Про структуру локально скінченних груп, усі неабелеві підгрупи яких субнормальні /
Вивчено нескiнченнi групи, всi неабелевi пiдгрупи яких є субнормальними. Наведено деякi
 результати про будову таких груп та дано повний опис локально скiнченних груп, що
 мають вказану властивiсть. Изучены бесконечные группы, все неабелевые подгруппы которых субнормальные. Приведены...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87586 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про структуру локально скінченних груп, усі неабелеві підгрупи яких субнормальні / Л.A. Kурдаченко, М.М. Семко, С. Атліхан // Доповіді Національної академії наук України. — 2014. — № 4. — С. 15-18. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860268343987011584 |
|---|---|
| author | Курдаченко, Л.A. Семко, М.М. Атліхан, С. |
| author_facet | Курдаченко, Л.A. Семко, М.М. Атліхан, С. |
| citation_txt | Про структуру локально скінченних груп, усі неабелеві підгрупи яких субнормальні / Л.A. Kурдаченко, М.М. Семко, С. Атліхан // Доповіді Національної академії наук України. — 2014. — № 4. — С. 15-18. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Вивчено нескiнченнi групи, всi неабелевi пiдгрупи яких є субнормальними. Наведено деякi
результати про будову таких груп та дано повний опис локально скiнченних груп, що
мають вказану властивiсть.
Изучены бесконечные группы, все неабелевые подгруппы которых субнормальные. Приведены
некоторые результаты о строении таких групп и дано полное описание локально конечных
групп, имеющих указанное свойство.
We study infinite groups, all non-Abelian subgroups of which are subnormal. Some results of these
groups’ structure and the full description of locally finite groups having a specified property are
given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T19:03:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.544
Л.A. Kурдаченко, М. М. Семко, С. Атлiхан
Про структуру локально скiнченних груп, усi неабелевi
пiдгрупи яких субнормальнi
(Представлено академiком НАН України А.М. Самойленком)
Вивчено нескiнченнi групи, всi неабелевi пiдгрупи яких є субнормальними. Наведено деякi
результати про будову таких груп та дано повний опис локально скiнченних груп, що
мають вказану властивiсть.
Нехай G — група i ρ — теоретико-пiдгрупова властивiсть. Ця властивiсть можe бути внут-
рiшньою, наприклад такою, як властивостi “бути нормальною пiдгрупою”, “бути субнор-
мальною пiдгрупою”, “бути майже нормальною пiдгрупою”, “бути зростаючою пiдгрупою”,
“бути переставною пiдгрупою” тощо; або ця властивiсть може бути зовнiшньою, що визна-
чається деяким класом груп, наприклад такою, як властивостi “бути абелевою пiдгрупою”,
“бути неабелевою пiдгрупою”, “бути нiльпотентною пiдгрупою”, “бути розв’язною пiдгру-
пою”, “бути радикальною пiдгрупою” тощо. Позначимо через Lρ(G) систему всiх пiдгруп
групи G, якi мають властивiсть ρ. Взаємовiдношення мiж системами пiдгруп Lρ(G) тa
Lν(G) для рiзних властивостей ρ тa ν можуть бути досить рiзноманiтними. Першим при-
родним випадком тут буде випадок, коли Lρ(G) ⊆ Lν(G). Такi ситуацiї для конкретних
властивостей ρ тa ν вивчалися багатьма авторами. Наприклад, якщо ρ — цe властивiсть
“бути власною пiдгрупою”, то ми приходимо до груп, усi власнi пiдгрупи яких мають влас-
тивiсть ν. Iснує досить великий масив статей, де такi групи вивчалися для рiзноманiтних
природних властивостей ν. Oднiєю з найбiльш важливих є властивiсть “бути нормальною
пiдгрупою”. Групи, в яких Lρ(G) ⊆ Lnorm(G) (тут через Lnorm(G) позначена система всiх
нормальних пiдгруп), досить довгий час вивчалися багатьма авторами (див., наприклад,
оглядову статтю [1]). Серед iнших дослiджувалися i групи, всi неабелевi пiдгрупи яких
є нормальними. Tакi групи були названi метагамiльтоновими. Вивчення цих груп було
розпочато М.Ф. Сєсєкiним та Г.М. Ромалiсом [2–4] i продовжено В.Т. Нагребецьким [5] тa
О.О. Maхньовим [6]. Але вичерпний опис метагамiльтонових груп отримано М.Ф. Кузен-
ним та М.М. Семко у серiї статей [7–10]. Слiд також вiдзначити, що В.Т. Нагребецький [11]
розглядав cкiнченнi групи, всi ненiльпотентнi пiдгрупи яких нормальнi.
Природним i досить широким узагальненням нормальних пiдгруп є субнормальнi пiд-
групи. У статтях [12, 13] X. Смiт розпочав вивчення локально майже розв’язних груп,
усi ненiльпотентнi пiдгрупи яких субнормальнi. Зокрема, вiн довiв, що цi групи розв’яз-
нi, бiльш того, вони є нiльпотентними у випадку, коли вони вiльнi вiд скруту. Локально
скiнченнi групи, всi ненiльпотентнi пiдгрупи яких субнормальнi, мiстять у собi нормальну
пiдгрупу скiнченного iндексу, всi пiдгрупи якої субнормальнi, зокрема, такi групи є майже
локально нiльпотентними. У випадку скiнченних груп розглядалися бiльш загальнi ситуацiї.
В.Н. Княгiна та В.С. Монахов [14] розпочали вивчення скiнченних груп з субнормальни-
ми пiдгрупами Шмiдта. Пiзнiше В.А. Вєдєрнiков [15] отримав опис скiнченних груп, усi
пiдгрупи Шмiдта яких є субнормальними.
© Л.A. Kурдаченко, М. М. Семко, С. Атлiхан, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 15
У данiй роботi ми розпочинаємо вивчення нескiнченних груп, усi неабелевi пiдгрупи
яких є субнормальними. Наведемо зараз деякi результати про будову таких груп та дамо
повний опис локально скiнченних груп, що мають вказану властивiсть.
Лема 1. Нeхай G — група, всi неабелевi пiдгрупи якої є субнормальними. Якщо L —
нормальна неабелева пiдгрупа G, то кожна пiдгрупа фактор-групи G/L є субнормальною.
Зокрема, G/L є локально нiльпотентною та розв’язною.
Лема 2. Нeхай G — група, всi неабелевi пiдгрупи якої є субнормальними. Якщо L, K —
такi нормальнi неабелевi пiдгрупи G, що K
⋂
L = 〈1〉, то G є локально нiльпотентною
та розв’язною.
Наслiдок. Нeхай G — група, всi неабелевi пiдгрупи якої є субнормальними. Якщо iс-
нують такi простi числа p, q, що p 6= q i G має неабелеву силовську p-пiдгрупу P тa
неабелеву силовську q-пiдгрупу Q, то група G є локально нiльпотентною та розв’язною.
Лема 3. Нeхай G — нескiнченна перiодична група, всi неабелевi пiдгрупи якої є субнор-
мальними. Якщо G локально нiльпотентна, то кожна пiдгрупа G є субнормальною.
Наслiдок. Нeхай G — перiодична група, всi неабелевi пiдгрупи якої є субнормальними.
Якщо iснують такi простi числа p, q, що p 6= q i G має неабелеву силовську p-пiдгрупу P
тa неабелеву силовську q-пiдгрупу Q, то кожна пiдгрупа G є субнормальною.
Лема 4. Нeхай G — локально скiнченна група, всi неабелевi пiдгрупи якої є субнор-
мальними. Тодi G є розв’язною.
Група G називається узагальнено радикальною, якщо G має зростаючий ряд, фактори
якого є локально нiльпотентними або локально скiнченними. Зазначимо, що узагальнено
радикальна група G має або зростаючу локально нiльпотентну пiдгрупу, або зростаючу ло-
кально скiнченну пiдгрупу. У першому випадку локально нiльпотентний радикал групи G
буде неодиничним. У другому випадку локально скiнченний радикал групи G буде нео-
диничним. Таким чином, узагальнено радикальна група має зростаючий ряд нормальних
пiдгруп, фактори якого є локально нiльпотентними або локально скiнченними.
Пропозицiя 1. Нeхай G — локально узагальнено радикальна група, всi неабелевi пiд-
групи якої є субнормальними. Тодi G є розв’язною.
Наведемо тепер опис локально скiнченних груп, усi неабелевi групи яких є субнормаль-
ними.
Теорема. Нeхай G — локально скiнченна група, всi неабелевi пiдгрупи якої є субнор-
мальними.
(i) Якщо G локально нiльпотентна, то кожна пiдгрупа G субнормальна.
(ii) Якщо iснують такi простi числа p, q, що p 6= q i G має неабелеву силовську p-пiд-
групу P тa неабелеву силовську q-пiдгрупу Q, то кожна пiдгрупа G є субнормальною.
(iii) Нехай G не є локально нiльпотентною та має неабелеву силовську p-пiдгрупу P
для деякого простого числа p. Tодi мають мiсце такi твердження:
(iiia) G = P ⋋ Q, де Q є абелевою силовською p′-пiдгрупою G;
(iiib) C = CP (Q) є такою G-iнварiантною абелевою пiдгрупою P , що P/C є скiнченним
G-головним фактором;
(iiic) G/CG(P/C) — циклiчна p′-група;
(iiid) P/C є 〈g〉-головним фактором для кожного елемента g /∈ CG(P/C);
(iiie) P = CD, де D = [P,Q] — скiнченна спецiальна p-пiдгрупа.
(iv) Нехай G не є локально нiльпотентною, а її силовськi s-пiдгрупи абелевi для кож-
ного простого числа s. Tодi iснує таке просте число p, що G має нормальну силовську
p-пiдгрупу P i мають мiсце такi твердження:
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4
(iva) G = P ⋋ Q, де Q є абелевою силовською p′-пiдгрупою G;
(ivb) P = C × D, де C = CP (Q) та D = [P,Q] є мiнiмальною G-iнварiантною пiд-
групою P ;
(ivc) G/CG(D) є циклiчною p′-групою;
(ivd) D є мiнiмальною 〈g〉-iнварiантною пiдгрупою P для будь-якого елемента
g /∈ CG(D).
Нагадаємо, що скiнченна p-група P , p — просте число, називається спецiальною, якщо
[P,P ] = ζ(P ) = Fratt(P ) є елементарною абелевою p-пiдгрупою.
1. Dixon M.R., Subbotin I.Ya. Groups with finiteness conditions on some subGroup systems: a contemporary
stage // Algebra and Discrete Mathematics. – 2009. – No 4. – P. 29–54.
2. Ромалис Г.М., Сесекин Н.Ф. О метагамильтоновых группах I // Мат. зап. Урал. ун-та. – 1966. – 5,
№ 3. – С. 45–49.
3. Сесекин Н.Ф., Ромалис Г.М. О метагамильтоновых группах II // Там же. – 1968. – 6, № 5. – С. 50–53.
4. Ромалис Г.М., Сесекин Н.Ф. О метагамильтоновых группах III // Там же. – 1970. – 7, № 3. – С. 195–
199.
5. Нагребецкий В.Т. Конечные ненильпотентные группы, любая неабелевая подгруппа которых инва-
риантна // Там же. – 1967. – 6, № 1. – С. 80–88.
6. Махнев А.А. О конечных метагамильтоновых группах // Там же. – 1976. – 10, № 1. – С. 60–75.
7. Кузенный Н.Ф., Семко Н.Н. Строение разрешимых ненильпотентных метагамильтоновых групп //
Мат. заметки. – 1983. – 34, № 2. – С. 179–188.
8. Кузенний М.Ф., Семко М.М. Будова розв’язних метагамiльтонових груп // Доп. АН УРСР. – 1985. –
№ 2. – С. 6–9.
9. Кузенный Н.Ф., Семко Н.Н. О строении непериодических метагамильтоновых групп // Изв. вузов.
Математика. – 1986. – № 11. – С. 32–40.
10. Кузенный Н.Ф., Семко Н.Н. Строение периодических метабелевых метагамильтоновых групп с не-
элементарным коммутантом // Укр. мат. журн. – 1987. – 39, № 2. – С. 180–185.
11. Нагребецкий В.Т. Конечные ненильпотентные группы, каждая ненильпотентная подгруппа которых
инвариантна // Мат. зап. Урал. ун-та. – 1968. – 6, № 3. – С. 45–49.
12. Smith H. Torsion-free groups with all non-nilpotent subgroups subnormal // Quaderni di Matematica,
Topics in infinite groups. – 2001. – 8. – P. 298–308.
13. Smith H. Groups with all non-nilpotent subgroups subnormal // Ibid. – 2001. – 8. – P. 309–326.
14. Княгина В.Н., Монахов В. С. O конечных группах с некоторыми субнормальными подгруппами
Шмидта // Сиб. мат. журн. – 2004. – 45, № 6. – С. 1316–1322.
15. Ведерников В.A. Конечные группы с субнормальными подгруппами Шмидта // Aлгебра и логика. –
2007. – 46, № 6. – С. 669–687.
Надiйшло до редакцiї 30.09.2013Нацiональний унiверситет державної
податкової служби України, Iрпiнь
Л.A. Kурдаченко, Н. Н. Семко, С. Атлихан
О структуре локально конечных групп, все неабелевые подгруппы
которых субнормальные
Изучены бесконечные группы, все неабелевые подгруппы которых субнормальные. Приведены
некоторые результаты о строении таких групп и дано полное описание локально конечных
групп, имеющих указанное свойство.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 17
L.A. Kurdachenko, M. M. Semko, S. Atlihan
About the structure of finite groups, whose all non-Abelian subgroups
are subnormal
We study infinite groups, all non-Abelian subgroups of which are subnormal. Some results of these
groups’ structure and the full description of locally finite groups having a specified property are
given.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87586 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:03:23Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Курдаченко, Л.A. Семко, М.М. Атліхан, С. 2015-10-21T17:13:26Z 2015-10-21T17:13:26Z 2014 Про структуру локально скінченних груп, усі неабелеві підгрупи яких субнормальні / Л.A. Kурдаченко, М.М. Семко, С. Атліхан // Доповіді Національної академії наук України. — 2014. — № 4. — С. 15-18. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87586 512.544 Вивчено нескiнченнi групи, всi неабелевi пiдгрупи яких є субнормальними. Наведено деякi
 результати про будову таких груп та дано повний опис локально скiнченних груп, що
 мають вказану властивiсть. Изучены бесконечные группы, все неабелевые подгруппы которых субнормальные. Приведены
 некоторые результаты о строении таких групп и дано полное описание локально конечных
 групп, имеющих указанное свойство. We study infinite groups, all non-Abelian subgroups of which are subnormal. Some results of these
 groups’ structure and the full description of locally finite groups having a specified property are
 given. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Про структуру локально скінченних груп, усі неабелеві підгрупи яких субнормальні / О структуре локально конечных групп, все неабелевые подгруппы которых субнормальные About the structure of finite groups, whose all non-Abelian subgroups are subnormal Article published earlier |
| spellingShingle | Про структуру локально скінченних груп, усі неабелеві підгрупи яких субнормальні / Курдаченко, Л.A. Семко, М.М. Атліхан, С. Математика |
| title | Про структуру локально скінченних груп, усі неабелеві підгрупи яких субнормальні / |
| title_alt | О структуре локально конечных групп, все неабелевые подгруппы которых субнормальные About the structure of finite groups, whose all non-Abelian subgroups are subnormal |
| title_full | Про структуру локально скінченних груп, усі неабелеві підгрупи яких субнормальні / |
| title_fullStr | Про структуру локально скінченних груп, усі неабелеві підгрупи яких субнормальні / |
| title_full_unstemmed | Про структуру локально скінченних груп, усі неабелеві підгрупи яких субнормальні / |
| title_short | Про структуру локально скінченних груп, усі неабелеві підгрупи яких субнормальні / |
| title_sort | про структуру локально скінченних груп, усі неабелеві підгрупи яких субнормальні / |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87586 |
| work_keys_str_mv | AT kurdačenkola prostrukturulokalʹnoskínčennihgrupusíneabelevípídgrupiâkihsubnormalʹní AT semkomm prostrukturulokalʹnoskínčennihgrupusíneabelevípídgrupiâkihsubnormalʹní AT atlíhans prostrukturulokalʹnoskínčennihgrupusíneabelevípídgrupiâkihsubnormalʹní AT kurdačenkola ostrukturelokalʹnokonečnyhgruppvseneabelevyepodgruppykotoryhsubnormalʹnye AT semkomm ostrukturelokalʹnokonečnyhgruppvseneabelevyepodgruppykotoryhsubnormalʹnye AT atlíhans ostrukturelokalʹnokonečnyhgruppvseneabelevyepodgruppykotoryhsubnormalʹnye AT kurdačenkola aboutthestructureoffinitegroupswhoseallnonabeliansubgroupsaresubnormal AT semkomm aboutthestructureoffinitegroupswhoseallnonabeliansubgroupsaresubnormal AT atlíhans aboutthestructureoffinitegroupswhoseallnonabeliansubgroupsaresubnormal |