К задаче об ударе шара о вязкоупругую плоскость
Для определения напряжённо-деформированного состояния вязко-упругой плоскости при взаимодействии с металлическим шаром использовалась модель Герца – Динника. Контактная задача решалась с помощью МКЭ; алгоритм решения сводился к последующему выполнению шагов согласно программе МИРЕЛА+. Результаты рас...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Геотехнічна механіка |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87572 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | К задаче об ударе шара о вязкоупругую плоскость / Е.В. Калганков, А.В. Новикова // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2013. — Вип. 113. — С. 104-109. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87572 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Калганков, Е.В. Новикова, А.В. 2015-10-21T16:21:19Z 2015-10-21T16:21:19Z 2013 К задаче об ударе шара о вязкоупругую плоскость / Е.В. Калганков, А.В. Новикова // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2013. — Вип. 113. — С. 104-109. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1607-4556 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87572 621.926.54:678.026 Для определения напряжённо-деформированного состояния вязко-упругой плоскости при взаимодействии с металлическим шаром использовалась модель Герца – Динника. Контактная задача решалась с помощью МКЭ; алгоритм решения сводился к последующему выполнению шагов согласно программе МИРЕЛА+. Результаты расчётов сравнивались с экспериментальными данными. We use the model by Gertz – Dinnik for stress-strain state determination of viscoelastic plane while interacting with metallic ball. Contact problem is solved by finite elements method; algorithm for solving the problem is reduced to subsequent fulfillment of steps according to the program MIRELA+. The calculation results are compared with experimental data. ru Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України Геотехнічна механіка К задаче об ударе шара о вязкоупругую плоскость The problem of ball kick on viscoelastic plane Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
К задаче об ударе шара о вязкоупругую плоскость |
| spellingShingle |
К задаче об ударе шара о вязкоупругую плоскость Калганков, Е.В. Новикова, А.В. |
| title_short |
К задаче об ударе шара о вязкоупругую плоскость |
| title_full |
К задаче об ударе шара о вязкоупругую плоскость |
| title_fullStr |
К задаче об ударе шара о вязкоупругую плоскость |
| title_full_unstemmed |
К задаче об ударе шара о вязкоупругую плоскость |
| title_sort |
к задаче об ударе шара о вязкоупругую плоскость |
| author |
Калганков, Е.В. Новикова, А.В. |
| author_facet |
Калганков, Е.В. Новикова, А.В. |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Геотехнічна механіка |
| publisher |
Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
The problem of ball kick on viscoelastic plane |
| description |
Для определения напряжённо-деформированного состояния вязко-упругой плоскости при взаимодействии с металлическим шаром использовалась модель Герца – Динника. Контактная задача решалась с помощью МКЭ; алгоритм решения сводился к последующему выполнению шагов согласно программе МИРЕЛА+. Результаты расчётов сравнивались с экспериментальными данными.
We use the model by Gertz – Dinnik for stress-strain state determination of viscoelastic plane while interacting with metallic ball. Contact problem is solved by finite elements method; algorithm for solving the problem is reduced to subsequent fulfillment of steps according to the program MIRELA+. The calculation results are compared with experimental data.
|
| issn |
1607-4556 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87572 |
| citation_txt |
К задаче об ударе шара о вязкоупругую плоскость / Е.В. Калганков, А.В. Новикова // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2013. — Вип. 113. — С. 104-109. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kalgankovev kzadačeobudarešaraovâzkoupruguûploskostʹ AT novikovaav kzadačeobudarešaraovâzkoupruguûploskostʹ AT kalgankovev theproblemofballkickonviscoelasticplane AT novikovaav theproblemofballkickonviscoelasticplane |
| first_indexed |
2025-11-24T11:37:32Z |
| last_indexed |
2025-11-24T11:37:32Z |
| _version_ |
1850845457177116672 |
| fulltext |
104
УДК 621.926.54:678.026
Е.В. Калганков, аспирант,
А.В. Новикова, магистр, мл. научн. сотр.
(ИГТМ НАН Украины)
К ЗАДАЧЕ ОБ УДАРЕ ШАРА О ВЯЗКО-УПРУГУЮ ПЛОСКОСТЬ
Аннотация. Для определения напряжённо-деформированного состояния вязко-упругой плоскости
при взаимодействии с металлическим шаром использовалась модель Герца – Динника. Контактная
задача решалась с помощью МКЭ; алгоритм решения сводился к последующему выполнению шагов
согласно программе МИРЕЛА+. Результаты расчётов сравнивались с экспериментальными данными.
Ключевые слова: удар, резиновая футеровка, метод конечных элементов
Ye.V. Kalgankov, Ph. D. Student,
A.V. Novikova, M. S. (Tech.), Junior Researcher
(IGTM NAS of Ukraine)
THE PROBLEM OF BALL KICK ON VISCOELASTIC PLANE
Abstract. We use the model by Gertz – Dinnik for stress-strain state determination of viscoelastic plane
while interacting with metallic ball. Contact problem is solved by finite elements method; algorithm for solv-
ing the problem is reduced to subsequent fulfillment of steps according to the program MIRELA+. The calcula-
tion results are compared with experimental data.
Keywords: kick, rubber lining, finite elements method
Известно [1-5], что в шаровых рудоизмельчительных мельницах основным
фактором разрушения защитных футеровок является абразивный или абразивно-
усталостный износ, обусловленный в том числе и ударами соприкасаемых тел.
Для резиновой футеровки превалирующим является абразивно-усталостный из-
нос, для металлических – абразивный износ; удар и вдавливание при оптималь-
ных параметрах элементов защитных футеровок играют второстепенную роль. Тем
не менее, и ударные нагрузки, и вдавливание соприкасаемых тел вносят опре-
делённый вклад в общий механизм разрушения футеровок. Поэтому на первом
этапе применения резиновых футеровок в горном машиностроении многие авто-
ры уделяли этим исследованиям большое внимание и получили весьма важные
результаты. Эти результаты были использованы для выбора параметров элемен-
тов резиновой футеровки, например, выбора толщины футеровочных плит, и для
определения допускаемых напряжений в материале футеровки.
Ниже рассмотрим процессы удара и вдавливания при взаимодействии фу-
теровки с загрузкой с акцентацией внимания на результатах сравнения поведения
резиновой и металлической футеровок.
Взаимодействие отдельных элементов (шары, куски руды) внутримельнич-
ной загрузки будем моделировать системой «шар-плоскость». Рассмотрим три ос-
новных модели, наиболее полно характеризующих эту систему.
Модель Герца – Динника для удара шара о плоскость.
История этой модели восходит к временам Ньютона, Сен-Венана и Герца;
позже она была развита в работах А.Н. Динника и С.П. Тимошенко.
Применительно к рассматриваемому случаю наиболее удобно исследовать
прямой центральный удар двух упругих тел, т.е. удар шара о тело бесконечно
большой массы, ограниченное плоскостью. Такая задача обычно сводится к рас-
@ Калганков Е.В., Новикова А.В.
Геотехнічна механіка. 2013. 108 105
смотрению процесса соударения двух материальных точек с находящимся между
ними упругим элементом. Этот упругий элемент моделируется пружиной. Такая
модель имеет явные недостатки, но на сегодняшний день это, пожалуй, единст-
венная модель, позволяющая исследовать локальные процессы при вдавливании
или соударении двух упругих тел. Правильность её подтверждена во многих рабо-
тах [3, 4].
Рассмотрим прямой центральный удар двух тел массами m1 и m2, движу-
щимися со скоростями V1 и V2. При соприкосновении тел они начнут деформиро-
ваться: кинетическая энергия относительного движения шара перейдёт частично в
потенциальную энергию деформаций плоскости (т.е. футеровки), частично в энер-
гию упругих волн, в энергию разрушения футеровки, в энергию трения и т.д. Время
удара обычно рассматривается как процесс, состоящий из двух актов: первый акт
от момента касания тел до момента их наибольшего сжатия t2; второй – от момен-
та наибольшего сжатия t2 до момента последнего касания t1.
По закону сохранения количества движения общая скорость в момент наи-
большего сжатия будет
1 1 2 2
1 2
m V m VV
m m
+
=
+
.
А.Н. Динник для соударения шара о плоскость приводит следующие выра-
жения:
• для сближения двух тел
( )( ) 4
5
22 2 2
1 1 25
2 2
1 2
100 16 11
4
E E
R V
E E
π ρ ν
α
− +
= ; (1)
• для нормального напряжения
( )
2
5
4 4
1 1 2
5 24 4 2 4
1 2
104
4 1 ( )
z
E E V
E E
ρσ
π ν
=
− +
; (2)
• для касательного напряжения
( ) ( )
2 22 2 2
1 25
2 2
1 2
100 16 1
0,7358
E E
R
E E
π ρ ν
τ
ν
− +
= , (3)
где ρ1 – плотность шара;
ρ2 – плотность футеровки;
R – радиус шара;
V – скорость удара;
α – сближение тел;
σz – нормальное напряжение;
τ – касательное напряжение;
Е1 и Е2 – модули Юнга шара и футеровки соответственно;
ν – коэффициент Пуассона.
А.Н. Динник провёл обширные экспериментальные исследования различ-
ных материалов в условиях ударных напряжений, в том числе и таких, которые
вызывают разрушение плоскости. При этом он отметил весьма важный факт, поз-
же подтверждённый многими исследователями: материалы (в основном метал-
ISSN 1607-4556 106
лы) локально могут выдерживать большие напряжения без видимых следов раз-
рушения. Причины такого поведения авторы видят в следующем:
• согласно III теории прочности локальные разрушения материала начнутся тогда,
когда касательные напряжения достигнут некоторого максимального значения;
• время удара обычно незначительно и напряжения благодаря релаксационным
свойствам материала не успевают проявиться в полной мере.
По теории А.Н. Динника:
главные напряжения в центре удара ( )1 2 2x y zX Y Z ν= = + ;
для сжатия металла при ν = 0,3 имеем 0,8x y zX Y Z= = ;
для резины при ν = 0,5 имеем x y zX Y Z= = .
При таких условиях материал может выдержать намного большие напряже-
ния, чем при монофазном сжатии. Следует также отметить, что резина благодаря
несжимаемости (ν = 0,5) при ударных нагрузках находится в более благоприятных
условиях, чем металлы. Наибольшие касательные напряжения в центре поверхно-
сти удара, от которых соответственно и зависит разрушение футеровки, будут рав-
ны
( ) 2 10,xz yz z x zT T Z X Z= = − =
а при монофазном сжатии наибольшее касательное напряжение на площадке, со-
ставляющей угол 45° с напряжением zZ , будет
2zT Z= .
В этом и заключается одна из причин более высокой стойкости резины к
ударным нагрузкам, чем металла.
Рассмотрим расчёт нормальных напряжений σz для резиновой футеровки
«плита-плита» мельницы МШЦ 3,6×5,5 (Полтавский ГОК). Данные для расчёта: ре-
зина 541933-1; шар диаметром 40 мм; скорость удара V = 10 м/с; коэффициенты
Пуассона: для стали – ν = 0,3, для резины ν = 0,499; модуль упругости стали
Е1 = 2·105 МПа; модуль упругости резины Е2 = 9,6 МПа, объёмный модуль упруго-
сти резины К2 = 3·102 МПа (определяется экспериментально по методике [2]). Рас-
чёт по формуле (2) даёт σz = 18,2 МПа. Для сравнения приведём эксперименталь-
ные данные, полученные в [1] при исследовании аналогичной резины при сле-
дующих параметрах: скорость удара шара диаметром 60 мм равнялась 12 м/с;
экспериментальное значение глубины лунки при ударе равнялось 1,8 мм; в этом
случае величины нормальных напряжений σz = (18÷25) МПа. Как видно, совпаде-
ние вполне приемлемое. При этом автор [1] рекомендует брать допускаемые на-
пряжения в пределах (25÷28) МПа, а допускаемые деформации – 0,25÷0,30.
Вдавливание шара в плоскость. А.Н. Динник для вдавливания шара в плос-
кость давлением p получил следующие формулы [4]:
• для сближения шара и плоскости
( )22
1 23
9
,
256
p
R
θ θ
α
+
= (4)
• для нормального напряжения
Геотехнічна механіка. 2013. 108 107
( )
3 22
1 2
3 4 ,
9
z
p
R
σ
π θ θ
=
+
(5)
• для радиуса площадки контакта
( )3
1 23 16,a pR θ θ= +
где ( )24 1 ( 1, 2).i i iE iθ ν= − =
Используя эти формулы, для металлического шара (ν1 = 0,3, E1 = 2⋅105 МПа)
радиусом R = 20 мм, вдавливаемого в резиновую футеровку (ν2 = 0,499,
E2 = 5,92 МПа) давлением p = 0,2 МПа, получаем σz = 19,6 МПа.
Алгоритм решения контактной задачи МКЭ. Предполагается, что контакти-
руют два тела, одно из них упругое, второе абсолютно жёсткое, которое не де-
формируется. Алгоритм решения контактной задачи сводится к последовательно-
му выполнению следующих шагов (программа МИРЕЛА+ [5]):
1. На первом шаге нагружения по заданным координатам конструкции {xi},
вычисленным вектору перемещений {ui} и компоненте тензора напряжения {σij}
вычисляется матрица жёсткости [K*].
2. Текущее значение параметров нагрузки определяется следующим обра-
зом
1n n nP P P−= + ∆ .
3. Из системы линейных алгебраических уравнений
*
1 1{ } [ ]{ }n nu K P− −=
находится вектор перемещений. Начальное приближение искомого решения
{∆un(1)} находится с помощью экстраполяционной формулы
(1) 1 1{ } { }n n n nu u P P− −∆ = ∆ ∆ ∆ .
4. Задаются краевые условия непроникания контактирующих тел. К узловым
точкам, которые пересекают границу контакта после нагружения, прикладывается
вектор дополнительной нагрузки, который определяется новым вектором пере-
мещений:
(2) (1) (1){ } { } { },n n nu u v∆ = ∆ − ∆
где {∆un(1)} – вектор перемещения точек без учёта граничных условий;
{∆un(2)} – новый вектор перемещений;
{∆vn(1)} – вектор перемещений от дополнительной загрузки.
Далее вычисляется вектор дополнительной нагрузки *
nP как функция от
{∆vn(1)} и суммируется с вектором нагрузки.
5. Приближённое значение перемещений {∆un(2)} подставляется в линейные
уравнения, определяется вектор узловых невязок {Rn(2)}, численной характеристи-
кой которого является сумма квадратов компонент узловых невязок {R*}. Данная
величина позволяет судить о сходимости получаемых решений.
6. Оценка вектора узловых невязок {Rn(2)} определяется следующим обра-
зом: принимается, то значение вектора перемещений {∆un(2)}, при котором выпол-
няется условие:
2 2
(2)( ) ( ) ,nR P ε< ( 4 210 10ε− −≤ ≤ ). (6)
ISSN 1607-4556 108
7. При выполнении условия (6) вектор {Rn(2)} принимается за дополнитель-
ную нагрузку и подставляется в правую часть системы линейных уравнений.
8. Решается система линейных уравнений, находится приращение нового
вектора перемещений {∆wn(1)} и суммируется с вектором {∆un(2)}:
(3) (2) (1){ } { } { }n n nu u w∆ = ∆ + ∆ .
9. Для нового вектора перемещений {∆un(3)} проверяется условие непрони-
кания. Если точки упругого тела снова проникли в жёсткое тело, то для вектора
{∆un(3)} выполняются пункты 4-8.
10. Итерационный процесс заканчивается при выполнении условия непро-
никания и условия (6) для текущих значений величины вектора невязок узловых
нагрузок.
11. Пересчитываются и значения тензоров деформации и напряжения:
1
1
{ } { } { };
{ } { } { }.
ij ij ij
n n n
ij ij ij
n n n
ε ε ε
σ σ σ
+
+
= + ∆
= + ∆
Результаты расчёта по МКЭ. Изложенный выше алгоритм был применён
для решения контактной зада-
чи для резиновой футеровки, в
которую вдавливается метал-
лический шар. Расчётная схема
приведена на рис. 1. Были за-
даны следующие размеры кон-
тактирующих тел: 1 = 486 мм,
2 = 170 мм, h1 = 50 мм,
h2 = 110 мм, L = 375 мм,
d = 40 мм. Футеровка выполне-
на из резины, для которой
E = 5,92 МПа, ν = 0,499. Давле-
ние шара на футеровку равно
q = 0,2 МПа.
Распределение нор-
мальных напряжений σ22 пока-
зано на рис. 2. Как видно, мак-
симальное по величине на-
пряжение будет в центре по-
верхности контакта, расчётная
величина его равна
σz = 19,08 МПа.
Экспериментальные ис-
следования. Такие исследова-
ния проводились на универ-
сальном стенде FP 100/1 с ав-
томатической записью кривой
«нагрузка-деформация». Ис-
Рис. 1 – Расчётная схема
Рис. 2 – Распределение напряжений σ22 в футеровке
Геотехнічна механіка. 2013. 108 109
следованиям подвергались плиты резиновой футеровки типа «плита-плита» мель-
ницы МШЦ 3,6×5,5: толщина плит 160 мм; диаметр контактируемого металличе-
ского шара 40 мм; скорость нагружения (скорость сближения шара с футеровоч-
ной плитой) V = 0,2 м/с; резина 541933-1. В процессе экспериментальных исследо-
ваний фиксировалось давление р шара на футеровку и сближение контактирую-
щих тел α. Усреднённые экспериментальные данные были следующими:
р = (0,18÷0,22) МПа; α = (1,72÷1,8) см. В этом случае по формуле (5) получаем
σz = (18,6÷20,9) МПа.
Как видно, величины нормальных напряжений, полученные по формуле
Динника, методом конечных элементов и экспериментальным методом совпада-
ют удовлетворительно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Прикладная механика упруго-наследственных сред. В 3-х томах / А.Ф. Булат, В.И. Дырда, Е.Л. Звягильский,
А.С. Кобец. – К.: Наук. думка, 2012. – Т. 2. Методы расчёта эластомерных деталей. – 2012. – 535 с.
2. Дырда В.И. Прочность и разрушение эластомерных конструкций в экстремальных условиях. – Киев: Наук.
думка, 1988. – 239 с.
3. Вибрация в технике в 6 т. / Под ред. Фролова В.К. – М.: Машиностроение, 1981. – Т. 6. – 465 с.
4. Кильчевский Н.А. Динамическое контактное сжатие твёрдых тел. Удар. – К.: Наук. думка, 1976. – 320 с.
5. Дырда, В.И. Аналитические и численные методы расчёта резиновых деталей / В.И. Дырда, С.Н. Гребенюк,
С.И. Гоменюк. – Днепропетровск – Запорожье: Запорожский национальный университет, 2012. – 370 с.
REFERENCES
1. Bulat, A.F., Dyrda, V.I., Zvyagilskiy, Ye.L., Kobets, A.S. (2012), Prikladnaya mekhanika uprugo-nasledstvennykh
sred. Tom 2. Metody raschota elastomernykh detaley [Applied mechanics of elastic-hereditary media. Vol. 2.
Methods for calculating elastomeric parts], Naukova dumka, Kiev, Ukraine.
2. Dyrda, V.I. (1988), Prochnost i razrusheniye elastomernykh konstruktsiy v ekstremalnykh usloviyakh [Strength
and fracture of elastomeric structures under extreme conditions], Naukova dumka, Kiev, USSR.
3. Frolov, V.K. (ed.) (1981), Vibratsiya v tekhnike. Tom 6 [Vibration technique, Vol. 6], Mashinostroyeniye, Moscow,
USSR.
4. Kilchevskiy, N.A. (1976), Dinamicheskoye kontaktnoye szhatiye tvordykh tel. Udar [Dynamic contact compression
of solids. Blow], Naukova dumka, Kiev, USSR.
5. Dyrda, V.I., Grebenyuk, S.N. and Gomenyuk, S.I. (2012), Analiticheskiye i chislennyye metody raschota rezinovykh
detaley [Analytical and numerical methods for calculating rubber parts], Zaporozhskiy natsional'nyy universitet,
Dnepropetrovsk – Zaporozhye, Ukraine.
Об авторах
Калганков Евгений Васильевич, аспирант, Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова
Национальной академии наук Украины (ИГТМ НАНУ), Днепропетровск, Украина
Новикова Алина Вячеславовна, магистр, младший научный сотрудник отдела механики эласто-
мерных конструкций, Институт геотехнической механики им. Н.С. Полякова Национальной академии
наук Украины (ИГТМ НАНУ), Днепропетровск, Украина, a_v_novikova@mail.ru
About the authors
Kalgankov Evgeniy Vasilyevich, Ph. D. Student in Department of Elastomeric Component Mechanics in
Mining Machines, M.S. Polyakov Institute of Geotechnical Mechanics under the National Academy of Science
of Ukraine (IGTM, NASU), Dnepropetrovsk, Ukraine
Novikova Alina Vyacheslavovna, Master of Science (Tech.), Junior Researcher in Department of Elasto-
meric Component Mechanics in Mining Machines, M.S. Polyakov Institute of Geotechnical Mechanics under
the National Academy of Science of Ukraine (IGTM, NASU), Dnepropetrovsk, Ukraine, a_v_novikova@mail.ru
|