Інваріантні міри на діаграмах Браттелі (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 17 червня 2015 р.)
Результати, висвітлені у доповіді, присвячено проблемі класифікації канторівських динамічних систем з точністю до орбітальної еквівалентності. Ключову роль у такій класифікації відіграє дослідження інваріантних мір для цих динамічних систем. Наведено повну класифікацію широкого класу як скінченних...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Вісник НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87382 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Інваріантні міри на діаграмах Браттелі (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 17 червня 2015 р.) / О.М. Карпель // Вісник Національної академії наук України. — 2015. — № 9. — С. 80-85. — Бібліогр.: 26 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87382 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Карпель, О.М. 2015-10-17T16:54:01Z 2015-10-17T16:54:01Z 2015 Інваріантні міри на діаграмах Браттелі (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 17 червня 2015 р.) / О.М. Карпель // Вісник Національної академії наук України. — 2015. — № 9. — С. 80-85. — Бібліогр.: 26 назв. — укр. 0372-6436 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87382 517.987.5 Результати, висвітлені у доповіді, присвячено проблемі класифікації канторівських динамічних систем з точністю до орбітальної еквівалентності. Ключову роль у такій класифікації відіграє дослідження інваріантних мір для цих динамічних систем. Наведено повну класифікацію широкого класу як скінченних, так і нескiнченних борелiвських мiр на канторiвських просторах. Зокрема, отримано повну класифікацію ергодичних мiр, iнварiантних для аперiодичних пiдстановочних динамiчних систем. Такі міри є інваріантними для кофінального відношення еквівалентності на просторах шляхів стаціонарних діаграм Браттелі. Досліджено структуру ергодичних мір на просторі шляхів довільної діаграми Браттелі, зокрема, знайдено опис піддіаграм, які є носіями скінченних ергодичних інваріантних мір. Ці результати є суттєвим кроком на шляху вирішення відкритого питання щодо класифікації канторівських аперіодичних динамічних систем з точністю до орбітальної еквівалентності. Результаты, изложенные в докладе, посвящены проблемам классификации канторовских динамических систем с точностью до орбитальной эквивалентности. Ключевую роль в такой классификации играет исследование инвариантных мер для данных динамических систем. Дана полная классификация широкого класса как конечных, так и бесконечных борелевских мер на канторовских пространствах. В частности, получена полная классификация эргодических мер, инвариантных для апериодических подстановочных динамических систем. Такие меры являются инвариантными для кофинального отношения эквивалентности на пространстве путей стационарных диаграмм Браттели. Исследована структура эргодических мер на пространстве произвольных диаграмм Браттели, в частности, найдено описание поддиаграмм, которые являются носителями конечных эргодических инвариантных мер. Эти результаты являются существенным шагом на пути решения открытого вопроса о классификации канторовских апериодических динамических систем с точностью до орбитальной эквивалентности. The results, stated in the report, are devoted to the problem of classification of Cantor dynamical systems up to orbit equivalence. The study of invariant measures for such dynamical systems plays the crucial role in the classification. The complete classification of the wide class of both finite and infinite Borel measures on Cantor spaces is given. In particular, the complete classification of ergodic invariant measures for aperiodic substitution dynamical systems is obtained. Such measures are invariant for the cofinal equivalence relation on the path spaces of stationary Bratteli diagrams. The structure of ergodic measures on the path space of an arbitrary Bratteli diagram is studied, in particular, the description of subdiagrams supporting finite ergodic invariant measures is found. These results are essential for deciding an open question about the classification of Cantor aperiodic dynamical systems up to orbit equivalence. Доповідач висловлює глибоку подяку провідному науковому співробітнику відділу математичної фізики ФТІНТ НАН України доктору фізико-математичних наук С.І. Безуглому та професору Університету інформаційних технологій та менеджменту ім. Тадеуша Котарбінського (Ольштин), доктору Яну Квятковському за допомогу в роботі та численні обговорення матеріалу. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Вісник НАН України Молоді вчені Інваріантні міри на діаграмах Браттелі (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 17 червня 2015 р.) Инвариантные меры на диаграммах Браттели (по материалам научного сообщения на заседании Президиума НАН Украины 17 июня 2015 года) Invariant measures on Bratteli diagrams (information from scientific report at the meeting of Presidium of NAS of Ukraine, June 17, 2015) Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Інваріантні міри на діаграмах Браттелі (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 17 червня 2015 р.) |
| spellingShingle |
Інваріантні міри на діаграмах Браттелі (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 17 червня 2015 р.) Карпель, О.М. Молоді вчені |
| title_short |
Інваріантні міри на діаграмах Браттелі (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 17 червня 2015 р.) |
| title_full |
Інваріантні міри на діаграмах Браттелі (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 17 червня 2015 р.) |
| title_fullStr |
Інваріантні міри на діаграмах Браттелі (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 17 червня 2015 р.) |
| title_full_unstemmed |
Інваріантні міри на діаграмах Браттелі (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 17 червня 2015 р.) |
| title_sort |
інваріантні міри на діаграмах браттелі (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні президії нан україни 17 червня 2015 р.) |
| author |
Карпель, О.М. |
| author_facet |
Карпель, О.М. |
| topic |
Молоді вчені |
| topic_facet |
Молоді вчені |
| publishDate |
2015 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Вісник НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Инвариантные меры на диаграммах Браттели (по материалам научного сообщения на заседании Президиума НАН Украины 17 июня 2015 года) Invariant measures on Bratteli diagrams (information from scientific report at the meeting of Presidium of NAS of Ukraine, June 17, 2015) |
| description |
Результати, висвітлені у доповіді, присвячено проблемі класифікації канторівських динамічних систем з точністю до орбітальної еквівалентності. Ключову роль у такій класифікації відіграє дослідження інваріантних
мір для цих динамічних систем. Наведено повну класифікацію широкого
класу як скінченних, так і нескiнченних борелiвських мiр на канторiвських
просторах. Зокрема, отримано повну класифікацію ергодичних мiр, iнварiантних для аперiодичних пiдстановочних динамiчних систем. Такі міри є інваріантними для кофінального відношення еквівалентності на просторах шляхів стаціонарних діаграм Браттелі. Досліджено структуру ергодичних мір на просторі шляхів довільної діаграми Браттелі, зокрема, знайдено опис піддіаграм, які є носіями скінченних ергодичних інваріантних мір. Ці результати є суттєвим кроком на шляху вирішення відкритого питання щодо класифікації канторівських аперіодичних динамічних систем з точністю до орбітальної еквівалентності.
Результаты, изложенные в докладе, посвящены проблемам классификации канторовских динамических систем с
точностью до орбитальной эквивалентности. Ключевую роль в такой классификации играет исследование
инвариантных мер для данных динамических систем. Дана полная классификация широкого класса как конечных,
так и бесконечных борелевских мер на канторовских пространствах. В частности, получена полная классификация эргодических мер, инвариантных для апериодических подстановочных динамических систем. Такие меры являются инвариантными для кофинального отношения эквивалентности на пространстве путей стационарных диаграмм Браттели. Исследована структура эргодических мер на пространстве произвольных диаграмм Браттели, в частности, найдено описание поддиаграмм, которые являются носителями конечных эргодических инвариантных мер. Эти результаты являются существенным шагом на пути решения открытого вопроса о классификации канторовских апериодических динамических систем с точностью до орбитальной эквивалентности.
The results, stated in the report, are devoted to the problem of classification of Cantor dynamical systems up to orbit
equivalence. The study of invariant measures for such dynamical systems plays the crucial role in the classification. The
complete classification of the wide class of both finite and infinite Borel measures on Cantor spaces is given. In particular,
the complete classification of ergodic invariant measures for aperiodic substitution dynamical systems is obtained. Such
measures are invariant for the cofinal equivalence relation on the path spaces of stationary Bratteli diagrams. The
structure of ergodic measures on the path space of an arbitrary Bratteli diagram is studied, in particular, the description
of subdiagrams supporting finite ergodic invariant measures is found. These results are essential for deciding an open
question about the classification of Cantor aperiodic dynamical systems up to orbit equivalence.
|
| issn |
0372-6436 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87382 |
| citation_txt |
Інваріантні міри на діаграмах Браттелі (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 17 червня 2015 р.) / О.М. Карпель // Вісник Національної академії наук України. — 2015. — № 9. — С. 80-85. — Бібліогр.: 26 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT karpelʹom ínvaríantnímírinadíagramahbrattelízamateríalaminaukovogopovídomlennânazasídanníprezidíínanukraíni17červnâ2015r AT karpelʹom invariantnyemerynadiagrammahbrattelipomaterialamnaučnogosoobŝeniânazasedaniiprezidiumananukrainy17iûnâ2015goda AT karpelʹom invariantmeasuresonbrattelidiagramsinformationfromscientificreportatthemeetingofpresidiumofnasofukrainejune172015 |
| first_indexed |
2025-11-24T16:25:00Z |
| last_indexed |
2025-11-24T16:25:00Z |
| _version_ |
1850485197267533824 |
| fulltext |
80 ISSN 1027-3239. Вісн. НАН України, 2015, № 9
КАРПЕЛЬ
Олена Михайлівна —
кандидат фізико-математичних
наук, науковий співробітник
Фізико-технічного інституту
низьких температур
ім. Б.І. Вєркіна НАН України,
helen.karpel@gmail.com
УДК 517.987.5
ІНВАРІАНТНІ МІРИ
НА ДІАГРАМАХ БРАТТЕЛІ
За матеріалами наукового повідомлення
на засіданні Президії НАН України
17 червня 2015 року
Результати, висвітлені у доповіді, присвячено проблемі класифікації кан-
торівських динамічних систем з точністю до орбітальної еквівалентнос-
ті. Ключову роль у такій класифікації відіграє дослідження інваріантних
мір для цих динамічних систем. Наведено повну класифікацію широкого
класу як скінченних, так і нескiнченних борелiвських мiр на канторiвських
просторах. Зокрема, отримано повну класифікацію ергодичних мiр, iн-
варiантних для аперiодичних пiдстановочних динамiчних систем. Такі міри
є інваріантними для кофінального відношення еквівалентності на просто-
рах шляхів стаціонарних діаграм Браттелі. Досліджено структуру ерго-
дичних мір на просторі шляхів довільної діаграми Браттелі, зокрема, зна-
йдено опис піддіаграм, які є носіями скінченних ергодичних інваріантних
мір. Ці результати є суттєвим кроком на шляху вирішення відкритого пи-
тання щодо класифікації канторівських аперіодичних динамічних систем
з точністю до орбітальної еквівалентності.
Ключові слова: канторівська динамічна система, ергодична інваріантна
міра, діаграма Браттелі, орбітальна еквівалентність.
Вступ
Класична математична теорія динамічних систем виникла з
ньютонової механіки в другій половині XVII ст. при вивченні
рухів планет Сонячної системи. Ця теорія розвивалася впро-
довж XVIIІ і ХІХ ст. Засновником сучасної теорії динамічних
систем вважають А. Пуанкаре, який наприкінці ХІХ ст. на-
писав книгу «Нові методи небесної механіки». Наразі теорія
динамічних систем є однією з важливих галузей математики,
вона бурхливо розвивається і має численні застосування в різ-
номанітних сферах науки. Наприклад, за допомогою цієї теорії
моделюють фізичні процеси, які виникають, зокрема, у кла-
сичній механіці та термодинаміці, у біології при вивченні змін
чисельності популяцій тварин, у хімії, метеорології, економіці,
соціології тощо. При цьому вивчають якісну поведінку систе-
ми та її еволюцію з плином часу.
МОЛОДІ МОЛОДІ
ВЧЕНІВЧЕНІ
doi: 10.15407/visn2015.09.080
ISSN 1027-3239. Вісн. НАН України, 2015, № 9 81
МОЛОДІ ВЧЕНІ
ностей символів, наприклад з усіх послідов-
ностей, що складаються з нулів та одиниць.
Найчастіше фазовий простір є канторівською
множиною, тобто символічні динамічні систе-
ми є канторівськими. Є багато еквівалентних
реалізацій канторівської множини. Залежно
від ситуації зручно використовувати ту чи іншу
реалізацію. Наприклад, згадана вище множина
всіх нескінченних послідовностей з символів
{0,1} є канторівською. Іншу реалізацію канто-
рівської множини, яку винайшов Г. Кантор у
XIX ст., називають стандартною. У просторі
її можна отримати шляхом поступового вики-
дання точок з одиничного куба (рис. 2). Кан-
торівська множина являє собою континуум
точок, що є цілком незв’язним, і нагадує пил.
Її часто називають канторівським пилом. Ще
однією реалізацією канторівської множини,
яку використовують у математичній фізиці, є
множина р-адичних чисел.
Діаграми Браттелі та класифікація
канторівських динамічних систем
У дослідженнях, що проводилися разом з ко-
легами з України та Польщі, використовується
Будь-яка динамічна система складається з
трьох елементів: фазового простору, точками
якого є всі можливі стани системи, часу та за-
кону, за яким система змінюється у часі. Зазви-
чай дуже важко відстежити траєкторію кожної
конкретної точки в системі, але часто можливо
описати якісну поведінку системи в цілому.
Наприклад, рух планет сонячної системи є
майже періодичним: для будь-якого початко-
вого стану, система буде постійно повертатися
в довільно малий окіл цього стану. Такі системи
називають мінімальними. Термодинамічні сис-
теми демонструють іншу поведінку: ізольована
термодинамічна система наближується до ста-
ну рівноваги. Цей стан називають атрактором,
оскільки він притягує до себе траєкторії всіх
точок. Відкрита термодинамічна система може
мати цілу циклічну динамічну підсистему як
атрактор. У метеорології є системи, що мають
складну хаотичну поведінку (рис. 1).
З огляду на таку різноманітність у поведін-
ці динамічних систем, природним чином по-
стає завдання класифікації та систематизації
отриманих результатів досліджень. У цьому
допомагає такий розділ теорії динамічних сис-
тем, як символічна динаміка. Вперше симво-
лічна динаміка виникла в роботах М. Морса і
Г. Хедлунда [1, 2] в першій половині XX ст. як
метод вивчення довільних динамічних систем
шляхом кодування траєкторій точок. У по-
дальшому методи цієї теорії широко застосо-
вували в інших галузях математики, зокрема
в лінійній алгебрі, в теорії зберігання та коду-
вання даних тощо. Також символічні системи,
а саме, підстановочні динамічні системи, вини-
кають у фізиці при вивченні спектра дискрет-
ного оператора Шредингера для моделювання
електронних властивостей квазікристалів, за
відкриття яких у 2011 р. видатний фізик і хі-
мік Д. Шехтман отримав Нобелівську премію
з хімії. Отже, символічна динамічна система є
універсальною: будь-яку довільну динамічну
систему можна розглядати як символічну. Та-
ким чином, ключовим є питання класифікації
символічних систем.
Фазовий простір символічних динамічних
систем складається з нескінченних послідов-
Рис. 1. Приклади якісної поведінки динамічних сис-
тем: мінімальні системи, точка-атрактор, цикл-ат рак-
тор, хаотична поведінка
82 ISSN 1027-3239. Вісн. НАН України, 2015, № 9
МОЛОДІ ВЧЕНІ
модель канторівської множини, яку називають
діаграмою Браттелі. Цю модель широко за-
стосовують при вивченні динамічних систем
[3—5]. Діаграма Браттелі є нескінченним гра-
фом, у якому множина вершин розбита на
нескінченну кількість рівнів, на кожному рів-
ні знаходиться скінченна кількість вершин
(рис. 3). Простір нескінченних шляхів діагра-
ми Браттелі, що починаються з верхньої вер-
шини V0, є канторівською множиною.
Нескінченні графи, які пізніше було названо
діаграмами Браттелі, вперше виникли в 1972 р.
у відомій роботі О. Браттелі [6], присвяченій
класифікації операторних алгебр. У 80-х роках
ХХ ст. А. Вершик [7] зробив значний крок у
вивченні динамічних систем, увівши перетво-
рення на цих графах, яке пізніше було названо
перетворенням Вершика. Виявилося, що отри-
мана динамічна система Браттелі—Вершика
моделює широкий клас канторівських дина-
мічних систем. А саме, будь-який мінімальний
і навіть аперіодичний гомеоморфізм канторів-
ської множини можна реалізувати як перетво-
рення Вершика на діаграмі Браттелі. Зазначи-
мо, що для мінімальних систем цей результат
було отримано у роботі Р. Хермана, Є. Патнама
та К. Скау в 1992 р. [8], тоді як для немінімаль-
них аперіодичних систем відповідну реалі-
зацію було одержано лише у 2006 р. у роботі
К. Мединця [9].
Для класифікації канторівських динаміч-
них систем ключову роль відіграє класифіка-
ція відповідних інваріантних мір з точністю
до гомеоморфізму (топологічної еквівалент-
ності). Наразі існує критерій орбітальної ек-
вівалентності для мінімальних динамічних
систем. Разом з іншими важливими результа-
тами його було отримано у роботі Т. Жорда-
но, Є. Патнама і К. Скау в 1995 р. [10]. При
його формулюванні використовують гомео-
морфність інваріантних мір. Питання про
класифікацію немінімальних аперіодичних
динамічних систем досі залишається від-
критим. У моїх роботах разом зі співавтором
С. Безуглим досліджено класифікацію мір на
канторівських множинах, інваріантних для
немінімальних динамічних систем [11, 12].
Зокрема, докладно вивчено випадок мір, ін-
варіантних для підстановочних динамічних
систем. Використовується той факт, що такі
міри є інваріантними для кофінального від-
ношення еквівалентності на просторі шляхів
стаціонарних діаграм Браттелі. Цей зв’язок
доведено для мінімальних систем у роботі
Ф. Дюрана, Б. Хоста та К. Скау [13], а для не-
мінімальних аперіодичних — у роботі С. Без-
углого, Я. Квятковського та К. Мединця [14].
Реалізація гомеоморфізму як перетворення
Вершика на діаграмі Браттелі дає змогу ефек-
тивно розраховувати значення мір на різно-
манітних множинах, що відіграє основну роль
при класифікації мір. Зазначимо, що проблема
класифікації борелівських мір на топологіч-
них просторах сама по собі є важливою та ак-
Рис. 2. Канторівський пил
ISSN 1027-3239. Вісн. НАН України, 2015, № 9 83
МОЛОДІ ВЧЕНІ
туальною, вона ставилася ще в статтях відомих
математиків Дж. Окстобі та С. Улама у 1941 р.
[15]. Їх результати були узагальнені на випадки
різних зв’язних многовидів (наприклад, [16]).
У 1999 р. І. Ейкін [17] розпочав систематичне
вивчення гомеоморфних мір на канторівських
множинах. Проблема класифікації мір на кан-
торівських множинах розглядалася в числен-
них роботах починаючи з 1979 р. [18—20], але
вивчалися лише ймовірнісні міри, до того ж
переважна більшість результатів стосувалася
випадку мір Бернуллі.
На відміну від випадку мінімальних систем,
для аперіодичних динамічних систем виника-
ють нескінченні борелівські міри як інваріант-
ні міри. У моїй роботі [12] вперше розглянуто
класифікацію нескінченних борелівських мір
на канторівських просторах відносно гомео-
морфізмів. Введено і досліджено поняття не-
скінченної недефектної міри, для класу нескін-
ченних недефектних мір знайдено необхідні й
достатні умови для гомеоморфності. Доведено,
що існує континуум попарно негомеоморф-
них нескінченних недефектних мір на канто-
рівському просторі. У статті [21] узагальнено
класифікацію мір на випадок некомпактного
локально компактного канторівського просто-
ру, проведено класифікацію як скінченних, так
і нескінченних мір на некомпактних канторів-
ських множинах. Прикладом такої множини є
множина всіх р-адичних чисел, тоді як множи-
на цілих р-адичних чисел є компактною канто-
рівською множиною.
У роботі [22] разом зі співавтором С. Без-
углим докладно вивчено клас орбітальної ек-
вівалентності для підстановочних динамічних
систем. Зокрема, побудовано нескінченний
клас орбітальної еквівалентності серед класу
мінімальних підстановочних динамічних сис-
тем. Для побудови такого класу використано
апарат діаграм Браттелі, а також методи сим-
волічної динаміки, зокрема, знайдено оцінки
для функції складності символьних послідов-
ностей, що виникають у підстановочних дина-
мічних системах.
У роботах [23, 24] разом із колегами з Поль-
щі та України досліджено структуру інваріант-
них мір на просторі шляхів довільних діаграм
Браттелі, зокрема, знайдено опис піддіаграм,
які є носіями скінченних ергодичних інварі-
антних мір, також наведено деякі оцінки на
кількість ергодичних інваріантних мір для ши-
рокого класу діаграм Браттелі. Ергодичні міри
є крайніми точками у симплексі інваріантних
мір, їх дослідження є вирішальним для вивчен-
ня довільних інваріантних мір. Ці результати
є суттєвим кроком на шляху класифікації мір,
інваріантних відносно аперіодичних гомео-
морфізмів канторівських просторів.
У подальшому планується дослідити за-
стосування діаграм Браттелі в теорії мереж
живлення, зокрема електричних мереж, на-
разі це питання обговорюється з колега-
ми із США та Канади. Також планується
дослiдити ймовiрнiсні процеси на діаграмах
Браттелi і застосувати отриману класифіка-
цію для мір Маркова (перші кроки в цьому
напрямі зроблено в роботі С. Безуглого та
П. Йоргенсена [25]). Передбачається засто-
сувати отримані результати в теорії графів та
в теорії C*-алгебр. Методи переходу від мір
на канторівських просторах до слідів на C*-
алгебрах досліджено в роботі С. Безуглого
та Д. Хандельмана [26]. Крім того, плануєть-
ся покращити результати, отримані в статті
[24], і знайти більш точні оцінки на кількість
ергодичних інваріантних мір для широкого
класу діаграм Браттелі, використовуючи до-
слідження зі структури інваріантних мір на
просторі шляхів довільних діаграм Браттелі,
отримані в роботах [23, 24].
Рис. 3. Діаграма Браттелі
84 ISSN 1027-3239. Вісн. НАН України, 2015, № 9
МОЛОДІ ВЧЕНІ
Висновки
Проведено класифікацію борелівських скін-
ченних та нескінченних мір на компактних, а
також на некомпактних локально компактних
канторівських просторах. Випадок нескін-
ченних мір, а також мір на некомпактних ло-
кально компактних канторівських просторах
розглядається вперше, що істотно розширює
проведені раніше дослідження. Досліджено
клас орбітальної еквівалентності для підстано-
вочних динамічних систем та структуру інва-
ріантних мір на просторі шляхів довільних діа-
грам Браттелі. Отримано такі нові результати:
1. Знайдено необхідні й достатні умови для
топологічної еквівалентності для класу ймо-
вірнісних та нескінченних ергодичних мір, ін-
варіантних відносно гомеоморфізмів, заданих
аперіодичними підстановочними динамічни-
ми системами.
2. Отримано критерій гомеоморфності для
класу нескінченних мір на компактному канто-
рівському просторі, а також на некомпактному
локально компактному канторівському просторі.
3. Побудовано нескінченний клас орбіталь-
ної еквівалентності в класі підстановочних ди-
намічних систем.
4. Досліджено структуру ергодичних мір на
просторі шляхів довільних діаграм Браттелі,
зокрема, знайдено опис піддіаграм, які є носія-
ми скінченних ергодичних інваріантних мір.
Отримані результати можуть бути викорис-
тані в топологічній динаміці, ергодичній тео-
рії, в теорії міри, а також при вивченні го мео-
морфізмів канторівських множин, зокрема
для класифікації канторівських динамічних
систем з точністю до орбітальної еквівалент-
ності.
Доповідач висловлює глибоку подяку провід-
ному науковому співробітнику відділу матема-
тичної фізики ФТІНТ НАН України доктору
фізико-ма тематичних наук С.І. Безуглому та
професору Університету інформаційних тех-
нологій та менеджменту ім. Тадеуша Котар-
бінського (Ольштин), доктору Яну Квятков-
ському за допомогу в роботі та численні обгово-
рення матеріалу.
REFERENCES
1. Morse M. A one-to-one representation of geodesics on a surface of negative curvature. Am. J. Math. 1921. 43: 33.
2. Morse M., Hedlund G. Symbolic dynamics. Am. J. Math. 1938. 60(4): 815.
3. Durand F. Combinatorics on Bratteli diagrams and dynamical systems. In: Combinatorics, Automata and Number
Theory (Eds. V. Berthe, M. Rigo). (Cambridge: University Press, 2010).
4. Putnam I. Orbit equivalence of Cantor minimal systems: a survey and a new proof. Expo. Math. 2010. 28(2): 101.
Cambridge
5. Bezuglyi S., Karpel O. Bratteli diagrams: structure, measures, dynamics. arXiv:1503.03360.
6. Bratteli O. Inductive limits of finite-dimensional C*-algebras. Trans. Am. Math. Soc. 1972. 171: 195.
7. Vershik A.M. A theorem on Markov periodic approximation іn ergodic theory. Zap. Nauchn. Sem. LOMI. 1982. 115:
72. [in Russian].
8. Herman R.H., Putnam I., Skau C. Ordered Bratteli diagrams, dimension groups, and topological dynamics. Int. J.
Math. 1992. 3(6): 827.
9. Medynets K. Cantor aperiodic systems and Bratteli diagrams. Comptes Rendus Mathematique. 2006. 342(1): 43.
10. Giordano T., Putnam I., Skau C. Topological orbit equivalence and C*-crossed products. J. Reine Angew. Math. 1995.
469: 51.
11. Bezuglyi S., Karpel O. Homeomorphic Measures on Stationary Bratteli Diagrams. J. Funct. Anal. 2011. 261(12):
3519.
12. Karpel O. Infinite measures on Cantor spaces. J. Difference Equ. Appl. 2012. 18(4): 703.
13. Durand F., Host B., Skau C. Substitutional dynamical systems. Bratteli diagrams and dimension groups. Ergodic
Theory Dynam. Syst. 1999. 19(4): 953.
14. Bezuglyi S., Kwiatkowski J., Medynets K. Aperiodic substitution systems and their Bratteli diagrams. Ergodic Theory
Dynam. Syst. 2009. 29(1): 37.
15. Oxtoby J.C., Ulam S.M. Measure preserving homeomorphisms and metrical transitivity. Ann. Math. 1941. 42: 874.
ISSN 1027-3239. Вісн. НАН України, 2015, № 9 85
МОЛОДІ ВЧЕНІ
16. Alpern S., Prasad V.S. Typical Dynamics of Volume Preserving Homeomorphisms. (Cambridge: Cambridge University
Press, 2000).
17. Akin E. Measures on Cantor space. Topology Proc. 1999. 24: 1.
18. Navarro-Bermudez F.J. Topologically equivalent measures in the Cantor space. Proc. Am. Math. Soc. 1979. 77(2): 229.
19. Akin E., Dougherty R., Mauldin R.D., Yingst A. Which Bernoulli measures are good measures? Colloq. Math. 2008.
110: 243.
20. Austin T.D. A pair of non-homeomorphic product measures on the Cantor set. Math. Proc. Cam. Phil. Soc. 2007. 142: 103.
21. Karpel O. Good measures on locally compact Cantor sets. J. Math. Phys. Anal. Geom. 2012. 8: 260.
22. Bezuglyi S., Karpel O. Orbit Equivalent Substitution Dynamical Systems and Complexity. Proc. Am. Math. Soc. 2014.
142: 4155.
23. Bezuglyi S., Karpel O., Kwiatkowski J. Subdiagrams of Bratteli diagrams supporting finite invariant measures.
J. Math. Phys. Anal. Geom. 2015. 11(1): 3.
24. Adamska M., Bezuglyi S., Karpel O., Kwiatkowski J. Subdiagrams and invariant measures of Bratteli diagrams.
arXiv:1502.05690.
25. Bezuglyi S., Jorgensen P. Representations of Cuntz-Krieger relations, dynamics on Bratteli diagrams, and path-space
measures. arXiv:1410.2318.
26. Bezuglyi S., Handelman D. Measures on Cantor sets: The good, the ugly, the bad. Trans. Am. Math. Soc. 2014. 366(12):
6247.
Е.М. Карпель
Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины
просп. Ленина, 47, Харьков, 61103, Украина
ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ НА ДИАГРАММАХ БРАТТЕЛИ
По материалам научного сообщения на заседании Президиума НАН Украины 17 июня 2015 года
Результаты, изложенные в докладе, посвящены проблемам классификации канторовских динамических систем с
точностью до орбитальной эквивалентности. Ключевую роль в такой классификации играет исследование
инвариантных мер для данных динамических систем. Дана полная классификация широкого класса как конечных,
так и бесконечных борелевских мер на канторовских пространствах. В частности, получена полная классифика-
ция эргодических мер, инвариантных для апериодических подстановочных динамических систем. Такие меры
являются инвариантными для кофинального отношения эквивалентности на пространстве путей стационарных
диаграмм Браттели. Исследована структура эргодических мер на пространстве произвольных диаграмм Братте-
ли, в частности, найдено описание поддиаграмм, которые являются носителями конечных эргодических
инвариантных мер. Эти результаты являются существенным шагом на пути решения открытого вопроса о клас-
сификации канторовских апериодических динамических систем с точностью до орбитальной эквивалентности.
Ключевые слова: канторовская динамическая система, эргодическая инвариантная мера, диаграмма Браттели,
орбитальная эквивалентность.
O.M. Karpel
Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of National Academy of Sciences of Ukraine
47 Lenin Ave., Kharkiv, 61103, Ukraine
INVARIANT MEASURES ON BRATTELI DIAGRAMS
Information from scientific report at the meeting of Presidium of NAS of Ukraine, June 17, 2015
The results, stated in the report, are devoted to the problem of classification of Cantor dynamical systems up to orbit
equivalence. The study of invariant measures for such dynamical systems plays the crucial role in the classification. The
complete classification of the wide class of both finite and infinite Borel measures on Cantor spaces is given. In particular,
the complete classification of ergodic invariant measures for aperiodic substitution dynamical systems is obtained. Such
measures are invariant for the cofinal equivalence relation on the path spaces of stationary Bratteli diagrams. The
structure of ergodic measures on the path space of an arbitrary Bratteli diagram is studied, in particular, the description
of subdiagrams supporting finite ergodic invariant measures is found. These results are essential for deciding an open
question about the classification of Cantor aperiodic dynamical systems up to orbit equivalence.
Keywords: Cantor dynamical system, ergodic invariant measure, Bratteli diagram, orbit equivalence.
|