Линейная регрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учета аргументов
Исследован критерий регулярности с разбиением выборок наблюдений на обучающие и проверочные для моделирования в классе линейных регрессионных уравнений со случайными коэффициентами. Доказано существование оптимального множества регрессоров и выявлено условие редукции оптимальной регрессионной модели...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Управляющие системы и машины |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87222 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Линейная регрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учета аргументов / А.П. Сарычев // Управляющие системы и машины. — 2015. — № 3. — С. 13–20, 29. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860246521032736768 |
|---|---|
| author | Сарычев, А.П. |
| author_facet | Сарычев, А.П. |
| citation_txt | Линейная регрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учета аргументов / А.П. Сарычев // Управляющие системы и машины. — 2015. — № 3. — С. 13–20, 29. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Управляющие системы и машины |
| description | Исследован критерий регулярности с разбиением выборок наблюдений на обучающие и проверочные для моделирования в классе линейных регрессионных уравнений со случайными коэффициентами. Доказано существование оптимального множества регрессоров и выявлено условие редукции оптимальной регрессионной модели, зависимое от параметров модели и объемов выборок.
The regularity criterion with dividing of observation sample on training and testing samples for modeling in a class of linear regression equations with the random coefficients is researched. The existing of the optimum regressors set is proved and the condition of the optimal regression model reduction is obtained. This condition depends on parameters of model and volumes of samples.
Досліджено критерій регулярності з розбиттям вибірок спостережень на навчальні й перевірні вибірки для моделювання в класі лінійних регресійних рівнянь з випадковими коефіцієнтами. Доведено існування оптимальної множини регресорів та виявлено умову редукції оптимальної регресійної моделі, яка залежить від параметрів моделі та обсягів вибірок.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:37:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
УСиМ, 2015, № 3 13
УДК 519.25:681.5
А.П. Сарычев
Линейная регрессия со случайными коэффициентами на основе метода
группового учета аргументов
Исследован критерий регулярности с разбиением выборок наблюдений на обучающие и проверочные для моделирования в
классе линейных регрессионных уравнений со случайными коэффициентами. Доказано существование оптимального множе-
ства регрессоров и выявлено условие редукции оптимальной регрессионной модели, зависимое от параметров модели и объе-
мов выборок.
The regularity criterion with dividing of observation sample on training and testing samples for modeling in a class of linear regression
equations with the random coefficients is researched. The existing of the optimum regressors set is proved and the condition of the op-
timal regression model reduction is obtained. This condition depends on parameters of model and volumes of samples.
Досліджено критерій регулярності з розбиттям вибірок спостережень на навчальні й перевірні вибірки для моделювання в
класі лінійних регресійних рівнянь з випадковими коефіцієнтами. Доведено існування оптимальної множини регресорів та ви-
явлено умову редукції оптимальної регресійної моделі, яка залежить від параметрів моделі та обсягів вибірок.
Введение. Задачи моделирования по результа-
там наблюдений в классе регрессионных урав-
нений часто бывают поставлены в условиях
структурной неопределенности по количеству
и составу входных переменных, и для их реше-
ния необходимо принять критерий для оцени-
вания качества и сравнения моделей с разными
структурами. Известный подход к построению
критериев качества в условиях структурной не-
определенности применяется в методе группо-
вого учета аргументов (МГУА), разработанный
академиком НАН Украины А.Г. Ивахненко [1–
8]. Подход основан на разбиении выборки дан-
ных на обучающую и проверочную части: на
обучающей выборке оцениваются коэффици-
енты моделей, а на проверочной оценивается
качество моделей.
Распространенный класс моделей – класс ли-
нейных по параметрам регрессионных уравне-
ний со случайными коэффициентами. Модели
этого класса позволяют описывать и прогнози-
ровать состояния объектов как линейных по
входным переменным, так и нелинейных (не-
обходимо предварительно расширить множе-
ство входных переменных за счет нелинейных
функций), а также применять и при моделиро-
вании статических характеристик динамиче-
ских систем. В сравнении с классом обычных
регрессионных уравнений этому классу моде-
лей в МГУА уделено недостаточно внимания.
Поэтому исследование критерия регулярности
для структурной идентификации в классе рег-
рессионных моделей со случайными коэффи-
циентами – актуальная задача.
Постановка задачи
Пусть модель статического объекта пред-
ставляет собой регрессионное уравнение
niy iiii ,...,2,1,ζT
o
θx , (1)
где yi – i-е наблюдение выходной переменной;
i
o
x – )1(
o
m -вектор i-го наблюдения множества
входов },...,,{ oo
2
o
1
oo
mxxxX (
o
X , –
пустое множество), которые участвуют в фор-
мировании выходной переменной y; i – нена-
блюдаемый случайный )1(
o
m -вектор коэф-
фициентов; i – ненаблюдаемая случайная ве-
личина; n – объем выборки наблюдений.
Пусть для случайного вектора i выполнено
o
, 1, 2,...,i i i n θ θ η , (2)
где T
o
2
o
1
oo
)θ,...,θ,θ( o
mθ – неизвестный детерми-
нированный )1(
o
m -вектор; i – случайный
)1(
o
m -вектор.
Пусть вектор T
,
21 ),...,,( o
im
iii η распре-
делен по
o
m -мерному нормальному закону:
iη ),(~ o Σ0
m
N , а для случайных векторов i
выполнено
14 УСиМ, 2015, № 3
niE
m
i ...,2,1,}{ o 0η ; (3)
)(}{
o
T XE ii Σηη ; (4)
o o1 2
T
1 2 1 2
( )
{ } , , 1,2,..., ,i i
m m
E i i n i i
η η O , (5)
где }{E – знак математического ожидания по
реализациям случайных векторов i; o
m
0 – ну-
левой )1(
o
m -вектор; )(
o
XΣ – ковариацион-
ная )(
oo
mm -матрица.
Пусть относительно ζ выполнено
nn EE Iζζ0ζ ζ
T σ}{,}{ , (6)
2121 ,,...,1,,0}ζζ{
21
iiniiE ii , (7)
где }{E – знак математического ожидания по
реализациям случайного вектора ζ ; n0 – ну-
левой )1( n -вектор; ζσ – дисперсия случай-
ной величины i, ni ,...,2,1 , ограниченная
величина; In –единичная (n n)-матрица.
Предположим, что флуктуации коэффици-
ентов i в (2) и аддитивная составляющая iζ
в (1) статистически независимы
niE
m
ii ...,2,1,}ζ{ o 0η . (8)
Пусть в результате наблюдения объекта по-
лучены: 1)
o
X – )(
o
mn -матрица n наблюде-
ний
o
m входов множества
o
X , имеющая пол-
ный ранг, равный
o
m ; 2) y – (n 1)-вектор на-
блюдений выходной переменной y.
В соответствии с (1)–(2) для наблюдений
выполняется
o o o
T T
o o o o o
T
ζ
ξ ( ) ξ ( ),
i i i i i
i i ii
y
X y X
x θ x η
x θ
(9)
niX iiii ...,2,1,ζ)(ξ T
oo
ηx . (10)
Для математического ожидания i, учитывая
(3) и (6), получаем
niXE i ,...,2,1,0)}(ξ{
o
, (11)
а для дисперсий и ковариаций случайных вели-
чин )(ξ
o
Xi с учетом (4)–(5) и (6)–(7) получаем
o o o
ξ
o o o o
T
ηη ζ ζ
[ ( )] {ξ ( )ξ ( )}
( ) σ [ ( )] σ ,
ii i i
i i ii
X E X X
X X
Σ
x Σ x Λ
(12)
nXX IΛΣ ζ
o
η
o
ξ σ)()( , (13)
1 2
o o
1 2 1 2{ξ ( )ξ ( )} 0, , 1, ... , ,i iE X X i i n i i , (14)
где )(
o
η XΛ – диагональная )( nn -матрица,
ее элементы определены в (12).
Для математического ожидания )1( n -век-
тора T
oo
2
o
1
o
))(ξ,...),(ξ),(ξ()( XXXX nξ имеем
ζ
1
oo
η
T
ooo
T σ)()}()({
nXXXE
n
i
ii xΣxξξ . (15)
Формулы для оценивания коэффициентов
Запишем (9)–(15) в объединенном виде
)()(
ooooo
XX ξyξθXy , (16)
где y – )1( n -вектор наблюдаемых зашум-
ленных значений;
o
X – )(
o
mn -матрица регрес-
соров множества
o
X ;
o
θ – неизвестный детерми-
нированный )1(
o
m -вектор;
o
y – ( 1)-n вектор
ненаблюдаемых значений; )(
o
Xξ – ( 1)-n век-
тор ненаблюдаемых случайных величин в (10).
Необходимо найти оценку неизвестных ко-
эффициентов
o
θ в виде
yCd , (17)
где
o
( )m n -матрицу C , зависящую от
o
X ,
требуется определить.
Будем искать такую матрицу C , при кото-
рой логарифм определителя ковариационной
матрицы оценок коэффициентов (17) принима-
ет минимальное значение и оценки коэффици-
ентов несмещены [9]. Математическое ожида-
ние и ковариационную матрицу оценки (17)
вычислим по всем возможным реализациям
случайных величин . Для математического
УСиМ, 2015, № 3 15
ожидания оценки (17) должно выполняться
( }{E – операция математического ожидания)
o o
o o o o
{ } { } { ( ( ))}
{ } { ( )} .
E E E X
E E X
d Cy C y ξ
C Xθ Cξ θ
(18)
Справедливость (18) следует из условий
mm XE 0ξCIXC )}({,
oo
, (19)
т.е. из несмещенности оценок и независимости
элементов матрицы
o
X от вектора )(
o
Xξ .
С учетом (18) для ковариационной матрицы
оценок (17) выполняется
o o
T
o o o o o o
T
Cov( ) {( )( ) }
{( ( ) )( ( ) ) }
E
E X X
d d θ d θ
Cy Cξ θ Cy Cξ θ
o o o
T T T{ ( ) ( ) } ( )E X X X Cξ ξ C C Σ C . (20)
Запишем функцию Лагранжа
o
o
T
o
( , ) ln (det [ ( ) ])
tr [ ( )],L
M
L X
C Λ C Σ C
Λ C X I
(21)
где LΛ – диагональная – )(
oo
mm матрица не-
определенных множителей.
Тогда необходимые условия оптимальности
имеют вид:
o o
o
o o o
o
T
o
o
o
( ln (det[ ( ) ]) )
( tr[ ( )]) ,
( tr[ ( )])
.
L
L
m m m
m
m m m
L X
L
C Σ C
C C
Λ C X I O
C
Λ C X I
Λ Λ
C X I O
(22)
Применяя правила матричного дифферен-
цирования, из (22) получаем
1
To
1
o
1
To
)(
ΣXXΣXC . (23)
Для оценки (17)–(23) выполняется
o o o o o o
T 1 1 T 1
{ } { }
{( ) ( )} ,
E E
E
d Cy
X Σ X X Σ Xθ ξ θ
(24)
To o o
1 1 T 1 T
o o o o o
1 T 1 1 T 1 1
Cov ( ) {( )
( ) } ( ) .
E
d X Σ X X Σ ξ ξ
Σ X X Σ X X Σ X
(25)
Критерий регулярности МГУА
В предыдущих разделах предполагалось, что
множество регрессоров
o
X , участвующих в
формировании выходной переменной в (1), за-
дано. Далее будем предполагать, что оно неиз-
вестно и его требуется определить, т. е. рас-
смотрим задачу структурной идентификации.
Для решения задачи структурной идентифика-
ции необходимо:
указать метод оценивания коэффициентов
в моделях с заданной структурой;
построить алгоритм генерации различных
структур моделей;
принять способ сравнения моделей с раз-
ной структурой.
В формулах (17)–(25) предполагается, что
ковариационная матрица )(
o
η XΣ и скаляр ζσ
априорно известны (случай, когда они неиз-
вестны, будет предметом исследования от-
дельной работы). В условиях неопределенно-
сти по составу регрессоров класс моделей (1)–
(2) можно трактовать таким образом, что все
входные переменные из множества X могут
влиять на выходную переменную, но математи-
ческие ожидания коэффициентов влияния от-
личны от нуля только для подмножества регрес-
соров XX
o
. В данном разделе предположим,
что известны )(η XΣ – ковариационная мат-
рица для множества X и скаляр ζσ .
В качестве алгоритма генерации перебирае-
мых структур примем алгоритм полного пере-
бора всех возможных структур; на его этапе с
номером s в модели допускается только
ps регрессоров, где p – заданное макси-
мально возможное число регрессоров в модели.
Отметим, что в рассматриваемом классе рег-
рессионных моделей (линейных по входам и
коэффициентам) структура модели однознач-
но определяется составом множества входов,
16 УСиМ, 2015, № 3
присутствующих в модели, а сложность мо-
дели – их числом.
Пусть X – заданное исходное множество
m наблюдаемых входов, X – соответствую-
щая )( mn -матрица регрессоров; XX
o
–
истинное множество
o
m входов, участвующих в
модели (1),
o
X – соответствующая )(
o
mn -мат-
рица регрессоров истинного множества входов;
V X – текущее множество s входов, кото-
рое меняется в ходе генерации различных
структур, V – (n s)-матрица наблюдений вхо-
дов, принадлежащих текущему множеству
входов.
Рассмотрим функционал качества регресси-
онной модели, отражающий требование мини-
мизации математического ожидания квадратич-
ной нормы, называемый в литературе J-функ-
ционалом (см., например, [9]; в рамках МГУА
этот функционал получил название идеальный
внешний критерий [3]):
}||),({||),( 2
^o
VyyV VEVJ , (26)
где V – (n s)-матрица наблюдений анализи-
руемого множества входов V ;
^
( , )V y V
^
V d –
выход регрессионной модели, построенной на
множестве входов V, а
^
d – оценка (s1)-век-
тора коэффициентов регрессии y по V
yΣVVΣVd )())(( 1T11T
^
VV
, (27)
где )(VΣ – ковариационная матрица для те-
кущего множества V :
ξ
T
ηη ζ ζ
[ ( )] {ξ ( )ξ ( )}
( ) σ [ ( )] σ ,
ii i i
i i ii
V E V V
V V
Σ
v Σ v Λ
(28)
nVV IΛΣ ζηξ σ)()( , (29)
где iv – )1( s -вектор i-го наблюдения теку-
щего множества входов V .
Определение. J-оптимальным множеством
регрессоров называется такое множество вхо-
дов XVJ , для которого выполняется
),(minarg VVJV
XVJ
. (30)
J-оптимальной по количеству и составу
регрессоров называется регрессионная модель,
построенная на множестве регрессоров JV .
Как известно [3, 5, 8], J-оптимальное мно-
жество регрессоров может включать в себя не
все регрессоры, соответствующие множеству
входов
o
X . В этом случае говорят о редукции
(упрощении) J-оптимальной модели.
Функционал (30) не может применяться при
решении практических задач (содержит нена-
блюдаемый вектор
o
y ), но может быть исполь-
зован для теоретического сравнения методов
оценивания, в том числе на основе метода ста-
тистических испытаний [8]. Если в качестве
оценки
o
y взять наблюдаемый вектор y , то
получаем так называемую остаточную сумму
квадратов [10]: .||||)( 2
^
yyV RSS Известно
[3, 5, 8], что )}({ VRSSE уменьшается с добав-
лением любого регрессора, даже заведомо из-
быточного, т.е. остаточная сумма квадратов не
может быть использована для поиска J-опти-
мального множества регрессоров.
Существует ли альтернатива выбору нена-
блюдаемого вектора
o
y в J-функционале (30),
обеспечивающая конструктивность соответст-
вующего функционала качества регрессионной
модели и сохраняющая для него свойства J-
функционала? Для ответа на этот вопрос обра-
тимся к критерию регулярности МГУА в схеме
повторных наблюдений [8].
Пусть в условиях активного эксперимента
имеется возможность для заданного m-мерного
входа объекта делать не одно, а два независи-
мых наблюдения выхода объекта. Будем отно-
сить первое наблюдение из пары наблюдений
к обучающей выборке A , а второе наблюде-
ние – к проверочной выборке B .
Пусть результатами наблюдения в условиях,
когда разбиение осуществлено по схеме по-
вторных наблюдений, есть n-мерные векторы
УСиМ, 2015, № 3 17
Ay , By и матрица всех регрессоров X ,
имеющая полный ранг, т.е. mXrank , при-
чем один из столбцов матрицы X состоит из
единиц. Согласно (16) и принятому разбиению
по схеме повторных независимых наблюдений
для выборок A и B выполняется
o o o o o
o o o o o
( ) ( ),
( ) ( ),
A A A
B B B
X X
X X
y Xθ ξ y ξ
y Xθ ξ y ξ
(31)
где )(
o
XAξ и )(
o
XBξ – )1( n -векторы слу-
чайных величин, для которых выполнено
o o
o o
T
{ ( )} { ( )} ,
{ ( ) ( )} ,
A B n
A B n n
E X E X
E X X
ξ ξ 0
ξ ξ O
(32)
o o
T
o o o
T
ξ
[ { ( ) ( )}]
[ { ( ) ( )}] [ ( )]
A A ii
B B ii ii
E X X
E X X X
ξ ξ
ξ ξ Σ
o o o
T
η ζ
o
η ζ
( ) σ
[ ( )] σ , 1,2..., ,
i i
ii
X
X i n
x Σ x
Λ
(33)
nXX IΛΣ ζ
o
η
o
ξ σ)()( , (34)
где nnO – нулевая (n n)-матрица; )(
o
η XΛ –
диагональная (n n)-матрица с элементами (33).
На обучающей выборке будем оценивать
параметры системы регрессионных уравнений
с текущей анализируемой структурой, а на про-
верочной – оценивать качество этой модели.
Рассмотрим случайную величину, называе-
мую в методе группового учета аргументов
критерием регулярности [1, 3, 5], в условиях,
когда разбиение на обучающую и провероч-
ную выборки осуществлено по схеме повтор-
ных наблюдений (для отличия от традицион-
ного способа разбиения, без повторения на-
блюдений, в обозначение критерия введена
звездочка):
^ ^
* T 1
ξ( ) ( ) ( )( )A AB BAR V V y V d Σ y V d , (35)
где )(VΣ – определенная в (29) ковариаци-
онная матрица для текущего множества входов
V ; A
^
d – оценка (s 1)-вектора коэффициен-
тов регрессии y по V на выборке A , полу-
ченная по формуле (27) взвешенным методом
наименьших квадратов
AA VV yΣVVΣVd )())(( 1T11T
^
o o
T 1 1 T 1
T 1 1 T 1
( ( ) ) ( )
( ( ) ) ( ) .A
V V
V V
V Σ V V Σ X θ
V Σ V V Σ ξ
(36)
С учетом (36) для вектора остатков в крите-
рии регулярности выполняется
^ o o
o o
T 1 1 T 1( ( ) ) ( )
AB B B
V V
u y V d Xθ ξ
V V Σ V V Σ X θ
T 1 1 T 1
o o
( ( ) ) ( )
,
A
V B V A
V V
V V Σ V V Σ ξ
S X θ ξ P ξ
(37)
где
T 1 1 T 1
T 1 1 T 1
( ( ) ) ( ),
( ( ) ) ( )
V n
V
V V
V V
S I V V Σ V V Σ
P V V Σ V V Σ
– (38)
идемпотентные матрицы;
oo
θXSV – так назы-
ваемое смещение, обусловленное выбором те-
кущего множества регрессоров V вместо ис-
тинного множества
o
X .
Учитывая (37), выполнение nnVV OPS ,
идемпотентность матриц SV и PV, для критерия
регулярности в схеме повторных наблюдений
получаем
T 1
o o o o
T T T 1
*( ) ( )
( )
B B
V V
AR V
V
V u Σ u
θ X S Σ S Xθ
o o
T T T 1
T 1
2 ( )( )
( ) ( ) ( ).
V B V A
B V A B V A
V
V
θ X S Σ ξ P ξ
ξ P ξ Σ ξ P ξ
(39)
Вычислим математическое ожидание кри-
терия регулярности (39), используя предполо-
жения (28)–(29) и (32)–(34):
oo
1T
o
T
o
)()}(*{ θXSΣXθ VVVARE
o o
1 1tr [ ( ) ( )] tr [ ( ) ( )]VV X V X
Σ Σ Σ P Σ , (40)
18 УСиМ, 2015, № 3
где
oo
1T
o
T
o
)( θXSΣXθ VV
o
1T
o
)( ySΣy VV
– со-
ставляющая, обусловленная выбором текущего
множества регрессоров V вместо истинного
множества
o
X .
Исследование критерия регулярности
МГУА
Установим свойства критерия регулярности
МГУА. С этой целью исследуем, как изменя-
ется математическое ожидание критерия в за-
висимости от состава множества регрессоров.
В случае истинной структуры для математиче-
ского ожидания критерия регулярности в схе-
ме повторных наблюдений, используя (32)–(34)
и (40), получаем
o o o o
T T 1
o o o o o o o o
T 1 1 T 1
{ *( )} ( )
[ ( ( ) ) ( )]n
E AR X X
X X
θ X Σ
I X X Σ X X Σ X θ
o o
1tr [ ( ) ( )]X X
Σ Σ
o o o o o o o o
1 T 1 1 T 1tr [ ( ) ( ( ) ) ( ) ( )]X X X X
Σ X X Σ X X Σ Σ
o o o o o o o o
T T 1 T T 1
o o o o o o o o
T 1 1 T 1
( ) ( )
( ( ) ) ( )
X X
X X
θ X Σ X θ θ X Σ
X X Σ X X Σ X θ
o
1
o o o o o o
T 1 1 T
tr [ ] tr [ ( )
( ( ) ) ] .
n X
X n m
I Σ
X X Σ X X
(41)
Случай недостающего регрессора. Рас-
смотрим случай, когда в модель ошибочно не
включен один регрессор, хотя он участвует в
формировании значения выходной переменной,
и для простоты считаем, что это регрессор с
номером
o
m из множества
o
X . Тогда для ис-
тинного и текущего множества регрессоров и
их матриц наблюдений выполняется
)(
ooo
mxVX , mVX
o
,
T
T
T
o
m
VX , (42)
где )(
oo
mx – пропущенный вход, а m – соот-
ветствующий ему регрессор.
Введем обозначение
)(θ
)(
oo
o
o
m
Vθθ , ))(θ),((
oo
T
o
T
o
mVθθ . (43)
В (40) для составляющей, обусловленной
ошибкой в выборе структуры (42), выполняется
o o o o o o
T T 1 T T
o o
1 1 T 1 1 T 1
( )
( ) ( ) ( ( ) ) ( )
VV
V V V V
θ X Σ S X θ θ X
Σ Σ V V Σ V V Σ X θ
To
T 1 1
T
o
T 1 1 T 1
( ) ( )
( ( ) ) ( )
V V
V V
V
θ Σ Σ
m
V V Σ V V Σ V m θ
T 1 T 1 T 1 1 T 1o
T
T 1 T 1 T 1 1 T 1
o
( ) ( ) ( ( ) ) ( )
( ) ( ) ( ( ) ) ( )
V V V V
V V V V
V Σ V Σ V V Σ V V Σ
θ
m Σ m Σ V V Σ V V Σ
V m θ
o ( )T
T 1 T 1 T 1 1 T 1( ) ( ) ( ( ) ) ( )
s n
V V V V
O
θ m Σ m Σ V V Σ V V Σ
o o o o
T
o( )
T 1
T o o
T 1 T 1 1 T 1
( ( ),θ( ))
( )( )
θ( )( ) ( ( ) ) ( )
s s s
s
V m
VV
mV V V
V m θ θ
O 0
θm Σ m
0
m Σ V V Σ V V Σ m
o o
T 1
o o
T 1 1 T 1
θ( ) ( )
[ ( ( ( ) ) ( ) ) ] θ( )n
m V
V V m
m Σ
I V V Σ V V Σ m
)(θ)()(θ
oo
1T
oo
mVm V mSΣm
. (44)
Для вычисления следов двух матриц в (40)
установим соотношение диагональных матриц
)(
o
ξ XΣ и ),(ξ VΣ используя (28)–(29) и (32)–
(34):
ζ
o
ηζ
oo
η
T
oo
ξ σ)]([σ)()]([ iiiiii XXX ΛxΣxΣ
ζoooo
η
o
T
η
o
ηη
oo
T σ
)(),(σ),(
),()(
)(,
mxxxxV
xVV
mx
i
i
ii
v
σ
σΣ
v
o o o o
T T T
η η η( ) ( ) ( , ), ( , )i i iV x m V x V x
v Σ σ v σ
УСиМ, 2015, № 3 19
o o o o
o oη ζ( )σ ( , ) σ
( )
i
i
i
x m x x
x m
v
o o o
T T
η η
o o o o o o o o o
T
η η ζ
( ) ( ) ( , )
( , ) ( ) ( )σ ( , ) ( ) σ
i i i i
i i i i
V x m V x
V x x m x m x x x m
v Σ v σ v
v σ
niV iiii ...,2,1),σ(δ)]([ ξ Σ , (45)
где
o o o
T
η
o o o o o o o o o
T
η η
δ (σ) ( ) ( , )
( , ) ( ) ( )σ ( , ) ( ).
ii i i
i i i i
x m V x
V x x m x m x x x m
σ v
v σ
(46)
Итак, установлено, что для матриц )(
o
ξ XΣ
и )(ξ VΣ выполняется
)σ()()( ξ
o
ξ ΔΣΣ VX , (47)
где )σ(δ,...),σ(δ),σ(δ)σ( 2211 nndiagΔ – диа-
гональная матрица.
Запишем следы двух матриц в (40), исполь-
зуя (45)–(47):
o
1
1 1
ξ
tr [ ( ) ( )]
tr [ ( ) ( ) ] tr [ ( ) (σ)]]
V X
V V V
Σ Σ
Σ Σ Σ Δ
1
1
tr [ ] tr [ ( ) (σ)]]
tr [ ( ) (σ)]] ,
n V
n V
I Σ Δ
Σ Δ
(48)
)]()())(()([tr
o
1T11T1 XVVV ΣΣVVΣVVΣ
1 T 1 1 T
1 T 1 1 T 1
tr [ ( ) ( ( ) ) ]
tr [ ( ) ( ( ) ) ( ) (σ) ]
V V
V V V
Σ V V Σ V V
Σ V V Σ V V Σ Δ
1
T 1 1 T 1
tr [ ] tr [ ( )
( ( ) ) ( ) (σ) ]
s V
V V
I Σ
V V Σ V V Σ Δ
])σ()([tr 1 ΔPΣ VVs
. (49)
Объединяя результаты (44), (48) и (49), за-
пишем разность
)}(*{)}(*{),(Δ
oo
1 XAREVAREXV
o o o o
T 1
1
θ( ) ( ) θ( )
tr [ ( ) (σ)])]
Vm V m
n V
m Σ S m
Σ Δ
o
1
o
])σ()([tr)1( mnVm V ΔPΣ
o o o o
T 1 1θ( ) ( ) θ( ) tr [ ( ) (σ)])]Vm V m V
m Σ S m Σ Δ
])σ()([tr1 1 ΔPΣ VV
, (50)
где матрицы VS и VP введены в (38), а оба
следа положительны ввиду положительной
определенности матриц под знаком следа.
Если 0),(Δ
o
1 XV , то структура
o
X лучше V;
если 0),(Δ
o
1 XV , то структура V лучше
o
X ;
если 0),(Δ
o
1 XV , то структура V лучше
o
X
по принципу простоты.
Выполнение 0),(Δ
o
1 XV – условие так на-
зываемой редукции модели, оптимальной по
структуре. Из (50) для условия редукции полу-
чаем
)])]σ()([tr)(θ)()(θ 1
oo
1T
oo
ΔΣmSΣm VmVm V
1 T 1 1
T 1
tr [ ( ) ( ( ) )
( ) (σ)] 1.
V V
V
Σ V V Σ V
V Σ Δ
(51)
Получить условие редукции (51) в простом
виде удается только при выполнении дополни-
тельных предположений, и это предмет от-
дельного исследования.
Косвенное подтверждение истинности
условия редукции. Установим здесь, какой вид
принимает условие (51), если предположить,
что коэффициенты в уравнении (1) есть детер-
минированными, а не случайными (для такого
класса моделей задача структурной идентифи-
кации в условиях повторных наблюдений рас-
смотрена в [8, 11, 12]):
nikki ,...,2,1),()(
o
θθ . (52)
При выполнении (52) матрицы )(
o
η XΛ в (13),
)(η VΛ в (29) и )σ(Δ в (47) есть нулевыми, а
для матриц )(
o
ξ XΣ и )(ξ VΣ выполняется
nVX IΣΣ ζξ
o
ξ σ)()( . (53)
20 УСиМ, 2015, № 3
Тогда для условия редукции (51) при вы-
полнении (52) получаем
ζ
T2
oo
σ))(θ( mSm Vm . (54)
Совпадение (54) с результатами [8, 11 12]
служит косвенным подтверждением истинно-
сти условия редукции (51).
Редукция модели, оптимальной по составу
регрессоров, означает, что при выполнении
соотношения между параметрами модели (54)
следует исключить регрессор m из модели.
Редуцированная модель будет иметь меньшую
ошибку прогнозирования выходной перемен-
ной на новых выборках наблюдений в сравне-
нии с истинной моделью.
Из (54) следует, что возможность редукции
модели может быть обусловлена пятью причи-
нами:
а) малостью нормы коэффициента )(θ
oo
m ;
б) малостью нормы вектора наблюдений ре-
грессора m ;
в) малым объемом выборок наблюдений n ;
г) высокой степенью линейной зависимости
регрессора m с другими регрессорами в мат-
рице V ;
д) большим значением дисперсии ζσ .
Случай избыточного регрессора. Рассмот-
рим случай, когда в модель ошибочно включен
излишний регрессор, хотя он не участвует в
формировании значения выходной переменной.
Тогда для текущего и истинного множества рег-
рессоров и их матриц наблюдений выполняется
rXV
o
,
rXV
o
,
T
T
o
T
r
XV , (55)
где r – излишний вход, а r – соответствую-
щий ему избыточный регрессор.
В этом случае введенная в (40) составляю-
щая, обусловленная выбором текущего множе-
ства регрессоров V вместо истинного множе-
ства
o
X , равна нулю. Действительно, учиты-
вая (55), получаем
o o o o
T T 1( ) VV
θ X Σ S X θ
o o o o
1 T T T 1 T
ζ(σ ) ( )n
θ X I V V V V X θ
o o
1 T T
ζ
1o o
T To o o o
T T
(σ )
n
θ X
X XI X r X r X θ
r r
o o
1 T T
ζ
1o o o oT T To o o
o TT T
(σ )
n
θ X
X X X r XI X r X θ
rr X r r
0)σ(
oo
)(
T
o
1
ζ
θXOθ ss . (56)
Для перемножения блочных матриц в (56)
применена формула обращения блочной матри-
цы (частный случай формулы Фробениуса [9]).
С учетом (56) для избыточного регрессора
получаем
)}(*{)}(*{),(Δ
oo
2 XAREVAREXV
o o o
1 1tr[ ( ) ( )] tr[ ( ) ( )]VV X V X n m
Σ Σ Σ P Σ
1][tr][tr
o
)1(
o
mn
m
n II . (57)
Из (57) следует, что в случае избыточного
регрессора истинная структура всегда лучше, а
регрессор r действительно не следует вклю-
чать в модель.
Заключение. В соответствии с принципами
метода группового учета аргументов построен
и исследован критерий структурной иденти-
фикации для моделирования в классе регрес-
сионных уравнений со случайными коэффици-
ентами. В схеме повторных наблюдений полу-
чено условие редукции (упрощения) опти-
мального по составу регрессоров регрессион-
ного уравнения. Условие зависит от парамет-
ров модели и объемов выборок. В частном
случае, когда коэффициенты есть детермини-
рованными величинами, это условие совпадает
с известным в МГУА условием редукции
обычного регрессионного уравнения.
Окончание на стр. 29
УСиМ, 2015, № 3 29
Окончание
статьи
А.П. Сарычева
1. Ивахненко
А.Г. Индуктивный метод самоорганиза-
ции моделей сложных систем. – Киев: Наук. думка,
1982. – 296 с.
2. Self-organizing methods in modelling: GMDH type
algorithms / Ed. by S.J. Farlow. – New York, Basel:
Marcel Decker Inc., 1984. – 350 р.
3. Ивахненко
А.Г., Степашко
В.С. Помехоустойчи-
вость моделирования. – Киев: Наук. думка, 1985. –
216 с.
4. Ивахненко
А.Г., Мюллер
Й.А. Самоорганизация про-
гнозирующих моделей. – Киев: Техніка, 1985. –
223 с.
5. Ивахненко
А.Г., Юрачковский
Ю.П. Моделирова-
ние сложных систем по экспериментальным дан-
ным. – М. : Радио и связь, 1987. – 120 с.
6. Madala H.R., Ivakhnenko A.G. Inductive Learning
Algorithms for Complex System Modeling. – London,
Tokyo: CRC Press Inc., 1994. – 370 p.
7. Muller J.-A., Lemke F. Self-organizing Data Mining.
Extraсting Knowledge from Data. – Hamburg: Libri,
2000. – 250 p.
8. Сарычев
А.П. Идентификация состояний структур-
но-неопределенных систем. – Днепропетровск:
Ин-т техн. механики НАН и НКА Украины, 2008. –
268 с.
9. Ермаков
С.М., Жиглявский
А.А. Математическая
теория оптимального эксперимента. – М.: Наука,
1987. – 320 с.
10. Себер
Дж. Линейный регрессионный анализ. – М.:
Мир, 1980. – 456 с.
11. Сарычев
А.П. Решение проблемы разбиения в
МГУА при расчете критерия регулярности в усло-
виях активного эксперимента // Автоматика. –
1989. – № 4. – С. 19–27.
12. Сарычев
А.П. Определение J-оптимального мно-
жества регрессоров по повторным выборкам на-
блюдений // Там же. – 1993. – № 3. – С. 58–66.
Поступила 05.12.2014
Тел. для справок: +38 0562 46-5149 (Днепропетровск)
E-mail: Sarychev@prognoz.dp.ua
© А.П. Сарычев, 2015
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
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
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/RUS <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87222 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0130-5395 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:37:52Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сарычев, А.П. 2015-10-14T12:56:16Z 2015-10-14T12:56:16Z 2015 Линейная регрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учета аргументов / А.П. Сарычев // Управляющие системы и машины. — 2015. — № 3. — С. 13–20, 29. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0130-5395 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87222 519.25:681.5 Исследован критерий регулярности с разбиением выборок наблюдений на обучающие и проверочные для моделирования в классе линейных регрессионных уравнений со случайными коэффициентами. Доказано существование оптимального множества регрессоров и выявлено условие редукции оптимальной регрессионной модели, зависимое от параметров модели и объемов выборок. The regularity criterion with dividing of observation sample on training and testing samples for modeling in a class of linear regression equations with the random coefficients is researched. The existing of the optimum regressors set is proved and the condition of the optimal regression model reduction is obtained. This condition depends on parameters of model and volumes of samples. Досліджено критерій регулярності з розбиттям вибірок спостережень на навчальні й перевірні вибірки для моделювання в класі лінійних регресійних рівнянь з випадковими коефіцієнтами. Доведено існування оптимальної множини регресорів та виявлено умову редукції оптимальної регресійної моделі, яка залежить від параметрів моделі та обсягів вибірок. ru Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України Управляющие системы и машины Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science Линейная регрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учета аргументов Linear Regression with the Random Coefficients on the Basis of the Group Method of Data Handling Лінійна регресія з випадковими коефіцієнтами на основі методу групового урахування аргументів Article published earlier |
| spellingShingle | Линейная регрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учета аргументов Сарычев, А.П. Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science |
| title | Линейная регрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учета аргументов |
| title_alt | Linear Regression with the Random Coefficients on the Basis of the Group Method of Data Handling Лінійна регресія з випадковими коефіцієнтами на основі методу групового урахування аргументів |
| title_full | Линейная регрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учета аргументов |
| title_fullStr | Линейная регрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учета аргументов |
| title_full_unstemmed | Линейная регрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учета аргументов |
| title_short | Линейная регрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учета аргументов |
| title_sort | линейная регрессия со случайными коэффициентами на основе метода группового учета аргументов |
| topic | Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science |
| topic_facet | Фундаментальные и прикладные проблемы Computer Science |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87222 |
| work_keys_str_mv | AT saryčevap lineinaâregressiâsoslučainymikoéfficientaminaosnovemetodagruppovogoučetaargumentov AT saryčevap linearregressionwiththerandomcoefficientsonthebasisofthegroupmethodofdatahandling AT saryčevap líníinaregresíâzvipadkovimikoefícíêntaminaosnovímetodugrupovogourahuvannâargumentív |