Линейная математическая модель пространственного движения конического бака с жидкостью
С использованием вариационных методов решения базовых краевых задач линейной теории пространственного движения твердых тел с частично заполненными жидкостью полостями выведена модальная система уравнений движения и найдены значения гидродинамических коэффициентов для случая полости в виде усеченного...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Акустичний вісник |
|---|---|
| Datum: | 2009 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2009
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87279 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Линейная математическая модель пространственного движения конического бака с жидкостью / И.А. Луковский, А.В. Солодун, А.Н. Тимоха // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 2. — С. 44-56. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87279 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Луковский, И.А. Солодун, А.В. Тимоха, А.Н. 2015-10-16T16:35:38Z 2015-10-16T16:35:38Z 2009 Линейная математическая модель пространственного движения конического бака с жидкостью / И.А. Луковский, А.В. Солодун, А.Н. Тимоха // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 2. — С. 44-56. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87279 532.595 С использованием вариационных методов решения базовых краевых задач линейной теории пространственного движения твердых тел с частично заполненными жидкостью полостями выведена модальная система уравнений движения и найдены значения гидродинамических коэффициентов для случая полости в виде усеченного кругового конуса. Приведены формулы для определения гидродинамических сил и моментов взаимодействия жидкости со стенками конических резервуаров. Использование линейной модальной модели проиллюстрировано на примере задачи Сретенского и для задачи о собственных частотах совместных колебаний водонапорной башни с коническим баком. З використанням варіаційних методів розв'язання базових крайових задач лінійної теорії просторового руху твердих тіл з частково заповненими рідиною порожнинами виведено модальну систему рівнянь руху і знайдені значення гідродинамічних коефіцієнтів для випадку порожнини у формі зрізаного кругового конусу. Наведені формули для визначення гідродинамічних сил і моментів взаємодії рідини зі стінками конічних резервуарів. Застосування лінійної модальної моделі проілюстровано на прикладі задачі Сретенського і для задачі про визначення власних частот сумісних коливань водонапірної башти з конічним баком. The modal system of motion equations has been derived and the hydrodynamic coefficients have been computed for the case of a tapered conical cavity, by using the variational methods for solving the basic boundary problems of the linear theory of three-dimensional motions of solid bodies with the cavities partially filled with a liquid. The formulas for the hydrodynamic force and moment acting on the tank's walls have been presented. The implementation of the linear modal theory has been illustrated on the examples of the Sretenski's problem and the problem on coupled eigen oscillations of water tower with a conical elevated tank. Авторы благодарят Немецкое исследовательское общество за финансовую поддержку (проект DFG 436UKR 113/33/00). ru Інститут гідромеханіки НАН України Акустичний вісник Линейная математическая модель пространственного движения конического бака с жидкостью A linear mathematical model for spatial motion of the conical tank with a liquid Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Линейная математическая модель пространственного движения конического бака с жидкостью |
| spellingShingle |
Линейная математическая модель пространственного движения конического бака с жидкостью Луковский, И.А. Солодун, А.В. Тимоха, А.Н. |
| title_short |
Линейная математическая модель пространственного движения конического бака с жидкостью |
| title_full |
Линейная математическая модель пространственного движения конического бака с жидкостью |
| title_fullStr |
Линейная математическая модель пространственного движения конического бака с жидкостью |
| title_full_unstemmed |
Линейная математическая модель пространственного движения конического бака с жидкостью |
| title_sort |
линейная математическая модель пространственного движения конического бака с жидкостью |
| author |
Луковский, И.А. Солодун, А.В. Тимоха, А.Н. |
| author_facet |
Луковский, И.А. Солодун, А.В. Тимоха, А.Н. |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| container_title |
Акустичний вісник |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
A linear mathematical model for spatial motion of the conical tank with a liquid |
| description |
С использованием вариационных методов решения базовых краевых задач линейной теории пространственного движения твердых тел с частично заполненными жидкостью полостями выведена модальная система уравнений движения и найдены значения гидродинамических коэффициентов для случая полости в виде усеченного кругового конуса. Приведены формулы для определения гидродинамических сил и моментов взаимодействия жидкости со стенками конических резервуаров. Использование линейной модальной модели проиллюстрировано на примере задачи Сретенского и для задачи о собственных частотах совместных колебаний водонапорной башни с коническим баком.
З використанням варіаційних методів розв'язання базових крайових задач лінійної теорії просторового руху твердих тіл з частково заповненими рідиною порожнинами виведено модальну систему рівнянь руху і знайдені значення гідродинамічних коефіцієнтів для випадку порожнини у формі зрізаного кругового конусу. Наведені формули для визначення гідродинамічних сил і моментів взаємодії рідини зі стінками конічних резервуарів. Застосування лінійної модальної моделі проілюстровано на прикладі задачі Сретенського і для задачі про визначення власних частот сумісних коливань водонапірної башти з конічним баком.
The modal system of motion equations has been derived and the hydrodynamic coefficients have been computed for the case of a tapered conical cavity, by using the variational methods for solving the basic boundary problems of the linear theory of three-dimensional motions of solid bodies with the cavities partially filled with a liquid. The formulas for the hydrodynamic force and moment acting on the tank's walls have been presented. The implementation of the linear modal theory has been illustrated on the examples of the Sretenski's problem and the problem on coupled eigen oscillations of water tower with a conical elevated tank.
|
| issn |
1028-7507 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87279 |
| citation_txt |
Линейная математическая модель пространственного движения конического бака с жидкостью / И.А. Луковский, А.В. Солодун, А.Н. Тимоха // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 2. — С. 44-56. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT lukovskiiia lineinaâmatematičeskaâmodelʹprostranstvennogodviženiâkoničeskogobakasžidkostʹû AT solodunav lineinaâmatematičeskaâmodelʹprostranstvennogodviženiâkoničeskogobakasžidkostʹû AT timohaan lineinaâmatematičeskaâmodelʹprostranstvennogodviženiâkoničeskogobakasžidkostʹû AT lukovskiiia alinearmathematicalmodelforspatialmotionoftheconicaltankwithaliquid AT solodunav alinearmathematicalmodelforspatialmotionoftheconicaltankwithaliquid AT timohaan alinearmathematicalmodelforspatialmotionoftheconicaltankwithaliquid |
| first_indexed |
2025-11-24T15:58:15Z |
| last_indexed |
2025-11-24T15:58:15Z |
| _version_ |
1850850159869558784 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 44 – 56
УДК 532.595
ЛИНЕЙНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ КОНИЧЕСКОГО
БАКА С ЖИДКОСТЬЮ
И. А. Л У КО В СК И Й, А. В. С ОЛ О Д УН, А. Н. ТИ МО Х А
Институт математики НАН Украины, Киев
Получено 22.10.2009
С использованием вариационных методов решения базовых краевых задач линейной теории пространственного
движения твердых тел с частично заполненными жидкостью полостями выведена модальная система уравнений
движения и найдены значения гидродинамических коэффициентов для случая полости в виде усеченного круго-
вого конуса. Приведены формулы для определения гидродинамических сил и моментов взаимодействия жидкости
со стенками конических резервуаров. Использование линейной модальной модели проиллюстрировано на примере
задачи Сретенского и для задачи о собственных частотах совместных колебаний водонапорной башни с коническим
баком.
З використанням варiацiйних методiв розв’язання базових крайових задач лiнiйної теорiї просторового руху твердих
тiл з частково заповненими рiдиною порожнинами виведено модальну систему рiвнянь руху i знайденi значення
гiдродинамiчних коефiцiєнтiв для випадку порожнини у формi зрiзаного кругового конусу. Наведенi формули для
визначення гiдродинамiчних сил i моментiв взаємодiї рiдини зi стiнками конiчних резервуарiв. Застосування лiнiйної
модальної моделi проiлюстровано на прикладi задачi Сретенського i для задачi про визначення власних частот
сумiсних коливань водонапiрної башти з конiчним баком.
The modal system of motion equations has been derived and the hydrodynamic coefficients have been computed for the
case of a tapered conical cavity, by using the variational methods for solving the basic boundary problems of the linear
theory of three-dimensional motions of solid bodies with the cavities partially filled with a liquid. The formulas for the
hydrodynamic force and moment acting on the tank’s walls have been presented. The implementation of the linear modal
theory has been illustrated on the examples of the Sretenski’s problem and the problem on coupled eigen oscillations of
water tower with a conical elevated tank.
ВВЕДЕНИЕ
Исследования колебаний жидкости в резервуа-
рах конической формы представляют большой ин-
терес в связи с необходимостью решения компле-
кса проблем, связанных со строительством и эк-
сплуатацией конструкций, имеющих в своем со-
ставе конические емкости с жидкостью. Они так-
же постоянно стимулируются запросами авиаци-
онной, морской, ракетной и космической техни-
ки, а также ужесточением требований к проекти-
рованию таких гражданских объектов как назем-
ные хранилища экологически небезопасных жид-
костей, морских платформ и водонапорных башен,
построенных в сейсмически опасных районах. Осо-
бо подчеркнем существенную роль эксперимен-
тальных исследований, позволяющих строить об-
щие и упрощенные (в виде механических анало-
гов) математические модели, которые могут аде-
кватно описывать динамику этих сложных мно-
гокомпонентных систем. Этот тезис убедительно
подтверждается недавними работами Эл-Даматти
и др. [12], Эл-Даматти и Свиден [13], Дутта и
др. [11], Свиден [16], посвященными проблемам ди-
намики жидкости в хранилищах конической фор-
мы. Они существенно дополняют более ранние эк-
спериментальные исследования Микишева и До-
рожкина [8], а также Бауэра и др. [10].
Общая методика математического моделирова-
ния динамического поведения жидкости в упомя-
нутых объектах при различных внешних воздей-
ствиях считается в достаточной степени разрабо-
танной к настоящему времени. Сформулированы
необходимые задачи для определения поля скоро-
стей и давления в жидком объеме, а в случае про-
странственных безвихревых движений идеальной
жидкости хорошо изучены спектральная краевая
задача о собственных колебаниях жидкости и кра-
евая задача Неймана для определения потенциа-
лов Стокса – Жуковского. Решения этих задач по-
зволяют определить полную совокупность гидро-
динамических характеристик системы, включая и
моменты инерции жидких масс.
Для случая конических баков, за редким исклю-
чением, не существует точных решений упомяну-
тых краевых задач, что требует построения спе-
циализированных приближенных методов их ре-
шения. Наиболее широкое применение нашли ва-
риационные методы, а также различные версии
методов конечных и граничных элементов. Осо-
бо подчеркнем важную роль вариационных мето-
дов, позволяющих строить приближенные реше-
44 c© И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха, 2009
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 44 – 56
ния в аналитической форме. Это не только упро-
щает анализ решения базовых краевых задач, но
и существенно для дальнейшего развития модаль-
ных подходов в линейной и нелинейной теории сов-
местных движений твердых тел с жидкостью. Ра-
звитие вариационных методов для конических ре-
зервуаров имеет ряд специфических особенностей,
связанных с геометрией полости. Они дискутиро-
вались в фундаментальных работах Докучаева [1],
Докучаева и Луковского [3], Луковского и др. [7],
Фещенко и др. [9], Луковского [3, 4], Бауэра [10] и
др.
В данной статье на основе метода Луковского [2]
выводятся линейные модальные уравнения, опи-
сывающие движение жидкости в усеченном кони-
ческом баке, который совершает заданные малые
поступательные и угловые перемещения, а также
формулы для гидродинамических силы и момента
(первая задача динамики). Дополняя ранее опу-
бликованные работы [6, 14], для широкого диапа-
зона геометрических параметров приводятся чи-
сленные значения гидродинамических коэффици-
ентов, включая момент инерции жидкости.
Несмотря на то, что обсуждаемая линейная
модальная теория построена для решения первой
задачи динамики, в статье даны два иллюстра-
тивных примера использования ее результатов для
описания совместных (связанных) движений кон-
струкций с коническим баком, частично заполнен-
ным жидкостью (вторая задача динамики). Пер-
вый из них посвящен задаче Сретенского, опи-
сывающей вынужденные горизонтальные колеба-
ния твердого тела с баком при наличии упругой
связи и отсутствии трения. Во втором примере
рассматриваются собственные частоты колебаний
системы, состоящей из вертикальной балки и ко-
нического бака с жидкостью, жестко закреплен-
ного на ее вершине. Такая механическая систе-
ма используется для моделирования водонапор-
ных башен.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается механическая система, состо-
ящая из абсолютно твердого конического бака,
частично заполненного однородной идеальной не-
сжимаемой жидкостью. Предполагается, что бак
имеет усеченную V-образную осесимметричную
форму с углом полураствора θ0. В положении
статического равновесия ось симметрии бака па-
раллельна вектору ускорения свободного падения.
Смачиваемые боковые стенки сосуда обозначим
как S1, дно (основание) бака – S2, а невозму-
щенную свободную поверхность жидкости – Σ0
O
g
x
x’
z
y’
z’
y
S1
S2
S( )t
0S
O’
Q0
1h
2h
6h
3h
4h
5h
0q
Рис. 1. Схема частично заполненного жидкостью
конического бака, совершающего заданные малые
колебательные движения в пространстве
(рис. 1). С центром круга Σ0 жестко свяжем по-
движную систему координат Oxyz, направив ось
Ox вертикально вдоль оси симметрии бака. Сис-
тема координат Oxyz жестко связана с баком.
Гидродинамический анализ предполагает, что
движения бака известны, и рассматривается пер-
вая задача динамики. Кроме того, предпола-
гается, что бак совершает малые колебатель-
ные движения относительно статического поло-
жения равновесия в гравитационном поле отно-
сительно некоторой инерциальной системы коор-
динат O′x′y′z′, связанной с Землей. Они полно-
стью описываются вектором поступательной ско-
рости v0(t)=(η̇1, η̇2, η̇3) и вектором мгновенной
угловой скорости ω(t)=(η̇4, η̇5, η̇6). Шесть функ-
ций ηi, описывающих малые поступательные и
угловые перемещения, определяют шесть неза-
висимых степеней свободы. В связанной систе-
ме координат Oxyz линеаризованные проекции
вектора ускорения силы тяжести имеют вид
g=(g1, g2, g3)=(−g, gη6,−gη5).
В предположении о безвихревых потенциальных
течениях жидкости потенциал абсолютной скоро-
сти Φ(x, y, z, t) и функция ζ(x, y, z, t)=x−ξ(y, z, t),
описывающая возмущенную поверхность жидко-
сти, являются решениями следующей краевой за-
дачи (см., например, Луковский и др. [5], Фалтин-
сен и Тимоха [15]):
∆Φ = 0 в Q0, (1a)
И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха 45
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 44 – 56
∂Φ
∂n
= v0 · n + ω · (r × n) на S0, (1b)
∂Φ
∂n
= v0 ·n + ω · (r × n) −
∂ξ
∂t
на Σ0, (1c)
∂Φ
∂t
− g · r = 0 на Σ0, (1d)
∫
Σ0
ξdS = 0. (1e)
Здесь S0 =S1
⋃
S2 – смачиваемая поверхность по-
лости в положении равновесия; n – орт внешней
нормали к границе объема Q0 и r=(x, y, z).
Сформулированная краевая задача должна
быть дополнена начальными условиями, которые
задают начальное положение поверхности жидко-
сти и распределение нормальных скоростей при
t= t0:
ξ(y, z, t0) = ξ0(y, z),
∂Φ
∂n
∣∣∣∣
Σ(t0)
= Φ0(x, y, z). (2)
Если рассматриваются вынужденные колебания
жидкости под действием гармонических возмуще-
ний с периодом T , то начальные условия (2) могут
быть заменены условиями периодичности:
ξ(y, z, t + T ) = ξ(y, z, t),
∇Φ(x, y, z, t+ T ) = ∇Φ(x, y, z, t).
(3)
Решения задачи (1a) – (1e), подчиненные услови-
ям периодичности (3), описывают так называемые
установившиеся режимы движения жидкости.
Решив поставленную краевую задачу, можно
найти распределение абсолютных скоростей ча-
стиц жидкости va =∇Φ. Используя линеаризован-
ный интеграл Лагранжа – Коши в связанной си-
стеме координат
∂Φ
∂t
− g · r +
p− p0
ρ
= 0, (4)
удается получить поле давления p (ρ – плотность
жидкости; p0 – атмосферное давление). Рассма-
тривая соответствующие интегралы от давления
по смоченным стенкам бака, определяем основные
гидродинамические характеристики – количество
движения и момент количества движения жидко-
сти относительно точки O, а также результирую-
щие гидродинамические силу и момент. Нахожде-
ние указанных факторов соответствует решению
первой задачи динамики.
2. ЛИНЕЙНАЯ МОДАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
2.1. Общие модальные уравнения
Представим решение задачи (1a) – (1e) в виде [5,
15]
ξ(y, z, t)=
∑
N
βN (t)φN
∣∣
Σ0
=
∑
N
βN (t)ξN(y, z), (5)
Φ(x, y, z, t) = v0(t) · r + ω(t) ·Ω0(x, y, z)+
+
∑
N
RN(t)φN (x, y, z).
(6)
Здесь ξN (y, z)=φN(0, y, z); φN(x, y, z) – система
собственных форм колебания жидкости, опреде-
ляемая решением краевой задачи на собственные
значения:
∆φ = 0, r ∈ Q0,
∂φ
∂n
= 0, r ∈ S0,
∂φ
∂n
= κφ, r ∈ Σ0,
∫
Σ0
φdS = 0,
(7)
а гармоническая вектор-функция Ω0(x, y, z) =
(Ω01,Ω02,Ω03) – три потенциала Стокса –
Жуковского – решение краевой задачи Неймана
∆Ω0 = 0, r ∈ Q0,
∂Ω0
∂n
= r × n, r ∈ S0 + Σ0.
(8)
В самом общем случае N – один или несколь-
ко целочисленных индексов, перенумеровываю-
щих собственные формы φN(x, y, z) с учетом их
кратности. Подставив выражения (5) и (6) в исхо-
дную краевую задачу (1a) – (1e) и учтя условие ор-
тогональности
∫
Σ0
ξN1
ξN2
dS = 0, N1 6=N2,
получим соотношение β̇N =κNRN и следующую
линейную модальную систему обыкновенных диф-
ференциальных уравнений относительно модаль-
ных функций (обобщенных координат) βN(t):
β̈N + σ2
NβN = KN (t). (9)
Здесь σ2
N =gκN ;
KN (t)=−
λ2N
µN
(η̈2−gη6)−
λ3N
µN
(η̈3+gη5)−
−
1
µN
6∑
k=4
λ0(k−3)N η̈k.
(10)
46 И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 44 – 56
Входящие в соотношение (10) гидродинамические
коэффициенты определяются следующими инте-
гралами:
µN =
ρ
κN
∫
Σ0
ξ2NdS, λ2N =ρ
∫
Σ0
yξN dS,
λ3N =ρ
∫
Σ0
zξNdS, λ0kN =ρ
∫
Σ0
ξNΩ0kdS.
(11)
Таким образом, если известны функции ηk(t),
k=1, . . . , 6, описывающие колебания сосуда с ше-
стью степенями свободы, и гидродинамические ко-
эффициенты (11), то βN (t) из системы линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений (9)
можно найти модальные функции. Это позволя-
ет определить потенциал скоростей (6) и соответ-
ствующее поле давлений по формуле (4). Исполь-
зование модальной теории избавляет нас от необ-
ходимости пространственной и временной дискре-
тизации исходной краевой задачи.
Явные формулы для гидродинамических силы и
момента в терминах функций βM и ηj (j=1, . . . , 6)
были получены Луковским [2] для наиболее обще-
го, нелинейного случая. Независимый вывод фор-
мул Луковского в случае линейных и нелинейных
колебаний жидкости также приведен в книге Фал-
тинсена и Тимохи [15]. Модальные уравнения (9) и
упомянутые формулы Луковского для силы и мо-
мента значительно упрощаются в случае осесим-
метричности бака.
2.2. Модальная система в случае осесимметри-
чных баков
Для осесимметричных сосудов естественным яв-
ляется переход к цилиндрической системе коорди-
нат x=x, y=r cos θ, z=r sin θ и отделение угло-
вой переменной в базовых краевых задачах (7)
и (8). При этом индексы N=m, i, 1 и N=m, i, 2
(m=0, 1, . . ., i=1, 2, . . .) и собственные функции
имеют следующий вид:
φm,i,1 = φ
(m)
i (x, r) cos(mθ),
φm,i,2 = φ
(m)
i (x, r) sin(mθ).
(12)
Обе функции φm,i,1 и φm,i,2 при m 6=0 соответству-
ют одному и тому же собственному значению κm,i,
определяемому из задачи (7).
Задача о потенциалах Стокса – Жуковского так-
же допускает отделение угловой переменной
Ω01 = 0,
Ω02 = −χ(r, x) sin θ,
Ω03 = χ(r, x) cos θ,
(13)
где χ(r, x) – решение соответствующей краевой за-
дачи в меридиональном сечении бака.
Структура решений (12) и (13) указывает на
то, что ненулевые правые части уравнений (10) в
модальной системе (9) связываются с гидродина-
мическими коэффициентами
κi = κ1,i, σ2
i = gκi = σ2
1,i,
µ1,i,1 = µ1,i,2 = µi =
ρπ
κ1,i
∫
L0
r(φ
(1)
i )2dr,
λ2(1,i,1) = λ3(1,i,2) = λi = ρπ
∫
L0
r2φ
(1)
i dr,
λ03(1,i,1) = −λ02(1,i,2) =
= λ0i = ρπ
∫
L0
r2χφ
(1)
i dr,
(14)
где L0 – пересечение невозмущенной свободной
границы с меридиональным сечением бака.
Таким образом, для осесимметричных баков
имеется лишь две независимые линейные модаль-
ные системы с ненулевыми правыми частями. Они
отвечают за колебания жидкости в плоскостях
Oxy и Oxz:
µi(β̈
c
i + σ2
i β
c
i ) = −λi(η̈2 − gη6) − λ0iη̈6, (15a)
µi(β̈
s
i + σ2
i β
s
i ) = −λi(η̈3 + gη5) + λ0iη̈5, (15b)
где индекс i=1, 2, . . . перенумеровывает собствен-
ные значения κi в порядке возрастания и соответ-
ственно – функции φ
(1)
i в представлении (12).
2.3. Гидродинамические сила и момент для осе-
симметричных баков
В соответствии с формулами Луковского [2, 15],
линейные компоненты гидродинамической силы в
связанной с баком системе координат используют
положение центра тяжести невозмущенной жид-
кости:
rlC0
= (xlC0
, ylC0
, zlC0
) =
ρ
Ml
∫
Q0
rdQ (16)
И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха 47
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 44 – 56
в системе координат Oxyz (Ml – масса жидкости).
Для рассматриваемого осесимметричного случая
ylC0
=zlC0
=0 это приводит к следующим выраже-
ниям для проекций гидродинамической силы на
оси системы координат Oxyz:
F1(t) = Fx(t) = Ml(−g − η̈1), (17)
F2(t) = Fy(t) =
= Ml(−η̈6xlC0
+ [gη6] − η̈2) −
∞∑
k=1
β̈c
kλk,
(18)
F3(t) = Fz(t) =
= Ml(η̈5xlC0
− [gη5] − η̈3) −
∞∑
k=1
β̈s
kλk.
(19)
При этом линейные компоненты [gη6] и [gη5] исче-
зают из выражений для F2(t) и F3(t) при про-
ецировании линейной гидродинамической силы
на инерционную систему координат, связанную с
Землей.
Линеаризованная формула Луковского для ги-
дродинамического момента относительно O со-
держит также элементы тензора инерции жидко-
сти J1
0, определенного через потенциалы Стокса –
Жуковского:
J1
0ij = ρ
∫
S0+Σ0
Ω0i
∂Ω0j
∂n
dS.
Для осесимметричного бака этот тензор содержит
лишь два ненулевых элемента:
J1
022 = J1
033 = J0 = ρπ
∫
L
χ
∂χ
∂n
ds, (20)
где L = L0 + L1 + L2, a L1 и L2 – пересечения бо-
ковой поверхности S1 и дна S2 с меридиональным
сечением бака.
Используя линеаризованные формулы Луков-
ского [2, 15], можно показать, что для осесимме-
тричного бака F4 =MOx =0, а две оставшиеся ком-
поненты вычисляются по формулам
F5(t) = MOy(t) = MlxlC0
(gη5 + η̈3)−
−J0η̈5 −
∞∑
j=1
(
− λ0j β̈
s
j + gλjβ
s
j
)
,
(21)
F6(t) = MOz(t) = MlxlC0
(gη6 − η̈2)−
−J0η̈6 −
∞∑
j=1
(
λ0j β̈
c
j − gλjβ
c
j ).
(22)
Для пересчета гидродинамического момента
относительно другой, произвольно взятой точки A
можно воспользоваться формулой
M1
A = rAO × F + MO, (23)
где F =(F1, F2, F3); MO =(F4, F5, F6); rAO –
радиус-вектор начала координат O относительно
точки A.
2.4. Безразмерные гидродинамические коэф-
фициенты
Гидродинамические коэффициенты, возникаю-
щие в модальных уравнениях и выражениях для
гидродинамической силы и момента, зависят от
линейных размеров конического бака, угла полу-
раствора и плотности жидкости. В этой работе
в качестве характерного линейного размера бака
выбран радиус невозмущенной свободной поверх-
ности r0.
Соотношение r̄1 =r1/r0 между радиусами осно-
вания конуса r1 и радиуса невозмущенной свобо-
дной поверхности является функцией глубины за-
полнения бака. В частности, в пределе r̄1→1 име-
ем h̄=h/r0→0 (h – глубина жидкости). При фи-
ксированном же r̄1 безразмерная глубина h̄ стре-
мится к нулю, если θ0→π/2.
Связь размерных и безразмерных гидродинами-
ческих коэффициентов (последние обозначаем с
чертой сверху) имеет вид
κi =
κ̄i
r0
, µi = ρr30µ̄i, λi = ρr30λ̄i,
λ0i = ρr40λ̄0i, J0 = ρr50J̄0.
(24)
В работе [6] авторами развит вариацион-
ный метод определения потенциалов Стокса –
Жуковского для усеченных конических областей
и соответственно расчета величины J̄0. В ста-
тье [14] построен вариационный метод определе-
ния собственных частот и собственных функций
φ
(1)
i колебаний жидкости в конических баках. Зная
φ
(1)
i , можно эффективно вычислять гидродинами-
ческие коэффициенты µ̄i, λ̄i и λ̄0i. Однако нужно
учесть, что функции φ
(1)
i , а следовательно и ги-
дродинамические коэффициенты µ̄i, λ̄i, λ̄0i опре-
деляются с точностью до произвольного множи-
теля. Для того, чтобы исключить связанную с
ним многозначность в определении гидродинами-
ческих коэффициентов, применим нормировку
φ̄
(1)
i (0, 1) = 1, (25)
48 И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 44 – 56
т. е. потребуем, чтобы собственные функции при-
нимали максимальное абсолютное значение еди-
ница на линии контакта невозмущенной свобо-
дной границы и наклонной стенки. При таком нор-
мировании, естественном для модальных теорий,
модальные функции βc
i (t) и βs
i (t) играют роль без-
размерной амплитуды волны на стенке.
В статье [14] вариационное решение для соб-
ственной функции φ
(m)
i было представлено в виде
φ
(m)
i (x, r) =
q∑
k=1
a
(m,i)
k w
(m)
k (x, r),
m = 0, 1, . . . , i = 1, 2, . . .
(26)
Для того, чтобы обеспечить гармоничность функ-
ций φ
(m)
i (x, r) cos(mθ) и φ
(m)
i (x, r) sin(mθ), коорди-
натные функции w
(m)
k (x, r) дополнительно удовле-
творяли соответствующему уравнению в мериди-
ональном сечении. Вариационной процедурой ра-
счеты сводились к обобщенной спектральной ма-
тричной проблеме для определения собственных
значений κ̄m,i и собственных векторов a
(m,i)
j
q∑
k,l=1
a
(m,i)
l (α
(m,i)
kl − κ̄m,iγ
(m,i)
kl ) = 0
при фиксированном m и индексе i, изменяющем-
ся от 1 до q. Элементы матриц определялись по
формулам
α
(m)
kl =
∫
L
r
∂w
(m)
k
∂n
w
(m)
l ds, γ
(m)
kl =
∫
L0
rw
(m)
k w
(m)
l dr,
где L0, L1 и L2 – меридиональные сечения Σ0, S1
и S2 соответственно.
Условие нормировки (25) в применении к вариа-
ционному решению (26) означает, что при найден-
ных собственных векторах (a
(1,i)
1 , a
(1,i)
2 , . . . , a
(1,i)
q )
приближение φ
(1)
i (x, r) sin(θ) следует поделить на
N1,i =
q∑
k=1
a
(1,i)
k w
(1)
k (0, 1). (27)
Тогда безразмерные гидродинамические коэффи-
циенты µ̄i и λ̄i вычисляются по формулам
µ̄i =
πκ̄1,i
N2
1,i
q∑
k=1
q∑
l=1
a
(1,i)
k a
(1,i)
l γkl,
λ̄i =
πκ̄1,i
N1,i
q∑
k=1
γ1ka
(1,i)
k .
(28)
Более того, если для вариационного решения
χ(x, r) в качестве базисного набора функций
выбрать те же координатные функции, что и в
работах [6, 14], то оставшиеся гидродинамические
коэффициенты принимают вид
λ̄0i =
πκ̄1,i
N1,i
q∑
k=1
q∑
l=1
γkla
(1,i)
k bl, (29)
где указанное вариационное решение записывае-
тся как
χ(x, r) =
q∑
k=1
bkw
(1)
k (x, r). (30)
Используя функциональный базис полиноми-
ального типа [6, 14] и формулы (29), (30), можно
эффективно рассчитывать собственные значения
κ̄i, тензор инерции J̄0 и гидродинамические коэф-
фициенты µ̄i, λ̄i и λ̄0i. Особенность численной ре-
ализации состоит в том, что точность подсчета µ̄i,
λ̄i и λ̄0i ниже точности подсчета κ̄i и J̄0 на две
значащих цифры. Это связано с тем, что собствен-
ные векторы определяются с меньшей точностью,
чем собственные значения. Последнее влияет на
точности суммирования в формулах (29), (30) и
подсчета нормы (27).
В табл. 1 – 4 даны с дифференцированной
точностью численные значения рассматриваемых
гидродинамических коэффициентов. Удержаны
лишь те значащие цифры, которые стабилизиро-
вались при применении нашего вариационного ме-
тода.
3. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ
МОДАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
Совместное использование линейной модальной
системы и формул для гидродинамических силы и
момента позволяет рассматривать и решать зада-
чи динамики совместных колебаний сложных ком-
позитных механических объектов, содержащих ча-
стично заполненный жидкостью конический бак.
Рассмотрим две тестовые задачи, иллюстрирую-
щие такую возможность.
3.1. Задача Сретенского
Рассмотрим механическую систему, которая со-
стоит из платформы массой Mp, допускающей го-
ризонтальное поступательное движение без тре-
ния и связанной с неподвижной стенкой пружи-
ной, имеющей коэффициент Гука k (рис. 2). На
платформе жестко закреплен твердый конический
бак массой Mt, частично заполненный жидкостью
массой Ml. Задача состоит в определении малых
И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха 49
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 44 – 56
Табл. 1. Безразмерные элементы тензора инерции J̄0 и собственные
значения κ̄i (i=1, . . . , 7) для V-образного усеченного конуса
r̄1 J̄0 κ̄1 κ̄2 κ̄3 κ̄4 κ̄5 κ̄6 κ̄7
θ0 = 30◦
0.0 0.517382 1.304395 4.922743 8.136674 11.30987 15.98363 20.0581 28.3418
0.2 0.487763 1.304377 4.922736 8.136621 11.30966 14.50351 18.4672 26.7118
0.4 0.380655 1.301685 4.921797 8.136589 11.30940 14.46874 17.5772 21.4216
0.6 0.276329 1.253965 4.906108 8.135757 11.30925 14.46827 17.6078 20.7919
0.8 0.184284 0.933815 4.739593 8.080329 11.29705 14.46603 17.6178 20.6563
θ0 = 45◦
0.0 0.175536 1.000000 4.483019 7.731563 10.91109 14.07253 17.2317 20.5515
0.2 0.171198 0.999553 4.482460 7.731550 10.91109 14.07253 17.2295 20.4839
0.4 0.159874 0.985702 4.465880 7.731183 10.91108 14.07252 17.2290 20.4407
0.6 0.145044 0.892940 4.371729 7.714013 10.90932 14.07228 17.2276 20.4253
0.8 0.105545 0.584313 3.855765 7.270504 10.68761 13.99165 17.2000 20.2425
θ0 = 60◦
0.0 0.090171 0.677680 3.621716 6.916305 10.11356 13.28055 16.4371 19.6142
0.2 0.089803 0.676232 3.617095 6.913924 10.11334 13.28054 16.4368 19.6025
0.4 0.088835 0.655289 3.557480 6.887986 10.10879 13.27960 16.4359 19.5647
0.6 0.083248 0.566042 3.366544 6.712571 10.01808 13.24914 16.4285 19.4858
0.8 0.060932 0.347496 2.669468 5.580759 8.93110 12.47492 15.9299 19.3281
Табл. 2. Безразмерные гидродинамические коэффициенты µ̄1i (i=1, . . . , 7)
r̄1 µ̄1 µ̄2 µ̄3 µ̄4 µ̄5 µ̄6 µ̄7
θ0 = 30◦
0.0 1.12237 4.9890 8.4272 11.9656 14.388 19.437 25.28
0.2 1.12236 4.9889 8.4190 11.7194 14.305 18.964 24.32
0.4 1.12113 4.9825 8.4113 11.7637 15.035 18.763 23.81
0.6 1.09833 4.8734 8.4074 11.7622 15.095 18.622 22.06
0.8 0.90121 4.4679 7.9889 11.6656 15.061 18.551 21.55
θ0 = 45◦
0.0 0.78540 3.2745 5.9642 8.4984 11.003 13.463 16.43
0.2 0.78523 3.2733 5.9640 8.4987 10.997 13.441 16.42
0.4 0.78098 3.2383 5.9591 8.4985 10.989 13.435 16.39
0.6 0.74680 3.0435 5.9148 8.4824 10.983 13.424 16.26
0.8 0.56645 2.9589 4.8744 7.8552 10.774 13.214 16.02
θ0 = 60◦
0.0 0.49801 1.79753 3.5197 5.2374 6.913 8.568 10.45
0.2 0.49771 1.79581 3.5146 5.2362 6.913 8.595 10.36
0.4 0.49301 1.76770 3.4560 5.2233 6.907 8.642 10.22
0.6 0.46482 1.66715 3.3546 4.9984 6.832 8.571 9.82
0.8 0.33850 1.84128 2.6135 4.2488 6.068 7.696 9.19
50 И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 44 – 56
Табл. 3. Безразмерные гидродинамические коэффициенты λ̄i (i=1, . . . , 7)
r̄1 λ̄1 λ̄2 λ̄3 λ̄4 λ̄5 λ̄6 λ̄7
θ0 = 30◦
0.0 1.07172 0.13840 0.06427 0.03673 0.0270 0.0077 0.0066
0.2 1.07170 0.13841 0.06431 0.03899 0.0271 0.0194 0.0068
0.4 1.06998 0.14024 0.06457 0.03924 0.0272 0.0206 0.0071
0.6 1.03912 0.17076 0.07025 0.04207 0.0289 0.0212 0.0168
0.8 0.81051 0.30826 0.12846 0.06711 0.0429 0.0307 0.0234
θ0 = 45◦
0.0 0.78540 0 0 0 0 0 0
0.2 0.78516 0.00049 −0.00007 0.00001 0.0000 0.0000 0.0000
0.4 0.77761 0.01514 −0.00180 0.00005 0.0000 0.0000 −0.0000
0.6 0.72338 0.09687 −0.00088 −0.00211 −0.0002 0.0001 0.0001
0.8 0.50812 0.24294 0.08866 0.02223 0.0019 −0.0020 −0.0015
θ0 = 60◦
0.0 0.51467 −0.05960 −0.00037 −0.00061 −0.0002 −0.0001 −0.0001
0.2 0.51397 −0.05755 −0.00179 −0.00021 −0.0003 −0.0001 −0.0001
0.4 0.50367 −0.02982 −0.01748 0.00187 0.0000 −0.0003 −0.0003
0.6 0.45432 0.05937 −0.03537 −0.01414 0.0004 0.0016 0.0002
0.8 0.30280 0.16554 0.05833 −0.00124 −0.0195 −0.0169 −0.0087
Табл. 4. Безразмерные гидродинамические коэффициенты λ̄0i (i=1, . . . , 7)
r̄1 λ̄01 λ̄02 λ̄03 λ̄04 λ̄05 λ̄06 λ̄07
θ0 = 30◦
0.0 0.60859 −0.15537 −0.08771 −0.05762 −0.0424 −0.0124 −0.0113
0.2 0.60841 −0.15525 −0.08757 −0.05714 −0.0408 −0.0303 −0.0163
0.4 0.59852 −0.14831 −0.08641 −0.05361 −0.0405 −0.0323 −0.0107
0.6 0.51675 −0.08966 −0.07462 −0.05061 −0.0369 −0.0266 −0.0227
0.8 0.25285 0.04294 −0.01615 −0.02484 −0.0221 −0.0181 −0.0158
θ0 = 45◦
0.0 0.31416 −0.14873 −0.04966 −0.02531 −0.01535 −0.0103 −0.0075
0.2 0.31329 −0.14765 −0.04983 −0.02530 −0.01535 −0.0102 −0.0077
0.4 0.29689 −0.12663 −0.05254 −0.02523 −0.01533 −0.0102 −0.0079
0.6 0.22919 −0.04966 −0.05190 −0.02747 −0.01554 −0.0102 −0.0075
0.8 0.09420 0.02802 −0.00607 −0.01610 −0.01509 −0.0115 −0.0082
θ0 = 60◦
0.0 0.13197 −0.08677 −0.00059 −0.00100 −0.0003 −0.0002 −0.0001
0.2 0.13086 −0.08481 −0.00209 −0.00057 −0.0004 −0.0002 −0.0002
0.4 0.11963 −0.06472 −0.01476 0.00118 −0.0002 −0.0003 −0.0002
0.6 0.08646 −0.01878 −0.02641 −0.00773 0.0002 0.0007 0.0001
0.8 0.03277 0.01268 −0.00168 −0.00790 −0.0077 −0.0051 −0.0024
И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха 51
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 44 – 56
x
O
h
z
F( )t
g0S( )t S
r1
r0
Рис. 2. Подвижная платформа с коническим баком,
частично заполненным жидкостью
колебательных движений платформы относитель-
но ее статического положения равновесия, вызван-
ных воздействием малой горизонтальной выну-
ждающей силы, т. е. требуется решить вторую за-
дачу динамики применительно к данной много-
компонентной механической системе. Поскольку
постановка допускает лишь поступательные дви-
жения с одной степенью свободы (для просто-
ты – вдоль оси Oz), то η1 =η2 =η4 =η5=η6 = 0.
Следовательно, движения платформы описываю-
тся одной функцией η3(t). Предполагая, что η3(t)
известно, найдем линейные вынужденные колеба-
ния жидкости из модальной системы (15b) с нео-
днородной правой частью, зависящей от η̈3:
µi(β̈
s
i + σ2
i β
s
i ) = −λiη̈3, i = 1, 2, . . . , (31)
а также определим приложенную к баку (пла-
тформе) горизонтальную гидродинамическую си-
лу F3 по формуле (19), которая в данном случае
упрощается к виду
F3(t) = −Mlη̈3 −
∞∑
k=1
β̈s
kλk. (32)
Из уравнений (31), (32) следует, что гидродинами-
ческая сила – фактически функция η3, поскольку
модальные функции βs
i зависят лишь от η̈3 и на-
чальных возмущений жидкости.
Выражение для гидродинамической силы дол-
жно теперь быть включено в динамическое урав-
нение платформы
(Mt +Mp)η̈3 = −kη3 + F3 + F, (33)
которое следует из второго закона Ньютона: на
платформу действуют некоторая известная выну-
ждающая сила F(t), cила упругости пружины
−kη3 и гидродинамическая сила F3(t). С учетом
формулы для гидродинамической силы (32) урав-
нение (33) перепишем как
M0(η̈3 + σ2
0η3) +
∞∑
k=1
β̈s
kλk = F. (34)
Здесь M0 =Mt+Mp+Ml – суммарная массы всей
системы; σ2
0 =k/M0 – квадрат собственной ча-
стоты связанных с наличием пружины колеба-
ний платформы с неподвижной (“замороженной”)
жидкостью.
Таким образом, для решения второй задачи ди-
намики, состоящей в определении движений пла-
тформы и жидкости при известной внешней силе
F(t), необходимо решить систему связанных диф-
ференциальных уравнений (34) и (31), где первое
из них отвечает за движение платформы, а систе-
ма модальных уравнений (31) описывает колеба-
ния свободной поверхности жидкости.
Рассмотрим частный случай, когда внешнее во-
здействие (сила) описывается гармоническим за-
коном F=ηaM0σ
2 cos(σt), где ηa – амплитуда; σ –
вынуждающая частота, и найдем установившие-
ся 2π/σ-периодические установившиеся движения
механической системы
βi = Ai cos(σt), η3 = B cos(σt). (35)
Здесь B – амплитуда колебания платформы; Ai –
амплитуды собственных форм.
Подставляя выражения (35) в уравнения (34)
и (31), можно найти B и Ai. При этом безразмер-
ная амплитуда колебания платформы описывае-
тся соотношением
B̄=
B
ηa
=
(
(σ̄2
0−1)−
ρr30
M0
∞∑
i=1
λ̄2
i
µ̄i(σ̄2
i −1)
)−1
, (36)
где σ̄0 =σ0/σ; σ̄i =σi/σ.
Проанализируем зависимость безразмерной ам-
плитуды установившихся колебаний платформы
B̄ от возбуждающей частоты для случая, когда
совпадают собственная парциальная частота пла-
тформы σ0 и первая собственная частота жидко-
сти σ1. Наш численный анализ использует семь
элементов (мод) бесконечной суммы в представле-
нии (36). Как показали расчеты, это обеспечивает
стабилизацию трех значащих цифр B̄ для кониче-
ских баков с углами полураствора θ0 =30◦, 45◦ и
60◦ при r1 =0.4. В тестовых примерах, представ-
ленных на рис. 3, выбрано ρr30/M0 = 0.5. Как ви-
дно из графиков, основной резонансный отклик
колебания платформы наблюдается при σ/σ0<1,
52 И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 44 – 56
B
Σ
Θ0=30
°
0.5 1.0 1.5
-4
-2
0
2
4
а
B
Σ
Θ0=45
°
0.5 1.0 1.5
-4
-2
0
2
4
б
B
Σ
Θ0=60
°
0.5 1.0 1.5
-4
-2
0
2
4
в
Рис. 3. Значение безразмерной амплитуды
установившихся колебаний платформы как функция
σ̄ = σ/σ0 (σ0 =σ1, ρr3
0/M0 =0.5, r1 =0.4):
а – θ0 =30◦, б – θ0 =45◦, в – θ0=60◦
т. е. для возбуждающих частот, меньших, чем ми-
нимальные парциальные частоты σ0 =σ1. Когда
σ=σ0 =σ1, амплитуда установившихся колебаний
платформы становится нулевой, т. е. имеет ме-
сто так называемое динамическое демпфирование.
O
y h
z
S( )t
H
XlC0
Ri
S0
3h
5h
Re
g
y1
z1
O1
x,x1
Рис. 4. Схематическое изображение
водонапорной башни с коническим баком
Как следует из формулы (36), амплитуда коле-
бания платформы также становится нулевой при
σ=σi (i≥2), когда вынуждающая частота совпа-
дает с высшими собственными частотами колеба-
ний жидкости.
3.2. Модель водонапорной башни с коническим
баком
Рассмотрим задачу, возникающую при модели-
ровании колебаний водонапорной башни с кони-
ческим баком, который жестко закрепленным на
ее вершине. Схематически соответствующая ме-
ханическая система изображена на рис. 4. При
моделировании ее колебаний предполагаем, что
масса конического бака Mt значительно меньше,
чем масса жидкости Ml, а башня совершает в
плоскости Oxz поперечные колебательные движе-
ния без кручений и сжатий (вертикальным сжа-
тием башни благодаря массе жидкости пренебре-
гаем). Кроме того, допустим, что колебания ба-
шни достаточно точно описываются в рамках мо-
дели балки Эйлера. Высота башни составляет H ,
внешний радиус равен радиусу дна конической
И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха 53
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 44 – 56
полости Rb=r1, а внутренний (радиус шахты) –
Ri=kir1, где 0<ki<1. Все геометрические пара-
метры считаем постоянными. Колебания водона-
порной башни с жидкостью описываются в не-
подвижной системе координат O1x1y1z1, которая
связана с основанием (дном) бака, совпадающим с
верхней точкой башни, к которой бак жестко при-
креплен в статическом положении равновесия.
3.2.1. Уравнение балки и краевые условия на
нижнем (закрепленном) конце
Колебания балки моделируются уравнением Эй-
лера
mbẄ + (EIW ′′)′′ = 0, (37)
где функция W (x1, t) описывает отклонение балки
в плоскости O1x1z1; E– модуль упругости Юнга;
ρc – плотность материала; mb = πρc(R
2
b−R
2
i ) – ли-
нейная (на единицу длины) масса балки; I – эква-
ториальный момент инерции балки. Он постоянен
для неизменного сечения и равен Ib =π(R4
b−R
4
i )/4.
В уравнении (37) точкой обозначено дифференци-
рование по времени, а штрихом – по линейной ко-
ординате x1. Граничные условия на закрепленном
конце (основании башни) имеют вид
W (−H, t) = 0, W ′(−H, t) = 0. (38)
3.2.2. Краевые условия на верхнем конце
На верхнем конце балки (в точке крепления ба-
ка) с учетом того, что масса самого бака игнориру-
ется, должно выполняться краевое условие, выра-
жающее равенство крутящих моментов и упругих
сил балки и гидродинамических моментов и сил,
связанных с жидкостью. В нашем случае оно име-
ет вид
EIW ′′(0, t)=−FO1
5 , (EIW ′′)′(0, t)=−FO1
3 , (39)
где FO1
3 (t) – горизонтальная компонента гидроди-
намической силы в системе координат O1x1y1z1;
FO1
5 (t) – гидродинамический момент относитель-
но оси O1y1.
В свою очередь, гидродинамические сила FO1
3 (t)
и момент FO1
5 (t) возникают благодаря тому, что
верхний конец балки совершает горизонтальное
смещение u(t) и наклон на малый угол θ(t):
u = W (0, t), θ = −W ′(0, t). (40)
По сути, FO1
3 (t) и FO1
5 (t) являются сложными
функциями от W (0, t), W ′(0, t) и их производных
по времени. Соответствующие выражения для ги-
дродинамических силы и момента можно полу-
чить с помощью линейной модальной теории. При
этом нужно учесть положение неподвижной систе-
мы координатO1x1y1z1 и следующую связь между
u, θ и η3, η5:
η5 = θ, η3 = u− hθ,
Указанные величины присутствуют как известные
входные параметры в исходной краевой задаче,
модальной системе (15b) и выражениях для гидро-
динамических силы и момента (19), (21).
С учетом формул (19), (21) и (23) при A = O1,
гидродинамические силу и момент в условиях (39)
определим как
FO1
3 = Ml(θ̈XlC0
− ü) −
∞∑
k=1
β̈s
kλk, (41)
FO1
5 = MlXlC0
(gθ + ü) − JO1
0 θ̈−
−
∞∑
j=1
(
− λO1
0j β̈
s
j + gλjβ
s
j
)
.
(42)
Здесь XlC0
– вертикальная координата цен-
тра масс жидкости в системе O1x1y1z1;
JO1
0 =Mlh(2XlC0
−h)+J0 ; λO
0i =λ0i =λ
O1
0i +hλi;
модальные функции βs
j – решения уравне-
ний (15b), которые можно переписать в виде
µi(β̈
s
i + σ2
i β
s
i ) = −λi(ü+ gθ) + λO1
0i θ̈. (43)
Таким образом, краевые условия на верхнем
конце имеют вид (39), где правые части зависят от
W (0, t), W ′(0, t) и их производных по времени по-
средством выражений (41) и (42), u(t) и θ(t) опре-
делены равенствами (40), а βs
i – решения модаль-
ной системы (43), которые также зависят лишь от
u(t), θ(t) и начальных возмущений жидкости.
3.2.3. Собственные совместные колебания
Рассмотрим собственные совместные колебания
системы, положив
W (x1, t) = W(x1) cos σt, βs
i (t) = Bi cos σt, (44)
где σ – неизвестная собственная частота, а пере-
менные Bi и функция W(x1) задают амплитуды
собственных форм колебания жидкости и геоме-
трию прогиба балки на соответствующей форме
собственных колебаний.
Подстановка условий (44) в модальные уравне-
ния (43) позволяет явно найти
Bi =
σ2
µi(σ2
i − σ2)
[
λiW(0) +
(
λig
σ2
+ λO1
0i
)
W ′(0)
]
54 И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 44 – 56
и тем самым получить более простые выраже-
ния для краевых условий на свободном конце для
функции W(x1). Задача о совместных собствен-
ных колебаниях сводится к определению нетриви-
альных решений однородной задачи
−σ2mbW + (EIW ′′)′′ = 0, x1 ∈ [−H, 0], (45a)
W(−H) = W ′(−H) = 0, (45b)
EIW ′′(0) = σ2[A1W(0) + A3W
′(0)], (45c)
(EIW ′′)′(0) = −σ2[A2W(0) +A1W
′(0)] (45d)
относительно функции W(x1) и неизвестного па-
раметра σ2. Здесь коэффициенты A1(σ
2), A2(σ
2)
и A3(σ
2) зависят от σ2 и имеют явный вид :
A1 =MlXlC0
+
∞∑
j=1
λj(λ
O1
0j +λjg/σ
2)
µj(σ̄2
j −1)
,
A2 =Ml+
∞∑
j=1
λ2
j
µi(σ̄2
j −1)
,
A3 =
MlXlC0
g
σ2
+JO1
0 +
∞∑
j=1
(λO1
0j +λjg/σ
2)2
µj(σ̄
2
j − 1)
.
(46)
Задача (45a) – (45d) допускает вариационную
формулировку, сводящую ее к определению эк-
стремальных точек квадратичного функционала
F (W) =
0∫
−H
[
σ2mbW − (EIW ′′)2
]
dx1+
+σ2[A2W
2 +A3(W
′)2 + 2A1WW ′]x1=0
(47)
при кинетическом ограничении (45b). Это позво-
ляет применить вариационные методы решения,
представив W(x1) в виде
W =
q∑
k=1
akψk,
где каждая из функций ψk(x1) удовлетворяет
однородным краевым условиям (45b).
Используя необходимое условие экстремума
функционала (47), приходим к определению нулей
детерминанта
D(σ) = det |{eij} − σ2{fij}| = 0, (48)
где элементы матриц вычисляются по формулам
eij =
0∫
−H
EIψ′′
i ψ
′′
j dx1,
fij =
0∫
−H
mbψiψjdx1 +
[
A2(σ
2)ψiψj+
+A3(σ
2)ψ′
iψ
′
j +A1(σ
2)(ψiψ
′
j + ψ′
iψj)
]
x1=0
.
(49)
3.2.4. Численные эксперименты
Определим собственные частоты совместных
колебаний механической системы. Воспользуем-
ся вариационным методом решения задачи (45a) –
(45d), где базисные функции ψk = ψ̂k/Nk имеют
вид
ψ̂k(x1) = (x1 +H)(k+1) ,
Nk =
√√√√√
0∫
−H
ψ̂k
2(x1)dx1 .
Проанализируем случай, когда совпадают пер-
вая собственная частота колебаний жидкости σ11,
связанная с подвижностью свободной поверхно-
сти, и первая собственная частота балки с баком и
жидкостью σ01, свободная поверхность которой не
совершает колебаний (закрыта “абсолютно твер-
дой крышкой”). Последняя парциальная частота
может быть определена в рамках нашего вариаци-
онного метода, где в формулах (46) следует поло-
жить Bi =0.
Приравняем σ01 и σ11, фиксируя r1 =Rb =0.4
и θ0 =π/4. Теперь, чтобы найти подходящие зна-
чения физических и геометрических величин,
обеспечивающие равенство парциальных частот,
можно варьировать соотношение Rb/Hb, в кото-
ром входящие величины выражены через коэффи-
циенты kb>1 и 0<ki<1 (Hb =H=kbr1, Ri =kir1).
Условие σ01 =σ11 выполняется, например, в слу-
чае ki =0.7, kb =28.15, что справедливо для кон-
струкции со следующими весьма реалистичными
геометрическими параметрами: диаметром свобо-
дной поверхности резервуара 2.5 м, высотой за-
полнения жидкостью 1.5 м, диаметром балки 1 м
и высотой 28.15 м. При расчете предполагалось,
что жидкость – вода (ρl =103 кг/м3), а башня
построена из железобетона (ρc =2.4·103 кг/м3,
E=6·106 Н/м2).
График функции D(σ) – уравнение (48) – для
указанных входных геометрических и физических
параметров приведен сплошной линией на рис. 5.
И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха 55
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 2. С. 44 – 56
s
D
(
)
s
3.0 3.52.52.0 4.0
ñëîøèíã
ñîâìåñí. 1
ñîâìåñí. 2
Рис. 5. График детерминанта D(σ)
Здесь совпадающие парциальные частоты обозна-
чены словом “слошинг”. Если не учитывать подви-
жность свободной поверхности жидкости, то зави-
симость D(σ) совпадет с убывающей монотонной
функцией, представленной штриховой линией.
ВЫВОДЫ
С использованием вариационных методов реше-
ния базовых краевых задач, разработанных в пре-
дыдущих работах, построена линейная модальная
теория плескания жидкости в коническом баке.
Проведены необходимые расчеты и затабулиро-
ваны все значения безразмерных гидродинамиче-
ских коэффициентов модальной теории для прак-
тически важных геометрических пропорций кони-
ческих баков.
На основе линейной модальной теории решена
задача Сретенского о совместных поступательных
колебаниях платформы с коническим баком, со-
держащем жидкость, при упругой связи, а также
задача о собственных связанных колебаниях водо-
напорной башни с коническим резервуаром.
БЛАГОДАРНОСТЬ
Авторы благодарят Немецкое исследователь-
ское общество за финансовую поддержку (проект
DFG 436UKR 113/33/00).
1. Докучаев Л. В. К решению краевой задачи
о колебаниях жидкости в конических полостях //
Прикл. мат. мех.– 1964.– 28, вып. 1.– С. 151–154.
2. Луковский И. А. Введение в нелинейную дина-
мику тел с полостями, частично заполненными
жидкостью.– К.: Наук. думка, 1990.– 296 с.
3. Луковський I. О. До побудови розвязку нелiнiйної
задачi про вiльнi коливання рiдини в посудинах
довiльної геометричної форми.– Доп. АН УРСР.
Сер. А: 1969, N 3.– 207–210 с.
4. Луковський I. О. До розв’язування спектральних
задач лiнiйної теорiї коливань рiдини в конiчних
баках // Доп. НАН України. Сер. А.– 2002.– N 5.–
P. 53–58.
5. Луковский И. А., Барняк М. Я., Комаренко А. Н.
Приближенные методы решения задач динамики
ограниченного объема жидкости.– К.: Наук. дум-
ка, 1984.– 212 с.
6. Луковский И. А., Солодун А. В., Тимоха А. Н.
О потенциале Стокса –Жуковского для полости в
виде усеченного кругового конуса // Збiрн. праць
Iн-ту мат. НАН України.– 2008.– 9.– С. 134-143.
7. Луковский И. А., Троценко В. А., Фещенко С. Ф.
Расчет динамических характеристик жидкости в
подвижных полостях.– К.: АН УССР, 1968.– 265 p.
8. Микишев Г. Н., Дорожкин Н. Я. Эксперименталь-
ные исследования свободных колебаний жидкости
в контейнерах // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук,
мех. и машиностр.– 1961.– N 4.– С. 48–53.
9. Фещенко С. Ф., Луковский И. А., Рабинович Б. И.,
Докучаев Л. В. Методы определения присоединен-
ных масс жидкости в подвижных полостях.– К.:
Наук. думка, 1969.– 250 с.
10. Bauer H. F. Sloshing in conical tanks // Acta
Mechanica.– 1982.– 43(3-4).– P. 185–200.
11. Dutta S., Mandal A., Dutta S.C. Soilstructure
interaction in dynamic behaviour of elevated tanks
with alternate frame staging configurations //
J. Sound Vib.– 2004.– 277.– P. 825–853.
12. El Damatty A., Korol R. M., Tang L. M. Analytci-
al and experimental investigation of the dynamic
response of liquid-filled conical tanks // Proc.
World Conf. Earthquake Eng..– New Zeland, 2000.–
Pap. 966, Topic 7.– P. 8.
13. El Damatty A., Sweedan A. M. I. Equivalent
mechanical analog for dynamic analysis of pure coni-
cal tanks // Thin-Wall. Struct.– 2006.– 44.– P. 429–
440.
14. Gavrilyuk I., Hermann M., Lukovsky I., Solodun O.,
Timokha A. Natural sloshing frequencies in rigid
truncated conical tanks // Eng. Comput.– 2008.– 25,
N 6.– P. 518–540.
15. Faltinsen O. M., Timokha A. N. Sloshing.– Cam-
bridge: Cambridge Univ. Press, 2009.– 608 p.
16. Sweedan A. M. I. Equivalent mechanical model for
seismic forces in combined tanks subjected to vertical
earthquake excitation // Thin-Wall. Struct.– 2009.–
47.– P. 942–952.
56 И. А. Луковский, А. В. Солодун, А. Н. Тимоха
|