Изгибные колебания упругих прямоугольных пластин со свободными краями: от Хладни (1809) и Ритца (1909) до наших дней

Рассмотрена классическая задача о колебаниях пластины со свободными краями. На основе метода суперпозиции ее решение сведено к однородной квазирегулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. С помощью достаточного условия существования ограниченного решения для квазирегулярной сист...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Акустичний вісник
Дата:	2009
Автори:	Мелешко, В.В., Папков, С.О.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2009
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87291
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Изгибные колебания упругих прямоугольных пластин со свободными краями: от Хладни (1809) и Ритца (1909) до наших дней / В.В. Мелешко, С.О. Папков // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 4. — С. 34-51. — Бібліогр.: 33 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860003226839941120
author	Мелешко, В.В. Папков, С.О.
author_facet	Мелешко, В.В. Папков, С.О.
citation_txt	Изгибные колебания упругих прямоугольных пластин со свободными краями: от Хладни (1809) и Ритца (1909) до наших дней / В.В. Мелешко, С.О. Папков // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 4. — С. 34-51. — Бібліогр.: 33 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Акустичний вісник
description	Рассмотрена классическая задача о колебаниях пластины со свободными краями. На основе метода суперпозиции ее решение сведено к однородной квазирегулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. С помощью достаточного условия существования ограниченного решения для квазирегулярной системы найдены собственные частоты колебаний пластины. Для них на основе анализа асимптотического поведения неизвестных построены нетривиальные решения системы, позволяющие получить аналитические представления собственных форм колебаний. Исследована точность выполнения однородных граничных условий, проведено сравнение теоретических данных с экспериментальными. Розглянуто класичну задачу про коливання пластини з вільними краями. На базі методу суперпозиції її розв'язання зведено до однорідної квазирегулярної нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. За допомогою достатньої умови існування обмеженого розв'язку для квазирегулярної системи знайдені власні частоти коливань пластини. Для них на базі аналізу асимптотичної поведінки невідомих побудовані нетривіальні розв'язки системи, які дозволяють одержати аналітичні представлення власних форм коливань. Досліджено точність виконання однорідних граничних умов, проведено порівняння теоретичних даних з експериментальними. A classic problem on vibration of the plate with free edges has been considered. On the base of the superposition method, its solving has been reduced to a homogeneous quasiregular infinite system of linear algebraic equations. Plate's eigenfrequencies have been found using the sufficient condition for existence of a limited solution of a quasiregular system. The nontrivial solutions of the system corresponding to these frequencies have been constructed by analyzing the asymptotic behavior of the unknown values, that allow the obtaining of analytical representations for vibration eigenforms. The accuracy of satisfying of the homogeneous boundary conditions has been studied and theoretical data have been compared with the experimental ones.
first_indexed	2025-12-07T16:37:44Z
format	Article
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 4. С. 34 – 51 УДК 539.3 ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН СО СВОБОДНЫМИ КРАЯМИ: ОТ ХЛАДНИ (1809) И РИТЦА (1909) ДО НАШИХ ДНЕЙ В. В. М ЕЛ ЕШ К О∗, С. О. П А П К ОВ∗∗ ∗ Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко ∗∗ Севастопольский национальный технический университет Получено 30.09.2009 Рассмотрена классическая задача о колебаниях пластины со свободными краями. На основе метода суперпози- ции ее решение сведено к однородной квазирегулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. С помощью достаточного условия существования ограниченного решения для квазирегулярной системы найдены собственные частоты колебаний пластины. Для них на основе анализа асимптотического поведения неизвестных по- строены нетривиальные решения системы, позволяющие получить аналитические представления собственных форм колебаний. Исследована точность выполнения однородных граничных условий, проведено сравнение теоретических данных с экспериментальными. Розглянуто класичну задачу про коливання пластини з вiльними краями. На базi методу суперпозицiї її розв’я- зання зведено до однорiдної квазирегулярної нескiнченної системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь. За допомогою достатньої умови iснування обмеженого розв’язку для квазирегулярної системи знайденi власнi частоти коливань пластини. Для них на базi аналiзу асимптотичної поведiнки невiдомих побудованi нетривiальнi розв’язки систе- ми, якi дозволяють одержати аналiтичнi представлення власних форм коливань. Дослiджено точнiсть виконання однорiдних граничних умов, проведено порiвняння теоретичних даних з експериментальними. A classic problem on vibration of the plate with free edges has been considered. On the base of the superpositi- on method, its solving has been reduced to a homogeneous quasiregular infinite system of linear algebraic equations. Plate’s eigenfrequencies have been found using the sufficient condition for existence of a limited solution of a quasiregular system. The nontrivial solutions of the system corresponding to these frequencies have been constructed by analyzing the asymptotic behavior of the unknown values, that allow the obtaining of analytical representations for vibration ei- genforms. The accuracy of satisfying of the homogeneous boundary conditions has been studied and theoretical data have been compared with the experimental ones. ВВЕДЕНИЕ В этом году были отмечены юбилеи двух заме- чательных публикаций, относящихся к классиче- ской задаче о колебаниях тонких изотропных пря- моугольных пластин со свободными краями – дву- хсотлетие французского перевода [1] классическо- го трактата Хладни по акустике [2] и столетие ста- тьи [3], посвященной первому применению вариа- ционного метода Ритца (сам автор назвал его Die Integrationsmethode) для расчета собственных ча- стот и форм колебаний квадратной пластинки. а б Рис. 1. Фигуры в классическом эксперименте Хладни (по книге [8]) Первому из указанных событий предшествова- ла демонстрация Хладни в Париже своих знаме- нитых песочных фигур. Классическая постанов- ка эксперимента Хладни выглядит так. Если за- крепить в тисках центр стеклянной или метал- лической квадратной тонкой пластинки, посыпать ее сверху мелким песком, коснуться пальцем точ- ки в середине одной из свободных сторон и про- вести смычком по противоположному краю бли- же к одному из углов, то песок соскакивает с большей части поверхности и собирается по дли- не двух узловых линий, которые разделят боль- шой квадрат на четыре меньшие, рис. 1, а. Зна- ками “+” и “−” обозначены противоположные на- правления движения частиц внутри соответству- ющих им квадратов, а покоящиеся узловые линии обозначают границы этих противоположных дви- жений. Посыпав еще раз песком поверхность пла- стинки, коснувшись одного из ее углов и проведя смычком по середине одного из краев, можно по- лучить две резко обозначенные полосы, проходя- щие по диагоналям, рис. 1, б. Именно таким образом Хладни [2] получил ин- 34 c© В. В. Мелешко, С. О. Папков, 2009 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 4. С. 34 – 51 Рис. 2. Набор песочных фигур Хладни Рис. 3. Хладни демонстрирует свои знаменитые песочные фигуры, Регенсбург 1800 тересный набор фигур (рис. 2) и сделал попытку их классификации согласно количеству горизон- тальных и вертикальных узловых линий на кра- ях. При этом он много путешествовал по Европе1, демонстрируя опыты с пластинками знатной пу- блике (рис. 3). В феврале 1809 года в дворце Тюильри, офи- циальной резиденции императора Наполеона Бо- напарта, в присутствии императора с супругой и его матери, ученых Лапласа и Бертоле и других 1Детальная биография Хладни приведена в статье [6]. Рис. 4. Эрнст Флоренс Фридрих Хладни (Chladni), 1756 – 1827. Родился в один год с Моцартом, умер в один год с Бетховеном зрителей Хладни продемонстрировал свои экспе- рименты. Имеются [2, 5] записи самого Хладни об этой демонстрации. Наполеон был настолько во- схищен увиденным, что на следующее утро распо- рядился выдать Хладни 6000 франков для перево- да на французский язык и публикации его неме- цкой книги [2]. Этот заказ был быстро выполнен (рис. 5), причем, по совету Лапласа, Хладни по- просил разрешения у Наполеона посвятить книгу императору – воистину, политика иногда непред- сказуемым образом влияет на науку. В качестве приложения в книге на 14 страницах приведен протокол заседания отделений математических и физических наук и изящных искусств француз- ской Академии наук [1, c. 353–357], в котором дана развернутая оценка экспериментов Хладни. Наполеон установил приз в 3000 франков за ра- зработку математической теории колебаний пла- стин и теоретическому описанию фигур Хладни – узловых линий колеблющихся пластин. Следуя этому, отделение математических и физических наук также установила приз в виде золотой ме- дали стоимостью 3000 франков за создание та- кой теории и сравнение результатов с экспери- ментами с конечной датой подачи материалов к октябрю 1811 года [1, c. 353–357]. После несколь- ких попыток решения и последовавших жарких дискуссий [7] приз в 1816 году был присужден Софи Жермен в знак существенного прогресса в этой проблеме, хотя окончательное уравнение для изгибных колебаний пластинки оказалось не- точным (Лагранж, будучи членом жюри, указал, как исправить ошибку). В. В. Мелешко, С. О. Папков 35 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 4. С. 34 – 51 а б Рис. 5. Французкий перевод [1] немецкой книги [2]: а – титульный лист, б – посвящение В последующие 200 лет фигуры Хладни эк- спериментально воспроизводились и классифици- ровались в большом количестве исследований. В их ряду следует назвать две классические кни- ги [8,10], первая из которых выдержала шесть ан- глийских2 (в 1867 – 1895 гг.), пять американских (в 1867 – 1915 гг.) и три русских (в 1870 – 1922 гг.) изданий [9]. Для того, чтобы подчеркнуть непре- ходящий интерес к этому красивому физическо- му явлению, упомянем также несколько наиболее интересных статей [11 –15]. В этих и во многих других публикациях, кроме многочисленных кар- тин фигур Хладни квадратных пластин с разны- ми размерами и из различных материалов, сдела- ны первые сравнения экспериментальных и расче- тных данных о собственных частотах пластины. Статья Ритца [3], рис. 6 (увы, последняя в его недолгой, но яркой жизни), содержала изумитель- ный по ясности теоретического изложения и коли- честву числовых данных анализ спектра собствен- ных частот и форм колебаний квадратной пла- стинки со свободными краями и сравнение с эк- спериментами Хладни. Надо отметить, что подход, основанный на при- 2Примечательно, что первые два английских издания содержали на фронтисписе (контртитуле) портрет Хладни из его первой книги [2], рис. 4. равнивании максимальных амплитудных значе- ний за период при выбранной заранее форме ко- лебаний был впервые применен для определения низшей собственной частоты изгибных колеба- ний квадратной пластинки со свободными краями при нулевом коэффициенте Пуассона Рэлеем [16], вполне оценившим трудность этой задачи. Впо- следствии он получил название метода Рэлея и полностью воспроизведен в его классическом со- чинении [17, § 226]. Статьи [19 – 21] содержат ин- тересную дискуссию относительно названий мето- дов Рэлея и Ритца применительно к вариационно- му подходу. Впервые использовав вариационный алгоритм для исследования колебаний квадратной пластин- ки со свободными краями, Ритц [3] обратил вни- мание на важное обстоятельство, ускользнувшее от внимания практически всех других исследова- телей (кроме Рэлея [18]), и сделал предположение о том, что собственные формы колебаний пластин- ки достаточно надежно описываются комбинация- ми um(x)un(y)±un(x)um(y), в которых u(x) – соб- ственные функции упругого стержня со свободны- ми краями. В последующие годы задача о колебаниях пла- стины со свободными краями была предметом ис- следований многих авторов, обзор работ которых 36 В. В. Мелешко, С. О. Папков ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 4. С. 34 – 51 дан в [22]. Отметим здесь тщательно выполненную на основе вариационного алгоритма Ритца рабо- ту [23]. Среди аналитических подходов к определе- нию собственных частот и форм колебаний прямо- угольной пластинки использовался метод супер- позиции [24 – 26]. Известно, что в вариационном методе Ритца выбор аппроксимирующих функций обеспечивает тождественное выполнение всех ну- левых граничных условий, при этом уравнения движения выполняются лишь интегрально. Одна- ко основная идея метода суперпозиции заключа- ется в построении такого набора частных реше- ний, который удовлетворял тождественно уравне- нию движения и имел достаточно функционально- го произвола для выполнения нулевых граничных условий. Отметим, что в работах [24, 25] вопрос о точности выполнения нулевых граничных условий не ставился. Цель данного исследования состоит в ра- скрытии всех преимуществ метода суперпозиции на основе анализа соответствующей бесконечной системы линейных алгебраических уравнений, а также в классификации и оценке точности пер- вых 30 собственных частот и форм, найденных Ри- тцем [3]. 1. ПОСТАНОВКА И АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕ- ТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О КОЛЕБАНИ- ЯХ ПЛАСТИНКИ Уравнение Жермен – Лагранжа, описывающее малые поперечные колебания упругой изотропной пластинки \|x\|<a, \|y\|<b постоянной толщины h, имеет вид D44w + ρ ∂2w ∂t2 = 0, 4 = ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 . (1) Здесь w(x, y, t) – поперечный прогиб срединной плоскости пластинки; 4 – двумерный оператор Лапласа; D=Eh3/(12(1−ν2)) – изгибная жест- кость пластинки; ν – коэффициент Пуассона; E – модуль Юнга; ρ – удельная плотность на единицу площади пластинки; t – время. Задача об определении собственных частот и форм колебаний пластинки со свободными краями сводится к определению прогиба W (x, y) (гармо- нический множитель e−iωt здесь и далее опущен) и частоты κ4 =ρhω2/D из однородной краевой за- дачи 44W − κ4W = 0 (2) Рис. 6. Вальтер Ритц (Ritz), 1878 – 1909 с граничными условиями при x=±a: ∂2W ∂x2 + ν ∂2W ∂y2 = 0, ∂3W ∂x3 + (2 − ν) ∂3W ∂y2∂x = 0, (3) и при y=±b: ∂2W ∂y2 + ν ∂2W ∂x2 = 0, ∂3W ∂y3 + (2 − ν) ∂3W ∂y∂x2 = 0. (4) В настоящее время наибольшее распростране- ние получили два аналитических подхода к реше- нию краевой задачи (2) – (4) – метод Ритца и ме- тод суперпозиции. В своей классической работе [3] Ритц указал, что данная краевая задача эквива- лентна отысканию минимального значения инте- грала J = a ∫ −a ∫ −bb [ ( ∂2W ∂x2 )2 + ( ∂2W ∂y2 )2 + +2ν ∂2W ∂x2 ∂2W ∂y2 + 2(1 − ν) ( ∂2W ∂x∂y )2 ] dxdy (5) при условии, что a ∫ −a b ∫ −b W 2dxdy = A = const. (6) Для конкретного случая квадратной пластинки a=1, b=1 Ритц выбрал представление Ws = s ∑ m=0 s ∑ n=0 Amnum(x)vn(y), (7) В. В. Мелешко, С. О. Папков 37 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 4. С. 34 – 51 в котором um(x) и vn(y) – собственные функ- ции изгибных колебаний упругого стержня ξ<1 с обоими свободными краями. Иными словами, эти функции являются решениями однородного урав- нения d4u dξ4 = k4u (8) с однородными граничными условиями d2u dξ2 = 0, d3u dξ3 = 0, ξ = ±1. (9) Нормировка выбрана так, чтобы для решения с номером m было 1 ∫ −1 u2 mdξ = 1. Рэлей [17, §160] детально изучил решение одно- родной граничной задачи (8), (9) и показал, что искомые функции следует выбрать такими: • для четного m um(ξ) = ch km cos kmξ + cos kmch kmξ√ ch 2km + cos2 km , (10) где km – корень уравнения tg km+th km =0; • для нечетного m um(ξ) = sh km sin kmξ + sin kmsh kmξ √ sh 2km − sin2 km , (11) где km – корень уравнения tg km−th km =0. При этом полагалось u0(ξ) = 1√ 2 , k0 = 0, u1(ξ) = √ 3 2 ξ, k1 = 0. Подстановка разложения (7) в квадратичное по Amn выражение (5) с привлечением неопределен- ного множителя Лагранжа λ=κ4 при минимиза- ции интеграла J и выполнении условия (6) при- водит к однородной системе линейных алгебраи- ческих уравнений относительно Amn. Отсюда λ определяется стандартным образом как значение, обращающее в нуль определитель этой линейной системы. При этом все граничные условия (3) и (4) выполнены тождественно. Для коэффициента Пуассона ν=0.225 (стекло, как в экспериментах Хладни) и случая антисимме- тричных колебаний относительно диагоналей ква- драта y=±x (при этом Amn =Anm) Ритц взял в представлении (7) s=5, вычислил (вручную!) все необходимые интегралы и получил однородную систему линейных алгебраических уравнений ше- стого порядка. Он также сумел найти первые два корня определителя этой системы. Далее было сделано смелое предположе- ние о том, что формы колебаний пластин- ки определяются лишь главным слагаемым um(x)vn(y)±un(x)vm(y) [3, c. 768], приведена таблица расчета первых 35 (!) собственных частот и их сравнение3 с экспериментальными данными Хладни [2]. В конце статьи [3, c. 775–784] Ритц привел фигуры узловых линий для форм колеба- ний на собственных частотах, отвечающие всем четырем типам симметрии относительно осей x и y. При этом он всюду брал s=5, представлял пол- ное выражение (7) с числовыми коэффициентами и подчеркивал определяющий вклад главных членов. Это была поистине титаническая работа, если учесть отсутствие компьютера и быстро прогрессирующую болезнь автора4! Иной подход, традиционно носящий название метода суперпозиции [24 – 27], представляет общее решение дифференциального уравнения (2) виде суммы решений для полос \|x\|≤a и \|y\|≤b в фор- ме тригонометрических рядов. При этом решение выбирается таким образом, чтобы тождественно удовлетворить вторые граничные условия в (3), (4) и иметь достаточный произвол для выполне- ния оставшихся двух условий. Возможны четыре типа симметрии прогиба пла- стинки: WS(x, y) – функция четна по x и по y; WSA(x, y) – функция четна по x и нечетна по y; WAS(x, y) – функция нечетна по x и четна по y; WA(x, y) – функция нечетна по x и по y. С помо- щью стандартного метода разделения переменных решения уравнения (2) можно записать в виде WS = bxs 0 κ ( cosκy sinκb − ch κy sh κb ) + + ays 0 κ ( cosκx sinκa − ch κx sh κa ) + +b ∞ ∑ n=1 (−1)n+1xs nA(y, b, αn) cosαnx+ +a ∞ ∑ n=1 (−1)n+1ys nA(x, a, βn) cosβny, (12) 3По издаваемым нотам – традиционный способ сравне- ния в те времена. 4Статья была закончена в январе 1909 года и поступила в редакцию 14 января, а в июле того же года Ритц умер. 38 В. В. Мелешко, С. О. Папков ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 4. С. 34 – 51 WSA = bxsa 0 κ2 ( sinκy cos κb + sh κy chκb ) + +b ∞ ∑ n=1 (−1)nxsa n B(y, b, αn) cosαnx− −a ∞ ∑ n=1 (−1)nysa n A(x, a, δn) sin δny, (13) WA = b ∞ ∑ n=1 (−1)n+1xa nB(y, b, γn) sin γnx+ + ∞ ∑ n=1 (−1)n+1ya nB(x, a, δn) sin δny, (14) где введены обозначения αn = πn a ; βn = πn b ; γn = π(2n − 1) 2a ; δn = π(2n− 1) 2b ; A(z, h, ξ) = ξ2 + κ2 − (2 − ν)ξ2 √ ξ2 − κ2 ch √ ξ2 − κ2z sh √ ξ2 − κ2h − −ξ 2 − κ2 − (2 − ν)ξ2 √ ξ2 + κ2 ch √ ξ2 + κ2z sh √ ξ2 + κ2h ; B(z, h, ξ) = ξ2 + κ2 − (2 − ν)ξ2 √ ξ2 − κ2 sh √ ξ2 − κ2z ch √ ξ2 − κ2h − −ξ 2 − κ2 − (2 − ν)ξ2 √ ξ2 + κ2 sh √ ξ2 + κ2z ch √ ξ2 + κ2h . Выражение для WAS не выписано поскольку, в силу симметрии задачи все соответствующие соб- ственные значения и формы строятся по решению SA при замене x↔y и a↔ b: κSA(a/b) = κAS(b/a), WSA(x, y, a, b) = WAS(y, x, b, a). Заметим, что по этой причине в случае квадрата собственные числа для случаев “AS” и “SA” сов- падают (у Ритца – двойные тона [3]). Подстановка решений (12) – (14) в первые из граничных условий (3), (4) с последующим разло- жением входящих функций в тригонометрические ряды на основе формул [31] ch pz sh ph = 1 ph + 2p h ∞ ∑ m=1 (−1)m cos ξmz ξ2m+p2 , ξm = mπ h , sh pz ch ph = 2p h ∞ ∑ m=1 (−1)m+1 sin ηmz η2 m+p2 , ηm = (2m−1)π 2h позволяет из равенства при базисных функциях получить однородные бесконечные системы ли- нейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Случай симметрии “S” 2ν xs 0 + aκ(ctg aκ+ cth aκ)ys 0 = = 2νκ6 ∞ ∑ n=1 xs n p2 1np 2 2n , bκ(ctg bκ+ cth bκ)xs 0 + 2νys 0 = = 2νκ6 ∞ ∑ n=1 ys n q21nq 2 2n , ys m∆s(βm , a) = = ∞ ∑ n=1 4κ2((1 − ν)2α2 nβ 2 m + νκ4) (α2 n + q21m)(α2 n + q22m) xs n+ + 4νκ4xs 0 q21mq 2 2m , xs m∆s(αm, b) = = ∞ ∑ n=1 4κ2((1 − ν)2α2 mβ 2 n + νκ4) (β2 n + p2 1m)(β2 n + p2 2m) ys n+ + 4νκ4ys 0 p2 1mp 2 2m , m = 1, 2, . . . (15) Случай симметрии “SA” xsa 0 = 2νκ6 b(tg bκ− th bκ) ∞ ∑ n=1 ysa n q23nq 2 4n , ysa m ∆s(δm, a) = = ∞ ∑ n=1 4κ2((1 − ν)2α2 nδ 2 m + νκ4) (α2 n + q23m)(α2 n + q24m) xsa n + + 4νκ3xsa 0 q23mq 2 4m , xsa m ∆a(αm, b) = = ∞ ∑ n=1 4κ2((1 − ν)2α2 mδ 2 n + νκ4) (δ2n + p2 1m)(δ2n + p2 2m) ysa n , m = 1, 2, . . . (16) В. В. Мелешко, С. О. Папков 39 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 4. С. 34 – 51 2 4 6 8 10 1 2 3 4 5 6 NR Рис. 7. Зависимость NR(κ) Случай симметрии “A” xa m∆a(γm, b) = = ∞ ∑ n=1 4κ2((1 − ν)2γ2 mδ 2 n + νκ4) (δ2n + p2 3m)(δ2n + p2 4m) ya n, ya m∆a(δm, a) = = ∞ ∑ n=1 4κ2((1 − ν)2γ2 nδ 2 m + νκ4) (γ2 n + q23m)(γ2 n + q24m) xa n, m = 1, 2, . . . (17) В выражениях (15) – (17) введены следующие соотношения: p2 1n = α2 n − κ2; p2 2n = α2 n + κ2; p2 3n = γ2 n − κ2; p2 4n = γ2 n + κ2; q21n = β2 n − κ2; q22n = β2 n + κ2; q23n = δ2n − κ2; q24n = δ2n + κ2; ∆s(z, h) = h ( ((1 − ν)z2 + κ2)2√ z2 + κ2 cth √ z2 + κ2h− − ((1 − ν)z2 − κ2)2√ z2 − κ2 cth √ z2 − κ2h ) ; ∆a(z, h) = h ( ((1 − ν)z2 + κ2)2√ z2 + κ2 th √ z2 + κ2h− − ((1 − ν)z2 − κ2)2√ z2 − κ2 th √ z2 − κ2h ) . Согласно [28], каждую из систем (15) – (17) фор- мально можно записать в виде одного ряда урав- нений zm = ∞ ∑ n=1 Mm,n(κ)zn . (18) Выражения для элементов бесконечной матрицы Mm,n в зависимости от типа симметрии даны в приложении. 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧА- СТОТ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНКИ Для исследования регулярности данных систем используем значения известных рядов [31] ∞ ∑ n=1 1 n2 + a2 = π 2a cthπa− 1 2a2 , ∞ ∑ n=1 1 (n− 1/2)2 + a2 = π 2a thπa, которые позволяют найти точные значения рядов из условий квазирегулярности (см. приложение): ∞ ∑ n=1 \|Mm,n(κ)\| = 1 − ρm(κ) < 1 m > NR. (19) Ряды (19) допускают одинаковую асимптотиче- скую оценку ∞ ∑ n=1 \|Mm,n\| = 1 − ν 3 + ν +O(1/m), m→ ∞. (20) Поскольку коэффициент Пуассона может прини- мать значения −1<ν≤0.5, из оценок (20) сле- дует, что всегда найдется такой номер NR, что при m>NR бесконечная система удовлетворяет условию (19), то есть является квазирегулярной. На рис. 7 показана зависимость данного номера от частоты колебаний квадратной пластины при ν=0.225 в случае антисимметрии по обеим осям (бесконечная система (17)). Видно, что на гра- фике есть интервалы изменения κ, для которых NR =0. Это означает, что система (17) является здесь вполне регулярной, т. е. согласно теории бес- конечных систем [33] имеет единственное нулевое решение. Такой предварительный анализ позволя- ет сразу заключить, что первая собственная ча- стота колебаний должна быть расположена вну- три интервала (1.84; 2.23). В статье Ритца [3] она определена как κRitz 1 =1.877. Можно строго доказать, что исключение любого неизвестного из регулярного уравнения бесконе- чной системы улучшает регулярность всех осталь- ных уравнений системы, в том числе нерегуляр- ных. Возникает вопрос, нельзя ли путем исклю- чения некоторого количества неизвестных полу- чить на данном значении частоты колебаний κ ре- гулярную относительно оставшихся неизвестных 40 В. В. Мелешко, С. О. Папков ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 4. С. 34 – 51 систему? В рассматриваемой задаче данное утвер- ждение равносильно тому, что однородная бес- конечная система имеет только нулевое решение, т. е. частота колебаний заведомо не является соб- ственной. Для обоснования данного подхода в ста- тье [29] доказана теорема о достаточных условиях существования ограниченного решения у квазире- гулярной бесконечной системы, а в работе [32] на основе этой теоремы исследован спектр собствен- ных частот плоской задачи теории упругости для прямоугольника в случае первой основной грани- чной задачи. Доказать факт существования ограниченного (в случае единственности нулевого) решения согла- сно указанной теореме можно, проверив условие max j=1...NT NT ∑ i=1 \|cij(κ)\| ∞ ∑ n=NT +1 \|Mi,n(κ)\| < 1+h(κ), (21) где h(κ) = inf m>NT ρm(κ) NT ∑ n=1 \|Mm,n(κ)\| ; cij – матрица, обратная к матрице {δij−Mi,j}NT i,j=1; NT – порядок матрицы, участвующей в оценках. Проверяя условие (21) в диапазоне частот с не- которым шагом, можно сузить интервал располо- жения собственной частоты. При этом для каждо- го κ по формулам из приложения вычислялся (в зависимости от типа симметрии) ряд ∞ ∑ n=NT +1 \|Mi,n\| = Si − NT ∑ n=1 \|Mi,n\|, а элементы обратной матрицы cij находились чи- сленно. Увеличением параметра NT удается су- зить интервал настолько, что с некоторой точно- стью получаем значение собственной частоты. Табл. 1 демонстрирует локализацию первой соб- ственной частоты для квадратной пластинки. Да- же при NT =1 удается найти значение собственной частоты с удовлетворительной для практики точ- ностью. С использованием данного подхода при- менительно к системам (15) – (17) были найдены и остальные собственные частоты колебаний пла- стинки (они представлены в табл. 5). 3. ПОСТРОЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ФОРМ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНКИ Для определения собственных форм колебаний требуется построить нетривиальное решение бес- конечных систем на полученных собственных ча- Табл. 1. Вычисление собственных частот NT Интервал для κ∗ 1 1.8770, . . . , 1.8800 5 1.8780, . . . , 1.8793 25 1.8783, . . . , 1.8788 100 1.8785, . . . , 1.8786 стотах. Опишем алгоритм построения для ква- зирегулярной бесконечной системы, записанной в форме (18). Согласно [33], ее исследование можно провести с помощью разложения по первым неи- звестным zm = NR ∑ j=1 z̃j mzj , m > NR, (22) свести к совокупности вполне регулярных систем с одинаковой матрицей и одной конечной си- стеме линейных алгебраических уравнений. Дей- ствительно, подставляя разложения (22) в систе- му (18), из равенства при первых NR базисных не- известных получаем: • для уравнений с номерами m>NR z̃j m = ∞ ∑ n=NR+1 Mm,n z̃ j n +Mm,j ; j = 1, 2, . . . , NR (23) • для уравнений с номерами m=1, 2, . . . , NR zm = NR ∑ n=1  Mm,n + ∞ ∑ j=NR+1 Mm,j z̃ n j   zn (24) Коэффициенты конечной системы оказываются зависящими от решений вполне регулярных беско- нечных систем (23), поэтому точность построения нетривиального решения исходной системы (18) также определяется точностью их решения. В слу- чае симметрии “A” замена (22) в развернутом виде выглядит следующим образом: xa m = Nr ∑ j=1 (x1j mx a j + x2j my a j ), ya m = Nr ∑ j=1 (y1j mx a j + y2j m y a j ), m = 1, 2, . . . , Nr; Nr = [NR/2]. (25) В. В. Мелешко, С. О. Папков 41 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 4. С. 34 – 51 Вполне регулярные системы (23) при первых xa m в развернутом виде можно записать следующим образом: x1j m∆a(γm, b) = = ∞ ∑ n=Nr+1 4κ2((1 − ν)2γ2 mδ 2 n + νκ4) (δ2n + p2 3m)(δ2n + p2 4m) y1j n , y1j m∆a(δm, a) = = ∞ ∑ n=Nr+1 4κ2((1 − ν)2γ2 nδ 2 m + νκ4) (γ2 n + q23m)(γ2 n + q24m) x1j n + + 4κ2((1 − ν)2γ2 j δ 2 m + νκ4) (γ2 j + q23m)(γ2 j + q24m) , m > Nr, j = 1, 2, . . . , Nr, (26) а при первых ya m – x2j m∆a(γm, b) = = ∞ ∑ n=Nr+1 4κ2((1 − ν)2γ2 mδ 2 n + νκ4) (δ2n + p2 3m)(δ2n + p2 4m) y2j n + + 4κ2((1 − ν)2γ2 mδ 2 j + νκ4) (δ2j + p2 3m)(δ2j + p2 4m) , y2j m∆a(δm, a) = = ∞ ∑ n=Nr+1 4κ2((1 − ν)2γ2 nδ 2 m + νκ4) (γ2 n + q23m)(γ2 n + q24m) x2j n . m > Nr; j = 1, 2, . . . , Nr, (27) Полученные бесконечные системы (26) и (27) обла- дают важным свойством – единственное ограни- ченное решение каждой из них имеет известный степенной характер убывания. Это позволяет на основе метода улучшенной редукции получить чи- сленные значения всех неизвестных. Действительно, проведя замену переменных x̃ij mγ 2+λ m = Xij m , ỹij mδ 2+λ m = Y ij m , i = 1, 2; j = 1, 2, . . . , Nr , (28) где степень замены λ выбирается как действитель- ный корень уравнения (1 − ν)(1− λ) = (3 + ν) cos πλ 2 , (29) можно показать, что для единственного огра- ниченного решения выполняются условия обоб- щенного закона асимптотических выражений Б. М. Кояловича и справедлива теорема, анало- гичная известному признаку Кояловича [30]. Для регулярной парной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений xm = ∞ ∑ n=1 amnyn + Pm, ym = ∞ ∑ n=1 bmnxn +Qm, m = 1, 2, . . . существует ограниченное главное решение, если ее коэффициенты неотрицательны и найдут- ся последовательности {rn}, {ρn}, {qm}, {ξm} и числа L≥ l>0 такие, что приm>n коэффициенты бесконечной системы допускают оценки lrn ≤ amnqm ≤ Lrn, lρn ≤ bmnξm ≤ Lρn , причем последовательности {qm}, {ξm} таковы что qmPm ≤ K, ξmQm ≤ K, qmϕm ≤ K, ξmψm ≤ K, ϕm =1− ∞ ∑ n=1 amn; ψm =1− ∞ ∑ n=1 bmn; K=const>0, а последовательности {rn}, {ρn} обладают свой- ствами lim N→∞ N ∑ n=1 rn = lim N→∞ N ∑ n=1 ρn = ∞, rN+1 = o ( N ∑ n=1 rn ) , ρN+1 = o ( N ∑ n=1 ρn ) , Если это решение является единственным ограниченным решением и дополнительно выпол- няется условие m−1 ∑ n=1 ρn m−1 ∑ n=1 rn = O   inf n≥m ξn qm   , m→ ∞, то существует положительный предел реше- ния lim m→∞ xm = lim m→∞ ym = G. (30) 42 В. В. Мелешко, С. О. Папков ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 4. С. 34 – 51 Предлагаемое достаточное условие отличается от признака Коляловича [30] наличием последо- вательностей {rn}, {ρn}, которые в его исходной формулировке полагались тождественно равными единице. Заметим, что без данных последователь- ностей было бы невозможно определить степен- ной характер убывания неизвестных в соотноше- ниях (26), (27). Идейно доказательство сформули- рованной теоремы полностью аналогично доказа- тельству Б. М. Кояловича, поэтому здесь оно не приводится. Бесконечные системы (26), (27) после заме- ны (28) удовлетворяют условиям нашей теоремы. Тогда асимптотическое поведение решения дан- ных систем имеет вид xij m =Gijγ−2−λ m , yij m =Gijδ−2−λ m , m→∞, (31) что позволяет применить к их численному реше- нию метод улучшенной редукции при удержании первых N уравнений и неизвестных. Этот под- ход обеспечивает высокую точность вычисления коэффициентов конечной системы (24), определи- тель которой на собственных частотах обращается в нуль. Например, в случае рассмотренной выше пер- вой собственной частоты квадратной пластинки κ1 =1.8785 можно найти, что Nr =1. Решения си- стем (26), (27) при N=30 позволяют получить ко- нечную систему (24) в виде    0.99748xa 1 − 0.99749ya 1 = 0, −0.99749xa 1 + 0.99748ya 1 = 0. (32) Конечно, из-за небольших погрешностей в вычи- слениях как собственной частоты, так и решений систем (26), (27), определитель данной системы оказывается равным 10−5, однако с увеличени- ем точности вычислений его значение можно сде- лать сколь угодно малым. Поэтому для определе- ния нетривиального решения исследуемой беско- нечной системы (17) отбрасываем одно из урав- нений (32) и строим базисное решение для остав- шегося уравнения: xa 1 =1, ya 1 =1.00001 – очевидно, значение ya 1 содержит погрешность такого же по- рядка, как и коэффициенты (32). Остается по фор- мулам (25) восстановить однородное решение (17), которое представлено в табл. 2. Полученные результаты практически без изме- нений переносятся и на другие типы симметрии колебаний пластинки. Формулы (12) – (14) дают аналитические представления для собственных форм колебаний. Для случая симметрии по обеим Табл. 2. Нетривиальное решение системы (17) для a=b=1, ν=0.225 n xa n, ya n 1 1.00000 2 0.02182 3 0.00548 4 0.00219 5 0.00110 10 0.00014 n→ ∞ 1.48α−2.727 n Табл. 3. Точность выполнения однородного граничного условия ∂2W ∂x2 + ν ∂2W ∂y2 = 0 при x = ±a y W1 W2 W3 0 7.4 · 10−8 7.1 · 10−8 8.5 · 10−7 0.2 7.4 · 10−8 7.1 · 10−8 8.5 · 10−7 0.4 7.5 · 10−8 7.2 · 10−8 8.5 · 10−7 0.6 7.7 · 10−8 7.5 · 10−8 8.4 · 10−7 0.8 9.1 · 10−8 8.8 · 10−8 8.2 · 10−7 1.0 −0.00011 0.0067 −0.003 осям точность выполнения однородных грани- чных условий для первых трех нормированных к максимальному значению собственных форм про- демонстрирована в табл. 3. Видно, что наиболь- шая погрешность достигается в углу пластинки, но и она достаточно мала при относительно не- большом порядке конечных систем в методе улу- чшенной редукции. 4. СРАВНЕНИЕ С РЕШЕНИЕМ РИТЦА И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ После отработки описанного алгоритма на те- стовых примерах были проведены вычисления для квадратной пластинки при значениях коэффици- ента Пуассона ν=0.225 (стекло) и 0.33 (алюми- ний). В работе [14] на основе оптического мето- да голографической интерферометрии (AF-ESPI), экспериментально исследовались собственные ча- стоты и фигуры Хладни алюминиевой пластин- ки размером 80×80×1 мм. В табл. 4 дано сравне- ние первых пяти собственных частот, полученных тремя способами: экспериментально (AF-ESPI), на основе метода конечных элементов (FEM) [14] и согласно нашему алгоритму (T). Представленные В. В. Мелешко, С. О. Папков 43 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 4. С. 34 – 51 Табл. 4. Сравнение вычисленных собственных частот с экспериментом (Гц) n 1 2 3 4 5 AF-ESPI 494 735 890 1271 2330 FEM 510 745 945 1324 2357 T 505 738 935 1314 2335 данные показывают хорошее соответствие между результатами численного моделирования и экспе- риментально найденными собственными частота- ми. Отемим, что Ритц [3] разделил все собствен- ные формы на простые тона, для которых основ- ной член задается в виде unvm±umvn (слу- чаи симметрии “S” и “A”), и двойные тона, для которых собственная форма описывается ли- нейной комбинацией C1unvm+C2umvn (случаи симметрии “SA” и “AS”). Для двойных тонов линейно-независимые решения выбираются в фор- ме W1 =unvm и W2 =unvm − umvn. Следуя данно- му подходу, для двойных тонов, где собственные формы представляются в общем случае формулой W = C1WSA(x, y) +C2WSA(y, x), (33) два линейно-независимых решения также выбира- ем в виде W1 = WSA(x, y), W2 = WSA(x, y) −WSA(y, x). (34) Заметим, что для некоторых фигур Хладни фор- мулы (34) дают зеркально отображенную фигуру. В этих случях, чтобы получить полное соответ- ствие с экспериментом, линейно-независимые ре- шения следует выбрать в форме W1 = WSA(y, x), W2 = WSA(x, y) +WSA(y, x). В табл. 5 представлены первые собственные зна- чения и фигуры Хладни для стеклянной квадра- тной пластинки, найденные по нашему алгоритму в сравнении с результатами Ритца и эксперимен- тальными данными [14]. Значения собственных ча- стот у Ритца даются с небольшой погрешностью, которая возрастает с увеличением частоты, из-за этого некоторые частоты оказываются перестав- ленными местами (5-я и 6-я, 22-я и 23-я, а так- же 25-я и 26-я). Интересно, что некоторые узло- вые линии, которые по приближенному решению методом Ритца выглядят как прямые, в действи- тельности таковыми не являются. Табл. 6 дает сравнение наших результатов с кни- гой [12], в которой можно найти фигуры, не пред- ставленные в предыдущей таблице. Из табл. 5 и 6 можно сделать вывод о том, что для двойных тонов вид фигуры Хладни зависит от условий эксперимента. В некоторых случаях на- блюдается моды WSA(x, y) (моды 4, 9, 16, 19, 20), и WSA(x, y)−WSA(y, x) (моды 4, 9), а в других – WSA(y, x) (моды 5, 12) иWSA(x, y)+WSA(y, x) (мо- ды 5, 12, 16, 19, 26). Очевидно, основную роль здесь играет вид возбуждающей колебания на- грузки. Из таблиц также следует, что фигуры Хладни, кажущиеся в приближенном решении пересечени- ями вертикальных и горизонтальных линий, (см., например, моды 6, 12, 13, 16, 20, 21 из табл. 5 и моды 5, 6, 9 из табл. 6), в действительности имеют более сложную структуру. ВЫВОДЫ Представленный новый алгоритм [32] позволил с высокой точностью определить собственные ча- стоты колебаний пластинки и построить фигуры Хладни. Впервые получено явное аналитическое представление для собственных форм колебаний пластинки. В отличие от использовавшихся ра- нее подходов, для собственных частот построена двойная оценка, которая дала возможность ука- зать величину погрешности в полученных значе- ниях собственных частот. Соответствие результа- тов численного моделирования и эксперименталь- ных данных свидетельствует об эффективности предложенного подхода. На основе полученного точного решения задачи о собственных частотах и формах колебаний пла- стинки со свободными краями проведено сравне- ние с решением Ритца, позволившее сделать сле- дующие выводы. 1. Подтверждено блестящее предположение Ри- тца о том, что собственные формы пластинки могут быть описаны в виде комбинаций соб- ственных функций стрежня. 2. С увеличением частоты колебаний (и по- рядкового номера собственной формы) точ- ность приближения падает, из-за чего у Ри- тца взаимное расположение некоторых сосе- дних форм оказалось перепутанным. 3. В ряде фигур Хладни для приближенного ре- шения имеются прямые линии, хотя экспери- 44 В. В. Мелешко, С. О. Папков ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 4. С. 34 – 51 Табл. 5. Фигуры Хладни для квадратной пластины, ν =0.225 n κn λn = κ4 n λRitz n Согласно [3] Фигура Хладни Эксперимент [14] 1A 1.878 12.454 12.43 u1v1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 2S 2.257 25.949 26.40 u0v2 − v0u2 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 3S 2.443 35.620 35.73 u0v2 + v0u2 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 4SA 2.999 80.895 80.8 u1v2 − v1u2 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 5SA 3.916 235.38 237.1 u0v3 − v0u3 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 6S 4.051 269.31 226 u2v2 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 7A 4.231 320.67 316.1 u1v3 − v1u3 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 8A 4.401 375.22 378 u1v3 + v1u3 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 В. В. Мелешко, С. О. Папков 45 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 4. С. 34 – 51 Продолжение табл. 5 n κn λn = κ4 n λRitz n Согласно [3] Фигура Хладни Эксперимент [14] 9SA 5.198 730.12 746 u2v3 − v2u3 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 10S 5.441 876.42 886 u0v4 − v0u4 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 11S 5.528 933.84 941 u0v4 + v0u4 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 12SA 5.763 1103.38 1131 u1v4 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 13A 6.250 1525.88 1554 u3v3 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 14S 6.422 1700.91 1702 u2v4 − v2u4 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 15S 6.525 1812.68 2020 u2v4 + v2u4 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 16SA 7.055 2476.9 2500 u0v5 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 46 В. В. Мелешко, С. О. Папков ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 4. С. 34 – 51 Окончание табл. 5 n κn λn = κ4 n λRitz n Согласно [3] Фигура Хладни Эксперимент [14] 17A 7.198 2684.4 2713 u1v5 − v1u5 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 18A 7.319 2870.6 2945 u1v5 + v1u5 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 20SA 7.838 3774.1 3927 u5v2 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 21S 8.456 5112.8 5480 u4v4 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 23A 8.613 5503.1 5570 u3v5 − v3u5 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 24S 8.658 5619.1 5640 u0v6 + v0u6 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 25A 8.688 5698.5 6303 u3v5 + v3u5 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 27S 9.223 7235.8 7310 u2v6 − v2u6 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 В. В. Мелешко, С. О. Папков 47 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 4. С. 34 – 51 Табл. 6. Фигуры Хладни для квадратной пластины в сравнении [12], ν=0.225 n κn Согласно [3] Фигура Хладни Эксперимент [12] 4SA 2.999 u1v3 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 5SA 3.916 u0v3 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 - 1 - 0. 5 0 0. 5 1 - 1 - 0. 5 0 0. 5 1 9SA 5.198 u2v3 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 12SA 5.763 u1v4 − v1u4 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 16SA 7.055 u0v5 − v0u5 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 19SA 7.403 u3v4 − v3u4 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 u3v4 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 22S 8.596 u0v6 − v0u6 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 26SA 8.786 u1v6 − v1u6 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 48 В. В. Мелешко, С. О. Папков ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 4. С. 34 – 51 менты дают некоторое их искривление. Сам Ритц объяснял этот факт погрешностью эк- сперимента Точное решение задачи показыва- ет, что кривизна действительно должна на- блюдаться. Благодаря представлению результатов с оцен- кой точности, которую можно сделать сколь уго- дно высокой, авторы выражают надежду, что дан- ное исследование наконец закроет проблему ана- литического построения фигур Хладни. Заметим, что аналогичным способом можно рассмотреть и другие виды граничных условий на сторонах пластинки. Кажущаяся громоздкость получаемых при этом формул оправдывается точ- ностью результатов и эффективной численной ре- ализацией решения задачи о свободных колебани- ях прямоугольной пластинки. 1. Chladni E.-F.-F. Traité d’acoustique.– Paris: Courci- er, 1809.– 375 p. 2. Chladni E. F. F. Die Akustik.– Leipzig: Breitkopf und Härtel, 1802.– 242 s. 3. Ritz W. Theorie der Transversalschwingungen einer quadratischen Platte mit freien Rändern // Ann. Physik.– 1909.– 4 Folge, 28.– S. 737—786. 4. Chladni E. F. F. Neue Beiträge zur Akustik.– Leipzig: Breitkopf und Härtel, 1817.– 90 s. 5. Stöckmann H.-J. Chladni meets Napoleon // Eur. Phys. J. Special Topics.– 2007.– 145.– P. 15—23. 6. Ullmann D. Life and work of E. F. F. Chladni // Eur. Phys. J. Special Topics.– 2007.– 145.– P. 25—32. 7. Bucciarelli L., Dworsky N. Sophie Germain: An essay in the history of the theory of elasticity.– Dordrecht: Reidel, 1980.– 147 p. 8. Tyndall J. Sound: A course of eight lectures delivered at the Royal Institution of Great Britain.– London: Longmans, Green, and Co, 1867.– 341 p. 9. Тиндаль Д. Звук (3-е изд).– М.: Госиздат, 1922.– 327 с. 10. Waller M. D. Chladni figures: A study in symmetry.– London: Bell, 1961.– 163 p. 11. Wheatstone C. On the figures obtained by strewing sand on vibrating surfaces, commonly called acousti- cal figures // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond.– 1833.– 123.– P. 593—633. 12. Waller M. D. Vibration of free square plates: Part I. Normal vibrating modes // Proc. Phys. Soc Lond.– 1939.– B51.– P. 831—844. 13. Waller M. D. Vibration of free rectangular plates // Proc. Phys. Soc. Lond.– 1949.– B62.– P. 277—285. 14. Ma C.-C., Huang C.-H. Experimental whole-field interferometry for transverse vibration of plates // J. Sound Vib.– 2004.– 271.– P. 493—506. 15. Nieves F. J., Gascón, Bayón A. Natural frequenci- es and mode shapes of flexural vibration of plates: Laser-interferometry detection and solutions by Ri- tz’s method // J. Sound Vib.– 2004.– 278.– P. 637— 655. 16. Lord Rayleigh On the nodal lines of a square plate // Phil. Mag.– 1873.– Ser. 4, 46.– P. 166—171, 246–247. 17. Стретт Дж. В. (Лорд Рэлей) Теория звука. Том 2.– М.: Гостехтеориздат, 1955.– 504 с. 18. Lord Rayleigh On the calculation of Chladni’s figures for of a square plate // Phil. Mag.– 1911.– Ser. 6, 22.– P. 225–229. 19. Leissa A. W. The historical bases of the Rayleigh and Ritz methods // J. Sound Vib.– 2005.– 287.– P. 961— 978. 20. Ilanko S. Comments on the historical bases of the Rayleigh and Ritz methods // J. Sound Vib.– 2009.– 319.– P. 731—733. 21. Leissa A. W. Reply to the comments of Sinniah Ilanko // J. Sound Vib.– 2009.– 319.– P. 1330. 22. Leissa A. W. The free vibration of rectangular plates // J. Sound Vib.– 1973.– 31.– P. 257–293. 23. Lemke A. Experimentelle Untersuchungen zur W. Ritzschen Theorie der Transversalschwingungen quadratischer Platten // Ann. Physik.– 1909.– 4 Folge, 86.– S. 717—750. 24. Iguchi S. Die Eigenschwingungen mit Klangfiguren der freien recteckigen Platte // Ing.-Archiv.– 1953.– 21.– S. 304—322. 25. Gorman D. J. Free vibration analysis of the completely free rectangular plate by the method of superposition // J. Sound Vib.– 1978.– 57.– P. 437— 447. 26. Gorman D. J. Free vibration analysis of rectangular plates.– Amsterdam: Elsevier-NorthHolland, 1982.– 324 p. 27. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.– К.: Наукова думка, 1981.– 284 с. 28. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближен- ные методы высшего анализа.– М.-Л.: Гостехиздат, 1952.– 695 с. 29. Папков С. О., Чехов В. Н. О локализации соб- ственных частот прямоугольной призмы посред- ством исключения неизвестных в квазирегуляр- ной бесконечной системе // Доп. НАН України.– 2004.– N 10.– С. 57-–62. 30. Коялович Б. М. Исследование о бесконечных си- стемах линейных алгебраических уравнений // Изв. физ.-мат. ин-та им. В. А. Стеклова.– 1930.– 3, вып. 2.– С. 41—167. 31. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Мари- чев О. И. Интегралы и ряды. Том 1. Элементарные функции.– М.: Наука, 1981.– 800 с. 32. Папков С. О. Установившиеся вынужденные коле- бания призмы при заданных на границе смещени- ях // Акуст. вiсн.– 2008.– 11, N 4.– С. 36–43. 33. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.– М.: Наука, 1984.– 752 с. В. В. Мелешко, С. О. Папков 49 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 4. С. 34 – 51 ПРИЛОЖЕНИЕ Случай симметрии “S” z s m = ∞ ∑ n=1 M s m,nz s n (m = 1, 2, . . .), где z s 1 = y s 0; z s 2 = x s 0; z s 2m−1 = y s m; z s 2m = x s m; M s 1,1 = 0; M s 1,2 = − bκ(ctg κb + cthκb) 2ν ; M s 1,2n−1 = κ6 q2 1nq2 2n ; M s 1,2n = 0; M s 2,1 = − aκ(ctg κa + cth κa) 2ν ; M s 2,2 = 0; M s 2,2n−1 = 0; M s 2,2n = κ6 p2 1np2 2n ; M s 2m−1,1 = 0; M s 2m−1,2 = 4νκ4 ∆s(βm, a)q2 1mq2 2m ; M s 2m−1,2n−1 = 0; M s 2m−1,2n = 4κ2((1 − ν)2α2 nβ2 m + νκ4) ∆s(βm, a)(α2 n + q2 1m)(α2 n + q2 2m) ; M s 2m,1 = 4νκ4 ∆s(αm, b)p2 1mp2 2m ; M s 2m,2 = 0; M s 2m,2n−1 = 4κ2((1 − ν)2α2 mβ2 n + νκ4) ∆s(αm, b)(β2 n + p2 1m)(β2 n + p2 2m) ; M s 2m,2n = 0. Ряды из условий регулярности для системы (15), Sm = ∞ ∑ n=1 \|Ms m,n\|: S1 = bκ 2ν \|ctgκb + cth κb\| + κ2 2 + κ 6 N1 ∑ n=1 1 q2 2n ( 1 \|q2 1n\| − 1 q2 1n ) − κ3b 4 (ctg κb + cth κb) , где N1 = [ κb π ] + 1; S2 = aκ 2ν \|ctgκa + cthκa\| + κ2 2 + κ 6 N2 ∑ n=1 1 p2 2n ( 1 \|p2 1n\| − 1 p2 1n ) − κ3a 4 (ctg κa + cth κa) где N2 = [κa π ] + 1; S2m−1 = 1 \|∆s(βm, a)\| ( 4κ 2 N3 ∑ n=1 (1− ν)2α2 nβ2 m + νκ4 (α2 n + q2 2m) ( 1 \|α2 n + q2 1m\| − 1 α2 n + q2 1m ) + +(κ4 ν − (1 − ν)2q2 1mβ 2 m) ( a q1m cth q1ma − 1 q2 1m ) − (κ4 ν − (1 − ν)2q2 2mβ 2 m) ( a q2m cth q2ma − 1 q2 2m ) + 4νκ4 \|q2 1m\|q2 2m ) ; S2m = 1 \|∆s(αm, b)\| ( 4κ 2 N3 ∑ n=1 (1− ν)2α2 mβ2 n + νκ4 (β2 n + p2 2m) ( 1 \|β2 n + p2 1m\| − 1 β2 n + p2 1m ) + +(κ4 ν − (1 − ν)2p2 1mα 2 m) ( b p1m cth p1mb − 1 p2 1m ) − (κ4 ν − (1− ν)2p2 2mα 2 m) ( b p2m cth p2mb − 1 p2 2m ) + 4νκ4 \|p2 1m\|p2 2m ) , где N3 =   √ √ √ √max ( 0, (aκ π )2 − (a b )2 , ( bκ π )2 − ( b a )2 )   + 1. Случай симметрии “SA” z sa m = ∞ ∑ n=1 M sa m,nz sa n (m = 1, 2, . . .), где z sa 1 = x sa 0 ; z sa 2m = x s m; z s 2m+1 = y s m; M sa 1,1 = 0; M sa 1,2n = 0; M sa 1,2n+1 = 2νκ6 b(th κb − tg κb)q2 3nq2 4n ; M sa 2m,1 = 0; M sa 2m,2n = 0; 50 В. В. Мелешко, С. О. Папков ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2009. Том 12, N 4. С. 34 – 51 M sa 2m,2n+1 = 4κ4((1− ν)2α2 mδ2 n + νκ4) ∆s(αm, b)(δ2 n + p2 1m)(δ2 n + p2 2m) ; M sa 2m+1,1 = 4νκ3 ∆a(δm, a)q2 3mq2 4m ; M sa 2m+1,2n = 4κ4((1 − ν)2α2 nδ2 m + νκ4) ∆s(δm, a)(α2 n + q2 3m)(α2 n + q2 4m) ; M sa 2m+1,2n+1 = 0; Ряды из условий регулярности для системы (16), Sm = ∞ ∑ n=1 \|Ms mna\|: S1 = νκ3 2 tg κb − th κb \|tg κb − th κb\| + 2νκ6 \|tgκb − thκb\| N4 ∑ n=1 1 q2 2n ( 1 \|q2 1n\| − 1 q2 1n ) ; S2m = 1 \|∆a(αm, a)\| ( 4κ 2 N5 ∑ n=1 (1 − ν)2α2 mδ2 n + νκ4 (δ2 n + p2 2m) ( 1 \|δ2 n + p2 1m\| − 1 δ2 n + p2 1m ) + +(κ4 ν − (1− ν)2p2 1mα 2 m) b th p1mb p1m − (κ4 ν − (1 − ν)2p2 2mα 2 m) b th p2mb p2m ) ; S2m+1 = 1 \|∆s(δm, a)\| ( 4κ 2 N6 ∑ n=1 (1 − ν)2α2 nδ2 m + νκ4 (α2 n + q2 4m) ( 1 \|α2 n + q2 3m\| − 1 α2 n + q2 3m ) + +(κ4 ν − (1− ν)2q2 3mδ 2 m) ( a q3m cth q3ma − 1 q2 3m ) − (κ4 ν − (1 − ν)2q2 4mδ 2 m) ( a q4m cth q4ma − 1 q2 4m ) + 4νκ4 \|q2 3m\|q2 4m ) , где N4= [ κb π + 1 2 ] +1; N5=   √ √ √ √max ( 0, ( bκ π )2 − ( b a )2 ) + 1 2   + 1; N6= [ √ max ( 0, (aκ π )2 − ( a 2b )2 ) ] +1. Случай симметрии “A” z a m = ∞ ∑ n=1 M a m,nz a n, (m = 1, 2, . . .), где z a 2m−1 = x a m; z a 2m = y a m; M a 2m−1,2n−1 = 0; M a 2m−1,2n = 4κ4((1− ν)2γ2 mδ2 n + νκ4) ∆a(γm, b)(δ2 n + p2 3m)(δ2 n + p2 4m) ; M a 2m,2n−1 = 4κ4((1− ν)2γ2 nδ2 m + νκ4) ∆a(δm, a)(γ2 n + q2 3m)(γ2 n + q2 4m) ; M a 2m,2n = 0; Ряды из условий регулярности для системы (17), Sm = ∞ ∑ n=1 \|Ma mn\|: S2m−1 = 1 \|∆a(γm, b)\| ( 4κ 2 N7 ∑ n=1 (1 − ν)2γ2 mδ2 n + νκ4 (δ2 n + p2 4m) ( 1 \|δ2 n + p2 3m\| − 1 δ2 n + p2 3m ) + +(κ4 ν − (1 − ν)2p2 3mγ 2 m) b thp3mb p3m − (κ4 ν − (1 − ν)2p2 4mγ 2 m) b th p4mb p4m ) ; S2m = 1 \|∆a(δm, a)\| ( 4κ 2 N7 ∑ n=1 (1 − ν)2γ2 nδ2 m + νκ4 (γ2 n + q2 4m) ( 1 \|γ2 n + q2 3m\| − 1 γ2 n + q2 3m ) + +(κ4 ν − (1 − ν)2q2 3mδ 2 m) a th q3ma q3m − (κ4 ν − (1− ν)2q2 4mδ 2 m) a th q4ma q4m ) , где N7 =   √ √ √ √max ( 0, (aκ π )2 − ( a 2b )2 , ( bκ π )2 − ( b 2a )2 ) + 1 2   + 1. В. В. Мелешко, С. О. Папков 51
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87291
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-7507
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T16:37:44Z
publishDate	2009
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
record_format	dspace
spelling	Мелешко, В.В. Папков, С.О. 2015-10-16T18:01:07Z 2015-10-16T18:01:07Z 2009 Изгибные колебания упругих прямоугольных пластин со свободными краями: от Хладни (1809) и Ритца (1909) до наших дней / В.В. Мелешко, С.О. Папков // Акустичний вісник — 2009. —Т. 12, № 4. — С. 34-51. — Бібліогр.: 33 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87291 539.3 Рассмотрена классическая задача о колебаниях пластины со свободными краями. На основе метода суперпозиции ее решение сведено к однородной квазирегулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. С помощью достаточного условия существования ограниченного решения для квазирегулярной системы найдены собственные частоты колебаний пластины. Для них на основе анализа асимптотического поведения неизвестных построены нетривиальные решения системы, позволяющие получить аналитические представления собственных форм колебаний. Исследована точность выполнения однородных граничных условий, проведено сравнение теоретических данных с экспериментальными. Розглянуто класичну задачу про коливання пластини з вільними краями. На базі методу суперпозиції її розв'язання зведено до однорідної квазирегулярної нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. За допомогою достатньої умови існування обмеженого розв'язку для квазирегулярної системи знайдені власні частоти коливань пластини. Для них на базі аналізу асимптотичної поведінки невідомих побудовані нетривіальні розв'язки системи, які дозволяють одержати аналітичні представлення власних форм коливань. Досліджено точність виконання однорідних граничних умов, проведено порівняння теоретичних даних з експериментальними. A classic problem on vibration of the plate with free edges has been considered. On the base of the superposition method, its solving has been reduced to a homogeneous quasiregular infinite system of linear algebraic equations. Plate's eigenfrequencies have been found using the sufficient condition for existence of a limited solution of a quasiregular system. The nontrivial solutions of the system corresponding to these frequencies have been constructed by analyzing the asymptotic behavior of the unknown values, that allow the obtaining of analytical representations for vibration eigenforms. The accuracy of satisfying of the homogeneous boundary conditions has been studied and theoretical data have been compared with the experimental ones. ru Інститут гідромеханіки НАН України Акустичний вісник Изгибные колебания упругих прямоугольных пластин со свободными краями: от Хладни (1809) и Ритца (1909) до наших дней Bending vibration of the rectangular elastic plates with free edges: from Chladni (1809) and Ritz (1909) to the present day Article published earlier
spellingShingle	Изгибные колебания упругих прямоугольных пластин со свободными краями: от Хладни (1809) и Ритца (1909) до наших дней Мелешко, В.В. Папков, С.О.
title	Изгибные колебания упругих прямоугольных пластин со свободными краями: от Хладни (1809) и Ритца (1909) до наших дней
title_alt	Bending vibration of the rectangular elastic plates with free edges: from Chladni (1809) and Ritz (1909) to the present day
title_full	Изгибные колебания упругих прямоугольных пластин со свободными краями: от Хладни (1809) и Ритца (1909) до наших дней
title_fullStr	Изгибные колебания упругих прямоугольных пластин со свободными краями: от Хладни (1809) и Ритца (1909) до наших дней
title_full_unstemmed	Изгибные колебания упругих прямоугольных пластин со свободными краями: от Хладни (1809) и Ритца (1909) до наших дней
title_short	Изгибные колебания упругих прямоугольных пластин со свободными краями: от Хладни (1809) и Ритца (1909) до наших дней
title_sort	изгибные колебания упругих прямоугольных пластин со свободными краями: от хладни (1809) и ритца (1909) до наших дней
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87291
work_keys_str_mv	AT meleškovv izgibnyekolebaniâuprugihprâmougolʹnyhplastinsosvobodnymikraâmiothladni1809iritca1909donašihdnei AT papkovso izgibnyekolebaniâuprugihprâmougolʹnyhplastinsosvobodnymikraâmiothladni1809iritca1909donašihdnei AT meleškovv bendingvibrationoftherectangularelasticplateswithfreeedgesfromchladni1809andritz1909tothepresentday AT papkovso bendingvibrationoftherectangularelasticplateswithfreeedgesfromchladni1809andritz1909tothepresentday

Изгибные колебания упругих прямоугольных пластин со свободными краями: от Хладни (1809) и Ритца (1909) до наших дней

Репозитарії

Схожі ресурси