=i
λ
∑
s=0
hµ−i,s
(
x− xi
xi+1 − xi
)
(xi+1 − xi)
sφµ,s(y, t) +
+
j+1
∑
ν=j
λ
∑
p=0
hν−j,p
(
y − yj
yj+1 − yj
)
(yj+1 − yj)
pψν,p(x, t)−
−
i+1
∑
µ=i
λ
∑
s=0
j+1
∑
ν=j
λ
∑
p=0
hµ−i,s
(
x− xi
xi+1 − xi
)
(xi+1 − xi)
shν−j,p
(
y − yj
yj+1 − yj
)
×
× (yj+1 − yj)
pDµ,s,ν,p(t), (5)
де λ ∈ {1, . . . , 5}; допомiжнi функцiї hr,s(u), r, s ∈ {0, 1} мають такi властивостi: h(p)r,s (q) =
= δr,qδs,p, r, s, p, q ∈ {0, . . . , λ}; δs,p — символ Кронекера. Тодi
∂αUijF
∂xα
∣
∣
∣
∣
x=xk
= ϕk,α(y, t), α = 0, λ, k = i, i+ 1,
∂βUijF
∂yβ
∣
∣
∣
∣
y=yℓ
= ψℓ,β(x, t), β = 0, λ, ℓ = j, j + 1.
Вважатимемо, що
∂pϕi,s
∂yp
∣
∣
∣
∣
y=yj
=
∂sψj,p
∂xs
∣
∣
∣
∣
x=xi
= Di,s,j,p(t), (xi, yj) ∈ G, 0 6 s, p 6 λ, λ ∈ {1, 2},
V 1
ijF (x, y, t) =
i+1
∑
µ=i
1
∑
s=0
hµ−i,s
(
x− xi
xi+1 − xi
)
(xi+1 − xi)
sφµ,s(y, t) +
+
j+1
∑
ν=j
1
∑
p=0
hν−j,p
(
y − yj
yj+1(x)− yj
)
(yj+1(x)− yj)
pψν,p(x, t)−
−
i+1
∑
µ=i
1
∑
s=0
j+1
∑
ν=j
1
∑
p=0
hµ−i,s
(
x− xi
xi+1 − xi
)
(xi+1 − xi)
shν−j,p
(
y − yj
yj+1(x)− yj
)
×
× (yj+1(x)− yj)
pDi,s,j,p(t). (6)
Для виконання умови V 1
ijF (x, yj+1(x), t) = 0 потрiбно, щоб ψj+1,0(x, t) ≡ 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №3 45
Теорема 1. Оператор V 1
ijF (x, y, t) iнтерлiнує функцiю F (x, y, t) ∈ C1
( 1
∏
i,j
)
та її по-
хiднi до порядку λ включно за змiнними x та y на границi чотирикутника Π1
ij з однiєю
криволiнiйною стороною, тобто,
V 1
ijF (x, y, t) = F (x, y, t), (x, y) ∈ ∂
1
∏
ij
,
∂α
∂xα
V 1
ijF (x, y, t)
∣
∣
∣
∣
x=xp
=
∂α
∂xα
F (x, y, t)
∣
∣
∣
∣
x=xp
,
∂β
∂yβ
V 1
ijF (x, y, t)
∣
∣
∣
∣
y=yj
=
∂β
∂yβ
F (x, y, t)
∣
∣
∣
∣
y=yj
,
∂β
∂yβ
V 1
ijF (x, y, t)
∣
∣
∣
∣
y=yj+1(x)
=
∂β
∂yβ
F (x, y, t)
∣
∣
∣
∣
y=yj+1(x)
,
α = 0, 1, p = i, i+ 1, β = 0, 1 ∀ t ∈ [0,∞).
Нехай h1s, h2s, h
(p)
is (xj) = δijδsp, 0 6 s, p 6 2 — базиснi полiноми 3-го степеня полiно-
мiальної двоточкової ермiтової iнтерполяцiї функцiї F (x, y, t). За допомогою операторiв,
аналогiчних EF (x, y, t) =
2
∑
k=1
1
∑
s=0
F (s)(xk, y, t)hks(x), будуємо оператори ермiтової iнтерлi-
нацiї функцiї F (x, y, t) трьох змiнних:
E1
ijF (x, y, t) =
1
∑
p=0
F (p,0)(xi, y, t)h1,p
(
x− xi
xi+1(y)− xi
)
(xi+1(y)− xi)
p
p!
+
+
1
∑
p=0
F (p,0)(xi+1(y), y, t)h2,p
(
x− xi
xi+1(y)− xi
)
(xi+1(y)− xi)
p
p!
,
E2
ijF (x, y, t) =
1
∑
s=0
F (0,s)(x, yj , t)h1,s
(
y − yj
yj+1(x)− yj
)
(yj+1(x)− yj)
s
s!
+
+
1
∑
s=0
F (0,s)(x, yj+1(x), t)h2,s
(
y − yj
yj+1(x)− yj
)
(yj+1(x)− yj)
s
s!
.
Тодi оператор iнтерлiнацiї функцiї F (x, y, t) разом з її частинними похiдними до порядку
λ за змiнними X та Y на всiх сторонах трикутника T 1
ij можна записати у виглядi
T 1
ijF (x, y, t) = (E1
ij + E2
ij − E1
ijE
2
ij)F (x, y, t), (x, y) ∈ T 1
ij .
Теорема 2. Оператор T 1
ijF (x, y, t) має такi властивостi:
∂αT 1
ijF (x, y, t)
∂xα
∣
∣
∣
∣
x=xi
=
∂αF (x, y, t)
∂xα
∣
∣
∣
∣
x=xi
,
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №3
∂αT 1
ijF (x, y, t)
∂xα
∣
∣
∣
∣
x=xi+1(y)
=
∂αF (x, y, t)
∂xα
∣
∣
∣
∣
x=xi+1(y)
,
∂βT 1
ijF (x, y, t)
∂yβ
∣
∣
∣
∣
y=yj
=
∂βF (x, y, t)
∂yβ
∣
∣
∣
∣
y=yj
,
∂βT 1
ijF (x, y, t)
∂yβ
∣
∣
∣
∣
y=yj+1(x)
=
∂βF (x, y, t)
∂yβ
∣
∣
∣
∣
y=yj+1(x)
,
α = 0, 1, β = 0, 1 всюди, за виключенням кутових точок.
Аналогiчнi твердження можна написати також для T r
ij , r = 2, 4.
Теорема 3. Нехай оператори Πr
ijF (x, y, t), r = 0, 4, iнтерлiнують F (x, y, t) на сторонах
чотирикутникiв Πr
ij ⊂ G, а оператори T r
ijF (x, y, t), r = 1, 4, — на сторонах трикутникiв
T r
ij ⊂ G з криволiнiйною гiпотенузою. Тодi оператор
OGF (x, y, t) =
r
∏
ij
F (x, y, t), (x, y) ∈ Πr
ij , r = 0 ∨ 1 ∨ . . . ∨ 4,
T r
ijF (x, y, t), (x, y) ∈ T r
ij , r = 1 ∨ . . . ∨ 4,
∀ t > 0
при умовах, що Mi,j+1 = M(xi, yj+1(xi)), Mi+1,j = M(xi+1(yj), yj),
lim
(x,y)→Mi+1,j
OGF (x, y, t) = F (xi+1(yj), yj, t),
lim
(x,y)→Mi,j+1
OGF (x, y, t) = F (xi, yj+1(xi), t),
lim
(x,y)→Mi+1,j
∂
∂x
OGF (x, y, t) =
∂
∂x
F (x, y, t)
∣
∣
∣
∣
Mi+1,j
,
lim
(x,y)→Mi+1,j
∂
∂y
OGF (x, y, t) =
∂
∂y
F (x, y, t)
∣
∣
∣
∣
Mi+1,j
,
lim
(x,y)→Mi,j+1
∂
∂x
OGF (x, y, t) =
∂
∂x
F (x, y, t)
∣
∣
∣
∣
Mi,j+1
,
lim
(x,y)→Mi,j+1
∂
∂y
OGF (x, y, t) =
∂
∂y
F (x, y, t)
∣
∣
∣
∣
Mi,j+1
,
iнтерлiнує функцiю F (x, y, t) на прямих x = xk ∈ [a, b] та y = yℓ ∈ [c, d], а також на
границi ∂G : OGF (x, y, t) = F (x, y, t),
∂
∂x
OGF (xk, y, t) =
∂
∂x
F (xk, y, t),
∂
∂y
OGF (x, yj , t) =
=
∂
∂y
F (x, yj, t). При цьому OGF (x, y, t) ∈ C1(G) ∀F (x, y, t) ∈ C2,2,1(G) ∀ t > 0, OGF (x, y, t) ∈
∈ W 1
2 (G) ∀ t > 0.
К ро к 3 . Для побудови наближеного розв’язку iнтерлiнацiйним МСЕ замiнюємо невi-
домi функцiї ϕµ,s(x, t) та ψν,p(y, t) сплайнами 1-го степеня:
ϕµ,s(x, t) =
M2
∑
i=0
Ai,µs(t)hi(x), hi(x) = h(x, xi−1, xi, xi+1).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №3 47
Для випадку рiвномiрного розбиття xk = a + k(b − a)/n, yℓ = c + ℓ(d − c)/n, k, ℓ = 0, n,
hk(x) = h(nx − k), hℓ(y) = h(ny − ℓ), де h(ξ) = 2−1(|ξ + 1| − 2|ξ| + |ξ − 1|), наближений
розв’язок подається у виглядi:
u(x, y, t) =
n−1
∑
k=1
n2
−1
∑
j′=1
ukn,j′(t)h(nx− k)h(n2y − j′) +
+
n−1
∑
ℓ=1
n2
−1
∑
i′=1
ui′,ℓn(t)h(n
2x− i′)h(ny − ℓ)−
n−1
∑
k=1
n−1
∑
ℓ=1
ukn,ℓnh(nx− k)h(ny − ℓ), (7)
де uij(t), (i, j) ∈ J — шуканi, J = {(i, j), (i′ , ℓ), (k, j′) : (i/n, j/n) ∈ G, (i′/n2, ℓ/n2) ∈ G,
(k/n2, j′/n2) ∈ G}. Для їх знаходження розв’язується така система диференцiальних рiв-
нянь:
(
∂u
∂t
, ϕkn,j′
)
(t) + [u, ϕkn,j′ ](t) = (f, ϕkn,j′)(t)
(j′ = 1, n2 − 1; j′ 6= ℓn; k, ℓ = 1, n − 1, (k, j′) ∈ J),
(8)
(
∂u
∂tj
, ϕi′,ℓn
)
(t) + [u, ϕi′,ℓn](t) = (f, ϕi′,ℓn)(t)
(i′ = 1, n2 − 1; i′ 6= kn; k, ℓ = 1, n− 1, (i′, ℓ) ∈ J),
(9)
(
∂u
∂t
, ϕkn,ℓn
)
(t) + [u, ϕkn,ℓn](t) = (f, ϕkn,ℓn)(t) (k, ℓ = 1, n − 1; (k, ℓ) ∈ J) (10)
при таких початкових умовах (при (k, ℓ = 1, n− 1; i′, j′ = 1, n2 − 1)):
ukn,j′(0) = u0
(
k
n
,
j′
n2
)
= 0, ui′,ℓn(0) = u0
(
i′
n2
,
ℓ
n
)
= 0, ukn,ℓn(0) = u0
(
k
n
,
ℓ
n
)
= 0.
Тут використано позначення:
(ψ1, ψ2) =
∫∫
G
ψ1ψ2dxdy, [u, ψ] =
∫∫
G
[
p1
∂u
∂x
∂ψ
∂x
+ p2
∂u
∂y
∂ψ
∂y
]
dxdy.
К ро к 4 . Для тестування запропонованого методу застосуємо загальний метод побудо-
ви точних розв’язкiв тестових задач. Вiн полягає [8] у представленнi допомiжних функцiй
h1k(x), h2ℓ(y) ∈ Cr(R), r = 2, 3, 4, 5, сплайнами r-го степеня (r ∈ {3, 4, 5}) i знаходженнi невi-
домих функцiй uij(t) шляхом розв’язання сформульованої вище задачi Кошi з однорiдними
початковими умовами для системи зичайних диференцiальних рiвнянь (8)–(10).
Вiдзначимо, що тестовi точнi розв’язки O(x, y, t) можна будувати у виглядi оператора
iнтерлiнацiї (4)–(6), довiльним чином вибираючи слiди ϕµs(y), ψνp(x) та Dµ,s,ν,p(t) так, щоб
точно були задовiльненi початкова i гранична умови, або за допомогою R-функцiй [6], якi
дозволяють точно задовольнити граничну умову, зберiгаючи при цьому потрiбний клас
диференцiйовностi. Застосовуємо до цiєї функцiї u = O(x, y, t) диференцiальний оператор
Lu(x, y, t) =
∂u
∂t
−
∂
∂x
(
p1(x, y)
∂u
∂x
)
−
∂
∂y
(
p2(x, y)
∂u
∂y
)
+ q(x, y)u(x, y, t) ≡ g(x, y, t).
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №3
В результатi отримаємо, що функцiя u = O(x, y, t) задовольняє рiвняння
Lu(x, y, t) = g(x, y, t) (11)
з вiдомою правою частиною g(x, y, t). Якщо u — побудована вказаним вище методом функ-
цiя, то вона є точним розв’язком вiдповiдної початково-крайової задачi.
Теорема 4. Якщо тестовий приклад побудований з використанням сплайн-iнтерпо-
ляцiї на основi сплайн-iнтерлiнацiї [5, с. 295–302] i наближений розв’язок знаходимо теж
у виглядi сплайн-iнтерполяцiї на основi сплайн-iнтерлiнацiї з невiдомими параметрами,
то наближений розв’язок буде збiгатися з точним розв’язком.
Таким чином, у данiй роботi пропонується для тестування iнтерлiнацiйного методу скiн-
ченних елементiв використовувати тестовi точнi розв’язки, якi належать рiзним класам
диференцiйовностi. Якщо ми будемо розв’язувати задачу (11) при вiдповiдних початко-
вiй i граничнiй умовах iншим методом (наприклад, класичним МСЕ або методом сiток),
то зможемо апостерiорно оцiнити похибку наближення, порiвнюючи наближений розв’язок
з точним.
1. Сергiєнко I. В., Литвин О.М. Чисельна реалiзацiя методу ЛIДР для рiвняння нестацiонарної тепло-
провiдностi // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1990. – № 10. – С. 69–73.
2. Сергiєнко I. В., Литвин О.М., Дробот Є. I. Чисельна реалiзацiя методу ЛIДР для рiвняння неста-
цiонарної теплопровiдностi з трьома просторовими змiнними // Доп. НАН України. – 2000. – № 2. –
С. 67–73.
3. Современные проблемы концентрации напряжений // Тр. междунар. научной конф., посвященной
75-летию акад. НАН Украины А.С. Космодамианского. – Донецк, 21.06.98–25.06.98. – ДонГУ, 1998. –
С. 417.
4. Babuska I. Finite element method for domain with corners // Computing. – 1970. – 6, No 3. – P. 264–273.
5. Литвин О.М. Iнтерлiнацiя функцiй та деякi її застосування. – Харкiв: Основа, 2002. – 544 с.
6. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. – Киев: Наук. думка, 1982. – 552 с.
7. Литвин О.М., Лобанова Л.С., Залужна Г. В. Розв’язання нестацiонарної задачi теплопровiдностi
для пластини iнтерлiнацiйним методом скiнченних елементiв // Пр. Мiжнар. симп. “Питання опти-
мiзацiї обчислень (ПОО–XXXV)”. – Київ: Iн-т кiбернетики iм. В. М. Глушкова НАН України, 2009. –
С. 14–19.
8. Литвин О.М., Лобанова Л.С., Залужна Г.В. Про один метод побудови точного розв’язку по-
чатково-крайової задачi для рiвняння нестацiонарної теплопровiдностi в областi складної фор-
ми // Математ. та комп’ютерне моделювання. Сер.: Фiз.-мат. науки. Зб. наук. праць Iн-ту кiбер-
нетики iм. В.М. Глушкова НАН України, Кам’янець-Подiльського нацiонального ун-ту iм. Iвана
Огiєнка. – Кам’янець-Подiльський нацiональний унiверситет iм. Iвана Огiєнка, 2010. – Вип. 4. –
С. 132–138.
9. Литвин О.М., Лобанова Л.С., Залужна Г. В. Про один пiдхiд до тестування нових методiв
розв’язання нестацiонарної задачi теплопровiдностi // Искусственный интеллект. – 2012. – № 1. –
С. 219–228.
10. Литвин О.Н., Лобанова Л.С., Залужна Г.В. Численная реализация метода линейных интегро-диф-
ференциальных уравнений для уравнения нестационарной теплопроводности с двумя пространствен-
ными переменными // Управляющие системы и машины. – 2012. – № 4. – С. 11–19.
Надiйшло до редакцiї 25.07.2013Iнститут кiбернетики iм. В.М. Глушкова
НАН України, Київ
Українська iнженерно-педагогiчна академiя, Харкiв
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №3 49
Академик НАН Украины И.В. Сергиенко, О.Н. Литвин, Л. С. Лобанова,
Г. В. Залужная
Анализ вычислительных возможностей метода интерлинации
конечных элементов решения нестационарной задачи
теплопроводности
Исследуются некоторые аспекты численной реализации метода интерлинации конечных
элементов решения нестационарной задачи теплопроводности для плоских областей слож-
ной формы. Исследования предлагается проводить тестированием этого метода с исполь-
зованием точных решений, способ построения которых приводится в работе. Метод интер-
линации конечных элементов позволяет свести нестационарную задачу теплопроводности
к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений меньшего порядка,
чем в классическом методе конечных элементов.
Academician of the NAS of Ukraine I. V. Sergienko, O.M. Lytvyn, L. S. Lobanova,
G.V. Zaluzhna
Analysis of the computing power of the interlineational finite element
method of solution of the non-stationary heat conduction problem
Some aspects of a numerical implementation of the interlineational finite element method solution of
the non-stationary heat conduction problem for planar domains with complex shapes are considered.
It is proposed to test this method, by using exact solutions, for which the method of construction
is proposed by the authors. The interlineational finite element method allows us to reduce the non-
stationary heat conduction problem to the Cauchy problem for a system of ordinary differential
equations of lower order than in the classical finite element method.
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №3
|