Загальна елiптична крайова задача в розширенiй cоболєвськiй шкалi

Загальну елiптичну крайову задачу, що задана в обмеженiй евклiдовiй областi з гладкою межею, дослiджено в розширенiй соболєвськiй шкалi. Остання складається з усiх гiльбертових просторiв, iнтерполяцiйних для пар гiльбертових просторiв Соболєва. Доведено, що оператор цiєї задачi є обмеженим i нетеро...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
1. Verfasser:	Аноп, А.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2014
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Математика
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87585
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Загальна елiптична крайова задача в розширенiй cоболєвськiй шкалi / А.В. Аноп // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 4. — С. 7-14. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87585
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-875852025-02-23T18:19:38Z Загальна елiптична крайова задача в розширенiй cоболєвськiй шкалi Общая эллиптическая краевая задача в расширенной соболевской шкале A general elliptic boundary-value problem in the extended Sobolev scale Аноп, А.В. Математика Загальну елiптичну крайову задачу, що задана в обмеженiй евклiдовiй областi з гладкою межею, дослiджено в розширенiй соболєвськiй шкалi. Остання складається з усiх гiльбертових просторiв, iнтерполяцiйних для пар гiльбертових просторiв Соболєва. Доведено, що оператор цiєї задачi є обмеженим i нетеровим у вiдповiдних парах просторiв Хермандера, якi належать розширенiй соболєвськiй шкалi. Встановлено апрiорнi оцiнки розв’язкiв задачi та дослiджено їх регулярнiсть у просторах Хермандера. Знайдено нову достатню умову класичностi узагальненого розв’язку задачi. Общая эллиптическая краевая задача, заданная в ограниченной евклидовой области с гладкой границей, исследована в расширенной соболевской шкале. Последняя состоит из всех гильбертовых пространств, интерполяционных для пар гильбертовых пространств Соболева. Доказано, что оператор этой задачи является ограниченным и нетеровым в соответствующих парах пространств Хермандера, принадлежащих расширенной соболевской шкале. Установлены априорные оценки решений задачи и исследована их регулярность в пространствах Хермандера. Найдено новое достаточное условие классичности обобщенного решения задачи. A general elliptic boundary-value problem given in a bounded Euclidean domain with smooth boundary is investigated in the extended Sobolev scale. The latter consists of all Hilbert spaces that are interpolation spaces for pairs of inner product Sobolev spaces. We prove that the operator of the problem is bounded and Fredholm in appropriate pairs of H¨ormander spaces, which belong to the extended Sobolev scale. A priori estimates for the solutions to the problem are established, and their regularity in H¨ormander spaces is investigated. We find a new sufficient condition, under which a generalized solution to the problem is classical. Автор висловлює вдячнiсть О.О. Мурачу за керiвництво роботою. 2014 Article Загальна елiптична крайова задача в розширенiй cоболєвськiй шкалi / А.В. Аноп // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 4. — С. 7-14. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87585 517.956.223 uk Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Аноп, А.В. Загальна елiптична крайова задача в розширенiй cоболєвськiй шкалi Доповіді НАН України
description	Загальну елiптичну крайову задачу, що задана в обмеженiй евклiдовiй областi з гладкою межею, дослiджено в розширенiй соболєвськiй шкалi. Остання складається з усiх гiльбертових просторiв, iнтерполяцiйних для пар гiльбертових просторiв Соболєва. Доведено, що оператор цiєї задачi є обмеженим i нетеровим у вiдповiдних парах просторiв Хермандера, якi належать розширенiй соболєвськiй шкалi. Встановлено апрiорнi оцiнки розв’язкiв задачi та дослiджено їх регулярнiсть у просторах Хермандера. Знайдено нову достатню умову класичностi узагальненого розв’язку задачi.
format	Article
author	Аноп, А.В.
author_facet	Аноп, А.В.
author_sort	Аноп, А.В.
title	Загальна елiптична крайова задача в розширенiй cоболєвськiй шкалi
title_short	Загальна елiптична крайова задача в розширенiй cоболєвськiй шкалi
title_full	Загальна елiптична крайова задача в розширенiй cоболєвськiй шкалi
title_fullStr	Загальна елiптична крайова задача в розширенiй cоболєвськiй шкалi
title_full_unstemmed	Загальна елiптична крайова задача в розширенiй cоболєвськiй шкалi
title_sort	загальна елiптична крайова задача в розширенiй cоболєвськiй шкалi
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Математика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87585
citation_txt	Загальна елiптична крайова задача в розширенiй cоболєвськiй шкалi / А.В. Аноп // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 4. — С. 7-14. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT anopav zagalʹnaeliptičnakrajovazadačavrozširenijcobolêvsʹkijškali AT anopav obŝaâélliptičeskaâkraevaâzadačavrasširennojsobolevskojškale AT anopav ageneralellipticboundaryvalueproblemintheextendedsobolevscale
first_indexed	2025-11-24T08:34:47Z
last_indexed	2025-11-24T08:34:47Z
_version_	1849660053652504576
fulltext	оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ 4 • 2014 МАТЕМАТИКА УДК 517.956.223 А.В. Аноп Загальна елiптична крайова задача в розширенiй cоболєвськiй шкалi (Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком) Загальну елiптичну крайову задачу, що задана в обмеженiй евклiдовiй областi з глад- кою межею, дослiджено в розширенiй соболєвськiй шкалi. Остання складається з усiх гiльбертових просторiв, iнтерполяцiйних для пар гiльбертових просторiв Соболєва. До- ведено, що оператор цiєї задачi є обмеженим i нетеровим у вiдповiдних парах просторiв Хермандера, якi належать розширенiй соболєвськiй шкалi. Встановлено апрiорнi оцiнки розв’язкiв задачi та дослiджено їх регулярнiсть у просторах Хермандера. Знайдено нову достатню умову класичностi узагальненого розв’язку задачi. Один iз фундаментальних результатiв теорiї елiптичних диференцiальних рiвнянь полягає в тому, що елiптичнi крайовi задачi є нетеровими у вiдповiдних парах просторiв Соболєва i породжують iзоморфiзми мiж їх пiдпросторами [1–4]. Вiн має важливi застосування до дослiдження регулярностi розв’язкiв елiптичних рiвнянь, у спектральнiй теорiї диферен- цiальних операторiв й iншi, причому найбiльш змiстовнi результати отримуються у випадку гiльбертових просторiв. Недавно В.А. Михайлець i О.О. Мурач [5, 6] поширили теорiю розв’язностi елiптичних крайових задач на уточненi соболєвськi шкали. Вони складаються з гiльбертових просторiв Хермандера [3, п. 2.2], для яких показником гладкостi служить довiльна радiальна функцiя, правильно змiнна на нескiнченностi за Й. Караматою. Знайденi застосування цiєї теорiї до задач, де соболєвська шкала є недостатньо тонко градуйованою. Цi результати отриманi на основi методу iнтерполяцiї з функцiональним параметром пар гiльбертових просторiв, застосованого до соболєвської шкали. Тому викликає iнтерес клас усiх гiльбертових просторiв, iнтерполяцiйних вiдносно пар гiльбертових просторiв Со- болєва. Вiн конструктивно описаний в [5 (п. 2.4.2), 7, 8] на основi iнтерполяцiйної теореми В. I. Овчинникова [9, п. 11.4] i названий розширеною соболєвською шкалою. Вона утворе- на просторами Хермандера, для яких показником гладкостi служить довiльна радiальна функцiя, RO-змiнна на нескiнченностi за В. Г. Авакумовичем. © А.В. Аноп, 2014 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 7 Мета цiєї роботи — встановити теореми про роз’язнiсть загальної елiптичної крайової за- дачi i властивостi її розв’язкiв у розширенiй соболєвськiй шкалi. Як застосування, отриманi новi достатнi умови класичностi узагальненого розв’язку цiєї задачi. Вiдзначимо, що елiптичнi рiвняння i системи дослiдженi в розширенiй соболєвськiй шка- лi на R n i на гладкому замкненому многовидi в роботах [5 (п. 2.4.3), 10, 11]. 1. Постановка задачi. Нехай Ω — довiльна обмежена область в евклiдовому просто- рi Rn, де n > 2, а її межа Γ := ∂Ω є нескiнченно гладким многовидом без краю розмiрностi n − 1. В областi Ω розглядається елiптична крайова задача Au(x) ≡ ∑ \|µ\|62q aµ(x)D µu(x) = f(x), x ∈ Ω, (1) Bju(x) ≡ ∑ \|µ\|6mj bj,µ(x)D µu(x) = gj(x), x ∈ Γ, j = 1, . . . , g. (2) Тут A є лiнiйний диференцiальний вираз парного порядку 2q > 2, заданий на Ω := Ω ⋃ Γ, а усi Bj є граничнi лiнiйнi диференцiальнi вирази порядкiв mj 6 2q − 1, заданi на Γ. Усi коефiцiєнти диференцiальних виразiв A i Bj вважаються нескiнченно гладкими комплекс- нозначними функцiями: aµ ∈ C∞(Ω) i bj,µ ∈ C∞(Γ). Нагадаємо [12, п. 1.2], що крайова задача (1), (2) називається елiптичною в областi Ω, якщо диференцiальний вираз A є елiптичним на Ω i правильно елiптичним на Γ, а набiр B := (B1, . . . , Bq) граничних диференцiальних виразiв задовольняє умову Лопатинського щодо A на Γ. У роботi дослiджується лiнiйне вiдображення u 7→ (Au,Bu) в розширенiй соболєвськiй шкалi. 2. Розширена соболєвська шкала. Вона складається з гiльбертових просторiв Хер- мандера Hϕ, для яких показником гладкостi служить довiльний функцiональний параметр ϕ ∈ RO. Наведемо вiдповiднi означення. Множина RO складається з усiх вимiрних за Борелем функцiй ϕ : [1,∞) → (0,∞), для яких iснують числа a > 1 и c > 1 такi, що c−1 6 ϕ(λt)/ϕ(t) 6 c для довiльних t > 1 i λ ∈ [1, a] (числа a i c можуть залежати вiд ϕ). Такi функцiї називають RO- (або OR-) змiнними на нескiнченностi. Клас RO введений В. Г. Авакумовичем в 1936 р. i достатньо вивчений (див., наприклад, [13, додаток 1]). Нам знадобиться така властивiсть класу RO [13, с. 88]. Для кожної функцiї ϕ ∈ RO iснують числа s0, s1 ∈ R, s0 6 s1, i c0, c1 > 0 такi, що c0λ s0 6 ϕ(λt) ϕ(t) 6 c1λ s1 для всiх t > 1, λ > 1. (3) Покладемо σ0(ϕ) := sup{s0 ∈ R : виконується лiва нерiвнiсть в (3)}, σ1(ϕ) := inf{s1 ∈ R : виконується права нерiвнiсть в (3)}; тут −∞ < σ0(ϕ) 6 σ1(ϕ) <∞. Числа σ0(ϕ) i σ1(ϕ) є вiдповiдно нижнiм i верхнiм iндексами Матушевської функцiї ϕ ∈ RO. 8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4 Нехай ϕ ∈ RO. За означенням, комплексний лiнiйний простiр Hϕ(Rn), де n ∈ N, скла- дається з усiх розподiлiв w ∈ S ′(Rn) таких, що їх перетворення Фур’є ŵ локально iнтегровне за Лебегом в R n i задовольняє умову ∫ Rn ϕ2(〈ξ〉) \|ŵ(ξ)\|2dξ <∞. Тут S ′(Rn) є лiнiйний топологiчний простiр Шварца повiльно зростаючих розподiлiв, зада- них в R n, а 〈ξ〉 := (1+ \|ξ\|2)1/2 є згладжений модуль вектора ξ ∈ R n. Нам зручно трактувати розподiли як антилiнiйнi функцiонали на просторi S(Rn) основних функцiй. При цьому всi розподiли i функцiї вважаємо комплекснозначними. У просторi Hϕ(Rn) означений скалярний добуток розподiлiв w1, w2 за формулою (w1, w2)Hϕ(Rn) := ∫ Rn ϕ2(〈ξ〉)ŵ1(ξ)ŵ2(ξ) dξ. Вiн задає на Hϕ(Rn) структуру гiльбертового простору i норму ‖w‖Hϕ(Rn). Цей простiр сепарабельний; множина C∞ 0 (Rn) щiльна в ньому. Простiр Hϕ(Rn) є гiльбертiв iзотропний випадок просторiв Bp,k, введених i дослiджених Л. Хермандером [3, п. 2.2]. А саме, Hϕ(Rn) = Bp,k, якщо p = 2 i k(ξ) = ϕ(〈ξ〉) при ξ ∈ ∈ R n. Зауважимо, що у гiльбертовому випадку p = 2 простори Хермандера збiгаються з просторами, введеними i дослiдженими Л.Р. Волевичем i Б.П. Панеяхом [14, § 2]. Якщо функцiя ϕ степенева: ϕ(t) ≡ ts, то Hϕ(Rn) =: H(s)(Rn) є (гiльбертiв) простiр Соболєва порядку s ∈ R. Узагалi, s0 < σ0(ϕ) 6 σ1(ϕ) < s1 ⇒ H(s1)(Rn) →֒ Hϕ(Rn) →֒ H(s0)(Rn), (4) причому обидва вкладення неперервнi й щiльнi. Згiдно з [8], клас функцiональних просторiв {Hϕ(Rn) : ϕ ∈ RO} називаємо розширеною соболєвською шкалою на R n. Нам потрiбнi її аналоги для евклiдової областi Ω i замкненого многовиду Γ. Вони вводяться стандартним чином на основi простору Hϕ(Rn). Наведемо вiдповiднi означення. Лiнiйний простiр Hϕ(Ω) складається зi звужень в область Ω всiх розподiлiв w ∈ Hϕ(Rn). Норма в Hϕ(Ω) означається за формулою ‖u‖Hϕ(Ω) := inf{‖w‖Hϕ(Rn) : w ∈ Hϕ(Rn), w = u в Ω}, де u ∈ Hϕ(Ω). Вiдносно цiєї норми простiр Hϕ(Ω) гiльбертiв i сепарабельний. Множина C∞(Ω) щiльна в ньому. Означимо тепер лiнiйний простiр Hϕ(Γ). Для цього довiльним чином виберемо скiнчен- ний атлас iз C∞-структури на многовидi Γ, утворений локальними картами αj : R n−1 ↔ Uj , де j = 1, . . . ,κ. Тут {U1, . . . , Uκ} є вiдкрите покриття многовиду Γ. Крiм того, виберемо функцiї χj ∈ C∞(Γ), де j = 1, . . . ,κ, якi утворюють розбиття одиницi на Γ, що задовольняє умову suppχj ⊂ Uj . Лiнiйний простiр Hϕ(Γ) складається з усiх розподiлiв h на Γ таких, що (χjh) ◦ αj ∈ ∈ Hϕ(Rn−1) для кожного j ∈ {1, . . . ,κ}. Тут (χjh) ◦ αj є представлення розподiлу χjh ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 9 в локальнiй картi αj. У просторi Hϕ(Γ) означений скалярний добуток розподiлiв h1, h2 за формулою (h1, h2)Hϕ(Γ) := κ∑ j=1 ((χjh1) ◦ αj , (χjh2) ◦ αj)Hϕ(Rn−1). Цей простiр гiльбертiв i сепарабельний та з точнiстю до еквiвалентностi норм не зале- жить вiд зазначеного вибору атласу i розбиття одиницi [5, с. 139]. Множина C∞(Γ) щiльна в Hϕ(Γ). Означенi вище функцiональнi простори утворюють розширенi соболєвськi шкали {Hϕ(Ω): ϕ ∈ RO} i {Hϕ(Γ): ϕ ∈ RO} на Ω i Γ вiдповiдно. Вони мiстять шкали гiль- бертових просторiв Соболєва: якщо ϕ(t) ≡ ts для деякого s ∈ R, то Hϕ(Ω) =: H(s)(Ω) i Hϕ(Γ) =: H(s)(Γ) є простори Соболєва порядку s. Властивiсть (4) залишається вiрною, якщо в нiй замiнити R n на Ω або Γ; при цьому вкладення стають компактними. 3. Результати. Сформулюємо результати роботи про властивостi елiптичної крайової задачi (1), (2) в розширенiй соболєвськiй шкалi. Означимо функцiональний параметр ρ(t) := t аргументу t > 1. Якщо ϕ ∈ RO та s ∈ ∈ R, то функцiя ϕρs ∈ RO, а її iндекси Матушевської σj(̺ sϕ) = s + σj(ϕ) для кожного j ∈ {0, 1}. Позначимо через (·, ·)Ω i (·, ·)Γ скалярнi добутки в гiльбертових просторах L2(Ω) i L2(Γ) функцiй, квадратично iнтегровних на Ω i Γ вiдповiдно, а також розширення за неперервнiстю цих скалярних добуткiв. У п. 3 припускаємо, що ϕ ∈ RO i σ0(ϕ) > −2q +m+ 1/2, де m := max{m1, . . . ,mq}. Теорема 1. Вiдображення u 7→ (Au,Bu), де u ∈ C∞(Ω), продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до обмеженого оператора (A,B) : Hϕρ2q (Ω) → Hϕ(Ω)⊕ q⊕ j=1 Hϕρ2q−mj−1/2 (Γ) =: Hϕ(Ω,Γ). (5) Цей оператор нетерiв. Його ядро N лежить в C∞(Ω) i не залежить вiд ϕ. Область значень оператора (5) складається з усiх векторiв F := (f, g1, . . . , gq) ∈ Hϕ(Ω,Γ) таких, що (F,W )Ω,Γ := (f,w0)Ω + q∑ j=1 (gj , wj)Γ = 0 (6) для кожного вектора W := (w0, w1, . . . , wq) ∈ G. Тут G — деякий скiнченновимiрний i не залежний вiд ϕ пiдпростiр в C∞(Ω) × (C∞(Γ))q. Iндекс оператора (5) дорiвнює dimN − − dimG i не залежить вiд ϕ. Нагадаємо, що лiнiйний обмежений оператор T : X → Y , де X, Y — банаховi простори, називають нетеровим, якщо його ядро ker T i коядро Y/T (X) скiнченновимiрнi. Нетерiв оператор T має замкнену область значень T (X) (див., наприклад, [4, с. 246]) i скiнченний iндекс indT := dimker T − dim(Y/T (X)). Якщо N = {0} i W = {0}, то оператор (5) є iзоморфiзм простору Hϕ̺2q (Ω) на Hϕ(Ω,Γ). У загальному випадку iзоморфiзм зручно будувати за допомогою таких проекторiв. Зобразимо простори, в яких дiє оператор (5) у виглядi прямих сум (замкнених) пiд- просторiв Hϕρ2q (Ω) = N ∔ {u ∈ Hϕρ2q (Ω): (u,w)Ω = 0 для всiх w ∈ N}, (7) 10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4 Hϕ(Ω,Γ) =W ∔ (A,B)(Hϕ(Ω,Γ)). (8) Позначимо через P i Q проектори вiдповiдно просторiв Hϕρ2q (Ω) i Hϕ(Ω,Γ) на другий доданок в сумах (7) i (8) паралельно першому доданку. Теорема 2. Звуження вiдображення (5) на пiдпростiр P (Hϕρ2q (Ω)) є iзоморфiзм (A,B) : P (Hϕρ2q (Ω)) ↔ Q(Hϕ(Ω,Γ)). (9) Розв’язок елiптичної крайової задачi (1), (2) задовольняє таку апрiорну оцiнку. Теорема 3. Iснує число c = c(ϕ) > 0 таке, що ‖u‖ Hϕρ2q (Ω) 6 c(‖(A,B)u‖Hϕ(Ω,Γ) + ‖u‖L2(Ω)) (10) для довiльної функцiї u ∈ Hϕρ2q (Ω). Тут c не залежить вiд u. Для розширеної соболєвської шкали вiрна нижченаведена теорема про регулярнiсть розв’язкiв елiптичної крайової задачi. Позначимо через Hm+1/2+(Ω) об’єднання усiх со- болєвських просторiв H(l)(Ω), де l > m + 1/2. Теорема 4. Припустимо, що функцiя u ∈ Hm+1/2+(Ω) є розв’язком елiптичної крайової задачi (1), (2), правi частини якої задовольняють умову (f, g1, . . . , gq) ∈ Hϕ(Ω,Γ). Тодi розв’язок u ∈ Hϕρ2q (Ω). Теореми 1–4 переносять на розширену соболєвську шкалу вiдомi властивостi елiптичних крайових задач у просторах Соболєва [1–4, 12], а також в уточненiй соболєвськiй шкалi [5]. У зв’язку з теоремою 2 вiдмiтимо, що в статтi Г. Шлензак [15] встановлено аналог iзоморфiзму (9) для деякого (бiльш вузького) класу гiльбертових просторiв Хермандера у випадку нормальних крайових умов. Використаний у цiй статтi клас функцiональних параметрiв, що служать показниками гладкостi, не описаний конструктивно. 4. Застосування. Як застосування розширеної соболєвської шкали наведемо достатню умову класичностi розв’язку елiптичної крайової задачi. Позначимо через Hϕ1 loc(Ω), де ϕ1 ∈ ∈ RO, лiнiйний простiр усiх розподiлiв f , заданих в Ω i таких, що χf ∈ Hϕ1(Ω) для кожної функцiї χ ∈ C∞(Ω) з suppχ ⊂ Ω. Теорема 5. Припустимо, що функцiя u ∈ Hm+1/2+(Ω) є розв’язком елiптичної крайової задачi (1), (2), правi частини якої задовольняють умови f ∈ Hϕ1 loc(Ω) ⋂ Hϕ2(Ω), (11) gj ∈ Hϕ2̺ 2q−mj−1/2 (Γ) при j ∈ {1, . . . , q} (12) для деяких параметрiв ϕ1, ϕ2 ∈ RO таких, що σ0(ϕ2) > −2q +m + 1/2 i ∞∫ 1 tn−1ϕ−2 1 (t) dt <∞, (13) ∞∫ 1 t2m+n−1−4qϕ−2 2 (t) dt <∞. (14) Тодi розв’язок u ∈ C2q(Ω) ⋂ Cm(Ω), тобто вiн є класичним. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 11 У зв’язку з цiєю теоремою зауважимо, що якщо u є класичним розв’язком розглянутої задачi, то F := (A,B)u ∈ C(Ω) × (C(Γ))q. При цьому правi частини рiвностей (1) i (2) обчислюються за допомогою класичних похiдних, а самi рiвностi виконуються в кожнiй точцi множини Ω або Γ вiдповiдно. Обернене, взагалi кажучи, не вiрне. Навiть, якщо f ∈ ∈ C(Ω) та всi gj = 0, то розв’язок u ∈ H(2q)(Ω) може не бути класичним. 5. Доведення. Дамо коротко обгрунтування теорем 1–5. Як i в п. 3, припускаємо, що ϕ ∈ RO i σ0(ϕ) > −2q + m + 1/2. Встановимо теорему 1. У соболєвському випадку, коли ϕ = ̺s i s > 0, вона є класичним результатом теорiї елiптичних крайових задач (див., наприклад, [4, п. 20.1]). Якщо −2q + + m + 1/2 < s < 0, то ця теорема є також вiрною [2, розд. III, п. 2.2]. Для розширеної соболєвської шкали її можна довести методом iнтерполяцiї з функцiональним параметром вiдповiдних просторiв Соболєва. Означення i властивостi цiєї iнтерполяцiї наведенi в [5, пп. 1.1, 2.4.2]. А саме, виберемо дiйснi числа s0 i s1 так, щоб −2q +m+ 1/2 < s0 < σ0(ϕ) i s1 > σ1(ϕ). Маємо обмеженi нетеровi оператори (A,B) : H(sr+2q)(Ω) → H(sr)(Ω)⊕ q⊕ j=1 H(sr+2q−mj−1/2)(Γ) =: H(sr)(Ω,Γ), r = 0, 1, (15) що дiють у соболєвських просторах. Означимо iнтерполяцiйний параметр ψ за формулами ψ(t) := t−s0/(s1−s0)ϕ(t1/(s1−s0)) при t > 1 та ψ(t) := ϕ(1) при 0 < t < 1. Застосувавши iнтерполяцiю з параметром ψ до (15), отримаємо обмежений оператор (5) (A,B) : Hϕρ2q (Ω) = [H(s0+2q)(Ω),H(s1+2q)(Ω)]ψ → [H(s0)(Ω,Γ),H(s1)(Ω,Γ)]ψ = Hϕ(Ω,Γ). Тут скористалися iнтерполяцiйними теоремами 1.5, 2.2 з монографiї [5] i теоремою 5.1 з ро- боти [7]. На пiдставi ще однiєї iнтерполяцiйної теореми 1.7 з [5] робимо висновок, що не- теровiсть цього оператора й iншi його властивостi, зазначенi в теоремi 1, є наслiдками нетеровостi операторiв (15), якi мають спiльне ядро i однаковий iндекс. Доведемо теорему 2. Попередньо вiдмiтимо, що розклади в прямi суми (7) i (8) iснують внаслiдок теореми 1. Справдi, рiвнiсть (7) є звуженням на Hϕ̺2q (Ω) розкладу простору L2(Ω) в ортогональну суму пiдпросторiв N i L2(Ω) ⊖ N . Рiвнiсть (8) правильна, оскiльки пiдпростори в її правiй частинi мають тривiальний перетин i (скiнченна) вимiрнiсть першого з них збiгається з ковимiрнiстю другого. Теорема 2 випливає з теореми 1. Справдi, на пiдставi останньої, N є ядром, аQ(Hϕ(Ω,Γ)) є областю значень обмеженого оператора (5). Тому вiн — бiєкцiя i, за теоремою Банаха про обернений оператор, є iзоморфiзмом (9). Встановимо теорему 3. Для довiльної функцiї u ∈ Hϕρ2q (Ω) потрiбна оцiнка (10) випли- ває з нерiвностей ‖Pu‖ Hϕρ2q (Ω) 6 c1‖(A,B)u‖Hϕ(Ω,Γ), ‖(1 − P )u‖ Hϕρ2q (Ω) 6 c2‖u‖L2(Ω). Тут c1 — норма оператора, оберненого до iзоморфiзму (9) (зауважимо, що (A,B)Pu = = (A,B)u), а c2 — норма оператора 1 − P : L2(Ω) → N , де N розглядається як скiнченно- вимiрний пiдпростiр в Hϕρ2q (Ω). Доведемо теорему 4. Нехай u i F := (f, g1, . . . , gq) задовольняють її умову. Оскiльки F ∈ Q(Hϕ(Ω,Γ)), то внаслiдок теореми 1 iснує розв’язок v ∈ Hϕρ2q (Ω) крайової задачi (A,B)v = F . Звiдси w := u − v ∈ N ⊂ C∞(Ω) i тому u = v + w ∈ Hϕρ2q (Ω). 12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4 Встановимо теорему 5. Для цього скористаємося теоремою вкладення Хермандера [3, c. 59], яку можна сформулювати для розширеної соболєвської шкали так: ∞∫ 1 t2l+n−1α−2(t) dt <∞ ⇔ Hα(Ω) ⊂ C l(Ω). (16) Тут довiльнi вибранi функцiя α ∈ RO i цiле число l > 0, а вкладення є неперервним. Нехай виконується умова теореми 5. Тодi з включень f ∈ Hϕ2(Ω) i (12) випливає вна- слiдок теореми 4, що u ∈ Hϕ2ρ2q (Ω). Звiдси на пiдставi умови (14) i еквiвалентностi (16), де беремо α := ϕ2ρ 2q i l := m, отримуємо включення u ∈ Cm(Ω). Включення u ∈ C2q(Ω) випливає з умов f ∈ Hϕ1 loc(Ω) i (13). Справдi, оскiльки Au = f в Ω i f ∈ Hϕ1 loc(Ω), то u ∈ Hϕ1ρ2q loc (Ω) внаслiдок теореми 7.4.1 з роботи [3, с. 237]. Отже, χu ∈ Hϕ1ρ2q (Ω) для кожної функцiї χ ∈ C∞(Ω) з suppχ ⊂ Ω. Звiдси на пiдставi умови (13) i еквiвалентностi (16), де беремо α := ϕ1ρ 2q i l := 2q, отримуємо включення χu ∈ C2q(Ω). Воно з огляду на довiльнiсть зазначеної функцiї χ рiвносильно включенню u ∈ C2q(Ω). Автор висловлює вдячнiсть О.О. Мурачу за керiвництво роботою. 1. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. – Киев: Наук. думка, 1965. – 800 с. 2. Егоров Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа. – Москва: Наука, 1984. – 360 с. 3. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. – Москва: Мир, 1965. – 380 с. 4. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: В 4 т. Т. 3. Псевдодифференциальные операторы. – Москва: Мир, 1987. – 696 с. 5. Михайлец В.А., Мурач А.А. Пространства Хермандера, интерполяция и эллиптические задачи. – Kиев: Ин-т математики НАН Украины, 2010. – 372 с. (Доступно как arXiv:1106.3214.). 6. Mikhailets V.A., Murach A.A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems // Banach J. Math. Anal. – 2012. – 6, No 2. – P. 211–281. 7. Mikhailets V.A., Murach A.A. Interpolation Hilbert spaces for a couple of Sobolev spaces. – arXiv:1106.2049v2. – 15 p. 8. Михайлец В.А., Мурач А.А. Расширенная соболевская шкала и эллиптические операторы // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, No 3. – С. 368–380. 9. Ovchinnikov V. I. The methods of orbits in interpolation theory // Math. Rep. Ser. 1. – 1984. – No 2. – P. 349–515. 10. Зинченко Т.Н., Мурач А.А. Эллиптические по Дуглису–Ниренбергу системы в пространствах Хер- мандера // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, No 11. – С. 1477–1491. 11. Зинченко Т.Н. Эллиптические системы в расширенной соболевской шкале // Доп. НАН України. – 2013. – No 3. – С. 14–20. 12. Agranovich M. S. Elliptic boundary problems // Encycl. Math. Sci. Vol. 79. Partial differential equations, IX. – Berlin: Springer, 1997. – P. 1–144. 13. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – Москва: Наука, 1985. – 144 с. 14. Волевич Л.Р., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения // Успехи мат. наук. – 1965. – 20, No 1. – С. 3–74. 15. Slenzak G. Elliptic problems in a refined scale of spaces // Moscow Univ. Math. Bull. – 1974. – 29, No 3–4. – P. 80–88. Надiйшло до редакцiї 12.11.2013Iнститут математики НАН України, Київ ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 13 А.В. Аноп Общая эллиптическая краевая задача в расширенной соболевской шкале Общая эллиптическая краевая задача, заданная в ограниченной евклидовой области с гладкой границей, исследована в расширенной соболевской шкале. Последняя состоит из всех гиль- бертовых пространств, интерполяционных для пар гильбертовых пространств Соболева. Доказано, что оператор этой задачи является ограниченным и нетеровым в соответст- вующих парах пространств Хермандера, принадлежащих расширенной соболевской шкале. Установлены априорные оценки решений задачи и исследована их регулярность в прост- ранствах Хермандера. Найдено новое достаточное условие классичности обобщенного реше- ния задачи. A.V. Anop A general elliptic boundary-value problem in the extended Sobolev scale A general elliptic boundary-value problem given in a bounded Euclidean domain with smooth boun- dary is investigated in the extended Sobolev scale. The latter consists of all Hilbert spaces that are interpolation spaces for pairs of inner product Sobolev spaces. We prove that the operator of the problem is bounded and Fredholm in appropriate pairs of Hörmander spaces, which belong to the extended Sobolev scale. A priori estimates for the solutions to the problem are established, and their regularity in Hörmander spaces is investigated. We find a new sufficient condition, under which a generalized solution to the problem is classical. 14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4

Загальна елiптична крайова задача в розширенiй cоболєвськiй шкалi

Institution

Ähnliche Einträge