Необходимые условия K-экстремума вариационного функционала в пространствах Соболева над многомерной областью
Описаны аналоги классических необходимых условий локального экстремума — обобщенное уравнение Эйлера–Остроградского и обобщенное необходимое условие Лежандра для
 компактных экстремумов вариационных функционалов в пространствах Соболева над
 многомерной областью. Также исследован воп...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87587 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Необходимые условия K-экстремума вариационного функционала в пространствах Соболева над многомерной областью / И.В. Орлов, Е.В. Божонок, Е.М. Кузьменко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 4. — С. 19-24. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860244477214457856 |
|---|---|
| author | Орлов, И.В. Божонок, Е.В. Кузьменко, Е.М. |
| author_facet | Орлов, И.В. Божонок, Е.В. Кузьменко, Е.М. |
| citation_txt | Необходимые условия K-экстремума вариационного функционала в пространствах Соболева над многомерной областью / И.В. Орлов, Е.В. Божонок, Е.М. Кузьменко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 4. — С. 19-24. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Описаны аналоги классических необходимых условий локального экстремума — обобщенное уравнение Эйлера–Остроградского и обобщенное необходимое условие Лежандра для
компактных экстремумов вариационных функционалов в пространствах Соболева над
многомерной областью. Также исследован вопрос достаточной гладкости решений обобщенного уравнения Эйлера–Остроградского. Показано, что решение обобщенного вариационного уравнения Эйлера–Остроградского в пространстве Соболева обладает дополнительными аналитическими свойствами.
Описано аналоги класичних необхiдних умов локального екстремуму — узагальнене рiвняння
Ейлера–Остроградського й узагальнена необхiдна умова Лежандра для компактних екстремумiв варiацiйних функцiоналiв у просторах Соболєва над багатовимiрною областю. Також дослiджено питання достатньої гладкостi розв’язкiв узагальненого рiвняння Ейлера–Остроградського. Показано, що розв’язок узагальненого варiацiйного рiвняння Ейлера–Остроградського в просторi Соболєва має додатковi аналiтичнi властивостi.
This paper deals with a generalized Euler–Ostrogradsky equation and necessary conditions of the
Legendre type in the case of the compact extrema of variational functionals in Sobolev spaces over
multidimensional domains. The inverse problem of smoothness refinement for the solutions of the
generalized Euler–Ostrogradsky equation is considered. It is shown that the solution of the generalized variational Euler–Ostrogradsky equation in the Sobolev space has additional analytic properties.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:34:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.972
И.В. Орлов, Е. В. Божонок, Е.М. Кузьменко
Необходимые условия K-экстремума вариационного
функционала в пространствах Соболева
над многомерной областью
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Чикрием)
Описаны аналоги классических необходимых условий локального экстремума — обобщен-
ное уравнение Эйлера–Остроградского и обобщенное необходимое условие Лежандра для
компактных экстремумов вариационных функционалов в пространствах Соболева над
многомерной областью. Также исследован вопрос достаточной гладкости решений обоб-
щенного уравнения Эйлера–Остроградского. Показано, что решение обобщенного вариа-
ционного уравнения Эйлера–Остроградского в пространстве Соболева обладает дополни-
тельными аналитическими свойствами.
Начиная с работы Л.Тонелли [1], вариационные задачи в пространствах Соболева привле-
кают внимание многих математиков. В большинстве случаев (см., например, [2–5]) иссле-
дование экстремальных вариационных задач в пространствах Соболева было связано с так
называемыми прямыми методами вариационного исчисления. В то же время рассматри-
вались и различные обобщения классического подхода, позволяющие исключить прямые
методы (см., например, работы [6]).
Недавно был разработан новый метод исследования вариационного функционала в про-
странстве Соболева в одномерном случае (см. наши работы [7–9]). Он основан на исследова-
нии так называемых компактно-аналитических (или K-аналитических ) свойств и компа-
ктных экстремумов (K-экстремумов) вариационных функционалов. Впоследствии этот
метод был перенесен на многомерный случай [10, 11].
В настоящей работе описаны необходимые условия K-экстремума вариационных функ-
ционалов в многомерном случае, получаемые на основе их K-аналитических свойств. В п. 1
приведены необходимые определения и теоремы о K-аналитических свойствах вариаци-
онных функционалов в пространстве W 1,p, p ∈ N, над многомерной областью D. В п. 2
исследовано обобщенное уравнение Эйлера–Остроградского для компактных экстремумов
вариационных функционалов в пространствах Соболева W 1,p, p ∈ N. Далее, в п. 3 рас-
смотрена обратная задача повышения гладкости решения обобщенного уравнения Эйлера–
Остроградского. Наконец, в п. 4 приведено обобщенное необходимое условие Лежандра
в рассматриваемой ситуации.
1. K-аналитические свойства вариационных функционалов в W
1,p(D). Пусть
E — произвольное вещественное локально выпуклое пространство, C(E) — система всех
абсолютно выпуклых компактов в E. Для каждого C ∈ C(E) обозначим через EC линейную
оболочку C, снабженную банаховой нормой ‖ · ‖C , порожденной множеством C.
Определение 1. Функционал Φ: E → R называется K-непрерывным (K-дифференци-
руемым, дважды K-дифференцируемым и т. д.) в точке y ∈ E, если все сужения Φ на
© И.В. Орлов, Е.В. Божонок, Е.М. Кузьменко, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 19
(y + EC) непрерывны (дифференцируемы по Фреше, дважды дифференцируемы по Фре-
ше и т. д.) в y относительно нормы ‖ · ‖C . Аналогично скажем, что Φ имеет компактный
экстремум (K-экстремум) в y, если все сужения Φ
∣
∣
y+EC
имеют локальный экстремум в y
относительно соответствующих норм.
В нашей работе [10], на базе понятия доминантной смешанной гладкости, был введен
широкий класс допустимых интегрантов, названных K-псевдополиномами, для которых
корректно определен вариационный функционал
Φ(y) =
∫
D
f(x, y,∇y) dx (1)
в пространстве Соболева W 1,p(D), p ∈ N, где D — компакт в R
n с липшицевой границей.
Определение 2. Отображение f : Rn
x × Ry × R
n
z → R называется K-псевдополиномом
порядка p ∈ N (f ∈ Kp(z)), если оно может быть представлено в виде
f(x, y, z) =
p
∑
k=0
Rk(x, y, z)(z)
k , (2)
где коэффициенты Rk, принимающие значения в пространстве k-линейных форм на R
n,
являются борелевскими отображениями, удовлетворяющими условию доминантной по x, y
смешанной ограниченности (см. [12]).
Следующая теорема утверждает, что функционал (1) корректно определен в W 1,p(D),
если f ∈ Kp(z).
Теорема 1. Если интегрант f вариационного функционала (1) принадлежит классу
Kp(z), то функционал (1) корректно определен в пространстве W 1,p(D). Кроме того, для
любого компакта C∆ ⊂ W 1,p(D) выполнена оценка |Φ(y)| 6 αC∆
+ βC∆
· (‖y‖W 1,p)p, где
αC∆
> 0, βC∆
> 0 — константы, зависящие от выбора C∆.
Для перехода к условиям K-непрерывности вариационных функционалов в пространс-
твах Соболева выделяется подходящий подкласс интегрантов из Kp(z).
Определение 3. Пусть f ∈ Kp(z) непрерывно. Отображение f называется вейерштрас-
совским K-псевдополиномом порядка p (f ∈ WKp(z)), если все коэффициенты Rk (k = 0, p)
в представлении (2) удовлетворяют условию доминантной по x, y смешанной непрерывнос-
ти (см. [12]).
Условие f ∈ WKp(z) гарантирует K-непрерывность функционала (1).
Теорема 2. Если интегрант f вариационного функционала (1) принадлежит вейер-
штрассовскому классу WKp(z), то функционал (1) K-непрерывен всюду в пространстве
W 1,p(D).
Для перехода к условиям K-дифференцируемости высших порядков требуются соот-
ветствующие обобщения вейерштрассовских классов.
Определение 4. Пусть f ∈ Cm
⋂
Kp(z). Отображение f называется вейер-
штрассовским K-псевдополиномом класса WmKp(z), если все джеты порядка m
(Rk,∇yzRk, . . . ,∇m
yzRk) коэффициентов Rk (k = 0, p) в представлении (2) удовлетворяют
условию доминантной по x, y смешанной непрерывности.
Условие f ∈ WmKp(z) обеспечивает m-кратную K-дифференцируемость функциона-
ла (1).
Теорема 3. Если интегрант f вариационного функционала (1) принадлежит классу
WmKp(z), m ∈ N, то функционал (1) m раз K-дифференцируем в пространстве W 1,p(D).
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4
При этом классическая формула вариации m-го порядка сохраняется и для K-вариации
m-го порядка, т. е.
Φ
(m)
K (y)(h)m =
∫
D
[
m
∑
ℓ=0
Cℓ
m
∂mf
∂ym−ℓ∂zℓ
(x, y,∇y)hm−ℓ · (∇h)ℓ
]
dx. (3)
2. Обобщенное уравнение Эйлера–Остроградского для K-экстремалей
в W
1,p(D). Здесь мы рассматриваем вариационный функционал
Φ(y) =
∫
D
f(x, y,∇y) dx, y(·) ∈ W 1,p(D), p ∈ N, (4)
с дополнительным граничным условием y
∣
∣
∂D
= y0, где y0 ∈ W 1,p(∂D), D — компакт в R
n
с липшицевой границей ∂D. Для определения K-экстремалей функционала (4) нам необхо-
дим “почти всюду”-аналог уравнения Эйлера–Остроградского (см. [13]).
Теорема 4. Пусть f ∈ W 1Kp(z). Предположим, что функционал (4) достигает K-эк-
стремума в точке y(·) ∈ W 1,p(D) и отображение (∂f/∂z)(x, y,∇y) принадлежит про-
странству Соболева W 1,1(D). Тогда п. в. на D имеет место обобщенное уравнение Эйлера–
Остроградского
∂f
∂y
(x, y,∇y)−
n
∑
i=1
∂
∂xi
(
∂f
∂zi
(x, y,∇y)
)
= 0. (5)
В частности, условие теоремы выполнено, если
∂f
∂z
∈ C1(Rn
x ×Ry × R
n
z ) и y(·) ∈ W 2,p(D).
В дальнейшем решения обобщенного уравнения Эйлера–Остроградского (5) с условиями
теоремы 8 будем называть K-экстремалями вариационного функционала (4).
3. Гладкость K-экстремалей в W
1,p. В классическом C1-случае, как известно, ре-
шение уравнения Эйлера–Остроградского при достаточно общих условиях принадлежит
классу C2. Мы рассмотрели аналогичную проблему в соболевском случае (см. [14]). Был
поставлен вопрос: будет ли решение уравнения Эйлера–Остроградского при естественных
условиях принадлежать классу W 2,p; будет ли оно, по крайней мере, обладать дополни-
тельными аналитическими свойствами?
Приведем результат об определенном усилении гладкости K-экстремалей в пространс-
твах Соболева.
Теорема 5. Пусть, в условиях теоремы 4, функция y(·) ∈ W 1,p(D), y
∣
∣
∂D
= y0, является
K-экстремалью функционала (4). Предположим, что гессиан (∂2f/∂z2)(x, y,∇y) невыро-
жден п. в. на D. Тогда функция y(·) дважды аппроксимативно дифференцируема почти
всюду на D и в тех точках x ∈ D, где градиент ∇y(x) аппроксимативно непрерывен и гес-
сиан (∂2f/∂z2)(x, y,∇y) невырожден, функция следа Tr((∂2f/∂z2)(x, y,∇y)·∇2
ap(y)(x)) так-
же аппроксимативно непрерывна.
Предыдущий результат может быть существенно улучшен в предположении п. в. непре-
рывности градиента K-экстремали. В частности, имеет место повторная п. в. дифференци-
руемость K-экстремали (т. е. п. в. дифференцируемость градиента K-экстремали).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 21
Теорема 6. Пусть, в условиях теоремы 5, градиент ∇y(x) непрерывен п. в. на D. Тогда
∇2(y)(x) существует п. в. на D и в тех точках, где ∇y(x) непрерывен на D, функция следа
Tr((∂2f/∂z2)(x, y,∇y) · ∇2(y)(x)) также непрерывна на D.
Таким образом, решение обобщенного уравнения Эйлера–Остроградского обладает до-
полнительными аналитическими свойствами. Тем не менее вопрос о принадлежности K-эк-
стремали к классу W 2,p, вообще говоря, решается отрицательно. Приведем соответствую-
щий пример.
Пример 1. Рассмотрим простейший вариационный функционал
Φ(y) =
∫
D
|∇y(x)|2dx, (y(·) ∈ W 1,2(D),D = [0; 1] × [0; 1]).
Здесь обобщенное уравнение Эйлера–Остроградского принимает вид
yx1x1
+ yx2x2
п.в.
= 0. (6)
Пусть χ(t) — “канторова лестница” на [0; 1]. Положим
y0(x) =
x1
∫
0
χ(t) dt+
x2
∫
0
χ(t) dt, 0 6 x1 6 1, 0 6 x2 6 1.
Тогда y0(·) удовлетворяет уравнению (6). Однако y0(·) /∈ W 2,2(D), так как ∇y0(·) /∈ W 1,2(D).
Таким образом, в отличие от классического вариационного C1-случая, существенного по-
вышения гладкости для K-экстремали не происходит.
4. Обобщенное необходимое условие Лежандра для K-экстремумов
в W
1,p(D). Получим аналог классического необходимого условия Лежандра экстремума
вариационного функционала в C1 [6] в случае K-экстремума функционала (4) в пространс-
тве Соболева W 1,p(D).
Определение 5. Пусть ϕ — квадратичная форма на вещественном векторном про-
странстве E. Назовем ϕ полунеотрицательной (ϕ
semi
> 0), если условие ϕ < 0 не выполняет-
ся, т. е. если найдется h ∈ E (h 6= 0) такой, что ϕ(h) > 0.
Теорема 7. Пусть вариационный функционал (4) достигает K-минимума в y(·) ∈
∈ W 1,p(D). Кроме того, предположим, что интегрант f ∈ W 2Kp(z) и отображение
(∂2f/∂y∂z)(x, y,∇y) принадлежит пространству Соболева W 1,1(D). Тогда выполняется
обобщенное необходимое условие Лежандра
∂2f
∂z2
(x, y(x),∇y(x))
semi
> 0 (7)
вдоль K-экстремали y(·) почти всюду на D.
В заключение рассмотрим пример двумерного вариационного функционала, имеющего
негладкую K-экстремаль, но удовлетворяющего обобщенному условию Лежандра.
Пример 2. Положим
Φ(y) =
1
∫
−1
1
∫
−1
(
√
y2x1
+y2x2
∫
0
cos2 t2dt
)
dx (y ∈ W 1,2(D), D = [−1; 1]× [−1; 1]).
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4
1. Непосредственные вычисления показывают, что f ∈ W 2K2(z), причем
∂f
∂z
(x, y,∇y) ∈
∈ W 1,1(D).
2. Очевидно, что Φ(y) имеет минимум в любой точке y(·) ∈ W 1,2(D), удовлетворя-
ющей условию |∇y|2 = y2x1
+ y2x2
= π/2 + πk п. в. (k ∈ Z). Рассмотрим конкретную точку
минимума y0(x1, x2) =
√
π/4(|x1|+ |x2|). В этом случае обобщенное уравнение Эйлера–
Остроградского принимает вид
2
∑
i=1
∂
∂xi
(
yxi
√
y2x1
+ y2x2
· cos2(2(y2x1
+ y2x2
))
)
п.в.
= 0. (8)
Непосредственно проверяется, что функция y0(·) удовлетворяет уравнению (8).
3. Наконец, в рассматриваемом выше случае мы получаем
∂2f
∂z2
(x, y0(x),∇y0(x))
п.в.
= 2π ·
(
0 0
0 0
)
semi
> 0 п.в. на D
для K-экстремали y0(·). Таким образом, y0 удовлетворяет обобщенному необходимому усло-
вию Лежандра, при этом классическое условие Лежандра не выполняется в связи с неглад-
костью экстремали.
1. Tonelli L. Fondamenti di Calcolo delle Variazioni. – Bologna: Zanichelli, 1921–1923. – 466 p.
2. Dacorogna B. Introduction to the calculus of variations. – London: Imperial College Press, 2004. – 228 p.
3. Галеев Э.М., Зеликин М.И., Конягин С.В. и др. Оптимальное управление / Под ред. Н.П. Осмо-
ловского, В.М. Тихомирова. – Москва: МЦНМО, 2008. – 320 с.
4. Giaquinta M., Hildebrandt S. Calculus of variations I. – New York: Springer, 1996. – 474 p.
5. Giusti E. Direct methods in the calculus of variations. – Singapore: World Scientific, 2003. – 403 p.
6. Klötzler R. Mehrdimensionale Variationsrechnung. – Boston: Birkhauser, 1980. – 299 p.
7. Bozhonok E.V. Some existence conditions of compact extrema for variational functionals of several variables
in Sobolev space H1 // Operator Theory: Advances and Applications. – Basel: Birkhäuser, 2009. – Vol. 90. –
P. 141–155.
8. Orlov I.V. Compact extrema: general theory and its applications to the variational functionals // Operator
Theory: Advances and Applications. – Basel: Birkhäuser, 2009. – Vol. 190. – P. 397–417.
9. Орлов И.В., Божонок Е. В. Дополнительные главы современного естествознания. Вариационное
исчисление в пространстве Соболева H
1: Учеб. пособие. – Симферополь: ДИАЙПИ, 2010. – 156 с.
10. Кузьменко Е.М. Условия корректной определенности и компактной непрерывности вариационных
функционалов в пространствах Соболева W
1,p // Уч. зап. Таврич. нац. ун-та им. В. И. Вернадского.
Сер. Физико-мат. науки. – 2011. – 24(63), № 1. – С. 76–89.
11. Кузьменко Е.М. Условия K-дифференцируемости и повторной K-дифференцируемости вариацион-
ных функционалов в пространствах Соболева W
1,p функций многих переменных // Там же. – 2011. –
24(63), № 3. – С. 39–60.
12. Schmeisser H.-J., Triebel H. Topics in Fourier analysis and function spaces. – Chichester: Wiley, 1987. –
300 p.
13. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. – Москва: Физматгиз, 1961. – 230 с.
14. Bozhonok E.V. On solutions to “almost everywhere” Euler–Lagrange equation in Sobolev space H
1 //
Meth. Funct. Anal. and Topol. – 2007. – 123, No 3. – P. 262–266.
Поступило в редакцию 08.10.2013Таврический национальный университет
им. В.И. Вернадского, Симферополь
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 23
I. В. Орлов, К.В. Божонок, К.М. Кузьменко
Необхiднi умови K-екстремуму варiацiйного функцiонала
в просторах Соболєва над багатовимiрною областю
Описано аналоги класичних необхiдних умов локального екстремуму — узагальнене рiвняння
Ейлера–Остроградського й узагальнена необхiдна умова Лежандра для компактних екстре-
мумiв варiацiйних функцiоналiв у просторах Соболєва над багатовимiрною областю. Та-
кож дослiджено питання достатньої гладкостi розв’язкiв узагальненого рiвняння Ейлера–
Остроградського. Показано, що розв’язок узагальненого варiацiйного рiвняння Ейлера–Ост-
роградського в просторi Соболєва має додатковi аналiтичнi властивостi.
I. V. Orlov, E. V. Bozhonok, E.M. Kuzmenko
Necessary conditions for the K-extremum of a variational functional in
Sobolev spaces over multi-dimensional domains
This paper deals with a generalized Euler–Ostrogradsky equation and necessary conditions of the
Legendre type in the case of the compact extrema of variational functionals in Sobolev spaces over
multidimensional domains. The inverse problem of smoothness refinement for the solutions of the
generalized Euler–Ostrogradsky equation is considered. It is shown that the solution of the generali-
zed variational Euler–Ostrogradsky equation in the Sobolev space has additional analytic properties.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87587 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:34:45Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Орлов, И.В. Божонок, Е.В. Кузьменко, Е.М. 2015-10-21T17:13:47Z 2015-10-21T17:13:47Z 2014 Необходимые условия K-экстремума вариационного функционала в пространствах Соболева над многомерной областью / И.В. Орлов, Е.В. Божонок, Е.М. Кузьменко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 4. — С. 19-24. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87587 517.972 Описаны аналоги классических необходимых условий локального экстремума — обобщенное уравнение Эйлера–Остроградского и обобщенное необходимое условие Лежандра для
 компактных экстремумов вариационных функционалов в пространствах Соболева над
 многомерной областью. Также исследован вопрос достаточной гладкости решений обобщенного уравнения Эйлера–Остроградского. Показано, что решение обобщенного вариационного уравнения Эйлера–Остроградского в пространстве Соболева обладает дополнительными аналитическими свойствами. Описано аналоги класичних необхiдних умов локального екстремуму — узагальнене рiвняння
 Ейлера–Остроградського й узагальнена необхiдна умова Лежандра для компактних екстремумiв варiацiйних функцiоналiв у просторах Соболєва над багатовимiрною областю. Також дослiджено питання достатньої гладкостi розв’язкiв узагальненого рiвняння Ейлера–Остроградського. Показано, що розв’язок узагальненого варiацiйного рiвняння Ейлера–Остроградського в просторi Соболєва має додатковi аналiтичнi властивостi. This paper deals with a generalized Euler–Ostrogradsky equation and necessary conditions of the
 Legendre type in the case of the compact extrema of variational functionals in Sobolev spaces over
 multidimensional domains. The inverse problem of smoothness refinement for the solutions of the
 generalized Euler–Ostrogradsky equation is considered. It is shown that the solution of the generalized variational Euler–Ostrogradsky equation in the Sobolev space has additional analytic properties. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Необходимые условия K-экстремума вариационного функционала в пространствах Соболева над многомерной областью Необхiднi умови K-екстремуму варiацiйного функцiонала в просторах Соболєва над багатовимiрною областю Necessary conditions for the K-extremum of a variational functional in Sobolev spaces over multi-dimensional domains Article published earlier |
| spellingShingle | Необходимые условия K-экстремума вариационного функционала в пространствах Соболева над многомерной областью Орлов, И.В. Божонок, Е.В. Кузьменко, Е.М. Математика |
| title | Необходимые условия K-экстремума вариационного функционала в пространствах Соболева над многомерной областью |
| title_alt | Необхiднi умови K-екстремуму варiацiйного функцiонала в просторах Соболєва над багатовимiрною областю Necessary conditions for the K-extremum of a variational functional in Sobolev spaces over multi-dimensional domains |
| title_full | Необходимые условия K-экстремума вариационного функционала в пространствах Соболева над многомерной областью |
| title_fullStr | Необходимые условия K-экстремума вариационного функционала в пространствах Соболева над многомерной областью |
| title_full_unstemmed | Необходимые условия K-экстремума вариационного функционала в пространствах Соболева над многомерной областью |
| title_short | Необходимые условия K-экстремума вариационного функционала в пространствах Соболева над многомерной областью |
| title_sort | необходимые условия k-экстремума вариационного функционала в пространствах соболева над многомерной областью |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87587 |
| work_keys_str_mv | AT orloviv neobhodimyeusloviâkékstremumavariacionnogofunkcionalavprostranstvahsobolevanadmnogomernoioblastʹû AT božonokev neobhodimyeusloviâkékstremumavariacionnogofunkcionalavprostranstvahsobolevanadmnogomernoioblastʹû AT kuzʹmenkoem neobhodimyeusloviâkékstremumavariacionnogofunkcionalavprostranstvahsobolevanadmnogomernoioblastʹû AT orloviv neobhidniumovikekstremumuvariaciinogofunkcionalavprostorahsobolêvanadbagatovimirnoûoblastû AT božonokev neobhidniumovikekstremumuvariaciinogofunkcionalavprostorahsobolêvanadbagatovimirnoûoblastû AT kuzʹmenkoem neobhidniumovikekstremumuvariaciinogofunkcionalavprostorahsobolêvanadbagatovimirnoûoblastû AT orloviv necessaryconditionsforthekextremumofavariationalfunctionalinsobolevspacesovermultidimensionaldomains AT božonokev necessaryconditionsforthekextremumofavariationalfunctionalinsobolevspacesovermultidimensionaldomains AT kuzʹmenkoem necessaryconditionsforthekextremumofavariationalfunctionalinsobolevspacesovermultidimensionaldomains |