Нестационарное распространение малых возмущений от тонкого крыла: ближнее и дальнее поле
При определенных ограничениях выведено уравнение распространения малых возмущений трехмерного нестационарного потенциального течения вокруг тонкого крыла. Показано, что оно в линейном приближении совпадает с известным уравнением акустики неоднородной движущейся среды. Проведен частотный анализ харак...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Акустичний вісник |
|---|---|
| Datum: | 2009 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2009
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87285 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Нестационарное распространение малых возмущений от тонкого крыла: ближнее и дальнее поле / П.В. Лукьянов // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 3. — С. 41-55. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87285 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Лукьянов, П.В. 2015-10-16T17:09:01Z 2015-10-16T17:09:01Z 2009 Нестационарное распространение малых возмущений от тонкого крыла: ближнее и дальнее поле / П.В. Лукьянов // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 3. — С. 41-55. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87285 533.63, 534.23 При определенных ограничениях выведено уравнение распространения малых возмущений трехмерного нестационарного потенциального течения вокруг тонкого крыла. Показано, что оно в линейном приближении совпадает с известным уравнением акустики неоднородной движущейся среды. Проведен частотный анализ характерных случаев упрощения полученного уравнения. На основе классического подхода Кирхгофа с помощью обобщенной формулы Грина получено интегральное соотношение, непосредственно связывающее между акустическое ближнее и дальнее поле. Выполнен сравнительный анализ сквозного решения с имеющимися подходами. Приведен пример численного расчета ближнего и дальнего звукового поля, генерируемого при взаимодействии неоднородного потока с лопастью ротора вертолета. За певних обмежень виведено рівняння поширення малих збурень тривимірної нестаціонарної течії навколо тонкого крила. Показано, що воно у лінійному наближенні співпадає з відомим рівнянням акустики неоднорідного середовища. Проведено частотний аналіз характерних випадків спрощення одержаного рівняння. За допомогою класичного підходу Кірхгофа й узагальненої формули Гріна одержано інтегральне співвідношення, яке безпосередньо зв'язує акустичне ближнє й дальнє поле. Виконано порівняльний аналіз наскрізного розв'язку з існуючими підходами. Наведено приклад чисельного розрахунку ближнього й дальнього звукового поля, яке генерується при взаємодії неоднорорідного потоку з лопаттю ротора гелікоптера. Under certain limitations, an equation of small disturbances propagation in a three-dimensional unsteady flow around a thin wing has been derived. In a linear approximation, it has been shown to coincide with the known equation of acoustics of a moving heterogeneous medium. Frequency analysis of various cases of equation simplification has been carried out. Using the the generalized Green's formula and Kirchoff's approach, an integral relation has been obtained for interconnecting of the near and far field. A comparative analysis of the through solution with existing approaches is given. A numerical example is offered for computation of the near and far sound fields generated at interaction of helicopter's rotor blade with a nonuniform flow. Автор выражает огромную благодарность академику В. Т. Гринченко за тщательный анализ данной работы, в результате которого был учтен ряд замечаний по формулировке задачи. В итоге работа приобрела более четкое и ясное для широкого круга читателей изложение. ru Інститут гідромеханіки НАН України Акустичний вісник Нестационарное распространение малых возмущений от тонкого крыла: ближнее и дальнее поле Unsteady propagation of small disturbances from a thin wing: The near and far field Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Нестационарное распространение малых возмущений от тонкого крыла: ближнее и дальнее поле |
| spellingShingle |
Нестационарное распространение малых возмущений от тонкого крыла: ближнее и дальнее поле Лукьянов, П.В. |
| title_short |
Нестационарное распространение малых возмущений от тонкого крыла: ближнее и дальнее поле |
| title_full |
Нестационарное распространение малых возмущений от тонкого крыла: ближнее и дальнее поле |
| title_fullStr |
Нестационарное распространение малых возмущений от тонкого крыла: ближнее и дальнее поле |
| title_full_unstemmed |
Нестационарное распространение малых возмущений от тонкого крыла: ближнее и дальнее поле |
| title_sort |
нестационарное распространение малых возмущений от тонкого крыла: ближнее и дальнее поле |
| author |
Лукьянов, П.В. |
| author_facet |
Лукьянов, П.В. |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| container_title |
Акустичний вісник |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Unsteady propagation of small disturbances from a thin wing: The near and far field |
| description |
При определенных ограничениях выведено уравнение распространения малых возмущений трехмерного нестационарного потенциального течения вокруг тонкого крыла. Показано, что оно в линейном приближении совпадает с известным уравнением акустики неоднородной движущейся среды. Проведен частотный анализ характерных случаев упрощения полученного уравнения. На основе классического подхода Кирхгофа с помощью обобщенной формулы Грина получено интегральное соотношение, непосредственно связывающее между акустическое ближнее и дальнее поле. Выполнен сравнительный анализ сквозного решения с имеющимися подходами. Приведен пример численного расчета ближнего и дальнего звукового поля, генерируемого при взаимодействии неоднородного потока с лопастью ротора вертолета.
За певних обмежень виведено рівняння поширення малих збурень тривимірної нестаціонарної течії навколо тонкого крила. Показано, що воно у лінійному наближенні співпадає з відомим рівнянням акустики неоднорідного середовища. Проведено частотний аналіз характерних випадків спрощення одержаного рівняння. За допомогою класичного підходу Кірхгофа й узагальненої формули Гріна одержано інтегральне співвідношення, яке безпосередньо зв'язує акустичне ближнє й дальнє поле. Виконано порівняльний аналіз наскрізного розв'язку з існуючими підходами. Наведено приклад чисельного розрахунку ближнього й дальнього звукового поля, яке генерується при взаємодії неоднорорідного потоку з лопаттю ротора гелікоптера.
Under certain limitations, an equation of small disturbances propagation in a three-dimensional unsteady flow around a thin wing has been derived. In a linear approximation, it has been shown to coincide with the known equation of acoustics of a moving heterogeneous medium. Frequency analysis of various cases of equation simplification has been carried out. Using the the generalized Green's formula and Kirchoff's approach, an integral relation has been obtained for interconnecting of the near and far field. A comparative analysis of the through solution with existing approaches is given. A numerical example is offered for computation of the near and far sound fields generated at interaction of helicopter's rotor blade with a nonuniform flow.
|
| issn |
1028-7507 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87285 |
| citation_txt |
Нестационарное распространение малых возмущений от тонкого крыла: ближнее и дальнее поле / П.В. Лукьянов // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 3. — С. 41-55. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT lukʹânovpv nestacionarnoerasprostraneniemalyhvozmuŝeniiottonkogokrylabližneeidalʹneepole AT lukʹânovpv unsteadypropagationofsmalldisturbancesfromathinwingthenearandfarfield |
| first_indexed |
2025-11-25T21:12:29Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:12:29Z |
| _version_ |
1850553903105441792 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 41 – 55
УДК 533.63, 534.23
НЕСТАЦИОНАРНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ
МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ОТ ТОНКОГО КРЫЛА:
БЛИЖНЕЕ И ДАЛЬНЕЕ ПОЛЕ
П. В. Л У К ЬЯ Н О В
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Получено 11.01.2008 � Пересмотрено 02.12.2009
При определенных ограничениях выведено уравнение распространения малых возмущений трехмерного нестацио-
нарного потенциального течения вокруг тонкого крыла. Показано, что оно в линейном приближении совпадает с
известным уравнением акустики неоднородной движущейся среды. Проведен частотный анализ характерных случа-
ев упрощения полученного уравнения. На основе классического подхода Кирхгофа с помощью обобщенной формулы
Грина получено интегральное соотношение, непосредственно связывающее между акустическое ближнее и дальнее
поле. Выполнен сравнительный анализ сквозного решения с имеющимися подходами. Приведен пример численного
расчета ближнего и дальнего звукового поля, генерируемого при взаимодействии неоднородного потока с лопастью
ротора вертолета.
При певних обмеженнях виведено рiвняння поширення малих збурень тривимiрної нестацiонарної течiї навколо
тонкого крила. Показано, що воно у лiнiйному наближеннi спiвпадає з вiдомим рiвнянням акустики неоднорiдно-
го середовища. Проведено частотний аналiз характерних випадкiв спрощення одержаного рiвняння. За допомогою
класичного пiдходу Кiрхгофа й узагальненої формули Грiна одержано iнтегральне спiввiдношення, яке безпосере-
дньо зв’язує акустичне ближнє й дальнє поле. Виконано порiвняльний аналiз наскрiзного розв’язку з iснуючими
пiдходами. Наведено приклад чисельного розрахунку ближнього й дальнього звукового поля, яке генерується при
взаємодiї неоднорорiдного потоку з лопаттю ротора вертольота.
Under certain limitations, an equation of small disturbances propagation in a three-dimensional unsteady flow around
a thin wing has been derived. In a linear approximation, it has been shown to coincide with the known equation of
acoustics of a moving heterogeneous medium. Frequency analysis of various cases of equation simplification has been
carried out. Using the the generalized Green’s formula and Kirchoff’s approach, an integral relation has been obtained for
interconnecting of the near and far field. A comparative analysis of the through solution with existing approaches is given.
A numerical example is offered for computation of the near and far sound fields generated at interaction of helicopter’s
rotor blade with a nonuniform flow.
ВВЕДЕНИЕ
Необходимость написания данной работы возни-
кла в результате знакомства автора с рядом пу-
бликаций, посвященных излучению звука враща-
ющейся лопастью вертолета на различных режи-
мах ее обтекания. Как оказалось, единой сквозной
трактовки, позволяющей связать задачи аэроди-
намики и акустики в рамках оправданных пред-
положений, до сих пор нет. Это обусловлено тем,
что исследователи далеко не всегда интересова-
лись акустическим аспектом явления. Основной
акцент делался на изучении ударных волн, возни-
кающих на поверхности лопасти вертолета (или
крыла самолета), приводящих при эксплуатации
летательных аппаратов к негативным последстви-
ям.
Важные свойства ударных волн можно описать
уже в рамках плоской (двумерной) нестационар-
ной постановки задачи [10]. Трансзвуковое пло-
ское нестационарное течение, а также трехмер-
ное (при определенных ограничениях на торцах)
стационарное трансзвуковое течение рассмотрено
в работе [7]. На сегодняшний день не получе-
но общее уравнение, описывающее нестационарное
трехмерное распространение малых возмущений
при обтекании тонкого тела для различных ско-
ростных режимов. Тем не менее, результаты ра-
счета в стационарной трехмерной постановке для
лопасти конечного размаха [14] показали, что ин-
тенсивность ударной волны меняется в зависимо-
сти от ее геометрии и расстояния до конца. Таким
образом, необходимость решения задачи в тре-
хмерной нестационарной поставке очевидна.
Существует еще один момент, который необхо-
димо упомянуть: наличие на концах лопасти зави-
хренности. Она появляется в результате взаимо-
действия набегающего на крыло потока при кон-
цевом обтекании и воздуха, частично выталкива-
емого из под крыла. При малых скоростях набе-
гающего потока такое индуктивное течение необ-
ходимо учитывать, поскольку оно приводит к по-
явлению значительного индуктивного сопротивле-
ния. Но при больших скоростях (порядка одного
Маха) индуктивное сопротивление резко падает и
не играет большой роли. Остается лишь конце-
вой эффект завихренности при вращении, кото-
рый учитывают в более сложной постановке за-
c© П. В. Лукьянов, 2009 41
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 41 – 55
z
x
y U
0
Fu
Fl
Рис. 1. Схема обтекания крыла потоком
дачи, когда рассматривается взаимодействие ви-
хря с наступающей лопастью. Кроме того, совре-
менные конструкции лопастей роторов создаются
с тем расчетом, чтобы погасить поле завихренно-
сти на их концах. Поэтому в данной работе конце-
вой эффект не изучается, а рассматривается вли-
яние изменения геометрии крыла и неоднородно-
сти потока на основные источники шума враще-
ния – монопольный и дипольный. В свою очередь,
шум вращения генерируется непосредственно на
поверхности лопасти, а не на ее краях. Краевой же
шум создается квадрупольными источниками. Он
существенно ниже по уровню и поэтому не пред-
ставляет большого интереса.
В работах, посвященных изучению дальнего по-
ля от движущиеся лопасти, часто используются
линеаризованные модели течений, не учитываю-
щие влияние важных нелинейных эффектов. Не-
которые авторы [3, 4] пытались связать ближнее
и дальнее поле путем подстановки вычисленных
в ближнем поле значений потенциала и его прои-
зводных, в интегральные соотношения для даль-
него поля в качестве входных условий на границе.
Это наиболее адекватный из имеющихся подходов
для расчета дальнего поля. Его применение, одна-
ко, затрудняется отсутствием универсальных оце-
нок расстояния от поверхности излучения, где уже
можно пользоваться линеаризованным уравнения-
ми для расчета дальнего поля. Такая оценка есть
лишь для плоского стационарного течения [11] и
составляет порядка двух хорд сечения лопасти.
В данной работе в трехмерной нестационарной
постановке (при указанном ограничении на тор-
цах) выведено уравнение распространения малых
возмущений, исходящих от тонкого крыла при об-
текании его однородным набегающим потоком, ко-
торое с точностью до линейного приближения сов-
падает с основным уравнением линейной аэроаку-
стики. Таким образом, удалось показать непосред-
ственную связь аэродинамической теории малых
возмущений и аэроакустики. На основе классиче-
ского подхода Кирхгофа, впервые примененного
Морганом [13] для изучения звука от движущейся
поверхности, с использованием обобщенной фор-
мулы Грина [2] выведено интегральное соотноше-
ние для дальнего поля.
1. УРАВНЕНЕИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ МА-
ЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Из сказанного следует, что при изучении шу-
ма вращения при достаточно больших скоростях
можно пользоваться потенциальной моделью те-
чения для протяженного крыла конечного разма-
ха. При этом приближенно будем полагать края
лопасти таковыми, что поток ее плавно обтекает.
Пусть трехмерное крыло конечного размаха ра-
сположено так, как показано на рис. 1, Oxyz – пря-
моугольная декартова система координат. Хорда
поперечного сечения крыла обозначена как c, про-
тяженность – как R. Крыло считается тонким, по-
этому его толщина является малым параметром
задачи и будет введена позже. Ограничение на
трехмерность заключается в том, что концевые
эффекты, а также тонкая вихревая пелена, сходя-
щая с крыла, в рассмотрение не принимаются (под
концевыми эффектами подразумеваем выполне-
ние условия проскальзывания потока при z=0 и
R). В таком приближении боковые торцы лопасти
фактически не возмущают течение. На самом же
деле вблизи них присутствует определенная зави-
хренность, которая не принимается во внимание в
рамках применяемой здесь потенциальной теории.
Если крыло симметрично,то задачу можно рас-
сматривать лишь для верхнего полупространства.
Для несимметричного крыла численный расчет
поля необходимо выполнять для верхнего (y>0) и
нижнего (y<0) полупространств с учетом конкре-
тной формы его нижней и верхней поверхностей.
Уравнение, описывающее баротропное течение
идеальной сжимаемой жидкости (газа), имеет
вид [8]
a2div v − v(v · ∇) − 2v
∂v
∂t
−
∂2φ
∂t2
= 0,
42 П. В. Лукьянов
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 41 – 55
или с учетом потенциальности течения (v=∇φ):
a2div (∇φ)−∇φ(∇φ ·∇)−2∇φ
∂∇φ
∂t
−
∂2φ
∂t2
= 0. (1)
Входящая в него скорость звука a связана с потен-
циалом течения уравнением Бернулли:
∂φ
∂t
+
∇2φ
2
+
a2
γ − 1
=
U2
2
+
a2
∞
γ − 1
, (2)
где U – скорость набегающего потока; γ – показа-
тель адиабаты (для воздуха γ=1.4).
В дальнейшем производные по времени и ко-
ординатах будем обозначать индексами снизу:
∂2φ/∂x2 = φxx и т. п. Тогда уравнения (1), (2) мож-
но переписать в эквивалентной форме [1]:
(a2 − φ2
x)φxx − 2φxφxt + (a2 − φ2
y)φyy+
+(a2 − φ2
z)φzz − 2φxφyφxy − 2φyφzφyz−
−2φxφzφxz − 2φyφyt − 2φzφzt − φtt = 0,
(3)
φt +
1
2
(
φ2
x + φ2
y + φ2
z
)
+
a2
γ − 1
=
=
U2
2
+
a2
∞
γ − 1
.
(4)
В системе уравнений (3), (4) неизвестными являю-
тся потенциал φ и скорость звука a, которая изме-
няется вместе с производными потенциала φ. На
верхней и нижней поверхностях крыла (см. рис. 1)
задается условие непротекания:
Ft + v∇F = 0. (5)
Здесь индексы “u” (верхняя) и “l” (нижняя) у
функции F опущены, чтобы избежать путаницы
с дифференцированием, что не будет играть ни-
какой роли при оценке порядков отдельных сла-
гаемых уравнения, которое будет получено ниже.
Для анализа выражения граничного условия это
также не существенно, поскольку максимальные
отклонения от средней линии как верхней, так и
нижней поверхностей крыла – величины одного
порядка малости. Таким образом, о различии не-
обходимо помнить лишь во время расчета.
Функцию F можно представить в виде
Fu,l = Fu,l(x, z, t) = y − hu,l(x, z, t) ≡ 0. (6)
В выражении (6) h(x, z, t)=δg(ξ, ζ, τ) – функция,
задающая форму поверхности крыла; δ – отно-
шение толщины крыла к длине хорды. Величина
F может быть нестационарной за счет движения
крыла.
Кроме граничного условия (6), приближенно
выполняется условие Кутта – Жуковского – отсут-
ствие перепада давления на задней кромке [7].
Область существования звукового поля имеет две
границы – поверхность крыла и поверхность не-
которой сферы достаточно большого радиуса. На
первой границе условие уже задано, а на второй
полагается, что малые возмущения давления и
скорости затухают на бесконечности за счет мало-
го затухания в среде. Аналитическое выполнение
условий на бесконечности будет сделано при выво-
де выражения для потенциала давления в дальнем
поле (раздел 1.2).
Поскольку рассматривается общая нестацио-
нарная постановка задачи об обтекании тонкого
крыла, то необходимы начальные условия. Коли-
чество их должно соответствовать порядку диф-
ференциального уравнения по переменной t. В яв-
ном виде эти условия будут поставлены в разде-
ле 1.3.
1.1. Обезразмеривание расчетной системы
уравнений
Введем безразмерные координаты:
ξ =
x
c
, η = λy, ζ =
z
R
, τ = kt. (7)
Потенциал течения с учетом характера набега-
ющего потока представим в виде
φ = Uc
(
x
c
+
φ′
c
)
= U(x + φ′), (8)
где φ′ – малые возмущения:
φ′
c
= εf(ξ, η, ζ, τ); (9)
f(ξ, η, ζ, τ) – безразмерная форма малых возмуще-
ний потенциала. Величины ε, λ и k подлежат опре-
делению в дальнейшем.
С учетом соотношений (7) – (9) производные по-
тенциала φ, входящие в уравнения (3), (4), запи-
шутся как
φx = U(1 + εfξ), φy = Uλεcfη,
φz = U
c
R
εfζ , φt = Uεkcfτ ,
(10a)
П. В. Лукьянов 43
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 41 – 55
φxx =
U
c
εfξξ , φxy = Uλεfξη ,
φyy = Uλ2εcfηη , φxz = U
ε
R
fξζ ,
φyz = U
c
R
λεfηζ , φxt = Ukεfξτ ,
φty = Uλεkcfητ , φzt = U
c
R
εkfζτ ,
φtt = Uk2εcfττ .
(10b)
Подставив выражения (10a),(10b) в уравне-
ние (3), получим
(a2 − U2(1 + εfξ)
2)U
ε
c
fξξ−
−2U2εk(1 + εfξ)fξτ+
+(a2 − U2(c
εfζ
R
)2)U
cε
R2
fζζ−
−2U2(λε)2kc2fηfητ−
−2U3(
λ
R
)2(εc)3fηfζfηζ−
−2U3 (cε2)
R2
(1 + εfξ)fζfξζ+
+(a2 − U2(cλεfη)2)Ucλ2εfηη−
−2U3(1 + εfξ)(cλε)2fηfξη−
−2U2 (cε2)
R2
kfζfζτ − Uεk2cfττ = 0.
(11)
Запишем уравнение (4) в более удобной форме,
выразив a2:
a2
U2
=
1
M2
1
+
+
[
1
2
−
φt
U2
−
φ2
x + φ2
y + φ2
z
2U2
]
(γ − 1),
(12)
или
a2
U2
=
1
M2
1
− ε
[
kc
U
fτ + fξ+
+
1
2
ε
(
f2
ξ + (λc)2f2
η +
(
c
R
)2
f2
ζ
)]
(γ − 1),
(13)
где M1 =M∞=U/a∞ – число Маха набегающего
потока.
Слагаемые с множителем a2 в уравнении (11)
перенесем вправо, подставим соотношение (13)
в (11) и разделим полученное выражение на U3ε:
(ck)2
U2
fττ + (1 + εfξ)
2 fξξ
c
+ ε2λ4c3f2
η fηη+
+
ε2
R4
c3f2
ζ fζζ + 2λ2εc(1 + εfξ)fηfξη+
+2
(λε)2
R2
c3fηfζfηζ + 2
ε
R2
c(1 + εfξ)fζfξζ+
+2
k
U
(1 + εfξ)fξτ + 2
λ2εk
U
c2fηfητ+
+2
εk
R2U
c2fζfζτ =
{
1
M2
1
− ε
[
kc
U
fτ + fξ+
+
ε
2
(
f2
ξ + λ2c2f2
η +
c2
R2
f2
ζ
)]
(γ − 1)
}
×
×
[
fξξ
c
+ fηηλ2c +
fζζ
R2
c
]
.
(14)
Малость возмущений скорости
v′x
U
= εfξ,
v′y
U
= ελcfη ,
v′z
U
=
εc
R
fζ (15)
подразумевает, что
ε � 1, ελc � 1,
cε
R
� 1. (16)
Исходя из оценок (16), в уравнении (14) при fξfξξ
оставим слагаемые порядка единицы (т. е. ε0) и ε,
поскольку в режиме трансзвукового обтекания по-
следние необходимо учитывать:
(
kc
U
)2
fττ +
[
1 −
1
M2
1
+ (1 + γ)εfξ
]
fξξ+
+2
kc
U
fξτ −
(λc)2
M2
1
fηη −
( c
R
)2 1
M2
1
fζζ = 0.
(17)
Полученное соотношение является уравнением
распространения звука при обтекании тонкого те-
ла с учетом нелинейного члена. С точностью до
линейных слагаемых оно совпадет с аэроакустиче-
ским приближением [1, 2]. Нелинейный член игра-
ет важную роль в трансзвуковой области скоро-
стей U и за счет него формируется слабая ударная
волна. Пренебречь им нельзя [9], поскольку транс-
звуковое течение возникает при различных усло-
виях в разных зонах над крылом, а слабая ударная
волна в пределе переходит в звуковую волну [15],
существенно повышающую уровень акустического
поля.
44 П. В. Лукьянов
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 41 – 55
1.2. Коэффициент давления
Одной из наиболее важных характеристик бли-
жнего поля является коэффициент давления Cp,
описывающий изменение давления над (под) ло-
пастью:
Cp = 2
p− p∞
ρ∞U2
. (18)
Исходя из определения скорости звука
a2
∞=γp∞/ρ∞ и справедливых для адиабати-
ческого случая соотношений
ρ
ρ∞
=
(
a2
a2
∞
)1/(γ−1)
,
p
p∞
=
(
ρ
ρ∞
)γ
=
(
a2
a2
∞
)γ/(γ−1)
,
получаем
p
p∞
− 1 =
p − p∞
p∞
=
(
a2
a2
∞
)γ/(γ−1)
− 1. (19)
Подставив соотношение (19) в формулу (18), име-
ем
Cp = 2
a2
∞
γU2
[(
a2
a2
∞
)γ/(γ−1)
−1
]
. (20)
В выражении (20) неизвестная величина a. Из
уравнения (4) с учетом уравнения (11) после эле-
ментарных преобразований получим
a2
a2
∞
= 1 −
(γ − 1)M2
1 ε
2
[
2kc
U
fτ + 2fξ+
+ε
(
f2
ξ + (λc)2f2
η +
(
c
R
)2
f2
ζ
)]
,
(21)
Cp =
2
γM2
∞
(
{
1 −
(γ − 1)M2
1 ε
2
×
×
[
2kc
U
fτ + 2fξ + ε
(
f2
ξ +
+(λc)2f2
η +
(
c
R
)2
f2
ζ
)]}γ/(γ−1)
− 1
)
.
(22)
Малость возмущений подразумевает малые
отклонения как компонент скорости (15), так и во-
змущенного давления. Следовательно, на основа-
нии выражения (22) имеем
εM2
∞ � 1,
εM2
∞kc
U
� 1,
(ελcM∞)2 � 1,
(
εM∞c
R
)2
� 1.
(23)
Полученные в этом разделе соотношения будут
учитываться при анализе различных случаев об-
текания крыла.
1.3. Граничное и начальные условия
Граничным условием является условие непроте-
кания (5). На основании соотношений (5) и (6) по-
лучим
dy
dt
= c
dh
dt
, (24)
где смысл полной производной по времени ра-
скрывается как
d( )
dt
=
∂( )
∂t
+ V · ∇( ).
Если дополнительно учесть, что
dy
dt
= φy,
то выражение (24) запишется в виде
c(ht + vxhx + vzhz) = φy. (25)
Поскольку
ht = δkgτ , hx =
δ
c
gξ , hz =
δ
R
gζ ,
vx = φx = U(1 + εfξ), vz = U
εc
R
fζ ,
φy = Ucελfη .
(26)
то формула (25) преобразуется в
cδ[kgτ +U(1+εfξ)gξ]+U
cε
R
fζ
cδ
R
gζ = ελcUfη . (27)
Учитывая, что 1+ε/c≈1, а также пренебрегая по-
следним слагаемым в левой части равенства (27)
ввиду его малости, получаем
δ
[
kc
U
gτ + gξ
]
= ελcfη, η = 0, 0 < ξ < 1. (28)
Поскольку в полном уравнении присутствует
вторая производная по времени t, необходимо за-
дать два начальных условия:
φ′ = 0, φ′
t = 0, при t = 0. (29)
1.4. Анализ уравнения (17)
Для того, чтобы граничная задача имела
смысл [9], уравнение (17) перепишем в форме, в ко-
торой всегда будет присутствовать слагаемое fηη.
П. В. Лукьянов 45
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 41 – 55
Для этого разделим уравнение на коэффициент
λ2/M2
1 при fηη :
fηη =
(M1k)2
(λU)2
fττ +
M2
1
(λc)2
(
1 −
1
M2
1
)
fξξ+
+
M2
1
(λc)2
(1 + γ)εfξfξξ + 2
kc
U
M2
1
(cλ)2
fξτ−
−
1
(λR)2
fζζ = 0.
(30)
Граничное условие (28) позволяет выделить раз-
личные специальные случаи связи параметров λ,
ε и δ.
До сих пор не уточнялся физический смысл
параметра k в безразмерном времени τ =kt. По-
скольку предполагается, что приведенная выше
теория при определенных допущениях будет
использована для описания излучения звука вра-
щающимся винтом, в качестве масштаба k выбе-
рем частоту вращения винта Ω: τ = Ωt. Теперь
условие (28) перепишется в виде
δ
[
Ωc
U
gτ + gξ
]
= ελcfη , η = 0, 0 < ξ < 1. (31)
В зависимости от частоты вращения Ω выделим
следующие случаи:
1)
cΩ
U
� 1, λ =
δ
cε
, gξ = fη ;
2)
cΩ
U
∼ O(1), λ =
δ
cε
,
Ωc
U
gτ + gξ = fη ;
3)
cΩ
U
� 1, λ =
δΩ
Uε
, gτ = fη .
Случай 1 соответствует очень низким частотам,
не характерным для вращения винта. Случай 2 со-
ответствует реальным частотам вращения. Обра-
тим внимание на величину U . Предполагается, что
в данный фиксированный момент лопасть омета-
ется с суммарной скоростью U , содержащей в себе
как линейную скорость движения вертолета, так и
некоторую осредненную скорость вращения винта,
условно разделенного на несколько частей вдоль
радиуса. Для каждой такой части лопасти эта ско-
рость будет своя, а полученное уравнение справе-
дливо для каждого из участков, но при разных
суммарных скоростях. Случай 3 для вращающе-
гося винта практически не реализуем, поскольку
с ростом Ω автоматически растет и U .
Исходя из этих рассуждений, перейдем к более
детальному анализу случая 2. Учтя, что λ=δ/εc,
из уравнения (29) получим
fηη =
(
cΩ
U
)
2M1
ε2
δ2
fττ +M2
1
ε2
δ2
(
1−
1
M2
1
)
fξξ+
+M2
1
ε2
δ2
(1 + γ)εfξfξξ +2
cΩ
U
M2
1
ε2
δ2
fξτ−
−
( c
R
)2 ε2
δ2
fζζ .
(32)
Условия малости возмущений (16) – (23) в дан-
ном случае запишутся как
ε � 1, δ � 1, εM2
∞ � 1,
εM2
∞ � 1, δM∞ � 1.
(33)
В уравнении (32) имеем пять параметров:
c1 =
M2
1
δ2
ε3(1 + γ), c2 =
ε2
δ2
(M2
1 − 1),
c3 = 2
Ωc
U
M2
1
ε2
δ2
, c4 = M2
1
(
cΩ
U
)2
ε2
δ2
,
c5 =
( c
R
)2 ε2
δ2
,
(34)
анализ поведения которых позволяет детализиро-
вать возможные упрощения основного уравнения
для случая 2.
Случай 2а
Пусть c1 =1, c2 =O(1), c3 =O(1). Поскольку име-
ются три неизвестных параметра (ε, δ, Ωc/U), то
этих трех условий достаточно.
Если c1 =1, то
ε =
(
δ
M1
)2/3
(1 + γ)−1/3,
c2 =
M2
1 − 1
M4/3 δ2/3
(1 + γ)−2/3 = O(1),
c3 = 2
Ωc
U
M2/3
δ2/3
(1 + γ)−2/3 = O(1).
(35)
Из выражения для c2 имеем
M2
1 − 1 = O
(
(
(1 + γ)δM2
1
)2/3
)
, (36)
откуда M1−1 = O(δ2/3), т. е. M1∼1. В этом случае
из выражения для c3 получаем cΩ/U =O((δ)2/3).
Таким образом, реализуется случай трансзвуковго
течения.
46 П. В. Лукьянов
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 41 – 55
Учитывая выражение для ε, получаем
c4 ∼ δ2/3 � 1, c5 =
c2
R2
1
((γ + 1)δM2
1 )2/3
. (37)
Таким образом, коэффициентом c4 можно пре-
небречь, а c5 необходимо оставить, так как
R2 δ2/3∼1.
Окончательно имеем уравнение (32) для транс-
звукового течения в виде
2
Ωc
U
M
2/3
1
(δ(1 + γ))2/3
fξτ +
+(
M2
1 − 1
M
4/3
1 (δ(1 + γ))
2
3
+ fξ)fξξ−
−fηη −
c2
R2
1
((γ + 1)δM2
1 )2/3
fζζ = 0.
(38)
Случай 2б
Пусть c1�1, |c2|=1, c3 =O(1). Ограничение
|c2|=1 приводит к связи ε=δ|1−M2
1 |
−1/2. Тогда
условия (16) – (23) упрощаются:
δ � 1, δM∞ � 1. (39)
Так как c3 ∼ O(1), то
cΩ
U
= O(|1 − M−2
1 |),
а из условия c1�1 имеем
|1− M2
1 | � δ2/3. (40)
Соотношение (40) фактически говорит о том, что
обтекание крыла происходит в до- или сверхзву-
ковом режиме. Для оставшихся коэффициентов
справедливы выражения
c3 =
2Ω
U
c
M2
1
|1 − M2
1 |
,
c4 =
(
cΩ
U
)2
M2
1
|1 − M2
1 |
,
c5 =
( c
R
)2 1
|1 − M2
1 |
.
(41)
Окончательно уравнение (32) для данного слу-
чая примет вид
(
cΩ
U
)2
fττ +
2Ω
U
cfξτ+
+|1−M−2
1 |(fξξ−fηη )−
( c
R
)2 1
M2
1
fζζ =0.
(42)
Случай 2в
Пусть c1�1, |c2|�1, c3 =1. Тогда условия (16) –
(23) сведутся к
δ � 1, δM∞ � 1. (43)
Из ограничений, наложенных на c1 и c2, имеем
Ωc
U
� δ2/3,
Ωc
U
�
1
2
|1 − M−2
1 |. (44)
Данный случай соответствует доминированию
временных слагаемых.
Теперь уравнение (32) примет следующий вид:
cΩ
U
fττ + 2(fξτ − fηη) −
U
Ω
c
(RM1)2
fζζ = 0. (45)
Дальнейшее упрощение уравнения (32) ничего
нового не дает.
1.5. Пример численного расчета ближнего поля
для случая трансзвукового течения
Как показал теоретический анализ общего урав-
нения (17), на практике могут реализоваться лишь
до- и сверхзвуковое течения, а также трансзвуко-
вое или сильно осциллирующее течения (что со-
ответствует уравнениям (42), (38), (45)). Наибо-
лее интересный случай с точки зрения звукообра-
зования ротором вертолета – трансзвуковой. При
трансзвуковых скоростях обтекание несущего вин-
та ротора вертолета создает интенсивный шум да-
же в отсутствие подъемной силы. Заметим, что
если в поле течения присутствуют вихри, уровень
шума возрастает еще больше, но такой режим те-
чения выходит за рамки потенциальной теории (и,
следовательно, данной работы).
Рассмотрим случай трехмерного нестационар-
ного течения вокруг ротора. В качестве метода
расчета граничной задачи (38), (28) применим об-
щий подход, предложенный в работе [12]. Напом-
ним, что, поскольку концевые эффекты в данной
постановке игнорируются (предполагается, что на
концах профиль хорошо закруглен и поток на тор-
цах проскальзывает), то фактически рассматрива-
ется генерация малых возмущений непосредствен-
но поверхностью крыла (без краев). Пусть сече-
ние винта представляет собой симметричный про-
филь, форма которого описывается зависимостью
g(x)=x(1−x). В расчетах полагалось δ=0.06, при
этом длина хорды была c=0.3 м, длина лопасти –
R=3 м. Следовательно, отношение R/c составля-
ло 10.
На рис. 2 показано распределение коэффици-
ента давления Cp в сечении лопасти винта для
П. В. Лукьянов 47
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 41 – 55
Рис. 2. Распределение коэффициента давления
(M1 =0.7, Ω=3000 об/мин)
M1 =0.7, Ω=3000 об/мин. Вдоль оси абсцисс отло-
жена безразмерная координата ξ. Как видно из
представленных расчетных данных, на поверхно-
сти лопасти присутствует ряд чередующихся пи-
ков, что указывает на достаточно сложный ха-
рактер ближнего поля. Качественно эта картина
очень похожа на результаты вычислений для пло-
ского нестационарного течения [4]. Отличия, на-
блюдаемые в форме пиков, объясняется тем, что
авторы статьи [4] решали задачу при наличии в по-
ле течения вихрей, способствующих дополнитель-
ному звукообразованию.
2. ДАЛЬНЕЕ ПОЛЕ
С современными подходами к исследованию
дальнего звукового поля движущегося крыла
можно ознакомиться в работах [5, 6, 13, 16, 17, 23].
Цель большинства из них заключается в получе-
нии аналога формулы Кирхгофа для нестационар-
ной поверхности. При этом внимание акцентиру-
ется на описании дальнего поля от движущего-
ся источника (поверхности) при условии, что дав-
ление (потенциал) и компоненты скорости (прои-
зводные потенциала) известны. Как указано в [2],
именно проблема нахождения этих величин и со-
ставляет основное препятствие на пути непосред-
ственного использования акустической аналогии
Лайтхилла [5] или уравнения Фоукс-Уильямса –
Хоукингса [6].
Разрешить эту трудность пытались по-разному.
Так, в работе [16] использована теория обобщен-
ных функций с целью представления потенциала
течения в виде обобщенной финитной функции,
определяемой как
Φ =
Φ(x, t), f ≥ 0,
0, f < 0.
(46)
Здесь f – уравнение границы излучающей поверх-
ности. При f <0 потенциал фактически доопре-
деляется вовнутрь самой поверхности. Как ви-
дно из определения, обобщенный потенциал вво-
дится в виде разрывной функции. Заметим, одна-
ко, что получаемые при этом дополнительные
члены в правой части неоднородного волнового
уравнения [16] не описывают какую-либо новую
физическую закономерность течения, а являются
результатом обобщенного дифференцирования в
пространстве линейных функционалов.
Дальнее поле в [16] определяется на основе чи-
сленного решения интегрального уравнения, запи-
санного для потенциала давления.
Существует другой общий подход к описанию
звука аэродинамического происхождения. Суть
его состоит в том, что в течении предполагается
присутствие трех типов источников: силовых, мас-
совых и источников энтропии. В статье [17] пред-
принята незавершенная попытка разделить их в
связанной нелинейной системе уравнений. Немно-
го позже в работе [18] отмечалось, что массовые
источники в классической нерелятивистской ме-
ханике отсутствуют.
Еще один подход заключается в использова-
нии в качестве расчетной модели для вычисле-
ния потенциала и его производных в ближнем по-
ле теории распространения малых возмущений от
тонкого тела в плоской нестационарной постанов-
ке [3,4]. В работе [20] для описания дальнего поля
использовалось интегральное представление, в ко-
тором в качестве значений на границе области вы-
браны расчетные данные, полученные по теории
малых возмущений для ближнего поля. Однако
при этом не конкретизировалось нелинейное сла-
гаемое, которому не придавалось большого значе-
ния. Уже гораздо в более поздних исследовани-
ях [21,22], носящих систематизирующий характер,
произошел возврат к методам описания течения
наподобие акустической аналогии Лайтхилла. По-
следняя состоит в том, что в полученном нелиней-
ном волновом уравнении нелинейная часть тра-
ктуется как внешняя нагрузка. Так, в работе [21]
для идеальной сжимаемой жидкости (газа) приве-
дено соотношение
∇2φ −
1
a2
∞
∂2φ
∂t2
= σ, (47)
48 П. В. Лукьянов
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 41 – 55
S
R
x
y
Рис. 3. Схема расположения текущей расчетной
точки x на расстоянии R от источника, находящегося
в точке y излучающей поверхности S
где
σ =
∂
∂x
[
1
2
(γ + 1)
U∞
a2
∞
(
∂φ
∂x
)2]
.
Однако в данном выражении не присутствует сла-
гаемое с fξτ , которое, как было показано в первом
разделе, может играть важную роль.
2.1. Вывод интегрального соотношения
Для получения интегрального соотношения для
дальнего поля используем подход, приведенный
в работе [2]. Для удобства дальнейшего изложе-
ния вернемся к размерным координатам (x, y, z) и
φ′=εf . Это позволит нам напрямую воспользова-
ться существующими общими выражениями.
Пусть имеется неоднородное волновое урав-
нение для равномерно движущейся среды,
описывающее распространение звука в точке
x= (x1, x2, x3)∈R
3 и в момент времени t1 от исто-
чника, расположенного в точке y=(y1 , y2, y3)∈R
3
(рис. 3):
∇2φ′ −
1
a2
∞
D2
o
Dt2
φ′ = ν(y, t) (48)
с распределениями источника ν и значениями φ′
на границе. Здесь операторы
Doφ
′
Dt
=
∂φ′
∂t
+ U
∂φ′
∂x
,
D2
oφ′
Dt2
=
∂2φ′
∂t2
+ 2U
∂2φ′
∂xt
+
∂2φ′
∂x2
—
общепринятые в аэроакустике обозначения пол-
ных производных по времени [2].
Функция Грина G(y, t|x, t1) представляет собой
решение неоднородного волнового уравнения для
движущейся среды:
∇2G −
1
a2
∞
D2
oG
Dt2
= −δ(t1 − t)δ(x − y) (49)
в некоторой пространственной области V (t), огра-
ниченной изнутри или снаружи поверхностью
S(t), которая в общем случае считается подви-
жной. Тогда акустическое давление в произволь-
ной точке x в момент времени t1 связано с распре-
делением γ источников в области ν обобщенной
формулой Грина:
T
∫
−T
dt
∫
V (t)
γ(y, t)G(y, t|x, t1)dy+
+
T
∫
−T
dt
∫
S(t)
[
G(y, t|x, t1)×
×
(
∂
∂n
+
v′n
a2
∞
Do
Dt
)
φ′(y, t)−
−φ′(y, t)×
×
(
∂
∂n
+
v′n
a2
∞
Do
Dt
)
G(y, t|x, t1)
]
dS(y) =
=
φ′(x, t1), x ∈ V (t),
0, x 6∈ V (t).
(50)
В выражении (50) vn =(vs−iU ·n) – результирую-
щая скорость поверхности по нормали в исходной
системе координат, движущейся со скоростью iU ,
а vs – скорость поверхности. Область V (t) может
находится либо внутри, либо снаружи замкнутой
поверхности (или поверхностей) S(t). Однако в по-
следнем случае следует потребовать, чтобы инте-
грал по S(t) был равен нулю, если интегрирование
выполняется по большой сфере, граница которой
расширяется до бесконечности.
Для постановки задачи, рассмотренной в разде-
ле 1, поверхность крыла считается неподвижной,
а на нее набегает поток со скоростью iU . Поэтому
здесь формулу (50) можно использовать так, как
если бы поверхность двигалась со скоростью, рав-
ной скорости набегающего потока, а среда покои-
лась. В этом случае v′n =Ui · n – результирующая
скорость поверхности крыла.
Для того чтобы непосредственно воспользова-
ться формулой (50), приведем выражение (17) в
П. В. Лукьянов 49
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 41 – 55
размерных координатах в соответствие виду (48):
∇2φ′ −
1
a2
∞
D2
o
Dt2
φ′ = M2
1 (1 + γ)φ′
ξφ
′
ξξ. (51)
Тогда, исходя из вида правой части (51), равен-
ство (50) перепишем в следующем виде:
T
∫
−T
dt
∫
V (t)
M2
1 (1 + γ)φ′
ξφ
′
ξξG(y, t|x, t1)dy+
+
T
∫
−T
dt
∫
S(t)
[
G(y, t|x, t1)×
×
( ∂
∂n
+
v′n
a2
∞
Do
Dt
)
φ′(y, t)−
−φ′(y, t)×
×
(
∂
∂n
+
v′n
a2
∞
Do
Dt
)
G(y, t|x, t1)
]
dS(y) =
=
φ′, x ∈ V (t),
0, x 6∈ V (t).
(52)
Однако использование соотношения (52) затру-
днено невозможностью выполнить перестанов-
ку порядка интегрирования по времени и про-
странственным координатам, поскольку объем V
и поверхность S зависят от времени. Этим, по-
видимому, и объясняется то, что данная формула
в ее общем виде не применяется.
Вернемся к изначальной постановке задачи, т. е.
будем считать, что поток набегает на неподвижное
крыло. Если в левой части уравнения (51) вме-
сто D2
o/Dt2 оставить лишь ∂2/∂t2, как в обычном
волновом уравнении, то справа окажутся три сла-
гаемых. Тогда становится возможным использо-
вание идеи акустической аналогии Лайтхилла, в
рамках которой предполагается, что среда стаци-
онарна (U =0), а на поверхности действуют сило-
вые нагрузки, которые выражаются в виде пра-
вой части неоднородного волнового уравнения для
стационарной среды. Учтя сказанное, получим
∇2φ′ −
1
a2
∞
∂2
∂t2
φ′ =
= M2
1
{
(1 + (1 + γ)φ′
x)φ′
xx +
2
U
φ′
xt
}
.
(53)
При этом функция G удовлетворяет уравнению
∇2G −
1
a2
∞
∂2
∂t2
G = −δ(t1 − t)δ(x − y). (54)
В силу того, что крыло тонкое, скорость на-
бегающего потока практически перпендикулярна
нормали к крылу, т. е. можно приближенно счи-
тать Ui · n=0. В таком случае с учетом соотноше-
ний (52) и (53) из формулы (49) следует
T
∫
−T
dt
∫
V
M2
1
{
(1 + (1 + γ)φ′
x)φ′
xx +
2
U
φ′
xt
}
×
×Gdy +
T
∫
−T
dt
∫
S
(
G
∂φ′
∂n
− φ′∂G
∂n
)
dS =
=
φ′(x, t1), x ∈ V,
0, x 6∈ V.
(55)
Считаем, что объем V – область, ограниченная
крылом изнутри и сферой большого радиуса сна-
ружи. Функция Грина для волнового оператора
имеет вид
G =
δ(t − t1 + R/a∞)
4πR
, (56)
где R – расстояние между точками x и y. Для
бесконечной области функция Грина определена
единственным образом.
Учитывая, что
∂
∂n
(
δ
(
t − t1 +
R
a∞
))
=
1
a∞
∂δ
∂t
∂R
∂n
, (57)
а также принимая во внимание свойства произво-
дных δ-функции [25], окончательно после интегри-
рования по времени получаем
−
∫
V
[
M2
1
{
(1 + (1 + γ)φ′
x)φ′
xx+
+
2
U
φ′
xt
}
1
R
]
t∗
dy+
+
∫
S
[
1
R
∂φ′
∂n
+
1
Ra∞
∂R
∂n
∂φ′
∂t
−
−φ′ ∂(1/R)
∂n
]
t∗
dS = 4πφ′(x, t1),
(58)
где t∗ – время запаздывания.
Подынтегральное выражение первого слагаемо-
го левой части равенства (58) можно переписать в
следующем виде:
{
(1 + (1 + γ)φ′
x)φ′
xx +
2
U
φ′
xt
}
1
R
=
=
∂(F/R)
∂x
+
F
R2
∂R
∂x
,
(59)
50 П. В. Лукьянов
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 41 – 55
где
F = φ′
x +
1
2
(1 + γ)(φ′
x)2 +
2
U
φ′
t. (60)
Поскольку
∂R
∂x
=
∂R
∂y1
= −
x1 − y1
R
, (61)
то весь объемный интеграл I на основании теоре-
мы о дивергенции запишется как
I = −M2
1
(
∫
S+S∞
[
F
R
]
t∗
dSx+
+
∫
V
[
F
x1 − y1
R3
]
t∗
dy
)
,
(62)
где dSx = (n · S)x.
Первое слагаемое в правой части выраже-
ния (61) состоит из двух поверхностных интегра-
лов: по поверхности крыла S и по бесконечно ра-
сширяющейся сфере S∞. Как указывалось выше,
на основании условия излучения интеграл по сфе-
ре большого радиуса R→∞ равен нулю. Остав-
шийся объемный интеграл имеет вполне опреде-
ленное числовое значение, поскольку
∫
V
[
F
x1 − y1
R3
]
t∗
dy =
=
∫
V \Vε
[
F
x1 − y1
R3
]
t∗
dy+
+
∫
Vε
[
F
x1 − y1
R3
]
t∗
dy,
(63)
где Vε – шар радиуса ε.
Второй интеграл при ε→0 стремится к нулю.
Покажем, что первый интеграл в правой части
представления (63) – величина ограниченная. В
общем нестационарном случае эту оценку выпол-
нить непросто, о чем свидетельствует имеющееся
в [7] выражение для дальнего поля, полученное
для осесимметричного стационарного течения:
Φ ∼
Dx
R3
,
D = −π
{
1
∫
0
F 2(ξ)dξ +
γ + 1
K
∞
∫
−∞
∞
∫
0
Φ2
ξ%d%dξ
}
,
K =
1 − M2
∞
δ2/3
.
В выражении для D присутствует интеграл по бе-
сконечным интервалам, оценка которого не дана.
Однако на больших расстояниях от излучаемого
тела (в дальнем поле) форма излучающей поверх-
ности не влияет на качественную полевую карти-
ну. Ввиду того, что удлинение крыла мало по срав-
нению с расстоянием до исследуемой точки наблю-
дения в дальнем поле, можно выполнить прибли-
женную оценку оставшегося объемного интеграла.
При этом воспользуемся оценкой дальнего поля
для нестационарного плоского течения [7]:
Φ∞ ∼
1
r
, (64)
где r – большой радиус, соответствующий даль-
нему полю. Нетрудно видеть, что теперь F ∼1/r,
так, что
∫
V \Vε
[
F
x1 − y1
R3
]
t∗
dy ∼
∼
1
r
∫
V \Vε
[
−
∂
∂x
(
1
R
)]
t∗
dy =
= −
1
r
∫
S∞+Sε+S
[
1
R
]
t∗
dSx.
(65)
Интеграл по Sε – величина порядка ε. Интеграл
по S∞ в силу условия излучения равен нулю. Ин-
теграл по поверхности крыла – S величина коне-
чная и с учетом множителя 1/r этот член стре-
мится к нулю при больших r. Следовательно, весь
объемный интеграл (62) будет малой величиной,
которой можно пренебречь. Как результат, фор-
мула (57) принимает вид
−M2
1
∫
S
[
F
R
]
t∗
dSx +
∫
S
[
1
R
∂φ′
∂n
+
+
1
Ra∞
∂R
∂n
∂φ′
∂t
− φ′ ∂
∂n
(
1
R
)]
t∗
dS =
= 4πφ′(x, t1).
(66)
Выражение (66) перепишем несколько в иной фор-
ме, выделив одно слагаемое из первого интеграла:
−M2
1
∫
S
[
1
R
(
φ′
x +
1
2
(1 + γ)(φ′
x)2
)]
t∗
dSx−
−
2M2
1
U
∫
S
[
φ′
t
R
]
t∗
dSx +
∫
S
[
1
R
∂φ′
∂n
+
+
1
Ra∞
∂R
∂n
∂φ′
∂t
− φ′ ∂
∂n
(
1
R
)]
t∗
dS =
= 4πφ′(x, t1).
(67)
П. В. Лукьянов 51
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 41 – 55
Если отбросить нелинейный член в первом инте-
грале, полученное представление звукового потен-
циала в дальнем поле (67) практически совпадает
с формулой [1, (1.106)]. Отличие состоит лишь в
отсутствии множителя 1/
√
1−β2 , поскольку здесь
не использовалось растяжение координат. Однако
за счет этого в первом интеграле (66) появляется
дополнительное слагаемое, которое не содержится
в явном виде в уравнении в сжатой системе коор-
динат.
Как видно из вышеизложенного, в данной ра-
боте акустическая аналогия Лайтхилла в ее ори-
гинальном виде фактически не использовалась.
Однако слагаемые в правой части уравнения (46)
также могут физически трактоваться по Лайтхил-
лу – как внешняя нагрузка, генерирующая звук.
Выведенное соотношение (67) напрямую свя-
зывает акустическое ближнее и дальнее поле. До
сих пор было принято разделять решение задачи
для ближнего поля и использование интегрально-
го представления для дальнего поля [3]. При этом
в указанном интегральном представлении либо не
учитывалось нелинейное слагаемое [20], либо упо-
миналось, что оно должно присутствовать, но без
указания его конкретного вида [21]. В работах [3,4]
с помощью методов CFD выполнялся расчет бли-
жнего поля, а затем на некотором расстоянии от
поверхности лопасти винта использовалось инте-
гральное выражение, полученное в [20]. Но, как
указано в работе [19], четких критериев для выбо-
ра этого расстояния так и не было выработано.
2.2. Пример численного расчета дальнего поля
для трехмерного трансзвукового течения
Рассмотрим эволюцию звуковой волны в зависи-
мости от расстояния до поверхности винта верто-
лета. Результаты вычислений дальнего поля осно-
ваны на данных расчета ближнего поля для про-
странственной нестационарной задачи, проведен-
ных для M1 =0.4 при различных расстояниях y от
лопасти (координата y совпадает с вертикальной
осью L). Ввиду удобства вычислений координаты
лопасти вдоль осей представлены в размерном ви-
де.
Приведенные волновые поверхности уровня зву-
кового давления показывают характерные осо-
бенности излучения звука при обтекании лопа-
сти винта вертолета в трансзвуковом диапазоне
скоростей. Так, на картине поля для расстояния
y=0.05 м от ротора (рис. 4, а) четко прослежи-
ваются два локальных максимума, причем наи-
больший уровень давления наблюдается ближе к
концу лопасти. Это совпадает с уже устоявшим-
ся мнением о том, что наиболее интенсивным зву-
кообразование происходит по мере приближения
к концам лопастей вертолета. Кроме того, интен-
сивное звукообразование наблюдается в направле-
нии, нормальном к поверхности лопасти. Это со-
ответствует утверждению Кармана о том, что при
обтекании тонких тел генерируются малые возму-
щения течения поперек основного потока. Вспом-
ним также предположение Лайтхилла о том, что
при взаимодействии твердой границы и потока
происходит непосредственная генерация звука, со-
вершенно отличная, например, от излучения зву-
ка колеблющейся пластиной. Это наглядно ил-
люстрируется распределением звукового давления
на рис. 4, а: в начале обтекания амплитуда зву-
ковой волны максимальна. Последнее обстоятель-
ство подсказывает еще одно интересное сравне-
ние. Известно, что при срыве потока с лопасти
наблюдается вихревой звук, хотя и он достаточно
слабый. Он создается непосредственно в момент
срыва вихревого шнура (дорожки Кармана). Да-
лее, вниз по потоку генерации звука нет. В рас-
сматриваемом же случае при взаимодействии по-
тока с возбуждающей его передней кромкой крыла
происходит наиболее интенсивное звукообразова-
ние. По мере продвижения вдоль по лопасти по-
ток как бы “успокаивается” и генерация звука су-
щественно ослабевает.
При удалении от поверхности лопасти (y=0.1,
0.3, 0.5, 1 м) влияние нелинейности постепенно
ослабевает (см. рис. 4, б – д соответственно) и вол-
на фактически приобретает сферическую форму.
Для всех указанных значений y были рассчи-
таны спектры давления (рис. 5). Как видно из
рис. 5, а и б, на достаточно близких расстояни-
ях до лопасти винта, в зоне локальных максиму-
мов наблюдаются несколько повышенные уровни
давления. При этом заметно также незначитель-
ное преобладание первых энергонесущих мод по
сравнению с областью вне максимумов. Однако
поскольку нелинейные эффекты сказываются ли-
шь при достаточно малых удалениях от крыла, то
уже на расстоянии порядка полутора хорд спек-
тральный уровень начинает выравниваться. Даль-
нейшая картина выглядит так: существует некото-
рая промежуточная или переходная зона (до не-
скольких длин хорд), где уровень давления не-
сколько изменяется вдоль лопасти, отражая фор-
му звуковой волны в данный конкретный момент
времени и положение ее в пространстве. Однако
уже для y свыше 2 м спектральный уровень давле-
ния вдоль лопасти практически одинаков. Харак-
тер затухания уровня звукового давления, можно
определить, используя разноудаленные расчетные
52 П. В. Лукьянов
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 41 – 55
а б
в г
е
Рис. 4. Уровни нормированного давления (в м/с2) в звуковой волне на разных расстояниях от лопасти ротора:
а – y=0.05 м; б – y=0.1 м; в – y=0.3 м; г – y=0.5 м; д – y=0.5 м; е – y=1 м
П. В. Лукьянов 53
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 41 – 55
а б
в г
е
Рис. 5. Спектральные уровни давления (в Дб) в звуковой волне на разных расстояниях от лопасти ротора:
а – y=0.05 м; б – y=0.1 м; в – y=0.3 м; г – y=0.5 м; д – y=0.5 м; е – y=1 м
54 П. В. Лукьянов
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 3. С. 41 – 55
точки: рис. 5a и г. Оказывается, что при измене-
нии расстояния до лопасти в десять раз уровень
давления снижается примерно на 20 дБ, что соот-
ветствует его убыванию как 1/r.
Сложное поведение звуковой волны говорит о
том, что ее формой можно управлять, меняя па-
раметры задачи, конфигурацию лопасти. Таким
образом, основную перспективную задачу подо-
бных исследований можно сформулировать сле-
дующим образом: необходимо научится управлять
процессом генерации звука с целью поиска конфи-
гураций бесшумных винтов. Разумеется, в такой
всеобъемлющей постановке этот вопрос выходит
за рамки данной работы.
ВЫВОДЫ
1. В рамках модели идеальной сжимаемой среды
выведено уравнение распространения звука
при обтекании тонкого крыла (лопасти вин-
та) изэнтропическим течением. Выполнен ра-
счет характеристик ближнего поля для слу-
чая линейного распределения скорости вдоль
размаха лопасти.
2. Получено представление звукового потенциа-
ла в дальнем поле. Расчет спектра давления в
звуковой волне показал, что максимум излу-
чения наблюдается ближе к концу лопасти.
На расстоянии нескольких длин хорд отмеча-
ется нелинейный характер излучаемых волн.
3. Предложенный подход сквозного расчета зву-
кового поля позволил существенно сократить
количество вычислений, поскольку использу-
ет данные ближнего поля в непосредственной
близости от крыла для расчета дальнего поля.
БЛАГОДАРНОСТЬ
Автор выражает огромную благодарность ака-
демику В. Т. Гринченко за тщательный анализ
данной работы, в результате которого был учтен
ряд замечаний по формулировке задачи. В итоге
работа приобрела более четкое и ясное для широ-
кого круга читателей изложение.
1. Блохинцев Д. И. Акустика неоднородной движу-
щейся среды.– М.: Наука, 1981.– 206 с.
2. Голдстейн М. Е. Аэроакустика.– М.: Машиностро-
ение, 1981.– 296 с.
3. Lyrintzis A. S., George A. R. Far field noise of
transonic blade-vortex interactions // Amer. Heli-
copt. Soc. J.– 1989.– 27, N 7.– P. 30–39.
4. Lyrintzis A. S., Xue Y. Study of the noise mechanisms
of transonic blade-vortex interactions // AIAA J.–
1991.– 29, N 10.– P. 1562–1572.
5. Lighthill M. J. On sound generated aerodynamically.
I: Genaral theory // Proc. Roy. Soc. Lond.– 1952.–
211 A, N 1107.– P. 564–587.
6. Ffowcs Willams J. E., Hawkings Sound generated by
turbulence and surfaces in aritrary motion.– Phil.
Trans. Roy. Soc: 1969, A264, N 1151.– 321–342 p.
7. Коул Дж., Кук Л. Трансзвуковая аэродинамика.–
М.: Мир, 1989.– 360 с.
8. Путята В. Й., Сiдляр М. М. Гiдроаеромеханiка.–
К.: Вид-во Київ. ун-ту, 1963.– 480 с.
9. Von Karman T. The similarity low of transonic
flow // J Math. Phys.– 1947.– 26, N 3.– P. 182–190.
10. Lin C. C.,Reissner E., Tsien H. S. On Two-
Dimentional Non-Steady Motion of a Slender Body
in a Compressible Fluid // J Math. Phys.– 1948.–
27, N 3.– P. 220–231.
11. Murman E. M., Cole J. D. Calculation of plane steady
transonic flows // AIAA J.– 1971.– 9, N 1.– P. 114–
121.
12. Лукьянов П. В. Применение численно-
аналитического метода для решения задач аку-
стики // Збiрн. праць акуст. симпоз. Консонанс-
2005.– К.: Iн-т гiдромеханiки НАН України.–
2005.– С. 225–230.
13. Morgans W. R. The Kirchhoff formula extended to a
moving surfaces // Phil. Mag.– 1930.– 9, S 7, N 55.–
P. 141–161.
14. Caradonna F. X., Isom M. P. Subsonic and transonic
potential flow over helicopter rotor blades //
AIAA J.– 1972.– 10, N 12.– P. 1606–1612.
15. Курант Р., Фридрихс К. Сверхзвуковое течение и
ударные волны.– М.: ИИЛ, 1950.– 426 с.
16. Farassat F., Myers M. K. Extension of Kirchhoff’s
formula to radiation from moving surfases //
J. Sound Vib.– 1988.– 123, N 3.– P. 451–461.
17. Fedorchenko A. T. On some fundamental flaws in
present aeroacoustic theory // J. Sound Vib.– 2000.–
232, N 4.– P. 719–782.
18. Hirschberg A., Schram Ch. A primitive approach to
aeroacoustics.– Berlin: Springer, 2002.– 30 p.
19. Brentner K. S., Farassat F. An analytical compari-
son of the acoustic analogy and Kirchhoff formulati-
on for moving surfaces // AIAA J.– 1998.– 36, N 8.–
P. 1379–1386.
20. Morino L. A general theory of unsteady compressi-
ble potential aerodynamics.– NASA CR-2464, 1974.–
P. 1–70.
21. Morino L. Boundary integral equations in
aerodynamics // Appl. Mech. Rev.– 1993.– 46,
N 8.– P. 445–466.
22. Morino L., Bernardini G. On the sound generated
by moving surfaces – The effects of vorticity // 7-
th Int. Congr. Sound Vib.– Garmisch Partenkirchen,
Germany, 2000.– P. 1339–1346.
23. Хромов В. А. К обобщению теоремы Кирхгофа
для случая поверхности, движущейся произволь-
ным образом // Акуст. ж.– 1963.– 9, N 1.– С. 88–93.
24. Володко А. М. Основы аэродинамики и динамики
полета вертолетов.– М.: Транспорт, 1988.– 344 с.
25. Владмиров В. С. Уравнения математической
физики.– М.: Наука, 1981.– 512 с.
П. В. Лукьянов 55
|